高中数学基础知识与练习题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题(含答案)
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题（含答案）一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x −=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x −=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=−，或得到()()31f x f x −=−+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=−+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=−+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=−+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x −=−+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x −=−+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
高中数学利用导数研究函数单调性基础知识梳理+常考例题汇总
∴(－2)＋(－1)＝a，即 a＝－3. 3.[变条件]本例(2)变为：若 g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数 a 的取值范围． 【解析】由 1 知 g(x)在(－2，－1)内为减函数时，实数 a 的取值范围是(－∞，－ 3]． 若 g(x)在(－2，－1)内为增函数，则 a≥x＋ 2 在(－2，－1)内恒成立，
2．已知函数 f(x)＝ x a －ln x－ 3 ，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处
4x
2
的切线垂直于直线 y＝ 1 x.
2
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间．
【解析】(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝ 1 － a － 1 ，
4 x2 x
由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝ 1 x，
【解析】f′(x)＝ 1 ·x＋ln x－k－1＝ln x－k，
x
①当 k≤0 时，因为 x>1，所以 f′(x)＝ln x－k>0，
所以函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．
②当 k>0 时，令 ln x－k＝0，解得 x＝ek，
当 1<x<ek 时，f′(x)<0；当 x>ek 时，f′(x)>0.
x
又∵y＝x＋ 2 在(－2，－ 2 )内单调递增，在(－ 2 ，－1)内单调递减，
x
∴y＝x＋ 2 的值域为(－3，－2 2 )，
x
∴实数 a 的取值范围是[－2 2 ，＋∞)， ∴函数 g(x)在(－2，－1)内单调时，a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－2 2 ，＋∞)， 故 g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数 a 的取值范围是(－3，－2 2 )． [解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)由可导函数 f(x)在 D 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为 f′(x)≥ 0(或 f′(x)≤0)对 x∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”
高中数学直线的方程与性质基础知识及例题练习(含答案)
高中数学直线的方程与性质基础知识及例题练习（含答案）一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用,,,αβγ表示（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[)0,απ∈2、斜率：设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α= （1）当2πα=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）k 越大，直线越陡峭（5）斜率k 的求法：已知直线上任意两点()()1122,,,A x y B x y ，则2121y y k x x −=−，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。
3、截距：若直线l 与坐标轴分别交于()(),0,0,a b ，则称,a b 分别为直线l 的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关 （1）一点一方向：① 点斜式：已知直线l 的斜率k ，直线上一点()00,P x y ，则直线l 的方程为：()00y y k x x −=−证明：设直线l 上任意一点(),Q x y ，根据斜率计算公式可得：0y y k x x −=−，所以直线上的每一点都应满足：()00y y k x x −=−，即为直线方程② 斜截式：已知直线l 的斜率k ，纵截距b ，则直线l 的方程为：y kx b =+证明：由纵截距为b 可得直线与y 轴交点为()0,b ，从而利用点斜式得：()0y b k x −=− 化简可得：y kx b =+ （2）两点确定一条直线：③ 两点式：已知直线l 上的两点()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为：221212y y x x y y x x −−=−− ④ 截距式：若直线l 的横纵截距分别为(),0a b ab ≠，则直线l 的方程为：1x y a b+= 证明：从已知截距可得：直线上两点()(),0,0,a b ，所以00b bk a a−==−− ():01b x yl y b x bx ay ab a a b∴−=−−⇒+=⇒+= ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由,x y 的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是12,l l ，则要考虑重合的情况。
高中数学必修1基础知识过关100题带答案
高中数学必修1基础知识过关100题带答案1.方程组3x=6，x+2y=6的解构成的集合是{2}。
2.不同于另外三个集合的是C.{x=1}。
3.若函数f(x)=ax^2-x-1有且仅有一个零点，则实数a的值为1/4.4.是空集的是C.{x|x^2<0}。
5.能使A⊇B成立的实数a的取值范围是B.{a|3<a<4}。
6.若B⊆A，则实数m=4.7.M∪N={3,5,6,7,8}。
8.A∩B={x|x>-1}。
9.M∩N={0}。
10.A∩B={x|-1<x≤3}。
11.A∩(∁B U)=C.{3}。
12.集合C={x|x≥1/2}。
则f(x)＝2x＋1，x＞2或x＜－427．若f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝3，则a＝()，b＝().28．已知函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝2x－1，则f(g(x))＝()A．4x2－12xB．4x2－8x－1C．4x2－4x－1D．4x2－4x＋129．已知函数f(x)＝x2－x＋1，g(x)＝x＋1，则f(g(x))＝() A．x2＋2xB．x2＋x＋1C．x2＋2x＋1D．x2－2x＋130．已知函数f(x)＝x3＋1，g(x)＝x－1，则f(g(x))＝()A．x3－x2＋xB．x3－3x2＋3xC．x3－3xD．x3－2x2＋x31．已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝2x－1，则f(g(x))＝()A．2xB．2x＋1C．2x＋2D．2x－132．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝x2，则f(g(x))＝()A．2x2－1B．2x4－1C．2x2－2D．2x4－2x＋133．已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝x＋1，则f(g(x))＝()A．x2＋2xB．x2＋2x＋1C．x2＋2x－1D．x2＋x34．已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝x2，则f(g(x))＝()A．x2＋xB．x2＋x＋1C．x2＋2xD．x2＋2x＋135．已知函数f(x)＝x2＋1，g(x)＝x＋1，则f(g(x))＝()A．x2＋2xB．x2＋2x＋1C．x2＋x＋2D．x2＋2x＋236．已知函数f(x)＝|x|，g(x)＝x2，则f(g(x))＝()A．|x2|B．x2C．x2＋1D．|x2|＋137．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝|x|，则f(g(x))＝()A．x4B．x2C．|x|2D．|x|27.已知函数f(x) = {2x。
高中数学《排列组合的常见模型》基础知识与练习题(含答案)
高中数学《排列组合的常见模型》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。
例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。
从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。
3310785N C C =−=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。
但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。
例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。
解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。
所以共有213433108C C A =种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有44A 种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有25C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。
高中数学选修一综合测试题基础知识手册(带答案)
高中数学选修一综合测试题基础知识手册单选题1、如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝a ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，点M 在OA 上，且OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，N 为BC 中点，则MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ （ ）A ．12a −23b ⃑ +12c B ．−23a +12b ⃑ +12c C ．12a +12b ⃑ −12c D ．−23a +23b ⃑ −12c 答案：B分析：由向量的加法和减法运算法则计算即可．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +OC ⃑⃑⃑⃑⃑ )−23OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23a +12b ⃑ +12c故选：B2、已知空间向量a ，b ⃑ ，c 满足a +b ⃑ +c =0⃑ ，|a |=1，|b ⃑ |=2，|c |=√7，则a 与b ⃑ 的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：C分析：将a +b ⃑ =−c ，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.设a 与b ⃑ 的夹角为θ．由a +b ⃑ +c =0，得a +b ⃑ =−c ，两边平方，得a 2+2a ⋅b ⃑ +b ⃑ 2=c 2， 所以1+2×1×2cosθ+4=7，解得cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=60∘， 故选：C ．3、若圆x 2+y 2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−2√2,0)∪(0,2√2)B ．(−2√2,2√2)C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−1,1) 答案：A分析：将问题转化为圆(x −a)2+(y −1)2=4与x 2+y 2=1相交，从而可得2−1<√a 2+12<2+1，进而可求出实数a 的取值范围.到点(a,1)的距离为2的点在圆(x −a)2+(y −1)2=4上，所以问题等价于圆(x −a)2+(y −1)2=4上总存在两个点也在圆x 2+y 2=1上， 即两圆相交，故2−1<√a 2+12<2+1， 解得−2√2<a <0或0<a <2√2，所以实数a 的取值范围为(−2√2,0)∪(0,2√2)， 故选：A ．4、已知点A(2,−3)，B(−3,−2)．若直线l:mx +y −m −1=0与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−34]∪[4,+∞)B ．[−34,4] C ．(15,+∞)D ．[−4,34]答案：A分析：直线l 过定点P （1，1），且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出PA 、PB 的斜率， 从而得出l 的斜率−m 的取值范围,即得解设直线l 过定点P(x,y)，则直线l:mx +y −m −1=0可写成m(x −1)+y −1=0， 令{x −1=0,y −1=0, 解得{x =1,y =1. ∴直线l 必过定点P(1,1)． k PA =−3−12−1=−4，k PB =−2−1−3−1=34．∵直线l:mx +y −m −1=0与线段AB 相交，∴由图象知，−m≥34或−m≤−4，解得m≤−34或m≥4，则实数m的取值范围是(−∞,−34]∪[4,+∞)．故选：A小提示：本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．5、已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx−2y+2=0外，则实数m的取值范围为（）A．(−3,−2)∪(2,+∞)B．(−3,−2)∪(3,+∞)C．(−2,+∞)D．(−3,+∞)答案：A分析：由x2+y2+mx−2y+2=0表示圆可得m2+(−2)2−4×2>0，点A（1，2）在圆C外可得12+ 22+m−2×2+2>0，求解即可由题意，x2+y2+mx−2y+2=0表示圆故m2+(−2)2−4×2>0，即m>2或m<−2点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx−2y+2=0外故12+22+m−2×2+2>0，即m>−3故实数m的取值范围为m>2或−3<m<−2即m∈(−3,−2)∪(2,+∞)故选：A6、若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x−y+k=0的外部，则实数k的取值范围是（）A ．(−2,+∞)B ．[−2,−12)C ．(−2,12)D ．(−2,2)答案：C分析：由于点P(1,1)在圆C:x 2+y 2+x −y +k =0的外部，所以{1+1+1−1+k >01+1−4k >0，从而可求出k 的取值范围解：由题意得{1+1+1−1+k >01+1−4k >0，解得−2<k <12，故选：C ．7、设A (2,−3)，B (−3,−2)，直线l 过点P (1,2)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．k ≤−1或k ≥5B ．−5≤k ≤1 C ．−1≤k ≤5D ．k ≤−5或k ≥1 答案：D分析：如图，求出k PA ,k PB 可得斜率k 的取值范围.由题设可得k PA =2−(−3)1−2=−5,k PB =−2−2−3−1=1，因为直线l 与线段AB 相交，则k ≥1或k ≤−5， 故选：D.8、已知A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等，则a =（ ） A ．2B ． 92C ．2或−8D ．2或92答案：D分析：利用点到直线距离公式进行求解即可.因为A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等，所以有√32+(−4)2=√32+(−4)2⇒|13−4a|=5⇒a=2，或a=92，故选：D多选题9、关于下列命题，正确的是（）A．若点(2,1)在圆x2+y2+kx+2y+k2−15=0外，则k>2或k<−4B．已知圆M：(x+cosθ)2+(y−sinθ)2=1与直线y=kx，对于任意的θ∈R，总存在k∈R使直线与圆恒相切C．已知圆M：(x+cosθ)2+(y−sinθ)2=1与直线y=kx，对于任意的k∈R，总存在θ∈R使直线与圆恒相切D．已知点P(x,y)是直线2x+y+4=0上一动点，PA､PB是圆C：x2+y2−2y=1的两条切线，A､B是切点，则四边形PACB的面积的最小值为√6答案：CD分析：对于A，由圆的一般方程可判断；求出M到直线y=kx的距离，可判断B与C；求出圆心C到直线2x+y+4=0的距离，即可求出(|PA|)min=√3，从而四边形PACB的面积的最小值可求.解：当k=6时，方程x2+y2+kx+2y+k2−15=0为x2+y2+6x+2y+21=0，不表示圆，故A错误；已知圆M：(x+cosθ)2+(y−sinθ)2=1的圆心(−cosθ,sinθ)，半径1，圆心M到直线y=kx的距离d=√1+k2=√1+k2√1+k2，当sinθ=0时cosθ=±1,d=√1+k2≤√1+k2<1，即此时不存在k∈R使直线与圆相切，因此B错误；对于任意的k∈R，令cosθ=√1+k2sinθ=√1+k2，则d=1，即对于任意的k∈R，总存在θ∈R使直线与圆相切，故C正确.C(0,1)，半径r=√2，圆心C(0,1)到直线2x+y+4=0的距离d=√22+12=√5，即|PC|的最小值√5，由|PA|=√|PC|2−r2，所以(|PA|)min=√3，四边形PACB的面积最小值2(S Rt△PAC)min=2×12×(|PA|)min×r=√3×√2=√6，故D 正确. 故选：CD.小提示：考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的应用，难题. 10、下列四个命题中，错误的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sinθ>0 B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ≤πC ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tanθD ．若一条直线的斜率为tanθ，则此直线的倾斜角为θ 答案：ABCD分析：根据倾斜角与斜率的定义判断即可；解：因为直线的倾斜角的取值范围是[0,π)，即θ∈[0,π)，所以sinθ≥0， 当θ≠π2时直线的斜率k =tanθ，故A 、B 、C 均错误； 对于D ：若直线的斜率k =tan 4π3=√3，此时直线的倾斜角为π3，故D 错误；故选：ABCD11、（多选题）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过点F 作C 的一条渐近线的平行线交C 于点A ，交另一条渐近线于点B .若FA ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的离心率为√3B ．双曲线C 的渐近线方程为y =±√2x C ．点A 到两渐近线的距离的乘积为b 24D ．O 为坐标原点，则tan∠AOB =√24 答案：ABD分析：根据共线向量的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式逐一判断各选项即可求解. 解：双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，不妨设过左焦点F 的直线与直线y =ba x 平行，交C 于点A .对于A ：设双曲线半焦距为c ，过点F (−c,0)与直线y =ba x 平行的直线的方程为y =ba (x +c)，与y =−ba x 联立，解得B (−c 2,bc2a )，设A(x,y)，由FA ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得(x +c,y)=2(−c2−x,bc2a −y)， 所以A (−2c 3,bc 3a )，所以4c 29a 2−c 29a 2=1，即c 2a 2=3，所以双曲线C 的离心率为e =√3，故选项A 正确； 对于B ：由c 2a 2=3，可得b 2a 2=2，所以ba=√2，所以渐近线方程为y =±√2x ，故选项B 正确； 对于C ：A 到两渐近线距离的乘积d 1d 2=|bx A −ay A |⋅|bx A +ay A |(√a 2+b 2)2=a 2b 2c 2=b 23，故选项C 错误；对于D ：k OA =−b 2a=−√22,k AB =b a=√2,k OA ⋅k AB =−1，所以OA ⊥AB,|OA|=√4c 29+b 2c 29a 2=√63c,|AB|=√(−c 2+23c)2+(bc2a −bc 3a )2=2√3，所以tan∠AOB =|AB||OA|=√24，故选项D 正确．故选：ABD. 填空题12、设点M 在直线2x +y −1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为______________． 答案：(x −1)2+(y +1)2=5分析：设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. [方法一]：三点共圆∵点M 在直线2x +y −1=0上，∴设点M 为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，∴√(a −3)2+(1−2a)2=√a 2+(−2a)2=R ， a 2−6a +9+4a 2−4a +1=5a 2，解得a =1， ∴M(1,−1)，R =√5，⊙M 的方程为(x −1)2+(y +1)2=5. 所以答案是：(x −1)2+(y +1)2=5 [方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线2x +y −1=0的交点(1,-1).R =√5, ⊙M 的方程为(x −1)2+(y +1)2=5.所以答案是：(x −1)2+(y +1)2=513、写出与圆x 2+y 2=1和(x −3)2+(y −4)2=16都相切的一条直线的方程________________． 答案：y =−34x +54或y =724x −2524或x =−1分析：先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. [方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x +by +c =0， 于是√1+b2=1，√1+b 2=4.故c 2=1+b 2①，|3+4b +c|=|4c|.于是3+4b +c =4c 或3+4b +c =−4c ， 再结合①解得{b =0c =1 或{b =−247c =−257 或{b =43c =−53， 所以直线方程有三条，分别为x +1=0，7x −24y −25=0，3x +4y −5=0. (填一条即可) [方法二]：设圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径为r 1=1， 圆(x −3)2+(y −4)2=16的圆心C(3,4)，半径r 2=4， 则|OC|=5=r 1+r 2，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+1=0符合题意；又由方程(x−3)2+(y−4)2=16和x2+y2=1相减可得方程3x+4y−5=0，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x−3y=0，直线OC与直线x+1=0的交点为(−1,−43)，设过该点的直线为y+43=k(x+1)，则|k−43|√k2+1=1，解得k=724，从而该切线的方程为7x−24y−25=0.(填一条即可)[方法三]：圆x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x−3)2+(y−4)2=16的圆心O1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为√32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为k OO 1=43，所以k l =−34，设方程为y =−34x +t(t >0)O 到l 的距离d =√1+916=1，解得t =54，所以l 的方程为y =−34x +54，当切线为m 时，设直线方程为kx +y +p =0，其中p >0，k <0， 由题意{√1+k 2=1√1+k 2=4 ，解得{k =−724p =2524 ，y =724x −2524 当切线为n 时，易知切线方程为x =−1，所以答案是：y =−34x +54或y =724x −2524或x =−1.14、已知直线l 1：kx +y =0(k ∈R )与直线l 2：x −ky +2k −2=0相交于点A ，点B 是圆(x +2)2+(y +3)2=2上的动点，则|AB |的最大值为___________. 答案：5+2√2分析：由直线l 1：kx +y =0(k ∈R )恒过定点O(0,0)，直线l 2：x −ky +2k −2=0恒过定点C(2,2)，且l 1⊥l 2，可知A 在以OC 为直径的圆D 上，要求|AB |的最大值，转化为在D 上找上一点A ，使|AB |最大，结合圆的性质即可求解解：因为直线l 1：kx +y =0(k ∈R )恒过定点O(0,0)，直线l 2：x −ky +2k −2=0恒过定点C(2,2)，且l 1⊥l 2， 所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为D:(x −1)2+(y −1)2=2，要求|AB |的最大值，转化为在D:(x −1)2+(y −1)2=2上找上一点A ，在(x +2)2+(y +3)2=2上找一点B ，使|AB |最大，根据题意可知两圆的圆心距为√(1+2)2+(1+3)2=5，所以|AB |的最大值为5+2√2，所以答案是：5+2√2解答题15、已知直线l 1与直线l 2:3x +4y −5=0平行，直线l 1与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线l 1的方程.答案：3x +4y ±12√2=0分析：设直线的方程为3x +4y +c =0，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程. 设直线l 1的方程为3x +4y +c =0.令y =0，得x =−c 3；令x =0，得y =−c 4. 由题设得12|−c 3|⋅|−c 4|=12.解得c =±12√2，因此直线l 1的方程为3x +4y ±12√2=0.。
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
高一数学章节知识点及试题
高一数学章节知识点及试题在高中数学教学中，高一的数学学科是至关重要的一环。
它奠定了学生数学学习的基础，同时也承接了初中数学的延续。
本文将针对高一数学章节知识点及试题进行探讨，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
一、代数与函数1. 一元一次方程与一元一次不等式高一数学的第一个重要章节是代数与函数。
其中，一元一次方程与一元一次不等式是最基础的内容之一。
学生需要学会如何通过等式或不等式来表示实际问题，并利用代数方法求解。
【例题】解方程：2x + 3 = 7解答过程：首先将3移到右侧，得到等式2x = 4。
然后将2除以2，解得x = 2。
2. 函数的概念与性质函数理论是高中数学的重要组成部分，高一的数学课程也会系统地介绍函数的概念与性质。
学生需要理解函数的定义、对应关系、自变量与因变量的关系等，同时掌握常见函数图像的特征与变化规律。
【例题】已知函数y = x^2 + 3x - 2，求函数在区间[-2, 1]上的最大值和最小值。
解答过程：首先求得函数的导数y' = 2x + 3。
然后，我们可以通过求导数为零的点，即2x + 3 = 0，解得x = -1.5。
带入原函数可以求得在该区间上的最大值和最小值分别为2.25和-3.75。
二、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高一数学中的另一个重要章节。
学生将学会如何用数列来表达规律，掌握数列的通项公式和递推关系，同时也将学习数学归纳法的基本思想与应用。
【例题】已知数列{an}满足a1 = 3，an+1 = 2an + 1 (n ∈ N*)，求数列的第n项通项公式。
解答过程：通过观察前几项的数值，可以猜测an = 2^n + 1。
然后，我们可以通过数学归纳法来证明这个猜想。
首先验证n = 1时成立，然后假设当n = k时成立，即ak = 2^k + 1。
接下来证明当n= k + 1时也成立，即ak+1 = 2^(k+1) + 1。
代入递推关系可以证明等式成立。
(完整版)高中数学基础知识练习题答案
高中数学基础知识练习题答案黄浦区教研室数学组提供 （供黄浦区2011年高三学生使用)一、集合和命题1、{}2112--，，，；2、23、φ，{}0，{}2，{}4，{}0,2，{}0,4，{}2,4，{}0,2,4；4、01±或5、11x y =⎧⎨=-⎩；6、(01]，7、（1）若0ab =，则0a =；（2）否命题：若2x ≠且3x ≠，则2560x x -+≠；逆否命题：若2560x x -+≠，则2x ≠且3x ≠。
8、否命题：若0a ≠或0b ≠,则220a b +≠；逆否命题：若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠。
9、必要非充分；10、D二、不等式1、（1），（2），(3）；2、A ；3、B4、（1）()()()()222222222220a b cd ac bd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥所以()()()22222a b c c ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =等号成立。
（2）()()()2220a b a b a b a b b a ab-++-+=>，所以22a b a b b a +>+.（3）()()()23322a b a b ab a b a b +-+=-+所以，当a b =时，3322a b a b ab +=+;当a b ≠时，3322a b a b ab +>+。
（4)因()222232()24b b a b b a b a +-+=-+,故()222a b b a b +≥+，当且仅当0a b ==时等号成立。
（5） x y >5、{}6,a a a R ⎪≥∈;6、1142x x x ⎧⎫⎪<>⎨⎬⎩⎭或；7、解:(]2,2-8、(1）1,1111,11,111a a a a x R a a a ⎧⎛⎫+∞<-> ⎪⎪+⎝⎭⎪⎪∅=∈⎨=-⎪⎪⎛⎫-∞-<<⎪ ⎪+⎝⎭⎩，当或时，当时当时，当（2）()()22,,0101,,01a a a a x a a a a a ⎧<>⎪⎪∈∅==⎨⎪<<⎪⎩当或时，当或时当时。
(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识题库
(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识题库高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识题库单选题1、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减 答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称， 又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f(x)在(−∞,−12)上单调递减，D正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f(−x)与f(x)的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.2、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个，故选：A3、已知对数式log(a+1)24−a（a∈Z）有意义，则a的取值范围为（）A．(−1,4)B．(−1,0)∪(0,4)C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a >0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}. 故选：C.4、已知f (x )＝a −x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（ ） A ．a >0B ．a >1 C ．a <1D ．0<a <1 答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1． 故选：D5、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ） A ．−1B ．−5C ．11D ．13 答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值. 令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x) =log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，故选：C.6、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+a与对数函数y=log a x（a>0且a≠1）的图象关系可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾，B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾，C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致，D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选：C．7、若y=log3a2−1x在(0,+∞)内为增函数，且y=a−x也为增函数，则a的取值范围是（）A．(√33,1)B．(0,12)C．(√33,√63)D．(√63,1)答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果.若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 8、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4 答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12， 故选：B.9、已知y 1=(13)x ，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x=(110)x是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ． 故选：A10、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3， 答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13. 故选：C ． 多选题11、下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ） A ．y =2x −3B ．y ={−x +1,x ≥0x +1,x <0C ．y =x 2−3x +3D ．y =|x −2| 答案：AB分析：根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 对于选项A ，当x =1时，y =21−3=−1<0，当x =12时，y =212−3=1>0，所以能用二分法求零点的近似值．对于选项B ，当x =2时，y =−2+1=−1<0，当x =12时，y =−12+1=12>0，能用二分法求零点的近似值．对于选项C ，y =x 2−3x +3=(x −32)2+34>0，故不能用二分法求零点的近似值． 对于选项D ，y =|x −2|≥0，故不能用二分法求零点的近似值． 故选：AB ．12、下列命题正确的是（ ）A ．若a >0，且a ≠1，则∀x >0，y >0，log a (x +y )=log a x +log a yB ．若a >0，且a ≠1，则∃x >0，y >0，log a x ⋅log a y =log a (xy )C ．∀a >0，b >0，ln (ab )=lna +lnbD ．∀a >1，b >0，a log a b =b 答案：BCD分析：根据对数的运算法则即可判断.解：对于选项AC ，由对数的运算性质知∀x >0，y >0有log a (xy )=log a x +log a y ，而log a (x +y )≠log a x +log a y ，选项A 错误，C 正确；对于选项B ，当x =y =1时，log a x ⋅log a y =log a (xy )成立，选项B 正确； 对于选项D ，由对数的概念可知选项D 正确． 故选:BCD ．13、已知函数f(x)=log 2(2x +8x )−2x ，以下判断正确的是（ ） A ．f （x ）是增函数B ．f （x ）有最小值 C ．f （x ）是奇函数D ．f （x ）是偶函数 答案：BD分析：由题设可得f(x)=log 2(12x +2x )，根据复合函数的单调性判断f(x)的单调情况并确定是否存在最小值，应用奇偶性定义判断奇偶性.由f(x)=log 2(2x +23x )−log 222x =log 2(12x+2x )，令μ=2x >0为增函数；而t =1μ+μ在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增； 所以t 在x ∈(−∞,0)上递减，在x ∈(0,+∞)上递增；又y =log 2t 在定义域上递增，则y 在x ∈(−∞,0)上递减，在x ∈(0,+∞)上递增； 所以f(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，故最小值为f(0)=1， f(−x)=log 2(12−x +2−x)=log 2(2x +12x)=f(x)，故为偶函数.故选：BD14、定义运算a ⊕b ={a(a ≥b)b(a <b)，设函数f(x)=1⊕2−x ，则下列命题正确的有（ ）A ．f(x)的值域为 [1,+∞)B ．f(x)的值域为 (0,1]C ．不等式f(x +1)<f(2x)成立的范围是(−∞,0)D ．不等式f(x +1)<f(2x)成立的范围是(0,+∞) 答案：AC分析：求得f (x )的解析式，画出f (x )的图象，由此判断f (x )的值域，并求得不等式f(x +1)<f(2x)的解. 由函数f(x)=1⊕2−x ，有f(x)={1(1≥2−x )2−x(1<2−x )，即f(x)={2−x(x <0)1(x ≥0)，作出函数f(x)的图像如下，根据函数图像有f(x)的值域为[1,+∞)，所以A 选项正确，B 选项错误. 若不等式f(x +1)<f(2x)成立，由函数图像有 当2x <x +1≤0即x ≤−1时成立， 当{2x <0x +1>0即−1<x <0时也成立. 所以不等式f(x +1)<f(2x)成立时，x <0.所以C 选项正确，D 选项错误. 故选：AC.小提示：本小题主要考查分段函数图象与性质，属于中档题.15、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C，函数f(x)定义域{x|x>0}内任意的x1,x2，f(x1)+f(x2)=log12x1+log12x2=log12(x1x2)=f(x1⋅x2)，C是；对于D，函数f(x)定义域{x|x>0}内任意的x1,x2，f(x1)+f(x2)=log3x1+log3x2=log3(x1x2)=f(x1⋅x2)，D是．故选：CD填空题16、函数f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)仅有一个零点，则k的取值范围为________．答案：(−∞,0)∪{4}分析：由题意f(x)仅有一个零点，令y1=kx、y2=(x+1)2，即y1、y2在f(x)定义域内只有一个交点，讨论k>0、k<0并结合函数图象，求k的范围.由题意，f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)=0，即lg(kx)=lg(x+1)2，∴在f(x)定义域内，y1=kx、y2=(x+1)2只有一个交点，当k>0时，即(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；∴仅当y1、y2相切，即x2+(2−k)x+1=0中Δ=(2−k)2−4=0，得k=4或k=0(舍)，∴当k=4时，(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；当k<0时，即(−1,0)上y1、y2只有一个交点，显然恒成立.∴k∈(−∞,0)∪{4}.所以答案是：(−∞,0)∪{4}17、计算：1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= ________.答案：−6分析：结合指数幂的运算性质，计算即可.由题意，1634−8×(6449)−12−8×(87)−1=(24)34−8×[(87)2]−12−8×78=23−8×(87)−1−7=8−8×78−7=8−7−7=−6.所以答案是：−6.18、函数y=log12(3x−1)的单调递减区间为_____答案：(13,+∞)分析：根据复合函数单调性规律即可求解函数y=log12(3x−1)的定义域为(13,+∞)又y=log12(3x−1)是由y=log12u与u=3x−1复合而成，因为外层函数y=log12u单调递减，所以求函数y=log12(3x−1)的单调递减区间即是求内层函数u=3x−1的增区间，而内层函数u=3x−1在(13,+∞)上单调递增，所以函数y=log12(3x−1)的减区间为(13,+∞)所以答案是：(13,+∞)解答题19、计算：(1)lg14−2lg73+lg7−lg18；(2)log535+2log5√2−log515−log514；(3)12lg3249−43lg√8+lg√245.答案：(1)0(2)2(3)12分析：直接利用对数的运算性质进行运算即可.(1)原式=lg(2×7)−2(lg7−lg3)+lg7−lg(32×2) =lg2+lg7−2lg7+2lg3+lg7−2lg3−lg2=0.(2)原式=log535+log52−log515−log514=log535×215×14=log535014=log525=2.(3)原式=12(5lg2−2lg7)−43×32lg2+12(2lg7+lg5)=52lg2−lg7−2lg2+lg7+12lg5=12lg2+12lg5=12(lg2+lg5)=12lg10=12.20、当0<x<1时，若关于x的二次方程x2+2mx+1=−2m有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.答案：{m|−12<m<1−√2}.分析：根据二次函数在区间上的零点问题，数形结合列式求解即可.令y=x2+2mx+2m+1(0<x<1)，则由题意知其图象与x轴有2个交点，故当x=0,1时y>0，判别式大于0且对称轴在0到1之间，则{2m+1>0 4m+2>04m2−4(2m+1)>0 0<−m<1，即{m>−12(m−1)2>20<−m<1，得−12<m<1−√2.故实数m的取值范围是{m|−12<m<1−√2}.。
高中数学《复数》基础知识及经典练习题(含答案解析)
高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。
只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。
4、共轭复数：z a bi =−， 对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。
横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题(含答案解析)
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题（含答案解析）作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。
所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。
一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。
（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内） 例：()[]223,1,4f x x x x =−−∈−解：()()214f x x =−−∴对称轴为：1x = ()[]4,5f x ∴∈−（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称 （2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →−∞→（4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > 注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a = ② 极值点：,x a x a ==− ③ 极值点坐标：()(),2,,2a a a a −−④ 定义域：()(),00,−∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎤⎡−∞−+∞⎦⎣（5）函数：()0ay x a x=−> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =± ③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。
高中数学利用数轴解决集合运算问题基础知识与专项练习(含答案解析)
高中数学利用数轴解决集合运算问题基础知识与专项练习（含答案解析）数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。
在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。
一、基础知识：1、集合运算在数轴中的体现：:A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分 :AB 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。
（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。
交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。
二、例题精析：例1：（2009 安徽）集合{}21213,03x A x x B x x +⎧⎫=−<=<⎨⎬−⎩⎭，则AB =_______思路：先解出,A B 的解集，()()11,2,,3,2A B ⎛⎫=−=−∞−+∞ ⎪⎝⎭，作出数轴，则AB 即为它们的公共部分。
11,2AB ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭答案：11,2AB ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭例2：设集合{}{}23,|8,S x x T x a x a S T R =−>=<<+=，则a 的取值范围是____思路：可解出()(),15,S =−∞−+∞ ，而T 集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集合做起，即画出S 的范围，由于S T R =，而数轴上有一部分区域没有被S 包含，那说明T 集合负责补S 空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可得只需要：185a a <−⎧⎨+>⎩ 即可，解得：31a −<<−答案：31a −<<−小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定T 区间的端点（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合（3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若3a =−或1a =−，则端点处既不在S 里，也不在T 里，不符题意。
高中数学《求参数的取值范围》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《求参数的取值范围》基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。
常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈−，[],y b b ∈−② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b−=>为例），则(],x a ∈−∞−（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。
若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 是其左右焦点，离心率为3，且经过点()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1AQ 斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭，求直线Q A 2斜率的取值范围；解：（1）3c e a ==::a b c ∴=∴椭圆方程为：222213x y b b +=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A − 设(),Q x y ， 则k =2A Q k =22212A Qy k k x ∴⋅==− Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=−2221123A Qy k k x ∴⋅==−− 213A Q k k∴=−11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴−∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b +=>>，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB −<t 的取值范围 解：（1）2c e a ==::a b c ∴= 2EGF 的周长4C a a ==⇒=1b ∴=∴椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线AB 的方程为()2y k x =−，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x yOA OB tOP += 1212x x txy y ty +=⎧∴⎨+=⎩ 联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y =−⎧⎪⇒+−+−=⎨+=⎪⎩ ()()()22228412820k k k ∴∆=−+−>，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+−=−=−+++()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=−⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+ 由条件25PA PB −<可得：25AB <123AB x ∴=−<()()22121220149kx x x x ⎡⎤∴++−<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k −+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫−+−⋅<⇒−+>⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴>211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭22221618=16,411232k t k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 262,,233t ⎛⎫⎛⎫∴∈−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,EF （E 在,B F 之间），求三角形OBE 与三角形OBF 面积比值的范围 解：（1）2c e a == ::a b c ∴=由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a =1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBFx S x Sx x ∴==联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=−+>⇒>12122286,01212k x x x x k k+=−=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x k x x k x x x x k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBFS S⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）c e a a ==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切O l d b −∴== b ∴= 3a c = 22222b a c c ∴=−=即21c =，解得1c =a ∴=221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =−线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M2PM MF ∴=即12M l d MF −=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。
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高中数学基础知识与练习题The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020第一讲集合与逻辑用语第1节集合及其运算1.元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示).(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. 交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B ).★练习1.已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，则(∁R A )∩B ＝________.2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ).43.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于( ) A.(－1，3)B.(－1，0)C.(0，2)D.(2，3)4.(2015·浙江卷)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q 等于( ) A.[3，4) B.(2，3]C.(－1，2)D.(－1，3]一、选择题1.(2015·安徽卷)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{1，2，5，6} B.{1}C.{2}D.{1，2，3，4}2. (2015·南昌监测)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )B.13.(2015·长春监测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩Q 等于( )A.(－∞，2)B.(－∞，－1]C.[0，＋∞)D.(2，＋∞)4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A ＝{x |－1＜x ≤2，x ∈N }，集合B ＝{2，3}，则A ∪B 等于( ) A.{2}B.{1，2，3}C.{－1，0，1，2，3}D.{0，1，2，3}5.已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )个个个个6.(2014·宜春检测)设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是()⊆Q⊆＝Q∪Q＝R第2节命题及其关系、充分条件与必要条件1.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.2.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p★练习1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤02(2015·安徽卷)设p：x＜3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.(2015·浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列命题：①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件.其中为真命题的是__________(填序号).基础巩固题组一、选择题1.(2015·重庆卷)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A.若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数3.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题4.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.5.“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”).6.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p且q、p或q、綈p的真假判断2(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.★练习1．(2015·湖北卷)命题“存在x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是()A．任意x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．任意x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．存在x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1D．存在x∉(0，＋∞)，ln x＝x－12..若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________.基础巩固题组一、选择题1.(2015·抚州二检)若p是真命题，q是假命题，则()且q是真命题或q是假命题C.非p是真命题D.非q是真命题2．.命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( )A.对任意实数x ，都有x ＞1B.不存在实数x ，使x ≤1C.对任意实数x ，都有x ≤1D.存在实数x ，使x ≤13．下列四个命题p 1：存在x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫13x；p 2：存在x ∈(0,1)，； p 3：任意x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＞；p 4：任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜.其中真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4第二讲 函数概念与函数基本性质第1节 函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中的任何一个数x ，在集合B 中都存在唯一的数f (x )与之对应，那么就把对应关系f 叫作定义在集合A 上的函数，记作f ：A →B 或y ＝f (x )，x ∈A ，此时x 叫作自变量，集合A 叫做函数的定义域，集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法． (4)分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2.函数定义域的求法类型 x 满足的条件 2nf （x ），n ∈N *f (x )≥0 1f （x ）与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )f (x )＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题 使实际问题有意义★练习1.下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) (x )＝|x | (x )＝x －|x |(x )＝x ＋1 (x )＝－x2.(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1]B.(－3，1)C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)3.(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))等于( )A.－1基础巩固题组一、选择题1.下图中可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )2.下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的函数为( )＝1sin x＝ln x x＝x e x＝sin x x3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))等于( )B.34..某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510二、填空题6.函数f (x )＝错误!的定义域为________.7.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]，则方程f (x )＝1的解为________.第2节 函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间A 上是增加的当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间A 上是减少的续表图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的1212①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(3)单调区间的定义:如果y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间． 2．函数的最值 前提 函数y ＝f (x )的定义域为D条件 (1)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值★练习1.(2015·宜春调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )＝1x －x＝x 2－＝ln x －x ＝e x －x2.数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是______. 3f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________. 基础巩固题组一、选择题1.(2015·九江模拟)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是( ) ＝log 2x＝＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝1x2.已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )3.函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(2，＋∞) D.(－∞，－2)二、填空题4.(2015·中山质检)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________.5.已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________.第3节 函数的奇偶性与周期性1．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”). (2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数. ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在非零常数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，就把f (x )称为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.★练习1.(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) ＝x ＋sin 2x＝x 2－cos x ＝2x ＋12x＝x 2＋sin x2.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13D.－123.(2014·四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.4.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.基础巩固题组一、选择题1.(2015·吉安二检)下列函数为偶函数的是( ) ＝sin x＝ln(x 2＋1－x )＝e x＝ln x 2＋12.(2015·石家庄模拟)设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ， 则f (－2)＝( ) A.－12D.－23.(2014·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )(x )是偶函数 (x )是增函数(x )是周期函数(x )的值域为[－1，＋∞)4.(2015·沈阳质量监测)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )B.－23D.－43二、填空题5.函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.第三讲 基本初等函数及其性质第1节 二次函数性质的再研究与幂函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0). (2)二次函数的图象和性质解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x ＝－b2a 对称2.幂函数(1)幂函数的定义“”如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质特征 函数 性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ， 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R[0，＋∞) {y |y ∈R ， 且y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增(－∞，0]减， [0，＋∞)增增 增(－∞，0)减， (0，＋∞)减 定点(0，0)，(1，1)(1，1)★课前练习1.函数y ＝12x 2－5x ＋1的对称轴和顶点坐标分别是( ) ＝5，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－232＝－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，232＝5，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，232＝－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2322.已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( )B.－5D.－63.在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a 的图象可能是( )4.已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减.基础巩固题组一、选择题1.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A.－4B.4C.－22.若a ＜0，则0.5a ，5a ，5－a 的大小关系是( )－a＜5a ＜0.5aB.5a ＜0.5a ＜5－aC.0.5a ＜5－a ＜5aD.5a ＜5－a ＜0.5a3.(2015·汉中模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) ≥8≤8≥4≥－44若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( ) A.－b2aB.－b a5..已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.第2节 指数与指数函数1.根式:(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a＜0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.3.指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域R值域 (0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数★课前练习1.下列运算中，正确的是()·a3＝a6 B.(－a2)3＝(－a3)2C.(a－1)0＝0 D.(－a2)3＝－a6 2.(2015·山东卷)设a＝，b＝，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() ＜b＜c＜c＜b ＜a＜c＜c＜a3.已知0≤x≤2，则y＝4x－12－3·2x＋5的最大值为______.基础巩固题组一、选择题1.函数f (x )＝a x －2＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象必经过点( ) A.(0，1)B.(1，1)C.(2，0)D.(2，2)2.函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，＋∞)3..函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )4.若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]二、填空题－34＋log 354＋log 345＝________.6.已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________.第三节 对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)；③零和负数没有对数.(2)对数的运算性质(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝log a M＋log a N ；②log a MN＝log a M－log a N；③log a Mn＝n log a M(n∈R). (3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b (a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3.对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象定义域(0，＋∞)值域R性质过点(1，0)，即x＝1时，y＝0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数★练习1.函数f(x)＝log a(x＋2)－2(a＞0，且a≠1)的图象必过定点()A.(1，0)B.(1，－2)C.(－1，－2)D.(－1，－1)2.(2015·浙江卷)计算：log222＝______；2log23＋log43＝______.3.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.4.若log a 34＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________.基础巩固题组一、选择题1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.若函数y＝log a x( a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()3.已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是()＝ac＝cd ＝ad＝a＋c4.若log a 35＜1，则a的取值范围是()∪(1，＋∞)5.(2015·萍乡调研)函数f(x)＝log a(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(0，1)C.(0，13) D.(3，＋∞)二、填空题6.(2015·四川卷)lg ＋log216的值是________.7.函数y＝log 12(x2－2x)的定义域是________；单调递减区间是________.8.(2016·武汉调研)已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________.第四讲 函数图像及其应用第1节 函数的图像1.利用描点法作函数图象：其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.函数图象间的变换 (1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减. (2)对称变换(3)伸缩变换y ＝f (x )――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a ＞0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍y ＝Af (x ).★练习1.(2015·广州一调)把函数y ＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是( ) ＝(x －3)2＋3＝(x －3)2＋＝(x －1)2＋3＝(x －1)2＋12.点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是( )3.(2016·延安调研)已知图(1)中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图(2)中的图象对应的函数为( )＝f (|x |)＝|f (x )|＝f (－|x |)＝－f (|x |)4.(2015·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x （x ＞0），2x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是________.基础巩固题组一、选择题 1.函数y ＝1－1x －1的图象是( )2.函数y＝5x与函数y＝－15x的图象关于()轴对称轴对称C.原点对称 D.直线y＝x对称3.已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()4.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是()A.(－1，0)B.[－1，0)C.(－2，0)D.[－2，0)二、填空题6.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________.7.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.第2节函数的应用1．函数的零点(1)函数的零点的概念：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)函数的零点与方程的根的关系方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数两个一个零个函数性质y＝a x(a＞1) y＝log a x(a＞1) y＝x n(n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x★练习1.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题中正确的是()A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点2.已知函数f (x )＝6x －log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，4)D.(4，＋∞)3.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )B.34. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：元.基础巩固题组一、选择题1.(2015·瑞金模拟)函数f (x )＝2x －1x 的零点所在的大致区间是( )2.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) ，2，12，－12，－123.(2015·周口二模)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( ) A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于04.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )B.115.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( )B.－14或－14第五讲导数及其应用第1节导数的概念及运算1．导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝.(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝a x(a＞0，a≠1)f′(x)＝a x ln__af(x)＝ln x f′(x)＝1 xf(x)＝log a x (a＞0，且a≠1)f′(x)＝1 x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0).★练习1.已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) C.－12.(2016·铜川调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )B.－eD.－1e3已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝___. 4曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线方程为________.基础巩固题组一、选择题1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )2,2)22.设y ＝x 2e x ，则y ′＝( ) ＋2xC.(2x ＋x 2)e xD.(x ＋x 2)e x3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－eB.－14.(2015·榆林模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )B.15.(2016·南阳模拟)曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( ) B.－1D.－7二、填空题6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________.7.(2016·河南六市联考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.第2节导数与函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通过列表，写出函数的单调区间.3.已知单调性求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.★练习1.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是()A.(0，1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－1，1)2.(2016·合肥模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是()A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)基础巩固题组一、选择题1.(2016·九江模拟)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A.(－∞，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞)2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()3.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.[3，＋∞)B.[－3，＋∞)C.(－3，＋∞)D.(－∞，－3)4.(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是()>0，b<0，c>0，d>>0，b<0，c<0，d>0<0，b<0，c>0，d>>0，b>0，c>0，d<0二、填空题5函数f(x)＝x＋9x的单调递减区间为________.6.如果函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，则a的取值范围是________.第3节导数与函数的极值、最值1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.★练习1.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有()A.极小值－1，极大值1B.极小值－2，极大值3C.极小值－2，极大值2D.极小值－1，极大值32函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为________.3.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0，3]上的最大值与最小值分别为________.基础巩固题组一、选择题1.函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x －7在[1，4]上的最小值为( ) A.－64B.－61C.－56D.－512.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是( ) .1 C D.由a 确定3.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ).若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )4.(2015·咸阳模拟)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则( ) ＜12＜1＞0＜b ＜15.(2016·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A.(－1，2)B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)C.(－3，6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 二、填空题6.已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.7.(2016·广州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.第六讲 三角函数定义及三角恒等变形第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线★练习1.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) π＋45°(k ∈Z )·360°＋94π(k ∈Z )·360°－315°(k ∈Z ) π＋5π4(k ∈Z )2如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A.(cos θ，sin θ) B.(－cos θ，sin θ) C.(sin θ，cos θ)D.(－sin θ，cos θ)3.若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. (北师大必修4P12习题6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.基础巩固题组一、选择题1.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )C.－35D.－453.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )4.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )5.若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cos α2的值为( )B.2C.－2或－2二、填空题6.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝______.第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式练习570°的值为( )C.－12D.－322已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A.－25B.－153若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )B.－125 D.－512 4.已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________.基础巩固题组一、选择题1.若cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )C.±43D.±342.已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝( )A.－55 D.－2553.(2016·西安模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝( )B.－35 D.－45 ＝( ) 2－cos 22＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)2－sin 25.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( )A.－15B.－35 二、填空题43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________.第3节 两角和与差及二倍角的三角函数1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β). (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . 练习1若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.－7210 C.－2102.(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )3.(2016·渭南模拟)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )4sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.基础巩固题组一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32C.－122.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1B.03.(2015·温州测试)已知sin x ＋ 3 cos x ＝65，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝( )A.－35 C.－454.(2015·郑州质量预测)已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________. 5.设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.第4节 三角函数的图像与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义 域 RR{x |x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2，k ∈Z值域[－1，1] [－1，1]R练习1.(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2x ＋cos 2x ＝sin x ＋cos x2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.－1B.－223.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )＝π4 ＝π2 ＝－π4 ＝－π2基础巩固题组一、选择题1.(2016·南昌检测)下列函数中，是周期函数的为( ) ＝sin|x |＝cos|x |＝tan|x |＝(x －1)02.(2015·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) (k ∈Z ) (k ∈Z ) (k ∈Z )(k ∈Z )3.(2015·云南统一检测)已知函数f (x )＝cos 23x －12，则f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于( )。