2010数学建模A题 储油罐的变位识别与罐容表标定
储油罐的变位识别与罐容表标定.doc
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是： A题储油罐的变位识别与罐容表标定我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表的标定摘要本文研究储油罐的变位识别与罐容表的标定。
分别以小椭圆型油罐和实际卧式储油罐为研究对象，运用高等数学的积分的知识，分别建立罐体变位前后罐内油体积与油高读数之间的积分模型，使用Matlab 软件得出结论。
对于问题一，以小椭圆型储油罐为研究对象，在无变位时，小椭圆型储油罐为规则的椭球柱体，可利用解析几何与高等数学的知识建立油罐内体积与油高读数之间的积分模型，得出罐体无变位时的理论值。
当罐体发生纵向变位时，小椭圆型储油罐的截面不再是规则的几何形体，但根据倾角α及所给小椭圆型罐体的尺寸，可得其截面面积的表达式，利用高等数学中积分的方法，根据不同油高，建立了模型一，得到了储油量和油高的关系公式。
最后，根据实验数据的处理，用拟合的方法，修正了某些系统误差的影响，计算出罐体变位后油位高度间隔1cm 的罐容表的标定值。
2010“高教社杯”全国大学生数学建模大赛A题论文
基于微元法的变位储油罐罐容表标定问题摘要加油站当地下储油罐发生一定程度变位时，需要重新标定其罐容表，优化“油位计量管理系统”，目的是得到地下储油罐内油量的真实值，所以研究该问题对加油站具有重要意义。
本文主要利用微元法建立积分模型，解决了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，得到了实验储油罐变位后罐容表新的标定值，实际储油罐变位后储油量与油位高度及变位参数之间的关系，以及实际储油罐变位后罐容表新的标定值。
问题一中，首先对纵向倾斜的小椭圆油罐进行分析，将油罐从罐中无油到加满油的过程分为7个部分来分析，分别是：（1）从罐中无油到将油加到刚好不接触油浮子；（2）从油开始接触油浮子到油灌满倾斜角但刚好不接触罐右侧壁；（3）从罐中油开始接触右侧壁到油灌到左侧壁中点水平线；（4）油从左侧壁中点灌到左侧壁终点水平线；（5）油从左侧壁终点灌到右侧壁中点水平线；（6）油从右侧壁中点灌到油浮子刚好显示油满；（7）从油浮子刚好显示油满到将油罐灌满。
分别分析这7个加油的过程，建立模型，用微元法求解每个部分罐中油体积的变化，根据体积的变化得到油面高度的变化，将变位后的油面高度与无变位时的油面高度作比较，分析得出变位对罐容表的影响。
最后由变位后油面的高度，用Matlab编程序得到变位后罐容表新的标定值。
问题二中，经过对实际储油罐的形状与倾斜及偏转角度情况的分析，我们利用割补法建立罐体变位后的数学模型，先分别分析储油罐只纵向倾斜和只横向偏转的情况，用h的函数关系式，再分析储油罐同时纵向倾微元法得到罐中油体积与变位后罐容表刻度斜和横向偏转的情况，我们将模型转变为先将储油罐横向偏转，然后在横向偏转的基础上再纵向倾斜，由所给的实际储油罐的数据，分别结合只进行纵向倾斜和只进行横向偏转的情况，用拟合的方法，利用Simpson公式，近似得到了倾斜角α=4.5230,偏转角β=1.220。
在α和β确定之后，罐内储油量与油位高度及倾斜角α、偏转角β的关系式即转化为油体积与油位高度的关系式，进而计算得到变位后油位间隔为10cm的罐容表新标定值。
全国数学建模大赛题目
附件2：实际储油罐的检测数据
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
全国大学生数学建模竞赛A题获奖—储油罐的变位识别与罐容表标定
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
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再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
2010年全国大学生数学建模优秀论文(A题)
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本文即针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建立了相应的数学模型。
首先从简单的小椭圆型储油罐入手，研究变位对罐容表的影响。
在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系，在忽略罐壁厚度等细微影响下，运用积分的方法求出储油量和测量油位高度的关系。
将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计算得误差均保持在3.5%以内。
纵向变位中，要分三种情况来进行求解，然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对罐容表的影响。
通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。
2010年全国大学生数学建模优秀论文(A题)
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本文即针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建立了相应的数学模型。
首先从简单的小椭圆型储油罐入手，研究变位对罐容表的影响。
在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系，在忽略罐壁厚度等细微影响下，运用积分的方法求出储油量和测量油位高度的关系。
将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计算得误差均保持在3.5%以内。
纵向变位中，要分三种情况来进行求解，然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对罐容表的影响。
通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛储油罐的变位识别与罐容表标定解析
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J0903所属学校（请填写完整的全名）：西北工业大学参赛队员(打印并签名) ：1. 葛振振2. 张浩3. 王超指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：吕全义日期： 2010 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，许多储油罐在使用一段时间后罐体的位置会发生变位。
本文主要分析和讨论了储油罐变位对罐容表的影响。
解决本题的关键是求出在不同变位参数下储油罐的储油量与油位高度的对应关系，难点是积分问题。
对于问题一，本文利用多重积分【1】与三角变换分别求出了小椭圆型储油罐无变位和发生纵向变位时罐容表的标定函数，其中无变位时的相对误差均为3%左右，发生纵向变位时的相对误差小于5.2%。
然后通过与实验数据比较求出了修正函数，修正后两种情况下的相对误差均减小到0.02%以下。
接着对比修正后的无变位和有变位时的标定函数，来研究储油罐变位对罐容表的影响，发现油位高度近似为储油罐高度的一半时两种情况下的储油量差别最大。
然后本文给出了小椭圆型储油罐变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
(推荐)数学建模A题--储油罐的变位识别与罐容表标定的论
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要探讨了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
本文通过建立合适的坐标系，使用二重积分的方法和近似积分、坐标变换等技巧，求解了小椭圆储油罐和实际储油罐在发生变位时储油量与油高变化的函数关系，从而分析了罐体变位后对罐容表的影响，并对数据结果和误差进行了详实的分析。
本文在模型的建立与求解的过程中始终遵循化繁为简的原则，最先考虑简化的基本模型，再通过变换推导出实际的模型。
在第一问中，我们首先假设油罐壁的厚度为零，并通过二重积分的计算了小椭圆储油罐在无变位情况下的理论储油量。
其次我们通过运用几何原理通过坐标变换利用现有模型计算了小椭圆储油罐在纵向倾斜后的理论储油量。
在进行误差分析时，我们发现误差非线性，且误差数量级较大，得出油罐壁的厚度应不为零的结论，且经过理论分析油量3()V O d =，故我们用三次多项式拟合误差曲线()f H ，并通过'()()()V H V H f H =-修正了油量的计算公式。
经检验，修正后模型的计算值与实际值十分吻合，模型准确度很高。
并且，我们用修正后的模型V'(H)对油罐进行了标定。
在第二问中，我们利用了问题一中的模型求解罐身中的油量体积，并通过二重积分给出了油罐凸头部分油量的计算公式，其中，在油罐发生纵向倾斜时，我们队凸头部分的油量进行了合理的近似计算。
并且，我们通过坐标变换，给出了211()((,,((),))V H f f H f H αββα==））的变位参数修正形式。
在求解变为参数α、β时，我们通过最小二乘法拟合()V H ，求出了 2.1258, 4.6814αβ︒︒==。
将此变位参数代入模型中进行检验，得出理论计算值与实际值的相对误差限为5.006%，平均相对误差为0.029%，模型准确可靠。
最后我们用所得模型对油罐进行了标定。
关键词：储油罐 油量 倾斜 标定问题的重述与分析1、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
2010年全国数学建模大赛 A题 储油罐的变位识别与罐容表标定
A题储油罐的变位识别与罐容表标定摘要：罐容表是标定罐内油品体积与油品液面高度的函数关系，通过测量油罐实际参数，使该函数关系具体化，给出了该函数的计算机程序，得出油品体积与油品液面高度对照表。
但储油罐在实际应用中由于地理位置的不同和使用过程中地基的变形，其罐体的位置发生变化，从而导致罐容表发生改变。
这时，就需要对罐容表进行重新标定。
对于问题一，要研究罐体变位后对罐容表的影响，我们根据附件1给出的实验测得的数据作进/出油变位前后储油量与油位高度的散点图，经观察每幅散点图上的点基本基于一条直线上，由此确定储油量与油位高度的关系基本上是线性的，从而建立线性回归模型。
将所得到的进/出油变位前和变位后储油量与油位高度的函数关系式进行微分，并对微分后得出的微分方程分别进行进/出油变位前后比较，再参考模型求出来的预测值图（见附件），我们得出结论：在发生变位的倾斜度一定的条件下，无论进油还是出油，都会造成罐体的总储油量减少的影响。
因此，罐体的变位必定会影响罐内油位高度与储油量的对应关系，罐容表的值也因此而发生相应的变化。
在模型中我们将所得的关系式进行转换，求出变位后油位高度间隔1cm对应储油量的变化。
由于给出的实验数据的复杂与庞大，计算过程中存在一些不确定的误差，将模型求解的结果与实验测量的结果进行比较，求出它们之间的误差，检验该模型的正确性。
对于问题二，我们分析附件2中的数据可知其近似线性分布，将给出的数据按散点的分布规律分成六段，并假设罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的简单关系式，再根据数据建立分段回归模型，运用EXCEL中的数据分析，得出各段的线性回归方程，并求出油位高度间隔10cm 后出油量的变化值。
对于确定罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系这一问题，我们参考文献]6[，确定了问题二要求的参数间关系，再根据附件2给出的实际数据，进行对模型检验，从而验证模型的正确性和该求解方法的可靠性。
2010全国赛A题
12010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数， 并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
（先检测误差补偿的可靠性，然后进行计算0-10,10-20…..）附件1：小椭圆储油罐的实验数据附件2：实际储油罐的检测数据地平线 图1 储油罐正面示意图油位探针2误差补偿公式：油位探针地平线 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图(b) 小椭圆油罐截面示意图水平线1.2m(a) 小椭圆油罐正面示意图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图图3 储油罐截面示意图（b ）横向偏转倾斜后正截面图地平线油位探针（a ）无偏转倾斜的正截面图。
2010数学建模A题答案论文 储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
储油罐作为加油站常用的贮存设施，对油品在不同液面高度时的贮油量进行精确的 计量变得尤为重要，本文讨论了，加油站卧式储油罐的变位识别与罐容表标定问题。其 主要方法是参考卧式储油罐罐内油品体积标定测量技术，结合几何关系及积分计算，建 立储油罐内储油量，油位高度及变位参数（纵向倾斜角 与横向倾斜角 ）之间的关系 模型。然后分析模型，在油位高度一定时，由储油量确定变位参数 与 的值，即为对 储油罐进行变位识别；在变位参数 与 一定时，根据油位高度可确定储油量，即为对 罐容表（罐内油位高度与储油量之间对应的函数关系表达式）进行标定。
地平线
油位探针
油位探测装置
注检 油查 口口
出油管
油浮子
3m
油位
油
高度
1m 2m
6m
1m
图 1 储油罐正面示意图
-2-
地平线 油位探测装置
油位探针
油浮子
注检 油查 口口
出油管
油
α
图 2 储油罐纵向倾斜变位后示意图
水平线
地平线
油位探针
油位探测装置
地平线 油位探针
油 油
β
3m
地平线垂直线
（a）无偏转倾斜的正截面图
-6-
S ' a2 / 2 (a h' )a sin( / 2)
公式（2）
从而求得所求截面面积： S ( a2 / 2 (a h')a sin( / 2)) cos
公式（3）
将式（3）带入式（1）求得： V ( a2 / 2 (a h' )a sin( / 2))l cos
首先，结合上述因素及汽油热膨胀系数，建立模型并对模型进行修正，修正热膨胀 所带来的计算误差。代入附表实际测量数据验证模型。
2010数学建模论文(储油罐问题)
储油罐的变为识别与灌容表标定目录储油罐的变为识别与灌容表标定 (1)目录 (1)摘要 (2)一问题的提出 (3)二符号说明 (3)三模型的假设 (4)四问题分析 (4)五模型的建立及求解 (5)1.问题一 (5)1.1未变位的椭圆球体 (5)1.2变位后的椭圆球体 (7)1.3用已经建立的模型研究罐体变位后对灌容表的影响。
(9)1.4计算油位高度为1cm的灌容表标定值 (10)2.问题二 (11)2.1确定储油量与储油高度及变位参数的关系 (11)六．模型的检验 (14)七．模型改进方向 (15)参考文献 (15)摘 要加油站的地下储油罐使用一段时间后会发生变位，针对这个问题，我们建立了数学模型，并利用matlab 和mathmatica 等软件对其进行求解，得到了储油罐的变位后对灌容表的影响和对变位后的罐容量重新标定。
问题一，我们先针对储油罐变位前后分别对体积其建立数学积分模型，用数值积分求得模型，然后用附表一中的有无变位进油中所得的油位高度分别代入两个模型求得体积与附表一相对应的累加进油量和灌内容量初始值之和相差不大，说明我们建立的模型可以接受。
用这两个模型变位前后的曲线，发现变位后的油罐灌容表测得高度值偏大，致使测得容量值与实际值相比偏小。
根据误差分析对模型进行修正并检验，并利用变位后的修正模型模型给出了间隔1cm 的灌容表标定值。
问题二，以圆柱体为主体，两边是两个球冠体的储油罐发生横向偏移和纵向偏移之，首先分析储油罐横向偏转对油位探针测量的高度2h 的影响，储油罐发生纵向倾斜对任意位置油面的高度的影响。
把该储油罐分成中间部分和左右两个球冠体，然后针对储油罐变位后分别对三部分建立数学积分模型，得出油罐中油的体积与油位探针测量的高度2h 的积分关系，比较复杂不易求解，从而对模型进行简化，得到了灌内储油量与油位高度及变位参数α和β的关系5232.532528.3356cos 42.5034cos 56.6712tan v h ββα=+--，通过待定系数法确定了变位参数的值0.2693,21.3484αβ=︒=︒。
2010数学建模A题-储油罐的变位识别与罐容表标定
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据油油浮子出油管油位探测装置 注油口 检查口 地平线 2m6m 1m 1m3 m油位高度 图1 储油罐正面示意图油位探针油位探针α地平线 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口 检查口水平线图3 储油罐截面示意图（b ）横向偏转倾斜后正截面图地平线β地平线垂直线油位探针（a ）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置地平线 油3m油摘 要通常，在加油站都有预先标定的罐容表，并且都有与之配套的“油量计位管理系统”。
2010年数学建模A题论文--储油罐的变位识别与罐容表的标定
储油罐的变位识别与罐容表的标定摘要本文针对储油罐变位后，“油位计量管理系统”失真的情况下，根据微积分原理，建立⎰⎰⎰V的模型，得出在倾斜情况下油液高度与储油罐(=dxdydzf)x,y,z内油容积的正确关系，即对倾斜储油罐的油容表进行有效修正。
模型一中，对两端平头的椭圆型储油罐进行变位建模，分析计算了油容计显示的各个油位高度下所对应的油液容积，对罐容表进行了标定并分析了变位角对容积产生的影响。
模型二中，对两端球冠体的圆柱型储油罐进行变位建模，通过分析附录二中数据，由实际流出油液体积和储油罐油容表显示容积之差的不相等关系，利用体积微元原理，找到了液面实际变化差值，油容表显示差值，倾斜后罐内某一高度下的液面面积，正常情况下罐内某一高度下液面面积四者对油容表误差值所造成α和的值，并对油容表进行修正。
本的影响，同时确定了附录2中的变位参数β文中的模型可以解决适当范围内任一变位后的油容表的修正问题，其模型的正确性与方法的可靠性良好。
关键词：微分原理修正液面变化差值容积变化差值液面面积1．问题重述加油站通常有两端平头的椭圆型储油罐和两端球冠体的圆柱型储油罐及其与之配套的“油位计量管理系统”。
统计流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据。
通过预先标定的罐容表（罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
实际中，由于地基变形等原因，使罐体的位置发生纵向倾斜和横向倾斜，从而导致罐容表发生改变，需要定期对罐容表进行重新调定。
本文主要解决以下问题：问题一：两端为平头的椭圆型储油罐纵向倾斜o 1.4=α后，建立相应数学模型，研究纵向倾斜程度对罐容表的影响。
建立变位后正确的油位高度间隔为1厘米的罐容表定值。
问题二：两端球冠体的圆柱型储油罐纵向倾斜α度，横向倾斜β度，建立变位后的数学模型，利用题目附件2中的数据，确定所建模型的变位参数，给出罐体变位后油位高度间隔为10厘米的罐容表标定值，并进一步利用题目附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。
A题储油罐的变位识别与罐容表标定
A题储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
附件1：小椭圆储油罐的实验数据附件2：实际储油罐的检测数据油位探针地平线油位探针地平线图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图图3 储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针变位储油罐的罐容表标定模型摘要：加油站的地下储油罐会出现变位的情况，计量储油罐油量的罐容表需要重新标定。
2010年A题储油罐的变位识别与罐容表标定解析
论文2小组成员储油罐的变位识别与罐容表标定摘要：关键词：整体拟合重积分1.问题的重述。
1.1问题的重述。
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
现利用数学建立相应的模型研究解决储油罐的变为识别与罐容表标定的问题。
1.2待解决的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，得到实验数据。
接着建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。
利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
1.3问题的分析。
针对问题1：对于储油罐有无纵向变位情况，运用微分知识，分别建立罐体无变位油量体积V与油位高度的关系式和罐体变位油量体积与油位高度的关系式，用MATLAB软件积分求解得出其表达式，结合附件一所给的数据，绘制含有油量体积的理论值、实际值、修正值（理论值与实际值的差值）的表格。
最后，根据罐容表正常的对应值和变位后的修正值，在MATLAB中建立直角坐标系，绘制储油量与油位高度的关系曲线图，分析比较在纵向倾斜α时，对罐容表的影响。
全国数学建模历年赛题
2010年全国大学生数学建模竞赛题目A题储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
B题2010年上海世博会影响力的定量评估2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。
从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。
请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
储油罐的变位识别与罐容表标定模型(数学建模论文)
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期：2010 年9月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要本文旨在对储油罐的变位情况进行分析，并建立体积积分模型对罐容表的标定值进行求解计算。
根据题意要求对发生变位，即纵倾与横滚情况下的储油罐罐容表进行正确的标定定位，需要标定的油罐分为两种，通过分析我们考虑到，对于椭圆柱体油罐和实际油罐其初步的分析情况是一致的，都需求解出两侧的面积，并在此基础上对圆柱的变化情况进行积分，并根据其特有的结构进行一定的近似积分求解。
本题所涉及到主要工作有体积积分模型的建立，数据的拟合，误差的分析以及罐容表的标定。
对于第一问，要求对椭圆型的储油罐进行罐容表标定，由于椭圆油罐的倾斜角是已知的，故我们可以根据正切关系求解出测量高度下的左侧面的液面高度，为了积分求解的方便，我们建立椭圆曲线方程式，并移动坐标轴至椭圆低端，进一步在转化为极坐标的情况下，对相应液面高度的椭圆面积进行积分，从而得到左侧液面高度的面积值。
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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据油油浮子出油管油位探测装置 注油口 检查口 地平线 2m6m 1m 1m3 m油位高度 图1 储油罐正面示意图油位探针油位探针α地平线 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口 检查口水平线图3 储油罐截面示意图（b ）横向偏转倾斜后正截面图地平线β地平线垂直线油位探针（a ）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置地平线 油3m油摘 要通常，在加油站都有预先标定的罐容表，并且都有与之配套的“油量计位管理系统”。
我们可以通过预先标定的罐容表来进行实时计算。
本文在储油罐发生变位的情况下，研究储油罐内储油量与油位高度及变位参数的关系模型，以解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
问题一，首先我们对于椭圆形的储油罐（两端平头的椭圆圆柱体），我们可以利用我们学过的几何知识对其变位作出具体分析。
以椭圆的最低心为原点，横向（长轴）设为y 轴，纵向（短轴）设为z 轴，建立一个空间直角坐标系。
对于问题二中的储油罐，我们先将问题进行简化考虑，得出了储油罐水平卧放时油量与浮油子高度的函数关系；再考虑储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）的一般情况，在该过程中，我们进行近似处理，利用投影法和截面法得出了储油量关于油位高度及变位参数的函数关系；并在固定的横向偏转角度β条件下，就纵向倾斜角度α的变化进行分成三类讨论，这三类又可以分成八种情形，得到了每一种情形下实际储油罐罐内储油量与油位高度的函数关系。
(b) 小椭圆油罐截面示意图α 油油浮子出油管 油位探针注油口水平线2.05m0.4m1.2m 1.2m 1.78m (a) 小椭圆油罐正面示意图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 4.1οα=的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
模型的假设与符号的约定模型的假设与说明（1）在储油罐倾斜的情况下，忽略油浮子高度为0时油所占的体积；（2）在储油罐倾斜的情况下，假设当油浮子高度达到最大后不再进油；（3）油的挥发速度很慢，忽略因油的挥发而造成储油量的减少；（4）储油罐的材料为钢体，忽略因渗出油而造成储油量的减少；（5）储油罐管理妥当，不会因特殊情况而造成储油量的变化。
符号的约定与说明V表示储油罐中油的体积;问题的分析问题一的分析：当储油罐无变位时，储油罐圆柱体的接地一端为原点，以圆柱体高方向为z轴，建立笛卡尔坐标系，利用微元法得到体积关于h的公式，代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
利用附件1实验数据中得到储油罐中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差，判断误差所服从的分布，利用相对误差进行误差分析。
当储油罐发生变位时，以储油罐圆柱体的接地一端为原点，圆柱体高方向为z轴，建立笛卡尔坐标系。
根据储油罐中油量的多少分成三类，然后就每一类利用微元法得到体积关于h的公式，代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
利用附件1实验数据中得到储油罐中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差，判断误差所服从的分布，利用相对误差进行误差分析。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式可以给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
问题二的分析：对于实际储油罐，我们首先将问题进行简化考虑，得出了当实际储油罐水平卧放时实际储油罐中油量与浮油子高度的函数关系；然后我们先考虑实际储油罐罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）的一般情况，在该过程中，我们进行近似处理，利用投影法和截面法得出了储油量关于油位高度及变位参数的函数关系，再在固定的横向偏转角度β条件下，就纵向倾斜角度α的变化进行分类讨论，一共有三种情形，得到了每一种情形下实际储油罐罐内储油量与油位高度的函数关系。
最后我们先利用附件2中的少量实际数据得出了附件2所处状态下的纵向倾斜角度α和横向偏转角度β，再利用附件2中给定各高度进行代人，得到实际储油罐理论的储油量，与实际储油量进行比较，求出误差及相对误差。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式可以给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
模型的建立与求解问题一模型一当储油罐体无变位时，储油罐圆柱体的接地一端为原点，以圆柱体高方向为z轴，建立空间直角坐标系。
在高度为h时，利用微元法过垂直z轴的方向做截面()S z关于z进行积分，得到体积关于S z，对()h的公式。
图12222221.x y a x b y a b b+=⇒=-由 220222()21(b)2arcsin 2h a S z b y dyb a h b h bh h b b b b π=--⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦⎰()dV S z dz =222()1(b)2arcsin 2LV S z dza hb L h bh h b b b b π=-⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦⎰2221(b)2arcsin 2a h b V L h bh h b b b b π-⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦利用Matlab 中的命令subs 代人附件1实验数据中的各高度得到储油罐中的理论油量V 。
由附件1实验数据中进油量、出油量及储油罐罐内油量初值可以得到储油罐中的实际储油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差。
由附录中的程序youliang1，我们得到了理论储油量，误差及相对误差。
进油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图2所示：图2出油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图3所示：图3无变位进油和无变位出油的储油理论量和储油实际量及误差和相对误差的数据如表4-1所示：表4- 1无变位进油无变位出油储油量实际值储油量理论值iε(误差)相对误差储油量实际值储油量理论值iε(误差)相对误差312 322.9 10.88 3.37% 3916.2 4052.8 136.61 3.37% 362 374.6 12.63 3.37% 3866.2 4001.0 134.86 3.37% 412 426.4 14.36 3.37% 3816.2 3949.3 133.13 3.37% 462 478.1 16.13 3.37% 3766.2 3897.6 131.38 3.37% 512 529.9 17.85 3.37% 3716.2 3845.8 129.65 3.37% 562 581.6 19.61 3.37% 3666.2 3794.1 127.88 3.37% 612 633.4 21.35 3.37% 3616.2 3742.3 126.16 3.37% 662 685.1 23.08 3.37% 3566.2 3690.6 124.39 3.37% 712 736.8 24.85 3.37% 3516.2 3638.8 122.65 3.37% 762 788.6 26.58 3.37% 3466.2 3587.1 120.92 3.37% 812 840.3 28.33 3.37% 3416.2 3535.4 119.17 3.37% 862 892.1 30.06 3.37% 3366.2 3483.6 117.43 3.37% 912 943.8 31.80 3.37% 3316.2 3431.9 115.70 3.37% 962 995.5 33.54 3.37% 3266.2 3380.1 113.94 3.37% 1012 1047.3 35.30 3.37% 3216.2 3328.4 112.18 3.37% 1062 1099.1 37.05 3.37% 3166.2 3276.6 110.45 3.37% 1112 1150.8 38.81 3.37% 3116.2 3224.9 108.70 3.37% 1162 1202.6 40.55 3.37% 3066.2 3173.2 106.96 3.37% 1212 1254.3 42.29 3.37% 3016.2 3121.4 105.22 3.37%1262 1306.0 44.03 3.37% 2966.2 3069.7 103.46 3.37% 1312 1357.8 45.77 3.37% 2916.2 3017.9 101.73 3.37% 1362 1409.5 47.49 3.37% 2866.2 2966.2 100.00 3.37% 1412 1461.2 49.24 3.37% 2816.2 2914.4 98.23 3.37% 1462 1513.0 50.98 3.37% 2766.2 2862.7 96.50 3.37% 1512 1564.7 52.74 3.37% 2716.2 2811.0 94.76 3.37% 1562 1616.5 54.49 3.37% 2666.2 2759.2 93.02 3.37% 1612 1668.2 56.24 3.37% 2616.2 2707.5 91.26 3.37% 1662 1720.0 57.98 3.37% 2566.2 2655.7 89.51 3.37% 1712 1771.7 59.73 3.37% 2516.2 2603.9 87.76 3.37% 1762 1823.5 61.46 3.37% 2466.2 2552.2 86.03 3.37% 1812 1875.2 63.19 3.37% 2416.2 2500.5 84.30 3.37% 1862 1927.0 64.95 3.37% 2366.2 2448.7 82.53 3.37% 1912 1978.7 66.68 3.37% 2316.2 2397.0 80.80 3.37% 1962 2030.4 68.43 3.37% 2266.2 2345.3 79.07 3.37% 2012 2082.2 70.20 3.37% 2216.2 2293.5 77.32 3.37% 2062 2134.0 71.95 3.37% 2166.2 2241.7 75.55 3.37% 2112 2185.7 73.67 3.37% 2116.2 2190.0 73.84 3.37% 2162 2237.4 75.43 3.37% 2066.2 2138.3 72.08 3.37% 2212 2289.2 77.16 3.37% 2016.2 2086.5 70.32 3.37% 2262 2340.9 78.89 3.37% 1966.2 2034.8 68.60 3.37% 2312 2392.7 80.67 3.37% 1916.2 1983.0 66.85 3.37%2315.8 2396.6 80.78 3.37% 1866.2 1931.3 65.12 3.37% 2365.8 2448.4 82.54 3.37% 1816.2 1879.5 63.35 3.37% 2367.1 2449.6 82.56 3.37% 1766.2 1827.8 61.61 3.37% 2417.1 2501.4 84.34 3.37% 1716.2 1776.1 59.88 3.37% 2467.1 2553.1 86.05 3.37% 1666.2 1724.3 58.12 3.37% 2517.1 2604.9 87.82 3.37% 1616.2 1672.6 56.37 3.37% 2567.1 2656.6 89.53 3.37% 1566.2 1620.8 54.64 3.37% 2617.1 2708.3 91.28 3.37% 1516.2 1569.1 52.87 3.37% 2667 2760.0 93.03 3.37% 1466.2 1517.3 51.14 3.37% 2668.8 2761.9 93.11 3.37% 1416.2 1465.6 49.42 3.37% 2718.8 2813.7 94.83 3.37% 1366.2 1413.8 47.65 3.37% 2768.8 2865.4 96.59 3.37% 1316.2 1362.1 45.91 3.37% 2818.8 2917.2 98.34 3.37% 1266.2 1310.4 44.18 3.37% 2868.8 2968.9 100.09 3.37% 1216.2 1258.6 42.42 3.37% 2918.8 3020.7 101.84 3.37% 1166.2 1206.9 40.68 3.37% 2968.8 3072.4 103.58 3.37% 1116.2 1155.1 38.94 3.37% 3018.8 3124.1 105.31 3.37% 1066.2 1103.4 37.19 3.37% 3068.8 3175.9 107.06 3.37% 1016.2 1051.6 35.43 3.37% 3118.8 3227.6 108.80 3.37% 966.2 999.9 33.71 3.37% 3168.8 3279.4 110.55 3.37% 916.2 948.2 31.96 3.37% 3168.9 3279.5 110.55 3.37% 866.2 896.4 30.20 3.37% 3218.9 3331.2 112.27 3.37% 816.2 844.6 28.45 3.37%3268.9 3382.9 114.03 3.37% 766.2 792.9 26.71 3.37% 3318.9 3434.7 115.76 3.37% 716.2 741.2 24.99 3.37% 3368.9 3486.4 117.52 3.37% 666.2 689.4 23.25 3.37% 3418.9 3538.2 119.26 3.37% 616.2 637.7 21.51 3.37% 3468.9 3589.9 121.01 3.37% 566.2 585.9 19.74 3.37% 3518.9 3641.7 122.76 3.37% 516.2 534.2 18.02 3.37% 3568.9 3693.4 124.51 3.37% 466.2 482.5 16.28 3.37% 3618.9 3745.1 126.23 3.37% 416.2 430.7 14.50 3.37% 3668.9 3796.9 127.98 3.37% 366.2 379.0 12.77 3.37% 3718.9 3848.6 129.74 3.37% 316.2 327.2 11.02 3.37% 3768.9 3900.4 131.48 3.37% 266.2 275.5 9.28 3.37% 3818.9 3952.1 133.23 3.37%3868.9 4003.9 134.95 3.37%3918.9 4055.6 136.70 3.37%3968.9 4107.4 138.45 3.37%由上述的表格可以得出相对误差稳定，不会随高度发生变化。