信号的抽取与插值

4 x( m)h(3m 4 3 ) 3 m
m

x(1 m)h(3m 1) x(1)h(1) u(4)
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Mn y (n) x( m)h(m L Mn L ) L m
k k
h( n k ) x ( k

h(n k )v(k )
L)
k

h(n Lk ) x(k )

x(k )h( Mn Lk )
25
正是单独抽取和单独插值时域关系的结合
y (n)
k
x(k )h( Mn Lk )
理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频
率出现。例如：
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一个数字传输系统，既可传输一般的语音信号，也可传输视频信号， 这些信号的频率成份相差甚远，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系 统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换； 在音频世界就存在着多种抽样频率。立体声声音信号所用的抽样频率 是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，数字音频广播用的是32kHz。 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要 求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换； 对信号作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤 波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提 取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；
)
x(n ) 作M倍的抽取后，所得信号
1 2 k 的移位，幅度降为原来的 轴上作 后再迭加。 M M
y (n ) 的频谱等于原信号的频谱先作M倍的扩展，再在
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10
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1 j Y (e ) M
k
h( n k ) x ( k

L)
k
h(n Lk ) x(k )

u(3) x (1)h(0) x (0)h(3) u( 4) x (1)h (1)
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Mn y (n) x( m)h(m L Mn L ) L m
第5章 信号的抽取与插值
为简单起见，很多时候我们在讨论信号处理的各种理论、
算法及实现这些算法的系统时，都把抽样频率视为恒定值，
即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中， 我们经常会遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字 系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同 抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处
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M 1 k 0
X (e
j ( 2k ) M
j ( 2k )
) H (e
M
)
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5.3 信号的插值
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Y (e ) H (e ) cX (e )
j
↓M
z 1
y(n)
3. 在M倍抽取器的前后，滤波器的z的幂相差M倍
x(n) y(n) x(n)
y(n)
H(zM)
↓M
↓M
H(z)
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Y ' ( z) X ( z)H ( z )
M
1 Y ( z) M
k M
M 1 k 0
Y '( z
1
M
k WM )
1 Y ( z) M
x(k L)h(n k )
k
k
y (n)
k
x(k )h(n kL)
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5.4 抽取与插值相结合的抽样率转换
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0 | | min( , ) L M 其它 则该滤波器既去除了插值后的镜像又防止了抽取后的混迭
现在，我们来观察它们对原序列重新组合的不同方式。令
hl( E ) (n) h( Mn l )
hl( R) (n) h( Mn M 1 l )
hl(Q ) (n) h( Mn l )
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5.6 几个重要的恒等关系
由上述几节的抽样率转换关系，我们可得到在多抽样 率系统中几个重要的恒等关系：
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3
5.2 信号的抽取
在传送或处理信号时，为了减少数据量，需要降低信 号的采样速率(例如音频系统)。如果要把采样速率减小M 倍(M是整数)，可以把原始的采样序列每隔M-1个点取一 个点，形成新的采样序列，该过程称为M倍抽取，M为抽
取因子，实现这一过程的器件称为M-抽取器。
x(n)
↓M
这样，既避免了与插值后为零的点相乘的多余运算，又
避免了被舍弃点的多余计算。可见，在多抽样率转换中， 不同计算方法的选取会需要不同的计算量。解决这一问 题的有效方法是采用信号的“多相（polyphase）结构”。 上式即是多相结构的一种表示形式，更多的内容我们将

在下一节讨论。
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j
j
| | L
1 y (0) 2
Y (e


j
)d
c L jL y (0) L X (e )d 2 c c j X (e )d L x(0) 2L
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插值后滤波的时域关系
y(n) v(n) * h(n) v(k )h(n k )
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H ( z ) h(n) z n h0 h4 z 4 h8 z 8 h12 z 12
n 0

h1 z h5 z h9 z
1
5
9
h13 z
13

h2 z 2 h6 z 6 h10 z 10 h14 z 14 h3 z 3 h7 z 7 h11 z 11 h15 z 15
z 1
x(n)
↑L
y(n)


x(n)
y(n)
x(n)
G(z)
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↑L
y(n)
x(n)
↑L
G(zL)
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y(n)
5.7 抽取和插值的滤波器实现
5.7.1 抽取的滤波器实现
x(n) y (n)
h(n)
z 1
h0
z 1 h1
v(n)
↓MHale Waihona Puke Baidu
↓M
z 1 z
1
↓M
y (n) x(n)
h0
h2
h5 h8
48
可以用多相结构来实现信号的抽取，即假定M=3, 则
H ( z) E0 ( z 3 ) z 1 E1 ( z 3 ) z 2 E2 ( z 3 )
Ei ( z )
对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，
希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。
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以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能 工作在多抽样率状态。近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实 现基础上的“多抽样率数字信号处理” 已成为现代信号处理的重要内 容。其核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。 减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的抽取(decimatim)， 增加抽样率以增加数据的过程称为信号的插值(interpolation)。抽取、 插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。(本章) 滤波器组，是一组滤波器，它用以实现对信号频率分量的分解， 然后根据需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理（如编码） 或传输，在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。 前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组。(下章)
h1
↓M
z
1
h2
hN 1
z 1
z
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1
↓M
hN 1
y (n)
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x(n)
↓3
z 1
z 1
h0 h3
h6
y (n)
z 1
↓3
z 1
z 1 z 1
h1
h4
h7
↓3
将滤波器系数分组 来实现信号的抽取
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z 1 z 1
M 1 k 0
X (z
k 0
1
M
( z 1 M W k ) M W )H M
1 M
M 1
X (z
1
M
W )H ( z)
k M
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1
x(n)
y1 ( n)
1
↑L
2
y2 (n)

x(n)
↑L
y1 ( n) y2 (n)
2
↑L
↑L
z L
y (n)
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5
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6
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7
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8
1 M Y (z ) M
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M 1 k 0
k X ( zWM )
9
1 j Y (e ) M
该式的含意是，将信号
M 1 k 0
X (e
j ( 2k ) / M
L j H (e ) 0

现在分析一下各部分信号的关系。由上两节的讨论可知
x(n L) v(n) 0
n 0, L,2 L 其它
y (n) u( Mn)
u( n ) y (n)
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n ~
k
u (n) v(n) * h(n)

el (n) h( Mn l )
El ( z ) el (n) z n
n 0
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H ( z)
M 1 l 0
z ( M 1l ) Rl ( z M )
n
Rl ( z ) E M 1l ( z ) h( Mn M 1 l ) z
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5.5 信号的多相表示
信号的多相(polyphase)表示是多抽样率信号处理中 的一种基本方法。使用它可在抽样率转换的过程中去掉 许多不必要的计算，因而大大提高运算效率；在实现滤 波器组时也是非常有用的。多相表示也称多相分解，它
是指将数字滤波器的转移函数H(z)分解成若干个不同相
位的组。
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12
3


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H ( z)
M 1 l 0
z h( Mn l ) z
l n 0

Mn
El ( z ) h( Mn l ) z n
n 0
类型-I多相表示
H ( z)
M 1 l 0
z l E l ( z M )
y (0)
m

x(m)h(3m) x(0)h(0) u(0)


2 y (1) x( m)h(3m 2 3 ) 3 m y ( 2)
m
x(m)h(3m 2) x(0)h(2) u(2)

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27
x (n)
n
v(n)
n
h(n)
n
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u (n) v(n) * h(n)
k
h(n k )v(k )

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u( n )
u(0) x (0)h(0) u(1) x (0)h(1) u( 2) x (0)h ( 2)
n 0
这两个表达式称为类型-II多相表示
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Ql ( z ) h( Mn l ) z
n 0

n
H ( z)
M 1 l 0
z l Ql ( z M )
这两个表达式称为类型-III多相表示。
显然，
Ql ( z) z 1 EM l ( z)
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1. 两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它们各自
抽取后再定标和相加
x1 (n)
1
y (n)
x2 ( n ) 2
↓M

x1 (n)
1
↓M
2
y (n)
x2 ( n )
↓M
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2. 信号延迟M个样本后作M倍抽取和先抽取再延迟一个 样本是等效的
x(n)
z
M
y(n)
↓M


x(n)
z 0 h0 h4 z 4 h8 z 8 h12 z 12
z h1 h5 z z z
2 3 2 1

h h
4 4 4
h9 z h13 z
8 8
8
12

h6 z h7 z
h10 z h14 z h11 z h15 z