2019-2020年高二3月月考 数学 含答案
2022-2023学年云南省曲靖市高二下学期月考(三)数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省曲靖市高二下学期月考（三）数学试题一、单选题1．设集合{}|24A x x =-≤≤，{}|2,B x x n n ==∈N ，则A B = （）A ．{}2,0,2,4-B ．{}2,4C ．{}24x x ≤≤D ．{}0,2,4【答案】D【分析】{}0,2,4,6,8,B = ，再计算交集得到答案.【详解】{}0,2,4,6,8,B = ，∴{}0,2,4A B = .故选：D.2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1D ．1-【答案】D【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-，所以z 的虚部为1-.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．随机变量X 的分布列如下表所示：X1234P0.1m0.32m则()2P X ≤=（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】C【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可．【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+= ．故选：C ．4．已知数列{}n a 是等差数列，且237820a a a a +=--，则5a =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据数列的下标和性质，对原式进行转化即可求得.【详解】因为237820a a a a +=--，所以()()283720a a a a +++=，5420a =，解得55a =.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题.5．2022年12月4日是第九个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则()P BA =∣（）A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A【分析】根据条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】依题意()()()()()12132,,23243P AB P A P AB P BA P A ==∴===∣，故选：A6．已知随机变量(,)X B n p ，且()4,()2E X D X ==，则(1)P X ==（）A ．312B ．412C ．512D ．612【答案】C【分析】根据二项分布的方差和期望公式，列方程即可解出,n p 的值，进而可求.【详解】由二项分布的方差和期望公式可得：()()()412E X np D X np p ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，解得1,82p n ==，则1718851181(1)2222P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．7．已知 1.30.72,4,ln 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b<c<a C ．c<a<b D ．c b a<<【答案】C【详解】因为0.7 1.4 1.34222b ==>>，2ln6lne 2c =<=，所以c a b <<；故选C.8．关于函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞.下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减C ．()f x 的值域为(]0,1D ．不等式()2f x e ->的解集为()(),22,-∞-+∞ 【答案】D【解析】根据函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A ，B ，C 均正确，而选项D 也可由单调性转化为关于x 的二次不等式求解，解集应为(2,2)-，则D 错误.【详解】因为函数22(),(,)x f x e x -=∈-∞+∞，22()22()()x x f x eef x ----===，则该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，故选项A 说法正确；令22x t =-，在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，又t y e =在(,0]-∞单调递增，则由复合函数的单调性可知()f x 在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，故选项B 说法正确；由(,0]t ∈-∞可得(0,1]y ∈，即()f x 的值域为(0,1]，故选项C 说法也正确；由不等式2f x e ->（）即222x e e -->222x ->-，则24x <，22x -<<故的不等式2()f x e ->解集为(2,2)-，选项D 说法错误.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对复合函数的单调性的判断，并由此应用到求值域和解不等式.二、多选题9．已知抛物线2:4x yΓ=的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有（）A ．点F 坐标为(1,0)B ．抛物线Γ的准线方程为1y =-C ．线段MN 长为4D ．直线2y x =-与抛物线Γ相切【答案】BC【解析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定A 不正确，B 正确；令1y =，可得求得4MN =，可判定C 正确；联立方程组，根据∆<0，可判定D 不正确.【详解】由抛物线2:4x yΓ=，可得24p =，即2p =，且焦点在y 轴上，所以焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，所以A 不正确，B 正确；令1y =，可得24x =，解得2x =±，所以4MN =，所以C 正确；联立方程组224y x x y=-⎧⎨=⎩，整理得2480x x -+=，可得2(4)480∆=--⨯<，所以直线2y x =-与抛物线没有公共点，所以D 不正确.故选：BC.【点睛】求解直线与抛物线的位置关系问题的方法：在解决直线与抛物线的位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法的思想来求解.10．已知函数()33sin2cos222f x x x =+，则下列选项正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 的最大值为3D ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称【答案】CD【分析】利用三角函数辅助角公式化简可得()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求得周期，判断A ；结合正弦函数的最值判断C ；结合正弦函数的对称性判断B ，D.【详解】由题意得函数()33πsin2cos23sin 2226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；由于πππ33sin 203362f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线()y f x =不关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故B 错误；由于()π3sin 2,R 6f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故max ()3f x =，故C 正确；由于πππ3sin 23666f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为函数最值，则曲线()y f x =关于直线π6x =对称，故D 正确，故选：CD.11．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）A ．共有60种不同的坐法B ．空位不相邻的坐法有72种C ．空位相邻的坐法有24种D ．两端不是空位的坐法有18种【答案】ACD【分析】按照题目给定的条件排列即可.【详解】对于A ，3554360A =⨯⨯=，故A 正确；对于B ，相当于先排好这3个人有33A 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，故有24C 种插法，234336C A =，故B 错误；对于C ，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中，134324C A =，故C 正确；对于D ，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有123318C A =种，故D 正确；故选：ACD.12．设函数()e ln xf x x=，则下列说法正确的是()A ．()f x 定义域是()()0,11,+∞ B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有两个极值点【答案】ABC【分析】直接根据函数解析式即可判断A 、B ；求f (x )的导数，利用导数即可研究函数的单调性、极值点，由此即可判断C 、D.【详解】对A 选项，()e ln xf x x =需满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，∴()e ln xf x x=的定义域为()()0,11,+∞ ，故A 正确；对B 选项，由()e ln xf x x=，当()0,1x ∈时，ln 0x <，∴()0f x <，∴()f x 在()0,1上的图像都在x 轴的下方，故B 正确；对C 选项，()21e ln (ln )x x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭='，令()1ln g x x x =-，∵()2110g x x x '=+>，∴()g x 在()0,∞+单调递增，∵()12ln 202g =->，∴x ＞2时，g (x )＞0，()0f x ¢>，∴()f x 存在单调递增区间，故C 正确；对D 选项，由B 可知，()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方；当x ＞1时，∵g (x )在()0,∞+单调递增，且()11ln1101g =-=-<，()12ln 202g =->，∴存在唯一的()01,2x ∈使g (x )＝0，即()00f x '=，当()00,x x ∈时，g (x )＜0，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，g (x )＞0，()0f x ¢>，()f x 单调递增，∴f (x )只有一个极小值点，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．若向量()3,21a x x =-- ，()2,5b = ，且a b ∥ ，则x =___________.【答案】13【分析】利用向量平行的充要条件列方程求x .【详解】因为向量()3,21a x x =-- ，()2,5b = ，a b ∥ ，所以()()53221x x -=-，解得：x =13.故答案为：1314．41(1)(1)x x-+的展开式中2x 项的系数为__________．【答案】2【分析】根据二项式定理求出4(1)x +通项，再求2x 项的系数.【详解】因44411(1)(1)(1)(1)x x x x x-+=+-+，只需要求4(1)x +的展开式中含23,x x 项的系数．又4(1)x +的展开式的通项为14C r rr T x +=，则含23,x x 项的系数分别是2443C 62⨯==，34C 4=，()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344C C 642-=-=.故答案为：2.15．网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程.某同学有一圆锥状的木块，想把它打磨成“车珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm ，体积为396πcm ，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积的最大值是__________3cm .【答案】36π【分析】根据圆锥体积求出圆锥的高和母线长，利用轴截面面积求得珠子的半径，即可求得答案.【详解】设圆锥的高为cm h ，则21π696π,83h h ⋅⋅=∴=，故圆锥的母线长为228610(cm)l =+=，作圆锥轴截面和其内切圆，此时珠子的体积最大，设内切圆的半径为r ，则()11128101012,3(cm)22r r ⨯⨯=⨯++⨯∴=，故该珠子的体积最大值是33)4π336π(cm 3⋅=，故答案为：36π四、双空题16．已知函数()()221x f e x x x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】10x y +-=(],0-∞【解析】（1）求出()0f '，可得出所求切线的斜率，并求出切点的坐标，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用参变量分离法得出()f x a x≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()f xg x x=，利用导数求出函数()g x 在区间()g x 在区间()0,∞+上的最小值，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()()221x e x f x x =-+ ，()()()()2221221x x x f x e x x e x e x '∴=-++-=-，所以()01f '=-，又因为()01f =，所以切线方程为1y x =-+，即10x y +-=；（2）由题可得：()≥f x a x在()0,∞+恒成立，设()()12xe g xf x x x x⎛⎫=+- ⎝=⎪⎭，则()()()2211x e x xx x g -+'=，因为0x >，所以当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以当1x =时，()g x 有最小值()10g =，所以0a ≤.故答案为：10x y +-=；(],0-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 为整数，535S =，且236,1,a a a +成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足n b =11n n a a +，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)32n a n =-(2)n T =31+n n 【分析】(1)运用等差数列的求和公式和通项公式，等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式.(2)求得n b =1311()3231n n --+，用数列的裂项相消求和，计算可得所求和.【详解】（1）由53535S a ==，得37a =，由236,1,a a a +成等比数列，得()2263164a a a =+=，即()()33364a d a d -⋅+=，整理得2314150d d -+=，又因为公差d 为整数，所以3d =，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-；（2）n b =11n n a a +=1(32)(31)n n -+=1311()3231n n --+，所以123n n T b b b b =++++= 11111111[(1)()()()]34477103231n n ⨯-+-+-++--+ =11(1)331n ⨯-+=31+n n ．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在①()3cos sin a b C b C -=，②()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=这两个条件中任选一个，并解答：（1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，3b =，求ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）3B π=；（2）312.【分析】（1）若选①：根据正弦定理得()3sin sin cos sin sin A B C B C -=，化简成3cos sin sin sin B C B C =，即可得解；若选②：由正弦定理得：()()2222a c a c a c b -⋅+=⋅-，结合余弦定理即可求解；（2）结合（1）利用余弦定理求出13ac =，即可得到三角形面积.【详解】（1）若选①：因为()3cos sin a b C b C -=，由正弦定理得()3sin sin cos sin sin A B C B C -=，即()3sin sin cos sin sin B C B C B C +-=⎡⎤⎣⎦，3cos sin sin sin B C B C =，又因为B ，()0,C π∈，所tan 3B =，即3B π=若选②：()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=由正弦定理得：()()2222a c a c a c b -⋅+=⋅-化简得：222a c b ac +-=，又由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，得1cos 2B =，又因为()0,B π∈，得3B π=·（2）由余弦定理得2222cos3=+-b a c ac π∴()223b a c ac =+-，又2a c +=，3b =，代入得13ac =，所以13sin 212S ac B ==.19．在如图所示几何体中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，AB CD ∥，AF BE ∥，AB AD ⊥，AB AF ⊥，且平面ABCD ⊥平面ABEF ．已知2==AB AF ，1AD CD BE ===．(1)证明：BC FC ⊥；(2)求直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)105【分析】（1）由面面垂直的性质得到AF ⊥平面ABCD ，即可得到BC AF ⊥，再连接AC ，即可得到BC AC ⊥，从而得到BC ⊥平面AFC ，即可得证；（2）建立直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，又AB AF ⊥，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC AF ⊥，连接AC ，在梯形ABCD 中，由2AB =，1AD =，1CD =，AD AB ⊥，所以45DCA BAC ∠=∠=︒，所以45CBA ∠=︒，所以BC AC ⊥，因为BC AC ⊥，BC AF ⊥，,AC AF ⊂平面AFC ，AC AF A ⋂=，所以BC ⊥平面AFC ，因为FC ⊂平面AFC ，所以BC FC ⊥（2）解：分别以AB 、AF 、AD 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()1,0,1C ，()0,2,0F ，()2,1,0E ，所以()1,0,1BC =- ，()0,1,0BE = ，()2,1,0EF =- ，设平面BEC 的法向量为(),,n x y z = ，平面BEC 与直线EF 所成的角为θ，则00n BE y n BC x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩ ，令1x =，则1z =，0y =，所以()1,0,1n = ，所以()2222210sin 52111n EF n EFθ⋅-===⋅-+⋅+ ，所以直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值为105；20．2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组[30,35)，第二组[35,40)，第三组[40,45)，第四组[45,50)，第五组[50,55)，第六组[55,60]，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求实数a 的值；（2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ.【答案】（1）0.036a =（2）①310p =②见解析【分析】（1）根据频率和为1列方程，解方程求得a 的值.（2）利用分层抽样的知识计算出每组的抽取人数.①用古典概型的概率计算公式计算出这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②利用超几何分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】解：（1）直方图中的组距为5，可得0.024520.035520.0451a ⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=，得0.036a =.（2）从直方图中可得第四组的人数为0.04520040⨯⨯=（人），第五组的人数为0.03520030⨯⨯=（人），第六组的人数为0.03520030⨯⨯=（人），三组共100人，按组用分层抽样法抽取10人，则第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.①三组各有一人参加优胜比赛的概率111433310310C C C p C ⋅⋅==；②ξ的可能取值为0，1，2，3，()0346310106C C P C ξ===，()2164310112C C P C ξ===，()21463103210C C P C ξ===，()30463101330C C P C ξ===，ξ的分布列为ξ0123P 1612310130()11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图有关的计算，考查古典概型，考查超几何分布，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)，且离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点P (0，3)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，1432y x =±+.【分析】（1）点()2,1代入椭圆方程，得22211a b +=，由22e =得22c a =可转化为a 2=2b 2，解出a ，b ，进而得出方程.（2）分两种情况讨论，斜率不存在时，显然不满足2PB PA = ，斜率存在时设所求直线方程l ：y =kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14=0，结合韦达定理和2PB PA = ，分析斜率，进而写出方程.【详解】解：（1）由已知点代入椭圆方程得22211a b +=，由22e =得22c a =可转化为a 2=2b 2，由以上两式解得a 2=4，b 2=2，所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.（2）存在这样的直线.当l 的斜率不存在时，显然不满足2PB PA = ，所以设所求直线方程l ：y =kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14=0，1221212k x x k +=-+①，1221412x x k =+②△=(12k )2﹣4×14×(1+2k 2)>0，274k >，设所求直线与椭圆相交两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由已知条件2PB PA = 可得x 2=2x 1③，综合上述①②③式子可解得27724k =>符合题意，所以所求直线方程为：1432y x =±+.【点睛】本题考查椭圆的方程，以及直线和椭圆相交问题，属于中档题.22．已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）求出函数()y f x =的定义域和导数()1f x a x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析()f x '在()0,∞+上导数符号的变化，即可得出函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数()y f x =有两个零点，则0a >且有10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可求出实数a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=-.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，知函数()y f x =在()0,∞+内单调递增；②当0a >时，由()0f x ¢>，即10a x ->得10x a<<；由()0f x '<，即10a x-<得1x a >.所以，函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.因此，当0a ≤时，()y f x =在()0,∞+内单调递增；当0a >时，()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减；（Ⅱ）当0a ≤时，则函数()y f x =在()0,∞+上为增函数，函数()y f x =最多一个零点，不合乎题意，舍去；当0a >时，由（Ⅰ）知，函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.且当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，则11ln1ln10f aa a⎛⎫=-=-->⎪⎝⎭，即ln1a<-，解得10ae<<.因此，实数a的取值范围是1 0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题(含答案解析)
河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（）A ．30B ．60C ．120D ．1803．二项式821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（）A ．70-B ．70C ．358-D ．3584．重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，5A 级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家5A 级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件A ：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B ：甲和乙选择的景区不同，则条件概率()P B A =（）A ．56B ．67C ．78D ．895．文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简单的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个“ ”，两个“⨯”和两个“ ”.把它们从上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为“ ”，同一种图形不相邻，那么可以传递的信息数量有（）A ．8个B ．10个C ．12个D ．14个6．某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（）.A ．15B ．11C ．14D ．237．已知()0.6P A =，()0.3P AB =，()|0.5P B A =，下列选项正确的是（）A ．()0.4P B =B ．()06|.P A B =C ．()|0.5P A B =D ．()()()P AB P A P B ≠8．1234202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C ++++⋅⋅⋅+=（）A ．202321-B ．202421-C ．202110112⨯D ．202210112⨯二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为6B ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为7C ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0D ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为2910．身高各不相同的六位同学A B C D E F 、、、、、站成一排照相，则说法正确的是（）A ．A 、C 、D 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B ．A 与C 同学不相邻，共有5424A A ⋅种站法C ．A 、C 、D 三位同学必须站在一起，且A 只能在C 与D 的中间，共有144种站法D ．A 不在排头，B 不在排尾，共有504种站法11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（）A ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数B ．123356781C C C C +++=C ．第2020行的第1010个数最大D ．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11三、填空题12．22x x +n 的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n 的值为.13．若()()()()72701271222x a a x a x a x +=+++++++ ，则4a =.14．已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为.四、解答题15．某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A 、B 两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A 元素指标达标的概率为34，B 元素指标达标的概率为89，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．(1)一个食品经过检测，AB 两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种食品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及()E ξ．16．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求：(1)抽到他能答对题目数X 的分布列；(2)求X 的期望和方差17．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1%不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.(1)求取到的是不合格品的概率；(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.18．一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为13、23；若前次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为35、25，记第()N,1n n n ∈≥次按下按钮后出现红的概率为n P ．(1)求2P 的值；(2)当,N 2n n ∈≥，求用1n P -表示n P 的表达式；(3)求n P 关于n 的表达式．19．2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．(1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X ．（i ）求()3P X =；（ii ）求使得()P X k =取最大值时的整数k ；(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B ，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为12，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．参考答案：1．B【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值.【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.2．B【分析】根据分步乘法计数原理结合捆绑法分析求解.【详解】先从5人中选出4人值班，再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，所以安排方法数为422542C C A 60⋅⋅=.故选：B.3．D【分析】由82181C 2kk kk T x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令820k -=得出k 后代入计算即可得.【详解】88218811C C ,0,1,2,,822k kk kk kk T x x k x --+⎛⎫⎛⎫=-=-=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令820k -=，即4k =，故445817035C 2168T ⎛⎫=-==⎪⎝⎭，即展开式的常数项为358.故选：D.4．D【分析】求出事件A 发生的个数和事件,A B 同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案.【详解】由题意可知事件A 发生的情况为甲乙两人只有有一人选择巫山小三峡或两人都选选择巫山小三峡，个数为1124C C 19+=,事件,A B 同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为1124C C 8=，故()()8()9P AB P B A P A ==,故选：D 5．B【分析】列出所有的基本事件即可..【详解】列举得：,,,,,⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，,,,⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，共10种，故选：B.6．B【分析】利用正难则反的方法，求出总的方法数，利用分类讨论的方法，分一、二、三个职位连任，可得答案.【详解】四人中选出三人分别任职三个不同的岗位，其方法数为34A 43224=⨯⨯=，三个职位中有一位连任，假设上届任职的甲、乙、丙三人分别担任书记、副书记和组织委员，假设甲连任书记，副书记可选的人选分别为丙和丁，当丁担任了副书记，则组织委员只能选乙；当丙担任了副书记，则组织委员只能选乙和丁，故其方法数为()13C 129+=；三个职位中有两位连任，其方法数为23C 13⨯=；三个职位中三位都连任，其方法数为1.故符合题意的方法数为2493111---=.故选：B.7．B【分析】根据条件概率的概率公式计算可得.【详解】因为()|0.5P B A =，即()()()()()0.51P BA P B P BA P A P A -==-，又()0.6P A =，()0.3P AB =，所以()0.5P B =，故A 错误；又()()()0.3|0.60.5P AB P A B P B ===，故B 正确；()()()P AB P A P B =，故D 错误；()()()()()()0.50.3|0.40.5P AB P B P BA P A B P B P B --====，故C 错误.故选：B 8．D【分析】结合导数以及二项式展开式的知识求得正确答案.【详解】()01221C C C C nn nn n n n x x x x +=++++ ，两边求导得()11211C 2C C n n n n n n n x x x n x--+=+++ ，令1x =得1122C 2C C n nn n n n n -⋅=+++ ，再令2022n =得：123420222021202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C 2022210112++++⋅⋅⋅+=⨯=⨯.故选：D 9．BC【分析】对于选项A 和选项B ，根据组合数公式2251818C C x x +-=，计算求解即可判断；对于选项C 和选项D ，根据赋值法求解即可判断．【详解】根据组合数公式2251818C C x x +-=，则225x x +=-或22518x x -=++，解得7x =，经检验符合题意；故A 错B 对；令1x =，则921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0，故C 对D 错.故选：BC.10．ABD【分析】根据全排列和定序即可判断A ；利用插空法即可判断B ；利用捆绑法即可判断C ；利用间接法即可判断D.【详解】对于A ，6个人全排列有66A 种方法，A 、C 、D 全排列有33A 种方法，则A 、C 、D 从左到右按高到矮的排列有6633A 120A =种方法，A 正确；对于B ，先排列除A 与C 外的4个人，有44A 种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A 和C 插入5个空，有25A 种方法，则共有44A 25A 种方法，B 正确；对于C ，A 、C 、D 必须排在一起且A 在C 、D 中间的排法有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有44A 种方法，则共有442A 48=种方法，C 错误；对于D ，6个人全排列有66A 种方法，当A 在排头时，有55A 种方法，当B 在排尾时，有55A 种方法，当A 在排头且B 在排尾时，有44A 种方法，则A 不在排头，B 不在排尾的情况共有6546544A 2A A 50-+=种，D 正确.故选：ABD 11．ABD【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A ，利用组合数公式判断B ，分析各行数据的特征，即可判断C ，求出第12行中从左到右第2个数与第3个数，即可判断D.【详解】对于A ：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为172836++=；而第9行第8个数字就是36，故A 正确；对于B ：因为123567611C C 6576515523C 21⨯⨯⨯=+++⨯+=⨯⨯++，38876C 56321⨯⨯==⨯⨯，所以123356781C C C C +++=，故B 正确；对于C ：由图可知：第n 行有1n +个数字，如果n 是偶数，则第12n+（最中间的）个数字最大；如果n 是奇数，则第12n +和第112n ++个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第2020行的第1011个数最大，故C 错误；对于D ：依题意：第12行从左到右第2个数为112C 12=，第12行从左到右第3个数为212C 66=，所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为12:662:11=，故D 正确；故答案为：ABD.12．5【分析】根据二项式定理求解.【详解】因为22nx ⎫⎪⎭的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以23C C n n =，解得n=5；故答案为：5.13．35-【分析】所求4a 为()42x +的系数，因为()77(1)21x x +=+-⎡⎤⎣⎦，利用其展开式通项公式，求得()43347(1)2T C x =-+，即可得答案.【详解】()77(1)21x x +=+-⎡⎤⎣⎦展开式的通项公式为()7172(1)kkk k T C x -+=+-，令74k -=，则k =3，则()43347(1)2T C x =-+，所以3347(1)35a C =-=-.故答案为：-3514．613【分析】根据题意，结合组合的知识分别求得事件A 与事件AB 的概率，从而利用条件概率公式即可得解.【详解】依题意，设事件A 为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，事件B 为“所报的两个社团中有一个是体育类”，则11211454432299C C C C C 2612(),()C 36C 36P A P AB +====，所以12()636()26()1336P AB P B A P A ===∣.故答案为：613.15．(1)3536；(2)分布列见解析，期望值为83.【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得.（2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望.【详解】（1）令M 为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则M 是A ，B 都不达标的事件，因此1135()1()14936P M P M =-=-⋅=，所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为3536.（2）依题意，A ，B 两类元素含量指标都达标的概率为382493⨯=，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然2(4,)3ξB ，因此411(0)()381P ξ===，134218(1)C ()3381P ξ⋅⋅===，2224218(2)C (()3327P ξ===，3342132(3)C ()3381P ξ⋅===，4216(4)()381P ξ===，所以ξ的概率分布为：ξ01234P18188182732811681数学期望18832168()0123481812781813E ξ=++⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)分布列见解析(2)期望()95E X =；方差()1425D X =【分析】（1）列举出X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；（2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可.【详解】（1）由题意知：X 所有可能的取值为0,1,2,3，()34310C 410C 12030P X ====；()2146310C C 3631C 12010P X ====；()1246310C C 6012C 1202P X ====；()36310C 2013C 1206P X ====；X ∴的分布列为：X0123P 1303101216（2）期望()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；又()213111901493010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴方差()()()2219811452525D XE X E X =-=⎡⎤⎣⎦.17．(1)0.028(2)它是机器乙生产的概率最大【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案.（2）根据贝叶斯公式求得正确答案.【详解】（1）取到的是不合格品的概率为：0.40.030.250.050.350.010.028⨯+⨯+⨯=.（2）取到的产品为不合格品，它是机器甲生产的概率为0.40.031230.028287⨯==，它是机器乙生产的概率为0.250.05125250.02828056⨯==，它是机器甲生产的概率为0.350.013570.02828056⨯==，所以它是机器乙生产的概率最大.18．(1)2715P =(2)143155n n P P -=-+(3)()1149N,1381519n n P n n -⎛⎫=-+∈≥ ⎪⎝⎭【分析】（1）分两种情况讨论：①第一次和第二次均出现红球；②第一次出现绿球第二次出现红球，根据互斥事件概率法则可求得2P ．（2）第n 1-次按下按钮后出现红球的概率为()1N,2n P n n -∈≥，则出现绿球的概率为11n P --，根据互斥事件概率法则可用1n P -表示n P ；（3）根据143155n n P P -=-+，将其变形为1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭构造等比数列，从而可求得n P ．【详解】（1）若按钮第一次、第二次按下后均出现红球，则其概率为111236⨯=，若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿球、红球，则其概率为1332510⨯=，故所求概率为213761015P =+=.（2）由题意可得第n 1-次按下按钮后出现红球的概率为()1N,2n P n n -∈≥，则出现绿球的概率为11n P --，若第n 1-次、第n 次按下按钮后均出现红球，则其概率为113n P -⨯，若第n 1-次、第n 次按下按钮后依次出现绿球、红球，则其概率为()1315n P --⨯，所以()1111343135155n n n n P P P P ---=+-⨯=-+（其中,N 2n n ∈≥）.（3）由（2）得1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭（其中,N 2n n ∈≥），又191911921938P -=-=，所以919n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭构成首项为138，公比为415-的等比数列，所以()1149N,1381519n n P n n -⎛⎫=-+∈≥ ⎪⎝⎭.19．(1)（i ）()3364P X ==；（ii ）1k =(2)该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分【分析】（1）（i ）易知X 服从二项分布，据此计算()3P X =；（ii ）令()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，结合二项分布的概率公式得到不等式组，解得k 的取值范围，再由k 为整数确定取值；（2）算出单选、双选和三选条件下的数学期望，比较大小即可.【详解】（1）（i ）因为14,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()3341333C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．（ii ）因为()4413C ,0,1,,444k k k P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．依题意()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即4131444151441313C C 44441313C C 4444k k k k k k k k k k k k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1544k ≤≤，又k 为整数，所以1k =，即1k =时()P X k =取最大值.（2）由题知，B,D 选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选．正确答案是两选项的可能情况为AB,AC,BC,AD,CD ，每种情况出现的概率均为1112510⨯=．正确答案是三选项的可能情况为ABC,ACD ，每种情况出现的概率为111224⨯=．若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：()()1112A C 33231045E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），()()1127B D 321310420E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：()()()()1127AB AD BC CD 6310420E E E E ====⨯+⨯=（分），()1121AC 62310410E =⨯+⨯⨯=（分）．若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：()()13ABC ACD 642E E ==⨯=（分）．经比较，该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分.【点睛】方法点睛：根据正确答案的所有可能结果，对答题情况进行分类讨论，计算每种答题情况的得分期望值，选择最优方案.。
2019-2020年高二上学期第三次月考数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二上学期第三次月考数学试卷（理科）含解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=02．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（）A．1 B． C． D．23．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C． D．5．下列命题中正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．46．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P 到点A的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π+B．4π+C．4π+4 D．2π+48．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A． B． C． D．9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C． D．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4 B．17，13﹣4 C．19，12﹣4 D．20，13﹣4二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=．15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，OA ⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD．（2）求三棱锥N﹣CDM的体积．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB 面积的最大值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．xx重庆市杨家坪中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【考点】待定系数法求直线方程．【分析】过点（m，n）且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B（x﹣m）﹣A （y﹣n）=0，代入可得答案．【解答】解：过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（x+1）﹣2（y﹣3）=0，即x﹣2y+7=0，故选：A．2．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（）A．1 B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求出焦点坐标及一条渐近线方程，在由点到直线的距离公式求得答案．【解答】解：由双曲线﹣=1，得a2=2，b2=3，c2=a2+b2=5，∴双曲线的右焦点F（，0），一条渐近线方程为y=x=x，即2y﹣x=0．由点到直线的距离公式得，焦点到其渐近线的距离d==．故选C．3．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件【考点】特称命题．【分析】A根据复合命题的真假性，即可判断命题是否正确；B根据特称命题的否定是全称命，写出它的全称命题即可；C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论；D说明充分性与必要性是否成立即可．【解答】解：对于A，当“p且q”为假时，p、q至少有一个是假命题，是正确的；对于B，命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，是正确的；对于C，a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上是减函数，命题正确；对于D，φ=时，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，充分性成立，y=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+，k∈Z，必要性不成立；∴是充分不必要条件，命题错误．故选：D．4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C． D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，所以=．所以=．故选B．5．下列命题中正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面的基本性质及推论．【分析】为了对各个选项进行甄别，不必每个选项分别构造一个图形，只须考查正方体中的线面即可．【解答】解：考察正方体中互相垂直的线和平面．对于①：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直；如图中平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故错；对于②：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；这是正确的，如图中，已知平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故正确；对于③：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；如图中：过C1的与A1B1与AD都平行的平面就不存在；故错；对于④：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的．故选B．6．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P 到点A的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】通过抛物线方程可知焦点F（﹣1，0），利用两点间距离公式可知|AF|=，通过抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴焦点F（﹣1，0），又∵A（0，1），∴|AF|==，由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，∴d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=，故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π+B．4π+C．4π+4 D．2π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，所以体积为+=2π+，故选：A．8．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，∵圆心到直线的距离是=5，∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P==故选A．9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与AP所成的角的余弦值．【解答】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），S（0，0，a），C（﹣a，0，0），P（0，，）．则=（﹣a，﹣a，0），=（﹣a，，），C=（a，a，0）．设直线BC与AP所成的角为θ，则cosθ===．∴直线BC与AP所成的角的余弦值为．故选：C．10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出A的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可．【解答】解：A（﹣1，0）关于直线l：y=x+3的对称点为A′（﹣3，2），连接A′B 交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|=2，所以椭圆C的离心率的最大值为：==．故选：A．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】棱柱的结构特征；函数的图象与图象变化．【分析】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f（x）的最大值，根据图形的相似，②中弧长为①中弧长的一半．对照选项，即可得出答案．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．①当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；②当x=时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x=．以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；对照选项，B正确．故选B．12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4 B．17，13﹣4 C．19，12﹣4 D．20，13﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，得|NE|=|NF|=1且，由此化简得=﹣1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为﹣3时，取得最大值20，由此即得=﹣1的最大值，当P的纵坐标为时，取得最小值，由此即得=﹣1的最小值．【解答】解：∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且，则=（+）•（+）=（+）•（）==﹣1，设P（x0，y0），则有即x02=16﹣y02又N（0，1），∴=，而y0∈[﹣2，2]，∴当y0=﹣3时，取得最大值20，则=﹣1=20﹣1=19，当y0=时，取得最小值，则=﹣1=﹣1=．∴最大值和最小值是：19，．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为50π．【考点】球内接多面体．【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．R2=50π．∴S球=4π×故答案为：50π．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=﹣7．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，由此能求出结果．【解答】解：如图，取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，设正四面体ABCD的棱长为2，则CO===，∴cos∠BCO==，∴sin∠BCO==．故答案为：．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=2﹣3．【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，根据双曲线的方程得：a=3，b=2，c=，∴|OF|=，∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF中，|FT|==2，∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，故答案为：2﹣3．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：如果p为真命题，则有，即1＜m＜2；若果q为真命题，则64m2﹣32（7m﹣6）≥0，解得m≤或m≥2．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，若p真q假，则＜m＜2，若p假q真，则m≤1或m≥2．所以实数m的取值范围为（∞，1]∪（，+∞）．18．如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=，OA ⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．（1）证明：直线MN ∥平面OCD ．（2）求三棱锥N ﹣CDM 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD 中点E ，连结ME ，NE ，推导出平面MNE ∥平面CDO ，由此能证明直线MN ∥平面OCD ．（2）三棱锥N ﹣CDM 的体积V N ﹣CDM =V M ﹣CDN ，由此能求出结果．【解答】证明：（1）取AD 中点E ，连结ME ，NE ，∵M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，∴ME ∥OD ，NE ∥CD ，∵ME ∩NE=E ，OD ∩CD=D ，ME ，NE ⊂平面MNE ，OD ，CD ⊂平面CDO ， ∴平面MNE ∥平面CDO ，∵MN ⊂平面MNE ，∴直线MN ∥平面OCD ．解：（2）∵OA ⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点，∴AM ⊥平面CDN ，且AM=1，∵底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=，∴=，∴三棱锥N ﹣CDM 的体积V N ﹣CDM =V M ﹣CDN ===．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB 面积的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）当|PF|=2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．【解答】解：（1）设P（x，y），则y+1=2，∴y=1，∴x=±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y=x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1=0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|=•|2+2﹣2+2|=8．平行于直线l：x﹣y+1=0的直线设为x﹣y+c=0，与抛物线C：x2=4y联立，可得x2﹣4x﹣4c=0，∴△=16+16c=0，∴c=﹣1，两条平行线间的距离为=，∴△PAB的面积的最大值为=4．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，从而切线方程为y=（2±）x．…②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）xx+y+1=0或x+y﹣3=0．…（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…解方程组得P点坐标为（﹣，）．…21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知得BE⊥EC．从而BE⊥面D'EC，由此能证明BE⊥CD'．（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，则∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．由此能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）∵AD=2，AB=1，E是AD的中点，∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∵AB=AE=DE=CD，∠BAE=∠CDE=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC．又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC，∴BE⊥面D'EC，又CD'⊂面D'EC，∴BE⊥CD'．…解：（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，连接D'M，D'F，则D'M⊥EC，∵平面D'EC⊥平面BEC，∴D'M⊥平面BEC，∴D'M⊥BC，∴BC⊥平面D′MF，∴D'F⊥BC，∴∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．在Rt△D'MF中，D'M=，，∴，∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立如图空间直角坐标系．则，，，．设平面BEC的法向量为，平面D'BC的法向量为，则，取x2=1，得=（1，1，1），cos＜＞==，∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）依题意可设椭圆G的方程，利用抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率，求得几何量，即可求椭圆G的方程；（II）直线方程与椭圆方程联立，利用直线与圆、椭圆相切，确定参数之间的关系，表示出|AB|，利用基本不等式，可求|AB|最大值．【解答】解：（I）依题意可设椭圆G的方程为，则因为抛物线的焦点坐标为，所以，又因为，所以，所以，故椭圆G的方程为．…（II）由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l：y=kx+m，即kx﹣y+m=0∵直线l和圆M相切，∴，即m2=R2（k2+1）①联立方程组消去y整理可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∵直线l和椭圆G相切，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，即m2=4k2+1②由①②可得设点B的坐标为（x0，y0），则有，，所以，所以等号仅当，即取得故当时，|AB|取得最大值，最大值为1．…xx2月7日。
南京市第二十九中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(解析版)
【解析】
【分析】对于选项 A：利用分步计数原理求解判断；对于选项 B：按 1，1，2 分组求解判断；
对于选项 C：根据每家企业至少分派 1 名医生，且医生甲必须到 A 企业，分 A 企业分 2 人和
1 人两类求解判断；对于选项 D：分 C 企业没有派医生去和派 1 名医生两类求解判断.
【详解】对于选项 A：所有不同分派方案共有 34 种，故错误；
【详解】2 至 8 这 7 个数中质数有 4 个，从 7 个数中取 2 个，共有 C72 21个结果，
取出
2
个数都为质数，有 C24
6
个结果，所以所求概率
P
6 21
2 7
．
故选：B
4. 已知 m 0 ，且152022 m 恰能被 14 整除，则 m 的取值可以是（ ）
A. 1
B. 12
C. 7
2023x1
C 1 1 2022 2023
2022x1
2022
2023x
2023
2022x
0
，
所以，1 x4 1 2x5 1 2023x 2022 1 2022x 2023 的展开式中含 x 的项为 6x，其系
数q 6．
依题意得 m n p C62 C36 C64 15 20 15 50 ，
3
2
2 3
6
2
2 3
3.
故选：C
2.
设
P(A|B)＝P(B|A)＝
1 2
，P(A)＝ 1 3
，则 P(B)等于（
）
A. 1
2
【答案】B 【解析】
1
B.
3
1
C.
4
1
D.
2023-2024学年重庆市高二下学期3月月考数学质量检测试题(含答案)
2023-2024学年重庆市高二下册3月月考数学质量检测试题一、单选题1．已知集合(){}{}21,60A x y ln x B x x x ==+=--≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．(]1,3-C ．(]3,2-D ．()1,3-【正确答案】B【分析】首先求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】(){}{}{}1101A x y ln x x x x x ==+=+>=>-，{}()(){}{}26032023B x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以A B ⋂{}(]131,3x x =-<≤=-，故选：B2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（）A ．0.97B ．0.86C ．0.65D ．0.55【正确答案】A【分析】在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．【详解】由题意，四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，根据在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是0.97．故选：A ．本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．3．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A ．8=24(8)4n n n n -+---B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+-D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-【正确答案】A【分析】由已知结合归纳推理即可求解【详解】解：从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n ，另一个分子必为8－n ，故8=24(8)4n n n n -+---满足；故选：A4．已知命题p ：220x x +->，命题q ：()(){|lg 23}x f x x =-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B分别化简命题p 和命题q ，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．【详解】命题p ：220x x +->等价于1x >或<2x -；命题q ：()(){}3{|lg 23}|230|2x f x x x x x x ⎧⎫=-=->=>⎨⎬⎩⎭则p 是q 的必要不充分条件故选：B5．函数22o )l g (1f x x x =-+的零点所在区间是（）A ．1184⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．112⎛⎫⎪⎝⎭D ．()12，【正确答案】C【分析】利用零点存在性定理即可求解．【详解】2111151log 08484f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭211151log 04242f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭21111log 1022f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭()12110f =-=>()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，221log ()f x x x ∴=-+的零点所在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C6．某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表，由此得到y 与x 的线性回归方程为6y x a =+$$，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为x24568y3040605070A ．-10B ．0C ．10D ．20【正确答案】C【分析】由已知求得,x y 的值，得到ˆa，求得线性回归方程，令5x =求得y 的值，由此可求解结论.【详解】由题意，根据表格中的数据，可得2456830406050705,5055x y ++++++++====，所以ˆ6506520ay x =-⨯=-⨯=，所以ˆ620y x =+，取5x =，得ˆ652050y=⨯+=，所以随机误差的效应（残差）为605010-=，故选C.本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．设曲线f (x )＝ax 2在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a ＝（）A ．2B ．－116C ．12D ．－1【正确答案】B【分析】由已知结合导数的几何意义即可求解．【详解】f (x )＝ax 2，则()2f x ax'=因为在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，所以()1244f a =-'=所以116a =-故选：B8．函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x xx x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.10．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【正确答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(C ．(,-∞D ．(0,【正确答案】A先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可.【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120xg x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；()f x 的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ≤故选：A.利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立；（2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.12．若正实数a ，b 满足22ln ln 222+≥+-b a b a ，则（）A ．124+=+a bB ．122-=-a b C ．2a b >D ．240b a -<【正确答案】B【分析】利用基本不等式可得)222212b a +-≥（当且仅当222b a =时取等号），利用熟知的结论1ln x x -≥（当且仅当1x =时取等号）进行放缩可得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知条件，得到22ln ln 222b a b a +=+-，考虑到各不等式取等号的条件，解得,a b 的值，然后逐一检验即可做出正确判断.【详解】先证明熟知的结论：1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.设()1ln f x x x =--,则()11f x x'=-,在(0,1)上，()0f x '<,()f x 单调递减;在(1,+∞)上，()0f x '>,()f x 单调递增.故()()11100min f x f ==--=,∴()1ln f x x x =-≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.由)22222212lnln ln 2b a a b +-≥=≥+,由已知22ln ln 222b a b a +≤+-，∴22ln ln 222b a b a +=+-，且2221b a ⎧=⎪=，解得12a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,经检验只有B 正确，故选：B.本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号进行研究，得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和1ln x x -≥取等号的条件，才能列出方程组求得,a b 的值.二、填空题13．函数()f x =__________．【正确答案】(0,1)(1,]e ⋃【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求x 的范围，即得定义域.【详解】由函数解析式，知：01ln 0220x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得0x e <≤且1x ≠.故答案为.(0,1)(1,]e ⋃14．i 是复数单位，若()1243i z i +=+，z 的虚部为__________.【正确答案】1【分析】由复数除法求得z 后可得z ，从而得其虚部．【详解】由已知243(43)(12)4836212(12)(12)5i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，2z i =+，虚部为1．故1．15．已知函数()f x 定义域为R ，满足 ()(2)f x f x =-，且对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-，则不等式(21)(3)0f x f x ---≥解集为______．【正确答案】4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出函数()f x 关于直线1x =对称，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．在(],1-∞上单调递减，再解不等式|211||31|x x --≥--即得解.【详解】因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-成立，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．由对称性可知()f x 在(],1-∞上单调递减．因为()()2130f x f x ---≥，即()()213f x f x -≥-，所以|211||31|x x --≥--，即|22||2|x x -≥-，解得0x ≤或43x ≥．故4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭方法点睛：对于函数问题的求解，通常要先研究函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性等，再利用这些性质求解函数的问题.16．已知函数()()()202ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.【正确答案】(),16ln 224-∞-【分析】确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围．【详解】函数()()22ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <），则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>，所以()()()()()22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦，令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a-''=-=，当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<，所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-.因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-.故答案为.(),16ln 224-∞-本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知命题:,p x R ∀∈240++≤mx x m .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题[]:2,8q x ∃∈，使得2log 1m x ≥，当p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题时，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）14m ≤-；（2）14m ≤-.（1）由题得0m <且21160∆=-≤m ，解不等式即得m 的取值范围；（2）先转化为[]2,8x ∃∈，21log m x ≥，再求21log x的最小值得m 的范围，因为p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题，所以p 真q 假，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组即得解.【详解】（1）∵2,40x R mx x m ∀∈++≤，0m ∴<且21160∆=-≤m ，解得14m ≤-p ∴为真命题时，14m ≤-.（2）[2,8]∃∈x ，21log m x ≥，又[2,8]x ∈时，211[,1]log 3x ∈，13m ∴≥∵p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题∴当p真q假，有1413mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得14m≤-【点晴】方法点晴：复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.18．2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占2 5．（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？赞成种植不赞成种植合计45岁及以下45岁以上合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．附表：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.87910.828参考公式为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【正确答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”；（2）35．【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表，再由公式计算2K ，结合临界值表，即可得出结论；（2）先由题中条件，确定被抽取的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ；用列举法写出总的基本事件，以及满足“恰有1人不赞成种植”的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】（1）由题意可得2×2列联表：赞成种植不赞成种植合计45岁及以下20015035045岁以上100150250合计30030060022600(200150150100)300300350250K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12017.1437.8797=≈>经查表，得()27.8790.005P K >≈，所以有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”．（2）在45岁以上的人中，赞成种植和不赞成种植的人数比为2:3，所以被抽取到的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ，从被选取到的5人中再从中抽取2人，共有如下抽取方法：(,)a b ，(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ，共有10种不同的结果，两人中恰好有1人为“不赞成种植的”包含了(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，共有6种结果．所以所求概率63105P ==．方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.19．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若a<0，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.【正确答案】（1）20190x y --=；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得解；（2）对函数求导，结合二次函数的性质，按照0a -≤<、a <-()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解.【详解】（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++，2()324f x x x '=++Q ，(2)20f '∴=即切线的斜率20k =，(2)21f =Q ，∴切线方程为2120(2)y x -=-即20190x y --=；（2）导函数2()324f x x ax '=++的对称轴为03a x =->，①当24480a ∆=-≤即0a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当24480a ∆=->即a <-(0)40f '=>，令2()3240f x x ax '=++=，则13a x -=，23a x -=，因为120x x <<，所以当0x <<或x >时，()0f x '>；x <<时，()0f x '<；所以()f x在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；()f x 在33a a a a ⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.本题考查了导数几何意义的应用及利用导数研究函数的单调性，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.（2）由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.21．已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【正确答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e x f x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20x f x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥，①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102x h x x x x =---≥，则()e 1x h x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102x x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max 7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦,综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.[方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x x f x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e 74244e -+++⇔xx x x ，令()223e 7424()(0)e -+++=≥x x x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x x x x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=x x x x ()2(2)2e 9e ⎡⎤--+-⎣⎦x x x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎣⎦x 时，()0,()h x h x <'单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e 1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2x g x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22x x x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x x g x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21x g x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意.综上，27e 4a -.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.【正确答案】(1)2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2))6π,)3π,2)3π,5)6π.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3πθ=或23πθ=，此时P 的极坐标为3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π.此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23．设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）求函数()f x 的最小值.【正确答案】（1）{7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭；（2）92-．【分析】(1)将绝对值函数化为分段函数，用不同的区间对应的解析式大于2，分别解出不等式求其并集即可.(2)由分段函数求其值域即可得到最小值.【详解】1521()33425(4)x x f x x x x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩⑴①由5212x x -->⎧⎪⎨<-⎪⎩解得7<-x ；②332142x x ->⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩解得543x <≤；③524x x +>⎧⎨>⎩解得>4x ；综上可知不等式的解集为{|7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭.⑵由(1)知，当12x <-时，()195522f x x =-->-=-；当142x -≤≤时，()33f x x =-，()992f x -≤≤；当>4x 时，()59f x x =+>；综上x ∈R 时，()92f x ≥-，所以min 9()2f x =-故函数()f x 的最小值为92-.。
重庆市第一中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题
12023年重庆一中高2024届高二下学期3月月考数学试题卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若255C C n =，则n =（ ）A. 2B. 2或3C. 3D. 42. 已知一组样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数x 为2，则51(2)ii x =−=∑（ ）A. 0B. 2C. 2.5D. 13. 若()()()()112110121121111R x a a x a x a x x −=+−+−++−∈,，则01211a a a a ++++=（ ）A. 1B. 1131−C. 113D. 1131+4. 某校为了了解同学们参加社会实践活动的意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取200人进行调查，已知该校高一年级学生有1300人，高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（ ） A. 50人B. 60人C. 65人D. 75人5. 已知正项数列{}n a 中，22111,1n n a a a +=−=，则数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前120项和为（ ）A. 4950B. 10C. 9D.149506. 某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有( ) A. 48种B. 60种C. 72种D. 96种7. 将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，事件A =“志愿者甲派往①社区”； 事件B= “志愿者乙派往①社区”； 事件C= “志愿者乙派往②社区”，则（ ） A. 事件A 、B 同时发生的概率为19 B. 事件A 发生的条件下B 发生的概率为16C. 事件A 与B 相互独立D. 事件A 与C 为互斥事件8. 已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点.延长PO 、PF 交椭圆E 于Q 、R 两点，QF FR ⊥，4QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.33B.22 C.53D.104的2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）A. 图中x 的值为0.020B. 在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80内的学生有60人C. 估计全校学生成绩的中位数约为87.7D. 估计全校学生成绩的众数为95 10. 对于函数()22ln xf x x=，下列说法正确的有（ ） A. ()f x 的单调递减区间为()1,+∞ B. ()f x 在e x =1eC. ()f x 只有一个零点D. ()3πf f>11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为12 B. 第二次抽到3号球的概率为1148C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种12. 冬春季节，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”.下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（ ） A. 总体平均数为23 B. 总体平均数为4，总体方差为32C. 总体平均数为3，中位数为4D. 总体平均数为2，第65百分位数为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在nx x ⎛ ⎝的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数为_____.314. 透明袋子中装有黑球1个、白球3个，这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，求前后两次摸出的球都是白球的概率为___________. 15. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220=+++=+++.设222236a b c d =+++，其中a b c d ,,,均为自然数，则满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是___________.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3n n S k a =⋅−（k 是常数，1k >）10122a =，且23420222048a a a a ++++=，则23420221111a a a a ++++=___________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；18. (本小题满分12分)在数列{}n a 中，*1111,20,N 3n n n n a a a a a n ++=+−=∈． （1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）满足不等式()*122311N 8k k a a a a a a k ++++<∈成立的k 的最大值．的419. (本小题满分12分)随机抽取100名男学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间[)160165,，[)165170,，[)170175,，[)175,180，[]180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示：（1）求身高在170cm 及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高75%分位数.（3）据统计，身高在[)170175,，[)175,180，[]180,185时，体重超过70kg 的概率分别为16、13、12.现在从身高在[170，185]的学生中任选一个学生，估计其体重超过70kg 的概率.20. (本小题满分12分) 在二项式4)2n x x的展开式中，前三项的系数依次为M ，P ，N ，且满足2P M N =+.（1）若直线l ：0ax by c的系数a ，b ，c （a b c >>）为展开式中所有无理项系数，求不同直线l 的条数；（2）求展开式中系数最大的项.21. (本小题满分12分) 已知C ：22221x y a b+=7，离心率为12，过椭圆左焦点F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：2x a =−，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E .（1）求椭圆C 标准方程：（2）①若线段EN 必过定点P ，求定点P 的坐标； ②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值.22. (本小题满分12分) 已知函数()xf x xe =（其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的最小值；（2）求证：()1ln 2xf x e x >+−.的5。
湖北省天门市2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题含答案
湖北省天门2023-2024学年度高二下学期三月月考数学试题（答案在最后）考试内容：选修一第一章——选修三第六章6.1考试时间：2024年3月31日出题人：审题人：一、单选题（共40分）1.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）A.2B.4C. D.【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由题意得到2ππr l =求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，即侧面展开图的半径为l ，侧面展开图的弧长为πl .又圆锥的底面周长为2πr ，所以2ππr l =，即圆锥的母线长2l r =.所以圆锥的侧面积为2π2π16πrl r ==，解得r =故选：C.2.若直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则m 的值为（）A.2B.3- C.2或3- D.2-或3-【答案】C 【解析】【分析】依题意可得23(1)0m m ⨯-+=，求出m 的值，再检验即可.【详解】直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则23(1)0m m ⨯-+=，解得3m =-或2m =，当3m =-时，此时直线1l ：2240x y -+=与直线2l ：3320x y -+-=平行，当2m =时，此时直线1l ：2340x y ++=与直线2l ：2320x y +-=平行，故3m =-或 2.m =故选：C3.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.12B.10C.5D.32log 5【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.【详解】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，564718a a a a +=，所以564756218a a a a a a +==，即569a a =，则11029569a a a a a a ==== 记3132310log log log S a a a =++⋅⋅⋅+，则3103931log log log S a a a =+⋅+⋅⋅+，两式相加得()()()3110329310132log log log 10log 920S a a a a a a =++⋅⋅⋅+=⨯=，所以10S =，即3132310log log log 10a a a ++⋅⋅⋅+=.故选：B.4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．【详解】由2040x x ->⎧⎨->⎩得：24x <<，即()f x 的定义域为()2,4；()()()()23112424x f x x x x x -'=-=---- ，∴当()2,3x ∈时，()0f x ¢>；当()3,4x ∈时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为()2,3．故选：A ．5.已知函数()2xf x =，则函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为（）A.10x y --=B.10x y -+=C.ln 210x y ⋅--=D.ln 210x y ⋅-+=【答案】D【分析】求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数()2xf x =，求导得()2ln 2x fx '=，则(0)ln 2f '=，而(0)1f =，所以所求切线方程为1ln 2(0)y x -=⋅-，即ln 210x y ⋅-+=.故选：D6.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC 的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出点C 的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.【详解】设点(,)C x y ，由()()1,0,2,3A B -及OC mOA nOB =+，得(,)(2,3)x y m n n =-+，即23x m ny n=-+⎧⎨=⎩，而40m n --=，消去,m n 得：3120x y -+=，设椭圆2217y x +=上的点(cos ),R P θθθ∈，则点P 到直线3120x y -+=的距离d =，其中锐角ϕ由tanϕ=确定，当sin()1θϕ+=时，min d =PC d ≥ ，所以PC 的故选：A【点睛】思路点睛：求出椭圆上的点与其相离的直线上点的距离最小值，可转化为求椭圆上的点到直线距离有最小值解决.7.5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（）A.120B.324C.720D.1280【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】第一天可以排5个人中的任意一个，有5种排法；第二天可以排另外4个人中任意一个，有4种排法；第三天同上，有4种排法；第四天同上，有4种排法；第五天同上，有4种排法．根据分步乘法计数原理得所有的排法总数为544441280⨯⨯⨯⨯=．故选:D ．8.函数32()(1)f x x a x x b =+--+为R 上的奇函数，过点1,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，可作切线条数为（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数确定3()f x x x =-，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算01x =-，计算切线得到答案.【详解】()3232()(1)(1)f x x a x x b f x x a x x b -=-+-+=-=--++--，故1a =，0b =，3()f x x x =-，2()31x f x '=-，设切点为()00,Mxy ，则2000012()311y f x x x '-=+=-，且30000()f x x x y -==，整理得到()()20001410x x x +-+=，解得01x =-，(1)2f '-=，故切线方程为22y x =+，故选：A二、多选题（共18分）9.公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（）A.0d < B.70a > C.{}n S 中5S 最大D.49a a <【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得60a >，670a a +<，再逐项分析判断作答.【详解】由()111116111102a a S a +==>，得60a >，又()()112126712602a a S a a +==+<，得，670a a +<，所以60a >，70a <，数列{}n a 是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，等差数列{}n a ，公差0d <，A 选项正确；70a <，B 选项错误；前6项和最大，C 选项错误；由40a >，90a <，有4949670a a a a a a -=+=+<，则49a a <，D 选项正确.故选：AD.10.已知函数()()322R x x a a f x x =-++∈的图像为曲线C ，下列说法正确的有（）A.R a ∀∈，()f x 都有两个极值点B.R a ∀∈，()f x 都有零点C.R a ∀∈，曲线C 都有对称中心D.R a ∃∈，使得曲线C 有对称轴【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.【详解】A ：()()()()3222341311x x x a f x x x x x f x '=-++⇒=-+=--，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当113x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，当13x <时，()()0,f x f x '>单调递增，因此13x =是函数的极大值点，1x =是函数的极小值点，因此本选项正确；B ：当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，而函数()f x 是连续不断的曲线，所以一定存在0R x ∈，使得()0f x =，因此本选项正确；C ：假设曲线C 的对称中心为(),b c ，则有()()()()()()32322222,f b x f b x c b x b x b x a b x b x b x a c ++-=⇒+-+++++---+-+=化简，得()232322b x c a b b b -=---+，因为x ∈R ，所以有322320320227b b c a b b b c a ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨---+=⎩⎪-=⎪⎩，因此给定a 一个实数，一定存在唯一的一个实数c 与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D ：由上可知当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A.直线1B C 与直线1AD 所成的角为90B.直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为33C.1B D ⊥平面1ACD D.点1B 到平面1ACD 的距离为32【答案】ABC 【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，求出1B C 和1AD uuu r的坐标，由110AD B C ⋅= 可判断A ；证明10AC B D ⋅= ，110AD B D ⋅=，再由线面垂直的判定定理可判断C ；计算11cos ,B D B C 的值可得线面角的正弦值，再求出夹角的余弦值可判断B ；利用向量求出点A 到平面11D B C 的距离可判断D.【详解】如图以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，对于A ：()11,0,1B C =-- ，()11,0,1AD =-，因为()()()111100110B C AD ⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ，所以11AD B C ⊥ ，即11B C AD ⊥，直线1B C 与直线1AD 所成的角为90 ，故选项A 正确；对于C ：因为()1,1,0AC =- ，()11,0,1AD =- ，()11,1,1B D =---，所以11100AC B D ⋅=-+= ，111010AD B D ⋅=+-= ，所以1AC B D ⊥ ，11AD B D ⊥uuur uuu r ，因为1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面A 1，所以1B D ⊥平面1ACD ，故选项C 正确；对于B ：由选项C 知：1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，因为()11,0,1B C =-- ，所以111111cos ,B D B C B D B C B D B C⋅=== 即直线1B C 与平面1ACD 所成，所以直线1B C 与平面1ACD33=，故选项B 正确；对于D ：因为()11,0,1B C =-- ，平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，所以点1B 到平面1ACD的距离为1113B D B C d B D⋅=== ，故选项D 不正确.故选：ABC.三、填空题（共15分）12.若抛物线22y px =-过点()1,2-，则该抛物线的焦点为________．【答案】()1,0-【解析】【分析】根据题意，代入求得2p =，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】解：将()1,2-代入抛物线方程22y px =-，可得2p =，即24y x =-，所以抛物线24y x =-的焦点为()1,0-．故答案为：()1,0-.13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则实数λ的值是_____．【答案】-2【解析】【分析】由已知推得1q ≠，继而结合等比数列的前n 项和的特点及已知即可求解.【详解】等比数列{}n a 中，由122n n S λ+=+可得122n n S λ=+，则11122a S λ==+，若公比1q =，则2211224,02S a λλλ=+==+∴=，则13323S a =≠，故1q ≠，则等比数列的前n 项和()1111111n nn a q a S qa q a a--=⋅--=-，（1q ≠），故令112λ=-，即2λ=-，故答案为：2-14.若e e e e ()cos 22x x x xf x x x ---+=+，则不等式(sin )(cos )0f x f x +>的解集是________．【答案】π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】根据奇偶性的定义和导数分析可知()f x 在[]1,1-内单调递增，且为奇函数，进而可得sin cos x x >-，利用辅助角公式结合正弦函数运算求解.【详解】取()f x 的定义域为[]1,1-，关于原点对称，且()()()e e e e e e e e ()cos cos sin 2222x x x x x x x xf x x x x x f x -----+-+-=-+-=--=-，所以()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，因为()e e e e e e e e ()cos sin sin cos e e cos 2222x x x x x x x xx x f x x x x x x ------+-+'=-++=+，若[]1,1x ∈-，则e 0,e cos 00,x x x ->>>，可得()()e e cos 0x xf x x -'=+>，可知()f x 在[]1,1-内单调递增，对于不等式(sin )(cos )0f x f x +>，则(sin )(cos )(cos )f x f x f x >-=-，且[][]sin 1,1,cos 1,1x x ∈--∈-，可得sin cos x x >-，整理得πsin cos 04x x x ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，令π2π2ππ,4k x k k <+<+∈Z ，解得π3π2π2π,44k x k k -<<+∈Z ，所以不等式(sin )(cos )0f x f x +>的解集是π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故答案为：π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .四、解答题（共77分）15.已知函数()ln 1f x x ax =++.（1）当1a =-时，求()f x 的最大值.（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）0（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数求解函数最值即可.（2）含参讨论函数单调性即可.【小问1详解】当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，由0x >，所以()111x f x x x-=-='，当01x <<时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,∞+上单调递减；故()()max 1ln1110f x f ==-+=；【小问2详解】定义域为(0,)+∞，()1f x a x'=+，当0a ≥时，()10f x a x+'=>，()f x 在(0,)+∞上递增；当a<0时，令()10f x a x +'=>，解得10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()10f x a x +'=<，解得1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭.于是()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.16.如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12π,23BAD AA AB ∠===，,,E F G 分别是111,,BB CC DD 的中点．（1）求证：1A E GC ∥；（2）求平面1A EF 与平面ABCD 所成夹角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解，（2）根据法向量的夹角即可求解.【小问1详解】取BC 中点H ，连接AH因为底面ABCD 为菱形，2π3BAD ∠=，所以AH AD ⊥以A 为原点，1,,AH AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,2,3,1,1,0,2,1A E G -，()()3,1,0,3,1,1C F ))13,1,1,3,1,1A E GC =--=-- 1A E GC∴ ∥1A E GC∴∥【小问2详解】设平面1A EF 的法向量为(),,n x y z =又()0,2,0EF = 所以100n A E n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即3020y z y --==⎪⎩取1x =，则0,3y z ==(3n = ()10,0,2AA = 为平面ABCD 的法向量，设平面1A EF 与平面ABCD 的夹角为θ，则11233cos 222AA n AA nθ⋅===⨯ π6θ∴=∴平面1A EF 与平面ABCD 的夹角为π617.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1122n n S n +=-+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12·1n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a n =⨯（2）()2124n n T n +=+⨯-【解析】【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；（2）先求数列121n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减求和即可求解．【小问1详解】当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，由()1122n n S n +=-+，得()1222n n S n -=-+，则()()1112222n n n n n n a S S n n n +-=-=---=⨯，因为11212a ==⨯，所以2n n a n =⨯；【小问2详解】由（1）可知，()112·221n n n a n n +++=+⨯+，则()234132425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()3452232425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()234123222222n n n T n ++-=⨯+++⋯+-+⨯()()12812122212n n n -+-=+-+⨯-()22122822n n n ++=+--+⨯()2412n n +=-+⨯，所以()2124n n T n +=+⨯-．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>过点(2,1)P，且离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB 的面积的最大值．【答案】（1）22182x y +=（2）2【解析】【分析】（1）利用222c e a =，可得22234a b a -=，再将点P 坐标代入方程，解方程组求得,a b 从而可得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1,2y x m =+，代入椭圆方程中整理得222240x mx m ++-=，借助根的判别式可得||2m <，结合根与系数的关系可得AB ==直线的距离公式可求出点P 到直线的距离d ，再利用三角形面积公式1||2PAB S d AB =⋅ 和基本不等式进行求解，即可解决问题.【小问1详解】因为22222234c a b e a a -===，所以224a b =，①因为椭圆C 过点(2,1)P ，所以22411a b +=，②由①②解得228,2a b ==，所以椭圆的方程为22182x y +=．【小问2详解】设直线l 的方程为()()11221,,,,2y x m A x y B x y =+，联立2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-=，所以212122,24x x m x x m +=-=-，又直线l 与椭圆相交，所以2248160m m =-+> ，解得||2m <，则AB ==P 到直线l的距离d ==，所以221142222PAB m m S d AB +-=⋅==≤= ，当且仅当22m =，即m =时，PAB 的面积取得最大值为2．19.已知函数()2e e x x f x a x =-+，其中0a >.（1）当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点的个数；（3）若对任意的0a >，关于x 的方程()f x m =仅有一个实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）20x y -=（2）见解析（3）3ln 2,2⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线方程；（2）求导，讨论判别式与0的关系得单调性即可求解极值点个数；（3）构造新函数()2ee x x g x a x m =-+-，判单调性，得到()()120,ln 2,ln 2,x x ∞∈∈+，结合()10g x <或()20g x >即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()22e e ,2e e 1x x x x f x x f x '=-+=-+，()02f '=，()00f =，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为()020y x -=-，即20x y -=.【小问2详解】()22e e 1x x f x a '=-+，令()0,e x f x t ='=，得2210at t -+=，则18a ∆=-.当18a ≥时，0∆≤，此时()0f x '≥，故函数()f x 在(),∞∞-+上单调递增，没有极值点；当108a <<时，0∆>，令()0f x '=，则1e 4x a =，则1211ln ln 44x x a a-+==，则当()1,x x ∞∈-时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，则()f x 在()()12,,,x x ∞∞-+单调递增，在()12,x x 单调递减，此时函数()f x 有两个极值点.综上所述，当18a ≥时，函数()f x 没有极值点；当108a <<时，函数()f x 有两个极值点.【小问3详解】依题意，2e e x x a x m -+=，记()2e e x x g x a x m =-+-，()()g x f x '='.（i ）由（2）知当18a ≥时，()0g x '≥，则函数()g x 在(),∞∞-+上单调递增；可知当x →-∞时，()g x ∞→-，当x →+∞时，()g x ∞→+，故当18a ≥时，函数()g x 恰有一个零点，方程()f x m =仅有一个实数根，此时R m ∈.（ii ）当108a <<时，()g x 在()1,x ∞-上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x ∞+单调递增，()()112222122e e 12e e 10x x x x g x a g x a ''=-+==-+=，则121222e 1e 12e 2ex x x x a --==，所以()()1112111e 1ee 22x x x g x g x a x m x m ==-+-=-+--极大值，()()2222222e 1e e 22x x x g x g x a x m x m ==-+-=-+--极小值，因为当(),x g x ∞∞→-→-，当(),x g x ∞∞→+→+，故只需()10g x <或()20g x >，令()e 122x h x x =-+-，则()e 12xh x '=-+，故当(),ln 2x ∞∈-时，()0h x '>，当()ln 2,x ∞∈+时，()0h x '<，则()h x 在(),ln 2∞-单调递增，在()ln 2,∞+单调递减；又121ln ln ln4x x a -===又108a <<，故()0,1，则()()120,ln 2,ln 2,x x ∞∈∈+，所以()()12331,ln 2,,ln 222h x h x ∞⎛⎫⎛⎫∈--+∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3ln 22m ≥-+.综上所述，实数m 的取值范围为3ln 2,2∞⎡⎫-++⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查函数极值点及零点个数问题，解决问题关键是利用第二问单调性解决第三问零点问题，并利用构造函数法求函数值域。
2022-2023学年四川省泸县高二年级下册学期3月月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省泸县高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（ ）A ．①抽签法，②分层随机抽样B ．①随机数法，②分层随机抽样C ．①随机数法，②抽签法D ．①抽签法，②随机数法【答案】A【分析】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.【详解】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.故选：A.2．若，则（ ）()3ln f x x x=+0(12)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.()14f '=【详解】由题意，所以，21()3f x x x '=+(1)134f '=+=所以.()00(12)(1)(12)(1)lim 2lim 2182x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆故选：D.3．甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）A ．在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同B ．在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同C ．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D ．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差【答案】C【分析】由茎叶图的数据，分别计算甲、乙加工零角个数的极差，中位数，平均数，方差，进而得解.【详解】甲在5天中每天加工零件的个数为：18,19,23,27,28；乙在5天中每天加工零件的个数为：17,19,21,23,25对于A ，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，故A 错误；281810-=25178-=对于B ，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B 错误；2321对于C ，甲加工零件数的平均数为，乙加工零件数的平均数为1819232728235++++=，故C 正确；1719212325215++++=对于D ，甲加工零件数的方差为，乙加工零件数的方差为222225404516.45++++=，故D 错误；222224202485++++=故选：C4．若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为2()ln f x x x =+()(),a f a 2650x y +-=a （ ）A ．1B ．2或C ．2D ．1或1412【答案】D【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为3，利用导数的几何意义有，即可求()(),a f a ()3f a '=的值.a 【详解】由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为3，2650x y +-=13-()(),a f a 又∵，即，1()2f x x x '=+()123f a a a '=+=∴或，1a=12故选：D ．5．函数的图象大致为（ ）sin x x x xy e e --=+A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.【详解】因为()sin x xx xy f x e e --==+所以()()sin sin x x x xx x x xf x e e e e ------+-==++得，()()f x f x =--所以为奇函数，sin x x x xy e e --=+排除C ；在，设，，单调递增，因此，[0,)+∞()sin g x x x =-()1cos 0g x x ='-≥()g x ()(0)0g x g ≥=故在上恒成立，sin 0x x x xy e e --=≥+[0,)+∞排除A 、D ，故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．正方形的边长为2，以为起点作射线交边于点，则的概率是（ ）ABCD A BC E BEAB ．C ．D．23131【答案】B【解析】求出以为起点作射线交边于点时所有射线形成的角的大小，再考虑对A BC E BE <应的射线所形成的角的大小，从而可求概率.【详解】如图，在边上取一点，使得，则.BC M BM =6BAM π∠=以为起点作射线交边于点时所有射线形成的角为，A BC E 4CAB π∠=以为起点作射线交边于点且时所有的射线形成的角为，A BC EBE <BAM ∠故时对应的概率为.BE <2634ππ=故选：B.7．已知为实数，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的a 1a >22113x y a +=-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】取曲线不是椭圆，充分性不成立；反之成立.4a =【详解】当时，取 曲线是圆而不是椭圆，故充分性不成立；1a >4a =22133x y +=当方程表示的曲线为椭圆时，成立，所以“”是“方程表示的曲线22113x y a +=-1a >1a >22113x y a +=-为椭圆”的必要不充分条件.故选：B【点睛】方法点晴：曲线表示椭圆的充要条件是：，且.221x y m n +=0m >0n >m n ≠8．某市2016年至2020年新能源汽车年销量y （单位：百台）与年份代号x 的数据如下表，若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为，则表中的值为（ ）ˆ 6.59yx =+m 年份20162017201820192020年份代号x 01234年销量y1015m 3035A ．22B ．20C ．30D ．32.5【答案】B【分析】先求出、，再利用回归直线过进行求解.x y (,)x y 【详解】由题意，得，0123425x ++++==，101530359055m m y +++++==因为y 关于x 的回归直线方程为，ˆ 6.59yx =+所以，解得.90=6.52+95m +⨯20m =故选：B.9．圆关于直线对称，则的最小值是（ ）224610x y x y ++-+=()800,0ax by a b -+=>>32a b +A ．B ．C ．D 3154【答案】B【分析】根据圆的标准方程得出圆的圆心，由圆的对称性可得直线过圆心，得到关于、的关系a b 式，运用基本不等式可求得的最小值.32a b +【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，224610x y x y ++-+=()()222312x y ++-=()2,3-而直线经过圆心，所以，得，()800,0ax by a b -+=>>2380a b --+=238a b +=因为，，0a >0b >()3213219431231238828b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，23a b =因此，的最小值为.32a b +3故选：B.【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“”，构造基本不等式，1属于中档题.10．正方体，棱长为2，M 是CD 的中点，则三棱锥的体积为（ ）1111ABCD A B C D -11B AMD -A B ．2C ．D ．4【答案】B【分析】取中点，连接,通过计算证明平面，再根据求解1AD 1,MN B N MN ⊥11AB D 1111B AD M M AB D V V --=即可.【详解】解：如图所示：取中点，连接,1AD 1,MN B N由题意可得,1111AB AD B D ===1MA MD ===13MB ==所以,,11B N AD ⊥1MN AD ⊥所以可得MN ==1B N =所以,222119MN B N MB +==所以,,1MN B N ⊥又因为,11B N AD N ⋂=所以,平面,MN ⊥11AB D所以=.1111B AD MM AB D V V --=111112332AB D S MN =⨯⨯= 故选:B.11．已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则()221:443C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭:430l x y -=P C Q 的面积最小值为（ ）PCQ △A ．3BC ．D【答案】B【分析】结合图形，利用勾股定理可知取得最小值时也最小，从而求得CPPQmin PQ =而可得的面积最小值.PCQ △【详解】由圆，得圆心，半径，()221:443C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭14,3C ⎛⎫⎪⎝⎭2r =所以圆心到直线的距离为，14,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭:430l x y -=3d因为PQ =所以当直线与垂直时，取得最小值，此时也最小，lCP CPdPQ故min PQ ==所以11222CPQ S PQ CQ PQ PQ =⨯⨯=⨯⨯=≥即PCQ △故选：B.12．若实数，满足，则（ ）x y 24ln 2ln 44x y x y +≥+-A ．B ．C ．D．xy=x y +=1x y +=31x y =【分析】对不等式变形得到，换元后得到，2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+- ⎪⎝⎭()ln 1ln 10a a b b -++-+≥构造，求导研究其单调性，极值最值情况，得到，从而只有()ln 1g x x x =-+()()max 10g x g ==时，即时，满足要求，从而解出，依次判断四个选项.1a b ==()()0g a g b ==12x y ==【详解】因为，24ln 2ln 44x y x y +≥+-所以，即，212ln ln 222x y x y +≥+-()221ln 222x y x y ≥+-所以，2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+- ⎪⎝⎭令，21,22x a y b ==则，即，()ln 2ab a b ≥+-ln ln 2a b a b +≥+-所以，()ln 1ln 10a ab b -++-+≥令，则，()ln 1g x x x =-+()111xg x x x -'=-=当时，，单调递增，()0,1x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减，()1,x ∈+∞()0g x '<()g x 所以在处取得极大值，也是最大值，()ln 1g x x x =-+1x =，()()max 1ln1110g x g ==-+=要想使得成立，只有时，即时，满足要求，()()0g a g b +=1a b ==()()0g a g b ==所以，211,212x y ==由定义域可知：，0,0x y >>解得：，12x y ==A 选项正确；xy =，BC 错误.12x y +=D 错误；312x y ==【点睛】对不等式或方程变形后，利用同构来构造函数解决问题，常见的同构型：（1）；()()e ln ln e ln x x f x x f x x x x=⇒==+（2）；()()ln ln e e e ln ln ln x x x xx f x f x x x x -==⇒==（3）；()()ln ln e e e x x xf x x x x f x =+=⇒=+（4），()()e ln ln e e xx x f x x x f xx =-=⇒=-本题难点在于变形为，换元后得到24ln 2ln 44x y x y +≥+-2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+- ⎪⎝⎭，从而构造解决问题.()ln 1ln 10a ab b -++-+≥()ln 1g x x x =-+二、填空题13．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．【答案】56【分析】由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案.【详解】该社区共有户.14028080500++=利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选户28010056500⨯=故答案为：56【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.14．已知实数满足，则的最大值为___________．,x y 10301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩2z y x =-【答案】0【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中10301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ABC ，(1,2),(1,0),(2,1)A B C目标函数，即表示斜率为2，纵截距为z 的平行直线系，2z y x =-2y x z =+画出直线，显然直线经过点A ，其纵截距是经过阴影且斜率为2，纵截距为z 的平0:2l y x =0lABC 行直线系中最大的，所以的最大值为0.2z y x =-故答案为：015．若对任意的，均有成立，则称函数为和在上的[,]x a b ∈()()()≤≤g x h x f x ()h x ()g x ()f x [,]a b “中间函数”．已知函数，且是和在区间()(1)1,()3,()(1)ln =--=-=+h x m x g x f x x x ()h x ()g x ()f x 上的“中间函数”，则实数m 的取值范围是__________．[1,2]【答案】[]0,2【分析】根据“中间函数”的定义列出不等式，将问题转化成不等式恒成立问题，利用参变分离以及构造函数的方法来解决函数最值，从而求出的取值范围.m 【详解】依题意得：已知条件等价为：在区间上恒成立3(1)1(1)ln m x x x -≤--≤+[1,2]对于在区间上恒成立，变形为：3(1)1m x -≤--[1,2]21m x ≥-+令，易知单调递增， ()21F x x =-+()F x ()()max 20F x F ∴==()max 0m F x ∴≥=对于在区间上恒成立，变形为：(1)1(1)ln m x x x --≤+[1,2]()1ln 11x x m x++≤+令()()1ln 1ln 11ln 1x x x G x x x x x ++=+=+++则()2ln x xG x x -'=[1,2]x ∈ ()1ln 10x x x '∴-=-≥为增函数，ln x x ∴-ln 1ln10x x ∴-≥->在单调递增，()G x ∴[1,2]x ∈()()min 12G x G ∴==()min 2m G x ∴≤=综上所述： 即02m ≤≤[]0,2m ∈故答案为：.[]0,2【点睛】本题考查了用参变分离的方法解决恒成立的问题，考查了用导数求函数单调性、极值、最值以及恒成立的等价形式，对学生分析问题和解决问题的能力有一定的要求，属于难题.16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>1F 2F 1F x 于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是E ,A B A x ||3AB =2ABF △916π2AF _____________________ .【答案】3430x y +-=【分析】利用，的内切圆的面积为求出a 、b 、c ，得到的坐标，即可求出||3AB =2ABF △916π2,A F 直线的方程.2AF 【详解】椭圆中,令,得，2222:1x y E a b +=x c =2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以.2223b AB y a ===又△ABF 2的内切圆面积为,即所以内切圆半径.916π2916r ππ=34r =由椭圆的定义可得△ABF 2的周长为4a ,而△ABF 2的面积为，即.113234224S c a=⋅⋅=⋅⋅2a c =又，解得：222223,b a b c a ==+2224,3,1a b c ===则，所以直线AF 2的方程是，即为3x +4y -3=0.()231,1,02A F ⎛⎫- ⎪⎝⎭()3014y x -=--故答案为：3x +4y -3=0三、解答题17．已知的极坐标方程为，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直C 4cos ρθ=角坐标系，(1)求的直角坐标方程，C (2)过作直线l 交圆于P ，Q 两点，且，求直线l 的斜率．()1,1M C 2PM QM=【答案】(1)()2224x y -+=【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解；（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（t 为参数），代入圆方程中化α()()1cos :1sin x tl y t αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩简，利用根与系数的关系，结合已知和参数的几何意义即可求解.【详解】（1）解：因为的极坐标方程为：，且，C 4cos ρθ=cos ,sin x y ρθρθ==所以，，24cos ρρθ=224x y x +=故的直角坐标方程为.C ()2224x y -+=（2）解：设直线的倾斜角为，α则直线的参数方程为（t 为参数），()()1cos :1sin x t l y t αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩与联立，得．()2224x y -+=()22sin cos 20t t αα+--=点P 对应的参数为，点Q 对应的参数为，1t 2t 则，()12122sin cos 2t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩因为，所以，122t t =122t t =-联立可得，解得：23sin 8sin cos 3cos 0αααα-+=tan α=18．已知是函数的极值点，则：1x =()()()3221133x a x f a x a x =++-+-(1)求实数的值．a (2)求函数在区间上的最值．()f x []0,3【答案】(1)；3a =(2)在上的最小值为，最大值为.()f x []0,3143-18【分析】（1）由求得的值；()10f '=a （2）结合函数的单调性来求得函数在区间上的最值.()f x ()f x []0,3【详解】（1），()()()22213f x x a x a a '=++-+-由题意知，()()()2112130f a a a '=++-+-=或，3a =2a =-时，，3a =()()()28991f x x x x x '=+-=+-当时，，函数在上单调递增，9x <-()0f x ¢>()f x (),9-∞-当时，，函数在上单调递减，91x -<<()0f x '<()f x ()9,1-当时，，函数在上单调递增，1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以为函数的极值点，满足要求；1x =时，，2a =-()()22211f x x x x '=-+=-因为，当且仅当时，，()0f x '≥1x =()0f x '=所以函数在上单调递增，()f x (),-∞+∞不是函数的极值点，不符合题意.1x =()f x 则.3a =（2）由（1）知，且在单调递减，在单调递增，()321493x f x x x =+-()f x []0,1[]1,3又，，，()00f =()1413f =-()318f =则，.()min 143f x =-()max 18f x =19．如图，已知多面体ABCDEF 中，平面ABCD ，平面ABCD ，且B ，D ，E ，F 四点共ED ⊥//EF 面，ABCD 是边长为2的菱形，，.60BAD ∠=︒1DE EF ==(1)求证：平面ACF ；EF ⊥(2)求平面AEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）连BD 交AC 于点O ，连接OF ，证明四边形EFOD 为矩形，再利用线面垂直的判定推理作答.（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角作答.【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，因B ，D ，E ，F 四点共面，平面ABCD ，平面平面，则，//EF BDEF ⋂ABCD BD =//EF BD 而底面ABCD 是边长为2的菱形，，则，因此四边形EFOD 为平行四边形，60BAD ∠=︒1OD EF ==又平面ABCD ，且平面ABCD ，即，则为矩形，即，ED ⊥OD ⊂ED OD ⊥EFOD EF OF ⊥又，，则，而，平面ACF ，//EF BD AC BD ⊥EF AC ⊥OF AC O ⋂=,OF AC ⊂所以平面ACF .EF ⊥（2）由（1）知，，而平面ABCD ，则平面ABCD ，即有OA ，OB ，OF 两两//FO ED ED ⊥FO ⊥垂直，以O 为原点，以向量，，的方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，OA OB OFO xyz -如图，则，((0,1,0),(0,1,1),0),(0,0,),1A C F B E -，((0,1,0),(0,1,1),AF EF BF CB ===-=设为平面AEF 的法向量，则，令，得，111(,,)n x y z =11100n AF z n EF y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩11x=n = 设为平面BCF 的法向量，则，令，得，222(,,)m x y z =222200m BF y z m CB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 21x =-(m =- 于是得，cos ,||n m n m n m ⋅〈〉===∣所以平面AEF 与平面BCF20．某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完.（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，）的函数解析式；n N ∈（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：日需求量n 282930313233频数346674假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差；（3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由.【答案】（1），；（2）平均数为（元），方差为；（3）一定要停止，330,306,30n n y n -<⎧=⎨-≥⎩n N ∈59 3.8理由见解析【分析】（1）当天需求量时，当天的利润，当天需求量时，当天的利润30n <330y n =-30n ≥，由此能求出当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式.60y =（2）由题意，利用平均数和方差的公式，即可求出这30天的日利润的平均数和方差.（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.推导出连续10天的日需求量都不超过10个，由此说明一定要停止这种面包的生产.【详解】（1）由题意可知，当天需求量时，当天的利润，30n <()853*******y n n n =+--⨯=-当天需求量时，当天的利润.30n ≥83063060y =⨯-⨯=故当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为:，.330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩n ∈N （2）由题意可得：日需求量n 282930313233日利润545760606060频数346674所以这30天的日利润的平均数为（元），54357460235930⨯+⨯+⨯=方差为.()()()22254593575946059233.830-⨯+-⨯+-⨯=（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下：由，()()()()()()22222212101210266621010x x xx x x x xx s -+-++--+-++-=== 可得，()()()222121066620x x x -+-++-= 所以（，，），所以，()2620kx -≤110k ≤≤N k ∈k x N ∈10k x ≤由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产.【点睛】本题主要考查了函数解析式、平均数、方差的求法，考查函数性质、平均数、方差公式等基础知识综合应用，考查运算求解能力.21．已知，分别是双曲线C ：(，)的左、右焦点，，P 是C 上1F 2F 22221x y a b -=0a >0b >126F F =一点，，且112PF F F ⊥12PF PF +=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，过点A 作直线的垂线，垂足为D ，过点O2F 2x =作(O 为坐标原点)，垂足为M .则在x 轴上是否存在定点N ，使得为定值？若存在，OM BD ⊥MN求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22163x y -=(2)存在，.5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据双曲线的定义取出a 、b 、c 即可；(2)设BD 交x 轴于E 点，∵OM ⊥BD ，∴若在x 轴上存在定点N ，使得为定值，则E 为定点，NMN为OE 中点，，即直线BD 过x 轴上的定点E .12MN OE =【详解】（1）由题意得，212PF PF a-=∵，，112PF F F ⊥1226F F c ==∴，222136PF PF -=又，∴，解得，12PF PF +=236a ⋅=a =∴，，26a =2293b a =-=∴双曲线C 的标准方程为.22163x y -=（2）由(1)得，设，，则，()23,0F ()11,A x y ()22,B x y ()12,D y易知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为，3x ty =+t ≠联立直线l 与双曲线C 的方程，消去x 得，()222630ty ty -++=∵，∴，.()22410t∆=+>12262ty y t +=--12232y y t =-∵直线BD 的斜率，21212221y y y y k x ty --==-+∴直线BD 的方程为，()211221y y y y x ty --=-+设BD 交x 轴于E 点，如图，∵OM ⊥BD ，∴若在x 轴上存在定点N ，使得为定值，则E 为定点，MNN 为OE 中点，，即直线BD 过x 轴上的定点E .12MN OE =在直线BD 的方程中，令，得()211221y y y y x ty --=-+0y =()12112121121222ty y y ty y y x y y y y y ++=-=--+-，1122121233152222263222222t ty y t t t t y y t t ++--=-=-=+=⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭∴直线BD 过定点.5,02E ⎛⎫⎪⎝⎭∴，则.5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭1524MN OE ==综上，在x 轴上存在定点，使得为定值.5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN5422．已知函数，，其中．()11ln f x a x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭()()12e 1x g x x -=--a R ∈(1)当时，判断的单调性；10a -<<()f x (2)当时，是否存在，，且，使得？证明你的结论．18a <<1x 2x 12x x ≠()()()1,2i i f x g x i ==【答案】(1)在单调递增，在单调递减()f x 10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(2)不存在，证明见解析【分析】（1）由，求导得到，再根据()()11ln R f x a x a x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭()2211a a ax a f x x x x +++'=+=，由，求解；10a -<<()0f x ¢>()0f x '<（2）设，求导，分，()()()h x f x g x =-()()()121133e e x x ax a x h x f x x x --++-''=+-=+3x ≥，判断函数的单调性求解.03x <<【详解】（1）解：依题意，的定义域为，()f x ()0,∞+由，得，()()11ln R f x a x a x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭()2211a a ax a f x x x x +++'=+=当时，令，得，10a -<<()0f x '=1a x a +=-当时，，所以在单调递增；10,a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，所以在单调递减；1,a x a +⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a +⎛⎫-+∞⎪⎝⎭综上，当时，在单调递增，在单调递减．10a -<<()f x 10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）法一：设，则，()()()h x f x g x =-()()()121133e e x x ax a x h x f x x x --++-''=+-=+①当时，恒成立，所以在单调递增，3x ≥()0h x '>()h x [)3,+∞又因为，所以，18a <<()221111113ln 31ln 31033e 33e h a ⎛⎫=---+>-+--> ⎪⎝⎭所以，在不存在零点；()0h x >()h x [)3,+∞②当时，设，则，03x <<()1ex x xϕ-=-()1e 1x x ϕ-'=-当时，，所以在单调递减；01x <<()0x ϕ'<()x ϕ()0,1当时，，所以在单调递增；13x <<()0x ϕ'>()x ϕ()1,3所以，即，因为，所以，()()10x ϕϕ≥=1e x x -≥0x >111e x x -≤又因为且，所以，18a <<03x <<133ex x x x ---≥所以，()()2223113x a x a ax a x h x x x x +-++++-'≥+=当时，函数18a <<()()231x x a x a δ=+-++，()()223411050a a a a ∆=--+=-+<所以，所以，所以在单调递增；()0x δ>()0h x '>()h x ()0,3综上可知，当时，均有在单调递增，18a <<()h x ()0,+∞因此不存在，，且，使得．1x 2x 12x x ≠()()()1,2i i f x g x i ==法二：设，则．()()()h x f x g x =-()()()121133e e x x ax a x h x f x x x --++-=+'-=+'则，又，()21221131113e e x x ax a x x h x a x x x x --++--⎛⎫'=+=+++ ⎪⎝⎭18a <<所以，()221211113123e e x x x x h x a x x x x x ----⎛⎫'=+++>++ ⎪⎝⎭当时，恒成立，所以在单调递增，3x ≥()0h x '>()h x [)3,+∞当时，设，则，03x <<()1ex x xϕ-'=-()1e 1x x ϕ-'=-当时，，所以在单调递减；01x <<()0x ϕ'<()x ϕ()0,1当时，，所以在单调递增；13x <<()0x ϕ'>()x ϕ()1,3所以，即，因为，所以．()()10x ϕϕ≥=1e x x -≥0x >111ex x -≤所以()222121221113123123220e e x x x x x x x h x a x x x x x x x x x ------+⎛⎫=+++>++≥++=> ⎪⎝⎭'所以，所以在单调递增；()0h x '>()h x ()0,3综上可知，当时，均有在单调递增，18a <<()h x ()0,+∞因此不存在，，且，使得．1x 2x 12x x ≠()()()1,2i i f x g x i ==。
2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【正确答案】B利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（）A ．910B ．1518C ．95D ．185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求．【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯===⨯，故选D.等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有12326C A =种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有222A =种，共计有628+=种，故选：A.4．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴，若NF MN =，则MF =（）A ．3B ．1C ．3D ．4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，2p =，抛物线焦点F 为()1,0，准线l 为=1x -，设准线l 与x 轴的交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由抛物线的定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则在Rt NEF 中，因为MN EF ∥，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以224MF NF EF p ====．故选：D5．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥．若3AB =，1BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．2B ．43C ．1D ．23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS≤，进而得到23A BCDB ACD V V --=≤，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又BD CD ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，因为AD ⊂平面ACD ，所以BD AD ⊥，在Rt △ABD 中，3AB =，1BD =，则AD ==，因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，在Rt ACD △中，不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>，则由222AC CD AD +=得228a b +=，所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=，当且仅当a b =且228a b +=，即2a b ==时，等号成立，所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..6．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （）A ．2B ．4C ．2-D ．-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数，可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数，从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A ．5B ．8C ．14D ．21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A ．()()f x g x <B ．()()f xg x >C ．()()()()f x g a g x f a +<+D ．()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB ，不妨设()2f x x =-，()1g x =，则()2f x '=-，()0g x '=，满足题意，若()1,x a b =-∈，则()()21f x g x =>=，故A 错误，若()0,x a b =∈，则()()01f x g x =<=，故B 错误；对于CD ，因为()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，令()()()h x f x g x =-，则()()()0h x f x g x ''-'=<，所以()h x 在R 上单调递减，因为(),x a b ∈，即a x b <<，所以()()()h b h x h a <<，由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-，则()()()()f x g a g x f a +<+，故C 正确；由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-，则()()()()f x g b g x f b +>+，故D 错误.故选：C.二、多选题9．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A ．共有66A 种不同的排法B ．男生不在两端共有2424A A 种排法C ．男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D ．三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A ；利用有位置条件的排列判断B ；利用相邻、不相邻问题的排列判断C ，D 作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A 种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有2434A A 种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有2525A A 种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC 10．()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ，若16069a =-，则下列结论正确的有（）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=- C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数，从而求解a ，即可判断选项A ，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B 、C ，利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ，112023C 20236069a a a =⋅==-，可得3a =-，故A 错误；对于B ，因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ，令1x =，则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ，故B 正确；对于C ，令0x =，则01a =，令13x =，则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，由展开式知，20n a >，210n a -<，故第1012项的系数10110a <，不会是展开式中系数最大的项，故D 错误.故选：BC11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ，与y 轴相交于点()0,G m ，则（）A ．四边形12MF NF 的周长为8B ．1114MF NF +的最小值为9C ．直线BM ，BN 的斜率之积为34-D ．当12m =-时，12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解；对B 选项，由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知：12NF MF =，11121414MF NF MF MF ∴+=+，借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，由点()11,M x y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值；对D 选项，设出()()11,0t E t -<<，由条件推出()121MF t =+，()221MF t =-，又在椭圆C 中，由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+，从而得到M ，E ，G 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．【详解】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==，A 正确；对B 选项，1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，又(B，所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-．因为点()11,M x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2121334BM BNy k k x -⋅==-，C 正确；对D 选项，设()()11,0t E t -<<，则12F E F E 1211MF t t MF +==-，124MF MF +=所以()121MF t =+，()221MF t =-，在椭圆C ：22143x y +=中，由其第二定义1MF e d =（d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+，12MF ∴=+()11212x t =+，所以14x t =，故()14,M t y ，(),0E t ，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，因为三点共线，所以1123y t t =，解得132y =，则29164143t +=，解得14t =±，当14t =时，1211541314F E F E +==-，当14t =-时，1211341514F E F E -==+，故D 错误．故选：AC方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有36C 20=种方法，故答案为.2014．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底1，则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1R OA OA ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO 中，22R 4h =+①，在11A OO 中，()22R 11h =++②，联立①②得1h =，2R 5=，所以刍童外接球的表面积为20π，同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有22R 1h =+，()22R 14h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故20π．15．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ，依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---，即()()242020210n n n n --=+-=，解得21n =或20n -（舍去）．16．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n 项和为____________．【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，根据()212222n n n n n n ++=⨯-+，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，()212222n n n n n n ++=⨯-+ ，∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17．现有一些小球和盒子，完成下面的问题．(1)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【正确答案】(1)256；【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【详解】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法；（2）①将4个小球分为3组，有24C 6=种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有3343C A 24=种情况，则624144⨯=种不同的放法．18．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．【正确答案】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC BD ⊥，进而得到BD =与4AC EC =，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设1CE = ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角，所以ABD ACD ∠=∠，因为AB AD =，所以在等腰ABD △中，ABD ADE ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因为AC 是圆柱的底面直径，所以90ADC ∠=︒，则90CAD ACD ∠+∠=︒，所以90CAD ADE ∠+∠=︒，则90AED ∠=︒，即AC BD ⊥，所以在等腰ABD △，BE DE =，AC 平分BAD ∠，则1302CAD BAD ∠=∠=︒，所以60ADE ∠=︒，则30∠=︒CDE ，故在Rt CED 中，2CD EC =，DE ，则2BD DE ==，在Rt ACD △中，24AC CD EC ==，因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅，所以12V V =．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CE = ，则44AC EC ==，DE =44PC CE ==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ，所以()CD = ，()0,0,4CP = ，()4,0,4PA =- ，因为4PA PF =，所以()11,0,14PF PA ==- ，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3x =-，则1y z ==，故(n =- ，设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ，则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩，令3p =-，则0q r ==，故(m =- ，设二面角F CD P --的平面角为θ，易知π02θ<<，所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ，因此二面角F CD P --19．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且111,(2)n n a a T n -==≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设m 为整数，且对任意*n ∈N ，1212nn m a a a ≥+++ ，求m 的最小值．【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】（1）由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ，结合范围即可得解.【详解】（1）因为111,(2)n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n n a T T a a +-+===，故()222222n n n a a n --==⋅≥，且11a =不满足上式，故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）设1212n nn S a a a =+++ ，则11S =，当2n ≥时，102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ，故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ，于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-．整理可得27(2)2n n S n -=-+，所以7n S <，又54968S =>，所以符合题设条件的m 的最小值为7．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．(1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅，设出直线:DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．【详解】（1）由题意可得2232910a b-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -=．（2）设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，当x =2321169y -=，解得3=±y ，则||3t <， 双曲线的渐近线方程为34y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE方程为(34y x =±-，令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-．由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=，所以212229x x t +=-，21221614429t x x t +=-．()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=．所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =．关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21．设()()21031x Q x x ax b -=-++，其中()Q x 是关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若28ax b +=，求103x -除以81的余数．【正确答案】（1）10a =，12b =-；（2）28.【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；（2）由题可知x 的值，然后利用二项式定理可求.【详解】（1）由已知等式，得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦，∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++，∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦，∴1012x ax b -=+，∴10a =，12b =-．（2）∵28ax b +=，即101228x -=，∴4x =，∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++，∴所求的余数为28．22．已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；(2)见解析.【分析】（1）求导，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，即可解决；（2）由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---，求导，由()()1e 6k g k k k =---，再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---，证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦，所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦，当1k =时，()e x f x x '=，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，（2）由题知12k ≤≤，[]0,x k ∀∈，()2f x x <，所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦，因为12k ≤≤，所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时，2ln x k=，当()0g x '≥时，2lnx k ≥，即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()0g x '≤时，2ln x k ≤，即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为(0)70g =-<，()()1e 6k g k k k =---，令()()()1e 6k h k g k k k ==---，所以()e 1k h k k '=-，因为12k ≤≤，所以()e 10k h k k '=->，所以()h k 在[]1,2上单调递增，所以2max ()(2)e 80h k h ==-<，所以()0g k <恒成立，因为(0)0,()0g g k <<，所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，即得证.。
2022-2023学年上海市闵行区闵行中学、文绮中学高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市闵行区闵行中学、文绮中学高二下学期3月月考数学试题一、填空题1．小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有______种．【答案】14【分析】根据分类加法计数原理可得答案.【详解】解：根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法．65314++=故答案为：14.2．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种．【答案】53【分析】每名旅客都有种选择，根据分步乘法计数原理可得出五名旅客投宿的方法种数.3【详解】由于每名旅客都有种选择，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有种.353故答案为：.53【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.3．计算：__________.01220232023202320232023C C C C ++++= 【答案】20232【分析】由二项式定理性质可知所有二项式系数和为，即可得出结果.()1nx +2n【详解】由题意可知，()1202C 1C C C nn nn n n n x x x x+=⋅⋅+++⋅+ 当时，令，即可得.2023n =1x =012202320232023202320232023C C C C 2++++= 故答案为：202324．在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有________种（填写数值）.【答案】80【分析】先由题意，分别确定从5名男生和4名女生中选出3人，和选出的3人全部都是女生对应的选法种数，进而可求出结果.【详解】从5名男生和4名女生中选出3人，共有种选法；3998784321C ⨯⨯==⨯⨯选出的3人全部都是女生，共有种选法；344C =因此，至少有一名男生的选法有种.84480-=故答案为80【点睛】本题主要考查组合问题，熟记组合的概念，以及组合数的计算公式即可，属于常考题型.5．若，则______.()()34222141214112x x x a a x a x a x +-⋅-=++++ 12314a a a a ++++= 【答案】0【分析】赋值法求二项展开式部分项的系数之和.【详解】令，()()()342221401214112f x x x x a a x a x a x =+-⋅-=++++ 则，，()001f a ==()12310411a a a f a a +++=+=+ 所以.()()12314100a a a a f f ++++=-= 故答案为：0.6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个．【答案】216【分析】分个位是0或者5两种情况利用排列知识讨论得解.【详解】当个位是0时，前面四位有种排法，此时共有120个五位数满足题意；45120A =当个位是5时，首位不能是0，所以首位有4种排法，中间三位有种排法，所以此时共有4424A =个五位数满足题意.424=96⨯所以满足题意的五位数共有个.120+96=216故答案为216【点睛】本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．在的展开式中，项的系数为_____________.（用数字作答）()9a b c ++432a b c 【答案】1260【分析】由，然后利用二项式定理得出含项为，然后利用()()99a b c a b c ++=++⎡⎤⎣⎦4a ()5549C a b c +二项式展开式通项求出中项的系数，与相乘即可得出结果.()5b c +32b c 59C 【详解】，展开式中含的项为，()()99a b c a b c ++=++⎡⎤⎣⎦ 4a ()5549C a b c +中含项为，()5b c +32b c 2325C b c 因此，的展开式中项的系数为.()9a b c ++432a b c 52951260C C =故答案为.1260【点睛】本题考查二项展开式的应用，在处理含三项的问题时，可将其转化为两项的和来处理，考查运算求解能力，属于中等题.8．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_____种不同的方法（用数字作答）【答案】1260【详解】同色球不加以区分，共有(种)排法．【解析】排列与组合.9．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【答案】96【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种44A 【解析】排列、组合及简单计数问题10．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.【答案】37【分析】按照所选得6人中所含会划左右桨的人数进行分类，即可得到答案.【详解】第一类：参加比赛的6人中没有会划左右桨的，共有种，3333C C 1=第二类：参加比赛的6人中有1人会划左右桨的，共有种，1322332C C C 12=第三类：参加比赛的6人中有2人会划左右桨的，共有种，132233332C C 2C C 24+=则共有种.1122437++=故答案为：3711．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________.【答案】186【详解】试题分析：设取红球个，白球个，则x y 5(04){27(06)x y x x y y +=≤≤+≥≤≤，取法为.234{,{,{321x x x y y y ===∴===233241464646186C C C C C C ++=【解析】古典概型.12．定义域为集合上的函数满足：{1,2,3,,12}⋅⋅⋅()f x ①；②（）；③、、成等比数列；这样的不同(1)1f =|(1)()|1f x f x +-=1,2,,11x =⋅⋅⋅(1)f (6)f (12)f 函数的个数为________()f x 【答案】155【分析】分析出f （x ）的所有可能的取值，得到使f （x ）中f （1）、f （6）、f （12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f （x ）的个数即可．【详解】解：经分析，f （x ）的取值的最大值为x ，最小值为2﹣x ，并且成以2为公差的等差数列，故f （6）的取值为6，4，2，0，﹣2，﹣4．f （12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，所以能使f （x ）中的f （1）、f （6）、f （12）成等比数列时，f （1）、f （6）、f （12）的取值只有两种情况：①f （1）＝1、f （6）＝2、f （12）＝4；②f （1）＝1、f （6）＝﹣2、f （12）＝4．|f （x +1）﹣f （x ）|＝1（x ＝1，2，…，11），f （x +1）＝f （x ）+1，或者f （x +1）＝f （x ）﹣1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．（1）当f （1）＝1、f （6）＝2、f （12）＝4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f （1）变化到f （6），第二步：从f （6）变化的f （12）．从f （1）变化到f （6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为10种．35C =从f （6）变化到f （12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为15种．46C =根据分步乘法原理，共有10×15＝150种方法．（2）当f （1）＝1、f （6）＝﹣2、f （12）＝4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f （1）变化到f （6），第二步：从f （6）变化的f （12）．从f （1）变化到f （6）时有5次变化，函数值从1变化到﹣2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为5种．15C =从f （6）变化到f （12）时有6次变化，函数值从﹣2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为1种．66C =根据分步乘法原理，共有5×1＝5种方法．综上，满足条件的f （x ）共有：150+5＝155种．故填：155．【点睛】解决本题的难点在于发现 f （x ）的取值规律，并找到使f （1）、f （6）、f （12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．二、单选题13．的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项.10(1)x -A ．6B ．5C ．4和6D ．5和7【答案】A【分析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.【详解】因为二项式展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，10(1)x -易知当r ＝5时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.10rC 故选：A14．将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是,,A B C （ ）A ．54B ．36C ．24D ．18【答案】B【分析】分类讨论分别有两名新教师的情况，进而计算出4名新教师安排到三所学校,,A B C ,,A B C 去任教每所学校至少一人的所有情况，【详解】将4名新教师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：，,,A B C 1,1,2学校有两名新老师：；A 2142C C 12=学校有两名新老师：；B 2142C C 12=学校有两名新老师：C 2142C C 12=所以共有种情况，2142363C C =故选：B.15．已知，则被10除所得的余数为（ ）122332020202020201C 2C 2C 2C 2a =+++++ a A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据题意得到，再利用二项式定理展开即可得到答案.()10201039101a ===-【详解】，()201223320202010202020201C 2C 2C 2C 21239a =+++++=+== 又因为，()()()()10290101928910101010101C 10C 101C 101C 1011a =-=+-+-++-+ 又因为都是10的倍数，()()()290101928910101010C 10,C 101,C 101,,C 101--- 所以被除所得的余数为.a 101故选：B16．已知r ，s ，t 为整数，集合A ＝{a |a ＝2r +2s +2t ，0≤r ＜s ＜t }中的数从小到大排列，组成数列{an }，如a 1＝7，a 2＝11，a 121＝（ ）A ．515B ．896C ．1027D ．1792【答案】C【解析】（1）由于为整数且，下面对进行分类讨论:最小取2时，符合条件 r s t 、、0,r s t ≤<<t t 同理可得,,……，时符合条件的的个数，最后利用加法原理计算即127,11,a a ==3t =4t =10t =a 得．【详解】为整数且最小取,此时符合条件的数有,当时,可 r s t 、、0,r s t t ≤<<∴2a 221C =3t =,s r 在0,1,2中取,符合条件有的数有所以a 233C =,同理0120130231232227,22211,22213a a a =++==++==++= 时,符合条件有的数有,……,时,符合条件有的数有4t =a 246C =t n =a 2nC ,且,是的最小值,即时,.222234123++++n n C C C C C += (3)10=120C 121a 111n +=10t =01101212221027a =++=故选:.C 【点睛】本题考查组合及组合数公式,有理数指数幂的运算性质,数列的概念及简单表示法,难度较难.三、解答题17．解方程（1）；421010x C C +=（2）.4321126n n P P +=【答案】（1）或；（2）2x =4x =4n =【分析】（1）根据得到或，计算得到答案；421010x C C +=24x +=26x +=（2）根据排列公式计算得到答案.4321126n n P P +=【详解】（1）则或，解得或 421010x C C +=24x +=26x +=2x =4x =（2），即4321126n n P P +=(21)(2)(21)(22)126(1)(2)n n n n n n n +--=--化简得到：，解得或（舍去）28631240n n -+=4n =318n =【点睛】本题考查了解关于排列的方程，漏解是容易发生的错误，意在考查学生的计算能力.18．晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：（1）3个舞蹈节目排在一起；（2）3个舞蹈节目彼此分开；（3）3个舞蹈节目先后顺序一定；（4）前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．【答案】（1）4320；（2）14400；（3）6720；（4）37440.【分析】(1)要把个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另3外个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列.5(2)个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把个唱歌节目排列，形成个位置,选三个356把舞蹈节目排列.(3)使用倍分法分析:先求出个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计8算可得答案.(4)先不考虑限制条件，个节目全排列有种方法前 个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是888P 唱歌有用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果.4454P P 【详解】(1)，33664320P P =(2)，535614400P P =(3)，33886720P P =(4).84485437440P P P -=【点睛】本题主要考查的是排列组合公式的应用，以及捆绑法、插空法、倍分法的应用，是基础题.19．（1）已知的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大255，求的值；nn （2）求展开式所有的有理项；8（3）求展开式中系数最大的项.8【答案】（1）；（2）；（3）84112,256x x -731792x-【分析】（1）先求各项系数和，再求二项式系数和计算求解即可；（2）先写出展开式的通项公式，按照有理项求解即可；（3）根据通项公式求出系数，计算系数最大可得，再应用通项公式求解即得.6r =【详解】（1）令可得，展开式中各项系数之和为，而展开式中的二项式系数之和为，1x =(1)n-2n，2(1)255,8n n n ∴--=∴=（2）；883322188C (2)(2)C r r rr r rrr r T x xx----+=-=- 当为整数时，为有理项，则或832r r--1r T +2r =8r =所以展开式所有的有理项为：；4112,256x x -（3）设第项最大，且为偶数1r +r 则，解得：，22882288(2)C (2)C (2)C (2)C r r r r r r r r ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩6r =所以展开式中系数最大的项为：.8667663238(2)C 1792xx----=20．设函数，其中.()223ln 1f x a x ax x =+-+0a >(1)当时，求函数在处的切线方程；1a =()y f x =()1,3(2)讨论的单调性；()y f x =(3)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围.()y f x =x a【答案】(1)3y =(2)函数在上单调递减，在上单调递增()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(3)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，得切线方程；（2）求出函数导数，解关于导函数的不等式即可得出单调区间；（3）根据函数有最小值，只需满足最小值大于0即可得解.【详解】（1）当时，，故，1a =()()233ln 1,21f x x x x f x x x =+-+=+-'()10f '=此时函数在处的切线方程为：.()y f x =()1,33y =（2）由题意，的定义域为，()f x ()0,∞+，()()()2221233232ax ax a x ax f x a x a x x x -++-='=+-=则当时，单调递增；当时，单调递减.1x a >()()0,f x f x '>10x a <<()()0,f x f x '<故函数在上单调递减，在上单调递增.()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由（2）知函数的最小值为， ()f x 1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭又，且的图象与轴没有公共点，()2110f a a =++>()y f x =x 只需的最小值恒大于0，即恒成立，()f x 10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭故，得，221113ln 10a a a a a ⎛⎫⋅-+> ⎪⎝⎭+1e >a 所以的取值范围为.a 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭21．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，()*n n ∈N ()12,,,nx x x n 12nxx x +++ 已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为n ()12,,,n a x x x ={}1,0,1,1,2,i x i n∈-= n a，这个向量的范数之和为.nA nA nB(1)求和的值；2A 2B (2)求的值；2023A (3)当为偶数时，证明：.n ()131n n B n -=⋅-【答案】(1)224,4A B ==(2)2023312+(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）类比（1），结合排列组合的知识，二项式定理，求解即可；2023A （3）类比（2）的考虑方法，可得，0221C 2C 2C 2n n n n n n n A --=⋅+⋅++⋅ ，由二项式定理可得，根据组合数的运()()113311C 23C 2C2n n n n nnnB n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ 312n nA -=算性质化简得解.nB 【详解】（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--它们的范数依次为，1,1,1,1；224,4A B ∴==（2）当为奇数时，在向量的个坐标中，n ()12,,n a x x x =n要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，可按照含0个数为进行讨论：∴0,2,4,,1n - 的个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，an 共有个，每个的范数为；0C 2n n ⋅a n 的个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，an 共有个，每个的范数为；22C 2n n -⋅a 2n -的个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，an n 1-共有个，每个的范数为1；1C 2n n -⋅a ，0221C 2C 2C 2n n n n n n n A --∴=⋅+⋅++⋅ ，0221(21)C 2C 2C 2C n n n n n n n n n --+=⋅+⋅++⋅+，022(21)22C C C (1)n n n n n n n n --=⋅-⋅++- 两式相加除以2得：022131C 2C 2C 22n n n n n n n n A --+=⋅+⋅++⋅= .20232023312A +∴=（3）当为偶数时，在向量的个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一n ()123,,,,n a x x x x =n 定是奇数，所以可按照含0个数为：进行讨论：的个坐标中含1个0，其余坐标为11,3,,1n ⋯-a n 或-1，共有个，每个的范数为；11C 2n n -⋅a n 1-的个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为；a n 33C 2n n -⋅a 3n -的个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，a n n 1-共有个，每个的范数为1；所以，1C 2n n -⋅a 11331C 2C 2C 2n n n n n n n A ---=⋅+⋅++⋅ .()()113311232C 2n n nn n n n B n C n C ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ 因为，①01122(21)C 2C 2C 2C n n n n nn n n n --+=⋅+⋅+⋅++ ，②01122(21)C 2C 2C 2(1)C n n n n n nn n n n ---=⋅-⋅+⋅-+- 得，，2-①②113331C 2C 22n n n n n ---⋅+⋅+= 所以.312n n A -=思路一：因为，()()()()()11!!C C !!!1!kk n n n n n k n k n n k n k k n k --⇒-=-⋅=⋅=---所以.()()113311C 23C 2C 2n n nn n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ ()11331111C 2C 2C 2n n nn n n n ------=⋅+⋅++⋅ ()123411112C 2C 2C n n nn n n n ------=⋅+⋅++ .()11312312n n n n --⎛⎫-=⋅=⋅- ⎪⎝⎭思路二：得，.2+①②02231C 2C 22n n n n n -+⋅+⋅+= 又因为，()()()()111!!C C !!1!!k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---所以()()()()111!!C C !!1!!k kn n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---()()()1133111331C 2C 2C 2C 23C 21C 2n n n n n nn n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅-⋅+⋅⋅++-⋅⋅()()10123211113131C 2C 2C 23122n n n n n n n n n n nA n n n --------⎛⎫-+=-⋅+⋅++⋅=⋅-=⋅- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组合数，二项式式定理的的灵活运用，化简变形要求较高，属于难题.。
上海市徐汇区2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题含解析
若 CH 面 OAHB ， HA, HB 面 OAHB ，则 CH HA,CH HB ，
过
H
作
HA
a,
HB
b
，
OA
在
a
上，
OB
在
b
上，
OA,
OB
面
OAHB
，
则 CH
OA,CH
OB
，即 CH
a,CH
b ，
又 HA CH H , HA,CH 面 CHA ，则 a 面 CHA ，即 OA 面 CHA ，
由 CA 面 CHA ，故 OA CA ，同理证 OB CB ，
又 cos AOH OA OH
2 2
， cos COH
OH OC
， cos COB
OB OC
32 10
，
所以 cos COH
cos COB
3
，即 sin COH
4
，
cos AOH 5
5
而 ma
nb 表示面 OAHB
上的任意点，要使
a
6,1,
m
与向量
b
2,
n,1
平行，
所以
a
b
，则
6 2 1 n m
，解得
3
n
1 3
m 3
，所以
m
n
1，
故答案为：1.
9. 已知事件 A 与 B 互斥，它们都不发生的概率是 1 .且 P A 3P B ，则 P A ______. 5 【答案】 2 ## 0.4
5
【解析】
数是______.
241
【答案】120.5##
2
【解析】
湖北省武汉市2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题含答案
武汉2025届高二下学期数学三月月考（答案在最后）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数3()3sin f x x x =-+的图象在点(0,(0))A f 处的切线方程是（）A.30x y -=B.30x y -= C.30x y += D.30x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线方程.【详解】因为3()3sin f x x x =-+，所以(0)0f =，所以切点为(0,0)A ，又2()33cos f x x x '=-+，由导数的几何意义知函数的图象在点A 处的切线斜率(0)03cos03k f '==+=，故得函数()f x 的图象在点A 处的切线方程是03(0)y x -=-，即为30x y -=．故选：B2.已知函数()()()1e xf x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（）A.1e -B.2e - C.eD.2e 【答案】A 【解析】【分析】()0f x '≥在()1,1-上恒成立，即e x a x ≥-，构造函数()e xg x x =-，()1,1x ∈-，求导得到其单调性，得到()()11e g x g ->-=，得到1e a -≥，求出答案.【详解】由题意得()0f x '≥在()1,1-上恒成立，()()e 1e e x x x f x a x x a =++-=+'，故e 0x x a +≥，即e x a x ≥-，令()e xg x x =-，()1,1x ∈-，则()()e e 1e <0xxxg x x x =--=-+'在()1,1x ∈-上恒成立，故()e xg x x =-在()1,1x ∈-上单调递减，故()()11e g x g ->-=，故1e a -≥，故a 的最小值为1e -.故选：A3.若函数()3231f x ax x x =+-+恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是（）A.(3,0)- B.(0,)+∞C.(,3)(0,)∞∞--⋃+ D.(3,0)(0,)-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由题意得()2361f x ax x +'=-有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.【详解】依题意知，()2361f x ax x +'=-有两个不相等的零点，故0Δ36120a a ≠⎧⎨=+>⎩，解得3a >-且0a ≠.故选：D.4.已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()20x f x '->的解集为（）A.()(),21,-∞-+∞B.()()212-∞-,,UC.()(),12,-∞-+∞ D.()()1,12,-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由函数图象得出()0f x '>和()0f x '<的解，然后用分类讨论思想求得结论．【详解】由图象知()0f x '>的解集为(,1)-∞-(1,)⋃+∞，()0f x '<的解集为(1,1)-，(2)()0x f x '->20()0x f x -⇔'>⎧⎨>⎩或20()0x f x -<<'⎧⎨⎩，所以2x >或11x -<<，解集即为()()1,12,-+∞ ．故选：D ．5.已知函数()()2121ln 2f x f x x x '=-++（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（）A.32B.1C.2D.12-【答案】A 【解析】【分析】先对函数()f x 求导，代入1x =，求出()1f '的值，进而求解()1f 的值即可.【详解】因为()()2121ln 2f x f x x x '=-++所以定义域为()0,+∞.所以()()1212f x f x x''=-+当1x =时，()()12121f f ''=-+，()11f '=，则()1312122f =-+=故选：A6.已知函数2ln 1()x a g x x x x=+-在()21,e 上存在极值，则实数a 的取值范围为（）A.e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭B.e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭, C.(0,1)D.(0,e)【答案】B 【解析】【分析】先求导函数，根据存在极值得出()32ln 2()x x ag x x--'=在给定区间有变号零点,设()()2ln ,t x x x =-再根据导数求出最值即可求解.【详解】()222332ln 2ln 11ln 21()()x x ax a x a g x g x x x x x x x x---'=+-∴=-+= ,函数2ln 1()x a g x x x x =+-在()21,e 上存在极值，()()32ln 2x x a g x x --∴='在该区间有变号零点.即()()2ln 2=02=2ln x x a a x x ---，,()()()2ln ,2ln 11ln t x x x t x x x '=-=--=-,()t x '单调递减,设()00=0,e t x x '=，()()()1,e ,0,x t x t x '∈>单调递增;()()()2e,e ,0,x t x t x '∈<单调递减;()()()max e e 21e t x t ==-=,()()()()2211202e e 220t t =⨯-==-=，()(]0,e t x ∈,e 0,2a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.故选:B.7.已知函数()2ln f x x ax =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-，则实数a的取值范围是（）A.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数2()()2ln 2(0)g x f x x x ax x x =-=+->，则转化得到()g x 在(0,)+∞上单调递增，将题目转化为1()220g x ax x=+-≥'在(0,)+∞上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设120x x >>,因为对任意两个不等的正实数12,x x ,都有()()12122f x f x x x ->-,所以()()121222f x f x x x ->-,即()()112222f x x f x x ->-,构造函数2()()2ln 2(0)g x f x x x ax x x =-=+->,则()()12g x g x >,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以1()220g x ax x =+-≥'在(0,)+∞上恒成立,即2112a x x ≥-在(0,)+∞上恒成立,设211()(0)2m x x x x =->,则233111()xm x x x x-'=-+=，所以当(0,1)x ∈时,()0,()m x m x '>单调递增，(1,)x ∈+∞时,()0,()m x m x '<单调递减，所以max 11()(1)122m x m ==-=，所以12a ≥.故选：D.8.已知函数()()120e (0)xkx x x f x kx x ⎧--+≤=⎨->⎩恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A.[)1,e B.()1,1e,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭C.1,e 2⎛⎫-⎪⎝⎭D.{}1,1e 2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】分别讨论<2x -，20x -≤≤，0x >时的零点个数，求出恰有两个零点时实数k 的取值范围即可.【详解】()()()()()31212011(20)e (0)e (0)xx k x x kx x x f x k x x kx x kx x ⎧+-<-⎧--+≤⎪==--+-≤≤⎨⎨->⎩⎪->⎩，①当<2x -时，令()0f x =，解得31x k =-，若()f x 在(),2∞--内有零点，则321k <--，解得112k -<<，即当112k -<<时，()f x 在(),2∞--内有一个零点；②当20x -≤≤时，令()0f x =，解得11x k -=+，若()f x 在[]2,0-内有零点，则1201k --≤≤+，解得12k ≥-，即当12k ≥-时，()f x 在[]2,0-内有一个零点；③当0x >时，令()e 0xf x kx =-=，即e xk x=，令()()e 0xg x x x =>，则()()2e 1x x g x x='-，令()0g x '=，得1x =，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 在()1,∞+上单调递增，∴()()1e g x g ≥=，∴当e =k 时，方程e xk x=有一个实数根，即函数()f x 在()0,∞+内有一个零点，当e k >时，方程e xk x=有两个实数根，即函数()f x 在()0,∞+内有两个零点，综上所述，当12k <-时，函数()f x 无零点；当12k =-时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点；当112k -<<时，函数()f x 在(),2∞--和[]2,0-内分别有一个零点，即()f x 有两个零点；当1e k ≤<时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点；当e =k 时，函数()f x 在[]2,0-和()0,∞+内分别有一个零点，即()f x 有两个零点；当e k >时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点，在()0,∞+内有两个零点，即()f x 有三个零点.函数()()120e (0)xkx x x f x kx x ⎧--+≤=⎨->⎩恰有两个零点，∴实数k 的取值范围是{}1,1e 2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分.9.下列函数在定义域上为增函数的是（）A.()ln f x x x =B.()ln f x x x =+C.()cos f x x x =-D.()2exf x x =【答案】BC【解析】【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．【详解】对于A 中，函数()ln f x x x =，可得()ln 1f x x ='+(0)x >，当1ex >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10ex <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以A 不符合题意,对于B,函数()ln f x x x =+（0x >），可得()11f x x'=+，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；故B符合，对于C 中，()cos f x x x =-,则()1sin 0f x x ='+≥，故()f x 单调递增；故C 符合，对于D ，函数()2e xf x x =，可得()()2e2xf x x x ='+，当0x >或<2x -时，()0f x '>，()f x 单调递增；当20x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以D 不符合题意；故选：BC ．10.已知函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 的单调递减区间是()0,eB.()f x 在点()()22e ,ef 处的切线方程是24ex y -+=C.若方程ln a x x =只有一个解，则ea =D.设()2g x x a =+，若对()12R,1,x x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≥【答案】BD 【解析】【分析】对函数()ln xf x x=求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC ，对应选项D ，设函数()()()1,f x x ∞∈+的值域为E ，()2g x x a =+的值域为G ，由G E ⊆求解判断.【详解】函数()ln x f x x =，()()0,11,x ∞∈⋃+，()2ln 1ln x f x x-'=，令()0f x '<，得01x <<或1e x <<；令()0f x '>，得e x >；可得函数()f x 在()0,1和()1,e 上单调递减，在()e,∞+单调递增，其大致图象如图：对于A ，由上述分析可得A 错误；B 对于，由()2222ln e 11eln e 4f -='=，()22e e 2f =，得()22e 1e 24y x -=-，所以切线为24e 0x y -+=，故B 正确；对于C ，由方程()ln xf x a x==只有一解，由图象可知，e a =或a<0，故C 错误；对于D ，设函数()()R g x x ∈的值域为G ，函数()()()1,f x x ∞∈+的值域为E ，对于()2g x x a =+，R x ∀∈，[),G a ∞=+，对于()f x ，()1,x ∞∀∈+，[)e,E ∞=+，若1x ∀∈R ，()21,x ∞∃∈+，使得()()12g x f x =成立，则,e G E a ⊆∴≥，故D 正确，故选：BD.11.已知()e xf x x =，()lng x x x =.若存在1x ∈R ，()20,x ∈+∞，使得()()12f x g x t ==成立，则下列结论中正确的是（）A.当0t >时，12x x t= B.当0t >时，12eln t x x ≤C.不存在t ，使得()()12f x g x =''成立 D.()()f x g x mx >+恒成立，则2m ≤【答案】AB 【解析】【分析】A 选项，转化同构形式12ln 1222e ln eln xx x x x x ==，根据函数()e x f x x =在()0,∞+上单调，可得12ln x x =，即12x x t =；B 选项，转化为研究函数()ln tt tϕ=的最小值问题即可；C 选项，特值验证，找到t 满足条件即可；D 选项，不等式变形、分离参数，转化为e ln x m x <-恒成立问题，构造函数研究最值即可.【详解】选项A ，()()12f x g x t == 12ln 1222e ln e ln 0x xt x x x x ===>∴，则1220,0,ln 0x x x >>>，且12()(ln )0t f x f x ==>，由()e xf x x =，得()()e1xf x x '=+，当0x >时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,∞+上递增，所以当0t >时，()f x t =有唯一解，故12ln x x =，1222ln x x x x t ∴==，故A 正确；选项B ，由A 正确，得12ln ln (0)t tt x x t=>，设()ln t t t ϕ=，则()21ln tt t ϕ-'=，令()0t ϕ'=，解得et =易知()t ϕ在(]0,e 上单调递增，在[)e,+∞上单调递减，()()1e e t ϕϕ∴≤=，12ln 1e t x x ∴≤，12eln t x x ∴≤，故B 正确；选项C ，由()()e1xf x x '=+，()ln 10g x x '=+=，得()110e f g '⎛⎫-= '=⎪⎝⎭，又验证知()111e ef g ⎛⎫-==-⎪⎝⎭，故存在1e t =-，使得()110e f g '⎛⎫-= '=⎪⎝⎭，C 错误；选项D ，由0x >，()()f x g x mx >+恒成立，即e ln x x m ->恒成立，令()e ln xr x x =-，则()1e xr x x='-，由()r x '在()0,∞+上递增，又1202r ⎛⎫=<⎪⎝⎭'，()1e 10r ='->，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00r x '=，()r x ∴在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增（其中0x 满足001e xx =，即00ln x x =-）.()()000001e ln 2x r x r x x x x ∴≥=-=+>，要使e ln x m x <-恒成立，0()m r x ∴<，存在02()m r x <<满足题意，故D 错误.故选：AB.【点睛】方法点睛：在应用导数研究函数的综合题型中，在题干条件中同时出现指数函数和对数函数，通常可以考虑借助幂函数作为桥梁，通过变形转化为相同结构的式子，再构造函数研究问题，即指对同构思想的应用.三､填空题：本题共3小题每小题5分，共15分12.若函数()312f x x x a =-+的极大值为11，则()f x 的极小值为____________．【答案】－21【解析】【分析】首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求a ，再求解函数的极小值.【详解】函数的定义域为R ，()2312f x x -'=，令()0f x '=，解得12x =-或22x =，列表：x(),2∞--2-()2,2-2()2,∞+()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值16a+单调递减极小值16a-+单调递增所以当2x =-时，函数有极大值()216f a -=+，由题意得1611a +=，解得5a =-，当2x =时，函数有极小值()21616521f a =-+=--=-.故答案为：21-13.与曲线e xy =和24x y =-都相切的直线方程为__________.【答案】1y x =+【解析】【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线e x y =相切于点()11,ex x ，因为e x y '=，所以该直线的方程为()111e exx y x x -=-，即()111e e 1x x y x x =+-，设直线与曲线24x y =-相切于点222,4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为2x y '=-，所以该直线的方程为()222242x x y x x +=--，即22224x x y x =-+，所以()112221e 2e 14x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得120,2x x ==-，所以该直线的方程为1y x =+，故答案为：1y x =+.14.已知函数()e e 2sin x x f x x -=--，不等式2(2023e )(2ln )0x f a x f x x -++≤对任意的x ∈(0,)+∞恒成立，则a 的最大值为________．【答案】12023【解析】【分析】先根据奇函数的定义推出()f x 为R 上的奇函数，再利用导数推出()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，再利用奇偶性和单调性将不等式化为22ln e 2023x x x x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，再参变分离得2ln 2023e (2ln )x x a x x +≤-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，然后构造函数()e x h x x =-，再利用导数求出其最小值可得结果．【详解】因为()()e e 2sin()e e 2sin ()x x x x f x x x f x -----=---=-+=-，所以()f x 为R 上的奇函数．又()e e 2cos 2cos 22cos 0x x f x x x x -'=+-≥-=-≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不等式2(2023e )(2ln )0x f a x f x x -++≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即2(2ln )(e 2023)x f x x f x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，所以22ln e 2023x x x x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即22ln 2ln 2023e (2ln )e e (2ln )e (2ln )x x x x x a x x x x x x x +≤-+=⋅-+=-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，令()e x h x x =-，所以()e 1x h x '=-，所以当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上为增函数；当x 0<时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上为减函数，所以0min ()(0)e 01h x h ==-=，设()2ln g x x x =+，显然()g x 为(0,)+∞上的增函数，因为1111(2ln20e e e eg =+=-+<，(1)10g =>，所以存在01(1)e,x ∈，使得000()2ln 0g x x x =+=，所以2ln min [e(2ln )]1x xx x +-+=，此时2ln 0x x +=，所以20231a ≤，即a 的最大值为12023．故答案为：12023．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <；（4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()2ln f x x a x=+-．（1）若1a =，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】15.20x y +-=16.ln 21a ≤+【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，即()()min 0,,0x f x ∞∈+≥，利用导数求出函数()f x 的最小值即可.【小问1详解】若1a =，则()2ln 1f x x x =+-，()212f x x x-'=，故()()11,11f f '==-，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()11y x -=--，即20x y +-=；【小问2详解】()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，即()()min 0,,0x f x ∞∈+≥，又()()221222x f x x x x x-=-=>'，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()()min 2ln 21f x f a ==+-，所以ln 210a +-≥，所以ln 21a ≤+.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．16.已知函数()21e xf x x x a =-+-．（1）当1a =-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有三个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+（2）213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案；（2）由()0f x =，把函数()f x 的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，令()21exx x g x -+=，利用导数法研究函数()g x 的单调性和极值，进而结合函数图象得到实数a 的取值范围．【小问1详解】将1a =-代入可得()21e x f x x x =-++，其定义域为R ，则()21e xf x x -+'=.21y x =-和e x y =都在R 上增函数，所以()21e x f x x -+'=在R 上单调递增且()00f '=，因此，当(),0x ∞∈-时，()0f x '<，函数()f x 为单调递减；当()0,x ∞∈+时，()0f x '>，函数()f x 为单调递增；综上所述，函数()f x 的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+．【小问2详解】（2）由()0f x =得，21e x x x a -+=，令()21exx x g x -+=，则()()()()()()22221e 1e 3212e e e x xxxxx x x x x x x g x ---+--+---=='=，(),1x ∞∈-时，()()0,g x g x '<单调递减；()1,2x ∈时，()()0,g x g x '>单调递增；()2,x ∞∈+时，()()0,g x g x '<单调递减；由单调性可知，当x →-∞时，()g x ∞→+；当x →+∞时，()0g x →；当1x =时，取得极小值，即()11e g =；当2x =时，取得极大值，即()232eg =.所以()y g x =和y a =的大致图象如下：综上所述，若()f x 有三个零点，则a 的取值范围为213,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．17.已知函数()2ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，求()f x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）()max1ln 24,081111ln 2,22821,2a a f x a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩．【解析】【分析】（1）求导后，分别在0a ≤和0a >的情况下，根据()f x '的正负得到函数单调性；（2112a≤、1122a <<122a ≥三种情况下，得到()f x 在[]1,2上的单调性，由单调性可确定最大值点，代入可得最大值.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()21122axf x ax x x-'=-=，①当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x \在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，令()0f x '=得：12x a=列表如下：x10,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12a1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x '＋0－()f x递增极大值递减()f x \在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减；综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.（2）当0a >时，由（1）知：1≤，即12a ≥时，()f x 在[]1,2上单调递减，则()()max 1f x f a ==-；②当12<<，即1182a <<时，()f x在⎡⎢⎣上单调递增，在2⎤⎥⎦上单调递减，()max11ln 222f xf a ∴==--；2≥，即108a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递增，则()()max 2ln 24f x f a ==-；综上所述：()max1ln 24,081111ln 2,22821,2a a f x a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.18.已知函数()ln 1f x a x ax =++.（1）当1a =时，求()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()e x f x x ≤恒成立，求a 的取值集合.【答案】（1）y =2x （2）{1}【解析】【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数()e ln 1x g x x a x ax =---，将问题转化成求()g x 的最小值，通过对a 进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln 1f x x x =++，所以(1)2f =，又()11f x x '=+，所以()11121f '=+=，故()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为2(1)2y x =-+，即2y x =.【小问2详解】解法一：因为()e x f x x ≤恒成立，e ln 10x x a x ax ---≥恒成立，令函数()e ln 1x g x x a x ax =---，则()()1e e (1)e (1)(e )x x x x a x a ag x x a x x x x x+'=+--=+-=+-①当0a ≤时，()()1(e )0xag x x x'=+->在区间(0,)+∞恒成立，此时g (x )在区间(0,)+∞单调递增，又11221111()e ln21(e 2)(ln2)22222a g a a =+--=-+-，易知12e 2,<1ln 22<，所以1(02g <，故0a ≤不合题意，②当0a >时，由()()1e 0xa g x x x ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，可得e 0xa x-=，即e 0x x a -=令()e xh x x =，则()()e e 1e 0xxxh x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立所以()e xh x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00h =，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得00e x x a ⋅=，两边同时取对数可得00ln ln x x a +=，则当0(0,)x x ∈时，e x x a <，即()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，e x x a >，即()0g x '>，所以当0x x =时，()0000min e ln 1ln 1xg x x a x ax a a a =⋅---=--，故要使()0g x ≥恒成立，只需ln 10--≥a a a ，令()ln 1a a a a ϕ=--，则()11ln ln a a a a aϕ=--⨯=-'，由()0a ϕ'>，得到01a <<，由()0a ϕ'<，得到1a >，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，()()10a ϕϕ≤=，即()ln 10a a a a ϕ=--≤，所以ln 10--≥a a a 只有唯一解，即1a =.综上，a 的取值集合为{}1.解法二：由题意可得()e ln e10xxx a x --≥恒成立，令()e x t x x =，则()()e e 1e 0xxxt x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立，所以()e xt x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00t =，所以()e 0xt x x =>，所以()e ln e10xxx a x --≥恒成立，即ln 10t a t --≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()ln 1g t t a t =--，又因为(1)0g =，要使()0g t ≥恒成立，则1t =是()g t 的极小值点，又因为()1ag t t'=-，所以()110g a '=-=，解得1a =.当1a =时，令()ln 1ln 1g t t a t t t =--=--，11()1t g t t t-'=-=，所以(0,1)t ∈时，()0g t '<，()1,t ∈+∞时，()0g t '>，所以()(1)1ln110g t g ≥=--=，满足题意.综上，a 的取值集合为{}1.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为()0g x ≥，然后由导数求得()g x 的最小值min ()g x ，解不等式min ()0g x ≥即可得参数范围．19.已知函数()23ln 4(0,)f x x ax x b a b =+-+>∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当12a =时，方程()0f x =有三个不相等的实数根，分别记为()1,2,3i x i =.①求b 的取值范围；②证明()41,2,3;1,2,3i j x x i j -<==.【答案】（1）答案见解析（2）①715,3ln322⎛⎫-⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）应用导数讨论函数的单调性，分Δ0≤与Δ0>讨论即可；（2）①结合函数的极值点即可求解；②构造函数()()()2(01)h x f x f x x =--<<与()()()6(13)x f x f x x ϕ=--<<讨论即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()()232430,,24ax x f x ax x x∞-=+'++-=.又0a >，令()0f x '=，得22430,Δ1624ax x a -+==-.当Δ0≤，即23a ≥时，22430ax x -+≥在()0,∞+恒成立，()0f x '≥.当Δ0>，即023a <<时，方程22430ax x -+=有两根，可求得：1222,22x x a a+==，因为1212430,0,22x x x x a a+=>=>所以210x x >>，当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x ¢>，()f x 为增函数，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数.综上：当23a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当023a <<时，()f x 在20,2a ⎛ ⎝⎭和2,2a ∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,22a a ⎛-+ ⎝⎭上单调递减.【小问2详解】当12a =时，()213ln 42f x x x x b=+-+.①方程()0f x =有三个不相等的实数根，即方程213ln 42b x x x -=+-在()0,∞+上有三个不相等的实数根.令()()213ln 4,0,2g x x x x x =+-∈+∞，则()()()1334x x g x x x x--=+-='，令()0g x '=，求得：1x =或3x =，则当01x <<或3x >时，()0g x '>，当13x <<时，()0g x '<，则()g x 在()0,1和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，()g x 存在极大值为()712g =-，存在极小值()1533ln32g =-，且当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞→+.要使方程()0f x =有三个不相等的实数根，则1573ln3,22b -<-<-b ∴的取值范围为715,3ln322⎛⎫-⎪⎝⎭.②证明：设方程()0f x =三个不相等的实数根分别为：123,,x x x ，且123x x x <<，由①可得123013x x x <<<<<，要证()41,2,3;1,2,3i j x x i j -<==，只需证max4i j x x -<，即证314x x -<，当12a =时，()f x 在()0,1和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，且当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞.由()()()1230f x f x f x ===，构造函数()()()2(01)h x f x f x x =--<<，()()26(1)()(2)2x h x f x f x x x -''=+-=-'，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>在()0,1上单调递增，()()10h x h ∴<=，即()()20f x f x --<在()0,1上恒成立，又()10,1x ∈，则有：()()()()()1121120,2f x f x f x f x f x --<∴=<-，又()()211,3,21,2x x ∈-∈ ，且()f x 在()1,3上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>.构造函数()()()6(13)x f x f x x ϕ=--<<，()()22(3)()(6)6x x f x f x x x ϕ-''=+-=-'，当()1,3x ∈时()()0,x x ϕϕ'>在()1,3上单调递增.()()30x ϕϕ∴<=，即()()60f x f x --<在()1,3上恒成立.又()21,3x ∈ ，则()()2260f x f x --<.即()()()3226f x f x f x =<-，由()()231,3,3,x x ∞∈∈+，则()263,5x -∈.()f x 在()3,+∞上单调递增，32326,6x x x x ∴<-+<.又122x x +>，则可证得：()314,41,2,3;1,2,3i j x x x x i j -<∴-<==.。
2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故3．14．解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故21．15．解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝2...+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故8．16．解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故②③④．三．解答题（共6小题）17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣......+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．解：（Ⅰ）由得，故，∵an＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。
【精品高二数学试卷】2019-2020天津高二(上)第一次月考+答案
2019-2020学年天津高二（上）第一次月考数学试卷一、选择：5×10＝50分。
1．（5分）已知数列√2，√5，2√2，√11，⋯则2√5是这个数列的（ ） A ．第6 项B ．第7项C ．第19项D ．第11项2．（5分）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8＝16，则a 2+a 6+a 10＝（ ） A ．12B ．16C ．20D ．243．（5分）数列{a n }中，a 1=12，a n ＝1−1a n−1（n ≥2），则a 2019的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．24．（5分）不等式x−1x＞2的解集为（ ）A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）5．（5分）不等式ax 2+bx +2＞0的解集是(−12，13)，则a +b 的值是（ ） A ．10B ．﹣10C ．14D ．﹣146．（5分）等比数列{a n }中，a 1+a 3＝10，a 4+a 6=54，则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．a n ＝24﹣nB ．a n ＝2n ﹣4C ．a n ＝2n ﹣3D ．a n ＝23﹣n7．（5分）已知数列{a n }的递增的等比数列，a 1+a 4＝9，a 2•a 3＝8，则数列的前2019项和S 2019＝（ ） A ．22019B ．22018﹣1C ．22019﹣1D ．22020﹣18．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝2，S 6＝6，则a 13+a 14+a 15的值是（ ） A ．18B ．28C ．32D ．1449．（5分）已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，S 17＜0，则当S n 最大时n 的值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1610．（5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n ﹣4＝130，则n ＝（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题：（5×5＝25分）11．（5分）等差数列{a n }中，前4项和S 4＝22，a 2＝4，则前10项和S 10＝ ． 12．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝a n +n +1，则数列{a n }的通项公式是 ．13．（5分）在数列{x n }中，2x n=1x n−1+1x n+1（n ≥2），且x 2=23，x 4=25，则x 10＝ ．14．（5分）数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为 ．15．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝﹣n 2+20n ，则数列{na n }中数值最大的项是第 项．三、解答题（25分）.16．（8分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1=a na n +3（n ∈N *） （1）求证：{1a n+12}是等比数列；（2）求{a n }的通项公式a n ．17．（17分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2﹣2S n （n ∈N *），数列{b n }是等差数列，且b 5＝14，b 7＝20．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式． （2）求数列{1b n b n+1}的前n 项和T n ．（3）设c n =a n ⋅b n2，求数列{c n }的前n 项和M n ．2019-2020学年天津高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择：5×10＝50分。
江苏省宿迁北附同文实验学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(含答案解析)
江苏省宿迁北附同文实验学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题B．A．62二、多选题6．从点P（1，2，3）出发，沿着向量v ＝（－4，－1，8）方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为（）A．（－1，－2，3）B．（9，4，－13）C．（－7，0，19）D．（1，－2，－3）三、单选题四、多选题五、单选题12．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，平面α的法向量为()6,4,1u =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则l α∥六、填空题13．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面α的一个法向量是()1,1,2n =-，且平面α过点(0,3,1)A 若(,,)P x y z 是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是_______.14．已知向量()2,1,1a =- ，()1,2,b t = ，若a 与b的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为______.15．若异面直线1l 的方向向量与2l 的方向向量的夹角为150°，则1l 与2l 所成的角为______.16．平面α的法向量是()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为___________.七、解答题(1)求证：MN AB ⊥，MN (2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值20．如图，已知正方形ABCD M 是线段EF 的中点.(1)求证：AM BD⊥.(2)求证：AM⊥平面21．已知正方形ABCDBC的中点.（1）求点D到平面PEF（2）求直线AC到平面22．如图，在平行六面体＝3，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．参考答案：故选：ABC111D B D D DB AA AB =+=-+- 11122EF EA AF D A AC =+=+ （2）()1111122D F D D D B =+= 11,,122x y z ∴==-=-18．(1)(2,4,1),(2,4,a b ==-- (2)219-【分析】（1）利用空间向量平行与垂直的坐标表示即可求解；由2AB =，1AF =，得()0,0,1E ，()2,2,1F 所以22,,122AM ⎛=-- ⎝ 所以2(AM BD ⋅=⨯- 所以AM BD⊥（2）由（1）知，AM = 设(),,n x y z = 是平面BDF 所以222n BD x y n DF y z ⎧⋅=-⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1y =，得1x =，z =-因为22,,122AM ⎛=-- ⎝ 所以AM ⊥平面BDF .21．（1）31717；（2）17【分析】（1）建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点(2)平面A 1DA 的一个法向量为 设(),,x y z =m 为平面BA 1D 的一个法向量，又()(13,1,3,A B BD =--=- 则10,0,m A B m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即3333x y x y ⎧--⎪⎨-+⎪⎩不妨取x =3，则3,2y z ==，所以()3,3,2m =为平面BA 1D 从而(3,0,0,AE m cos AE m AE m ⋅== 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ因为[]0,θπ∈，所以1sin θ=。
广东省潮州市高级中学2019-2020学年高二数学理月考试卷含解析
广东省潮州市高级中学2019-2020学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 点F（c，0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆x2+y2=相切于点Q，且=，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用中位线定理，可得OQ∥PF′，|OQ|=|PF′|，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理和离心率公式，即可得到．【解答】解：设左焦点为F′，由于O为F′F的中点，Q为线段PF的中点，则由中位线定理可得OQ∥PF′，|OQ|=|PF′|，由线段PF与圆x2+y2=相切于点Q，则|OQ|=，|PF′|=b，由双曲线的定义可得，|PF|﹣|PF′|=2a，即有|PF|=2a+b，由OQ⊥PF，勾股定理可得+（a+）2=c2，即b=2a，c2=5a2，∴e==．故选：C．2. 若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18 B．6 C．2D．2参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】3a+3b中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a+b．【解答】解：∵a+b=2，∴3a+3b故选B【点评】本题考查基本不等式求最值和指数的运算，属基本题．3. 已知函数的图象与直线相切于点，则bc 的最大值为（）A．16 B．8 C．4 D．2参考答案：A4. 下列函数中与为同一函数的是（）A、B、C、D、参考答案：C略5. 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）满足：（1）焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0）；（2）离心率为，且求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（）①双曲线C上任意一点P都满足||PF1|﹣|PF2||=6；②双曲线C的虚轴长为4；③双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；④双曲线C的渐进线方程为4x±3y=0．A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线性质求解．【解答】解：对于①，∵||PF1|﹣|PF2||=2a=6∴a=3又∵焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0）∴c=5∴离心率e=，故①符合条件；对于②，双曲线C的虚轴长为4，∴b=2，a==，∴离心率e=，故②不符合条件；对于③，双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合，∴a=，e==，故③不符合条件；对于④，∵近线方程为4x±3y=0∴=，又∵c=5，c2=a2+b2，∴a=3∴离心率e=，故④符合条件．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线方程的性质的合理运用．6. 若函数在定义域R内可导，，且，，，，则的大小关系是( )A． B． C． D．参考答案：D7. 椭圆与双曲线有相同的焦点且离心率为，则椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．参考答案：A8. 公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项，，则等于（）A．18 B．24 C．60 D．90参考答案：C9. 直线ax+2y+6=0与直线x+（a-1）y+（a2-1）=0平行，则a等于（▲）A．-1或2 B．2 C．-1D.参考答案：C略10. 下列命题中错误的是（）A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C．如果平面，，，那么D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．参考答案：﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由得，即A（1，2），代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣4=﹣3．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．故答案为：﹣312. 某程序框图如图所示，则输出的结果是_______．参考答案：13. 设，则等于 ()A．1.6 B．3.2 C．6.4D．12.8参考答案：C14. 设，若非是非的必要而不充分条件，则实数的取值范围为____________．参考答案：试题分析：由题意得，命题，解得，命题，即，解得，又因为非是非的必要而不充分条件，即是充分不必要条件，所以，解得，所以实数的取值范围为．考点：充要不必要条件的应用．【方法点晴】本题主要考查了充分不必要条件的判定及应用，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解、集合的运算，充分不必要条件和必要不充分条件的转换等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中正确求解不等式和充分条件之间的转化是解答的关键，属于中档试题．15. 若(1－2i)(x＋i)＝４－３ｉ(i是虚数单位），则实数ｘ为参考答案：2略16. 已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）= ．参考答案：﹣6【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（a）=a4+ab+1=8，从而a4+ab=7，由此能求出f（﹣a）．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，f（a）=8，∴f（a）=a4+ab+1=8，∴a4+ab=7，∴f（﹣a）=﹣a4﹣ab+1=﹣7+1=﹣6故答案为：﹣6．17. 已知函数的图像与轴没有公共点，则m的取值范围是__________(用区间表示）。
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2019-2020年高二3月月考 数学 含答案
一．选择题（每小题5分，共60分）
1.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为
M ，设，则下列向量中与
相等的向量是：( )
A 、
B 、
C 、
D 、
2.下列各组向量中不平行的是（ ）
A. B.
C. D.
3.，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．0
D ．以上都不是
4.已知曲线y=x 2+1在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标为（ ）
A ．（1，3）
B ．（-4，33）
C ．（-2，5）
D ．不确定
5.曲线在点（1，-3）处的切线倾斜角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A ．
B ．1
C ．2
D ．3
7.函数导数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.二面角α－l －β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD
分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB =AC =BD =1，
则CD 的长等于 （ ）
A ．2
B ． 3
C ．2
D ． 5
9.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，
，则直线与直线夹角的余弦
值为（ ）
A. B. C. D.
10.已知正三棱柱的棱长与底面边长相等，则与侧面所成
角的正弦值等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 11. PA 、PB 、PC 是由点P 出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12.设是上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是( )
. ．
．．
二．填空题（每小题4分，共16分）
13.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为。
14.已知函数，则
15.函数y=的单调减区间为。
16.直线是曲线的一条切线，则实数b＝．
三．解答题：
17.（本题12分）求下列函数的导函数
（1）
（2）
18.（本题12分）
求曲线上的点到直线的最小距离
19. (本小题满分12分)
如图，ABCD是梯形，面ABCD，
且AB＝1，AD＝1，CD＝2，PA＝3，E为PD的中点。
(1) 求证：面PBC
(2) 求直线AC与PB所成角的余弦值
20. （本小题满分12分）
如图，在四面体中,，
，且
(1) 设为线段的中点，试在线段上求
一点，使得；
(2) 求二面角的平面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱ABC－的各棱长都为, P为上的点。
（1）试确定的值，使得PC⊥AB；
（2）若，求二面角的大小；
22.如图，在梯形中，，，四边形为
矩形，平面平面，.
（I）求证：平面；
（II）点在线段上运动，设平面与平面
所成二面角的平面角为，试求的取值范围.。