2018年上海市长宁区、嘉定区高三下学期教学质量检测（二模）数学试题

2018年上海市长宁区、嘉定区高三下学期教学质量

检测（二模）数学试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、填空题

1. 已知集合，若，则实数

____________．

2. 的展开式中的第3项为常数项，则正整数____________．

3. 已知复数满足（为虚数单位），则____________．

4. 已知平面直角坐标系中动点到定点的距离等于到定直线

的距离，则点的轨迹方程为____________．

5. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，是其前项和，则

__________．

6. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值

为.

7. 将圆心角为，面积为的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的体积等于

_________.

8. 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为

____________．

9. 某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．

10. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是

____________．

11. 在中，是的中点，，，则线段长的最小值为___________

12. 若实数、满足，则的取值范围是

_______．

二、单选题

13. “”是“”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件

14. 参数方程（为参数，且）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支

15. 点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿

运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是图中的（）

A．B．

C．D．

16. 在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数(也叫高斯函数)，它表示等于不超过的最大整数，如，，已知

，（，且），则

( )

A．2 B．5 C．7 D．8

三、解答题

17. 已知函数．

（1）求函数的最小正周期和值域；

（2）设为的三个内角，若，求的值．

18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，

，，，平面．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求二面角的余弦值．

19. 某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．

（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励

函数模型的基本要求，并分析是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；

（2）若该团队采用模型函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值．

20. 已知椭圆的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过点的直线与椭圆交于两个不同的点（点在点的上方），试求面积的最大值；

（3）若直线经过点，且与椭圆交于两个不同的点，是否存在

直线（其中），使得到直线的距离满足

恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列满足，且等式对任意成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列与的项相间排列构成新数列，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和；

（3）对于（2）中的数列前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围．