高中数学基础知识与练习题

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高中数学基础知识与练习

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第一讲集合与逻辑用语

第1节集合及其运算

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.

(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种:属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示).

(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

表示

关系

文字语言符号语言

集合间的基本关系

相等集合A与集合B中的所有元素都相同A=B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集

A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少

有一个元素不是A中的元素

A B

空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

符号表示A∪B A∩B

若全集为U,则

合A的补集为∁U A

图形表示

意义

{x|x∈A,或

x∈B}{x|x∈A,且

x∈B}

{x|x∈U,且x∉A}

并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A. 交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B. 补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅;∁U(∁U A)=A;

∁U (A ∪B )=(∁U A )∩(∁U B );∁U (A ∩B )=(∁U A )∪(∁U B ).

★练习

1.已知集合A ={x |3≤x <7},B ={x |2<x <10},则(∁R A )∩B =________.

2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( )

.4

3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <3},则A ∪B 等于( ) A.(-1,3)

B.(-1,0)

C.(0,2)

D.(2,3)

4.(2015·浙江卷)已知集合P ={x |x 2-2x ≥3},Q ={x |2<x <4},则P ∩Q 等于( ) A.[3,4) B.(2,3]

C.(-1,2)

D.(-1,3]

一、选择题

1.(2015·安徽卷)设全集U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,2},B ={2,3,4},则A ∩(∁U B )等于( ) A.{1,2,5,6} B.{1}C.{2}

D.{1,2,3,4}

2. (2015·南昌监测)已知集合A ={(x ,y )|x ,y ∈R ,且x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|x ,y ∈R ,且y =x },则A ∩B 的元素个数为( )

B.1

3.(2015·长春监测)已知集合P ={x |x ≥0},Q =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x +1x -2≥0,则P ∩Q 等于

( )

A.(-∞,2)

B.(-∞,-1]

C.[0,+∞)

D.(2,+∞)

4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A ={x |-1<x ≤2,x ∈N },集合B ={2,3},则A ∪B 等于( ) A.{2}

B.{1,2,3}

C.{-1,0,1,2,3}

D.{0,1,2,3}

5.已知集合M ={0,1,2,3,4},N ={1,3,5},P =M ∩N ,则P 的子集共有( )

个个个个

6.(2014·宜春检测)设集合P={x|x>1},Q={x|x2-x>0},则下列结论正确的是()

⊆Q⊆=Q∪Q=R

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

1.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.

2.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒p

p是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒p

p是q的充要条件p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p

★练习

1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()

A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0

B.若方程x2+x-m=0有实根,则

m≤0

C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0

D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0

2(2015·安徽卷)设p:x<3,q:-1

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3.(2015·浙江卷)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.下列命题:

①x=2是x2-4x+4=0的必要不充分条件;

②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件;

③sin α=sin β是α=β的充要条件;④ab≠0是a≠0的充分不必要条件.

其中为真命题的是__________(填序号).

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015·重庆卷)“x=1”是“x2-2x+1=0”的()

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()

A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数

B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数

C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数

D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数

3.设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、填空题

4.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.

5.“m<1

4”是“一元二次方程x

2+x+m=0有实数解”的________条件(填“充

分不必要、必要不充分、充要”).

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