高精密转台标定方法研究

x y z 叟
叟
叟 叟
1
1
1
叟 叟
假设根据前面的标定方法测量的数据为：M1
=
x叟
叟2 叟
y2
z2
叟 叟 叟
叟
叟
x y z 叟
叟
叟
叟
叟n n n 叟
由于激光跟踪仪的测量坐标系和转台坐标系不一致，因此
得到的转台平面的数据，位于测量坐标系内的三维平面的圆弧
上。为了计算测量点与圆心连线的夹角，首先拟合测量数据得到
*
*
实际 x 轴向量 v1 与法向量 v3 ，及 z 轴垂直，因此：
**
v1 =v3 ×［0；0；1］；
*
**
*
由右手定理得 y 轴向量 v2 为：v2 =v3 ×v1 ；
* **
z z 得到刚体旋转矩阵 R：R=［v1 v2 v3］；
变换后新数据的坐标为：M2
′
=RM1 =
zv1*
*
v2
步骤 3：拟合圆，计算转角
i=1
可以避免求解非线性方程。
（9）
采用 Ka觷sa 的方法拟合圆心，最后根据余弦定理求解夹角：
姨 姨 姨 （a-xi）（a-xi+1）+（b-yi）（b-yi+1）
θi =arccos
2
2
（xi+1 -xi） +（yi+1 -yi）
其中 1燮i燮n-1；最后分析｛θ1 θ2 … θn-1｝的概率分布，评价
量，表示反射镜可接收光的圆锥的高向量，假设反射镜跟随转台
运动至 M，则 MN 为激光的入射光线，MN 与 a 之间的夹角为 σ，
軆 軆 由图 3 可知：σ=arccos
軑M軑N·a軆 軑M軑N · a軆
（2）
其中，a軆 =（sin准cosγ，cosγcos准，sinγ）；
M軑軑N =（- rsin准，l+（r 1- cos准），h）；h=1.4m，r=2.14m；
跟踪仪的最短距离为 l，跟踪头高为 h。
z
ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪头 N
σ
軑α
M
ξ
O
准
γ
rP
l
hy Q
反射球
x 图 3 参数最优化模型
Fig.3 Parameter optimization modeling
反射镜 β 变化不影响测量范围，反射镜跟随转台运动，α 与
转台转角 准 一致，因此优化参数减少为 γ 和距离 l。a 为单位向
PENG Si，YANG Xiang-dong，WU Liao，CHEN Ken
（Department of Precision Instruments & Mechanology，Tsinghua University，Beijing 100084，China）
【摘 要】针对特定情况下高精密大型转台定位精度的标定问题，提出了一种采用激光跟踪仪标定的 方法，首先分析影响标定方法精度的因素，通过优化测量参数及采样策略，建立基于激光跟踪仪的最优标 定系统，拟合激光跟踪仪测得点所在的三维平面，通过坐标变换将测量点转换到二维平面上，拟合转换后 的数据得到圆心坐标，最后计算相邻测量点与圆心连线的夹角，与理论值进行比较，从而确定转台的定位 精度。实验表明，标定系统的精度满足要求。该标定方法简单可靠，提高了高精密大型转台的标定效率。
Z α
70 l=5m
60
50
40
30
20
l=4m l=3m
l=2m l=1.4m
10
0
0
20
40
60
80
100
γ°
图 4 γ、准、l 的关系
β
Fig.4 The relationship of γ、准、l
Y
2.2 数据处理
Xγ 图 2 TBR 反射球 Fig.2 TBR reflector
由于现场条件限制了激光跟踪仪的高度位置，为了获得尽
其所在三维平面，通过坐标变换将测量点坐标转换到二维平面
上，在二维平面上拟合圆然后计算夹角，具体的步骤如下：
步骤 1：特征值法求平面法向量
假设平面方程为：ax+by+cz=d；
则平面单位法向量为：v3=［a b c］′；
2 22
其中，a +b +c =1，d—坐标原点至平面的距离，d叟0。
由平面方程可知：M1 v3 =D
点精度：△P=10μm+5μm/m×D
（1）
式中：△P—激光跟踪仪测点精度；D—测量点到激光跟踪仪出光
口（坐标系原点）的距离。
＊来稿日期：2011-06-13
2
彭 思等：高精密转台标定方法研究
第4期
100° Φ°
… … …
因此在满足要求的情况下，应尽量减小距离 D，同时保证激 光跟踪仪的测量范围在（2.5×5×10）m 的范围内。
2.1.2 圆心拟合算法的精度
采样角度范围小于 30°时圆心偏差尤为明显[4]，增大采样角 度有助于提高拟合精度，但是激光跟踪仪的跟踪头和反射镜限制
了测量范围。跟踪头在水平方向测量范围为 360°，竖直方向测量 角度为（±45）°；反射镜采用 TBR 玻璃棱镜，其体积小、便携、接收 激光范围为（±50）°锥角，外形如图 2 所示。
中图分类号：TH16，TP216 文献标识码：A
1 引言
在国防领域，高精度转台常用于测试某些对象的重要参数，因 此实现其定位误差的标定是目前科研生产中急需解决的问题。高精 度转台通过闭环控制系统，采用旋转变压器、多极感应同步器、自整 角机等作为角度传感器，配合辅助的信号处理电路实现高精度的定 位。标定的目的是检测转台系统的定位精度是否满足系统的精度指 标。目前转台标定的方法主要包括：光自准直仪和多面棱镜标定[1]、 激光结合光电接收器取代光自准直仪[2]、高速线阵 CCD 取代光自准
（7）
其中，D=［d...d］′；得到 4 个未知数、n+1 个方程的方程组，属
*
于超定线性方程组，没有通常意义下的解，可以求 v3 使：
2
2
min *
v3 ∈R
D-M1 v3
=
2
*
D-M1 v3
*
2
*
如果使上式成立的 v3 ∈Rn 存在，称 v3 为超定方程组（7）的最
小二乘解。采用特征值法[5]求解该最小二乘解，在 a2+b2+c2=1 的条
转台
激光跟踪 仪反射镜
激光跟踪 仪激光
激光跟踪仪
直仪以及激光干涉仪和平面镜等标定方法。这些方法不但操作复 杂、效率低，而且都需要将多面棱镜等光学元件通过分度齿盘安装
激光跟踪仪 数据线缆
在主轴上，但是有些特殊场合棱镜无法安装或者安装十分困难，如 大型转台，在主轴上安装元件十分复杂，难以保证安装精度，且成本 高。因此这些方法有局限性。激光跟踪仪作为一种大尺寸测量仪器， 具有精度高、操作简单、便携、快速等优点，在机械制造、设备装配和 产品检测等领域得到越来越广泛的应用。
反射镜接收光的范围为±50°锥角，即：-50°燮σ燮50° （3）
竖直方向测量角度为（± 45）°，即：（-45）°燮ξ燮45°即：l叟1.4m（4）
激光跟踪仪的测量空间在（2.5×5×10）m 的范围内，即：
l+r×（1-
cos准）燮5m，2×r×sin
准 2
燮2.5m
（5）（6）
在满足（3）~（6）的约束条件下，代入（2）式求 γ、l 使 准 的取
z *
v3
xyz111
zxy222
… … …
zxynnn
值范围最大。改变 l、γ 的取值，得到 γ、l、准 的关系，如图 4 所示。 可见 l 越大，准 越大。但是由式 2 可知，激光跟踪仪的测量精
度与测量距离有关，l 越大，测量数据精度越低。当 l 为 1.4m，γ 为 55°时，测量范围 准 达到 45°，测量范围大于 30°，满足拟合圆的要 求，因此取 l 为 1.4m，γ 为 46°。
感应同步器
感应同步器 信号线缆
控制器
计算机
感应同步器 触发测试信号线缆
图 1 标定系统原理图 Fig.1 Schematic diagram of calibration system
2.1.1 测量数据的精度
测量数据的精度由激光跟踪仪保证，系统采用 Leica 激光跟
踪仪 AT901-LR，厂方提供了在（2.5×5×10）m 的范围内的综合测
件下，利用求极值的拉格朗日乘数法组成函数：
Σ2
2 22
f= （axi +byi +czi -d） - λ（a +b +c - 1）
（8）
i
对式（8）中 a，b，c，d 分别求导，令其导数为 0，得到 4 个方
程，将问题转换为系数矩阵特征值及特征向量的求解问题。最小
*
特征值对应的特征向量即 v3 。
步骤 2：计算旋转矩阵
关键词：激光跟踪仪；定位精度；标定 【Abstract】A calibration method using laser tracker is proposed to calibrate the positioning accuracy of high precision turntable.First，the factors affecting the calibration precision were analyzed，and then the opti－ mized calibration system was built based on the optimization of measurement parameters and sampling strate－ gy.The measuring points by Laser tracker, which had been fitted into 3-D plane，were transformed from 3-D plane to 2-D plane，so that the center of the turntable was obtained through circle fitting.Finally，the angles of adjacent lines from measuring points to center were calculated and compared with theoretical value to identify the positioning accuracy of the turntable.Experimental results demonstrated that the calibration system im － proved the calibration efficiency of high precision turntable with its simplicity and reliability in calibration. Key words：Laser Tracker；Positioning accuracy；Calibration
一个反射镜，激光跟踪头发出的激光反射到反射器上，又返回跟踪
头，当反射镜跟随测量目标移动时，跟踪头调整激光束方向来对准
反射镜。同时返回光束为检测系统所接收，用来测算目标的空间位
置，即激光跟踪测量系统主要是用于静态或者动态地跟踪一个在空
间中运动的点，同时确定目标点的空间坐标。为了保证标定方法的
可靠性，必须提高测量数据的精度和圆心拟合算法的精度。
将设计基于激光跟踪仪的转台定位精度标定系统，建立其标 定模型，基于该模型优化其标定参数和采样策略，利用优化后的模 型进行标定，通过拟合等数据处理方法处理标定的数据，最后利用 统计学方法分析数据，验证转台的定位精度是否满足精度要求。
2 标定方法的设计
2.1 基于激光跟踪仪的标定方法
激光跟踪仪的工作原理，如图 1 所示。是在测量目标点上安置
传统的拟合圆的误差模型为：
n
2
Σ 姨 SS（a，b，r）= i=1
軆（xi
2
-a）
+（yi
2
-b）
-r
軆
SS 的最小值即模型的解，但是由于模型的非线性，需要求解
非线性方程组，因此 Ka觷sa[7]将模型修改为：
No.4
Apr.2012
机械设计与制造
3
偏差 偏差
n
Σ2
2 22
SSK（a，b，r）= （（xi -a） +（yi -b） - r ）
第4期
机械设计与制造
2012 年 4 月
Machinery Design ＆ Manufacture
1
文章编号：1001-3997（2012）04-0001-03
设
高精密转台标定方法研究
计
与
计
彭 思 杨向东 吴 聊 陈 恳
算
（清华大学 精密仪器与机械学系，北京 100084）
Calibration method research for high precision turntable
可能大的圆弧范围，可优化的参数为激光跟踪仪与反射镜的距离
l 以及反射镜的姿态角 α、β、γ。建立模型，如图 3 所示。求解该最
优问题。以转台圆心为坐标原点 O，以转台平面法线为 Z 轴，以
OQ 为 Y 轴，X 轴按右手准则确定，建立转台坐标系；将反射镜放
在转台边缘，其距离圆心的距离即转台半径 r，反射镜中心与激光