结构力学中反弯点法计算例题2
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和值法详解
A
B
Ma
4i a
2ib
6i l
Mb
4i b
2i a
6i l
a
b
l
V 6i a 6ib 12i
l
l
l2
37
第三十七页，共69页。
计算转角和位移的关系 – 节点 A 、B 处
Ma
4i a
2i b
6i l
V 6i a 6ib 12i
l
l
l2
M 0
A:
4(i3 i4 ic ic ) 2(i3 i4 ic ic )
i1、 i2
与柱A端相交的梁的线刚度 为
i3、 i4
i1
ic B
i2
i3
ic i4
A
ic
34
第三十四页，共69页。
35
第三十五页，共69页。
第三十六页，共69页。
ui D
B
hi
A
C
36
柱 AB 剪力与 相邻梁 、柱杆端的侧移△及转角 相关
因此需求出转角和位移的关系 预备公式 ： 转角位移方程
A、B 端均为刚结的杆端
端部的转角就很小，此时忽略节点转角的存在，对框架 内力计算影响不大。
由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范围 的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
5
第五页，共69页。
水平荷载作用下框架 的变形情况：
第六页，共69页。
当梁刚度无限大 时，水平荷载作用 下框架的变形情况 ：节点转角为0，各 节点水平位移相同 。
V1k
h1 3
Mb c1k
V1k
2h1 3
上部各层柱，上下 柱端弯矩相等
Mt cjk
《反弯点法》例题详解
《反弯点法》例题详解在数学中，反弯点法是一种求函数曲线的凹凸性质的方法。
通过求函数的导数和二阶导数，可以确定函数的凹凸区间和反弯点。
下面我们以一个例题来详细介绍反弯点法的具体步骤和求解过程。
例题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求函数的凹凸区间和反弯点。
步骤一：求函数的一阶导数f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2步骤二：求函数的二阶导数f''(x)。
f''(x) = 6x - 6步骤三：求f''(x) = 0的解，即求二阶导数的零点。
6x - 6 = 0x = 1步骤四：求f''(x)在x < 1和x > 1两个区间的符号。
当x < 1时，取一个小于1的数代入f''(x)，比如x = 0，计算得f''(0) = -6，符号为负。
当x > 1时，取一个大于1的数代入f''(x)，比如x = 2，计算得f''(2) = 6，符号为正。
步骤五：根据f''(x)的符号确定函数的凹凸性质。
当f''(x) > 0时，函数在该区间上凹。
当f''(x) < 0时，函数在该区间上凸。
根据步骤四的计算结果，可以得出以下结论：当x < 1时，函数在该区间上凸。
当x > 1时，函数在该区间上凹。
步骤六：求函数的反弯点。
根据步骤三的计算结果，x = 1是函数的一个反弯点。
综上所述，函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1在x < 1时凸，在x > 1时凹，且有一个反弯点x = 1。
通过以上例题的详细解答，我们可以了解到反弯点法的求解过程和应用方法。
通过求函数的导数和二阶导数，我们可以确定函数的凹凸区间和反弯点，从而更好地理解和分析函数的性质。
混凝土反弯点法计算题例题
混凝土反弯点法计算题例题混凝土反弯点法是一种用于计算混凝土梁的强度和刚度的方法。
它基于混凝土在受拉应力作用下的裂缝性质，将混凝土截面分为受压区和受拉区。
在混凝土的受拉区出现第一根裂缝时，混凝土截面的强度随之降低，这个裂缝的位置就是梁的反弯点。
以下是一个混凝土反弯点法计算题的例题：【例题】一根混凝土矩形梁的截面宽度为b=200mm，高度为h=400mm，长度为L=4m。
梁的配筋已经确定，钢筋面积为As=2515mm2，混凝土强度等级为C30，梁的工作状态为常规状态。
使用混凝土反弯点法计算梁的极限承载力。
解题思路：1. 计算混凝土截面面积Ac和受拉区高度a。
$$Ac=bh=200mm\times400mm=80000mm^2$$根据混凝土抗拉强度σc和配筋率ρ，可以计算出混凝土受拉区高度a。
$$a=\frac{\sigma_c}{0.85f_y}\frac{1-\sqrt{1-2\rho}}{1.6}h$$其中，fy为钢筋的屈服强度，ρ为配筋率。
根据题目中的数据，可以计算出a的值为：$$a=\frac{2.6\times10^6Pa}{0.85\times300\times10^6Pa}\frac{1-\sqrt{1 -2\times\frac{2515mm^2}{200mm\times400mm}}}{1.6}\times400mm=7 7.57mm$$2. 计算混凝土受拉区的受拉力N和弯矩M。
根据梁的几何尺寸和工作状态，可以计算出梁上的荷载为：$$q=\frac{1.5kN}{m^2}$$其中，kN为单位长度的荷载。
因此，梁上的集中荷载为：$$P=qL=1.5kN/m^2\times4m=6kN$$根据静力平衡条件，可以计算出混凝土受拉区的受拉力N和弯矩M。
$$N=P=\frac{6kN}{2}=3kN$$$$M=\frac{PL}{4}=6kN\times4m/4=6kNm$$3. 计算混凝土受拉区的应力σ1和混凝土截面的极限承载力M1。
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
柱 D 值计算
D V
计算假定 例 ：柱 AB 的 D 值计算
层间侧移△相等 ，
剪切角为
u j hj
梁、柱结点转角相等，设为
计算柱与相邻柱线刚度相同 ic
与柱B端相交的梁的线刚度为
i1、 i2
与柱A端相交的梁的线刚度 为
i3 、i 4
i1
ic B
i2
i3
ic i4
A
ic
34
35
ui D
B
b
hj
a
39 A
（二）柱的抗侧刚度D值
柱的抗侧刚度D值
D
12ic h2
式中
h—层高
ic —柱的线刚度，ic EIc /h ； E—柱混凝土弹性模量； I c —柱截面惯性矩； —与梁柱刚度比有关有刚度修正系数
40
i2 ic
i4
K i2 i4 2ic
i2 ic
K i2 ic
48
（三）确定柱反弯点高度比y
１.标准反弯高度比y０ 标准反弯点高度比是在各层等高、各跨相等、 各层梁和柱线刚度都不改变时框架在水平荷载作 用下的反弯点高度比。 按该框架总层数n，所在楼层数j以及梁柱线 刚度比K查附表2.1、附表2.2。 在查取y0时，风荷载（均布水平荷载）作用下 和水平地震作用（三角形荷载）下应采用相应的 表格。
2
uj 2 uj
221 ic(i1i2i3i4) hj 2Khj
K ib 2ic
38
V 6 ia 6 ib 1 i 2 a b V 1 i 2 1 i 2
l l l2
l l2
反弯点法
一、简化分析模型
1.各杆件的弯
矩图均为直线， 一般情况下每 根杆件都有一 个弯矩为零的 点，称为反弯 点； 2.所有杆件的 最大弯矩均在 杆件两端。
二、计算方法（框架结构共n层，m-1跨）
1 求柱剪力
Fn Fj
u j1
u jk
u jm
将框架在某一层的 反弯点切开。 根据平衡条件，有
i j
jk
i jk
i
k 1
m
VFj jkVFj
jk
jk为j层k柱的剪力分配系数；VFj
i j
Fi
n
为水平荷载在j层 产生的层间剪力。
求柱端弯矩 逐层取脱离体，利用上式求得各柱剪力后，根据各层反弯 点位置，可以求出柱上、下端的弯矩 底层柱：
M ct1k V1k M cb1k h1 3 2h1 V1k 3
剪力分配
柱反弯点 处的剪力
柱端 弯矩
利用节点力 矩平衡条件
梁端 弯矩
l r Mb Mb Vb l
梁端 剪力
节点竖向力 平衡条件
柱 轴力
四、课堂巩固
例题：用反弯点 法计算右图所示 框架的弯矩，并 绘出弯矩图。图 中圆括号内的数 字为杆件的相对 线刚度。
五、小结
应用范围
基本假定
反弯点法
计算步骤
VAB M AB M BA 12i 2 u AB h h
D 抗侧刚度 D 为：
12ic h2
对于j层第k柱，其侧移为 u jk ，相应的剪力可表示为
V jk D jk u jk
（物理条件）
根据平衡条件、几何条件和物理条件，可求得
V jk
结构力学中反弯点法计算例题2
例：用反弯点法计算图1所示刚架，并画出弯矩图。
括号内数字为杆件线刚度的相对值。
图1解：顶层柱反弯点位于柱中点22h ，底层柱的反弯点位于柱高123h 处，在反弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。
F QIF图2 顶层脱离体F QAD F QBE F QCFGIFED817图3 底层隔离体（1）求各柱剪力分配系数kk ik k μ=∑ 顶层：20.286223GD IF μμ===⨯+30.428223HE μ==⨯+底层：30.3324DA FC μμ===⨯+40.4324EB μ==⨯+（2）计算各柱剪力：0.2868kN 2.29kN QGD QIF F F ==⨯= 0.4288kN 3.42kN QHE F =⨯= 0.325kN 7.5kN QAD QCF F F ==⨯= 0.425kN 10kN QBE F =⨯=（3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算 杆端弯矩：2 3.33.42kN 5.64kN m 22EH QHE h M F m =-⨯=-⨯=-⋅（反弯点位于22h 处）1 3.610kN 12kN m 33EB QBE h M F m =-⨯=-⨯=-⋅（反弯点位于柱123h 处） 计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为：17.64kN m EH EB M M M =+=-⋅按梁刚度分配：1217.647.84kN m 27ED M =⨯=⋅ 1517.649.8kN m 27EFM =⨯=⋅ 图3是刚架弯矩图。
8 173.782.515.643.783.133.783.783.78912.785.649.87.841212.783.781824189图3 弯矩图（单位kN m）。
反弯点法计算方法实例
反弯点法计算方法实例反弯点法（BPM）是一种用于计算杆件等高耸结构的弯曲曲线和最大挠度的方法。
它被广泛运用于建筑和桥梁工程的设计和分析中。
本文将为您介绍反弯点法的计算方法，并提供一个实例来说明如何使用该方法。
反弯点法是一种基于弯矩的方法，它通过将结构模型离散为一系列杆件，并在节点处计算弯矩和反弯力，来确定结构的弯曲曲线。
通过计算结构中每个杆件的弯矩和反弯力，可以得到结构的整体弯曲曲线。
使用反弯点法计算结构的最大挠度时，可以在确定的点上计算出具有最大挠度的情况，从而更好地了解结构的性能。
接下来，我们将以一个悬臂梁为例，详细介绍反弯点法的计算步骤：1.构建模型：首先，我们需要根据实际情况绘制出悬臂梁的结构模型，并确定悬臂梁的几何形状、受力情况和材料性能参数等。
2.离散化：将悬臂梁离散为一系列杆件，并在节点处添加支座。
3.确定支反力：根据外部受力情况，可以计算出支座的反力。
在这个例子中，我们假设悬臂梁的一端受到水平荷载，并在另一端有一个固定支座。
因此，我们可以计算出固定支座的水平反力。
4.计算弯曲曲线：在每个节点处，根据杆件的长度、杨氏模量和截面惯性矩等参数，可以计算出弯矩和反弯力。
使用弯矩-转角关系式，可以计算出每个节点上的弯曲曲线。
5.确定反弯点：通过计算整个结构中的弯曲曲线，可以确定具有最大挠度的位置。
在这个例子中，我们将选取距离固定端0.3倍梁长的位置作为反弯点。
6.计算最大挠度：在选定的反弯点上，可以计算出具有最大挠度的情况，即该位置的挠度最大值。
7.结果分析：根据计算结果，可以进行结构的优化设计或评估。
在这个例子中，我们可以选择增加悬臂梁的截面尺寸或添加额外的支撑来减小最大挠度。
通过上述步骤，我们可以使用反弯点法计算出悬臂梁的弯曲曲线和最大挠度，并据此对结构进行进一步优化。
当然，这只是一个简单的例子，实际工程中可能涉及更复杂的结构和计算。
需要指出的是，反弯点法只是众多结构分析方法之一，它的适用范围和局限性需要结合具体情况来判断。
水平荷载作用下采用反弯点法计算
水平荷载作用下采用反弯点法计算反弯点法是结构力学中一种常用的计算方法，用于计算水平荷载作用下的结构变形和受力状态。
通过找出结构中的反弯点，即弯矩变化方向以及弯矩大小变化的位置，可以得到结构中各个截面的内力和变形情况。
本文将介绍反弯点法的基本原理和计算步骤，并用一个实例进行具体分析。
反弯点法的基本原理是假设结构在水平荷载作用下呈现弯矩分布曲线的形状是一条抛物线。
这条抛物线有一个最高点，称为反弯点。
利用这个假设，可以将结构截面沿着水平方向划分为两部分，即反弯点之前和反弯点之后。
反弯点之前的部分为正弯矩区域，反弯点之后的部分为负弯矩区域。
通过计算这两个区域的弯矩大小和位置，可以得到结构中各个截面的内力和变形。
对于一个梁的水平荷载作用下的反弯点法计算，具体步骤如下：1.画出结构的截面和荷载图，确定结构的几何形状和载荷情况。
2.假定结构的反弯点在梁的中点位置，即距离梁两端等分。
若已知反弯点的位置，可直接进行下一步骤的计算。
3.计算反弯点之前的正弯矩区域的弯矩大小和位置。
利用弯矩方程可以得到：M1 = (wl^2)/8其中，M1为反弯点之前的正弯矩，w为单位长度的均布荷载，l为梁的长度。
4.计算反弯点之后的负弯矩区域的弯矩大小和位置。
利用弯矩方程可以得到：M2 = (wl^2)/8其中，M2为反弯点之后的负弯矩。
5.通过计算得到的弯矩大小和位置，可以得到结构中各个截面的内力和变形。
根据梁的受力平衡条件，可以计算出梁的剪力和弯矩分布。
根据弹性力学理论，可以得到梁的挠度曲线和变形情况。
下面以一个简单的例子来说明反弯点法的具体应用。
假设有一根长度为6m的梁，受到均布荷载q=10kN/m作用。
我们要计算梁在水平荷载作用下的内力和变形情况。
首先，确定反弯点的位置。
由于荷载是均布荷载，梁的长度等分为两个部分，所以反弯点的位置在梁的中点，即3m处。
然后，计算反弯点之前的正弯矩区域的弯矩大小和位置。
根据反弯点法的计算公式，可以得到：M1=(q*l^2)/8=(10*3^2)/8=11.25kNm再计算反弯点之后的负弯矩区域的弯矩大小和位置，也得到：M2=(q*l^2)/8=(10*3^2)/8=11.25kNm最后，根据梁的受力平衡条件和弹性力学理论，可以计算出梁的剪力和弯矩分布，以及梁的挠度曲线和变形情况。
反弯点法
水平荷载作用下的反弯点法1.受力特点风荷载或水平地震对框架结构的作用，一般可简化为作用于框架节点上的水平集中力，在此荷载的作用下，框架结构上的弯矩特征如图3-2-7所示，变形如图3-2-8所示。
其受力与变形具有如下特点（1）各杆的弯矩为直线分布，且每个杆均有一个零弯矩点即反弯点；（2）在固定端处，角位移为零,但上部各层节点均有转角存在,节点的转角随梁柱线刚度比的增大而减小；（3）如忽略梁的轴向变形，同层内各节点具有相同的侧向位移，同层各柱具有相同的层间位移。
2.解题思路鉴于框架结构在水平荷载作用下具有上述受力变形特点，如能求出各柱的反弯点位置及反弯点处的剪力，就可以利用静力平衡条件求出各杆件的内力。
因此解题的关键是确定各柱反弯点的位置及反弯点处的剪力。
3.基本假定由受力特点可知，框架受力后节点会产生转角和侧移，但根据分析，当梁与柱的线刚度之比大于3时，节点转角很小，对内力影响不大，故可忽略即转角 =0（图3-2-9），实际上这等于是把框架梁简化为一刚性梁。
基本假定如下：（1）在求各柱子的剪力时，假定梁与柱的线刚度比为无穷大，即各节点转角为零；（2）在确定柱的反弯点位置时，假定除底层以外的其余各柱，受力后上下两端转角相同；(图3-2-10)（3）梁端弯矩可按梁的线刚度进行分配。
4.柱的反弯点高度——反弯点高度，指反弯点至柱下端的距离。
对于底层以上的各层柱，根据假定（2），各柱的上下端转角相等,则柱的上下端弯矩也应相同,所以反弯点在柱中部。
对于底层柱,当柱脚固定时,柱下端转角为零(图3-2-11(a))，上端转角为，因此柱上端弯矩比下端弯矩小,其反弯点则偏离柱中点而向上移,可取在层高处。
各柱反弯点的高度为：底层柱其余各柱5.各柱反弯点处的剪力设框架结构共有n层，每一层有m 个柱子，框架节点上作用有水平荷载、……，如图3-2-12(a)所示。
（1）第j层所受到的总剪力将框架沿第j层各柱的反弯点处切开，代以剪力和轴力，如图3-2-12(b)所示，本层总剪力为。
三种方法计算框架水平作用下的内力(D值法,反弯点法,门架法)
C 9.08E+4
21.88
35.01
D 2.38E+4
24.99
42.48
E 4.64E+4 94000 98.7 48.72 1.7
82.82 77.49 81.65 69.40 77.49
F 2.38E+4 1
A
24.99 24.99
42.48 82.47
B
48.72 3.3 160.78
C
24.99
令 i左边梁 为 1.0，梁柱的相对线刚度如图 4 所示。
图.4 梁柱相对线刚度
（3）求修正的反弯点高度（图 5）
图.5 修正的反弯点高度图
反弯点高度比的修正：
y = y0 + y1 + y2 + y3 A、B、C 轴柱的反弯点高度的计算如表 3、表 4 和表 5 所示。
表 3 A 轴框架柱反弯点位置、D 值的计算
=
12
53
= 4.64 ×10 4 kN / m
其余各层边柱：
D余边柱
= 12EI h3
12 × 3.25 ×107 × 1 × 0.55 × 0.553
=
12
3.23
= 9.08 ×104 kN / m
其余各层中柱：
D余中柱
= 12EI h3
12 × 3.25 ×107 × 1 × 0.65 × 0.653
4
3.20 0.56 0.45
0
0
0
0.45 1.44 0.219 90758 19876
3
3.20 0.56 0.480 Nhomakorabea0
0
0.48 1.54 0.219 90758 19876
反弯点法例题详解
例：用反弯点法计算图1所示刚架，并画出弯矩图。
括号内数字为杆件线刚度的相对值。
图1解：顶层柱反弯点位于柱中点22h ，底层柱的反弯点位于柱高123h 处，在反弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。
F QIFQHE QGD图2 顶层脱离体F QAD F QBE F QCFGIFED817图3 底层隔离体（1）求各柱剪力分配系数kk ik k μ=∑ 顶层：20.286223GD IF μμ===⨯+30.428223HE μ==⨯+底层：30.3324DA FC μμ===⨯+40.4324EB μ==⨯+（2）计算各柱剪力：0.2868kN 2.29kN QGD QIF F F ==⨯= 0.4288kN 3.42kN QHE F =⨯= 0.325kN 7.5kN QAD QCF F F ==⨯= 0.425kN 10kN QBE F =⨯=（3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算 杆端弯矩：2 3.33.42kN 5.64kN m 22EH QHE h M F m =-⨯=-⨯=-⋅（反弯点位于22h 处）1 3.610kN 12kN m 33EB QBE h M F m =-⨯=-⨯=-⋅（反弯点位于柱123h 处） 计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为：17.64kN m EH EB M M M =+=-⋅按梁刚度分配：1217.647.84kN m 27ED M =⨯=⋅ 1517.649.8kN m 27EFM =⨯=⋅ 图3是刚架弯矩图。
8173.782.51 5.643.783.133.783.783.78912.785.649.87.841212.783.781824189图3 弯矩图（单位kN m ⋅）。
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和值法详解
第1页，共69页。
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
框架所承受的 水平荷载主要是风 荷载和水平地震作 用，它们都可以转 化成作用在框架节 点上的集中力。
2
第2页，共69页。
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
1.各杆件的弯矩图均 为直线，一般情况下 每根杆件都有一个弯 矩为零的点，称为反 弯点；
BA
0.6
0.6 0.8
0.8
0.272
FE
JI
0.8 0.6 0.8 0.8
0.364
D
H
（2）求各柱在反弯点处的剪力：
37kN
VDC DC 37 11.77kN
CG
74kN
VCB CB (37 74) 31.08kN
BF
VBA
BA
(37
74
80.7)
52.14kN
80.7kN
柱的抗侧刚度D值
D
12ic h2
式中
h —层高 ic —柱的线刚度，ic EIc / h ；
E —柱混凝土弹性模量；
Ic —柱截面惯性矩； —与梁柱刚度比有关有刚度修正系数
40
第40页，共69页。
i2 ic
i4
K i2 i4 2ic
i2 ic
K i2 ic
i1 i2
ic
K i1 i2 i3 i4 2ic
４.同层各柱剪力的确定
一般，当同层各柱的高度相等时，
由
d
12ic h2
有
V jk
i jk
m
Vj
i jk
k 1
反弯点法
3求梁端剪力
l r Mb Mb Vb l
Vb
Mb
l
Vb
l
Mbr
Vlbn
Vrbn
Nnk
4求柱轴力 从上到下利用节点竖向力平衡条件。
Vlb,n-1
Nnk Vrb,n-1 Nn-1,k
三、计算步骤
在各层反 弯点处切开
h j h j 2h j V jk ( 、 ) 2 3 3
剪力分配
柱反弯点 处的剪力
二、计算方法（框架结构共n层，m-1跨）
1 求柱剪力
Fn Fj
将框架在某一层的 反弯点切开。 根据平衡条件，有
i j
Vj1
Vjk
Vjm
F1
Fi
n
k 1
V jk
m
Fn Fj Vj1 Vjk Vjm
根据几何条件（忽略梁轴向变形）
u j1 u j 2 u jk u jm u j
一、简化分析模型
假定： 1 框架梁的线刚度相 对框架柱的线刚度为 无限大。则在忽略柱 子轴向变形的情况下， 节点的转角为零。
u AB M 6 i 根据转角 AB h 位移方程： M 6i u AB BA h
反弯点法是有一定的适用范围的，即 框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
柱端 弯矩
利用节点力 矩平衡条件
梁端 弯矩
l r Mb Mb Vb l
梁端 剪力
节点竖向力 平衡条件
柱 轴力
四、课堂巩固
例题：用反弯点 法计算右图所示 框架的弯矩，并 绘出弯矩图。图 中圆括号内的数 字为杆件的相对 线刚度。
五、小结
应用范围
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例：用反弯点法计算图1所示刚架，并画出弯矩图。
括号内数字为杆件线刚度的相对值。
图1
解：顶层柱反弯点位于柱中点
22h ，底层柱的反弯点位于柱高12
3
h 处，在反弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。
F QIF
图2 顶层脱离体
F QAD F QBE F QCF
G
I
F
E
D
8
17
图3 底层隔离体
（1）求各柱剪力分配系数k
k i
k k μ=∑ 顶层：
2
0.286223
GD IF μμ==
=⨯+
3
0.428223
HE μ=
=⨯+
底层：
3
0.3324
DA FC μμ==
=⨯+
4
0.4324
EB μ=
=⨯+
（2）计算各柱剪力：
0.2868kN 2.29kN QGD QIF F F ==⨯= 0.4288kN 3.42kN QHE F =⨯= 0.325kN 7.5kN QAD QCF F F ==⨯= 0.425kN 10kN QBE F =⨯=
（3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算 杆端弯矩：
2 3.3
3.42kN 5.64kN m 22EH QHE h M F m =-⨯
=-⨯=-⋅（反弯点位于22
h 处）
1 3.610kN 12kN m 3
3EB QBE h M F m =-⨯
=-⨯
=-⋅（反弯点位于柱12
3
h 处） 计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为：
17.64kN m EH EB M M M =+=-⋅
按梁刚度分配：
12
17.647.84kN m 27ED M =⨯=⋅ 15
17.649.8kN m 27
EF
M =⨯=⋅ 图3是刚架弯矩图。
8 17
3.78
2.51
5.64
3.78
3.13
3.78
3.78
3.789
12.78
5.64
9.8
7.84
12
12.78
3.78
182418
9
图3 弯矩图（单位kN m
）。