垂径定理的说课课件..
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垂径定理说课课件
几何作图
垂径定理是几何作图中的 重要工具，可以用来确定 圆的中心和半径，从而画 出精确的圆。
圆的性质
垂径定理是研究圆的性质 的重要工具，可以用来推 导和证明许多圆的性质和 定理。
解析几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在解析几何中，垂径定理 可以用来解决一些涉及到 圆的问题，例如求圆的方 程和圆心坐标等。
定理在其他学科中的应用
天文学
CHAPTER 02
定理内容
定理的文字表述
定理名称：垂径定理
总结词：该定理描述了直线与圆的位置关系以及相关的性质。
详细描述：垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它指出如果一条直线垂直于圆 的一条直径，那么这条直线将平分这个圆，并且通过圆心。
定理的图形表述
总结词
通过图形直观地展示垂径定理。
详细描述
THANKS
[ 感谢观看 ]
垂径定理说课课件
• 定理内容 • 应用举例 • 练习与巩固 • 总结与回顾
CHAPTER 01
引入
什么是垂径定理
01
垂径定理是圆的基本定理之一， 它描述了通过圆心并与圆相交的 任何直径将平分该圆。
02
该定理可以表述为：如果一条直 径同时垂直于圆上的一条弦和一 条直径，则它也将平分该弦。
垂径定理的重要性
垂径定理是几何学中非常重要的基本 定理之一，它在证明其他定理和解决 几何问题时经常被使用。
它对于理解圆的性质和解决与圆相关 的问题至关重要，是进一步学习几何 学的基础。
为什么学习垂径定理
学习垂径定理有助于培养学生的逻辑思维和推理能力，提高 他们解决问题的能力。
通过学习垂径定理，学生可以更好地理解圆的性质和特点， 为进一步学习更复杂的几何知识打下基础。此外，垂径定理 在日常生活和实际应用中也具有重要意义，例如在建筑设计、 机械制造和自然科学等领域中都有广泛的应用。
初中数学《垂径定理》公开课课件
C
O
AE
F
B
P
D
A
B
O
自我评价 本节课堂自我评价
评价项目及评价结果 优
良
合格
不合格
课前预习的主动性以及 效果
课堂活动的参与度
独立回答问题以及解决 问题的准确性
对整节课所学知识以及 数学思想方法的认识与 体会
较之上节课的学习表现 是
否
是否有了进步
备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价,并写在相应的栏目下面。
E
连半径 建模思想
F
●
D
O
用勾股 方程思想
解这个方程,得R 545.
牛刀小试
1.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,则∠OAB的正弦 值是 。
0
A
B
辅助线：作垂直，得平分，用勾股
大显身手
2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的
距离是 2cm或14cm .
.
3.分类讨论思想
1.实际生活中的应用价值
2.自主探索和团队合作精神
当堂检测
必做题
1.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么
OP长的取值范围是______。
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
O
A
PB
O.
AC
DB
当堂检测
动手操作
折一折：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的
直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
·
可以发现：圆是_轴__对__称_ 图形，任何一条直__径__所__在__的__直__线 都是它的对称轴，它有__无__数__条对称轴。
垂径定理说课PPT课件
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
在自己的圆形纸片中做一条弦AB，再做直径CD，使CD⊥AB， 垂足为E．沿CD所在的直线折叠，你能发现图中有那些相等的 线段和弧？为什么？
C
线弧段：：Ａ⌒AＣE=＝BＢE⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
▪ 情感与态度：通过创建和引导学生所参与的情景， 激发学生强烈的好奇心和求知欲，在探究中体验 成功的喜悦。培养独立思考、敢于质疑、善于表 达的习惯。
教学重难点
▪ 重点：探究，发现，理解和掌 握垂径定理。
▪ 难点：定理的证明及它的几个 推论之间实质性的联系和应用。
教学方法和手段
▪ 以参与式探究教学法为主 ▪ 以学生手中的圆形纸片为工具 ▪ 以多媒体演示为辅助
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
板书设计
探索一： 圆的对称性 探索二： 垂径定理 推论
垂直于弦的直径
定理问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
·O
E B
D
Ｃ
Ｏ
Ａ
ＥＢ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
活动二
在自己的圆形纸片中做一条弦AB，再做直径CD，使CD⊥AB， 垂足为E．沿CD所在的直线折叠，你能发现图中有那些相等的 线段和弧？为什么？
C
线弧段：：Ａ⌒AＣE=＝BＢE⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
▪ 情感与态度：通过创建和引导学生所参与的情景， 激发学生强烈的好奇心和求知欲，在探究中体验 成功的喜悦。培养独立思考、敢于质疑、善于表 达的习惯。
教学重难点
▪ 重点：探究，发现，理解和掌 握垂径定理。
▪ 难点：定理的证明及它的几个 推论之间实质性的联系和应用。
教学方法和手段
▪ 以参与式探究教学法为主 ▪ 以学生手中的圆形纸片为工具 ▪ 以多媒体演示为辅助
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
板书设计
探索一： 圆的对称性 探索二： 垂径定理 推论
垂直于弦的直径
定理问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
·O
E B
D
Ｃ
Ｏ
Ａ
ＥＢ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
数学公开课优质课件精选《垂径定理》
解析
要证明FM垂直于FN， 只需证明角MFN等于 90度。根据抛物线的 性质可知AF = AM， BF = BN。因此，角 AFM和角BFN均为45 度。所以角MFN等于 90度，即FM垂直于FN
。
例题6
已知椭圆C： (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1 (a > b > 0)的左、右焦点分别 为F1、F2，过F1的直 线l与椭圆C交于A、B 两点。若|AF1| = 3|F1B|，且|AB| = 4√3 ，求椭圆C的方程。
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
Hale Waihona Puke 。判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
03
利用垂径定理可以解决与线段中点相关的各种问题，如求线段
的长度、证明线段的平行或垂直等。
应用场景
在解决三维几何问题中，如计算球面上两点的最短距离、 判断点到球面的位置关系等问题时，可应用三维空间中的 垂径定理。
垂径定理与其他知识点的联系
与勾股定理的联系
在直角三角形中，垂径定理可视 为勾股定理的特殊情况，当直角 三角形的两条直角边相等时，斜
边上的中线即为垂径。
与圆的性质的联系
垂径定理与圆的性质密切相关，如 圆心角、弧长、弦长等概念在证明 垂径定理时均有涉及。
解决角平分线问题
1 2 3
利用垂径定理构造角平分线
通过构造以角为顶点的圆，利用垂径定理可求得 角的平分线。
判定角平分线的性质
根据垂径定理，若一条射线是某圆的切线，且切 点是角的顶点，则该射线是角的平分线，从而可 判定角平分线的性质。
垂径定理》PPT课件
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
5 3 OO
A
4 PP B
D
练习册
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
A
C
·O
E B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
5 3 OO
A
4 PP B
D
练习册
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
A
C
·O
E B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
《垂径定理》优秀ppt课件
拓展问题讨论
引导学生提出与垂径定理 相关的拓展问题，如逆定 理、推广等，并进行讨论 和交流。
25
课堂小测验
2024/1/28
测验题目设计
设计涵盖垂径定理基本概念、性质、证明方法和应用场景的测验 题目。
学生完成测验
让学生在规定时间内完成测验，以检验学生对垂径定理的掌握程 度。
测验结果反馈
及时公布测验结果，并针对学生的答题情况进行点评和指导，帮 助学生查漏补缺，巩固所学知识。
向量运算
利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件 进行推导和证明。
3
垂径定理的向量形式
通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为 $(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
2024/1/28
10
03
垂径定理在几何问题中应 用
2024/1/28
11
求解三角形问题
01
利用垂径定理求解直角三角形
深入研究。
2024/1/28
22
06
总结回顾与课堂互动环节
2024/1/28
23
关键知识点总结回顾
2024/1/28
垂径定理的定义和性质
回顾垂径定理的基本概念，包括直径、垂径、弦等要素的定义和 性质。
垂径定理的证明方法
总结垂径定理的多种证明方法，如构造法、解析法等，并强调不同 方法之间的联系和区别。
通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和
角度。
02
求解三角形面积
结合垂径定理和三角形面积公式，可快速求解三角形面积。
2024/1/28
03
判断三角形形状
通过垂径定理判断三角形边长关系，从而确定三角形形状（如等腰、等
《垂径定理》课件1
通过计算或观察图像，确定函数的最值。
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
垂径定理公开课用的课件
THANKS
感谢观看
4. 根据全等三角形的对应边相等，我们得出 $AM=BM$。
证明中的数学思想
01
垂径定理的证明涉及了圆的性质 、三角形的全等关系以及逻辑推 理等数学思想。
02
通过构造辅助线和利用已知条件 ，逐步推导出结论，体现了数学 证明中的严谨性和逻辑性。
03
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
01
02
03
确定圆心位置
在垂径定理中，如果弦变为直径，则直径所对的圆周角为直角。
从平面图形到立体图形
将垂径定理从平面图形推广到立体图形，例如球体，可以得到类似 的性质。
推广后的应用场景
建筑设计
在建筑设计时，可以利用 垂径定理的推广情势来确 保建筑结构的稳定性。
工程测量
在测量中，可以利用垂径 定理的推广情势来确定某 些线段或角度是否满足设 计要求。
数学教育
在数学教育中，垂径定理 的推广可以帮助学生深入 理解几何图形的性质，提 高解题能力。
对推广情势的进一步思考
统一性
视察垂径定理的各种推广情势，可以发现它们都遵循“从特 殊到一般”的逻辑，这种统一性有助于理解几何图形的本质 。
局限性
虽然垂径定理的推广情势具有广泛的应用价值，但在实际应 用中仍需考虑图形的复杂性和具体条件，避免生搬硬套。
答案及解析
题目2答案及解析
答案：解得，CD:AB=3:5。
解析：根据垂径定理，我们知道OE垂 直于CD，所以E是CD的中点。又因为 OE:BE=5:1，所以AB:OE=5:3。然后 利用勾股定理计算出CE的长度为 sqrt(AB^2OE^2)=sqrt(5^2*3^2)=sqrt(75)=5 *sqrt(3)。最后得出CD的长度为 2*CE=2*5*sqrt(3)=10*sqrt(3)。所 以弦CD与直径AB的比值为 CD:AB=10*sqrt(3):5=2*sqrt(3):1=6 :5。
垂径定理的说课课件 PPT
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧．
教
三、徜徉美——问题变式发散
学
过
程 1、剖析定理结构，总结出二推三模型。 设
计
剖析定理结构
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
题设
（1）过圆心 （2）垂直于弦
结论
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
（1）交换条件与结论，重新组合新命题；
（2）从作图角度提出新问题；
（3）回到生活实际——赵州石拱桥问题。
重组命题游戏
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如 果具备下列五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论：
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
A
C
·O
B D
教
二、探究美——揭秘核心问题
学
过
程
1、提出核心问题
设
计
2、折叠实验，解决问题（1）
折叠实验，解决问题（1）
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
公理： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线
都是它的对称轴．
教
二、探究美——揭秘核心问题
学
等腰三角形等图形的轴对称性，是初中
阶段轴对称中集大成者。它也是今后计
算和证明圆的相关问题的重要基石。
教
2、学生情况分析
学
背
景
学生已经学习了线段、等腰三角
分 形等图形的轴对称性。对轴对称性方
析 面的数学直感已初步形成，同时也初
步具备探究某些特殊图形的轴对称性
垂径定理说课ppt
教材处理
(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明， 采用师生共同演示的方法。
(2)例1讲完后总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦 弦心距”，得直角三角形中三边的关系式
r2=d2+(a/2)2.
注意前后知识的链接，活动三的2道习题作为例1的延 伸，并结合学生实际情况作适当的拓广。
(3)目标巩固与检测，要求学生课堂完成。
B
·
O
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明：∵OE⊥AC OD⊥AB AB=AC
∴∠OEA=90°, ∠OAE=90°, ∠ODA=90°
∴四边形ADOE为矩形，AE=
1
2 AC,
AD=
1
2AB
又 ∵AC=AB
教学重点、难点
重点是:垂径定理及其应用 难点是:对垂径定理题设与结论的区 分及定理的证明方法学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理； ②学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和 作图问题。 ③培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
过程方法目标：
教师播放动画、创设情境，激发学生的求知 欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、 合作交流，收获新知；通过分组训练、深化 新知，共同感受收获的喜悦。
一、教材分析 二、目标分析 三、教学方法与教材处理
四、学法指导
五、教学过程
六、版书设计 七、设计特色
教材分析
本节内容是前面圆的性质的重要体现，是 圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线 段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重 要依据，同时也是为进行圆的计算和作图 提供了方法和依据，所以它在教材中处于 非常重要的位置。
OD=OC－CD=R－7.2
垂径定理的说课课件
教 学 过 程 设 计
二、探究美——揭秘核心问题
1、提出核心问题
2、折叠实验，解决问题（1） 3、分组研究，解决问题（2） 4、证明定理
分组研究，解决问题（2）
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 平分ＡＢ
C
⌒
及
ＡＣＢ
E
⌒
·
A D B
O
即ＡＥ＝ＢＥ ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧．
3、反馈训练。
布置作业
必做题： 教材P82/1、2 选做题：1、教材P87/1；
2、 请上网查阅“圆的对称性”的 资料，然后就自己感受最深的某一方面写一 篇小论文。以下网站可供参考： /view/441802.htm
教 学 创 新 之 处
本课先以“情境问题”切入课题，诱发 学生自主研究，继以“核心问题”搭台交 流，再以“变式问题”激励深探，层层推 进。使学生在不断解决问题中学习,知识得 到掌握，能力得到训练，情感得到体验， 心灵得到陶冶。不同层次的学生都得到了 不同程度的全面和谐的发展。
推论：
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
教 学 过 程 设 计
三、徜徉美——问题变式发散
1、剖析定理结构，总结出二推三模型。
2、问题变式发散： （1）交换条件与结论，重新组合新命题； （2）从作图角度提出新问题； （3）回到生活实际——赵州石拱桥问题。
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教 学 过 程 设 计
二、探究美——揭秘核心问题
1、提出核心问题
2、折叠实验，解决问题（1） 3、分组研究，解决问题（2） 4、证明定理
分组研究，解决问题（2）
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 平分ＡＢ
C
⌒
及
ＡＣＢ
E
⌒
·
A D B
O
即ＡＥ＝ＢＥ ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧．
1.知识与能力目标
3.情感态度与价值观
对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升， 直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学 生心灵美，提高数学审美力。
课 堂 结 构 设 计
欣赏美 ---营造问题情境
探究美---揭秘核心问题
徜徉美 ---发散变式问题
品味美 ---重建知识体系
教 学 资 源 运 用
教 学 过 程 设 计
三、徜徉美——问题变式发散
1、剖析定理结构，总结出二推三模型。
剖析定理结构 垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。 题设
（1）过圆心
（2）垂直于弦
结论
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
C O A E D B
垂径定理：
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
推论：
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
教 学 过 程 设 计
三、徜徉美——问题变式发散
1、剖析定理结构，总结出二推三模型。
2、问题变式发散： （1）交换条件与结论，重新组合新命题； （2）从作图角度提出新问题； （3）回到生活实际——赵州石拱桥问题。
教 学 过 程 设 计
一、欣赏美——营造问题情境
1、轴对称图形自由谈
2、玩“找对称点”游戏 3、欣赏轴对称美图片 4、切入圆的轴对称美
教 学 过 程 设 计
二、探究美——揭秘核心问题
1、提出核心问题
核心问题
结合样本图思考：
（1）圆真是一个轴对称图形 吗？ （2）若是，它的对称点与对 称轴又有怎样的 特殊性呢？
——揭秘圆的轴对称美
教学背景分析 教学目标设计 课堂结构设计 教学资源运用 教学过程设计 教学创新之处
教 学 背 景 分 析
1、学习任务分析
“垂径定理”是义务教育课程标 准实验教科书《数学》（ 2013年人教版） 九年级上册第 24章《圆》第一节第二课 时的内容。 “垂径定理”是圆的轴对称
1、利用多媒体辅助教学
在课堂教学中 我利用多媒体让学生 观察圆的实物图片，让学生获得感性认 识；利用多媒体在动漫中演示图形的折 叠过程，在激发学生思维的同时，获得 美的享受。
教 学 资 源 运 用
2、常规媒体仍起主导作用
课堂教学中的定理内容及其问题的 解答过程都在黑板上板书，充分展现数 学知识的精彩发生、发展过程，充分地 暴露学生认识中存在的问题和独特优胜 之处。因为数学是思维的体操，数学课 是丰富多彩的动态生成而非僵硬不变的 简单预设。
C D R O B
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 A 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
教 学 过 程 设 计
四、品味美——重建知识体系
1、“垂径定理”审美: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧。 推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧。 2、重建知识体系: 美—对称美—轴对称美—圆中“垂径定理 ”的美。
教 学 资 源 运 用
3、利用学生身旁的教学资源
如组织学生玩找对称点游戏;看谁 折得好;寻找身旁的轴对称图形。这些 贴近学生认识领域而又充满情趣的活 动，很好地活跃了学习气氛，使学生 真正地融入到数学学习中来。
教 学 过 程 设 计
一、欣赏美——营造问题情境
1、轴对称图形自由谈
2、玩“找对称点”游戏 3、欣赏轴对称美图片
二、探究美——揭秘核心问题
1、提出核心问题
2、折叠实验，解决问题（1） 3、分组研究，解决问题（2）
分组研究，解决问题（2）
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 平分ＡＢ
C
⌒
及
ＡＣＢ
E
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·
A D B
O
即ＡＥ＝ＢＥ ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
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垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧．
A
C
·
B D
O
教 学 过 程 设 计
二、探究美——揭秘核心问题
1、提出核心问题
2、折叠实验，解决问题（1）
折叠实验，解决问题（1）
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 公理： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线 都是它的对称轴．
教 学 过 程 设 计
重组命题游戏
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如 果具备下列五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论：
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你 能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧 、 等腰三角形等图形的轴对称性，是初中 阶段轴对称中集大成者。它也是今后计 算和证明圆的相关问题的重要基石。
教 学 背 景 分 析
2、学生情况分析
学生已经学习了线段、等腰三角 形等图形的轴对称性。对轴对称性方 面的数学直感已初步形成，同时也初 步具备探究某些特殊图形的轴对称性 的能力。但学生仍然难以将数学直感 提升到公理化定理化层面，仍然难以 完美使用“折叠法”完成定理的证明。
解答求赵州桥拱半径的问题
⌒ ⌒ 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，
AB
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ 的中点，CD 就是拱高． ＡＢ 在图中 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2
教 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学 学 会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题 。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 目 标 2.过程与方法目标 定 教师播放动画、创设情境，激发学生的求知 位 欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交
流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感 受收获的喜悦。
3、反馈训练。
布置作业
必做题： 教材P82/1、2 选做题：1、教材P87/1；
2、 请上网查阅“圆的对称性”的 资料，然后就自己感受最深的某一方面写一 篇小论文。以下网站可供参考： /view/441802.htm
教 学 创 新 之 处
本课先以“情境问题”切入课题，诱发 学生自主研究，继以“核心问题”搭台交 流，再以“变式问题”激励深探，层层推 进。使学生在不断解决问题中学习,知识得 到掌握，能力得到训练，情感得到体验， 心灵得到陶冶。不同层次的学生都得到了 不同程度的全面和谐的发展。