第二章：平行线与相交线概念整理修订版
相交线与平行线知识点整理
相交线与平行线知识点整理相交线和平行线是几何学中的基本概念，是研究点、直线、平面之间的关系的重要内容。
下面是关于相交线和平行线的详细知识整理。
一、相交线的定义和性质：1.相交线的定义：当两条线或两条线段在空间中共有一个交点时，我们称这两条线或线段为相交的。
2.相交线的性质：(1)两条相交线必有且只有一个交点。
(2)相交线的交点在两条相交线上。
(3)相交线可以分割平面为两个部分。
(4)相交线可以交换位置，即线的交点不变。
(5)相交线的角度和弧度可以相互转化。
二、平行线的定义和性质：1.平行线的定义：在同一个平面上，两条直线如果没有交点，则称这两条直线为平行线。
2.平行线的性质：(1)平行线永不相交。
(2)平行线的夹角为0度。
(3)平行线在任何一点上的垂直线也是平行线。
(4)如果两条直线分别与一条直线相交，且对应的内角或同旁内角互补，则这两条直线是平行线。
(5)平行线与一个截线相交，对应角相等。
三、相交线与平行线之间的关系：1.两条相交线切割出的平行线性质：(1)两条相交线切割出的平行线长度相等。
(2)两条相交线切割出的平行线夹角相等。
(3)两条相交线切割出的平行线互相垂直。
2.平行线夹角关系：(1)两条平行线被一条截线切割，对应角相等。
(2)两条平行线被两条截线交叉切割，对应角互补。
四、平行线的判断方法：1.距离判定法：两条直线上一点到另一直线上的距离相等，则这两条直线平行。
2.角度判定法：如果两条直线上的任意一组对应角相等，则这两条直线平行。
3.线段比较法：两条平行线上两对相交线段的比值相等。
五、相交线和平行线的应用：1.在建筑设计中，平行线用于调整房屋结构的直角度量。
2.在交通规划中，相交线和平行线用于规划道路的交叉口和分隔带。
3.在地理学中，相交线和平行线用于绘制地图上的经纬线和等高线。
4.在数学教学中，相交线和平行线可以帮助学生理解几何概念，并解决相关问题。
总结：相交线和平行线是几何学中的基本概念，对于点、直线、平面的研究具有重要意义。
第二章《相交线与平行线》基础知识小结答案
第二章《平行线与相交线》基础知识小结——答案一、余角与补角：1、定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。
即，∠α的余角为：90°－∠α； 如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。
即，∠β的补角为：180°－∠β；2、性质：⑴余角的性质：同角（或等角）的余角相等；例如：已知∠AOB ＝∠COD ＝90°，则有∠AOC ＝∠BOD ，符号语言表示如下：例如：已知∠NOE ＝∠NOD ＝90°，∠1＝∠2，则有∠3＝∠4，符号语言表示如下：⑵补角的性质：同角（或等角）的补角相等。
例如：直线AB 与CD 相交于O 点，则有∠1＝∠2，符号语言表示如下：如图：点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，∠1＝∠2，则有∠ACE ＝∠BDF ，符号语言表示如下：3、对顶角：1、定义：具有公共顶点，并且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角2、性质：对顶角相等。
如下图，直线AB 与CD 相交于O 点，则有∠1＝∠2，符号语言表示如下：A B C D O ∵∠AOC ＋∠BOC ＝90°，∠BOD ＋∠BOC ＝90° ∴∠AOC ＝∠BOD (同角的余角相等)∵∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°，且∠1＝∠2 ∴∠3＝∠4 (等角的余角相等) ∵∠1＋∠AOD ＝180°，∠2＋∠AOD ＝180° ∴∠1＝∠2 (同角的补角相等) ∵∠ACE ＋∠1＝180°，∠BDF ＋∠2＝180°，且∠1＝∠2 ∴∠ACE ＝∠BDF (等角的补角相等)即“对顶角相等”A B C D O 1 2 A B E F D 1 2AB C D O 1 2 ∵∠1与∠2是对顶角 ∴∠1＝∠2 (对顶角相等)二、平行线1、“三线八角”：如右图，两直线AB 、CD 同时被第三条直线l 所截，共构成八个小于平角的角，习惯上，我们把直线l 叫做截线；把直线AB 、CD 叫做被截线；⑴同位角：在截线的同侧，并且在被截线的同一方向的两个角叫同位角；如，图中的∠1与∠2等； ⑵内错角：在截线的异侧，并且夹在两被截线内部的两个角叫内错角；如，图中的∠2与∠7等； ⑶同旁内角：在截线的同侧，并且夹在两被截线内部的两个角叫同旁内角；如，图中的∠2与∠5等；2、平行线的条件：⑴同位角相等，两直线平行；符号语言如下： ⑵内错角相等，两直线平行；符号语言如下：⑶同旁内角互补，两直线平行；符号语言如下：3、平行线的特征：⑴两直线平行，同位角相等；符号语言如下： ⑵两直线平行，内错角相等；符号语言如下：⑶两直线平行，同旁内角互补；符号语言如下：平行线的条件与特征的选择： 已知平行用特征， 说明平行用条件！三、尺规作图1、作一个角等于已知角：步骤：五步a 1bc 2 ∵∠1＝∠3 ∴a ∥b (内错角相等，两直线平行) a 1 b c 4∵∠1＋∠4＝180° ∴a ∥b (同旁内角互补，两直线平行)∵∠1＝∠2 ∴a ∥b (同位角相等，两直线平行) ∵a ∥b ∴∠1＝∠2 (两直线平行，同位角相等) a 1 b c 4 a 1 b c 3 ∵a ∥b ∴∠1＋∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)a 1bc 2 a 1 b c 3 ∵a ∥b ∴∠1＝∠3 (两直线平行，内错角相等)。
新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线知识点梳理汇总
新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线知识点梳理汇总
本文档旨在对新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交
线的知识点进行梳理和汇总。
1. 定义与性质
- 平行线的定义：如果两条直线在同一个平面内，且它们不相交，那么我们称这两条直线为平行线。
- 平行线的性质：
- 平行线上的任意一对对应角相等。
- 平行线上的内错角、同旁内角、同旁外角相等。
2. 平行线的判定
- 相关定理：
- 如果两条直线被第三条直线截断，并且对应的内错角相等或
同旁内角互补，则这两条直线平行。
- 如果两条直线被第三条直线截断，并且对应的同旁外角相等，则这两条直线平行。
3. 直线与平面的相交关系
- 直线与平面的相交情况：
- 直线与平面相交于一点。
- 直线与平面相交于一条直线。
4. 平面与平面的相交关系
- 平面与平面的相交情况：
- 两平面交于一条直线。
- 两平面平行。
- 两平面重合。
5. 平行线与平面的相交关系
- 平行线与平面的相交情况：
- 平行线与平面相交于一点。
- 平行线与平面相交于一条直线。
以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线的知识点梳理和汇总。
通过研究这些知识，可以帮助同学们更好地理解和应用平行线与相交线的相关概念和定理。
参考资料：
- 新北师大版七年级数学下册教材。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线与相交线是几何学中的基础概念，对于描述和解决与线段、角度以及图形形状相关的问题至关重要。
本文将介绍平行线和相交线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、平行线的定义和性质1. 平行线的定义：平行线是指在同一个平面上永远不相交的两条直线。
简单地说，如果两条直线在平面上始终保持同样的方向，且没有交点，那么它们就是平行线。
2. 平行线的判定：有三种常见方法可以判定两条直线是否平行：- 同一直线外的一点和该直线上的两点连线所形成的两个角相等时，可以得出这两条直线是平行线。
- 两条直线被一条横线相交，形成的内错角、外错角相等时，可以得出这两条直线是平行线。
- 两条直线的斜率相等时，可以得出这两条直线是平行线。
3. 平行线的性质：- 平行线之间的距离在任意两点之间是相等的。
- 平行线的两侧任意一点到两条直线的距离之和相等。
- 平行线与同一个横线相交时，相交的内错角、外错角相等。
二、相交线的定义和性质1. 相交线的定义：相交线是指在同一个平面上有一个交点的两条直线。
当两条直线的交点不是无穷远处时，它们就是相交线。
2. 相交线的性质：- 相交线的交点是两条直线上对应的点之间与交点相连的线段。
- 相交线上的内角和、外角和都是相等的。
- 相交线可以分为内部区域和外部区域，两个相交线之间还可以形成许多角，如同位角、对顶角等。
三、平行线与相交线的应用平行线与相交线在几何学中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 平行四边形和矩形的性质：对于平行四边形来说，其对边相等且平行。
而矩形是一种特殊的平行四边形，其内角都是直角。
2. 三角形内角和：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的三角形内角和为180度。
3. 平面切割：使用平行线和相交线可以将一个平面切割为多个区域，为解决复杂的几何问题提供了便利。
4. 平行线与比例：平行线的性质可用于解决比例问题。
当两条平行线被两条相交线所切割时，所形成的线段之间的比例是相等的。
相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线知识点总结相交线和平行线是几何学中的重要概念，它们在解决平面几何问题中起着重要作用。
本文将对相交线和平行线的基本概念、性质以及相关定理进行总结。
通过深入理解这些知识点，我们可以更好地应用它们解决几何问题。
1. 相交线的基本概念和性质相交线是指在平面上有一个或多个公共点的线段。
对于两条相交线，有以下基本性质：- 相交线的交点称为交点，两条相交线的交点只有一个。
- 相交线之间不存在夹角大小的关系，夹角的大小取决于相交线的具体角度。
2. 平行线的基本概念和性质平行线是指在同一个平面内不相交且永远也不会相交的两条直线。
对于平行线，有以下基本性质：- 平行线之间的距离始终保持相等。
- 平行线之间不存在夹角，夹角大小为0°。
- 平行线的斜率相等。
3. 相交线与平行线的关系相交线与平行线之间存在一些重要的关系：- 若两条线段相交于一点，并且这两条线段中至少有一条是平行线，则其他线段也必然是平行线。
- 若两条直线与同一条直线相交而呈同侧内角，且这两条直线之一与另一条平行线，则这两条直线也必然平行。
- 若两条直线都与同一条直线相交，并且两直线的内角和为180°，则这两条直线是平行线。
4. 相关定理在相交线与平行线的研究中，存在一些重要的定理：- 同一侧内角定理：如果一条直线与另外两条直线相交，形成的两个内角，那么这两个内角要么同时是锐角，要么同时是钝角。
- 交叉线定理：如果两条平行线分别与某一第三条直线相交，那么这两条交线的内外角之和为180°。
- 锐角平分线定理：如果射线是一条直线的角平分线且与这条直线的另一射线相交，那么这两条交线将构成一对平行线。
5. 解决几何问题的应用相交线与平行线的知识在解决几何问题时起着重要作用，常见的应用包括：- 判断两条线段是否相交，并找到相交点的坐标。
- 判断两条线段是否平行或垂直。
- 证明两条线段的平行性、垂直性等。
总之，相交线与平行线是解决平面几何问题的基础概念。
平行线与相交线
平行线与相交线1. 引言在几何学中，平行线与相交线是基本概念，它们在直线几何中具有重要的作用和应用。
本文将详细介绍平行线与相交线的定义、性质以及相关的定理，通过例题展示其应用。
2. 平行线的定义与性质2.1 平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的直线。
用符号"||"表示。
2.2 平行线的性质(1) 平行线具有传递性，即若直线L1与直线L2平行，直线L2与直线L3平行，那么直线L1与直线L3也平行。
(2) 平行线具有对称性，即若直线L1与直线L2平行，则直线L2与直线L1也平行。
(3) 平行线与同一条直线交叉时，其内外的对应角相等。
(4) 平行线与同一平面上的直线交叉时，形成对应角相等的等角。
3. 相交线的定义与性质3.1 相交线的定义相交线是指在同一个平面上，交叉于一点的两条直线。
3.2 相交线的性质(1) 两条相交线形成的交点是唯一的。
(2) 两条相交线的垂直平分线通过交点，并且垂直平分线相互垂直。
(3) 两条相交线形成的交点两侧的对应角相等。
(4) 两条相交线形成的内角之和等于180度。
4. 平行线与相交线的关系4.1 平行线与相交线的特殊关系(1) 平行线与相交线形成的对应角相等。
(2) 平行线与相交线形成的内角，外角之和均为180度。
(3) 平行线与一个相交线的两组对应角互为补角。
4.2 平行线截断相交线的性质(1) 平行线截断相交线，对所截断的相交线上的任意两点，其间距与平行线上对应两点的间距相等。
(2) 平行线截断相交线后，所截线段互相平分。
5. 相关定理与应用5.1 同位角定理若两条平行线被一条横截线相交，则同位角相等。
5.2 平行线的判定定理若两条直线的同位角相等，则这两条直线平行。
5.3 平行线的性质定理若一条直线与平行线相交，则生生四个对应角中，有两个角互为补角。
5.4 平行线的倾斜角定理若两条平行线被一条横截线相交，则被横截线所分段的两条平行线倾斜角相等。
平行线与相交线知识点总结
平行线与相交线知识点总结在几何学中，平行线与相交线是一种基本的图形关系。
它们在解决几何问题、证明定理以及应用数学知识等方面具有重要的作用。
本文将对平行线与相交线的相关知识点进行总结，并分析其应用。
1. 平行线的性质：两条平行线在平面上永不相交，它们具有以下性质：- 平行线上的任意两点之间的距离保持不变。
- 平行线上的任意角相等。
- 平行线与直线的交点与平行线的任意一点连线所形成的角是相等的。
2. 平行线的判定方法：判定两条直线是否平行有多种方法，常用的有以下几种：- 通过向量法判断：若两条直线的方向向量相等或成比例，则它们平行。
- 通过斜率判断：若两条直线的斜率相等，则它们平行。
- 通过对应角相等判断：当两条直线被一条横截线所切割时，如果对应角相等，则它们平行。
3. 相交线的性质：两条直线相交于一点时，它们具有以下性质：- 相交线所形成的角称为相交角，相交角的两个边上的对应角相等。
- 相交线上的任意一点与给定点之间只有一条直线。
- 相交线将平面分为四个角，相邻角互补，对角互补。
4. 相交线的判定方法：判定两条直线是否相交也有多种方法，常用的有以下几种：- 通过方程判断：将两条直线的方程联立，若方程组有解，则它们相交。
- 通过斜率判断：若两条直线的斜率不相等，则它们相交。
- 通过角度判断：通过直线的角度关系来判定是否相交。
5. 平行线与相交线的应用：平行线与相交线的运用广泛，包括以下几个方面：- 证明几何定理：在几何证明过程中，平行线与相交线的性质常常用来推导证明。
- 解决几何问题：在解决平面几何问题时，根据平行线与相交线的关系，可以得到问题的解答。
- 应用于平面图形：如在绘制建筑平面图时，利用平行线与相交线的知识，可以保证图纸的准确性。
总结：平行线与相交线是几何学中重要的概念，掌握了它们的性质和判定方法，可以更好地理解和解决几何问题。
在证明定理、解决几何问题以及应用到实际情境中，平行线与相交线的知识都具有重要的价值。
相交线与平行线知识点整理
相交线与平行线知识点整理相交线和平行线是几何学中常见的概念，对于理解和解决空间几何问题非常重要。
本文将对相交线与平行线的基本概念、性质和应用进行整理。
一、相交线的基本概念1. 相交线：两条线段或线相交的现象称为相交线。
2. 相交点：两条线段或线相交的点称为相交点。
3. 直线：两个不同点之间的所有点都是直线上的点。
直线无限延伸，没有起始和终止点。
4. 射线：起点固定，延伸方向唯一的直线部分，一个点和一条直线组成的图形。
二、相交线的性质1. 相交线的两条直线面对面相互穿过，相交点只有一个。
2. 相交线的两条射线面对面相互穿过，起始点相同，相交点朝向不同。
3. 相交线的两条直线分割了平面成为四个部分，称为四个角落。
三、平行线的基本概念1. 平行线：在同一个平面内，永远不会相交的线段或直线称为平行线。
2. 平行线的符号：两条平行线的符号是“||”，例如AB || CD表示线段AB与CD平行。
3. 平行关系：如果一条直线与平面内的另外两条直线都平行，那么这两条直线互相平行。
四、平行线的判定方法1. 对应角相等法则：如果两条直线被一条交线切割，且相邻两个内角互为对应角相等，则这两条直线平行。
2. 同位角相等法则：如果两条直线被一条交线切割，且同侧内角互为同位角相等，则这两条直线平行。
3. 平行线的性质：平行线的两条直线之间的距离是相等的，平行线的两个内角互为对应角相等，同位角相互等。
五、相交线与平行线的应用1. 几何证明：相交线和平行线是几何证明中常用的重要工具，可用于证明两条线段、线性、平面等之间的关系。
2. 高中数学题解：相交线与平行线的概念和性质经常在高中数学题目中出现，掌握这些知识点有助于解决相关题目。
3. 实际应用：相交线和平行线的知识在日常生活和工程设计中有广泛的应用，例如建筑设计中的平行道路规划、交通信号灯的设置等。
综上所述，相交线与平行线是几何学中的重要概念，掌握相交线的基本概念以及平行线的判定方法和性质对于解决几何问题至关重要。
第二章 相交线与平行线
第二章相交线与平行线第1节两直线的位置关系∙知识点聚焦1.相交线与平行线（1）相交线：在同一平面内如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交.∙（2）平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线.注：（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.（2）两条直线相交，只有一个交点.2.对顶角与邻补角（1）对顶角：两条直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的；两边互为反向延长线，这两个角叫作对顶角，对顶角相等.注：相等的角不一定是邻补角.（2）邻补角：两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫作邻补角，邻补角互补.注：互补的角不一定是邻补角.3.余角和补角（1）余角①定义：如果两个角的和是o90，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角.②性质：同角或等角的余角相等.（2）补角180那么称这两个角“互为补角”，简称“互补”，①定义：如果两个角的和是o也可以说其中一个角是另一个角的补角.②性质：同角或等角的补角相等.4.垂线（1）定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足.（2）性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ②连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短.简称垂线段最短.（3）点到直线的距离:直线外一点到这条到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.注：距离是指线段的长度，是一个数量；线段是图形，它们之间不能等同. （4）垂线的画法一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上. 二移：移到三角尺使已知点落在它的另一条直角边上. 三画：沿着这条直角画线.注：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.②过一点作线段的垂线，垂足可以线段上，也可以在线段的延长线上.典型例题 例1.如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共 构成哪几对邻补角？分析：⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角.12对邻补角.ABC DEF例2.如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.分析：⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴,21BOC EOC ∠=∠,21AOC FOC ∠=∠∴)(212121AOC BOC AOC BOC FOC EOC EOF ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠又∵︒=∠+∠180AOC BOC ∴︒=︒⨯=∠9018021EOF⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE.例3.（1）已知，如图，直线AB 、CD 交于点O ，且o BOC AOD 120=∠+∠，求AOC ∠的度数.（2）如图，AB 、CD 、EF 交于点O ，o AOE 25=∠，o DOF 45=∠，求AOD ∠的对顶角的度数.（3）如图，AB 、CD 交于点O ，OE 平分AOD ∠，o BOD BOC 30-∠=∠，求CO E ∠的度数.分析：（1）由对顶角相等可得o BOC AOD 60=∠=∠，从而可得o o o A O C 12060180=-=∠.CEF（2）由对顶角相等可知o DOF EOC 45=∠=∠，从而可得o o o o A O D 1102545180=--=∠.（3）o BOD COB 180=∠+∠，o BOD BOC 30-∠=∠，则o C O B 75=∠，o BOD 105=∠，o COB AOD 75=∠=∠，OE 平分AOD ∠，则o AOE 5.37=∠， o BOD AOC 105=∠=∠，则o o o AOE COA COE 5.1425.37105=+=∠+∠=∠.例 4.已知，如图所示直线AB 、CD 、EF 交于点O ，BOD APF ∠=∠2，AOC COE ∠=∠23，求COE ∠的度数.分析：方程思想，将图中的角用未知数表示，找到等量关系，设方程，一般设较小的为x .例5.如图，OE 与CD 相交与点O ，且21,90∠=∠︒=∠=∠COE DOE .（1）BOE AOE ∠∠与有什么关系？为什么？ （2）BOC AOD ∠∠与有什么关系？为什么？ 分析：（1）BOE AOE ∠∠与相等.因为21,902,901∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠且BOE AOE ，所以BOE AOE ∠=∠.（2）BOC AOD ∠∠与相等，21,1802,1801∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠且BOC AOD ,所以BOC AOD ∠=∠.例6.（1）如图，已知o ACB 90=∠，AB CD ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段 的长；线段DB 的长为点 到直线 的距离.AE CB OD12（2）如图，在直角三角形ABC 中，o C 90=∠，c AB =，b AC =，a BC =，则AB BC AC BC AB AB AC -++-+-= .分析：（1）垂线的性质.（2）垂线段最短+两点间线段最短.例7.探索规律(1)2条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角? (2)3条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角? (3)4条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角?(4)n 条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角?分析：两条直线相交时可出现两对不同的对顶角，故找对顶角的对数其实质就是找有多少对不同的直线相交.课堂练习1.下列说法正确的是（ ）A.同一平面内没有公共点的两条线段平行B.两条不相交的直线是平行线C.同一平面内没有公共点的两条直线平行D.同一平面没有公共点的两条射线平行2.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形有( )A.0B.1C.2D.33.如图所示，∠1的邻补角是( )A ．BOC ∠B ．BOE ∠和AOF ∠C ．AOF ∠D ．BOE ∠和AOC ∠4.下列各图中,∠1与∠2互为余角的是( )A. B ．C ．D ．5.如图,直线1l 与2l 相交于点O ,1l OM ⊥,若o 44=∠α，则=∠β等于（ ）A ．o 56B ．o 46C ．o 45D ．o 446.若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 距离等于2cm 的点的个数是（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．37.如图,已知直线AB 与CD 交于点O ,ON 平分DOB ∠,若o BOC 110=∠，则AON ∠的度数为___度.8.如图所示，o ACB 90=∠，AB CD ⊥，BC DE ⊥，①钝角与锐角互补； ②α∠的余角是α∠-090； ③β∠的补角是β∠-o 180；④若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互余.10.已知：如图,三条直线AB ,CD EF 相交于O ,且EF CD ⊥,11.已知，所示，o ACB 90=∠，cm BC 5=，cm AC 12=，12.通过画图，寻找对顶角和邻补角(不含平角)：(1)若2条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角. (2)若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角. (3)若4条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角.(4)通过(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角.13.如图，AB ,CD ,EF 相交于点O ，如果o AOC 65=∠，o DOF 50=∠.（1）求BOE ∠的度数；（2）计算AOF ∠的度数，发现射线OA 有什么特殊性吗？14.如图，AOB 是一条直线，o EOC BOD AOD 90=∠==∠.1:3:=∠∠AOE BOD , (1)求COD ∠的度数. (2)图中有哪几对角互为余角? (3)图中有哪几对角互为补角?15.将一张长方形纸片按图中的方式折叠,BC ,BD 为折痕,求CBD ∠的大小.16.已知:如图,直线AB ,CD 相交于点O ,OE 平分BOD ∠,OF 平分COB ∠,1:4:=∠∠DOE AOD .求AOF ∠的度数.17.如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.18.如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．CDBAEO19.已知：直线AB 与直线CD 相交于点O ,o BOD 45=∠.(1)如图1，若AB EO ⊥，求DOE ∠的度数； (2)如图2，若FO 平分AOC ∠，求DOF ∠的度数.20.如图所示，已知直线AB 、CD 交于点0，x ＝1，1-=y 是方程34-=+y ax 的解，也是方程a ay bx 21+=-的解，且a b AOD AOC ::=∠∠，AB EO ⊥. (1)求EOC ∠的度数.(2)若射线OM 从OC 出发，绕点O 以s o /1的速度顺时针转动，射线ON 从OD 出发，绕点O 以s o /2的速度逆时针第一次转动到射线OE 停止，当ON 停止时，OM 也随之停止.在转动过程中，设运动时间为t ，当t 为何值时，ON OM ⊥. (3)在(2)的条件下，当ON 运动到EOC ∠内部时，下列结论：①BON EOM ∠-∠2不变；②BON EOM ∠+∠2不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明.第2节 探索直线平行的条件∙知识点聚焦1.同位角具有1∠和5∠这样位置关系的角称为同位角， 图中的同位角还有2∠和6∠，3∠和7∠，4∠和8∠ 2.内错角具有3∠和5∠这样位置关系的角称为内错角， 图中的内错角还有4∠和6∠ 3.同旁内角具有4∠和5∠这样位置关系的角称为同旁内角，图中的同旁内角还有3∠和6∠ 注：（1）同位角、内错角、同旁内角是成对出现的，两直线被第三条直线所截形成的8个角中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.（2）同位角、内错角、同旁内角各自的位置关系：同位角是“同旁同侧”，内错角是“内部异侧”，同旁内角“内部同侧” 4.两条直线平行条件（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等.两直线平行.（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简称：内错角相等.两直线平行.（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称：同旁内角互补.两直线平行. （4）平行于同一条直线的两条直线平行.（5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 5.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行41 2 3 5 876ＤＣＢEＡF例1:如图所示：⑴图中∠1与∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？⑵图中∠1与哪个角是同位角？它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ ⑶∠3与∠C 是什么位置关系的角？它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？分析：⑴∠1与∠2是直线AB 、DE 被直线EF 所截形成的；⑵∠1与∠B 是同位角，它们是直线EF 、BC 被直线AB 所截形成的； ⑶∠3与∠C 是同旁内角，它们是直线AC 、DE 被直线BC 所截形成的.例2: 如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：分析：（1）∠1和∠2：是AB 、EF 被直线CD 所截而得到的，一组同位角（2）∠1和∠3：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对内错角（3）∠1和∠6：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角（4）∠2和∠6：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对同位角 （5）∠2和∠4：是EF 、AB 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角 （6）∠3和∠5：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对内错角 （7）∠3和∠4：是AB 、CD 被直线EF 所截而得到的，一对同旁内角 例3:如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由. ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°； ⑶∠ACD ＝∠BAC ；3CFEBAD1 423 65ABCDO分析： ⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.例4: 如图，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.分析：如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°课堂练习01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ） A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DAC C ．∠ACF 是α的余角 D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ） A ．∠AMF B ．∠BMF C ．∠ENC D ．∠ENDl 1l 2l 3 l 4l 5l 6图⑴l 1l 2 l 3l 4l 5l 6图⑵A E BCF DABC D FEMNα第1题图 第2题图ABDC第4题图03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ） ①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．605．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12.如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ， ∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81A C D EB A BC DEF 1 213．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ）⑵∵∠2＝ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 .使AD ∥BC ．15.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.1 23 AB C DE F第13题图 AB C D E F第14题图GFEDCB A第3节 平行线的性质∙知识点聚焦1. 平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简称为：两直线平行，同位角相等.（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称为：两直线平行，内错角相等.（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称为：两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定与性质的区别与联系 （1）直线平行的条件同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；两直线平行； （2）平行线的性质两直线平行；同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；例1 如图，平行线CD AB ,被直线AE 所截.(1) 从︒=∠1101可以知道2∠是多少度吗？为什么？ (2) 从︒=∠1101可以知道3∠是多少度吗？为什么？ (3) 从︒=∠1101可以知道4∠是多少度吗？为什么？ 分析：（1）︒=∠1102( 两直线平行，内错角相等.)(2)︒=∠1103 ( 两直线平行，同位角相等.) (4)︒=∠704 (两直线平行，同旁内角互补.)例2 如图，已知C A CF AE CD AB ∠︒=∠,39,//,//是多少度？为什么？ 分析：因为CF AE //，所以FGB A ∠=∠因为CD AB //,所以C FGB ∠=∠ 所以︒=∠39C例3 如图，AB ∥CD ，AE 、DF 分别是∠BAD 、∠CDA 的角平分线，AE 与DF 平行吗？•为什么？分析：平行． ∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠CDA （两直线平行，内错角相等）． ∵AE 、DF 分别是∠BAD 、∠CDA 的平分线，∴∠EAD=12∠BAD ，∠FDA=12∠CDA ．∴∠EAD=∠FDA ．∴AE ∥DF （内错角相等，两直线平行）．例4 如图，已知∠AMB=∠EBF ，∠BCN=∠BDE ，求证：∠CAF=∠AFD ．分析：∵∠AMB=∠DMN ，又∠ENF=∠AMB ，∴∠DMN=∠ENF ， ∴BD ∥CE ．∴∠BDE+∠DEC=180°．又∠BDE=∠BCN ，∴∠BCN+∠CED=180°， ∴BC ∥DE ，∴∠CAF=∠AFD ．例5 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A 是120°，第二次拐的角B 是150°，第三次拐的角是∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问∠C 是多少度？说明你的理由.分析：∠C=150°．理由：如答图，过点B 作BE ∥AD ，则∠ABE=∠A=120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=150°-120°=30°． ∵BE ∥AD ，CF ∥AD ，∴BE ∥CF （平行于同一条直线的两直线平行）． ∴∠C+∠CBE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°．西B 30°A北东南例6 （1）如图，若AB ∥DE ，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C 的度数吗？（2）在AB ∥DE 的条件下，你能得出∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系吗？并说明理由．分析：（1）如答图5-3-2，过点C 作CF ∥AB ，则∠1=180°-∠B=180°-135°=45°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CF ∥AB ，DE ∥AB ，∴CF ∥DE （平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠2=∠180°-∠D=180°-145°=35°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠BCD=∠1+∠2=45°+35°=80°． （2）∠B+∠C+∠D=360°．理由：如答图5-3-2过点C 作CF ∥AB ，得∠B+∠1=180°（两直线平行，•同旁内角互补）．∵CF ∥AB ，DE ∥AB ，∴CF ∥DE （平行于同一条直线的两直线平行）． ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°． 即∠B+∠BCD+∠D=360°．点拨：辅助线CF 是联系AB 与DE 的纽带．课堂练习01．如图，由A 测B 得方向是（ ） A ．南偏东30° B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等 B.同位角相等 C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①② B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52° B．南偏东52° C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种 B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.150°120°DBCE湖4321ABEFC D4P231A BEFC D12．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.13．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？14．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.第4节尺规作图知识点聚焦1.“尺规作图”的含义（1）在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．尺规作图在操作过程中不允许度量．（2）基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.2.熟练掌握尺规作图题的规范语言（1）用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .3.了解尺规作图题的一般步骤（1）已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；（2）求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；（3）作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.例1. 例2.例3. 典型例题如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于b a -2．解：（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ；（3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．求作一个角等于已知角∠MON ．解：（1）作射线11M O ；（2）以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； （3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ； （4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ； （5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角．如下图，已知α∠及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．∙作法 如下图（1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形．说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．解（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；（3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A 区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B 点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．分析 依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A 区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B 点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm ，就可以确定出蓝方指挥部的位置．解 如下图，图中C 点就是蓝方指挥部的位置．例4. 例5.课堂练习1.如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于B A ∠-∠.2.如图作△ABC ，使得BC=a 、AC=b 、AB=c3.如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h4.如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线和相交线是几何学中的重要概念，它们在平面几何中具有不同的性质和应用。
本文将详细介绍平行线和相交线的定义、性质及相关定理。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一平面上，永不相交的两条直线。
平行线之间的距离保持恒定，且始终保持平行的方向。
以下是平行线的一些性质：1. 平行线具有传递性。
如果直线A与直线B平行，直线B与直线C 平行，则直线A与直线C也平行。
2. 平行线具有对应角相等的性质。
当两条平行线与一条相交线相交时，每对对应角都相等。
3. 平行线具有同位角相等的性质。
当两条平行线被一条相交线截断时，同位角是相等的。
4. 平行线与平行线之间的夹角对应的角度相等。
即对应角相等的两组角。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一平面上交叉的两条直线。
相交线之间有一个交点，且交点不在直线上。
以下是相交线的一些性质：1. 相交线的交点所对应的角称为相交角。
对于相交线上的相邻角，它们的和为180度。
2. 相交线上的对顶角是相等的。
对顶角是指由两组相交线形成的四个角中，互相不相邻的角。
3. 相交线可以划分平面上的图形，形成不同的区域。
这些区域具有不同的性质和特点，我们可以利用这些性质来解决几何问题。
三、平行线与相交线的常用定理在分析平行线和相交线的性质时，我们常用到一些重要的定理。
以下是一些常用的定理：1. 直角定理：如果两条直线与第三条直线分别成直角，那么这两条直线是平行的。
2. 垂直定理：如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
3. 同位角定理：当两条平行线被一条相交线截断时，同位角是相等的。
4. 内错角定理：当两条平行线被一条相交线截取时，内错角互补。
5. 外错角定理：当两条平行线被一条相交线截取时，外错角互补。
这些定理为我们解决平行线与相交线相关的问题提供了有力的工具。
四、应用举例1. 三角形内角和问题：可以利用平行线与相交线的性质求解三角形内角和问题，通过划分平面图形，运用相关定理进行推导计算。
平行线与相交线
平行线与相交线在几何学中，平行线与相交线是两个重要的概念。
平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线，而相交线则是指在同一个平面上相交的两条直线。
本文将详细介绍平行线与相交线的性质和特点，并探讨它们在几何学中的应用。
一、平行线的性质1. 定义：平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
它们的方向是完全相同的，永远保持平行的关系。
2. 符号表示：通常用符号“||”来表示平行关系。
例如，若两条直线AB和CD平行，则可以表示为AB || CD。
3. 平行线的判定：a) 公理法：如果两条直线分别与第三条直线相交时，所成的内角和是180°，则这两条直线是平行的。
b) 等价判定法：- 如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行的。
- 如果两条直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线是平行的。
二、相交线的性质1. 定义：相交线是指在同一个平面上相互交叉的两条直线。
相交线总是相交于一点，这个点称为交点。
2. 符号表示：通常用字母P表示交点。
例如，若直线AB与直线CD相交于点P，则可以表示为P = AB ∩ CD。
3. 相交线的性质：a) 相交线所成的相邻内角互补，即两角的和等于180°。
b) 相交线所成的对顶外角相等，即两角的度数相等。
c) 垂直相交线的特殊性质：如果两条相交线相互垂直，则其中一条线上任意一点到另一条线的垂足的线段长度是最短的。
三、平行线与相交线的应用1. 平行线的应用：a) 建筑学中的平行线应用：借助平行线的特性，建筑师能够设计出具有平衡美观感的建筑物。
b) 数学推理中的平行线应用：平行线的性质经常被用于解决几何问题，例如通过证明两条直线平行，可推导出其他性质。
2. 相交线的应用：a) 交通规划中的相交线应用：交叉路口的设计需要合理规划相交线，以确保交通安全和交通流畅。
b) 几何图形的划分应用：在几何图形中，相交线的划分可以将图形分为不同的区域，让问题更易于解决。
综上所述，平行线与相交线是几何学中重要的概念。
相交线与平行线知识点整理
相交线与平行线知识点整理相交线与平行线是几何学中的重要概念，它们在平面几何和立体几何中具有广泛的应用。
本文将对相交线与平行线的相关知识进行整理和总结。
1. 相交线的定义和性质相交线是指在平面上两条线段或线段延长部分相交的现象。
相交线有以下几个重要的性质：- 相交线的交点称为交点，交点将两条线段或线段延长部分分为四个不同的角；- 交点的位置不受线段或线段延长部分的长度和位置的影响；- 如果两条线段或线段延长部分相互垂直，则它们相交的交点将形成一个直角。
2. 平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不会相交的线段或线段延长部分。
平行线有以下几个重要的性质：- 平行线之间的距离始终相等，即两条平行线之间的所有点到另一条平行线的距离都相等；- 平行线之间的夹角为零，即两条平行线之间的角度为零度；- 如果一条直线与两条平行线相交，则所成的对应角相等。
3. 平行线的判定方法判定两条线段或线段延长部分是否平行有多种方法：- 如果两条线段或线段延长部分的斜率相等，则它们是平行线；- 如果两条线段或线段延长部分的夹角为零度，则它们是平行线；- 如果两条线段或线段延长部分上的任意一对对应角相等，则它们是平行线。
4. 相交线与平行线的应用相交线与平行线在几何学中有广泛的应用，尤其在解决角度和距离问题时特别有用。
以下是一些常见的应用场景：- 在平行四边形中，对角线互相平分，并且对角线互相垂直；- 在三角形中，如果一条边平行于另一条边，则对应的角相等；- 在直角三角形中，垂直边之间的关系满足勾股定理。
总结：相交线与平行线是几何学中的重要概念，它们在平面几何和立体几何中具有广泛的应用。
相交线的性质包括交点和角度关系，而平行线的性质则包括距离和角度关系。
判定两条线段或线段延长部分是否平行有多种方法，而相交线与平行线的应用则在解决角度和距离问题时特别有用。
通过对相交线与平行线的学习和应用，我们能更好地理解和解决几何学中的各种问题。
平行线与相交线的知识点总结与归纳
平行线与相交线的知识点总结与归纳平行线与相交线是几何学中的重要概念，它们在解决直线与平面关系、求解角度、证明定理等问题中起着关键作用。
以下是对平行线与相交线相关知识点的总结与归纳。
一、平行线与相交线的定义平行线：在一个平面内，如果两条直线没有交点，且在这个平面内无论延长多长都不会相交，那么这两条直线称为平行线。
相交线：在一个平面内，如果两条直线在某一点相交，那么这两条直线称为相交线。
二、平行线的性质1. 平行线之间的距离相等：平行线在任意两点之间的距离都相等。
2. 平行线的倾斜角相等：如果两条直线分别与一条横线交于两个平行线上的点，那么这两条平行线的倾斜角相等。
3. 平行线与平面的交点：如果一直线与两条平行线在同一平面内相交，那么它将与这两条平行线在同侧的点分别成比例。
三、平行线与角度的关系1. 同位角：当两条平行线被一条相交线切割时，同位角的对应角是相等的。
即形成的对应角、内错角、同位角互相相等。
2. 内错角：当两条平行线被一条相交线切割时，内错角的对应角是相等的。
3. 全等三角形与平行线：如果两个三角形的对应边相等，且它们的其中一边平行，那么这两个三角形全等。
因此，对应角也相等。
四、平行线的证明方法1. 使用基本等式：例如，利用垂直线与平行线的性质，可以通过等式推导来证明平行线的存在。
2. 利用反证法：即通过假设给定的命题不成立，然后推导出矛盾来证明平行线的存在。
五、平行线与相交线的应用1. 证明几何定理：平行线与相交线常用于证明几何定理，如平行线分割三角形、平行线夹角定理等。
2. 结合实际问题：平行线与相交线的概念也可以在日常生活与工作中得到应用，如建筑设计、地理测量、交通规划等。
综上所述，平行线与相交线是几何学中的重要概念，掌握了这些知识点，我们可以更好地解决直线与平面关系、求解角度、证明定理等问题。
在学习与应用过程中，我们还可以采用不同的证明方法，灵活运用平行线与相交线的性质，丰富几何学的研究与实践。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线和相交线是几何学中常见的概念。
它们在不同的情境下有着不同的特性和应用。
本文将深入探讨平行线和相交线的定义、性质以及在几何学中的重要应用。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
它们的性质如下：1. 平行线具有恒定的互相平行的特性，无论它们的长度有多长，其方向始终保持不变。
2. 平行线之间的距离始终相等，即平行线的两侧的任意两条线段的长度相等。
3. 平行线可以用符号 || 表示，例如线段AB || 线段CD表示AB和CD是平行的。
4. 平行线可以有不同的方向，可以是水平、垂直或倾斜的。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一个平面上，交叉或相遇的两条直线。
它们的性质如下：1. 相交线在交点处形成四个角，这四个角被称为相交角。
2. 相交线的相交角可以分为内角和外角，内角是指相交线夹角的两个角，外角是指相交线射线与其余两条线段射线构成的角。
3. 相交线的交点被称为交点，这个点同时属于两条相交线。
4. 相交线可以有各种不同的交点形式，例如两条直线的交点、直线与射线的交点等。
三、平行线与相交线的关系平行线与相交线之间存在一些重要的关系：1. 平行线与相交线的交点角度为180度，被称为补角。
补角的两条边线段分别位于两条平行线之间。
2. 平行线与相交线的交点角度为90度，被称为直角。
直角是几何学中常见的角度，具有特定的数学性质和应用。
3. 平行线和相交线可以通过构造垂直线来判断它们之间的关系。
如果一条线段与平行线的两个线段都垂直，则这条线段也是平行线。
四、平行线与相交线的应用平行线和相交线在几何学中有着广泛的应用，其中一些重要的应用包括：1. 平行线和相交线的性质可以用于求解几何图形的面积、周长和角度等问题。
2. 平行线和相交线的关系被广泛应用于建筑设计、城市规划和交通规划等领域，以确保建筑物和道路的平行和垂直关系。
3. 平行线和相交线的概念在数学中被应用于线性代数、解析几何和向量分析等高级数学学科中。
平行线与相交线
平行线与相交线相交线和平行线是几何学中的基本概念，它们在我们的日常生活中以及各个领域都有广泛的应用。
本文将从解释平行线和相交线的定义开始，探讨它们的性质以及它们之间的关系。
一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出一些性质：1. 平行线上的任意两点与另一条直线的相交点之间的连线是平行于这两条平行线的。
2. 平行线上的任意两点与另一条平行线之间的连线是平行于这两条平行线的。
3. 平行线上的任意两点之间的线段与另一条平行线的交点之间的线段长度相等。
二、相交线的定义与性质相交线是指在同一个平面上相交的两条直线。
针对相交线，我们可以得出一些性质：1. 相交线上的任意两点与另一条直线的相交点之间的连线不平行于这两条相交线。
2. 相交线上的任意两点与另一条相交线之间的连线不平行于这两条相交线。
3. 相交线上的任意两点之间的线段与另一条相交线的交点之间的线段长度不相等。
三、平行线与相交线的关系1. 如果一条直线与另外两条直线相交，且这两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也是平行的。
2. 如果一条直线与另外两条直线相交，且这两条直线不平行，则这两条直线也相交。
根据上述几点，平行线和相交线都是由直线组成。
它们之间的关系主要体现在它们的相交情况上。
如果两条平行线被一条第三条直线相交，则称这两条平行线是相交线的对偶。
除了几何学中的应用外，平行线和相交线在实际生活中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要利用平行线的性质进行测量和建模。
而在交通规划中，我们需要考虑相交线的位置和角度，以确保交通流畅和安全。
总结起来，平行线和相交线是几何学中的基本概念，它们具有不同的定义和性质。
平行线永不相交，而相交线则在同一个平面上相交。
它们之间的关系可以通过相交线的对偶进行描述。
在实际生活中，平行线和相交线有着广泛的应用，是我们了解和应用空间结构的重要基础。
平行线与相交线知识点总结
平行线与相交线知识点总结平行线与相交线是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题和证明几何定理中起着重要作用。
在本文中，我将对平行线与相交线的知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的直线。
根据平行线的定义，我们可以得到以下性质：1. 平行线具有传递性，即如果两条直线分别与一条第三条直线平行，则这两条直线也平行。
2. 平行线具有对称性，即如果一条直线与另一条直线平行，则另一条直线也与第一条直线平行。
3. 平行线与同一条直线相交的两条直线，被称为平行线的转角线，转角线上的两个内角互为对应角，且对应角相等。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一个平面内交于一点的两条直线。
相交线的性质如下：1. 相交线的交点被称为交点，交点所在的直线称为交线。
2. 相交线的两个内角互为对应角，且对应角相等。
3. 相交线的两个外角互为对应角，且对应角相等。
4. 相交线的两个内角和等于180度，即它们是补角。
三、平行线与相交线的关系平行线与相交线之间存在着一些重要的关系：1. 两条平行线被一条交线相交时，所成的对应角、内错角、同旁内角都相等。
2. 两条平行线被一条交线相交时，所成的同旁外角互为补角。
3. 平行线与同一条直线相交时，所成的内错角互为补角。
四、平行线与相交线的应用平行线与相交线的概念在几何学中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 平行线的应用：在建筑设计中，我们常常需要根据已知的平行线来确定墙体、地板等的位置。
此外，在计算机图形学中，平行线的概念也被广泛应用于线的渲染和显示算法中。
2. 相交线的应用：在交通规划中，我们常常需要通过相交线来确定道路的交叉口、转弯处等位置。
此外，在计算机图形学中，相交线的概念也被广泛应用于多边形的裁剪和填充算法中。
平行线与相交线是几何学中的重要概念，它们具有一些特定的定义和性质。
了解和掌握这些知识点，对于解决几何问题和证明几何定理具有重要的意义。
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第二章：平行线与相交线基本知识整理第一部分：定义部分1．如果两角__________________________，其中一个角叫做另一个角的补角或称作两角_________； 互补两角只和两角的____________有关，而和两角的_________无关．符号语言：∵∠1+∠2=180°（已知），∴∠1和∠2________（________________）；或∵∠1和∠2互补（已知），∴∠1+∠2=_______°（________________）；2．如果两角__________________________，其中一个角叫做另一个角的余角或称作两角_________； 互余两角只和两角的____________有关，而和两角的_________无关． 符号语言：如图1：∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠1和∠2________（________________）； 或∵∠1和∠2互余（已知），∴∠1+∠2=_______°（________________）；4．如果两角__________________________，则两角是对顶角；其中一个重要性质就是__________________； 该性质实际是对顶角性质定理． 符号语言：如图3：∵∠1和∠2是________角（已知），∴∠1=∠2（_________________）．5．在平面内，如果两条直线__________________________，则两条直线叫做平行线，若直线AB 和直线CD 平行，用符号语言表述为______________．6．如果两条直线有且只有一个_____________，则两条直线叫做相交线．平面内两条直线位置关系仅有两种，即_________和_____，不存在第三种位置关系．8．两条直线被第三条直线所截，一般可以构成_____角，其中存在______对同位角， ______对内错角，______对同旁内角．（其形状分别归结为____形，_____形, _____形） 如图5，这三类角的存在和平行_______关系（填“有”、 “无”）．第二部分：公理或定理部分公理1：直线公理：过两点_______________一条直线； 公理2：线段公理：两点之间，_______________最短；公理3：平行公理：平面内，过直线外．．．一点有____________________________和已知直线平行； 公理4：垂线公理：平面内，过一点有____________________________和已知直线垂直；FEDAB C图5图3C21B A图1公理5：垂线段公理：直线外一点和直线上各点所有的连线中，_______________最短；为什么直角三角形中斜边最长？答：_________________________________________________． 公理6：平行线判定公理：_________________________________________； 符号语言：如图6：∵∠1=∠2（已知），∴AB //CD （________________________________）.公理7：平行线性质公理：_________________________________________；∵AB //CD （已知），∴∠1=∠2（________________________________）.平行线判定定理1．内错角________，两直线__________．符号语言：如图6：∵∠1=∠______（已知），∴AB //CD （________________________________）. 2．同旁内角________，两直线__________．符号语言：如图6：∵∠3+∠______（已知），∴AB //CD （________________________________）. 3．平行于第三条直线的两直线互相______．符号语言：如图7：∵AB //CD ，AB //EF ，（已知）， ∴___________（________________________________）. 4．平面内，垂直于第三条直线的两直线互相______． 符号语言：如图8：∵____⊥____，____⊥____，（已知）， ∴___________（________________________________）. 平行线性质定理1．两直线__________，内错角________．符号语言：如图6：∵AB //CD （已知），∴∠1=∠______（________________________________）. 2．两直线__________，同旁内角________．符号语言：如图6：∵AB //CD （已知），∴∠3+∠______（________________________________）. 其他定理同角（等角）的补角相等（来源于等式性质）符号语言：如图9，∵∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°（__________）， ∴∠____=∠________（________________________________）； 如图10，∵∠1+∠3=180°，43F EDAB12C图6FED A B C 图7FEDA BC 图8A图9∠2+∠3=180°（__________），且∠1=∠2（已知）∴∠____=∠________（________________________________）；同角（等角）的余角相等符号语言：如图11，∵∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°（已知），∴∠____=∠________（________________________________）；如图11，∵∠2+∠B=90°，∠1+∠2=90°（已知），∴∠____=∠________（________________________________）；符号语言：如图12，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°（已知），∴∠____=∠________（________________________________）；符号语言：如图12，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠2=90°（已知），∴∠____=∠________（________________________________）；三、常见应用（1）如图13，∵∠B=90°（已知）∴∠1+∠________=90°（直角三角形中两锐角________），同理∠2+∠________=90°．∵∠AED=90°（已知）∴∠1+∠________=180°-90°=90°．∴∠A=∠2（________________________________）．同理∠1=∠____________．（2）如图14，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠2=90°（已知），∴∠____=∠________（________________________________）；（3）如图15，∵∠C=90°（已知）∴∠A+∠________=90°（直角三角形中_______________），同理∠1+∠________=90°．∴∠____=∠________（________________________________）；（4）如图16，∵∠A=90°（已知），图1112DA BCED3142OA BC图12图10图14图13图15∴∠B+∠________=90°（直角三角形中_______________），同理∠2+∠________=90°．又∵∠____=∠________（___________________）；∴∠____=∠________（________________________________）；（5）如图17，∵∠ACB=90°（已知），∴∠A+∠________=90°（直角三角形中_______________），又∵∠1=∠D（已知），∴∠A+∠_____=90°（），∴∠AFD=180°-90°=________°，∴AF_____DE（）．即AB⊥DE．（6）如图17，∵∠ACB=90°（已知）∴∠A+∠________=90°（直角三角形中_______________），同理∠E+∠________=90°．又∵∠1=∠D（已知），∠1=_______（对顶角相等）∴∠2=∠D（）∴∠E+∠2=_________°（）．∴∠EFB=180°-90°=________°（），∴BF_____EF（）．即AB⊥DE．三角形内角和定理：________________________________利用三角形内角和定理可以得到另一个定理：直角三角形中两锐角之和等于___________符号语言：如图18，∵△______为直角三角形，∴∠____+∠________=_____（________________________________）；三角形外角定理：________________________________符号语言：如图19，∵∠2是△ABC的一个外角，（已知），∴∠2=_______+_______（________________________________）. 第三部分实战演练1.一个角的补角等于这个角的2倍，请利用方程求这个角的余角．D12A BC图19图18A BC图172．尺规作图（指明结果，保留作图，痕迹不写画法，要求画在矩形框范围内）： （1）基本作图一：作一条线段AB 等于已知线段aa（2）基本作图二：作一个∠AOB 等于已知角3．如图，已知BD ⊥AC ，EF ⊥AC ，D 、F 为垂足，G 是AB 上一点，且∠l=∠2．判断∠AGD 和∠ABC 的数量关系？并说明你的理由．（请重点关注下列说理格式的规范性） 解：∠______ =∠______，理由如下：∵______⊥_______，______⊥_______,（__________）∴______//______（__________________________________________________________）. ∴∠_____=∠_____（__________________________________________）. 又∵∠_____=∠_____（__________________），∴∠_____=∠_____（___________________________________）. ∴______//______（__________________________________________）. ∴∠_____=∠_____（__________________________________________）.3．如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1=50○， 求∠2的度数并说明你的理由． 解：∠2=_______，理由如下：∵_______∥_______（________），∴∠_______+∠_______＝_______（__________________________________），∵∠_____=______○（________），∴∠_____=180°-______=______. ∵_______∥_______（________），_______________即为所求。