初三数学提优专题( 图形翻折)

第十二节图形翻折

讲方法

一、图形翻折的特点

1.对应边相等,对应角相等

2.对称点连线被折痕垂直平分

3.计算时多用勾股定理或相似比例式

二、什么样的条件是翻折问题的特征

1.折叠问题

2.等腰三角形三线合

3.角平分线

4.线段和或差求最值问题

5.垂线

6.特殊角

学思路

铺垫

如图,把正方形沿着EF折叠使点B落在AD上,B/C/交CD于点N,已知正方形的边长为1,求△DB/N的周长.

①正方形四边都相等,四个角都为直角

②折叠前后对应边相等,对应角相等

③求周长,需要转化三边

压轴题

在正方形ABCD中,

(1)如图1,若点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,且∠AOF=900.

求证:AE=BF

(2)如图2,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G.若DC=5,CM=2,求EF的长.

提能力

1.在平面直角坐标系中,一张矩形纸片OBCD 按图3放置,已知OB=10,BC=6,将这张纸片折叠,使点O 落在边CD 上,记作点A,折痕与边OD(含端点)交于点E,与边OB(含端点)或其延长线交于点F.请回答

⑴若点E 的坐标为(0,4),求点A 的坐标

⑵将矩形沿直线y=-2

1x+n 折叠,求点A 的坐标; ⑶将矩形沿直线y=kx+n 折叠,点F 在边OB 上(含端点),直接写出k 的取值范围

2. (山西中考)综合与实践

背景阅读

早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”它被记载于我国古代著名数学著作《周牌算经》中,为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形,例如:三边长分别为9,12,15或32,42,52的三角形就是(3,4,5)型三角形,用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形

实践操作

如图3,在矩形纸片ABCD 中,AD=8cm,AB=12cm.

第一步:如图4,将图3-2-5中的矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠,使点D 落在AB 上的点E 处,折痕为AF,再沿EF 折叠,然后把纸片展平

第二步:如图5,将图3-2-6中的矩形纸片再次折叠,使点D 与点F 重合,折痕为GH, 然后展平,隐去AF.

第三步:如图6,将图3-2-7中的矩形纸片沿AH 折叠,得到△AD /H,再沿AD /折叠, 折

痕为AM,AM 与折痕EF 交于点N,然后展平.

【问题解决】

(1)请在图4中,证明:四边形AEFD 是正方形;

(2)请在图6中,判断NF 与ND /的数量关系,并加以证明;

(3)请在图6中, 证明:ΔAEN 是(3,4,5)型三角形;

【探索发现】

(4)在不添加字母的情况下,图6中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.

3. 如图7是一张矩形纸片ABCD,AB=5,BC=1,在边AB 上取一点M ，在边CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K,得到ΔMNK, 如图8.

(1) 若∠1=700，求∠MKN 的度数;

(2)△MNK 的面积能否小于2

1?若能，求出此时∠1的度数;若不能,请说明理由; (3)如何折叠能够使△MNK 的面积最大?请你画图探究可能出现的情况,求出最大值.

4.如图,将一个正方形纸片AOCD,放置在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点O(0,0),点D 在第一象限.点P 为正方形AD 边上的一点(不与点A 、点D 重合),将正方形纸片折叠,使点O 落在点P 处,点C 落在点G 处,PG 交DC 于点H,折痕为EF,连接OP ，OH.设P 点的横坐标为m.

(1)若∠APO=60°,求∠OPG 的大小;

(2)当点P 在边AD 上移动时,△PDH 的周长l 是否发生变化?若变化,用含m 的式子表示l;若不变化,求出周长l;

(3)设四边形EFGP 的面积为S,当S 取得最小值时,求点P 的坐标(直接写出结果即可)

5.（浙江金华中考)如图9,将△ABC纸片沿中位线EH折叠,使点A的对称点D落在BC边上,再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形,类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙,无重叠的矩形,这样的矩形称为叠台矩形.

(1)将纸片按图10的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG:S□ABCD=________;

(2)□ABCD纸片还可以按图11的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的长；

(3)如图12,四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD