北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线汇总

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北师大版七下数学知识点总结

北师大版七下数学知识点总结北师大版七年级下册数学知识点总结。

一、整式的乘除。

1. 同底数幂的乘法。

- 法则：a^m· a^n=a^m + n（m、n为正整数）。

例如2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。

- 推广：a^m· a^n· a^p=a^m + n+p（m、n、p为正整数）。

2. 幂的乘方。

- 法则：(a^m)^n=a^mn（m、n为正整数）。

例如(3^2)^3=3^2×3=3^6。

3. 积的乘方。

- 法则：(ab)^n=a^nb^n（n为正整数）。

例如(2×3)^2=2^2×3^2=4×9 = 36。

4. 同底数幂的除法。

- 法则：a^m÷ a^n=a^m - n（a≠0，m、n为正整数且m>n）。

例如5^6÷5^3=5^6 - 3=5^3。

- 零指数幂：a^0=1(a≠0)。

- 负整数指数幂：a^-p=(1)/(a^p)(a≠0,p为正整数)。

5. 整式的乘法。

- 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘。

例如3x^2·2x^3=(3×2)x^2 + 3=6x^5。

- 单项式乘多项式：m(a + b)=ma+mb。

例如2x(x + 3)=2x^2+6x。

- 多项式乘多项式：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd。

例如(x + 2)(x+3)=x^2+3x+2x + 6=x^2+5x + 6。

6. 整式的除法。

- 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除。

例如6x^5÷2x^3=(6÷2)x^5 - 3=3x^2。

- 多项式除以单项式：(a + b)÷ m=(a)/(m)+(b)/(m)。

例如(4x^2+2x)÷2x =4x^2÷2x+2x÷2x = 2x + 1。

二、相交线与平行线。

1. 相交线。

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角(知识梳理与考点分类讲解)

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】同位角、内错角、同旁内角的概念（“三线八角”模型）如图1，直线AB、CD 与直线EF 相交(或者说两条直线AB、CD 被第三条直线EF 所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.特别提醒：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF 相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．【知识点二】同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD 的同一方，并且都在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD 之间，并且在直线EF 的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD 之间，并且在直线EF 的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.特别提醒：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．【知识点三】同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征图1特别提醒：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．【考点目录】【考点1】“三线八角”模型的认识；【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别；【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合【考点1】“三线八角”模型的认识；【例1】（1）图1中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．（2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】（1）EF，CD；AB；（2）不是．【分析】（1）根据三线八角的定义求解即可；（2）根据三线八角的定义求解即可；解：（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．所以图1中，∠1、∠2由直线EF，CD被直线AB所截而成．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．【点拨】此题主要考查了“三线八角”，熟练掌握：“三线八角”的定义是解答此题的关键．【变式1】如图，下列说法正确的是（）A．∠2与∠3是同旁内角B．∠1与∠2是同位角C．∠1与∠3是同位角D．∠1与∠2是内错角【答案】A【分析】根据同旁内角定义可判断A、根据同位角定义可判断B、根据内错角的定义可判断C、D即可．解：A、由图与同旁内角定义，∠2和∠3是两直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截直线内部的角可知：∠2和∠3是同旁内角，故选项A正确符合题意；B、∠1和∠2是两条直线被两条直线所截得到的角，不是同位角，故选项B不正确不符合题意；C、∠1和∠3是两直线被第三条直线所截，在截线的两侧，在被截直线内部的角是内错角，不是同位角，故选项C不符合题意；D、∠1和∠2是两条直线被两条直线所截得到的角不是内错角，故选项D不符合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了同旁内角、同位角、内错角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键．【变式2】如图，有下列说法：①能与DEF ∠构成内错角的角的个数有2个；②能与BFE ∠构成同位角的角的个数有2个；③能与C ∠构成同旁内角的角的个数有4个．其中正确结论的序号是．【答案】①【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断．解：①能与DEF ∠构成内错角的角的个数有2个，即EFA Ð和EDC ∠，故正确；②能与EFB ∠构成同位角的角的个数只有1个：即FAE ∠，故错误；③能与C ∠构成同旁内角的角的个数有5个：即CDE ∠，B ∠，CED ∠，CEF ∠，A ∠，故错误；所以结论正确的是①．故答案为：①．【点拨】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关的定义．【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别；【例2】两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．【答案】（1）见分析；（2）36°【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；（2）利用邻补角的关系可求出∠3的度数．解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，故x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3的度数为36°．【点拨】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．【变式1】下列四幅图中，1∠和2∠是同位角的是几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据同位角的定义（截线的同一侧，被截线的同一方位）解决此题．解：根据同位角的定义，第一张图和第四张图中的∠1和∠2是同位角．故选：B．【点拨】本题主要考查同位角的定义，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．【变式2】如图，直线a，b被直线c所截，145∠=︒，2110∠=︒，则1∠的同位角的度数是；4∠的内错角的度数是；3∠的同旁内角的度数是．【答案】70︒/70度45︒/45度70︒/70度【分析】根据同位角，内错角和同旁内角的概念以及邻补角求解即可．解：∵24180∠+∠=︒，2110∠=︒，∴470∠=︒，∵1∠和4∠是一组同位角，∴1∠的同位角的度数是70︒；∵145∠=︒，∴31801135∠=︒-∠=︒，∴4∠的内错角的度数是180318013545︒-∠=︒-︒=︒；3∠的同旁内角4∠的度数是70︒．故答案为：70︒；45︒；70︒．【点拨】此题考查了邻补角，同位角，内错角和同旁内角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合【例3】如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，交点分别为G ，H ，∠CHG =∠DHG =34∠AGE ．（1）CD 与EF 有怎样的位置关系？请说明理由．（2）求∠CHG 的同位角、内错角、同旁内角的度数．【答案】（1）CD ⊥EF ；（2）∠CHG 的同位角∠AGE =120°，内错角∠BGF =∠AGE =120°，同旁内角∠AGF =60°【分析】（1）先由∠CHG +∠DHG =180°及∠CHG =∠DHG ，可得∠CHG =∠DHG =90°，再根据垂直的定义得到CD 与EF 互相垂直；（2）先由∠CHG =∠DHG =34∠AGE ，可得∠AGE =120°，再根据同位角、内错角、同旁内角的定义即可求解．解：（1）CD ⊥EF ．理由如下：因为CD是直线，所以∠CHG+∠DHG=180°，又∠CHG=∠DHG，所以∠CHG=∠DHG=90°，所以CD⊥EF．（2）由（1）知∠CHG=∠DHG=90°，因为∠CHG=∠DHG=34∠AGE，所以∠AGE=120°，所以∠CHG的同位角∠AGE=120°，内错角∠BGF=∠AGE=120°，同旁内角∠AGF=180°-∠AGE=60°．【点拨】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单．【变式1】如图，下列判断正确的是（）A．有2对同位角，2对内错角，2对同旁内角B．有2对同位角，2对内错角，3对同旁内角C．有4对同位角，2对内错角，4对同旁内角D．以上判断均不正确【答案】B【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．解：观察图形可知，有2对同位角，2对内错角，3对同旁内角．故选B．【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．注意按顺序一个点一个点的数，不要重复，不要遗漏．【变式2】如图两条直线被第三条直线所截，2∠是3∠的同旁内角，1∠是3∠的内错角，若243∠=∠，321∠=∠，则1∠的度数是．【答案】20︒/20度【分析】设1x ∠=︒，则32x ∠=︒，28x ∠=︒，根据邻补角互补可得方程，求解即可．解：如图，设1x ∠=︒，则32x ∠=︒，28x ∠=︒，∵12180∠+∠=︒，∴8180x x ︒+︒=︒，解得：20x =，∴120∠=︒．故答案为：20︒．【点拨】本题考查了内错角、同旁内角、邻补角互补、角的计算，解本题的关键是掌握内错角的边构成“Z ”形，同旁内角的边构成“U ”。

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线回顾与思考课件

试说明：∠ADG=∠C 解：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）
∴∠2=∠3=90°（垂直的定义）
∴BD∥ EF （同位角相等，两直线平）行 ∴∠4=_∠_5___（两直线平行，同位角相）等
∵∠1=∠4 （已知
）
∴∠1=_∠__5__（等量代换
）
∴ DG ∥BC （内错角相等，两直线平）行
∴∠ADG=∠C（两直线平行，同位角相等）
6.已知一个角的补角加上10°后，等于这个角余角的3倍，则这个角的补角是＿＿度。
解：设这个角的度数为x，则它的补角为：1800-x 它的余角为：900-x
所以有： 1800 - x+100 = 3（900-x）得： x = 400
所以，它的补角为1400
平行线的判定方法：（数学语言） ①∵∠1=∠2（已知）
2,当点E在图（2）位置时，∠B，∠D，∠BED之间有何关系？
பைடு நூலகம்
A
B
A
B
E
E
C A
D
C
B
A
D B
E
E
C A
D C
B
D
E
∠B+∠E=∠BDE
C
D
3，思考：E的位置还可以在哪里？（除了在直线AB和CD上以外）
随着E的位置变化，∠BED 与∠B、∠D的数量关系会产生变化吗？
E
A
B
E
A
B
C
图3
D
∠BED=∠B－∠D
互相平行）
∴∠D =∠DEF（两直线平行，内错角相等） ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF
＝∠DEB．即∠B＋∠D＝∠DEB．
B E ……F

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线知识点梳理汇总

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线知识点梳理汇总
本文档旨在对新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交
线的知识点进行梳理和汇总。

1. 定义与性质
- 平行线的定义：如果两条直线在同一个平面内，且它们不相交，那么我们称这两条直线为平行线。

- 平行线的性质：
- 平行线上的任意一对对应角相等。

- 平行线上的内错角、同旁内角、同旁外角相等。

2. 平行线的判定
- 相关定理：
- 如果两条直线被第三条直线截断，并且对应的内错角相等或
同旁内角互补，则这两条直线平行。

- 如果两条直线被第三条直线截断，并且对应的同旁外角相等，则这两条直线平行。

3. 直线与平面的相交关系
- 直线与平面的相交情况：
- 直线与平面相交于一点。

- 直线与平面相交于一条直线。

4. 平面与平面的相交关系
- 平面与平面的相交情况：
- 两平面交于一条直线。

- 两平面平行。

- 两平面重合。

5. 平行线与平面的相交关系
- 平行线与平面的相交情况：
- 平行线与平面相交于一点。

- 平行线与平面相交于一条直线。

以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线的知识点梳理和汇总。

通过研究这些知识，可以帮助同学们更好地理解和应用平行线与相交线的相关概念和定理。

参考资料：
- 新北师大版七年级数学下册教材。

初一数学下册相交线与平行线基础知识点

初一数学下册相交线与平行线基础知识点
相交线与平行线基础知识点
一、关于相交线
1. 相交线是指两个不同的直线在一个面上产生交叉；
2. 交叉点就是两条直线之间的公共点，表示相交的位置；
3. 相交的角的性质：（1）相交的角是对角线；（2）两个交叉点连接形成的夹角，称之为"夹角"；（3）两条相交线各自交叉点形成的夹角是相等的，称为"交叉角"；
4. 直角定理是建立在相交线上的，它讲的是，在三角形中，两边为直角时，斜边的平方等于两边相加的平方；
二、关于平行线
1. 平行线指的是两条以上的不同线段，他们没有交叉点；
2. 两条平行线之间形成的夹角就是“平行角”，这个夹角的大小一般都是0°；
3. 对行定理：两条平行直线与一条横线所包围的锐角几何体，对边之和等于邻边之和；
4. 三角形相似定理也是建立在平行线这一基础上的，两个三角形的定义有两个平行直线，这时三角形的边长相等，那么两个三角形也是相似的。

北师大版七年级下册数学《两条直线的位置关系》相交线与平行线研讨说课复习课件

量一量：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？
对顶角相等
探究新知
素养考点 1利用对顶角的性质求角的度数
例如图,直线a,b相交，∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数.
解：由平角的定义可知， ∠2=180°-∠1
=180°-40°=140°；
b
1（ 2
a
4 ）3
由对顶角相等可得，
12 43
58 67
所以∠2的补角有∠1,∠3,∠6和∠8.
连接中考
1.（2020•金昌）若α＝70°，则α的补角的度数是（ B ） A．130° B．110° C．30° D．20° 2.（2020•陕西）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ B ） A．57° B．67° C．77° D．157°
DO
C
12 34
AN B
图2
图3
探究新知
将图2简化为图3，ON 与 DC 相交所成的 ∠ DON和∠CON
都等于90° ，且∠1=∠2．在图 3 中：（1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？互补的角： ∠1与∠AOC， ∠1与∠BOD，
DO
C
12
34
∠互2余与的∠角B：OD∠，1与∠∠2与3，∠∠AO1C与，∠∠4，D∠ON2与与∠∠4N，O∠C.2与∠A3，N图3 B （2） ∠3与∠4有什么关系？为什么？
第一课时垂线的定义及性质核心要点 1垂线的有关概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 2.垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离：过点A作直线L的垂线，垂足为B，线段 AB 的长度叫做点A到直线L的距离。

北师大版七年级数学下册-第二章相交线与平行线同步串讲

· M
A · N
B
八．点到直线的距离
1.
2. 3.
定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。距离是一个数量；垂线段是一个图形。二者不能混为一谈。常见错误：“作出点到直线的距离”就是错误的表述。
【例8】∠ACB＝∠BDC=90°则：
① ② ③ ④ ⑤ 点A到直线BC的距离是（点A到直线CD的距离是（点B到直线AC的距离是（点B到直线CD的距离是（点C到直线AB的距离是（
1. 2. 3. 余角的性质：同角或等角的余角相等。补角的性质：同角或等角的补角相等。每个性质包含了两个两个“不同的性质”。同角和等角符号语言中的条件是不同的。举例：符号语言叙述“四个”性质。
（同角）（等角）
4.
∵∠B是∠A的补角；∠C是∠A 的补角。∴∠B＝∠C ∵∠A=∠B，∠C是∠A的补角，∠D是∠B的补角∴∠C=∠D
2. 3. 4.
【例7】在平面内，下列语句错误的是（
）
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 B. 垂直于已知线段，并且经过这条线段中点的线段只有一条。 C. 垂直于已知直线的垂线只有一条。 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【练习】一汽车在笔直的公路上由A向B行驶， M、N为位于公里两侧的两所学校，当汽车行驶到何处时，对两所学校的影响最大，在图点标出来。
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第二章相交线与平行线
七年级（下册）
点→线（两点定线）→角（两线）→（面）图→体
学习几何基本规律
一个图（三角形、四边形---）形的定义，性质，判定
两个图形之间的关系：全等、相似、对称、位似----

北师版七年级下册数学第2章相交线与平行线垂线的定义与性质

感悟新知
3.如图，三条直线相交于点O，若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于( ) B A．30° B．34° C．45° D．56°
知1－练
感悟新知
4. 如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若 ∠COA＝36°，则∠DOB的大小为( ) B A．36° B．54° C．55° D．44°
知1－练
感悟新知
知1－讲
特别提醒：垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线.
感悟新知
如图例，1 CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
导引：要判断OE，OF是什么位置关系，其实质是说明OE，OF是否垂直，即要看∠EOF是否为 90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝ ∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
画出两条互相垂直的直线吗？ (2)如果只有直尺，你能在右图方格
纸上画出两条互相垂直的直线吗？ (3)你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
感悟新知
1.垂线的画法：
知2－讲
经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，步骤
如下：
(1)靠线：让直角三角板的一条直角边与已知直线重合；
(2)过点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；
第2章相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系
第2课时垂线的定义与性质
学习目标
1 课时讲解
垂直的定义垂线的画法垂线的性质
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
课时导入

新北师大版2013-2014七年级数学下册第二章相交线与平行线知识点总结

87654321FED C B A图1F E DCBA4321图2cba 87654321图3ED CBA 第二章相交线与平行线一、知识提要:1、两条直线的位置关系：平行、相交（垂直）.2、两条直线相交：对顶角，余角和补角,三线八角，内错角，同位角，同旁内角. 和为度的两个角互为余角；和为度的两个角互为补角；余角和补角都是角.对顶角是形成的角；同位角、内错角、同旁内角是角. 定理：①对顶角；② 余角相等；③ 补角相等. 3、两直线垂直：同一平面内直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.4、平行线的判定：① ，两直线平行；② ，两直线平行；③ ，两直线平行.5、平行线的性质：①两直线平行，；②两直线平行，；③两直线平行， . 6、尺规作图：作一个角等于已知角，作两个角的和或者差，或者一个角的平分线.二、试题精讲：1. 下列说法正确的个数是（）①若∠1与∠2是对顶角，则∠1＝∠2；②若∠1与∠2是邻补角，则∠1＝∠2； ③若∠1与∠2不是对顶角，则∠1≠∠2；④若∠1与∠2不是邻补角，则∠1＋∠2≠180°A ．0 B ．1 C ．2 D ．32. 如右图,直线AB 、CD 与直线EF 相交,∠5和是同位角,和是内错角,与是同旁内角.（）A ．∠1；∠4；∠2B ．∠1；∠3；∠2C ．∠2；∠4；∠1D ．∠2；∠3；∠13. 如图1，∠1＝∠A ，则下列结论一定成立的是（）A ．AB ∥FD B ．ED ∥ACC ．∠B ＝∠1D ．∠3＝∠14. 如图2，直线a 、b 被c 所截，则下列式子：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝180°，能说明a ∥b 的条件是（） A ．①② B ．①②③ C ．②④ D ．①②③④5. 如图3，AB ∥CD ，∠BAE =120°，∠DCE =30°，则∠AEC =（）A ．90°B ．150°C ．75°D ．60° 作业：FE DCBA 图4图1nm21GF E DC BA321图3图21FEDCB AFEDCBA21E D CBACB A1. 如图1，若m ∥n ，∠1=105°，则∠2 = .2. 如图2，若∠1＝，那么AB ∥EF ，若∠1＝，那么DF ∥AC ，若∠DEC + ＝180°，那么DE ∥BC ．3. 如图3，EF ∥AD ，∠1=∠2，∠BAC =70°.将求∠AGD 的过程填写完整：因为EF ∥AD ，所以∠2= .又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3.所以AB ∥ .所以∠BAC +＿＿＿=180°.又因为∠BAC =70°，所以∠AGD = .4. 填空并在括号内加注理由. 如图4，已知DE ∥BC ，DF 、BE 分别平分∠ADE 和∠ABC求证：∠FDE =∠DEB . 证明：∵DE ∥BC∴∠ADE = （） ∵DF 、BE 分别平分∠ADE 、∠ABC∴∠ADF =12∴∠ABE =12（）∴∠ADF =∠ABE （）∴ ∥ ( ) ∴∠FDE =∠ （）5. 如图，AB ∥CD ，∠B =40°，∠E ＝30°，求∠D 的度数.6. 如图，已知DE ∥BC ，∠1＝∠2，求证：∠B ＝∠C ．7. 如图：已知∠B =25°，∠BCD =45°，∠CDE =30°，∠E =10°，求证：AB ∥EF ．HG CB A FED 21FEDB C A 3A 12B C D E F G 8. 已知：如图∠1=∠2，∠C =∠D ，请问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．解题过程训练1. 已知如图，AB ∥CD ，∠AEB=∠B ，∠CED=∠D ，试说明BE ⊥DE . 解：作射线EF ，使∠AEB =∠BEF （作辅助线）∵∠AEB =∠B （已知）∴∠ =∠ （） ∴ ∥ （） ∵AB ∥CD （已知）∴ ∥ （） ∴∠DEF=∠D （）∵∠CED=∠D （） ∴∠ =∠ （）∴∠AEB+∠CED=∠BEF+∠DEF （） ∵∠AEC =180°（）∴∠BED=∠BEF+∠DEF =90°（）∴BE ⊥DE （）.2. 如图，已知BD ⊥AC ，EF ⊥AC ，D 、F 为垂足，G 是AB 上一点，且∠l=∠2．判断∠AGD 和∠ABC 的数量关系？并说明你的理由．解：∠______ =∠______，理由如下： ∵______⊥_______，______⊥_______，（）∴______//______（） ∴∠_____=∠_____（）又 ∵∠_____=∠_____（），∴∠_____=∠_____（） ∴______//______（_______________________________）12A BCD E F 354∴∠_____=∠_____（______________________________）.3. 如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ，试判断∠AED 与∠C 的关系.平行线常见模型4. 如图，a ∥b ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= .5. 如图，AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数是 .6. 探究：（1）如图（1），AB ∥CD ，BO 与DO 相交于点O ，试探索下列各种情况下∠ABO 、∠CDO 、∠BOD 之间的关系，并说明理由.（2）如图（2），AB ∥CD ，BO 与DO 相交于点O ，试探索下列各种情况下∠ABO 、∠CDO 、∠BOD 之间的关系，并说明理由.（3）如图（3），AB ∥CD ，BO 与DO 相交于点O ，试探索下列各种情况下∠ABO 、∠CDO 、∠BOD 之间的关系，并说明理由.(3)(2)(1)OO OACDBACDBACD Bba 321EDCBA。

北师大版七年级数学下全部知识点归纳

北师大版七年级数学下册全部知识点归纳第一章：整式的运算单项式：。

整式多项式：。

同底数幂的乘法：幂的乘方：积的乘方：幂的运算同底数幂的除法：零指数幂：负指数幂：整式的加减单项式与单项式相乘整式运算单项式与多项式相乘：整式的乘法多项式与多项式相乘：平方差公式：完全平方公式：单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式：完全平方公式的变形公式：（1）22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-（2）22()()4a b a b ab +=-+ （3）2214[()()]ab a b a b =+-- 第二章平行线与相交线平行线：。

对顶角的性质：垂线的性质：性质1：过一点有。

性质2：连接直线外一点。

平行线的性质：1、平行公里:过性质2：平行于平行。

整式的运算余角：余角和补角补角：邻补角：两线相交对顶角：同位角三线八角内错角同旁内角平行线的判定：平行线平行线的性质：尺规作图：第三章变量之间的关系自变量变量的概念因变量变量之间的关系表格法关系式法变量的表达方法图象法第四章三角形三角形概念：称为三角形。

三角形按内角的大小可分为三类：直角三角形的性质：；直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h,则h= 。

任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

这个点叫三角形的任意三角形都有三条中线，它们相交于三角形内一点。

这个点叫三角形的任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

这个点叫三角形的平行线与相交线三角形都有三条高线：区别相同中线平分对边三条中线交于三角形内部（1）都是线段（2）都从顶点画出（3）所在直线相交于一点角平分线平分内角三条角平分线交于三角形内部高线垂直于对边（或其延长线）锐角三角形：三条高线交于直角三角形：三条高线交于钝角三角形：三条高线交于三角形三边关系：三角形三角形内角和定理：角平分线三条重要线段中线高线三角形全等图形的概念：全等三角形的性质：SSSSAS全等三角形全等三角形的判定 ASAAASHL （适用于Rt Δ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形第五章生活中的轴对称：轴对称图形于轴对称：轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。

北师大版七年级下册数学第2章(相交线和平行线)章末总结

《相交线与平行线》章末总结【知识点】一．余角和补角如果两个角的和为90°(或直角)，那么这两个角互为余角；如果两个角的和为180°(或平角)，那么这两个角互为补角.注意：这两个概念都是对于两个角而言的，而且两个概念强调的是两个角的数量关系，与两个角的相互位置没有关系．它们的主要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等．二．平行的条件及平行线的特征①同位角相等 ⇔ 两直线平行； ②内错角相等 ⇔ 两直线平行； ③同旁内角互补 ⇔ 两直线平行．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是________；若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．三．用尺规作线段和角尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图．直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长．圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧．【提高练习】1．如右图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断．．．CD AB //的是( )A. 43∠=∠B. 21∠=∠C. DCE D ∠=∠D. ο180=∠+∠ACD D2．一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )E DC BA4321EDCBAEDBC′FCD ′A图7CAE B FD图81 23图9A. 第一次向左拐ο30，第二次向右拐ο30B. 第一次向右拐ο50，第二次向左拐ο130 C. 第一次向右拐ο50，第二次向右拐ο130 D. 第一次向左拐ο50，第二次向左拐ο130 3．两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确．．的是( ) A. 同位角相等，但内错角不相等 B. 同位角不相等，但同旁内角互补 C. 内错角相等，且同旁内角不互补 D. 同位角相等，且同旁内角互补 4．下列说法中错误．．的个数是( ) (1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种． (4)不相交的两条直线叫做平行线．(5)有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 5．下列说法中，正确．．的是( ) A. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动 B. 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变 C. “相等的角是对顶角”是一个真命题 D. “直角都相等”是一个假命题 6．如右图，CD AB //，且ο25=∠A ，ο45=∠C ，则E ∠的度数是( ) A. ο60 B. ο70 C. ο110 D. ο807、如图7，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′的度数为．8、如图8，直线AB CD 、相交于点E ，DF AB ∥．若100AEC ∠=°，则D ∠等于． 9、如图9，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于．10、如图10，已知AB ∥CD ，若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于．.300PFEBA CDAB DC1 23 11、如图11，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= ．12、如图12，已知AC ∥ED ，∠C =26°，∠CBE =37°，则∠BED 的度数是．图10 图11 图1213、如图13，AB ∥CD ，∠ABE ＝66°，∠D ＝54°，则∠E 的度数为_______________．14、如图14，AB//CD ，直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF ，过点F 作FP ⊥EP ，垂足为P ，若∠PEF=300，则∠PFC=__________．15、如图15，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= ． 16、如图16，已知//AE BD ，∠1=130o ，∠2=30o ，则∠C = ．图13 图14 图15 图1617、如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．解：∠B ＋∠E ＝∠BCE 过点C 作CF ∥AB ，则B ∠=∠____( ) 又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ，∴____________( ) ∴∠E ＝∠____( ) ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2 即∠B ＋∠E ＝∠BCE ．18．如图，AB ∥CD ，∠1＝115°，∠2＝140°，求∠3的度数．19. ⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a ∥b ； ⑵直线//a b ，求证：12∠=∠．20. 阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明EP ∥FQ ．证明：∵AB ∥CD ，∴∠MEB ＝∠MFD ( ) 又∵∠1＝∠2，∴∠MEB －∠1＝∠MFD －∠2，即 ∠MEP ＝∠______∴EP ∥_____．( )21、已知DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ，求：⑴∠BAC 的大小；⑵∠PAG 的大小.22. 如图，已知ABC ∆，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，//DG BA 交CA 于∠=∠.G. 求证1223. 已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗? 试说明理由．360．24．已知AB//CD，试问∠B+∠BED+∠D=︒B AED C 25．如图2-101，已知∠BED=∠ABE+∠CDE，那么AB//CD吗? 为什么?26．如图2-102，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB，GF交于点M．那么，∠AMG=∠3，为什么?27．如图2-103，已知AB//CD，∠1=∠2．试问∠BEF=∠EFC吗? 为什么?(提示：作辅助线BC)．28. 如图2-104，AB//CD，在直线，AB和CD上分别任取一点E、F．已知有一定点P在AB、CD之间，试问∠EPF=∠AEP+CFP 吗? 为什么?29 如图2-106，AB//CD ，BEFGD 是折线，那么∠B+∠F+∠D=∠E+∠G 吗? 简述你的理由．30、如图2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=︒36，∠ACB=︒60，AQ 平分∠FAC ，求∠HAQ 的度数．。

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与线段知识点梳理汇总

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与线段知识点梳理汇总
1. 平行线的概念
平行线是指两条不相交的直线在同一个平面内，它们永远保持相同的距离，不会相交。

2. 平行线的判定
- 垂直线判定法：如果两条直线与同一直线相交，而且交角为90度（直角），则这两条直线是平行线。

- 同位角相等性质：当一条直线与两条平行直线相交时，同位角相等。

- 内错角性质：当两条平行直线被一条第三线相交时，内错角互补。

- 外错角性质：当两条平行直线被一条第三线相交时，外错角互补。

3. 平行线的性质
- 沿平行线的线段平移不变：两条平行线上的线段进行平移，其平移后的位置关系仍然保持平行。

- 平行线的夹角性质：与平行线相交的两条直线与其所在平行线的夹角对应相等。

- 平行线的比例性质：两条平行线被一条第三线所截，对应线段的比例相等。

4. 平行线的应用
- 平行线在图形中的应用：平行线的性质可以用来解决与图形相关的问题，如求解线段的比值、证明图形的性质等。

- 平行线在实际生活中的应用：平行线的概念和性质在建筑、交通规划等方面有着重要的应用。

以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与线段的知识点梳理汇总。

总结起来，平行线是指两条不相交的直线在同一个平面内保持相同距离而不相交的性质。

判定平行线可以使用垂直线判定法、同位角相等性质、内错角性质和外错角性质。

平行线的性质包括沿平行线的线段平移不变、夹角性质和比例性质。

平行线的应用包括在图形中求解线段比值和证明图形性质，以及在实际生活中的建筑和交通规划等方面的应用。

北师大版七年级数学下册说课稿(含解析)：第二章相交线与平行线1两条直线的位置关系

北师大版七年级数学下册说课稿（含解析）：第二章相交线与平行线1两条直线的位置关系一. 教材分析《北师大版七年级数学下册》第二章“相交线与平行线”主要介绍了两条直线的位置关系。

这一章节是学生继小学阶段对直线的基本认识之后，进一步深入研究直线性质的重要内容。

通过本章的学习，学生能够理解并掌握相交线与平行线的概念，以及它们之间的相互关系。

本章的内容主要包括以下几个方面：1.两条直线相交的概念及其性质2.两条直线平行的概念及其性质3.相交线与平行线的判定方法4.实际问题中的应用二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经对直线、射线、线段等基本概念有了初步的认识。

但是，对于两条直线相交与平行的性质及其应用，还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从直观的角度去感受和理解这些概念，逐步建立起正确的数学思维。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握两条直线相交与平行的概念，理解它们的性质，并能运用所学知识解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探究、合作交流的良好学习态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：两条直线相交与平行的概念及其性质。

2.教学难点：相交线与平行线的判定方法，以及它们在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、情境教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的实例，引导学生观察和思考两条直线的位置关系，从而引出本节课的内容。

2.探究新知：（1）引导学生通过观察、操作，发现并描述两条直线相交的现象，总结相交线的性质。

（2）让学生通过画图、讨论，探索两条直线平行的条件，归纳平行线的性质。

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——用尺规作角(知识梳理与考点分类讲解)

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——用尺规作角（知识梳理与考点分类讲解）1.尺规作图：在几何作图中，只用圆规和没有刻度的直尺来作图，称为尺规作图.2.直尺的功能：（1）在两点间连接一条线段；（2）过平面上的两点画直线；（3）作射线、线段或做延长线.3.圆规的功能：（1）以平面上任意一点为圆心，任意长为半径作圆或圆弧；（2）在直线上截取一条线段，使它等于已知线段.特别提醒：1.尺规作图是一种规定了作图工具，且能够有效地减少误差的较精确的作图方法.2.尺规作图是最基本最常见的作图方法，通常称为基本作图.【考点目录】【考点1【考点2】尺规作一个角等于已知角；【考点3】尺规作角的和与差；【考点4】过直线外一点作已知直线的平行线.【考点1】作特殊角；【例1】（2024上·安徽宿州·七年级校联考期末）利用一副三角尺能画出下列度数的角吗？如何画？试试看．（不要写出做法，要保留作图痕迹）（1）150︒．（2）15︒【答案】（1）作图见分析；（2）作图见分析【分析】（1）选用三角尺画一个60︒的角，再在这个角的外部画一个有公共顶点，有一个公共边的90︒的角即可求解；（2）先用三角尺画一个60︒的角，再在这个角的内部画一个有公共顶点、一条公共边的45︒的角即可求解．︒=︒+︒，（1）解：如图，1506090︒=︒-︒，（2）解：如图，156045【变式1】（2020上·福建三明·七年级三明市第三中学校考阶段练习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（）A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】C【分析】一副三角板，度数有：30 、45 、60 、90 ，根据度数组合，可以得到答案．解：利用一副三角板可以画出75 的角，是45 和30 角的组合故选：C．【点拨】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.【变式2】（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）用一副三角板不能画出的角是（）．A．75°B．105°C．110°D．135°【答案】C【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；110°角用一副三角板不能画出；135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。

北师大数学七年级下册第二章《相交线与平行线》全章复习与巩固(基础)

《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、两条直线的位置关系1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行要点诠释：（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.2.对顶角、补角、余角（1）定义：①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等．3.垂线（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.要点三、用尺规作线段和角1.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.2.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.（3）用尺规作一个角等于已知角的和.（4）用尺规作一个角等于已知角的差.【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，那么互为对顶角（平角除外）的角共有对，它们分别是，共有对邻补角.【思路点拨】根据邻补角定义和对顶角定义，每一个顶点处有四个角，可以组成四对邻补角和两对对顶角，而本题图形中，三个顶点重叠在一起，所以再乘以3即可．【答案】6,∠AOC与∠BOD，∠AOF与∠BOE，∠COF与∠DOE, ∠BOC与∠AOD，∠BOF与∠AOE, ∠DOF与∠COE ,12．【解析】找对顶角或邻补角，先从某一个角开始，顺时针或逆时针旋转，这样做，既不漏也不重.【总结升华】两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角.举一反三：【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.【答案】解：因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）,所以∠AOC是∠BOC的补角.因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）,∠AOD=∠BOC（已知）,所以∠BOC＋∠BOD=180º.所以∠BOD是∠BOC的补角．所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC没有对顶角.2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数.【答案与解析】解：∵a⊥b,∴∠2＝∠1＝90°.又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°,又∠3与∠4互为邻补角，所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°.所以∠4＝135°.【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键．类型二、平行线的性质与判定3.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，将求∠AGD的过程填写完整：因为EF∥AD，所以∠2= （）又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3所以AB∥（）所以∠BA C＋ =180°（）因为∠BAC=70°，所以∠AGD= .【答案】∠3，两直线平行，同位角相等；DG，内错角相等，两直线平行；∠AGD，两直线平行，同旁内角互补；110°.【解析】首先由已知EF∥AD根据两直线平行同位角相等可得∠2=∠3，再由∠1=∠2，利用等量代换可得∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DG，再根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAC+∠AGD=180°，进而得到答案．【总结升华】本题主要考查的是平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．此外注意证明题规范的书写格式.举一反三：【变式】如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.【答案】解：平行，理由如下：因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1=∠2（已知），所以∠BCD=∠2.所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.4.（2015春•杭州期末）如图，已知BC∥GE，AF∥DE，∠1=50°．（1）求∠AFG的度数；（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q=15°，求∠ACB的度数．【答案与解析】解：（1）∵BC∥EG，∴∠E=∠1=50°．∵AF∥DE，∴∠AFG=∠E=50°；（2）作AM∥BC，∵BC∥EG，∴AM∥EG，∴∠AFM=∠AFG=50°．∵AM∥BC，∴∠QAM=∠Q=15°，∴∠FA Q=∠AFM+∠FAQ=65°．∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC=∠FA Q=65°，∴∠M AC=∠QAC+∠QAM=80°．∵AM∥BC，∴∠ACB=∠MAC=80°．【总结升华】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．类型三、用尺规作线段和角5. 在如图中，补充作图：（1）在AD的右侧作∠DCP=∠DAB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）CP与AB会平行吗？为什么？【思路点拨】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出；（2）根据平行线的判定方法即可判断．【答案与解析】解：（1）作图如下：（2）会平行．用同位角相等，两直线平行．【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，以及平行线的判定定理，正确掌握基本作图是关键．举一反三：【变式】（2014秋•娄底期中）尺规作图的画图工具是（）A．刻度尺、量角器 B．三角板、量角器C．直尺、量角器 D．没有刻度的直尺和圆规【答案】D提示：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．类型四、实际应用6.如图，107国道a上有一个出口M，想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？【答案与解析】解：如图，过点M作MN⊥b，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列图中,∠1和∠2是对顶角的有()个.A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示是同位角关系的是()．A．∠3和∠4 B．∠1和∠4 C．∠2和∠4 D．不存在3．下列说法正确的是()．A．相等的角是对顶角.B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等.C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.D．若两个角的和为180°，则这两个角互为余角.4．（2015•宜昌）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50° C．40° D．30°5．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）．A．作一个角等于已知角B．作已知直线的垂线C．作一条线段等于已知线段D．作角的平分线6．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于()．A．75°B．105°C．45°D．135°7．下列说法中，正确的是()．A．过点P画线段AB的垂线.B．P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，连接PQ，使PQ⊥AB.C．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.D．过一点有且只有一条直线平行于已知直线.8．如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( )．A. 50°B. 60°C.70°D.80°二、填空题9. 如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．10．如图所示，已知BC∥DE，则∠ACB＋∠AOE＝．11．每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________．12. (广东湛江)如图所示，请写出能判断CE∥AB的一个条件，这个条件是：①：________ ②：________ ③：________13．如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1+∠2=________.14．如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD＝25°，则∠BOD= ，∠AOC＝，∠BOC＝．15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西．Array 16．（2015秋•丰台区期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小聪、小明、小敏三位同学在黑板上分别画出了设计方案：根据以上信息，你认为同学的方案最节省材料，理由是．三、解答题17．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度数，并说明理由．18．（2015春•监利县期末）如图，已知∠ABC=180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠1=36°，求∠2的度数．19. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．20．如图所示，点P是∠ABC内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗? 为什么?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A；【解析】只有第三个图中的∠1与∠2是对顶角.2. 【答案】B；【解析】同位角的特征：在截线同旁，在两条被截直线同一方向上．3. 【答案】C；【解析】一个角的平分线分得两个角相等，但不是对顶角，A错误；内错角相等的前提必须是两条直线平行，B错误；若两个角的和为180°，这两个角互为补角，D错误；C是平行公理的推论，正确．4. 【答案】C；【解析】∵FE⊥DB，∴∠DEF=90°．∵∠1=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．故选C．5. 【答案】C；【解析】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C．6. 【答案】C；【解析】根据直线平行，内错角相等，从A点北偏东60°方向等于从B点南偏西60°，再从B点向南偏西15°方向到C点，∠ABC应等于这两个角的差，故C正确．7.【答案】C；【解析】应是过一点画线段所在直线的垂线，不能是画线段的垂线，故A错误；P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，如果P点不在过Q点与AB垂直的直线上，或Q 点不在过P点与AB垂直的直线上，连接PQ，不可能有PQ⊥AB，故B错误；过一点画直线的平行线，这点不能在直线上，否则是同一条直线，故D错误；只有C是垂线的性质，故C正确．8.【答案】A；【解析】平行线的判定与性质综合应用．二、填空题9.【答案】50°；【解析】因为AB∥CD，所以∠1＝∠AGF，因为∠AGF与∠EGB是对顶角，所以∠EGB ＝∠AGF，故∠EGB＝50°．10.【答案】180°；【解析】由BC∥DE可知∠ACB＝∠EOC，又因为∠AOE+∠EOC＝180°，故可得解．11.【答案】向西，750米；【解析】移动的方向是起点到终点的方向，移动的距离是起点到终点的线段的长度. 12．【答案】∠DCE＝∠A，∠ECB＝∠B，∠A+∠ACE＝180°；【解析】根据平行线的判定，CE∥AB成立的条件可以是∠DCE＝∠A或∠ECB＝∠B 或∠A+∠ACE＝180°．13.【答案】90°；【解析】∠BAC+∠ACD＝180°，11BAC+ ACD22∠∠＝90°，即∠1+∠2＝90°.14.【答案】115°，115°，65°；【解析】邻补角或对顶角的性质进行求解.15.【答案】48°；【解析】内错角相等，两直线平行.16.【答案】小聪；两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；【解析】小明与小聪的方案比较：在小明的方案中∵AD+BD＞AB，∴小聪的方案比小明的节省材料；小聪与小敏的方案比较：小聪方案中AC＜小敏的方案中AC∴小聪同学的方案最节省材料，理由：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短．三、解答题17.【解析】解：因为∠2＝∠3(对顶角相等)，∠3＝40°(已知)，所以∠2＝40°(等量代换)．又因为∠1+∠2＝90°(已知)，所以∠1＝90°-∠2＝50°．18.【解析】（1）证明：∵∠ABC=180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC；（2）解：∵AD∥BC，∠1=36°，∴∠3=∠1=36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠2=∠3=36°．19.【解析】解：因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)，所以∠1+∠2＝180°．所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)．又因为∠4＝50°(已知)，所以∠3＝∠4(等量代换)．所以d∥e(同位角相等，两直线平行)．因为∠5+∠6＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)，所以∠5＝50°(等式的性质)．所以∠4＝∠5(等量代换)．所以b∥c(内错角相等，两直线平行)．因为a∥b，b∥c(已知)，所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)．20.【解析】解：如图所示，(1)①直线PD即为所求；②直线PE、PF即为所求．(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF ＝∠B(等量代换)．。

北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线含答案(汇总)

北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB=AC，AF∥BC，∠FAC=75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°2、如图，在下列条件中，不能判定AB∥DF的是（）A. B. C. D.3、如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝115°，则∠4的度数为( )A.55°B.60°C.65°D.75°4、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，BD，OD，OC，若∠ABD＝15°，且AD∥OC，则∠BOC的度数为（）A.120°B.105°C.100°D.110°5、如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，连结AC、BC.若，则的大小为（）A. B. C. D.6、如图，已知∠1=∠2，∠3=80°，则∠4=（）A.80°B.70°C.60°D.50°7、如果a∥b，b∥c，d⊥a，那么（）A.b⊥dB.a⊥cC.b∥dD.c∥d8、如图，∠BAC＝40°，DE∥AB，交AC于点F，∠AFE的平分线 FG交AB于点H，则结论正确的是（）A.∠AFG＝70°B.∠AFG>∠AGFC.∠FHB＝100°D.∠CFH ＝2∠EFG9、如图，a∥b，∠1是∠2的3倍，则∠2等于（）A.45°B.90°C.135°D.150°10、如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，，，若要使直线，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（）A. B. C. D.11、如图，由已知条件推出结论正确的是（）A.由，可以推出B.由，可以推出C.由，可以推出D.由，可以推出12、将一块三角板如图放置，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点B，C分别在PQ，MN上，若PQ∥MN，∠ACM＝42°，则∠ABP的度数为（）A.45°B.42°C.21°D.12°13、已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（）A.如果a∥b，a⊥c，那么b⊥cB.如果b∥a，c∥a，那么b∥cC.如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥cD.如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c14、如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）A.∠3＝∠5B.∠1＝∠5C.∠1＋∠4＝180°D.∠3＝∠415、如图，若∠1+∠2=180°，则( )A.c∥dB.a∥bC.c∥d且a∥bD.∠3=∠2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，要说明∠3＋∠4＝180°，请补充完整解题过程，并在括号内填上相应的依据：解：∵AD∥BC(已知)，∴∠1＝∠3(________)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠3.∴BE∥________(________)．∴∠3＋∠4＝180°(________)．17、如图，在中，CD平分∠ACB，DE∥BC，DE交AC于E,若DE=7，AE=5，则AC=________。