北京育英中学必修第二册第五单元《概率》测试题(含答案解析)

一、选择题

1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数，如图所示的图形表示的数就是他们研究过的三角形数．现从1到50这50个整数中，随机抽取3个整数，则这3个数恰好都是三角形数的概率为（）

A．

3

700

B．

1

350

C．

4

455

D．

3

910

2．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为2

3

和

3

4

，两个零件是否加

工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

A．1

2

B．

5

12

C．

1

4

D．

1

6

3．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是1

2

，且是互相独立的，灯亮的概率为

（）

A．

3

16

B．

3

4

C．

13

16

D．

1

4

4．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（）

A．40

243

B．

70

243

C．

80

243

D．

38

243

5．将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（）

A．A与B是对立事件B．A与B是互斥而非对立事件

C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件

6．下列说法正确的是（）

A ．天气预报说明天下雨的概率为0900，则明天一定会下雨

B ．不可能事件不是确定事件

C ．统计中用相关系数r 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若[]

0.75,1,r ∈则两个变量正相关很强

D ．某种彩票的中奖率是

1

1000

，则买1000张这种彩票一定能中奖 7．下列说法正确的是（ ）

A ．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球

B ．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨

C ．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖

D ．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上

8．学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为1

2

，则这周能进行决赛的概率为 A ．

18

B ．38

C ．

58

D ．

78

9．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是

310，那么概率为7

10

的事件是（ ） A ．至多有一张移动卡 B ．恰有一张移动卡 C ．都不是移动卡

D ．至少有一张移动卡

10．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾?坤?巽?震?坎?离?艮?兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，

表示一根阴线)，现有3人各自

随机的从八卦中任取两卦，恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的概率为

（ ）

A ．

2972744

B ．

99

2744

C ．

675

21952

D ．

225

21952

11．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( ) A ．0.45

B ．0.6

C ．0.65

D ．0.75

12．我省明年高考将实行312++模式，即语文数学英语必修，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课没有相同科目的概率为（ ） A ．

16

B ．

112

C ．

56

D ．

1112

13．自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北.重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队分成三组奔赴三个地方，每组至少一支医疗队，则甲、乙分在同一组的概率为（ ） A ．

13

B ．

12

C ．

29

D ．

16

二、解答题

14．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值()60100k k ≤<为衡量标准，质量指标的等级划分如表： 质量指标值k 90100k ≤< 8090k ≤<

7080k ≤<

6070k ≤<

产品等级

A

B

C

D

件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设

M =频率

组距

，当[)()10,101068,k n n n n N ∈+≤≤∈时，满足5

2200

n M -=.

（1）试估计样本质量指标值k 的中位数m ；

（2）从样本质量指标值不小于80的产品中采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取2件产品，求至少有1件A 级品的概率.

15．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的

消耗，具有社会?经济?生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为1

2，恰有一人答对的概率为512

. （1）求p 和q 的值；

（2）试求两人共答对3道题的概率.

16．某学习研究机构调研数学学习成绩对物理学习成绩的影响，随机抽取了100名学生的数学成绩和物理成绩(单位：分).

率；

（2）完成下面的2×2列联表.

附()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

17．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照

[)

90,100分成5组，制成如图所示频率分布直方图.

60,70，…[]

50,60，[)

（1）求图中x的值；

（2）求这组数据的平均数；

50,60内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值（3）已知满意度评分值在[)

50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率.

为[)

18．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.

19．2018年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）

（1）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（精确到0．001）

（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．

附：临界值表

参考公式：

2

2

()

=

)()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

（

-

++++

，+

n a b c d

=++．

20．某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：

（Ⅰ）已知甲、乙两名学生这5次数学考试成绩的平均分都为83分，若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；

（Ⅱ）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会5道

备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.

21．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间（2x s -，2x s +）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ，s ，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得：15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

（1）若一个零件的尺寸是97cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；

（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm 的概率. 22．先后抛掷两枚骰子，每次各1枚，求下列事件发生的概率： （1）事件A ：“出现的点数之和大于3” （2）事件B ：“出现的点数之积是3的倍数”.

23．为了保证食品安全，保障公众身体健康和生命安全，2018年国家对《食品安全法》进行了修正.2020，年春节前夕，某市质检部门随机抽取了20包某种品牌的速冻水饺，对某项质量指标进行检测.经统计，质量指标均在区间[0，50]内，将其按[0，10)?[10，20)?[20，30)?[30，40)?[40，50]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求该频率分布直方图中x 的值；

（2）若同组中的每个数据用该组区间中点值代替，估计该品牌速冻水饺的该项质量指标的平均值：

（3）从质量指标大于等于30的速冻水饺中任选2包，进行深度检测，求这2包处于不同区间的概率.

24．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．

（1）求抽取的学生身高在[120，130）内的人数；

（2）若采用分层抽样的方法从身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学生中共抽取6人，再从中选取2人，求身高在[120，130）和[130，140）内各1人的概率．

25．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某大学为了解学生对民法典的认识程度，选取了120人进行测试，测试得分情况如图所示.

（1）试求出图中实数a 的值，并求出成绩落在[]90,100的人数；

（2）如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试.试判断该校能否通过测试；

（3）如果在[)80,90中抽取3人，在[]90,100中抽取2人，再从抽取的5人中选取2人进行民法典的宣传，那么选取的2人中恰好1人成绩落在[]90,100的概率是多少？

26．已知集合{}31A x x =-<<，()(){}

230B x x x =+-<． （1）在区间()4,4-上任取一个实数x ，求“x A

B ∈”的概率；

（2）设(),a b 为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“b a A B -∈?”的概率．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A 【分析】

根据图形，归纳出三角形数从小到大可构成数列{}n a，且

()1

2

n

n n

a

+

=，n*

∈N，然后

利用组合知识以及古典概型概率公式求解即可.【详解】

由题意可得，三角形数从小到大可构成数列{}n a，且

()1

2

n

n n

a

+

=，n*

∈N．

从1到50这50个整数中，所有的三角形数依次为1,3，6，10，15，21，28，36，45，共9个图形．

因此从1到50这50个整数中，随机抽取3个整数的所有方法种数为3

5019600

C=，

其中这3个数恰好都是三角形数的取法种数为3

984

C=．

由古典概型的概率公式，可得概率

3

9

3

50

3

700

C

P

C

==．

【点睛】

本题主要考查归纳推理的应用，考查了古典概型概率公式，同时考查了数形结合思想以及特殊与一般思想的应用，属于中档题.

2．B

解析：B

【解析】

记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，

即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，

则P(A)=P(A1)+P(A2)=2

3

×

1

4

+

1

3

×

3

4

=

5

12

故选B.

3．C

解析：C

【分析】

灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．

【详解】

由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，

灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，

这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，

∴灯泡不亮的概率是

1111111113

22222222216 111

222

?+???+?

???=?，

灯亮和灯不亮是两个对立事件，

∴灯亮的概率是31311616

-

=， 故选：C ． 【点睛】

本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题．

4．C

解析：C 【分析】

先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】

从6个球中摸出2个，共有2

615C =种结果，

两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)

∴摸一次中奖的概率是

51153

=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是

13

， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33

243

C ??=

， 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．

5．A

解析：A 【分析】

由互斥事件与对立事件的定义判断即可得出正确答案. 【详解】

事件A 包含的基本事件为向上的点数为1,2； 事件B 包含的基本事件为向上的点数为3,4,5,6； 事件C 包含的基本事件为向上的点数为1,3,5；

由于事件A ，B 不可能发生，且事件A ，B 的和事件为必然事件，A 与B 是对立事件 当向上一面的点数为3时，事件B ，C 同时发生，则B 与C 不互斥也不对立 故选：A

【点睛】

本题主要考查了互斥事件与对立事件的判断，对立事件与互斥事件关系的辨析，属于中等题.

6．C

解析：C 【分析】

运用概率的相关知识对四个选项逐一进行分析即可 【详解】

对于A ，天气预报说明天下雨的概率为90%，表示下雨的可能性比较大，是不确定事件，在一定条件下可能下雨，也可能不下雨，但明天一定会下雨是不正确的，故错误； 对于B ，根据定义可知不可能事件是确定事件，故错误；

对于C ，统计中用相关系数r 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若[]

0.75,1,r ∈则两个变量正相关很强，故正确； 对于D ，某种彩票的中奖率是1

1000

，每一次买彩票的中奖是独立的，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故错误 故选C 【点睛】

本题主要考查了辨别生活中的概率，理解并运用概率知识即可判断，较为基础．

7．D

解析：D 【分析】

根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可. 【详解】

A 选项，袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，是红球的概率是

5

6

，故本项错误； B 选项, 天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故本选项错误；C 选项，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故本选项错误；D 选项，连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确.故选D. 【点睛】

本题主要考查了概率的意义，属于中档题. 8．D

解析：D 【分析】

本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解. 【详解】

设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3A ，4A ，

5A ，则345A A A A =??，

又事件3A ，4A ，5A 两两互斥， 则有()()()()34511111171112222228

P A P A P A P A ??????=++=+-?+-?-?= ? ? ???????， 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了互斥关系的概率问题，属于基础题.

9．A

解析：A 【分析】

概率

710的事件可以认为是概率为3

10的对立事件． 【详解】

事件“2张全是移动卡”的概率是3

10

，由对立事件的概率和为1，可知它的对立事件的概率是

7

10

，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”． 故选：A ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.

10．A

解析：A 【分析】

求出3人每个人任取2卦的方法总数，

确定3人中哪一个人的两卦中六根线不是4阳2阴，并求出方法数，另外2人分别取两卦且满足题意的方法，相乘可得基本事件的个数，从而可得概率． 【详解】

8卦可分为四类：1阳3阴共3个，3阳1阴共3个，3阳共1个，3阴共1个，

3人各取2卦的法为2223

88828C C C =，

2卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的方法数为21

336C C +=，

因此3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法为

123338(6)662311C C ?-??=??，

∴所求概率为333

2311297282744

P ??==． 故选：A ．

方法点睛：本题考查古典概型，解题关键是求茁基本事件的个数．解题步骤：第一步分清8卦中阳线和阴线的条件，同类（相同阴线和阳线）的个数，第二步求出任取两卦时，两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法，第三步用分步乘法原理求出3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法数．这样条理清晰，不易出错．

11．D

解析：D 【解析】

根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，则

()1()()1(10.6)(10.5)0.8P C P A P B =-=---=.

∴目标是被甲击中的概率是0.6

0.750.8

P == 故选D.

12．B

解析：B 【分析】

基本事件总数22

221144144n C C C C ==，他们选课他们选课没有相同科目的基本事件个数

12

2412m C C ==，由此能求出他们选课没有相同科目的概率．

【详解】

解：由题意知，基本事件总数22

221144144n C C C C ==，

他们选课没有相同科目包含的基本事件个数12

2412m C C ==

∴他们选课没有相同科目的概率为：12114412

m P n ===． 故选:B. 【点睛】

本题考查了古典概型概率求解，考查了组合的思想，考查了分类的思想.本题的关键是结合组合的思想计算事件数量，属于中档题.

13．D

解析：D 【分析】

列出所有分成三组的情况，共有6种，进而可得概率. 【详解】

4支队伍分成三组，有（甲乙、丙、丁），（甲丙、乙、丁），（甲丁、乙、丙），（乙丙、甲、丁），（乙丁、甲、丙），（丙丁、甲、乙），共6种情况，而甲乙在一组共1种情况， ∴16

P =

.

【点睛】

本题考查了古典概型，考查了计算能力，属于一般题目.

二、解答题

14．（1）85m =；（2）57

. 【分析】

（1）计算出各产品等级的频率，利用中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得m 的值； （2）计算得出7件产品中A 级品共3件，分别记为1A 、2A 、3A ，B 级品共4件，分别记为1B 、2B 、3B 、4B ，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽的2件产品中至少有1件A 级品”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】

（1）当6n =时，[)60,70k ∈，1100M =，频率为11

100.1100

p =

?=； 当7n =时，[)70,80k ∈，150M =

，频率为21

100.250p =

?=； 当8n =时，[)80,90k ∈，125M =，频率为31

100.425

p =

?=. 各产品等级的频率如下表所示：

0.10.20.50.10.20.4+<<++，80,90m ∴∈，

所以，80

0.10.20.40.510

m -++

?=，解得85m =； （2）所抽取的7件产品中，A 级品的数量为0.3

730.30.4

?

=+，分别记为1A 、2A 、3A ，

B 级品的数量为4，分别记为1B 、2B 、3B 、4B ，

从这7件产品中任取2件产品，所有的基本事件有：12A A 、13A A 、11A B 、12A B 、13A B 、

14A B 、23A A 、21A B 、22A B 、23A B 、24A B 、31A B 、32A B 、33A B 、34A B 、12B B 、13B B 、14B B 、23B B 、24B B 、34B B ，共21个基本事件，

其中，事件“所抽的2件产品中至少有1件A 级品”包含15个基本事件， 因此，所求事件的概率为155217

P ==. 【点睛】

方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）数状图法； （4）排列组合数的应用. 15．（1）34

p =，23q =；（2）512.

【分析】

（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得,p q ；

（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论． 【详解】

解：（1）设A ={甲同学答对第一题}，B ={乙同学答对第一题}，则()P A p =，

()P B q =.

设C ={甲、乙二人均答对第一题}，D {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，

则C AB =，D AB AB =+.

由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A 与B 相互独立，AB 与

AB 相互互斥，所以()()()()P C P AB P A P B ==，()()

P D P AB AB =+

()()()()()

()()()()()()()11P AB P AB P A P B P A P B P A P B P A P B =+=+=-+-.

由题意可得()()1,2

511,

12pq p q q p ?

=????-+-=??

即1,2

17.12pq p q ?

=????+=??解得3,42,3p q ?=????=??或2,33.

4p q ?=????=??

由于p q >，所以34

p =

，2

3q =.

（2）设=i A {甲同学答对了i 道题}，i B ={乙同学答对了i 道题}，0i =，1，2. 由题意得，()11331344448P A =

?+?=，()2339

4416

P A =?=， ()12112433339P B =?+?=，()2224

339

P B =?=.

设E ={甲乙二人共答对3道题}，则1221E A B A B =+. 由于i A 和i B 相互独立，12A B 与21A B 相互互斥，

所以()()()()()()()

1221122134945 8916912

P E P A B P A B P A P B P A P B

=+=+=?+?=.

所以，甲乙二人共答对3道题的概率为

5 12

.

【点睛】

关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，设C={甲、乙二人均答对第一题}，D{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则C AB

=，D AB AB

=+．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．

16．（1）0.42；（2）见解析；（3）有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.【分析】

（1）先求得“数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分的学生”的人数，再由古典概率公式可求得所求的概率；

（2）由已知的数据可得出2×2列联表；

（3）由（2）中的数据，计算210.5306>6.6354

K≈，可得结论.

【详解】

（1）数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分的学生有：12+16+6+842

=人，

所以“数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概率为

42

0.42

100

P==；

（2）2×2列联表如下表所示：

（3）由（2）中的数据，得：

()

2

100

10.5306>6.6354

485

2442102

246

4

36

K

?-

?

?

?

=≈

??

，

所以有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.

【点睛】

关键点点睛：本题考查求古典概率，独立性检验的问题，关键在于对数据处理，准确地运用相应的公式，并且理解其数据的实际意义．

17．（1）0.01；（2）77；（3）3 5 .

【分析】

（1）由各组的频率和为1，列方程可求出x的值；

（2）由平均数的公式直接求解即可；

（3）先计算满意度评分值在[)50,60内有1000.005105??=人，按比例男生3人女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可. 【详解】

解：（1）由()0.0050.020.0350.030101x ++++?=，解得0.01x =；

（2）这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.177?+?+?+?+?=； （3）满意度评分值在[)50,60内有1000.005105??=人，男生数与女生数的比为3：2，故男生3人，女生2人，记为12312,,,,A A A B B ，记“满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A ，

从5人中抽取2人有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，

32A B ，12B B ，所以总基本事件个数为10个，A 包含的基本事件：11A B ，12A B ，

21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，共6个，所以 ()63105

P A =

=. 【点睛】 结论点睛：

频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1；

②直方图中纵轴表示频率除以组距，故每组样本中的频率为组距乘以小长方形的高，即矩形的面积；

③直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ④最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ⑤中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；

⑥平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

18．（1）频率为：0.08；平均分为102；（2）25

. 【分析】

（1）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用8

1

i i

i x x p ==

∑（其中i

x 表示第

i 组的中间值，i p 表示该组的频率）求出平均值；

（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可. 【详解】

解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：

()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++?=.

用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：

700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =?+?+?+?+?+?

1300.081400.04102+?+?=.

（2）样本成绩属于第六组的有0.00610503??=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502??=人，设为,a b ，

从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名， 基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个 他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105

p ==. 【点睛】

本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般.

（1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案； （2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数. 19．（1）见解析；（2）0.4 【分析】

(1)根据独立性检验求出()2

2140602040207

1.167 3.841806010040

6

K ??-?=

=

≈

（1）假设：观众性别与喜爱该演讲无关，由已知数据可求得，

()2

2140602040207

1.167 3.841806010040

6

K ??-?=

=

≈

（2）抽样比为

616010=，样本中喜爱的观众有40×1

10

=4名， 不喜爱的观众有6﹣4=2名．

记喜爱该演讲的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则 基本事件分别为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，1），（a ，2），（b ，c ），（b ，d ），（b ，1），（b ，2），（c ，d ），（c ，1），（c ，2），（d ，1），（d ，2），（1，2）．

其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个， 故其概率为P （A ）=6

0.415

= 【点睛】

本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的理解能力，掌握水平和

应用能力.

20．（Ⅰ）乙参加，理由见解析；（Ⅱ）方案二，理由见解析. 【分析】

（Ⅰ）求出83x x ==甲乙，甲成绩的方差2

50.8S =甲，乙成绩的方差248.8S =乙，从而选派

乙参加数学竞赛较合适．

（Ⅱ）5道备选题中学生会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F ，列举法求出方案一学生可参加复赛的概率13

5

P =

．方案二学生可参加复赛的概率27

10P =

．从而推荐的选手选择方案二答题方案进入复赛的可能性更大． 【详解】

（Ⅰ）选派乙参加数学竞赛较合适． 理由如下： 由题知1=80+85+71+92+87835

x =甲（）， 1

0+76+75+92+82835x ==乙（9），

∴甲成绩的方差5

221

1()50.85i i S

x x ==-=∑甲

甲， 乙成绩的方差()

5

2

2

1

148.85i i S x x ==-=∑乙

乙，

由x x =甲乙，22

S S >乙甲，可知甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，

故选派乙参加数学竞赛较合适．

（Ⅱ）5道备选题中学生会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F ， 方案一：学生从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F ，共5 种， 抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，共3种，

∴此方案学生可参加复赛的概率13

5

P =

． 方案二：学生从5道备选题中任意抽出3道的结果有：

(a ，b ，)c ，(a ，b ，)E ，(a ，b ，)F ，(a ，c ，)E ，(a ，c ，)F ，(a ，E ，

)F ，(b ，c ，)E ，(b ，c ，)F ，(b ，E ，)F ，(c ，E ，)F ，共10种，

抽中至少2道会的备选题的结果有：

(a ，b ，)c ，(a ，b ，)E ，(a ，b ，)F ，(a ，c ，)E ，(a ，c ，)F ，(b ，c ，

)E ，(b ，c ，)F ，共7种，

∴此方案学生可参加复赛的概率2710

P =

． 12P P <，∴推荐的选手选择方案二答题方案进入复赛的可能性更大．

【点睛】

本题考查概率求法及应用，考查平均数、方差、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

21．（1）属于“不合格”的零件；（2）35

. 【分析】

(1)利用频率分布直方图能求出样本的平均数，即可判断；

（2）用列举法把所有可能的结果一一列举出来，利用古典概型概率公式进行计算． 【详解】 （1）由题意

()0.005350.01450.015550.03650.02750.015850.005951066.5x =?+?+?+?+?+?+??=，

故()()2,236.5,96.5x s x s -+=， ∵()9736.5,96.5?， 故该零件属于“不合格”的零件；

（2）用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，则[)30,40中取1个，[)40,50中取2个，[)50,60中取3个，分别记为1A ，1B ，2B ，1C ，2C ，3C ，从中任取两件，

所有可能结果有：()11,A B 、()12,A B 、()11,A C 、()12,A C 、()13,A C 、()12,B

B 、()11,B

C 、()12,B C 、()13,B C 、()21,B C 、()22,B C 、()23,B C 、()12,C C 、()13,C C 、

()23,C C 共15个，

满足条件的有()11,A C 、()12,A C 、()13,A C 、()11,B C 、()1

2,B C 、()13,B C 、()21,B C 、()22,B C 、()23,B C 共9个，

故概率93

155

P ==. 【点睛】

本题考查频率分布直方图中平均数的计算以及古典概型的概率计算问题，属于基础题． 22．（1）1112；（2）59

. 【分析】

（1）设可能出现的点数(,)x y ，则所有的(,)x y 的个数共有6636?=个，先求出事件A 的对立事件包含的

(,)x y 有3个，从而求得事件A 的概率．

（2）把事件B ：“出现的点数之积是3的倍数”所包含的(,)x y 一一列举出来，共有20个，由此求得事件B 的概率． 【详解】

先后抛掷两枚骰子，设可能出现的点数(,)x y ，则所有的(,)x y 的个数共有6636?=个，