如图,已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.

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第19章一次函数——基本性质专项练习 2022—2023学年人教版数学八年级下册

一次函数——基本性质◆一次函数的基本性质1-1．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3；（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；（3）若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．1-2．已知一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）．（1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？（2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？（3）当m为何值时，这个函数的图象与直线y＝x﹣4的交点在y轴上？1-3．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值；（3）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．1-4．已知y与x成正比例函数，当x＝1时，y＝2．求：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求当x＝﹣1时的函数值；（3）如果当y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．1-5．已知一次函数y＝﹣2x﹣2．（1）根据关系式画出函数的图象．（2）求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标，（3）求A、B两点间的距离．（4）在坐标轴上有点C，使得AB＝AC，写出C的坐标．◆一次函数与待定系数法2-1．一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤1时，相应的函数值是0≤y≤3．试求k、b的值．2-2．一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．（1）求该一次函数表达式．（2）若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，求n1﹣n2的值．2-3．已知y与2x﹣1成正比例，当x＝3时，y＝10．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当y＝﹣2时，求x的值．◆一次函数与面积3-1．如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线AB上一点，另一直线l2：y ＝kx+4经过点P．（1）求点A、B坐标；（2）求点P坐标和k的值；（3）若点C是直线L2与x轴的交点，点Q是x轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标．3-2．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P（m，n）在第一象限内，设△AOP的面积是S．（1）写出S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围．（2）当S＝3时，求点P的坐标．（3）若直线OP平分△AOB的面积，求点P的坐标．3-3．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上一点，且S：S△BOP＝1：2，求k的值．△AOP3-4．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）求△DOB的面积3-5．已知y＝y1+y2，且y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝1；当x＝﹣3时，y＝13，求：（1）y与x之间的函数解析式；（2）当x＝3时，求y的值．3-6．已知一次函数y＝kx+3与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B．（1）求一次函数的表达式及点B的坐标；（2）画出函数y＝kx+3的图象；（3）过点B作直线BP与x轴交于点P，且OP＝2OA，求△ABP的面积．3-7．如图，直线l交x轴于A（﹣4，0），交y轴于B（0，6），C（m，3）是直线l上的一点．（1）求直线AB，OC的表达式；（2）在直线AB上找一点P，使S△OCP＝S△OAB，求出点P的坐标．练习1．在如图所示的平面直角坐标系中．画出函数y＝2x+4的图象．（1）若该函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积；（2）利用该函数图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．2．在直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，2），点P（x，y）在第一象限内，且x+2y＝4，设△AOP的面积是S．（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）当S＝3时，求点P的坐标；（3）若直线OP平分△AOB的面积时，求点P的坐标．3．已知一次函数：y1＝﹣|k|x+b（k，b为常数且k≠0）．（1）若函数图象经过（2，4），（4，0）两点，求k与b的值；（2）若﹣1≤x≤3时，3≤y≤5，求此一次函数的解析式．4．已知函数y＝（2n﹣8）x﹣n﹣3．（1）若函数图象经过原点，求n的值；（2）若这个函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限，求n的正整数值．5．已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1，（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；（3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；（4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；（5）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于E、F两点，点E的坐标为（﹣6，0），OF＝3．（1）求k与b的值；（2）若P是直线EF上的一个动点且满足△POE的面积为6，求点P的坐标．7．如图，Rt△ABO的顶点A在直线y＝﹣x﹣k上，AB⊥x轴于B，且S△ABO＝，AB：BO＝3：1，点C在该直线上，且点C的纵坐标是﹣1．（1）点A的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）求△AOC的面积．一次函数——基本性质（解析）◆一次函数的基本性质1-1．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3；（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；（3）若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数图象经过原点，∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，解得：m＝3；（2）∵函数图象在y轴的截距为﹣2，∴m﹣3＝﹣2，且2m+1≠0，解得：m＝1；（3）∵函数的图象平行直线y＝3x﹣3，∴2m+1＝3，解得：m＝1；（4）∵y随着x的增大而减小，∴2m+1＜0，解得：m＜﹣．1-2．已知一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）．（1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？（2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？（3）当m为何值时，这个函数的图象与直线y＝x﹣4的交点在y轴上？【解答】解：（1）y＝mx+2m﹣10（m≠0）．∵函数为正比例函数，∴2m﹣10＝0，解得：m＝5，（2）一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）．∵函数y的值随着x值的增大而减小，∴m＜0且m≠0，（3）∵函数的图象与直线y＝x﹣4的交点在y轴上，∴x＝0，y＝﹣4，把x＝0，y＝﹣4代入y＝mx+2m﹣10得，m＝31-3．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值；（3）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．【解答】解：（1）设y﹣2＝k（3x﹣4），将x＝2、y＝3代入，得：2k＝1，解得k＝，∴y﹣2＝（3x﹣4），即y＝x；（2）将点P（a，﹣3）代入y＝x，得：a＝﹣3，解得：a＝﹣2；（3）当y＝﹣1时，x＝﹣1，解得：x＝﹣，当y＝1时，x＝1，解得：x＝，故﹣≤x≤．1-4．已知y与x成正比例函数，当x＝1时，y＝2．求：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求当x＝﹣1时的函数值；（3）如果当y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．【解答】解：（1）设y＝kx，将x＝1、y＝2代入，得：k＝2，故y＝2x；（2）当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）＝﹣2；（3）∵0≤y≤5，∴0≤2x≤5，解得：0≤x≤．1-5．已知一次函数y＝﹣2x﹣2．（1）根据关系式画出函数的图象．（2）求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标，（3）求A、B两点间的距离．（4）在坐标轴上有点C，使得AB＝AC，写出C的坐标．【解答】解：（1）函数图象如右图所示；（2）∵y＝﹣2x﹣2，∴当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝﹣1，∴图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2）；（3）∵点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，∴AB＝＝，即A、B两点间的距离是；（4）由（3）知，AB＝，∵点C在坐标轴上，AB＝AC，∴当C在x轴上时，点C的坐标为（﹣1﹣，0）或（﹣1+，0），当点C在y轴上时，点C的坐标为（0，2），由上可得，点C的坐标为：（﹣1﹣，0）、（﹣1+，0）或（0，2）．◆一次函数与待定系数法2-1．一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤1时，相应的函数值是0≤y≤3．试求k、b的值．【解答】解：分两种情况：①当k＞0时，把x＝﹣1，y＝0；x＝1，y＝3代入一次函数的解析式y＝kx+b（k≠0），得，解得，则这个函数的解析式是y＝x+；②当k＜0时，把x＝﹣1，y＝3；x＝1，y＝0代入一次函数的解析式y＝kx+b（k≠0），得，解得，则这个函数的解析式是y＝﹣x+；综上可得，k＝，b＝或k＝﹣，b＝．2-2．一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．（1）求该一次函数表达式．（2）若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，求n1﹣n2的值．【解答】解：（1）设一次函数表达式为：y＝kx+b，∵一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．∴，解得：，∴一次函数表达式为：y＝﹣3x﹣1；（2）∵点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，∴，解得：n1﹣n2＝6．2-3．已知y与2x﹣1成正比例，当x＝3时，y＝10．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当y＝﹣2时，求x的值．【解答】解：（1）设y＝k（2x﹣1）．∵当x＝3时，y＝10．∴10＝k（6﹣1）．∴k＝2．∴y＝2（2x﹣1）＝4x﹣2．∴y与x之间的函数关系式为：y＝4x﹣2．（2）由题意得：4x﹣2＝﹣2．∴x＝0．◆一次函数与面积3-1．如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线AB上一点，另一直线l2：y ＝kx+4经过点P．（1）求点A、B坐标；（2）求点P坐标和k的值；（3）若点C是直线L2与x轴的交点，点Q是x轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标．【解答】解：（1）y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2，故点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2）；（2）点P（m，3）为直线AB上一点，则﹣m+2＝3，解得：m＝﹣1，故点P（﹣1，3）；将点P的坐标代入y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；故点P的坐标为（﹣1，3），k＝1；（3）∵直线y＝x+4与x轴的交点为C，∴C（﹣4，0），∵P（﹣1，3），△CPQ的面积等于3，∴CQ•y P＝3，即CQ×3＝3，∴CQ＝2，∴Q点的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．3-2．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P（m，n）在第一象限内，设△AOP的面积是S．（1）写出S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围．（2）当S＝3时，求点P的坐标．（3）若直线OP平分△AOB的面积，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（4，0），B（0，2），∵P（m，n）∴S＝×4×（4﹣m）＝4﹣m，即S＝4﹣m．∵点P（m，n）在第一象限内，∴m+2n＝4，∴，解得0＜m＜4；（2）当S＝3时，4﹣m＝3，解得m＝1，此时y＝（4﹣1）＝，故点P的坐标为（1，）；（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点．∵A（4，0），B（0，2），∴点P的坐标为（2，1）．3-3．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上一点，且S：S△BOP＝1：2，求k的值．△AOP【解答】解：当x＝0时，y＝2x+2＝2，则B（0，2），当y＝0时，2x+2＝0，解得x＝﹣1，则A（﹣1，0），设P（t，kt），∵S△AOP：S△BOP＝1：2，即S△BOP＝2S△AOP，∴•|t|•2＝2••1•|kt|，∴|k|＝1，而k＞0，∴k＝1．3-4．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）求△DOB的面积【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣2），B（1，4）代入y＝kx+b得，解得．所以一次函数解析式为y＝2x+2；（2）令y＝0，则0＝2x+2，解得x＝﹣1，所以C点的坐标为（﹣1，0），把x＝0代入y＝2x+2得y＝2，所以D点坐标为（0，2），（3）S△BOD＝2×1＝1．3-5．已知y＝y1+y2，且y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝1；当x＝﹣3时，y＝13，求：（1）y与x之间的函数解析式；（2）当x＝3时，求y的值．【解答】解：（1）根据题意设y1＝，y2＝b（x﹣2），即y＝y1+y2＝+b（x﹣2），将x＝1时，y＝1；x＝﹣3时，y＝13分别代入得：，解得：k＝﹣，b＝﹣，则y＝﹣﹣（x﹣2）；（2）当x＝3时，y＝﹣﹣＝﹣3．3-6．已知一次函数y＝kx+3与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B．（1）求一次函数的表达式及点B的坐标；（2）画出函数y＝kx+3的图象；（3）过点B作直线BP与x轴交于点P，且OP＝2OA，求△ABP的面积．【解答】解：（1）将点A（2，0）代入直线y＝kx+3，得0＝2k+3，解得k＝﹣，∴y＝﹣x+3．当x＝0时，y＝3．∴B（0，3）；（2）一次函数的图象如图所示：（3）∵A（2，0），∴OA＝2，∵点P在x轴上，且OP＝2OA，∴OP＝2OA＝4，∴P（4，0）或（﹣4，0），∴AP＝2或6，∵S△ABP＝，∴S△ABP＝＝3或S△ABP＝＝9，∴△ABP的面积为3或9．3-7．如图，直线l交x轴于A（﹣4，0），交y轴于B（0，6），C（m，3）是直线l上的一点．（1）求直线AB，OC的表达式；（2）在直线AB上找一点P，使S△OCP＝S△OAB，求出点P的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），∵点A（﹣4，0），B（0，6）在直线AB上，∴，∴，∴直线AB的表达式为y＝x+6，∵C（m，3）是直线l上的一点，∴m+6＝3，解得：m＝﹣2，∴C（﹣2，3），设直线OC的表达式为：y＝nx（n≠0），把C（﹣2，3）代入得：﹣2n＝3，∴n＝﹣，∴直线OC的表达式为：y＝﹣x；（2）∵S△OCP＝S△OAB，∴S△OCP＝×＝8，设P（x，x+6），分两种情况：①当点P在第一象限时，过P作PD⊥x轴于D，过C作CE⊥x轴于E，∵C（﹣2，3），∴OE＝2，CE＝3，∴S△OCP＝（3+x+6）•（x+2）﹣＝8，解得：x＝，∴P（，7）；②当点P在第三象限时，同理得：P（﹣，﹣1）；综上，点P的坐标为P（，7）或（﹣，﹣1）练习1．在如图所示的平面直角坐标系中．画出函数y＝2x+4的图象．（1）若该函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积；（2）利用该函数图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．【解答】解：∵函数y＝2x+4，∴当x＝0，y＝4，当y＝0时，x＝﹣2，即该函数图象过点（0，4），（﹣2，0），所画的函数图象如右图所示；（1）由图象可得，点A（﹣2，0），点B（0，4），则OA＝2，OB＝4，故△AOB的面积是＝4；（2）由图象可得，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣2．2．在直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，2），点P（x，y）在第一象限内，且x+2y＝4，设△AOP的面积是S．（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）当S＝3时，求点P的坐标；（3）若直线OP平分△AOB的面积时，求点P的坐标．【解答】解：∵x+2y＝4，∴y＝（4﹣x），∴S＝×4×（4﹣x）＝4﹣x，即S＝4﹣x．∵点P（x，y）在第一象限内，且x+2y＝4，∴，解得0＜x＜4；（2）当S＝3时，4﹣x＝3，解得x＝1，此时y＝（4﹣1）＝，故点P的坐标为（1，）；（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点．∵A（4，0），B（0，2），∴点P的坐标为（2，1）．3．已知一次函数：y1＝﹣|k|x+b（k，b为常数且k≠0）．（1）若函数图象经过（2，4），（4，0）两点，求k与b的值；（2）若﹣1≤x≤3时，3≤y≤5，求此一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵函数图象经过（2，4），（4，0）两点，∴，解得|k|＝2，b＝8，∴k＝2，b＝8或k＝﹣2，b＝8；（2）由题意可知点（﹣1，3）、（3，5）或（﹣1，5）、（3，3）都在一次函数：y1＝﹣|k|x+b（k，b为常数且k≠0）图象上，则有：或，解得或（舍去），∴此一次函数的解析式为y＝﹣x+．4．已知函数y＝（2n﹣8）x﹣n﹣3．（1）若函数图象经过原点，求n的值；（2）若这个函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限，求n的正整数值．【解答】解：（1）∵函数y＝（2n﹣8）x﹣n﹣3的图象经过原点，∴﹣n﹣3＝0，解得：n＝﹣3．（2）∵这个函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限，∴，解得：﹣3＜n＜4．∴n的正整数值为1、2、3．5．已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1，（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；（3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；（4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；（5）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数图象经过原点，∴m﹣1＝0，解得m＝1；（2）∵函数图象在y轴上的截距为﹣3，∴当x＝0时，y＝﹣3，即m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2；（3）∵函数图象平行于直线y＝x+1，∴2m+3＝1，解得m＝﹣1；（4）∵该函数的值y随自变量x的增大而减小，∴2m+3＜0，解得m＜﹣；（5）∵该函数图象不经过第二象限，∴，解得﹣＜m≤1．6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于E、F两点，点E的坐标为（﹣6，0），OF＝3．（1）求k与b的值；（2）若P是直线EF上的一个动点且满足△POE的面积为6，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵OF＝3，∴F（0，3），∴b＝3，把E的坐标为（﹣6，0）代入直线y＝kx+3得，﹣6k+3＝0，解得：k＝，（2）如图，∴设P（x，y），∵S△POE＝OE•|y|＝×6×|y|＝6，∴|y|＝2，即y＝2或y＝﹣2，∵P是直线EF上的一个动点，∴当y＝2时，即2＝x+3，解得：x＝﹣2，∴P（﹣2，2），当y＝﹣2时，即﹣2＝x+3，解得：x＝﹣10，∴P（﹣10，﹣2），综上，点P的坐标为（﹣2，2）或（﹣10，﹣2）．7．如图，Rt△ABO的顶点A在直线y＝﹣x﹣k上，AB⊥x轴于B，且S△ABO＝，AB：BO＝3：1，点C在该直线上，且点C的纵坐标是﹣1．（1）点A的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）求△AOC的面积．【解答】解；（1）∵顶点A在直线y＝﹣x﹣k上，AB⊥x轴于B，且S△ABO＝，AB：BO＝3：1，∴S△ABO＝OB•AB＝＝，∴OB＝1，AB＝3，∴A（﹣1，3）；（2）∵顶点A在直线y＝﹣x﹣k上，∴3＝1﹣k，∴k＝﹣2，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2；（3）直线y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝2，∴直线AC与y轴的交点D的坐标为（2，0），∵点C的纵坐标是﹣1．∴S△AOC＝S△AOD+S△COD＝+＝4．。

2020年广东中考数学各地区模拟试题分类(深圳专版)(一)——反比例函数(含解析)

2020年广东中考数学各地区模拟试题分类（深圳专版）（一）——反比例函数一．选择题1．（2020•福田区一模）如图，是函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，则函数y ＝ax +c ，y ＝，在同一直角坐标系中的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．2．（2020•福田区校级模拟）以下说法正确的是（）A ．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在反比例函数y ＝图象上，且x 1＜x 2，则y 1＜y 2D ．对于一元二元方程ax 2+bx +c ＝0（ac ＜0），若b ＝0，则方程的两个根互为相反数3．（2020春•福田区校级期中）将反比例函数y ＝的图象绕坐标原点O 逆时针旋转30°，得到如图的新曲线，与过点A （﹣3，3），B （，）的直线相交于点C 、D ，则△OCD 的面积为（）A．8 B．3 C．2D．4．（2020•南山区校级一模）已知：如图，直线l经过点A（﹣2，0）和点B（0，1），点M在x轴上，过点M作x轴的垂线交直线l于点C，若OM＝2OA，则经过点C的反比例函数表达式为（）A．B．C．D．5．（2020•福田区校级模拟）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y＝（x＞0）上，若图中S＝4，则k的值为（）△OBPA．B．﹣C．﹣4 D．46．（2020春•罗湖区校级月考）函数y＝﹣2x，y＝，y＝﹣x2的共同性质是（）A．它们的图象都经过原点B．它们的图象都不经过第二象限C．在x＞0的条件下，y都随x的增大而增大D．在x＞0的条件下，y都随x的增大而减小7．（2020春•宝安区校级月考）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，反比例函数y＝（k ≠0）的图象过D点和边BC的中点E，连接DE，若△CDE的面积是2，则k的值是（）A．3 B．4 C．2D．8 8．（2020•龙岗区校级模拟）以下说法正确的有（）①正八边形的每个内角都是135°；②反比例函数y＝﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大；③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°；④分式方程的解为x＝；A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2020•龙岗区模拟）如图，点A、B在双曲线（x＜0）上，连接OA、AB，以OA、AB为边作▱OABC．若点C恰落在双曲线（x＞0）上，此时▱OABC的面积为（）A．B．C．D．4二．填空题10．（2020•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，2），点C是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，∠ABC＝135°，AC交y轴于点D，＝，则k的值为．11．（2020•南山区校级二模）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为7，则k的值为．12．（2020•深圳模拟）如图，直线y＝﹣2x+4与y轴，x轴分别相交于A，B两点，将射线AB绕B点顺时针旋转到BC，使得∠ABC＝∠ABO，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过C点，CD⊥OB于D点，且S＝，则k值＝．△BCD13．（2020•大鹏新区一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，AB＝2，sin B＝，反比例函数y＝的图象经过点C以及边AB的中点D，则四边形OABC的面积为．14．（2020•盐田区二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为的⊙B经过原点O，且与x，y轴分别交于点A，C，点C的坐标为（0，2），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D，则经过D点的反比例函数的解析式为．15．（2020•罗湖区一模）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k＞0，x＞0）和y＝（x ＞0）的图象分别相交于B，A两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC 的面积为1，则k的值为．16．（2020•龙华区二模）如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为．17．（2020•福田区模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点O 与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，连接OM、ON、MN．若∠MON＝45°，则k的值为．18．（2020•坪山区一模）如图，Rt△OAB的边AB延长线与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点C，连接OC，且∠AOB＝30°，点C的纵坐标为1，则△OBC的面积是．＝（x＞0）的图象在第一象限，反比例函19．（2020•光明区一模）如图，反比例函数y1＝﹣（x＞0）的图象在第四象限，把一个含45°角的直角三角板如图放置，三数y2个顶点分别落在原点O和这两个函数图象上的A，B点处，若点B的横坐标为2，则k的值为．三．解答题20．（2020•大鹏新区一模）如图1，直线y 1＝kx +3与双曲线y 2＝（x ＞0）交于点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，直线y 1＝kx +3分别交x 轴、y 轴于点C 和点D ，且S △DBP ＝27，．（1）求OD 和AP 的长；（2）求m 的值；（3）如图2，点M 为直线BP 上的一个动点，连接CB 、CM ，当△BCM 为等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．21．（2020•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO 的顶点A 在x 轴正半轴上，两条对角线相交于点D ，双曲线y ＝（x ＞0）经过C ，D 两点．（1）求▱ABCO 的面积．（2）若▱ABCO 是菱形，请直接写出：①tan ∠AOC ＝．②将菱形ABCO 沿x 轴向左平移，当点A 与O 点重合时停止，则平移距离t 与y 轴所扫过菱形的面积S 之间的函数关系式：．22．（2020•宝安区二模）如图，一次函数y1＝﹣x+3与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，A点的横坐标为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）结合图象，直接写出y1＜y2时，x的取值范围．23．（2020•南山区校级一模）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，，且CA∥y轴．（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由．（3）点P在第一象限的反比例函数图象上，当四边形OAPB的面积最小时，求出P点坐标．参考答案一．选择题1．解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向下，∴a ＜0，∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象交y 轴的负半轴，∴c ＜0，∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴一次函数y ＝ax +c ，图象经过第二、三、四象限，反比例函数y ＝的图象分布在第一、三象限，故选：A ．2．解：A 、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的频率是，故A 选项的说法错误； B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故B 选项说法错误； C 、点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在反比例函数y ＝图象上，若x 1＜x 2＜0，则y 1＜y 2，故C 选项说法错误；D ，若b ＝0，ac ＜0，由根与系数的关系可知：x 1+x 2＝＝0，x 1•x 2＝＜0，所以x 1、x 2互为相反数，故D 选项说法正确；故选：D ．3．解：连接OA 、OB ，过点A 、B ，分别作AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，垂足为M 、N ，∵点A （﹣3，3），B （，）， ∵OM ＝3，AM ＝3，BN ＝，ON ＝， ∴OA ＝＝6，OB ＝＝3， ∵tan ∠AOM ＝＝，∴∠AOM ＝60°，同理，∠BON ＝30°，因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），设直线A′B′的关系式为y＝kx+b，故有，，解得，k＝﹣2，b＝6，∴直线A′B′的关系式为y＝﹣2x+6，由题意得，，解得，，因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，∴S△COD ＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2+4）×（2﹣1）＝3，故选：B．4．解：设直线l的解析式为：y＝kx+b，∵直线l经过点A（﹣2，0）和点B（0，1），∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+1，∵点A（﹣2，0），∴OA＝2，∵OM＝2OA，∴OM＝4，∴点C的横坐标为4，当x＝4时，y＝3，∴点C（4，3），设反比例函数表达式为y＝，∴m＝12，∴反比例函数表达式为y＝，故选：B．5．解：如图：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB＝∠CAD＝60°，∴AD∥OB，∴S△ABP ＝S△AOP，∴S△AOB ＝S△OBP＝4，过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE ＝S△ABE＝S△AOB＝2，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBE＝k，∴k＝4故选：D．6．解：函数y＝﹣2x，y＝，y＝﹣x2的共同性质是有当x＞0时，y随x的增大而减小，故选：D．7．解：设E的坐标是（m，n），则k＝mn，点C的坐标是（m，2n），在y＝中，令y＝2n，解得：x＝，∵S＝2，△CDE∴|n|•|m﹣|＝2，即n×＝2，∴mn＝8．∴k＝8．故选：D．8．解：①正八边形的每个内角都是：＝135°，故①正确；②反比例函数y＝﹣中的k＝﹣2＜0，则其函数图象在每一象限内y的值随x的值增大而增大，故②正确；③如图：∵OA＝OB＝AB，∴∠AOB＝60°，∴∠C＝∠AOB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠C＝150°，∴长度等于半径的弦所对的圆周角为：30°或150°，故③错误；④由已知方程得到3x﹣1＝1且x≠0．解得x＝．经检验，x＝是原方程的根，故④正确．；故正确的有①②④，共3个．故选：C ．9．解：如图，连接AC ，过A 作AD ⊥x 轴于D ，过C 作CE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥AD 于F ，则△ABF ≌△COE ，设A （a ，﹣），C （b ，），则OE ＝BF ＝b ，CE ＝AF ＝，∴B （a +b ，﹣+），又∵点B 在双曲线y ＝﹣（x ＜0）上，∴（a +b ）（﹣+）＝﹣3， ∴﹣＝2，设＝x ，则方程﹣＝2可化为3x ﹣＝2，解得x ＝或x ＝（舍去）， ∴＝，＝， ∴平行四边形OABC 的面积＝2×S △OAC＝2（S 梯形ADEC ﹣S △AOD ﹣S △COE ）＝2[（﹣+）（b ﹣a ）﹣×|﹣3|﹣×|2|] ＝﹣+3+2﹣﹣5＝﹣3×﹣2×（﹣）＝2．故选：B ．二．填空题（共10小题）10．解：∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∴AB＝＝，过A作AH⊥BC于H，∵∠ABC＝135°，∴∠HBA＝∠HAB＝45°，∴AH＝BH＝×＝，∵BH⊥AH，BO⊥AO，∴B，H，A，O四点共圆，连接OH，∴∠BOH＝∠BAH＝45°，∴H在第二象限角平分线上，作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，则四边形HMON是正方形，∴HM＝HN，在Rt△AHM与Rt△BHN中，，∴Rt△HAM≌Rt△HBN（HL），∴AM＝BN，∵OM＝ON，∴AM＝BN＝，∴H（﹣，），∴直线BH的解析式为y＝x+2，过C作CI⊥x轴于I，∴OD∥CI，∴＝＝，∴2OI＝3AO＝3，∴OI＝，把x＝代入y＝x+2得y＝，∴C点坐标为（，），∵点C是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，∴k＝×＝，故答案为．11．解：连接OA．∵△BCE的面积为7，∴BC•OE＝7，∴BC•OE＝14，∵点D为斜边AC的中点，∴BD＝DC＝AD，∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，又∠EOB＝∠ABC＝90°，∴△EOB∽△ABC，∴，∴AB•OB•＝BC•OE，∵•OB•AB＝，∴k＝AB•BO＝BC•OE＝14，故答案为14．12．解：∵直线y＝﹣2x+4与y轴，x轴分别相交于A，B两点，∴A（0，4），B（2，0），∴OA＝4，OB＝2，在BC是截取BP＝OB，连接OP交AB于Q，∵∠ABC＝∠ABO，∴OP⊥AB，OQ＝QP，∴在直线OP的解析式为y＝x，解得，∴Q（，），∴p（，），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（2，0），P（，）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，设CD＝h，∵S＝，△BCD∴BD•CD＝，∴BD＝，∴OD＝2+，∴C（2+，h），代入y＝x﹣得，h＝（2+）﹣，解得h＝2或h＝﹣2（舍去），∴C（，2），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过C点，∴k＝×2＝7，故答案为7．13．解：延长BC交y轴于E，如图，∵四边形OABC为平行四边形，∴BC＝OA，BC∥OA，OC∥AB，OC＝AB＝2，∴BE⊥y轴，∠OCE＝∠B，在Rt△OCE中，sin∠OCE＝＝sin B＝，∴OE＝×2＝4，∴CE＝＝2，∴C（2，4），设B（t+2，4），∵D点为AB的中点，∴D（t+1，2），∵点C、D在反比例函数y＝的图象上，∴2（t+1）＝2×4，解得t＝3，∴BC＝4，∴四边形OABC的面积＝3×4＝12．故答案为12．14．解：连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，∵C（0，2），∴OC＝2，∵⊙B的半径为，∴OB＝，AC＝2，∴，∴OE＝2，A（﹣4，0），∴，∵OD是⊙B的切线，∴∠BOD＝90°，∴∠BOE+∠DOF＝∠DOF+∠ODF＝90°，∴∠BOE＝∠ODF，∵∠BEO＝∠OFD＝90°，∴△OBE∽△DOF，∴，设OD的解析式为：y＝kx（k≠0），设D（a，b），则k＝，∴OD的解析式为：y＝2x，设直线AC的解析式为：y＝mx+n（m≠0），则，解得，，∴直线AC的解析式为：y＝x+2，联立方程组，解得，，设经过点D的反比例函数解析式为：y＝，∴，∴k＝，∴反比例函数的解析式为：．故答案为：．15．解：设点A的坐标为（，a），点B的坐标为（，a），∵△ABC的面积为1，∴×（（﹣）×a＝1，解得，k ＝1，故答案为：1．16．解：由已知得OA ＝2，OB ＝4，根据勾股定理得出，AB ＝2，如图，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，作CG ⊥y 轴G ，过点D 作DH ⊥x 轴于H ，作DF ⊥y 轴于F ，连接GH ，GD ，CH ，∵点C ，D 是反比例图象上的点，∴S 矩形FDHO ＝S 矩形GCEO ， ∴S 矩形FDHO ＝S 矩形GOEC ．∴S △DGH ＝S △GHC ．∴点C ，D 到GH 的距离相等．∴CD ∥GH ．∴四边形BDHG 和四边形GHAC 都是平行四边形．∴BD ＝GH ，GH ＝CA ．即BD ＝AC ；设AC ＝BD ＝m ，∵∠AOC ＝∠ADO ，CAO ＝∠DAO ，∴△AOC ∽△ADO ， ∴，∴AO 2＝AC •AD ，∴22＝m （2﹣m ）， ∴m ＝±1（舍去+1），过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，∴△ACE ∽△ABO ， ∴， ∴， ∴AE ＝，CE ＝，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣＝∴CE•OE＝＝，故答案为：．17．解：∵点M、N都在y＝的图象上，∴S△ONC ＝S△OAM＝|k|．∵四边形ABCO为正方形，∴OC＝OA，∠OCN＝∠OAM＝90°，∴OC•CN＝OA•AM．∴CN＝AM．将△OAM绕点O逆时针旋转90°，点M对应M′，点A对应C，如图所示．∵∠OCM′+∠OCN＝180°，∴N、C、M′共线．∵∠COA＝90°，∠NOM＝45°，∴∠CON+∠MOA＝45°．∵△OAM旋转得到△OCM′，∴∠MOA＝∠M′OC，∴∠CON+∠COM'＝45°，∴∠M'ON＝∠MON＝45°．在△M'ON与△MON中，，∴△M'ON≌△MON（SAS），∴MN＝M'N．∵CN＝AM．又∵BC＝BA，∴BN＝BM．设AM＝CN＝x，则BM＝BN＝1﹣x，MN＝2x，又∵∠B＝90°，∴BN2+BM2＝MN2，∴（1﹣x）2+（1﹣x）2＝（2x）2，解得，x＝﹣1，或x＝﹣﹣1（舍去），∴AM＝﹣1，∴M（1，﹣1），∵M点在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，∴k＝1×（﹣1）＝﹣1），故答案为：﹣1）．18．解：如图，过点C作CH⊥x轴于H，∵点C在反比例函数图象上，点C的纵坐标为1，∴点C（3，1）∴CH ＝1，OH ＝3，∵∠ABO ＝∠CBH ，∠A ＝∠BHC ＝90°，∴∠HCB ＝∠AOB ＝30°，∴CH ＝BH ， ∴BH ＝，∴OB ＝OH ﹣BH ＝，∴△OBC 的面积＝×OB ×CH ＝，故答案为：．19．解：如图所示，过B 作BC ⊥y 轴于C ，过A 作AD ⊥CB 于D ， ∵△ABO 是等腰直角三角形，∴∠ABO ＝∠ADB ＝∠BCO ＝90°，BO ＝AB ，∴∠CBO ＝∠BAD ，∴△BCO ≌△ADB （AAS ），∴BC ＝AD ，CO ＝BD ，∵点B 在反比例函数y 2＝﹣（x ＞0）的图象上，点B 的横坐标为2，∴可设B （2，﹣k ），∴CO ＝BD ＝k ，CB ＝AD ＝2，∴A （2+k ，2﹣k ），∵点A 在反比例函数y 1＝（x ＞0）的图象上， ∴（2+k ）（2﹣k ）＝3k ，解得k 1＝1，k 2＝﹣4（舍去），∴k 的值为1，故答案为：1．三．解答题（共4小题）20．解：（1）设P（a，b），则OA＝a，∵＝，∴OC＝AC，∴C（a，0），∵点C在直线y＝kx+3上，∴0＝ak+3，即ka＝﹣9，∴DB＝3﹣b＝3﹣（ka+3）＝﹣ka＝9，∵BP＝a，＝×DB•BP＝27，∴S△DBP∴×9a＝27，∴a＝6，∴k＝﹣，∴一次函数的表达式为y＝﹣x+3；将x＝6代入一次函数解析式得：y＝﹣6，即P（6，﹣6），∴AP＝6，由一次函数表达式得：点D（0，3），故OD＝3；（2）将点P的坐标代入反比例解析式得：m2﹣13m＝﹣36，解得：m＝4或9；（3）由（1）得，点C（2，0）、而点B（0，﹣6），设点M（m，﹣6）；则BC2＝4+36＝40，CM2＝（m﹣2）2+36，MB2＝m2，当BC＝CM时，40＝（m﹣2）2+36，解得：m＝4或0（舍去0）；当BC＝MB时，同理可得：m＝±2；当MB＝CM时，同理可得：m＝10，故点M的坐标为（4，﹣6）或（10，﹣6）或（±，﹣6）．21．解：（1）设点C（a，），点A（b，0），∵四边形ABCO是平行四边形，∴CD＝AD，∴点D（，），∵双曲线y＝（x＞0）经过C，D两点，∴×＝6，∴b＝3a，∴点A（3a，0），∴▱ABCO的面积＝3a×＝18；（2）①∵▱ABCO是菱形，∴OA＝CO＝3a，∴（a﹣0）2+（﹣0）2＝9a2，∴a＝，∴点C（，2），∴tan∠AOC＝＝2，故答案为2；②∵a＝，∴点A坐标为（3，0），点C（，2），当0≤t≤，y＝×t×2t＝t2，当＜t≤3，y＝×2×（t+t﹣）＝2t﹣3，当3＜t ≤4，y ＝×2×（t +t ﹣）﹣×2×（t ﹣3）×（t ﹣3）＝﹣t 2+8t ﹣30，综上所述：y ＝．22．解：（1）当x ＝3时，y 1＝﹣3+3＝2，∴A （3，2），把A （3，2）代入y 2＝得，k ＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为：y 2＝；（2）解得，，，当y 1＜y 2时，x 的取值范围为：0＜x ＜3或x ＞6．23．解：（1）如图1中，作CD ⊥y 轴于D ．∵CA ∥y 轴，CD ⊥y 轴，∴CD ∥OA ，AC ∥OD ，∴四边形OACD 是平行四边形，∵∠AOD ＝90°，∴四边形OACD 是矩形，∴k ＝S 矩形OACD ＝2S △ABC ＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝．（2）如图2中，作BD ⊥AC 于D ，交反比例函数图象于N ，连接CN ，AN ．∵△ABC是等边三角形，面积为，设CD＝AD＝m，则BD＝m，∴×2m×m＝，∴m＝1或﹣1（舍弃），∴B（0，1），C（，，2），A（，0），∴N（2，1），∴BD＝DN，∵AC⊥BN，∴CB＝CN，AB＝AN，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CN＝AN，∴四边形ABCN是菱形，∴N（2，1）．（3）如图3中，连接PB，PA，OP．设P（a，）．S四边形OAPB ＝S△POB+S△POA＝×1×a+××＝a+＝（﹣）2+，∴当a＝时，四边形OAPB的面积最小，解得a＝或﹣（舍弃），此时P（，）．。

2022-2023学年浙教版数学八上期末复习专题一次函数的图象与性质(教师版)

2022-2023学年浙教版数学八上期末复习专题一次函数的图象与性质一、单选题（每题3分，共30分）1．下列各点在一次函数y=3x−2的图象上的是（）A．(2，3)B．(0，2)C．(−2，0)D．(3，7)【答案】D【知识点】一次函数的图象【解析】【解答】解：把x=2代入y=3x−2得y=4，(2，3)不在y=3x−2图象上，A选项不符合题意；把x=0代入y=3x−2得y=−2，(0，2)不在y=3x−2图象上，B选项不符合题意；把x=−2代入y=3x−2得y=−8，(−2，0)不在y=3x−2图象上，C选项不符合题意；把x=3代入y=3x−2得y=7，(3，7)在y=3x−2图象上，D选项符合题意；故答案为：D．【分析】将各选项的点坐标分别代入y=3x−2判断即可。

2．（2021八上·诸暨期末）已知实数m＜1，则一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过的象限是（）A．一、二、三B．二、三、四C．一、三、四D．一、二、四【答案】D【知识点】一次函数的图象【解析】【解答】解：∵m＜1，∴m-1＜0，3-m＞0，∴一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过第一、二、四象限.故答案为：D.【分析】根据题意得出m-1＜0，3-m＞0，再根据一次函数的图象和性质即可得出答案.3．（2021八上·扶风期末）把直线y＝3x向下平移2个单位，得到的直线是（）A．y＝3x﹣2B．y＝3（x﹣2）C．y＝3x+2D．y＝3（x+2）【答案】A【知识点】一次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：把直线y＝3x向下平移2个单位，可得y＝3x﹣2.【分析】将一次函数y=kx+b向下平移m个单位，可得y=kx+b-m，据此解答.4．（2021八上·海曙期末）一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数、且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图可能是（）A．B．C．D．【答案】C【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：A、∵直线y=mx+n经过第一，二，三象限∴m＞0，n＞0，∴mn＞0，∴直线y=mnx经过第一，三象限，故A不符合题意；B、∵直线y=mx+n经过第一，四，三象限∴m＞0，n＜0，∴mn＜0，∴直线y=mnx经过第二，四象限，故B不符合题意；C、∵直线y=mx+n经过第一，四，三象限∴m＞0，n＜0，∴mn＜0，∴直线y=mnx经过第二，四象限，故C符合题意；D、∵直线y=mx+n经过第一，四，二象限∴m＜0，n＞0，∴mn＜0，∴直线y=mnx经过第二，四象限，故D不符合题意；【分析】利用直线y=kx+b （k≠0）：当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b ＞0时，图像必过第一二象限，当b ＜0时，图像必过第三四象限；再观察各选项中的直线y=mx+n 所经过的象限，可判断出m ，n 的取值范围，由此可得到mn 的取值范围，可分别得到直线y=mnx 所经过的象限，由此可得正确结论的象限.5．（2021八上·桐城期末）一次函数y =−2x +4的图象与y 轴交于点P ，将一次函数图象绕着点P 转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则转动后得到的一次函数图象与x 轴交点横坐标为（） A ．-3B ．3C ．3或-3D ．6或-6【答案】C【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题【解析】【解答】解：在y =−2x +4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=2，∴一次函数y =−2x +4的图象与x ，y 轴的交点分别是（2，0），（0，4）， ∴一次函数y =−2x +4的图象与坐标轴形成的面积为12×4×2=4，将一次函数图象绕着点P 转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积为4+2=6，设绕着点P 转动后直线与x 轴的交点横坐标为x ，则12×4×|x|=6，解得：x=±3，故答案为：C ．【分析】令x=0，则y=4，令y=0，则x=2，得出一次函数y =−2x +4的图象与x ，y 轴的交点，得出一次函数y =−2x +4的图象与坐标轴形成的面积，将一次函数图象绕着点P 转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则得出转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积，设绕着点P 转动后直线与x 轴的交点横坐标为x ，即可得解。

第19章一次函数——几何变换专项练习 2022—2023学年人教版数学八年级下册

一次函数典型例题——几何变换◆一次函数的基本性质1．已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．2．已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1（1）当m为何值时，函数图象经过原点？（2）若图象不经过三象限，求m的取值范围．（3）不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P坐标．3．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7．求y与x的函数解析式．◆图形的平移、旋转、对称4．如图，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A、点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，在第一象限内将线段CA沿同一直线CG向下翻折得到线段CD，点D与点A对应且CD∥x轴，过点D作DE⊥x轴于E点，与GC交于F点．求点F的坐标．7．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝，点A的坐标为（，）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．8．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．9．直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，（1）求直线CD的解析式；（2）若将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，求直线EF的解析式．◆交点问题求范围10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．11．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动．（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y＝2x﹣4的交点在第一象限，求m 的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，结合函数的图象，求k的取值范围．练习1．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式；（2）直接写出直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的解析式；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．2．如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．3．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．（1）求点B'的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．4．若一次函数y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，求m、n的取值范围．5．已知直线l1：y＝2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将直线l1向下平移1个长度单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，（1）求△AOB的面积；（2）直线l2的表达式；（3）求△CBD的面积．6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x轴，点A的坐标为（5，3），已知直线l：y＝x﹣2（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC交于点E，求△ABE的面积．一次函数典型例题——几何变换（解析）◆一次函数的基本性质1．已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．【解答】解：（1）∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12的图象经过原点，∴﹣3k2+12＝0，∴，∴k＝﹣2；（2）∵直线y＝﹣2x+9求出此直线与y轴的交点坐标为（0，9），∴﹣3k2+12＝9，∴k＝1或k＝﹣1；（3）∵一次函数的图象平行于y＝﹣2x的图象，∴k﹣2＝﹣2，∴k＝0；（4）∵一次函数为减函数，∴k﹣2＜0，∴k＜2．2．已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1（1）当m为何值时，函数图象经过原点？（2）若图象不经过三象限，求m的取值范围．（3）不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P坐标．【解答】解：（1）∵函数的图象经过原点，∴m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵图象不经过三象限，∴3m﹣7＜0，m﹣1≥0，解得：1≤m＜；（3）∵不论m取何值，直线恒过一定点P，∴当x＝﹣时，y＝﹣1＝，即不论m取何值，直线恒过一定点P，定点P坐标为：（﹣，）．3．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7．求y与x的函数解析式．【解答】解：∵y1与kx﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，∴y1＝k1（x﹣2），y2﹣3＝k2x，∴y＝k1（x﹣2）+k2x+3，把x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7代入上式解得，解得：，则y与x的解析式为y＝3x+1．◆图形的平移、旋转、对称4．如图，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A、点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．【解答】解：（1）当y＝0，则2x﹣2＝0，解得x＝1；当x＝0时，y＝﹣2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣2）；（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l：y＝2x+1，设C的坐标为（m，2m+1），∵S△AOC＝3，∴|2m+1|＝3，∴2m+1＝±6，解得m＝或﹣，∴C（，6）或（﹣，﹣6）．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4，令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△P AB＝S△OCD，∴S△P AB＝××6×8＝12．∵点P在y轴上，S△P AB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，在第一象限内将线段CA沿同一直线CG向下翻折得到线段CD，点D与点A对应且CD∥x轴，过点D作DE⊥x轴于E点，与GC交于F点．求点F的坐标．【解答】解：连接AF，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3，∴A（3，0），C（0，4），∴OA＝3，OC＝4，∴AC＝＝5，∵CD∥x轴，点D、点A关于直线CF对称，∴CD＝CA＝5．∠DCF＝∠ACF＝∠FGA，∴∠CAF＝∠D＝90°设EF＝x，则DF＝AF，DF＝4﹣x，AE＝2，∴（4﹣x）2﹣x2＝4．解得x＝．∴点F坐标为（5，）．7．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝1，点A的坐标为（﹣2，0）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．【解答】解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵S△OAB＝4，∴×OA×OB＝4，解得OA＝2，∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1，故答案为：1；﹣2，0；（2）∵OP＝4OA，OA＝2，∴P（8，0），设直线BP的解析式为y＝kx+b，将（8，0），（0，4）代入得，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+4；（3）设直线AB绕点B顺时针旋转45°得到直线BE，如图，过点A作AF⊥AB交BE于点F，作FH⊥x轴于H．则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠F AH＝∠ABO，∴△AOB≌△FHA（AAS），∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴HO＝6，∴F（﹣6，2），设直线BE的解析式为y＝mx+n，则把点F和点B的坐标代入，可得，解得，∴直线BE的解析式为y＝x+4．8．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝1；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，（2）∵一次函数y＝2x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），设直线l的解析式为y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直线l的解析式为y＝x+．9．直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，（1）求直线CD的解析式；（2）若将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，求直线EF的解析式．【解答】解：∵直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣1；∴A（﹣1，0），B（0，2）．（1）∵直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，∴直线CD与x轴，y轴的交点坐标（﹣2，0），（0，﹣1），设直线CD的解析式是y＝k1x+b1，则，解得．故直线CD的解析式是y＝﹣x﹣1；（2）∵将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，∴直线EF与x轴，y轴的交点坐标（2，0），（0，1），设直线EF的解析式是y＝k2x+b2，则，解得．故直线EF的解析式是y＝﹣x+1．◆交点问题求范围10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，∴B（0，4），A（﹣2，0），将直线AB向右平移6个单位长度，点B平移后的对应点为点C为（6，4）；（2）∵A（﹣2，0），∴D（4，0），解得：k＝2，b＝﹣8，∴直线CD的表达式为y＝2x﹣8．把C（6，4），D（4，0）代入y＝kx+b中得，（3）∵点B（0，4）关于原点的对称点为点E（0，﹣4），∴设过点E的直线y＝kx﹣4，把D（4，0）代入y＝kx﹣4中得4k﹣4＝0，∴k＝1，把A（﹣2，0）代入y＝kx﹣4中，∴k＝﹣2∴k≥1或k≤﹣2．11．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动．（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y＝2x﹣4的交点在第一象限，求m 的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b．∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标是（1，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，把直线AB向上平移m个单位后得y＝﹣x+m﹣1．由，解得，即交点为（，）．由题意，得，解得m＞3；（2）AB最短时有AB⊥CD，设此时直线AB的解析式为y＝﹣x+n，将A（﹣1，0）代入，得0＝﹣×（﹣1）+n，解得n＝﹣．即直线AB的解析式为y＝﹣x﹣．由，解得，所以B点坐标为（，﹣）．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，结合函数的图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，∴m＝1+2＝3．∴点A的坐标为（﹣1，3）．∴点（﹣1，3）向右平移4个单位长度得到点B的坐标为（3，3）．（2）当直线l：y＝kx﹣2过点A（﹣1，3）时，得3＝﹣k﹣2，解得k＝﹣5．当直线l：y＝kx﹣2过点B（3，3）时，得3＝3k﹣2，解得k＝．如图，若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，则b的取值范围是k≤﹣5或k≥．练习1．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式y＝2x；（2）直接写出直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的解析式y＝x+2；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．【解答】解：（1）直线l：y＝2x+4向右平移2个单位得到的直线l2的解析式为：y＝2（x﹣2）+4，即y＝2x，（2）∵（0，4），（﹣2，0）在直线ly＝2x+4上，这两点关于y＝﹣x的对称点为（﹣4，0），（0，2），设直线l1的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l1的解析式为：y＝x+2，故答案为y＝x+2；（3）∵直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，设P的坐标为（x，2x+4），∵S△OAP＝2S△OBP，∴OA•|2x+4|＝2×OB•|x|，即|2x+4|＝4|x|，解得x＝﹣或2，∴P（﹣，）或（2，8）．2．如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【解答】解：（1）由，解得，∴B（3，3）．（2）由题意A（0，2），C（2，0），∴S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB＝×2×3+×2×3＝6．（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．∵△BCC′是等腰直角三角形，∠BCD＝45°，∴点C′在直线CD上，∵B（3，3），C（2，0），∴C′（6，2），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣1．3．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．（1）求点B'的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵OC：OB'＝4：3，∴B′C：OB′＝5：3，∵B′C＝BC＝10，∴OB′＝6，∴B′点的坐标为：（6，0）；（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′点，CE为折痕，∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA，由OB′＝6，OC：OB'＝4：3，∴OC＝8，设AE＝a，则EB′＝EB＝8﹣a，AB′＝AO﹣OB′＝10﹣6＝4，由勾股定理，得a2+42＝（8﹣a）2，解得a＝3，∴点E的坐标为（10，3），点C的坐标为（0，8），设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得，解得，∴CE所在直线的解析式为y＝﹣x+8．4．若一次函数y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，求m、n的取值范围．【解答】解：∵y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，∴6﹣3m＜0，2n﹣4≥0，故m＞2，n≥2．5．已知直线l1：y＝2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将直线l1向下平移1个长度单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，（1）求△AOB的面积；（2）直线l2的表达式；（3）求△CBD的面积．【解答】解：（1）在y＝2x+3中，令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝，所以A、B的坐标分别为：A（，0），B（0，3），∴S△ABC＝×|3|×＝；（2）把l1：y＝2x+3向下平移1个长度单位后得l2：y＝2x+2；（3）直线l2：y＝2x+2与x轴、y轴的交点C、D的坐标分别为：C（﹣1，0）、D（0，2），∴S△CBD＝×|1|×|3﹣2|＝．216．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 在第一象限内，AB ∥x 轴，点A 的坐标为（5，3），已知直线l ：y ＝x ﹣2（1）将直线l 向上平移m 个单位，使平移后的直线恰好经过点A ，求m 的值（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC 交于点E ，求△ABE 的面积．【解答】解：（1）设平移后的直线方程为y ＝x +b ，把点A 的坐标为（5，3）代入，得3＝×5+b ，解得 b ＝．则平移后的直线方程为：y ＝x +．则﹣2+m ＝，解得 m ＝；（2）∵正方形ABCD 的边长为2，且点A 的坐标为（5，3），∴B （3，3）．把x ＝3代入y ＝x +，得y ＝×3+＝2，即E （3，2）．∴BE ＝3﹣2＝1，∴△ABE 的面积＝×2×1＝1．22。

二次函数难题综合(附答案)

庞圣洁（二次函数难题）之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日一．选择题（共22小题）1．（•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M （﹣1,2）和点N（1,﹣2）,交x轴于A,B两点,交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1,则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④ C．①②④ D．①②③2．（•泰安模拟）如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧）,动点P从A点动身,先达到抛物线的对称轴上的某点E,再达到x轴上的某点F,最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为（）A．B．C． D．3．（•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤14．（•天桥区一模）如图,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A,B两点,且点A的横坐标是﹣2,点B的横坐标是3,则以下结论：①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的极点一定是原点；②x＞0时,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增年夜而增年夜；③AB的长度可以即是5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时,ax2+kx＜b,其中正确的结论是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤5．（•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,若M=a+b﹣c,N=4a﹣2b+c,P=2a﹣b．则M,N,P中,值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（•杭州模拟）关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论：①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的极点在第四象限．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（•无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x2+1的极点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似 D．无法确定8．（•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时,有三个公共点；②m=3时,只有两个公共点；③若只有两个公共点,则m=3；④若有三个公共点,则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个9．（•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α,β,且α＜β,则α,β满足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞210．（•盐城模拟）如图,分别过点Pi（i,0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi．则的值为（）A．B．2 C．D．11．（•西湖区校级模拟）已知二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1,y1）,B（2,y2）C（4,y3）,则y1、y2、y3的年夜小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y212．（•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|,则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定13．（•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,且ac=4,则二次函数的极点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（•蚌埠自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,Q （n,2）是图象上的一点,且AQ⊥BQ,则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣215．（•秀洲区一模）已知点A（x1,y1）,B（x2,y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上,若x1＜x2,x1+x2=1﹣a,则（）A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2年夜小不能确定16．（•天河区一模）如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A,B的坐标分别为（1,﹣3）,（6,1）,当y1＞y2时,x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞117．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的,则a的取值范围（）A．a＞B．a＜0或a＞C．D．18．（•荣县校级二模）已知直线经过点A（0,2）,B（2,0）,点C 在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．119．（•下城区校级模拟）关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）；③若m＞6,抛物线交x轴于A、B两点,则AB＞1；④抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③ C．①②④ D．②③④20．（•湖州）已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c,0）,以该抛物线与坐标轴的三个交点为极点的三角形面积为S,则S可暗示为（）A．|2+b||b+1| B．c（1﹣c）C．（b+1）2 D．21．（•茂名）下列四个函数：①y=kx（k为常数,k＞0）②y=kx+b（k,b为常数,k＞0）③y=（k为常数,k＞0,x＞0）④y=ax2（a为常数,a＞0）其中,函数y的值随着x值得增年夜而减少的是（）A．①B．②C．③D．④22．（•碑林区校级一模）已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3,而且a,b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根,则实数m,n,a,b的年夜小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b二．解答题（共8小题）23．（•本溪）如图,直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C,连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45°时,求点M的坐标；（3）点P从点C动身,沿线段CA由C向A运动,同时点Q从点B 动身,沿线段BC由B向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单元长度,当Q点达到C点时,P、Q同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为极点的四边形为菱形？若存在,直接写出点D的坐标；若不存在,说明理由．24．（•黔南州）如图,在平面直角坐标系中,极点为（4,﹣1）的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点（点B在点C的左侧）,已知A点坐标为（0,3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问：当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最年夜？并求出此时P点的坐标和△PAC的最年夜面积．25．（•遵义）如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A （3,0）,B（﹣1,0）,与y轴交于点C．若点P,Q同时从A点动身,都以每秒1个单元长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点达到端点时,另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为极点的三角形为等腰三角形？若存在,请求出E点坐标；若不存在,请说明理由．（3）当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标．26．（•兰州）如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A（﹣1,0）,C（0,2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最年夜？求出四边形CDBF的最年夜面积及此时E点的坐标．27．（•义乌市）如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C 三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积；②当m=﹣3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F．是否存在这样的点P,使以P,E,F为极点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．28．（•黄冈模拟）已知：如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3,0）、B（6,0）,与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x,y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y 轴交直线BC于点Q．①当x取何值时,线段PQ的长度取得最年夜值,其最年夜值是几多？②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．29．（•武汉）如图,已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A,B两点．（1）直线AB总经过一个定点C,请直接出点C坐标；（2）当k=﹣时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积即是5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的最年夜距离．30．（•六盘水）如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点,并经过B点,已知A点坐标是（2,0）,B点的坐标是（8,6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的极点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成△ADP,是否存在S△ADP=S△BCD？若存在,请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．庞圣洁（二次函数难题）参考谜底与试题解析一．选择题（共22小题）1．（•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M （﹣1,2）和点N（1,﹣2）,交x轴于A,B两点,交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1,则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④ C．①②④ D．①②③【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】①二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值．②根据图象的特点及与直线MN比力,可知当﹣1＜x＜1时,二次函数图象在直线MN的下方．③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系,可获得OA•OB的值,当x=0时,可获得OC的值．通过c建立等量关系求证．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,∴,解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c,a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,∴直线MN的解析式为y﹣2=,即y=﹣2x,根据抛物线的图象的特点肯定是当﹣1＜x＜1时,二次函数图象在y=﹣2x的下方,∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2,a+c=0,即c=﹣a＜0,所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点,M、A、C三点不成能在同一条直线上．故该选项毛病．④当a=1时,c=﹣1,∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时,0=x2﹣2x+c,利用根与系数的关系可得x1•x2=c,即OA•OB=|c|,当x=0时,y=c,即OC=|c|=1=OC2,∴若a=1,则OA•OB=OC2,故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式简直定．2．（•泰安模拟）如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧）,动点P从A点动身,先达到抛物线的对称轴上的某点E,再达到x轴上的某点F,最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为（）A．B．C． D．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得A′B′即是所求的长度．【解答】解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点,∴x2﹣x﹣=x﹣2,解得：x=1或x=,当x=1时,y=x﹣2=﹣1,当x=时,y=x﹣2=﹣,∴点A的坐标为（,﹣）,点B的坐标为（1,﹣1）,∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E,与x轴的交点是F,∴BF=B′F,AE=A′E,∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′,延长BB′,AA′相交于C,∴A′C=++（1﹣）=1,B′C=1+=,∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．故选A．【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用．3．（•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1【考点】二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据分式的意义,分母不即是0,得出x2﹣2x+c≠0,再根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质,可知当二次项系数a＞0,△＜0时,有y＞0,此时自变量x的取值范围是全体实数．【解答】解：由题意,得△=（﹣2）2﹣4c＜0,解得c＞1．故选C．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义,必需满足分母不即是0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数,要使自变量x的取值范围是全体实数,必需满足△＜0．4．（•天桥区一模）如图,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A,B两点,且点A的横坐标是﹣2,点B的横坐标是3,则以下结论：①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的极点一定是原点；②x＞0时,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增年夜而增年夜；③AB的长度可以即是5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时,ax2+kx＜b,其中正确的结论是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】①由极点坐标公式判断即可；②根据图象获得一次函数y=kx+b为增函数,抛物线当x年夜于0时为增函数,本选项正确；③AB长不成能为5,由A、B的横坐标求出AB为5时,直线AB与x 轴平行,即k=0,与已知矛盾；④三角形OAB不成能为等边三角形,因为OA与OB不成能相等；⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称,作出对称后的图象,故y=﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2,找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．【解答】解：①抛物线y=ax2,利用极点坐标公式得：极点坐标为（0,0）,本选项正确；②根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数,则x＞0时,直线与抛物线函数值都随着x的增年夜而增年夜,本选项正确；③由A、B横坐标分别为﹣2,3,若AB=5,可得出直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,故AB不成能为5,本选项毛病；④若OA=OB,获得直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,∴OA≠OB,即△AOB不成能为等边三角形,本选项毛病；⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称,如图所示：可得出直线y=﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3,2,由图象可得：当﹣3＜x＜2时,ax2＜﹣kx+b,即ax2+kx＜b,则正确的结论有①②⑤．故选B．【点评】此题考查了二次函数综合题,涉及的知识有：抛物线极点坐标公式,一次函数与二次函数的增减性,关于y轴对称点的性质,利用了数形结合的思想,熟练对称性质及数形结合思想是判毕命题⑤的关键．5．（•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,若M=a+b﹣c,N=4a﹣2b+c,P=2a﹣b．则M,N,P中,值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图象获得x=﹣2时对应的函数值小于0,获得N=4a﹣2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=﹣1右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下获得a小于0,变形即可对P作出判断,根据a,b,c的符号判断得出a+b﹣c的符号．【解答】解：∵图象开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴左侧,∴a,b同号,∴a＜0,b＜0,∵图象经过y轴正半轴,∴c＞0,∴M=a+b﹣c＜0当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c＜0,∴N=4a﹣2b+c＜0,∵﹣＞﹣1,∴＜1,∵a＜0,∴b＞2a,∴2a﹣b＜0,∴P=2a﹣b＜0,则M,N,P中,值小于0的数有M,N,P．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,根据图象判断出对称轴以及a,b,c的符号是解题关键．6．（•杭州模拟）关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论：①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的极点在第四象限．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】把方程的根x=2代入计算即可求出2a+b=﹣8,判定①正确；利用根与系数的关系求出a＜﹣8,b＞8,从而判定②正确；根据二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点,且极点坐标在第四象限,向上平移2个单元,与x轴纷歧定有交点,判定③毛病,向下平移2个单元,极点一定在第四象限,判定④正确．【解答】解：∵x=2是方程2x2+ax+b=0的根,∴2×4+2a+b=0,∴2a+b=﹣8＜0,故①正确；∵x=2是方程2x2+ax+b=0的两个根中较小的根,∴﹣＞2+2,＞2×2,∴a＜﹣8,b＞8,∴ab＜0,故②正确；∵方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,∴二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点,且对称轴在直线x=2的右边,∴二次函数y=2x2+ax+b极点坐标在第四象限,向上平移2个单元获得二次函数y=2x2+ax+b+2,与x轴纷歧定有交点,∴关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根毛病,故③毛病；向下平移2个单元获得二次函数y=2x2+ax+b﹣2,极点坐标一定在第四象限,故④正确；综上所述,正确的结论有①②④共3个．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,主要利用了一元二次方程的根的界说,根与系数的关系,二次函数图象与几何变换,③④两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键．7．（•无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x2+1的极点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似 D．无法确定【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】先求出点P的坐标,从而获得OP的长,再设点A的横坐标为m,暗示出AD,再暗示出OD、OF、PF、AF,然后根据△PEF和△PDO相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,然后利用勾股定理暗示出PA2、PE、PD,从而获得=,再根据两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似解答．【解答】解：令x=0,则y=1,∴OP=1,设点A的横坐标为m,则AD=﹣m2+1,∵AB⊥y轴,AD⊥x轴,∴AF=OD=m,OF=﹣m2+1,PF=1﹣（﹣m2+1）=m2,在Rt△PAF中,PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2,在Rt△POD中,PD===,由AB∥x轴得,△PEF∽△PDO,∴=,即=,解得,PE=m2,∴PA2=PD•PE=m4+m2,∴=,∵∠APE=∠DPA,∴△PAD∽△PEA,即,△PAD与△PEA始终相似．故选B．【点评】本题是二次函数综合题,主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,相似三角形的判定与性质,勾股定理的应用,暗示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键．8．（•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时,有三个公共点；②m=3时,只有两个公共点；③若只有两个公共点,则m=3；④若有三个公共点,则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】令y=0,可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0,得出判别式的表达式,然后根据m的取值进行判断,另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数,不要忘了考虑一次函数的情况．【解答】解：令y=0,可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0,△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2,①当m≠3,m=±1时,函数是一次函数,与坐标轴有两个交点,故毛病；②当m=3时,△=0,与x轴有一个公共点,与y轴有一个公共点,总共两个,故正确；③若只有两个公共点,m=3或m=±1,故毛病；④若有三个公共点,则m≠3且m≠±1,故正确；综上可得只有②④正确,共2个．故选B．【点评】此题考查了抛物线与x轴交点的知识,同学们容易忽略m=±1时,函数是一次函数的情况,这是我们要注意的处所．9．（•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α,β,且α＜β,则α,β满足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先令m=0求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合即可求出α,β的取值范围．【解答】解：令m=0,则函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1,0）,（2,0）,故此函数的图象为：∵m＞0,∴原极点沿抛物线对称轴向下移动,两个根沿对称轴向两边逐步增年夜,∴α＜1,β＞2．故选D．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合解答是解答此题的关键．10．（•盐城模拟）如图,分别过点Pi（i,0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi．则的值为（）A．B．2 C．D．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为AiBi的长,分别暗示出所求式子的各项,拆项后抵消即可获得结果．【解答】解：根据题意得：AiBi=x2﹣（﹣x）=x（x+1）,∴==2（﹣）,∴++…+=2（1﹣+﹣+…+﹣）=．故选A【点评】此题考查了二次函数综合题,属于规律型试题,找出题中的规律是解本题的关键．11．（•西湖区校级模拟）已知二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1,y1）,B（2,y2）C（4,y3）,则y1、y2、y3的年夜小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】求出抛物线的对称轴,求出A关于对称轴的对称点的坐标,根据抛物线的开口方向和增减性,即可求出谜底．【解答】解：y=ax2﹣2ax+1（a＜0）,对称轴是直线x=﹣=1,即二次函数的开口向下,对称轴是直线x=1,即在对称轴的右侧y随x的增年夜而减小,A点关于直线x=1的对称点是D（3,y1）,∵2＜3＜4,∴y2＞y1＞y3,故选D．【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用,主要考查学生的观察能力和分析能力,本题比力典范,可是一道比力容易犯错的题目．12．（•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|,则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据图象特征,首先判断出M中的各代数式的符号,然后去绝对值．【解答】解：因为开口向下,故a＜0；当x=﹣2时,y＞0,则4a﹣2b+c＞0；当x=1时,y＜0,则a+b+c＜0；因为对称轴为x=＜0,又a＜0,则b＜0,故2a+b＜0；又因为对称轴x=﹣＞﹣1,则b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b,因为2a﹣b＜0,a＜0,∴3a﹣b＜0,即M＜0,故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号简直定．13．（•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,且ac=4,则二次函数的极点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,即抛物线的开口向下,因而a＜0．求抛物线的极点坐标利用公式法：y=ax2+bx+c的极点坐标为（,）,对称轴是x=；代入就可以求召盘点坐标,从而确定极点所在象限．【解答】解：极点横坐标x==,纵坐标y==；∵二次函数有最年夜值,即抛物线的开口向下,a＜0,∴,,即：横坐标x＞0,纵坐标y＜0,极点在第四象限．故选D．【点评】考查求抛物线的极点坐标、对称轴及最值的方法：14．（•蚌埠自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,Q （n,2）是图象上的一点,且AQ⊥BQ,则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣2【考点】抛物线与x轴的交点；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】由勾股定理,及根与系数的关系可得．【解答】解：设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2．依题意有AQ2+BQ2=AB2．（x1﹣n）2+4+（x2﹣n）2+4=（x1﹣x2）2,化简得：n2﹣n（x1+x2）+4+x1x2=0．有n2+n+4+=0,∴an2+bn+c=﹣4a．∵（n,2）是图象上的一点,∴an2+bn+c=2,∴﹣4a=2,∴a=﹣．故选B．【点评】此题考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是注意数形结合思想．15．（•秀洲区一模）已知点A（x1,y1）,B（x2,y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上,若x1＜x2,x1+x2=1﹣a,则（）A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2年夜小不能确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】将点A（x1,y1）,B（x2,y2）分别代入y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）中得y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①；y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②；利用作差法求出y2﹣y1＞0,即可获得y1＞y2．【解答】解：将点A（x1,y1）,B（x2,y2）分别代入y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）中,得：y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①,y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②,②﹣①得：y2﹣y1=（x2﹣x1）[a（3﹣a）],因为x1＜x2,3﹣a＞0,则y2﹣y1＞0,即y1＜y2．故选B．【点评】本题难度较年夜,要充沛利用数据特点,进行计算．16．（•天河区一模）如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A,B的坐标分别为（1,﹣3）,（6,1）,当y1＞y2时,x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据函数图象,找出抛物线在直线上方的部份的自变量x 的取值范围即可．【解答】解：由图可知,当x＜1或x＞6时,抛物线在直线的上方,所以,当y1＞y2时,x的取值范围是x＜1或x＞6．故选B．【点评】本题考查了二次函数的图象,利用数形结合的思想解答即可,比力简单．17．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的,则a的取值范围（）A．a＞B．a＜0或a＞C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】依照a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时,图象开口向上,只要极点纵坐标为正即可；当a＜0时,抛物线对称轴为x=﹣1,根据对称性,只要x=5时,y＞0即可．【解答】解：当a＞0时,图象开口向上,极点纵坐标为=6a﹣3,当6a﹣3＞0,即a＞时,y＞0；当a＜0时,抛物线对称轴为x=﹣1,根据对称性,只要x=5时,y＞0即可,此时y=25a+10a+7a﹣3＞0,解得a＞,不符合题意,舍去．故选A．【点评】本题考查了二次函数开口方向,极点坐标,对称轴在实际问题中的运用,还考查了分类讨论的数学思想．18．（•荣县校级二模）已知直线经过点A（0,2）,B（2,0）,点C 在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】解：通过计算发现,当O与C重合时,S△ABC=2,据此推断出以AB为底边的三角形的高,从图上找到点C1、C2,再作CC3∥AB,使得C3与C到AB的距离相等,若求出C的坐标,则存在C3点,使得以AB为底的三角形面积为2．【解答】解：∵S△ABC=×2×2=2,可见,当O与C重合时,S△ABC=2,作CD⊥AB,∵AO=BO=2,可见,△ACB为等腰直角三角形,CD=2×cos45°=2×=．由图易得,到AB距离为的点有C、C1、C2,作CC3∥AB,则CC3的解析式为y=﹣x,将y=﹣x和y=x2组成方程组得,,解得,,,则C3坐标为（﹣1,1）,可见,有四个点,使得S△ABC=2．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质,知道平行线间的距离相等以及知道同底等高的三角形面积相等是解题的关键．19．（•下城区校级模拟）关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）；③若m＞6,抛物线交x轴于A、B两点,则AB＞1；④抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③ C．①②④ D．②③④【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由二次函数的解析式,找出二次项系数a,一次项系数b及常数项c,将a,b及c的值代入b2﹣4ac,利用完全平方公式化简后,根据完全平方式恒年夜于即是0,可得出b2﹣4ac年夜于即是0,进而确定出该抛物线与x轴有交点,故①正确；将x=1代入抛物线解析式,求出y=0,可得出此抛物线恒过（1,0）,故②正确；令抛物线解析式中y=0,获得关于x的一元二次方程,设方程的两个解分别为x1,x2,利用根与系数的关系暗示出x1+x2,x1x2,AB的长可以用|x1﹣x2|暗示,利用二次根式的化简根式=|a|变形后,再利用完全平方公式化简,将暗示出的x1+x2及x1x2代入,化简后根据m年夜于6,可得出AB的长年夜于1,故③正确；利用极点坐标公式暗示出抛物线的极点坐标,代入y=﹣2（x﹣1）2中经验,可得出抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上,故④正确,综上,获得正确的序号．【解答】解：二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,∵a=2,b=﹣m,c=m﹣2,∴b2﹣4ac=（﹣m）2﹣8（m﹣2）=（m﹣4）2≥0,则抛物线与x轴有交点,故①正确；∵当x=1时,y=2﹣m+m﹣2=0,∴不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）,故②正确；设A的坐标为（x1,0）,B（x2,0）,令y=0,获得2x2﹣mx+m﹣2=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴AB=|x1﹣x2|===||,当m＞6时,可得m﹣4＞2,即＞1,∴AB＞1,故③正确；∵抛物线的极点坐标为（,）,∴将x=代入得：y=﹣2（﹣1）2=﹣2（﹣+1）=,∴抛物线的极点坐标在y=﹣2（x﹣1）2图象上,故④正确,综上,正确的序号有①②③④．故选A【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点,以及二次函数的性质,涉及的知识有：抛物线与x轴交点的判断方法,根与系数的关系,极点坐标公式,以及判断一个点是否在抛物线上,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．。

2020年湖北省鄂州市中考数学试题(解析版)

2020年湖北省鄂州市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2020的相反数是（）A．2020B．﹣C．D．﹣20202．（3分）下列运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．（﹣2x）3＝﹣6x3C．2x3•3x2＝6x5D．（3x+2）（2﹣3x）＝9x2﹣43．（3分）如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（）A．B．C．D．4．（3分）面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（）A．0.21×108B．2.1×108C．2.1×109D．0.21×1010 5．（3分）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．65°6．（3分）一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（）A．4B．5C．7D．97．（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%8．（3分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD ＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．19．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．（2，0）B．（0，）C．（0，）D．（0，2）二．填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：2m2﹣12m+18＝．12．（3分）关于x的不等式组的解集是．13．（3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为．14．（3分）如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB ＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为．15．（3分）如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F 为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．16．（3分）如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为．三．解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）17．（8分）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．19．（8分）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表学习时间分组频数频率A组（0≤x＜1）9mB组（1≤x＜2）180.3C组（2≤x＜3）180.3D组（3≤x＜4）n0.2E组（4≤x＜5）30.05（1）频数分布表中m＝，n＝，并将频数分布直方图补充完整；（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．20．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．21．（8分）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（10分）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）求证：AE•ED＝AC•EF；（3）若EF＝3，tan∠ACE＝时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN 上），求AN的长．23．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y 轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖北省鄂州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2020的相反数是（）A．2020B．﹣C．D．﹣2020【分析】根据相反数的定义解答即可．【解答】解：﹣2020的相反数是2020，故选：A．2．（3分）下列运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．（﹣2x）3＝﹣6x3C．2x3•3x2＝6x5D．（3x+2）（2﹣3x）＝9x2﹣4【分析】利用合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式进行计算即可．【解答】解：A、2x+3x＝5x，故原题计算错误；B、（﹣2x）3＝﹣8x3，故原题计算错误；C、2x3•3x2＝6x5，故原题计算正确；D、（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2，故原题计算错误；故选：C．3．（3分）如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上面看，第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形．故选：A．4．（3分）面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（）A．0.21×108B．2.1×108C．2.1×109D．0.21×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：21亿＝2100000000＝2.1×109．故选：C．5．（3分）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．65°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2+∠4＝∠3，最后根据∠2＝∠3﹣∠4计算即可得到答案．【解答】解：如图：∵∠1＝65°，∠1+45°+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣45°﹣65°＝70°，∵a∥b，∴∠4+∠2＝∠3＝70°，∵∠4＝45°，∴∠2＝70°﹣∠4＝70°﹣45°＝25°．故选：A．6．（3分）一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（）A．4B．5C．7D．9【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义即可得出答案．【解答】解：∵数据4，5，x，7，9的平均数为6，∴x＝6×5﹣4﹣5﹣7﹣9＝5，∴这组数据的众数为5；故选：B．7．（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，根据到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．故选：C．8．（3分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD ＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．1【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠ADB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出OM平分∠AMD，④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴OM平分∠AMD，故④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△OMD（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；正确的个数有3个；故选：B．9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．【解答】解：①∵由抛物线的开口向上知a＞0，∵对称轴位于y轴的右侧，∴b＜0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0；故错误；②对称轴为x＝﹣＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，故错误；③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，故正确；④∵当x＝﹣1时，y＝0，∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．故正确．综上所述，有2个结论正确．故选：B．10．（3分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．（2，0）B．（0，）C．（0，）D．（0，2）【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1（1，1），∴OB1＝2，设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1，解得m＝﹣1，∴OB2＝2，设A3（a，2+n），则有n＝a（2+a）＝1，解得a＝﹣，∴OB3＝2，同法可得，OB4＝2，∴OB n＝2，∴B n（0，2）．故选：D．二．填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：2m2﹣12m+18＝2（m﹣3）2．【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．【解答】解：原式＝2（m2﹣6m+9）＝2（m﹣3）2．故答案为：2（m﹣3）2．12．（3分）关于x的不等式组的解集是2＜x≤5．【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．【解答】解：由①得：x＞2，由②得：x≤5，所以不等式组的解集为：2＜x≤5，故答案为2＜x≤5．13．（3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为．【分析】根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径．【解答】解：设圆锥底面的半径为r，扇形的弧长为：＝π，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴根据题意得2πr＝π，解得：r＝．故答案为：．14．（3分）如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB ＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为﹣9．【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得得到关于k的方程，可求得k的值．【解答】解：∵点A是反比例函数y＝（x＜0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC＝x，AC＝，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB＝3OA，∴＝＝＝，∴OD＝3AC＝，BD＝3OC＝3x，∴B（，﹣3x），∵点B反比例函数y＝图象上，∴k＝×（﹣3x）＝﹣9，故答案为：﹣9．15．（3分）如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F 为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动1或（11+6）秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．【分析】分两种情形：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，如图2中，当点C，D落在⊙O上时，分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）如图2中，当点C，D落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．故答案为1或（11+6）．16．（3分）如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a 为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为2．【分析】在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝，可得OB＝4，OA ＝，得角OBA＝30°，根据PQ切⊙O于Q点可得OQ⊥PQ，由OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长．【解答】解：如图，在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝，∴OB＝4，OA＝，∴tan∠OBA＝＝，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ＝，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP＝OB＝2，此时PQ＝＝，BP＝＝2，∴OQ＝OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP＝BP＝，∴BE＝＝3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE＝OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2．故答案为：2．三．解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）17．（8分）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：÷+＝＝＝＝＝，∵x＝0，1，﹣1时，原分式无意义，∴x＝﹣2，当x＝﹣2时，原式＝＝﹣1．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝CO，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM＝CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．19．（8分）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表学习时间分组频数频率A组（0≤x＜1）9mB组（1≤x＜2）180.3C组（2≤x＜3）180.3D组（3≤x＜4）n0.2E组（4≤x＜5）30.05（1）频数分布表中m＝0.15，n＝12，并将频数分布直方图补充完整；（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．【分析】（1）频数分布表中m＝0.15，n＝12，并将频数分布直方图补充完整；（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．【解答】解：（1）根据频数分布表可知：m＝1﹣0.3﹣0.3﹣0.2﹣0.05＝0.15，∵18÷0.3＝60，∴n＝60﹣9﹣18﹣18﹣3＝12，补充完整的频数分布直方图如下：故答案为：0.15，12；（2）根据题意可知：1000×（0.15+0.3）＝450（名），答：估计全校需要提醒的学生有450名；（3）设2名男生用A，B表示，1名女生用C表示，根据题意，画出树状图如下：根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为：＝．20．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，∴k≤3．（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，∵＝x1x2﹣4，∴＝x1x2﹣4，∴，∴k＝5或k＝﹣3，由（1）可知：k＝5舍去，∴k＝﹣3．21．（8分）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】（1）在Rt△ACM中，由tanα＝2，MC＝50，可求出AM即可；（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝100，可求出DN，进而求出DM和CD 即可．【解答】解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50，（1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50，∴AM＝2MC＝100＝BN，答：无人机的飞行高度AM为100米；（2）在Rt△BND中，∵tan∠BDN＝，即：tan30°＝，∴DN＝300，∴DM＝DN+MN＝300+50＝350，∴CD＝DM﹣MC＝350﹣50≈264，答：河流的宽度CD约为264米．22．（10分）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）求证：AE•ED＝AC•EF；（3）若EF＝3，tan∠ACE＝时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN 上），求AN的长．【分析】（1）证明△BOE≌△BOC（SSS）可得结论．（2）连接EG．证明△AEC∽△EFG可得结论．（3）过点O作OH⊥AN于H．解直角三角形求出DE＝EC，CD，利用相似三角形的性质求出E，AC，AO，求出AH，HN即可解决问题．【解答】（1）证明：∵CD是直径，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC，∵DE∥OB，∴OB⊥EC，∴OB垂直平分线段EC，∴BE＝EC，OE＝OC，∵OB＝OB，∴△OBE≌△OBC（SSS），∴∠OEB＝∠OCB，∵BC是⊙O的切线，∴OC⊥BC，∴∠OCB＝90°，∴∠OEB＝90°，∴OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线．（2）证明：连接EG．∵CD是直径，∴∠DGC＝90°，∴CG⊥DG，∵CG∥OE，∴OE⊥DG，∴＝，∴DE＝EG，∵AE⊥OE，DG⊥OE，∴AE∥DG，∴∠EAC＝∠GDC，∵∠GDC＝∠GEF，∴∠GEF＝∠EAC，∵∠EGF＝∠ECA，∴△AEC∽△EFG，∴＝，∵EG＝DE，∴AE•DE＝AC•EF．（3）解：过点O作OH⊥AN于H．∵＝，∴∠EDG＝∠ACE，∴tan∠EDF＝tan∠ACE＝＝＝，∵EF＝3，∴DE＝6，EC＝12，CD＝＝6，∵∠AED+∠OED＝90°，∠OED+∠OEC＝90°，∴∠AED＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠AED＝∠ACE，∵∠EAD＝∠EAC，∴△EAD∽△CAE，∴＝═＝，∴可以假设AE＝x，AC＝2x，∵AE2＝AD•AC，∴x2＝（2x﹣6）•2x，解得x＝4（x＝0舍去），∴AE＝4，AC＝8，AD＝2，OA＝5，∵EC∥AN，∴∠OAH＝∠ACE，∴tan∠OAH＝tan∠ACE＝＝，∴OH＝5，AH＝10，∵OH⊥MN，∴HM＝HN，连接OM，则MH＝HN＝＝＝2，∴AN＝AH+HN＝10+2．23．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w 元，由w＝（x﹣3）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣500x+12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，3≤x≤12，设利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元；（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，∵﹣500＜0，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．又∵x为整数，∴14.5＜13.5+0.5m，解得，m＞2，∵1≤m≤6，∴2＜m≤6．24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y 轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出点B，C坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；（2）①先表示出点M，D，P坐标，再分三种情况利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论；②先判断出△AOC∽△COB，得出∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，Ⅰ、当△PNC∽△AOC，得出∠PCN＝∠ACO，进而得出CP∥OB，即可得出结论；Ⅱ、当△PNC∽△COA时，得出∠PCN＝∠CAO，进而得出PC＝PD，即可得出结论．【解答】解：（1）针对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，则0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝，∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，∴m＝2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），即满足条件的m的值为﹣或1或2；②由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣1或x＝4，∴点A（﹣1，0），∴OA＝1，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2，∴，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，∵△PNC与△AOC相似，∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，∴∠PCN＝∠ACO，∴∠PCN＝∠OBC，∴CP∥OB，∴点P的纵坐标为﹣2，∴m2﹣m﹣2＝﹣2，∴m＝0（舍）或m＝3，∴P（3，﹣2）；Ⅱ、当△PNC∽△COA时，∴∠PCN＝∠CAO，∴∠OCB＝∠PCD，∵PD∥OC，∴∠OCB＝∠CDP，∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD，由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵C（0，﹣2），∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，∴2m2﹣m＝，∴m＝，∴P（，﹣），即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．。

2020年湖北省鄂州市中考数学试题和答案

四边形函数综合整理

函数四边形综合一、四边形性质--------点坐标、函数解析式1、如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．（1）求点A、B、D 的坐标；（2）求直线BD的表达式．2、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式．3、如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，且A的坐标为（1，1）．（1）求正比例函数的解析式；（2）已知M，N是y轴上的点，若四边形AMBN是矩形，求M、N的坐标．4、如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC 面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）5、已知，如图，直线y=2x+4与x轴交于点E，与y轴交于点A，点D是直线AE在第一象限上的一点，以AD 为边，在第一象限内做正方形ABCD．（1）若AD=AE，试求点B的坐标；（2）若点B、D恰好在反比例函数上，求反比例函数的解析式．6、如图，正比例函数y=2x与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作AD垂直x轴，垂足为D，过点C作CB垂直x轴，垂足为B，连接AB和CD．已知点A的横坐标为2．（1）求k的值；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形；（3）P、Q两点是坐标轴上的动点（P为正半轴上的点，Q为负半轴上的点），当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形时，求P、Q两点的坐标．7、如图，反比例函数y=（m≠0）的图象过点E（2，﹣6），一次函数y=kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点B、C，与y=的图象在第二象限交于点A，过点A作AD⊥OX，垂足为D，且OB=OD=OC．求反比例函数及一次函数的解析式．8．如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．（1）求点C的坐标；（2）当x为何值时，直线m平分△COB的面积？二、函数-------特殊四边形判定1．（2007•天门）如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为边在第一象限内作正△ABC．（1）求点C的坐标；（2）把△ABO沿直线AC翻折，点B落在点D处，点D是否在经过点C的反比例函数的图象上？说明理由；（3）连接CD，判断四边形ABCD是什么四边形？说明理由．2．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．（3）过A作AC⊥y轴于点C，过B作BD⊥y轴于点D连接AD、BC，试判断四边形ADBC是否是平行四边形？并求出此四边形的面积．3、已知如图，动点P在反比例函数y=﹣（x＜0）的图象上运动，点A点B分别在X轴，Y轴上，且OA=OB=2，PM⊥X轴于M，交AB于点E，PN⊥Y轴于点N，交AB于F；（1）当点P的纵坐标为时，连OE，OF，求E、F两点的坐标及△EOF的面积；（2）动点P在函数y=﹣（x＜0）的图象上移动，它的坐标设为P（a，b）（﹣2＜a＜0，0＜b＜2且|a|≠|b|），其他条件不变，探索：以AE、EF、BF为边的三角形是怎样的三角形？并证明你的结论．4、一次函数y=ax+b的图象分别与x轴，y轴交于点M，N，与反比例函数y=的图象交于点A，B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E，过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于K，连接CD．（1）若点A，B在反比例函数y=的图象的同一分支上，如图1，试证明：AN=BM．（2）若点A，B分别在反比例函数y=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．三、函数-------组成特殊四边形的点坐标个数1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2010•鞍山）已知一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，坐标分别为（﹣2，4）、（4，﹣2）．（1）求两个函数的解析式；（2）结合图象写出y1＜y2时，x的取值范围；（3）求△AOB的面积；（4）是否存在一点P，使以点A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形为菱形？若存在，求出顶点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于M、N两点．（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；（3）在x轴上是否存在点P，使△MOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．4．（2007•常州）已知A（﹣1，m）与B（2，m+3）是反比例函数图象上的两个点．（1）求k的值；（2）若点C（﹣1，0），则在反比例函数图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是_________．四、函数-------四边形--------最值1、已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；（3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．2、如图，直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上移动（0＜x＜3），过点P作直线l与x轴垂直．（1）求点C的坐标；（2）若A点坐标为（0，1），当点P运动到什么位置时，AP+CP最小；（3）设△OBC中位于直线l左侧部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式．3、如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．（只需在图中作出点B，P，保留痕迹，不必写出理由）4、已知反比例函数y=和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A（1，m），请问：在x轴上是否存在点B，使△AOB为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；（3）若直线y=﹣x+交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F，求证：DE•CF为定值．5．（2011•资阳）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y 轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S=S2﹣S1，求S的最大值．。

专题14 二次函数的分类讨论问题(解析版)

专题14 二次函数的分类讨论问题1、已知抛物线y ＝﹣16x 2﹣23x +2与x 轴交于点A ，B 两点，交y 轴于C 点，抛物线的对称轴与x 轴交于H 点，分别以OC 、OA 为边作矩形AECO ．（1）求直线AC 的解析式；（2）如图2，P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M ，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM ﹣OM |的最大值．（3）如图3，将△AOC 沿直线AC 翻折得△ACD ，再将△ACD 沿着直线AC 平移得△A 'C ′D '．使得点A ′、C '在直线AC 上，是否存在这样的点D ′，使得△A ′ED ′为直角三角形？若存在，请求出点D ′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y ＝13x +2；(2) 点M 坐标为（﹣2，53）时，四边形AOCP 的面积最大，此时|PM ﹣OM |有最大值√616； (3)存在，D ′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（−35，195）．【解析】（1）令x ＝0，则y ＝2，令y ＝0，则x ＝2或﹣6，△A （﹣6，0）、B （2，0）、C （0，2），函数对称轴为：x ＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C 点坐标为（0，2），则过点C 的直线表达式为：y ＝kx +2，将点A 坐标代入上式，解得：k =13，则：直线AC 的表达式为：y =13x +2；（2）如图，过点P 作x 轴的垂线交AC 于点H ．四边形AOCP 面积＝△AOC 的面积+△ACP 的面积，四边形AOCP 面积最大时，只需要△ACP 的面积最大即可，设点P 坐标为（m ，−16m 2−23m +2），则点G 坐标为（m ，13m +2），S △ACP =12PG •OA =12•（−16m 2−23m +2−13m ﹣2）•6=−12m 2﹣3m ，当m ＝﹣3时，上式取得最大值，则点P 坐标为（﹣3，52）．连接OP 交对称轴于点M ，此时，|PM ﹣OM |有最大值，直线OP 的表达式为：y =−56x ，当x ＝﹣2时，y =53，即：点M 坐标为（﹣2，53），|PM ﹣OM |的最大值为：|√(−3+2)2+(52−53)2−√22+(53)2|=√616．（3）存在．△AE ＝CD ，△AEC ＝△ADC ＝90°，△EMA ＝△DMC ，△△EAM △△DCM （AAS ），△EM ＝DM ，AM ＝MC ，设：EM ＝a ，则：MC ＝6﹣a ．在Rt△DCM 中，由勾股定理得：MC 2＝DC 2+MD 2，即：（6﹣a ）2＝22+a 2，解得：a =83，则：MC =103，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，交EC 于点H ．在Rt△DMC 中，12DH •MC =12MD •DC ，即：DH ×103=83×2，则：DH =85，HC =√DC 2−DH 2=65，即：点D 的坐标为（−65，185）；设：△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位，则：点A ′坐标（﹣6√10√10），点D ′坐标为（−65+√10185+√10），而点E 坐标为（﹣6，2），则A′D′2=(−6+65)2+(185)2=36，A′E 2=(√10)2+(√102)2=m 2√104，ED′2=(245+√10)2+(85+√10)2=m 2√101285．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论：△当A′D′2+A′E 2=ED′2时，36+m 2−√104=m 2+√101285，解得：m =2√105，此时D ′（−65+√10185+√10）为（0，4）；△当A′D′2+ED′2=A′E 2时，36+m 2+10+1285=m 210+4，解得：m =−8√105，此时D ′（−6510185+10）为（－6，2）；△当A′E 2+ED′2=A′D′2时，m 2√10+4+m 2√101285=36，解得：m =−8√105或m =√105，此时D ′（−65√10185√10）为（－6，2）或（−35，195）．综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（−35，195）．2、已知抛物线1l :212y ax =-的项点为P ，交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin ABP ∠=．(1)求抛物线1l 的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ,交y 轴于点D ,若ABC ∆的面积被y 轴分为1: 4两个部分，求直线AC 的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180°得到抛物线2l ,点M 为抛物线2l 上一点，当点M 的横坐标为何值时，BDM ∆为直角三角形？【答案】（1）21128y x =-；（2）直线AC 的解析式为114y x =+；（3）点M 横坐标为16-+16--16-+16--BDM ∆为Rt ∆．【解析】（1）当0x =时，2122y ax =-=- △顶点()0,2P -，2OP = △90BOP ∠=︒，△sin OP ABP BP ∠==△BP ==△4OB ===△()4,0B ，代入抛物线1l 得：1620a -=，解得18a =，△抛物线1l 的函数解析式为21128y x =- （2）△知抛物线1l 交x 轴于A 、B 两点 △A 、B 关于y 轴对称，即()4,0-A △8AB =设直线AC 解析式：y kx b =+点A 代入得：40k b -+= △4b k =△直线AC ：4y kx k =+，()0,4D k △14|4|8||2AOD BOD S S k k ∆∆==⨯⨯= △21248x kx k -=+，整理得：2832160x kx k ---= △128x x k += △14x =-△284C x x k ==+，()284488C y k k k k k =++=+△2(84,88)C k k k ++ △21||32||2ABC C S AB y k k ∆=⋅=+ △若0k >，则:=1:4AOD OBCD S S ∆四边形 △15AOD ABC S S ∆∆= △()218325k k k =⨯+ 解得：10k =（舍去），214k = △直线AC 的解析式为114y x =+ △若k 0<，则8AOD BOD S S k ∆∆==-，()232ABC S k k ∆=-+△()218|32|5k k k -=⨯-+解得：10k =（舍去），214k =（舍去）综上所述，直线AC 的解析式为114y x =+. （3）由（2）得：()0,1D ，()4,0B△抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180︒得到抛物线2l △抛物线2l 解析式为：22128y x =-- 设点M 坐标为21(,2)8m m --△若90BDM ∠=︒，如图1，则0m < 过M 作MN y ⊥轴于点N△90MND BOD BDM ∠=∠=∠=︒，MN m =-，22111(2)388DN m m =---=+ △90MDN BDO MDN DMN ∠+∠=∠+∠=︒ △BDO DMN ∠=∠ △BDO DMN ∆∆△BO ODDN MN=，即BO MN DN OD ⋅=⋅ △21438m m -=+解得：116m =-+，216m =--△若90DBM ∠=︒，如图2，过点M 作MQ x ⊥轴于点Q△90BQM DBM BDM ∠=∠=∠=︒，4BQ m =-，2211(2)288MQ m m =---=+ △90BMQ MBQ MBQ DBO ∠+∠=∠+∠=︒△BMQ DBO ∠=∠ △BMQ DBO ∆∆△BQ MQDO BO=，即BQ BO MQ OD ⋅=⋅△()214428m m -=+解得：116m =-+216m =--△若90BMD ∠=︒，则点M 在以BD 为直径的圆除点B 、D 外的圆周上显然以AB 为真径的圆与抛物线2l 无交点，故此情况不存在满足的m综上所述，点M 横坐标为16-+16--16-+16--BDM ∆为Rt ∆. 3、已知：如图，一次函数y=12x+1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=12x 2+bx+c 的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上有一动点P ，从O 点出发以每秒1个单位的速度沿x 轴向右运动，是否存在点P 使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 运动的时间t 的值，若不存在，请说明理由．（4）若动点P 在x 轴上，动点Q 在射线AC 上，同时从A 点出发，点P 沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q 以每秒a 个单位的速度沿射线AC 运动，是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．【答案】△y =12x 2−32x +1;(2)92;(3)t =1或3;(4)a =23√5或65√5【解析】（1）将B （0，1），D （1，0）的坐标代入y=12x 2+bx+c ，得：{c ＝1b +c +12＝0，解得：{b ＝−32c ＝1故解析式y=12x 2−32x +1；（2）设C （x 0，y 0），则有 {y 0＝12x 0+1y 0＝12x 02−32x 0+1 ，解得{x 0＝4y 0＝3， △C （4，3），由图可知：S=S △ACE -S △ABD ，又由对称轴为x=32可知E （2，0），△S=12AE•y 0-12AD×OB=12×4×3-12×3×1=92；（3）设符合条件的点P 存在，令P （t ，0）：当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF△x 轴于F ；△Rt△BOP△Rt△PCF ， △BOPF＝OP CF ，即 14−t ＝t3，整理得t 2-4t+3=0，解得a=1或a=3；故可得t=1或3．（4）存在符合条件的a 值，使△APQ 与△ABD 相似， △当△APQ△△ABD 时，AP AB＝AQAD ，解得：a=6√55；△当△APQ△△ADB 时，AP AD＝AQ AB ，解得：a=2√53，△存在符合条件的a 值，使△APQ 与△ABD 相似，a=6√55或2√53．4、已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【思路引导】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则CM =，AC ==AM =AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标．【解析】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠，将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中，得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+．当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则CM =，AC ==AM =分三种情况考虑：①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【方法总结】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．5、如图，动直线 y ＝kx+2（k ＞0）与 y 轴交于点 F ，与抛物线 y ＝14x 2+1 相交于A ，B 两点，过点 A ，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C ，D ，连接 CF ，DF ，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．【答案】△CFD 是直角三角形．见解析。

2020年湖北省鄂州市中考数学试卷和答案解析

2020年湖北省鄂州市中考数学试卷和答案解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2020的相反数是（）A．2020B．﹣C．D．﹣2020解析：根据相反数的定义解答即可．【解答】解：﹣2020的相反数是2020，故选：A．点拨：本题主要考查了相反数的定义，解答此题的关键是：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）下列运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．（﹣2x）3＝﹣6x3C．2x3•3x2＝6x5D．（3x+2）（2﹣3x）＝9x2﹣4解析：利用合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式进行计算即可．【解答】解：A、2x+3x＝5x，故原题计算错误；B、（﹣2x）3＝﹣8x3，故原题计算错误；C、2x3•3x2＝6x5，故原题计算正确；D、（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2，故原题计算错误；故选：C．点拨：此题主要考查了整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式．3．（3分）如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（）A．B．C．D．解析：俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上面看，第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形．故选：A．点拨：本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．4．（3分）面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（）A．0.21×108B．2.1×108C．2.1×109D．0.21×1010解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：21亿＝2100000000＝2.1×109．故选：C．点拨：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n 值是关键．5．（3分）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．65°解析：先根据三角形内角和定理求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2+∠4＝∠3，最后根据∠2＝∠3﹣∠4计算即可得到答案．【解答】解：如图：∵∠1＝65°，∠1+45°+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣45°﹣65°＝70°，∵a∥b，∴∠4+∠2＝∠3＝70°，∵∠4＝45°，∴∠2＝70°﹣∠4＝70°﹣45°＝25°．故选：A．点拨：本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟记性质和定理是解题的关键．6．（3分）一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（）A．4B．5C．7D．9解析：根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义即可得出答案．【解答】解：∵数据4，5，x，7，9的平均数为6，∴x＝6×5﹣4﹣5﹣7﹣9＝5，∴这组数据的众数为5；故选：B．点拨：此题主要考查了确定一组数据的众数的能力，解题的关键是能够利用平均数的定义求得x的值，比较简单．7．（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%解析：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，根据到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．故选：C．点拨：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（3分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA ＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．1解析：由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠ADB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB ＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出OM平分∠AMD，④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴OM平分∠AMD，故④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△OMD（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；正确的个数有3个；故选：B．点拨：本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．【解答】解：①∵由抛物线的开口向上知a＞0，∵对称轴位于y轴的右侧，∴b＜0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0；故错误；②对称轴为x＝﹣＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，故错误；③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，故正确；④∵当x＝﹣1时，y＝0，∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．故正确．综上所述，有2个结论正确．故选：B．点拨：本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．10．（3分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．（2，0）B．（0，）C．（0，）D．（0，2）解析：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1（1，1），∴OB1＝2，设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1，解得m＝﹣1，∴OB 2＝2，设A 3（a，2+n），则有n＝a（2+a）＝1，解得a＝﹣，∴OB 3＝2，同法可得，OB 4＝2，∴OB n＝2，∴B n（0，2）．故选：D．点拨：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．二．填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：2m2﹣12m+18＝2（m﹣3）2．解析：直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．【解答】解：原式＝2（m2﹣6m+9）＝2（m﹣3）2．故答案为：2（m﹣3）2．点拨：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．12．（3分）关于x的不等式组的解集是2＜x≤5．解析：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．【解答】解：由①得：x＞2，由②得：x≤5，所以不等式组的解集为：2＜x≤5，故答案为2＜x≤5．点拨：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．13．（3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为．解析：根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径．【解答】解：设圆锥底面的半径为r，扇形的弧长为：＝π，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴根据题意得2πr＝π，解得：r＝．故答案为：．点拨：本题考查的是圆锥的计算，掌握弧长公式、周长公式和圆锥与扇形的对应关系是解题的关键．14．（3分）如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为﹣9．解析：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A （x，），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得得到关于k的方程，可求得k的值．【解答】解：∵点A是反比例函数y＝（x＜0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC＝x，AC＝，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB＝3OA，∴＝＝＝，∴OD＝3AC＝，BD＝3OC＝3x，∴B（，﹣3x），∵点B反比例函数y＝图象上，∴k＝×（﹣3x）＝﹣9，故答案为：﹣9．点拨：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A点坐标表示出B点坐标是解题的关键．15．（3分）如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD 的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动1或（11+6）秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．解析：分两种情形：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，如图2中，当点C，D落在⊙O上时，分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）如图2中，当点C，D落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．故答案为1或（11+6）．点拨：本题考查切线的性质，正方形的性质，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．（3分）如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为2．解析：在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝，可得OB＝4，OA＝，得角OBA＝30°，根据PQ切⊙O于Q 点可得OQ⊥PQ，由OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长．【解答】解：如图，在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝，∴OB＝4，OA＝，∴tan∠OBA＝＝，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ＝，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP＝OB＝2，此时PQ＝＝，BP＝＝2，∴OQ＝OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP＝BP＝，∴BE＝＝3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE＝OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2．故答案为：2．点拨：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．三．解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）17．（8分）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．解析：根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：÷+＝＝＝＝＝，∵x＝0，1，﹣1时，原分式无意义，∴x＝﹣2，当x＝﹣2时，原式＝＝﹣1．点拨：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．解析：（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝CO，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM＝CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．点拨：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．19．（8分）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表学习时间分组频数频率A组（0≤x＜1）9mB组（1≤x＜2）180.3C组（2≤x＜3）180.3D组（3≤x＜4）n0.2E组（4≤x＜5）30.05（1）频数分布表中m＝0.15，n＝12，并将频数分布直方图补充完整；（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．解析：（1）频数分布表中m＝0.15，n＝12，并将频数分布直方图补充完整；（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．【解答】解：（1）根据频数分布表可知：m＝1﹣0.3﹣0.3﹣0.2﹣0.05＝0.15，∵18÷0.3＝60，∴n＝60﹣9﹣18﹣18﹣3＝12，补充完整的频数分布直方图如下：故答案为：0.15，12；（2）根据题意可知：1000×（0.15+0.3）＝450（名），答：估计全校需要提醒的学生有450名；（3）设2名男生用A，B表示，1名女生用C表示，根据题意，画出树状图如下：根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为：＝．点拨：本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数分布表、频数分布直方图，解决本题的关键是掌握概率公式．20．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．解析：（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，∴k≤3．（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，∵＝x1x2﹣4，∴＝x1x2﹣4，∴，∴k＝5或k＝﹣3，由（1）可知：k＝5舍去，∴k＝﹣3．点拨：本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于基础题型．21．（8分）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）解析：（1）在Rt△ACM中，由tanα＝2，MC＝50，可求出AM 即可；（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝100，可求出DN，进而求出DM和CD即可．【解答】解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50，（1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50，∴AM＝2MC＝100＝BN，答：无人机的飞行高度AM为100米；（2）在Rt△BND中，∵tan∠BDN＝，即：tan30°＝，∴DN＝300，∴DM＝DN+MN＝300+50＝350，∴CD＝DM﹣MC＝350﹣50≈264，答：河流的宽度CD约为264米．点拨：本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．22．（10分）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）求证：AE•ED＝AC•EF；（3）若EF＝3，tan∠ACE＝时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．解析：（1）证明△BOE≌△BOC（SSS）可得结论．（2）连接EG．证明△AEC∽△EFG可得结论．（3）过点O作OH⊥AN于H．解直角三角形求出DE＝EC，CD，利用相似三角形的性质求出E，AC，AO，求出AH，HN即可解决问题．【解答】（1）证明：∵CD是直径，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC，∵DE∥OB，∴OB⊥EC，∴OB垂直平分线段EC，∴BE＝EC，OE＝OC，∵OB＝OB，∴△OBE≌△OBC（SSS），∴∠OEB＝∠OCB，∵BC是⊙O的切线，∴OC⊥BC，∴∠OCB＝90°，∴∠OEB＝90°，∴OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线．（2）证明：连接EG．∵CD是直径，∴∠DGC＝90°，∴CG⊥DG，∵CG∥OE，∴OE⊥DG，∴＝，∴DE＝EG，∵AE⊥OE，DG⊥OE，∴AE∥DG，∴∠EAC＝∠GDC，∵∠GDC＝∠GEF，∴∠GEF＝∠EAC，∵∠EGF＝∠ECA，∴△AEC∽△EFG，∴＝，∵EG＝DE，∴AE•DE＝AC•EF．（3）解：过点O作OH⊥AN于H．∵＝，∴∠EDG＝∠ACE，∴tan∠EDF＝tan∠ACE＝＝＝，∵EF＝3，∴DE＝6，EC＝12，CD＝＝6，∵∠AED+∠OED＝90°，∠OED+∠OEC＝90°，∴∠AED＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠AED＝∠ACE，∵∠EAD＝∠EAC，∴△EAD∽△CAE，∴＝═＝，∴可以假设AE＝x，AC＝2x，∵AE2＝AD•AC，∴x2＝（2x﹣6）•2x，解得x＝4（x＝0舍去），∴AE＝4，AC＝8，AD＝2，OA＝5，∵EC∥AN，∴∠OAH＝∠ACE，∴tan∠OAH＝tan∠ACE＝＝，∴OH＝5，AH＝10，∵OH⊥MN，∴HM＝HN，连接OM，则MH＝HN＝＝＝2，∴AN＝AH+HN＝10+2．点拨：本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．23．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．解析：（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣3）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣500x+12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，3≤x≤12，设利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元；（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，∵﹣500＜0，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3，∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．点拨：本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）先求出点B，C坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；（2）①先表示出点M，D，P坐标，再分三种情况利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论；②先判断出△AOC∽△COB，得出∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，Ⅰ、当△PNC∽△AOC，得出∠PCN＝∠ACO，进而得出CP∥OB，即可得出结论；Ⅱ、当△PNC∽△COA时，得出∠PCN＝∠CAO，进而得出PC＝PD，即可得出结论．【解答】解：（1）针对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，则0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝，∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，∴m＝2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），即满足条件的m的值为﹣或1或2；②由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣1或x＝4，∴点A（﹣1，0），∴OA＝1，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2，∴，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，∵△PNC与△AOC相似，∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，∴∠PCN＝∠ACO，∴∠PCN＝∠OBC，∴CP∥OB，∴点P的纵坐标为﹣2，∴m2﹣m﹣2＝﹣2，∴m＝0（舍）或m＝3，∴P（3，﹣2）；Ⅱ、当△PNC∽△COA时，∴∠PCN＝∠CAO，∴∠OCB＝∠PCD，∵PD∥OC，∴∠OCB＝∠CDP，∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD，由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵C（0，﹣2），∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，∴2m2﹣m＝，∴m＝，∴P（，﹣），即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．点拨：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．。

专题2.2 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题(原卷版)

第二关以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数竞赛中也有二次函数大题，很多生在有限的时间内都不能很好完成。

由于在高中和大中很多数知识都与函数知识或函数的思想有关，生在初中阶段函数知识和函数思维方法得好否，直接关系到未来数的习。

以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题主要考查了生的数形结合能力及综合分析问题的能力，这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。

解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。

此类问题较多地关注生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。

【解题思路】等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．②代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.【典型例题】【例1】如图，已知抛物线y=﹣214x +bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC 、BC ，求线段BC 所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣14x 2+32x+4；（2）直线BC 的解析式为：y=﹣12x+4；（3）存在，存在点P ，使△ACP 为等腰三角形，点P 的坐标为：P 1（3，0），P 2（3，4+11），P 3（3，4﹣11）．【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）在抛物线解析式中，令x =0，可求出点C 坐标；令y =0，可求出点B 坐标．再利用待定系数法求出直线BD 的解析式；（3）本问为存在型问题．若△ACP 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解：（1）∵抛物线y =﹣14x 2+bx +4的图象经过点A （﹣2，0）， ∴﹣14×（﹣2）2+b ×（﹣2）+4=0，解得：b =32，∴抛物线解析式为 y =﹣14x 2+32x +4，又∵y =﹣14x 2+32x +4=﹣14（x ﹣3）2+254，∴对称轴方程为：x =3．（2）在y =﹣14x 2+32x +4中，令x =0，得y =4， ∴C （0，4）；令y =0，即﹣14x 2+32x +4=0，整理得x 2﹣6x ﹣16=0，解得：x =8或x =﹣2， ∴A （﹣2，0），B （8，0）．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，把B （8，0），C （0，4）的坐标分别代入解析式，得：80{ 4k b b +==，解得： 1{ 24k b =-=，∴直线BC 的解析式为：y =﹣12x +4．（3）存在，理由：∵抛物线的对称轴方程为：x =3，可设点P （3，t ），∵A （﹣2，0），C （0，4），∴AC =25，AQ =225t +，CQ =()249t -+．①当AQ =CQ 时，有225t +=()249t -+，25+t 2=t 2﹣8t +16+9，解得t =0， ∴P 1（3，0）； ②当AC =AP 时，有25=225t +， ∴t 2=﹣5，此方程无实数根， ∴此时△ACP 不能构成等腰三角形； ③当AC =CP 时，有25=()249t -+，整理得：t 2﹣8t +5=0，解得：t =4±11，∴点P 坐标为：P 2（3，4+11），P 3（3，4﹣11）．综上所述，存在点P ，使△ACP 为等腰三角形，点P 的坐标为：P 1（3，0），P 2（3，4+11），P 3（3，4﹣11）．【名师点睛】本题考查了二次函数和一次函数的性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定及性质等知识，题目较综合，难度较大，解题的关键是会分类讨论，能够做到不重不漏，同时会利用方程思想解决问题.【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA=QA ？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21566y x x =-，直角三角形；（2）103；（3）M 1（52，205192+），M 2（52，205192-），M 3（52，5192），M 4（52，5192-）．【解析】试题分析：（1）先确定出点A ，B 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；（2）根据运动表示出OP=2t ，CQ=10﹣t ，判断出Rt △AOP ≌Rt △ACQ ，得到OP=CQ 即可；（3）分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式计算即可．试题解析：（1）∵直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，∴A （5，0），B （0，10），∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为2y ax bx =+，∵抛物线过点B （0，10），C （8，4），∴25506484a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴1656a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为21566y x x =-，∵A （5，0），B （0，10），C （8，4），∴2AB =22512+=125，2BC =228(85)+-=100，2AC =224(85)+-=25，∴222AC BC AB +=，∴△ABC 是直角三角形．（2）如图1，当P ，Q 运动t 秒，即OP=2t ，CQ=10﹣t 时，由（1）得，AC=OA ，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt △AOP 和Rt △ACQ 中，∵AC=OA ，PA=QA ，∴Rt △AOP ≌Rt △ACQ ，∴OP=CQ ，∴2t=10﹣t ，∴t=103，∴当运动时间为103时，PA=QA ；（3）存在，∵21566y x x =-，∴抛物线的对称轴为x=52，∵A （5，0），B （0，10），∴AB=55设点M （52，m ）； ①若BM=BA 时，∴225()(10)1252m +-=，∴m 1=205192+，m 2=205192-，∴M 1（52，205192+），M 2（52，205192-）； ②若AM=AB 时，∴225()1252m +=，∴m 3=5192，m 4=5192-，∴M 3（52，5192），M 4（52，5192-）； ③若MA=MB 时，∴222255(5)()(10)22m m -+=+-，∴m=5，∴M （52，5），此时点M 恰好是线段AB 的中点，构不成三角形，舍去； ∴点M 的坐标为：M 1（52，205192+），M 2（52，205192-），M 3（52，5192），M 4（52，5192-）．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．【名师点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、三角形的全等的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，要考查了解本题的关键是分情况讨论，也是本题的难点，属于中考压轴题，难度较大．【例3】如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MA C 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c =++中，得：，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2ba-=1，故P （1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2ba-=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则： 2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1；②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-；当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M（1，6）（1，6）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定及性质等知识，题目较综合，难度较大，解题的关键是判定等腰三角形时，一定要进行分类讨论，做到不重不漏. 【方法归纳】首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。

2020年中考数学一轮复习基础考点题型练：《反比例函数》(含答案)

2020年中考数学一轮复习基础考点题型练：《反比例函数》一．选择题1．下列函数中，其图象经过原点的是（）A ．y ＝2x ﹣3B ．y ＝C ．y ＝x 2﹣1D ．y ＝2．已知函数y ＝的图象过点（2，﹣3），则该函数的图象必在（）A ．第二、三象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限D ．第三、四象限 3．若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）在反比例函数y ＝（k ＜0）的图象上，且y 1＞0＞y 2＞y 3，则下列各式正确的是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 1＜x 3C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 3＜x 2＜x 14．如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数y ＝的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则k 的值是（）A ．1B ．﹣2C ．﹣1D ．﹣5．如图，已知直线y ＝x 与双曲线y ＝（k ＞0）交于A 、B 两点，A 点的横坐标为3，则下列结论：①k ＝6；②A 点与B 点关于原点O 中心对称；③关于x 的不等式＜0的解集为x ＜﹣3或0＜x ＜3；④若双曲线y ＝（k ＞0）上有一点C 的纵坐标为6，则△AOC 的面积为8，其中正确结论的个数（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABC D沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线上则a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象分别与x轴的正半轴和负半轴交于A、B两点，且OA＜OB，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．8．如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝6，点C在x轴的负半轴上，将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（）A．4B．12 C．8D．69．如图，A 、B 两点在双曲线y ＝上，分别经过点A 、B 两点向x 、y 轴作垂线段，已知S 阴影＝2，则S 1+S 2＝（）A ．3B ．4C ．5D ．610．如图所示，是反比例函数y ＝与y ＝在x 轴上方的图象，点C 是y 轴正半轴上的一点，过点C 作AB ∥x 轴分别交这两个图象于A 点和B 点，若点P 在x 轴上运动，则△ABP 的面积等于（）A ．5B ．4C ．10D ．2011．已知反比例函数的图象经过点P （4，﹣1），则该反比例函数的图象所在的象限是（）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限 12．如图，过点O 作直线与双曲线y ＝（k ≠0）交于A 、B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴，y 轴上分别取点E 、F ，使点A 、E 、F 在同一条直线上，且AE ＝AF ．设图中矩形ODBC 的面积为S 1，△EOF 的面积为S 2，则S 1、S 2的数量关系是（）A ．S 1＝S 2B ．2S 1＝S 2C ．3S 1＝S 2D ．4S 1＝S 213．已知正比例函数y ＝mx 图象与反比例函数y ＝图象的一个交点是A （3，1），则不等式mx ＜的解集是．14．如图，过双曲线y ＝上的A 、B 两点分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、E 、D 、F ，AC 、BF 相交于点G ，矩形ADFG 和矩形BECG 的面积分别为S 1、S 2，若S 阴影＝1，则S 1+S 2＝．15．如图，平行四边形ABOC 的顶点A 、C 分别在y 轴和x 轴上，顶点B 在反比例函数的图象上，则平行四边形ABOC 的面积是．16．在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD ＝3AD ，且△ODE 的面积为15，则k 的值是．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣4x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，点D 在双曲线y ＝上；将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移a 个单位长度后，点C 恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a 的值是．18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AB与反比例函数y＝（m＞0）在第一象限的图象交于点C、点D，其中点C的坐标为（1，8），点D的坐标为（4，n）．（1）分别求m、n的值；（2）连接OD，求△ADO的面积．19．已知在平面直角坐标中，点A（m，n）在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y ＝的图象经过点A，（1）当点B的坐标为（4，0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；（2）当点B在反比例函数y＝的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n 的代数式表示点B的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求的值．20．如图，已知直线y ＝ax +b 与双曲线y ＝（x ＞0）交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，点A 与点B 不重合，直线AB 与x 轴交于点P （x 0，0），与y 轴交于点C（1）若A 、B 两点坐标分别为（1，4），（4，y 2），求点P 的坐标；（2）若b ＝y 1+1，x 0＝6，且y 1＝2y 2，求A ，B 两点的坐标；（3）若将（1）中的点A ，B 绕原点O 顺时针旋转90°，A 点对应的点为A ′，B 点的对应点为B ′点，连接AB ′，A ′B ′，动点M 从A 点出发沿线段AB ′以每秒1个单位长度的速度向终点B ′运动；动点N 同时从B ′点出发沿线段B ′A ′以每秒1个单位长度的速度向终点A ′运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB ′为等腰直角三角形的t 值，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．21．如图，反比例函数的图象经过点C ，过点C 作y 轴、x 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，过点P （0，4）的直线交直线AC 于点D 、交直线OB 于点E ．（1）若PD ＝DE ，直线PD 平分矩形AOBC 的面积直接写出：S 矩形AOBC ＝，直线PD 的解析式：；（2）在（1）的条件下，将过点P 的直线绕点P 旋转，连接DO ，若DO 平分∠ADE ，求旋转后直线的解析式：．（3）在（1）的条件下，将过点P 的直线沿y 轴平移，再将矩形ABCD 沿过点P 的直线翻折，使点O 落在反比例函数图象上M 点处，求M 点的坐标．参考答案一．选择题1．解：A 、当x ＝0时，y ＝﹣3，（0，0）不在y ＝2x ﹣3上；B 、反比例函数一定不过原点；C 、当x ＝0时，y ＝﹣1，（0，0）不在y ＝x 2﹣1上．D ．x ＝0时，y ＝0，综上可得：只有D 正确．故选：D ．2．解：∵函数y ＝的图象过点（2，﹣3），∴k ＝2×（﹣3）＝﹣6＜0，∴函数的图象在二、四象限，故选：B ．3．解：∵反比例函数为y ＝（k ＜0），∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，又∵y 1＞0＞y 2＞y 3，∴x 1＜0，x 2＞x 3＞0，∴x 1＜x 3＜x 2，故选：C ．4．解：作PE ⊥x 轴于E ，PF ⊥y 轴于F ，如图，∵点P 为矩形AOBC 对角线的交点，∴矩形OEPF 的面积＝矩形AOBC 的面积＝×4＝1，∴|k |＝1，而k ＜0，∴k＝﹣1，故选：C．5．解：①∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，∴点A的纵坐标为：y＝×3＝2，∴点A（3，2），∴k＝3×2＝6，故①正确；②∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）是中心对称图形，∴A点与B点关于原点O中心对称，故②正确；③∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，∴B（﹣3，﹣2），∴关于x的不等式＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3，故③正确；④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，∵点C的纵坐标为6，∴把y＝6代入y＝得：x＝1，∴点C（1，6），∴S△AOC ＝S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE＝S梯形AEDC＝×（2+6）×（3﹣1）＝8，故④正确；故选：A．6．解：（1）作DF⊥x轴于点F．在y＝﹣3x+3中，令x＝0，则y＝3，即B（0，2），令y＝0，则x＝1，即A（1，0），则OB＝2，OA＝1，∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAF＝90°，∵Rt△ABO中，∠BAO+∠DAF＝90°，∴∠DAF＝∠OBA，在△OAB与△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），∴AF＝OB＝2，DF＝OA＝1，∴OF＝3，∴D（3，1），∵点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴1＝，解得k＝3；作CE⊥y轴，交反比例函数的图象于点G，∵同（1）可得△OAB≌△EBC，∴OB＝EC＝2，OA＝BE＝1，∴OE＝3，C（2，3），∵点C的纵坐标是3，∴G（1，3），∴CG＝1，即m＝1．故选：A．7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象分别与x轴的正半轴和负半轴交于A、B两点，且OA ＜OB，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴一次函数y＝ax+b的图象在第二、三、四象限，反比例函数y ＝的图象在第二、四象限，故选：D ．8．解：由题意可得，OA ＝2，AF ＝2，∴∠AFO ＝∠AOF ，∵AB ∥OF ，∠BAO ＝∠OAF ，∴∠BAO ＝∠AOF ，∠BAF +∠AFO ＝180°，解得，∠BAO ＝60°，∴∠DOC ＝60°，∵AO ＝2，AD ＝6，∴OD ＝4，∴点D 的横坐标是：﹣4×cos60°＝﹣2，纵坐标为：﹣4×sin60°＝﹣2， ∴点D 的坐标为（﹣2，﹣2），∵D 在反比例函数y ＝（x ＜0）的图象上， ∴﹣2＝，得k ＝4，故选：A ．9．解：根据题意得S 1+S 阴影＝S 2+S 阴影＝4，而S 阴影＝2，所以S 1＝S 2＝2，所以S 1+S 2＝4．故选：B ．10．解：设点A （a ，）∵AB ∥x 轴∴点B 纵坐标为，且点B 在反比例函数y ＝图象上， ∴点B 坐标（﹣，） ∴S △ABP ＝（a +）×＝5 故选：A ．11．解：设反比例函数的解析式为y ＝，∵反比例函数的图象经过点P （4，﹣1），可得k ＝﹣4＜0，则它的图象在第二、四象限．故选：D ．12．解：设A 点坐标为（m ，﹣n ），过点O 的直线与双曲线y ＝交于A 、B 两点，则A 、B 两点关与原点对称，则B 的坐标为（﹣m ，n ）；矩形OCBD 中，易得OD ＝n ，OC ＝m ；则S 1＝mn ；在Rt △EOF 中，AE ＝AF ，故A 为EF 中点，由中位线的性质可得OF ＝2n ，OE ＝2m ；则S 2＝OF ×OE ＝2mn ；故2S 1＝S 2．故选：B ．二．填空题（共5小题）13．解：∵正比例函数y ＝mx 图象与反比例函数y ＝图象的一个交点是A （3，1）， ∴另一交点B 为（﹣3，﹣1）．观察函数图象，发现：当x ＜﹣3或0＜x ＜3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，∴mx ＜的解集是0＜x ＜3或x ＜﹣3故答案为0＜x ＜3或x ＜﹣3．14．解：∵过双曲线y＝上的A、B两点分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、E，∴S1+S阴影＝S2+S阴影＝3，∵S阴影＝1，∴S1＝S2＝2，∴S1+S2＝4，故答案为4．15．解：作BD⊥x轴于D，∴四边形AODB是矩形，∵顶点B在反比例函数的图象上，∴四边形AODB的面积为3，∵平行四边形ABOC的面积＝矩形AODB的面积，∴平行四边形ABOC的面积为3，故答案为3．16．解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b）∵D、E在反比例函数的图象上，∴＝k，设E的坐标为（a，y），∴ay＝k∴E（a，），∵S△ODE ＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣••（b﹣）＝15，∴4k﹣k﹣+＝15，解得：k＝8，故答案为：8．17．解：当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），当y＝0时，x＝1，∴A（1，0），∴OA＝1，OB＝4，∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，过点D、C作DM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足为M、N，∴∠ABO＝∠BCN＝∠DAM，∵∠AOB＝∠BNC＝∠AMD＝90°，∴△AOB≌△BNC≌△DMA（AAS），∴OA＝DM＝BN＝1，AM＝OB＝CN＝4∴OM＝1+4＝5，ON＝4+1＝5，∴C（4，5），D（5，1），把D（5，1）代入y＝得：k＝5，∴y＝，当y＝5时，x＝1，∴E（1，5），点C向左平移到E时，平移距离为4﹣1＝3，即：a＝3，故答案为：3．三．解答题（共4小题）18．解：（1）∵反比例函数y＝（m＞0）在第一象限的图象交于点C（1，8），∴8＝，∴m＝8，∴函数解析式为y＝，将D（4，n）代入y＝得，n＝＝2．（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意得，解得，∴直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+10，令x＝0，则y＝10，∴A（0，10），∴△ADO的面积＝＝20．19．解：（1）过A作AC⊥OB，交x轴于点C，∵OA＝AB，∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AC＝OC＝BC＝OB＝2，∴A（2，2），将x＝2，y＝2代入反比例解析式得：2＝，即k＝4，则反比例解析式为y＝；（2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，∵∠OAB＝90°，∴∠OAE+∠BAD＝90°，∵∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠BAD＝∠AOE，在△AOE和△BAD中，，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE＝BD＝n，OE＝A D＝m，∴DE＝AE﹣AD＝n﹣m，OE+BD＝m+n，则B（m+n，n﹣m）；（3）由A与B都在反比例图象上，得到mn＝（m+n）（n﹣m），整理得：n2﹣m2＝mn，即（）2+﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵△＝1+4＝5，∴＝，∵A（m，n）在第一象限，∴m＞0，n＞0，则＝．20．解：（1）∵直线y＝ax+b与双曲线y＝（x＞0）交于A（1，4）∴k＝1×4＝4，∴y＝，∵B （4，y 2）在反比例函数的图象上，∴y 2＝＝1，∴B （4，1），∵直线y ＝ax +b 经过A 、B 两点， ∴，解得，∴直线为y ＝﹣x +5，令y ＝0，则x ＝5，∴P （5，0）；（2）如图，作AD ⊥y 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，BG ⊥y 轴于G ，AE 、BG 交于H ，则AD ∥BG ∥x 轴，AE ∥BF ∥y 轴， ∴＝，＝＝，∵b ＝y 1+1，y 1＝2y 2， ∴＝，＝＝，∴B （， y 1），∵A ，B 两点都是反比例函数图象上的点， ∴x 1•y 1＝•y 1，解得x 1＝2，代入＝，解得y 1＝2，∴A （2，2），B （4，1）；（3）存在，如图2，∵A 、B 两点坐标分别为（1，4），（4，1），将B 绕原点O 顺时针旋转90°， ∴B ′（1，﹣4），∴AB ′＝8，由题意得：AM ＝BN ＝t ，∴B ′M ＝8﹣t ，∵△MNB ′为等腰直角三角形，∴①当∠B ′N 1M 1＝90°，即B ′M 1＝B ′N 1， ∴8﹣t ＝t ，解得：t ＝8﹣8；②当∠B ′M 2N 2＝90°，即B ′N 2＝B ′M 2， ∴t ＝（8﹣t ），解得：t ＝16﹣8；综上所述，t 的值为8﹣8或16﹣8．21．解：（1）∵AD ∥OE ，PD ＝DE ，OP ＝4，∴PA ＝AO ＝2，∴C （4，2），∴S 矩形ACBO ＝2×4＝8，∵PD 平分矩形ACBO 的面积，∴直线PE 经过OC 的中点（2，1）设直线PD 的解析式为y ＝kx +b ，则有，∴直线PD 的解析式为y ＝﹣x +4．故答案为8，y＝﹣x+4（2）如图，连接OD．∵OD平分∠ADE，∴∠ADO＝∠ODE，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∴∠DOE＝∠EDO，∴OE＝DE＝PD，∴PE＝2OE，∴∠OPE＝30°，∴OE＝OP•tan30°＝，∴E（，0），∴直线PE的解析式为y＝﹣x+4，根据对称性可知：直线y＝x+4也满足条件，故答案为y＝±x﹣4（3）如图，作OM⊥PE交反比例函数的图象于M，点M即为所求．∵OM⊥PE，∴直线OM的解析式为y＝x，由，解得或（舍弃），∴M（2，）．。

苏教版中考模拟考试《数学卷》含答案解析

苏教版数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________ 一．选择题(共10小题)1.12-的倒数是( )A. B. C.12- D.122.计算2(2)--的结果是( )A. 2B. ﹣2C. ﹣4D. 43.2018年苏州市GDP(国内生产总值)约为1860 000 000 000元．该数据可用科学记数法表示为( )A. 1860×109B. 186×1010C. 18.6×1011D. 1.86×10124.一组数据5，4，2，5，6中位数是( )A 5 B. 4 C. 2 D. 65.若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+32y2的值是( )A. ﹣2B. ﹣12C.32D. 46.对于二次函数,下列说法正确的是( )A. 当x>0，y随x的增大而增大B. 当x=2时，y有最大值－3C. 图像的顶点坐标为(－2，－7)D. 图像与x轴有两个交点7.如图，D是△ABC的边AB的延长线上一点，DE∥BC，若∠A＝32°，∠D＝56°．则∠C的度数是( )A. 16°B. 20°C. 24°D. 28°8.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD ＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于( )A. 8cmB. 9 cmC. 10 cmD. 11 cm9.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为( )A 6 B. 8 C. 10 D. 1210.如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点(可与点B或C重合)，分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是( )A. 1B. 2C. 3D. 5二．填空题(共8小题)11.因式分解：2x2﹣8＝_____．12.函数y＝23xx中，自变量x的取值范围是____．13.已知关于x的一元二次方程ax2+x+a2﹣2a＝0的一个根是x＝0，则系数a＝_____．14.如图，直线y＝kx+b(k＞0)与x轴交点为(﹣2，0)，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是_____．15.如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方形，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为_________16.如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为__________．17.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B、D，且点B的坐标为(4，0)，点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且BE＝AB，连接CE，取CE的中点F，则BF 的长为___．18.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A 落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，则tanα＝_____．三．解答题(共10小题)19.计算：31)0﹣|2820.解不等式组523(1)21162x x x x +≥-⎧⎪-⎨->⎪⎩，并写出该不等式组的所有整数解． 21.先化简再求值：2221a a a a +++÷(1a a -﹣2311a a --)，其中a ＝3+1． 22.2018年8月中国铁路总公司宣布，京津高铁将再次提速，担任此次运营任务是最新的复兴号动车组，提速后车速是之前的1.5倍，100千米缩短了10分钟，问提速前后的速度分别是多少千米每小时? 23.如图，平行四边形ABCD 中，O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交DA ，BC 的延长线于E ，F ．(1)求证：AE ＝CF ;(2)若AE ＝BC ，试探究线段OC 与线段DF 之间的关系，并说明理由．24.某学校为了了解九年级学生”一分钟跳绳”体育测试项目情况，随机抽取了九年级部分学生组成测试小组进行调查测试，并对这部分学生”一分钟跳绳”测试的成绩按A ，B ，C ，D 四个等级进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．(1)本次随机调查抽样的样本容量为 ;(2)D 等级所对扇形的圆心角为 °，并将条形统计图补充完整;(3)如果该学校九年级共有400名学生，那么根据以上样本统计全校九年级”一分钟跳绳”测试成绩为A 等级的学生有人;(4)现有测试成绩为A 等级，且表现比较突出的两男两女共4名学生，计划从这4名学生中随机抽取2名同学作平时训练经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1男1女的概率． 25.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,B C 在轴的正半轴上，8,6AB BC ==.对角线,AC BD相交于点，反比例函数(0)k y x x=>的图像经过点，分别与,AB CD 交于点,F G .(1)若8OC =，求的值;(2)连接EG ，若2BF BE -=，求CEG 的面积.26.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC ，垂足为点H ，连接DE ，交AB 于点F ．(1)求证：DH 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为4，①当AE ＝FE 时，求AD 的长(结果保留π);②当6sin 4B = 时，求线段AF 长．27.如图，二次函数y ＝ax 2+2ax +c (a ＜0)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D ，一次函数y ＝mx ﹣3的图象与y 轴交于E 点，与二次函数的对称轴交于F 点，且tan ∠FDC ＝43．(1)求a 的值;(2)若四边形DCEF 为平行四边形，求二次函数表达式．(3)在(2)的条件下设点M是线段OC上一点，连接AM，点P从点A出发，先以1个单位长度/s的速度沿线段AM到达点M，再以10个单位长度/s的速度沿MC到达点C，求点P到达点C所用最短时间为s(直接写出答案)．28.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒(0＜t≤5)．线段CM的长度记作y甲，线段BP的长度记作y乙，y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示．(1)由图2可知，点M的运动速度是每秒cm;当t＝秒时，四边形PQCM是平行四边形?在图2中反映这一情况的点是(并写出此点的坐标);(2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式;(3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上?若存在，求出此时t的值;若不存在，说明理由．答案与解析一．选择题(共10小题)1.12-的倒数是( )A. B. C.12- D.12【答案】A【解析】【分析】根据倒数的概念求解即可.【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-12的倒数为．故选A2.计算2(2)--( )A. 2B. ﹣2C. ﹣4D. 4【答案】B【解析】【分析】2a得到原式=-|-2|，然后利用绝对值的意义去绝对值即可．【详解】原式＝﹣|﹣2|＝﹣2．故选：B．2a．3.2018年苏州市GDP(国内生产总值)约为1860 000 000 000元．该数据可用科学记数法表示为( )A. 1860×109B. 186×1010C. 18.6×1011D. 1.86×1012【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数;当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将1860 000 000 000用科学记数法表示为：1.86×1012．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.一组数据5，4，2，5，6的中位数是( )A. 5B. 4C. 2D. 6【答案】A【解析】试题分析：将题目中数据按照从小到大排列是：2，4，5，5，6，故这组数据的中位数是5，故选A．考点：中位数;统计与概率．5.若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+32y2的值是( )A. ﹣2B. ﹣12C.32D. 4【答案】B 【解析】【分析】将已知等式变形为x-32y2=32，再代入到原式=1-(x-32y2)计算可得．【详解】∵2x﹣3y2＝3，∴x﹣32y2＝32，则原式＝1﹣(x﹣32y2)＝1﹣3 2＝﹣12，故选：B．【点睛】此题考查代数式的求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用．6.对于二次函数,下列说法正确的是( )A. 当x>0，y随x的增大而增大B. 当x=2时，y有最大值－3C. 图像的顶点坐标为(－2，－7)D. 图像与x轴有两个交点【解析】【详解】二次函数22114(2)344y x x x =-+-=---, 所以二次函数的开口向下，当x ＜2，y 随x 的增大而增大，选项A 错误;当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B 正确;顶点坐标为(2，-3)，选项C 错误;顶点坐标为(2，-3)，抛物线开口向下可得抛物线与x 轴没有交点，选项D 错误，故答案选B.考点：二次函数的性质.7.如图，D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，DE ∥BC ，若∠A ＝32°，∠D ＝56°．则∠C 的度数是( )A. 16°B. 20°C. 24°D. 28°【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠DBC ，根据三角形外角性质得出即可．【详解】∵DE ∥BC ，∠D ＝56°，∴∠DBC ＝56°，∵∠A ＝32°，∴∠C ＝56°﹣32°＝24°，故选：C ．【点睛】此题考查三角形外角性质和平行线的性质，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键． 8.如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，分别交BC ，AC 于点D ，E ，连接AD ，若△ABD 的周长C △ABD ＝16cm ，AB ＝5cm ，则线段BC 的长度等于( )A. 8cmB. 9 cmC. 10 cmD. 11 cm【答案】D【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，得出△ABD周长=AB+BC即可．【详解】∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，∴AD＝DC，∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC，∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，∴BC＝11cm，故选：D．【点睛】此题考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答．9.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为( )A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD, AO=OC=12AC=2，OB=OD=12BD=8，由平移的性质得出'2''8,''90O C OA O B OB CO B====∠=︒，,得出''6AO AC O C=+=，由勾股定理即可得出答案. 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC=12AC＝2，OB＝OD=12BD＝8，∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，∴O 'C ＝OA ＝2，O 'B '＝OB ＝8，∠CO 'B '＝90°，∴AO '＝AC +O 'C ＝6， ∴2222'8610AB O B AO '''=+=+=;故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理;熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键． 10.如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为BC 上任意一点(可与点B 或C 重合)，分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′＋CC ′＋DD ′的最小值是( )A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】B 【解析】【详解】解：连接AC ，DP ．∵四边形ABCD 是正方形，正方形ABCD 的边长为1，∴AB=CD ，S 正方形ABCD =1，∵S △ADP =12S 正方形ABCD =12，S △ABP +S △ACP =S △ABC =12S 正方形ABCD =12，∴S △ADP +S △ABP +S △ACP =1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•(BB′+CC′+DD′)=1，则BB′+CC′+DD′=2AP ，∵2，∴当P 与C 2．故选B二．填空题(共8小题)11.因式分解：2x2﹣8＝_____．【答案】2(x+2)(x﹣2)．【解析】【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．【详解】2x2﹣8＝2(x+2)(x﹣2)．故答案为：2(x+2)(x﹣2)．【点睛】此题考查提公因式法和公式法分解因式，解题关键在于掌握运算法则．12.函数y中，自变量x的取值范围是____．【答案】x≤23且x≠0．【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可.【详解】解：由题意得，2﹣3x≥0且x≠0，解得，x≤23且x≠0．故答案为x≤23且x≠0．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.13.已知关于x的一元二次方程ax2+x+a2﹣2a＝0的一个根是x＝0，则系数a＝_____．【答案】2．【解析】【分析】把x=0代入一元二次方程ax2+x+a2-2a=0得a2-2a=0，解得a1=0，a2=2，然后根据一元二次方程的定义确定a 的值．【详解】把x＝0代入一元二次方程ax2+x+a2﹣2a＝0得a2﹣2a＝0，解得a1＝0，a2＝2，而a≠0，所以a的值为2．故答案为2．【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14.如图，直线y＝kx+b(k＞0)与x轴的交点为(﹣2，0)，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是_____．【答案】x＜﹣2【解析】【分析】根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y＜0，即可求出答案．【详解】解：∵直线y＝kx+b(k＞0)与x轴的交点为(﹣2，0)，∴y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y＜0，即kx+b＜0．故答案为x＜﹣2．【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．15.如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方形，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为_________【答案】8 27【解析】【分析】先得到小正方体的个数，然后再得到恰有三个面涂有红色的小正方体个数，再利用概率公式进行计算即可【详解】小正方体个数为3×3×3=27个由图直接数出恰有三个面涂有红色的小正方体的个数为8个，所以取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为827，故填827【点睛】本题主要考查概率公式计算，本题关键在于找出恰有三个面涂有红色的小正方体的个数16.如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为__________．【答案】5【解析】分析】连接OP，利用等腰三角形的性质可得出∠OAB＝45°，结合PC⊥OA可得出△ACD为等腰直角三角形，进而可得出AC＝1，设该扇形的半径长为r，则OC＝r−1，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出关于r的方程，解之即可得出结论．【详解】解：连接OP，如图所示．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∵PC⊥OA，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝CD＝1．设该扇形的半径长为r，则OC＝r−1，在Rt△POC中，∠PCO＝90°，PC＝PD＋CD＝3，∴OP2＝OC2＋PC2，即r2＝(r−1)2＋9，解得：r＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及圆的基本性质，利用勾股定理，得出关于扇形半径的方程是解题的关键．17.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B、D，且点B的坐标为(4，0)，点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且BE＝AB，连接CE，取CE的中点F，则BF的长为___．【答案】22【解析】【分析】根据题意A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称得到AC=BD=42，连结AC，由中位线定理得AC=2BF，求出AC长即可得解．【详解】解：∵点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，D(0，4)，B(4，0)，∴BD＝2244=42，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴AC＝BD＝42，连AC，BE=AB，CE的中点是F，∴BF＝12AC＝22故答案为：2【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．18.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A 落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，则tanα＝_____．【答案】13．【解析】【分析】过C点作MN⊥BG，交BG于M，交EF于N，由旋转性质可得∠ABC=∠GBE=90°，BA=BG=5，BC=BE=3，由勾股定理可求CG=4，由锐角三角函数可求CM的长，即可求BM的长，由题意可证四边形BENM是矩形，可求EN，CN的长，即可求解．【详解】过C点作MN⊥BG，交BG于M，交EF于N，由旋转变换的性质可知，∠ABC＝∠GBE＝90°，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3，由勾股定理得，CG22BG BC-259-＝4，∵sin∠GBC＝GC CM BG BC=，∴45CMBC =∴CM＝125，∴BM22BC CM-＝9 5∵MN⊥BG，∠GBE＝∠BEF＝90°，∴四边形BENM是矩形，∴MN＝BE＝3，BM＝EN＝95，∴CN＝3﹣125＝35，∴tanα＝CNEN＝3595＝13故答案为：13．【点睛】此题考查翻转变换的性质，锐角三角函数，矩形的性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．三．解答题(共10小题)19.计算：1)0﹣|【答案】．【解析】【分析】根据零指数幂和绝对值的意义计算;【详解】原式＝1＝【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．20.解不等式组523(1)21162x xxx+≥-⎧⎪-⎨->⎪⎩，并写出该不等式组的所有整数解．【答案】x＝﹣2或﹣1或0或1．【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀”大小小大中间找”确定不等式组的解集，再在解集内确定其整数解即可．【详解】由5x+2≥3(x﹣1)，得x≥﹣2.5，由21162xx-->，得x＜2，∴﹣2.5≤x ＜2，∵x 为整数，∴x ＝﹣2或﹣1或0或1．【点睛】此题考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知”同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解题的关键．21.先化简再求值：2221a a a a +++÷(1a a -﹣2311a a --)，其中a +1．【答案】1a a -．【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】原式＝2(1)(1)a a a ++÷[2(1)(1)a a a a ++-﹣31(1)(1)a a a -+-] ＝1a a +÷2(1)(1)(1)a a a -+- ＝1a a +•11a a +- ＝1a a -，当a 时，33+．【点睛】此题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22.2018年8月中国铁路总公司宣布，京津高铁将再次提速，担任此次运营任务是最新的复兴号动车组，提速后车速是之前的1.5倍，100千米缩短了10分钟，问提速前后的速度分别是多少千米每小时?【答案】提速前的速度为200千米/小时，提速后的速度为350千米/小时，【解析】【分析】设列车提速前的速度为x 千米每小时和列车提速后的速度为1.5千米每小时，根据关键语句”100千米缩短了10分钟”可列方程，解方程即可．【详解】设提速前后的速度分别为x 千米每小时和1.5x 千米每小时，根据题意得：100100101.560x x-=解得：x=200，经检验：x=200是原方程的根，∴1.5x=300，答：提速前后的速度分别是200千米每小时和300千米每小时．【点睛】考查了分式方程的应用，解题关键是弄懂题意，找出等量关系，列出方程．23.如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于E，F．(1)求证：AE＝CF;(2)若AE＝BC，试探究线段OC与线段DF之间的关系，并说明理由．【答案】(1)见解析;(2)OC∥DF，且OC＝12DF，理由见解析．【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出∠ADB=∠CBD，证明△BOF≌△DOE，得出DE=BF，即可得出结论;(2)证出CF=BC，得出OC是△BDF的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵O是对角线BD的中点，∴OB＝OD，在△BOF和△DOE中，CBD ADB OB ODBOF DOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOF≌△DOE(ASA)，∴DE＝BF，∴DE-AD＝BF﹣BC，∴AE＝CF;(2)解：OC∥DF，且OC＝12DF，理由如下：∵AE＝BC，AE＝CF，∴CF＝BC，∵OB＝OD，∴OC是△BDF的中位线，∴OC∥DF，且OC＝12 DF．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识;熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24.某学校为了了解九年级学生”一分钟跳绳”体育测试项目情况，随机抽取了九年级部分学生组成测试小组进行调查测试，并对这部分学生”一分钟跳绳”测试的成绩按A，B，C，D四个等级进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．(1)本次随机调查抽样的样本容量为;(2)D等级所对扇形的圆心角为°，并将条形统计图补充完整;(3)如果该学校九年级共有400名学生，那么根据以上样本统计全校九年级”一分钟跳绳”测试成绩为A等级的学生有人;(4)现有测试成绩为A等级，且表现比较突出的两男两女共4名学生，计划从这4名学生中随机抽取2名同学作平时训练经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1男1女的概率．【答案】(1)80;(2)18;补全图形见解析;(3)120;(4)选出的2人恰好是1男1女的概率为23．【解析】【分析】(1)由C等级人数及其对应的百分比可得样本容量;(2)用360°乘以样本中D等级人数所占比例，再用总人数乘以B等级百分比可得其人数，从而补全图形;(3)总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得;(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2人恰好是1男1女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】(1)本次随机调查抽样的样本容量为20÷25%＝80，故答案为：80;(2)D 等级所对扇形的圆心角为360°×480＝18°， B 等级的人数为80×40%＝32，补全图形如下：故答案为：18;(3)根据以上样本估计全校九年级”一分钟跳绳”测试成绩为A 等级的学生有400×2480＝120(人)，故答案为：120;(4)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选出的2人恰好是1男1女的有8种情况，∴选出的2人恰好是1男1女的概率为812＝23．【点睛】此题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图．解题关键在于掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．25.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,B C 在轴的正半轴上，8,6AB BC ==.对角线,AC BD相交于点，反比例函数(0)k y x x=>的图像经过点，分别与,AB CD 交于点,F G .(1)若8OC=，求的值;(2)连接EG，若2BF BE-=，求CEG的面积.【答案】(1)k＝20;(2)△CEG的面积为215．【解析】【分析】(1)先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到E(5，4)，然后把E点坐标代入kyx=可求得k的值;(2)利用勾股定理计算出AC＝10，则BE＝EC＝5，所以BF＝7，设OB＝t，则F(t，7)，E(t+3，4)，利用反比例函数图象上点的坐标得到7t＝4(t+3)，解得t＝4，从而得到反比例函数解析式为y＝28x，然后确定G点坐标，最后利用三角形面积公式计算△CEG的面积．【详解】(1)∵在矩形ABCD的顶点B，AB＝8，BC＝6，而OC＝8，∴B(2，0)，A(2，8)，C(8，0)，∵对角线AC，BD相交于点E，∴点E为AC的中点，∴E(5，4)，把E(5，4)代入y＝kx得k＝5×4＝20;(2)∵AC2268+＝10，∴BE＝EC＝5，∵BF﹣BE＝2，∴BF＝7，设OB＝t，则F(t，7)，E(t+3，4)，∵反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点E、F，∴7t＝4(t+3)，解得t＝4，∴k＝7t＝28，∴反比例函数解析式为y＝28x，当x＝10时，y＝2814 105=，∴G(10，145)，∴△CEG的面积＝114213255⨯⨯=．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝kx(k≠0)图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．26.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D 作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．(1)求证：DH是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为4，①当AE＝FE时，求AD的长(结果保留π);②当6sin4B=时，求线段AF的长．【答案】(1)详见解析;(2)①85π;②43【解析】【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线;(2)①根据等腰三角形的性质的∠EAF＝∠EAF，设∠B＝∠C＝α，得到∠EAF＝∠EFA＝2α，根据三角形的内角和得到∠B＝36°，求得∠AOD＝72°，根据弧长公式即可得到结论;②连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ADC＝90°，解直角三角形得到AD＝6的性质得到AH＝3，于是得到结论．【详解】证明：(1)连接OD，如图，∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线;(2)①∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EAF，设∠B＝∠C＝α，∴∠EAF＝∠EF A＝2α，∵∠E＝∠B＝α，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠B＝36°，∴∠AOD＝72°，∴AD的长＝7248 1805ππ⋅⨯=;②连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵⊙O的半径为4，∴AB＝AC＝8，∵sin 4B =，∴84AD =，∴AD ＝∵AD ⊥BC ，DH ⊥AC ，∴△ADH ∽△ACD ， ∴AH AD AD AC=，=， ∴AH ＝3，∴CH ＝5，∵∠B ＝∠C ，∠E ＝∠B ，∴∠E ＝∠C ，∴DE ＝DC ，∵DH ⊥AC ，∴EH ＝CH ＝5，∴AE ＝2，∵OD ∥AC ，∴∠EAF ＝∠FOD ，∠E ＝∠FDO ，∴△AEF ∽△ODF ， ∴AF AE OF OD=， ∴AF 24AF 4=-， ∴AF ＝43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．27.如图，二次函数y ＝ax 2+2ax +c (a ＜0)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D ，一次函数y＝mx﹣3的图象与y轴交于E点，与二次函数的对称轴交于F点，且tan∠FDC＝43．(1)求a的值;(2)若四边形DCEF为平行四边形，求二次函数表达式．(3)在(2)的条件下设点M是线段OC上一点，连接AM，点P从点A出发，先以1个单位长度/s的速度沿线段AM到达点M，10个单位长度/s的速度沿MC到达点C，求点P到达点C所用最短时间为s(直接写出答案)．【答案】(1)a＝﹣34;(2)y＝﹣34x2﹣32x+6;(3)9105．【解析】【分析】(1)过点C作CG⊥DF交于点G，求出C与D点坐标，可得CG=1，DG=-a，再由tan∠FDC=43，即可求a值;(2)由点的坐标分别求出CE=3+c，DF=c+34+m+3，再由平行四边形的性质可得3+c=c+34+m+3，可以确定y=-34x-3，求出A点坐标，将A点坐标代入y=-34x2-32x+c，即可求出c的值;(3)连接BC，过点A作AH⊥BC交于点H，AH与CO的交点为所求M;由题意可知运动时间为10;在Rt△CMH中，MH=CMsin∠10，则有AM+10=AM+MH=AH;再在Rt△ABH中，AB=6，sin∠COB=21010求出AH=ABsin∠COB=6×10910，即为所求．【详解】(1)过点C作CG⊥DF交于点G，∵C(0，c)，D(﹣1，c﹣a)，∴CG＝1，DG＝﹣a，∵tan∠FDC＝43，∴43＝1a，∴a＝﹣34;(2)∵a＝﹣34，∴D(﹣1，c+34 )，∵E(0，﹣3)，F(﹣1，﹣m﹣3)，∴CE＝3+c，DF＝c+34+m+3，∵四边形DCEF为平行四边形，∴3+c＝c+34+m+3，∴m＝﹣34，∴y＝﹣34x﹣3，∴A(﹣4，0)，将A(﹣4，0)代入y＝﹣34x2﹣32x+c，可得c＝6，∴y＝﹣34x2﹣32x+6;(3)连接BC，过点A作AH⊥BC交于点H，AH与CO交点为所求M; 由题意可知运动时间为AM;∵y ＝﹣34x 2﹣32x +6，可求B (2，0)，在Rt △BCO 中，OB ＝2，OC ＝6，∴BC ＝210，∴sin ∠BCO ＝2210＝110，在Rt △CMH 中，MH ＝CM sin ∠BCO ＝10CM ， ∴AM +10CM ＝AM +MH ＝AH ; 在Rt △ABH 中，AB ＝6，sin ∠COB ＝6210＝310， ∴AH ＝AB sin ∠COB ＝6×310＝9105， ∴点P 到达点C 所用最短时间为9105s ，故答案为9105;【点睛】此题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，将时间最短借助直角三角形三角形函数值转化为边最短解题是关键．28.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒(0＜t≤5)．线段CM的长度记作y甲，线段BP的长度记作y乙，y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示．(1)由图2可知，点M的运动速度是每秒cm;当t＝秒时，四边形PQCM是平行四边形?在图2中反映这一情况的点是(并写出此点的坐标);(2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式;(3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上?若存在，求出此时t的值;若不存在，说明理由．【答案】(1)2，103，E(103，103);(2)y＝25t2﹣8t+40;(3)存在，t＝2017s时，点M在线段PC的垂直平分线上．【解析】【分析】(1)先由图2判断出点M的速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，再由四边形PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值;(2)根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知△BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8-t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式;(3)假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．【详解】(1)由图2得，点M的运动速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，∵四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，∴AP：AB＝AM：AC，∵AB＝AC，∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，解得：t＝103，∴当t＝103时，四边形PQCM是平行四边形，此时，图2中反映这一情况的点是E(103，103)故答案为：2，103，E(103，103)．(2)∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t，∴BF BPBD BA=，即810BF t=解得：BF＝45t，∴FD＝BD﹣BF＝8﹣45t，又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，∴y＝12(PQ+MC)•FD＝12(t+10﹣2t)(8﹣45t)＝25t2﹣8t+40．(3)假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC，过M作MH⊥AB，交AB与H，如图所示：∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，∴△AHM∽△ADB，∴HM AH AM BD AD AB==又∵AD＝6，∴2 8610 HM AH t==∴HM＝85t，AH＝65t，∴HP＝10﹣t﹣65t＝10﹣115t，在Rt△HMP中，MP2＝(85t)2+(10﹣115t)2＝375t2﹣44t+100，又∵MC2＝(10﹣2t)2＝100﹣40t+4t2，∵MP2＝MC2，∴375t2﹣44t+100＝100﹣40t+4t2，解得t1＝2017，t2＝0(舍去)，∴t＝2017s时，点M在线段PC的垂直平分线上．【点睛】此题考查四边形综合题，平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式.。

一次函数与几何图形综合题含答案

一次函数与几何图形综合专题讲座思想方法小结： 1函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．2数形结合法．数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用．知识规律小结：1常数k ,b 对直线y =kx +bk ≠0位置的影响． ①当b ＞0时,直线与y 轴的正半轴相交；当b =0时,直线经过原点；当b ﹤0时,直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ,b 异号时,即－kb＞0时,直线与x 轴正半轴相交；当b =0时,即－k b=0时,直线经过原点；当k ,b 同号时,即－kb﹤0时,直线与x 轴负半轴相交．③当k ＞O ,b ＞O 时,图象经过第一、二、三象限；当k ＞0,b =0时,图象经过第一、三象限；当b ＞O ,b ＜O 时,图象经过第一、三、四象限；当k ﹤O ,b ＞0时,图象经过第一、二、四象限；当k ﹤O ,b =0时,图象经过第二、四象限；当b ＜O ,b ＜O 时,图象经过第二、三、四象限． 2直线y =kx +bk ≠0与直线y =kxk ≠0的位置关系．直线y =kx +bk ≠0平行于直线y =kxk ≠0当b ＞0时,把直线y =kx 向上平移b 个单位,可得直线y =kx +b ；当b ﹤O 时,把直线y =kx 向下平移|b |个单位,可得直线y =kx +b ． 3直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2k 1≠0 ,k 2≠0的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交； ②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点0,b 1或0,b 2；③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.例题精讲：1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点,C 在y 轴的负半轴上,且OC =OB(1) 求AC(2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系,并证明你的结论;(3) 在2的前提下,作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①MQ +AC /PM 的值不变；②MQ －AC /PM 的值不变,期中只有一个正确结论,请选择并加以证明;2．本题满分12分如图①所示,直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、xxB 两点;1当OA =OB 时,试确定直线L 的解析式；2在1的条件下,如图②所示,设Q 为AB 延长线上一点,作直线OQ ,过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ,BN ⊥OQ 于N ,若AM =4,BN =3,求MN 的长;3当m 取不同的值时,点B 在y 轴正半轴上运动,分别以OB 、AB 为边,点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ,连EF 交y 轴于P 点,如图③;问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时,试猜想PB 的长是否为定值,若是,请求出其值,若不是,说明理由;考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定．专题：代数几何综合题．分析：1是求直线解析式的运用,会把点的坐标转化为线段的长度；2由OA =OB 得到启发,证明∴△AMO ≌△ONB ,用对应线段相等求长度； 3通过两次全等,寻找相等线段,并进行转化,求PB 的长．解答：解：1∵直线L ：y =mx +5m ,∴A －5,0,B 0,5m ,由OA =OB 得5m =5,m =1,第2题图①第2题图②第2题图③CBAl 2l 1xyE ,过点C作CF ⊥3l 于F 分别,请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF 3△ABC 沿y 轴向下平移,AB 边交x 轴于点P ,过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ,与y 轴相交与点M ,且BP ＝CQ ,在△ABC 平移的过程中,①OM 为定值；②MC 为定值;在这两个结论中,有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值;6分考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质．分析：1根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标,再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标,用待定系数法求直线l2的解析式；2根据题意结合轴对称的性质,先证明△BEA≌△AFC,再根据全等三角形的性质,结合图形证明BE+CF=EF；3首先过Q点作QH⊥y轴于H,证明△QCH≌△PBO,然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM,从而得HM=OM,根据线段的和差进行计算OM的值．解答：解：1∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A－3,0,B0,3,∵直线l2与直线l1关于x轴对称,∴C0,－3∴直线l2的解析式为：y=－x－3；2如图1．答：BE+CF=EF．∵直线l2与直线l1关于x轴对称,∴AB=BC,∠EBA=∠FAC,∵BE⊥l3,CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°∴△BEA≌△AFC∴BE=AF,EA=FC,∴BE+CF=AF+EA=EF；3①对,OM=3过Q点作QH⊥y轴于H,直线l2与直线l1关于x轴对称∵∠POB=∠QHC=90°,BP=CQ,又AB=AC,∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ,则△QCH≌△PBOAAS,∴QH=PO=OB=CH∴△QHM≌△POM∴HM=OM∴OM =BC －OB +CM =BC －CH +CM =BC －OM ∴OM =21BC =3．点评：轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相等．4.如图,在平面直角坐标系中,Aa ,0,B 0,b ,且a 、b 满足.1求直线AB 的解析式；2若点M 为直线y =mx 上一点,且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形,求m 值； 3过A 点的直线交y 轴于负半轴于P ,N 点的横坐标为－1,过N 点的直线交AP 于点M ,试证明的值为定值．考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：1求出a 、b 的值得到A 、B 的坐标,设直线AB 的解析式是y =kx +b ,代入得到方程组,求出即可；2当BM ⊥BA ,且BM =BA 时,过M 作MN ⊥Y 轴于N ,证△BMN ≌△ABOAAS ,求出M 的坐标即可；②当AM ⊥BA ,且AM =BA 时,过M 作MN ⊥X 轴于N ,同法求出M 的坐标；③当AM ⊥BM ,且AM =BM 时,过M 作MN ⊥X 轴于N ,MH ⊥Y 轴于H ,证△BHM ≌△AMN ,求出M 的坐标即可．3设NM 与x 轴的交点为H ,分别过M 、H 作x 轴的垂线垂足为G ,HD 交MP 于D 点,求出H 、G 的坐标,证△AMG ≌△ADH ,△AMG ≌△ADH ≌△DPC ≌△NPC ,推出PN =PD =AD =AM 代入即可求出答案．解答：解：1要使b =有意义,必须a －22=0,4-b =0, ∴a =2,b =4, ∴A 2,0,B 0,4,设直线AB 的解析式是y =kx +b , 代入得：0=2k +b ,4=b , 解得：k =－2,b =4,∴函数解析式为：y =－2x +4, 答：直线AB 的解析式是y =－2x +4． 2如图2,分三种情况：①如图1当BM ⊥BA ,且BM =BA 时,过M 作MN ⊥Y 轴于N , △BMN ≌△ABOAAS ,MN =OB =4,BN =OA =2,∴ON =2+4=6, ∴M 的坐标为4,6 , 代入y =mx 得：m =23, ②如图2当AM ⊥BA ,且AM =BA 时,过M 作MN ⊥X 轴于N ,△BOA ≌△ANMAAS ,同理求出M 的坐标为6,2,m =31,③当AM ⊥BM ,且AM =BM 时,过M 作MN ⊥X 轴于N ,MH ⊥Y 轴于H ,则△BHM ≌△AMN , ∴MN =MH ,设Mx ,x 代入y =mx 得：x =mx ,2∴m =1, 答：m 的值是23或31或1． 3解：如图3,结论2是正确的且定值为2,设NM 与x 轴的交点为H ,分别过M 、H 作x 轴的垂线垂足为G ,HD 交MP 于D 点, 由y =2k x －2k与x 轴交于H 点, ∴H 1,0, 由y =2k x －2k与y =kx －2k 交于M 点, ∴M 3,K , 而A 2,0,∴A 为HG 的中点, ∴△AMG ≌△ADHASA ,又因为N 点的横坐标为－1,且在y =2k x －2k上, ∴可得N 的纵坐标为－K ,同理P 的纵坐标为－2K , ∴ND 平行于x 轴且N 、D 的横坐标分别为－1、1 ∴N 与D 关于y 轴对称,∵△AMG ≌△ADH ≌△DPC ≌△NPC , ∴PN =PD =AD =AM , ∴AMPN-PM =2．点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形性质,用待定系数法求正比例函数的解析式,全等三角形的性质和判定,二次根式的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．5.如图,直线AB ：y =－x －b 分别与x 、y 轴交于A 6,0、B 两点,过点B 的直线交x 轴负半轴于C ,且OB ：OC=3：1;1求直线BC 的解析式：2直线EF ：y =kx －kk ≠0交AB 于E ,交BC 于点F ,交x 轴于D ,是否存在这样的直线EF ,使得S △EBD =S △FBD 若存在,求出k 的值；若不存在,说明理由3如图,P 为A 点右侧x 轴上的一动点,以P 为直角顶点,BP 为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ ,连接QA 并延长交ｙ轴于点K ,当P 点运动时,K 点的位置是否发现变化若不变,请求出它的坐标；如果变化,请说明理由;考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式．专题：计算题．分析：代入点的坐标求出解析式y =3x +6,利用坐标相等求出k 的值,用三角形全等的相等关系求出点的坐标．解答：解：1由已知：0=－6－b ,∴b =－6,∴AB ：y =－x +6． ∴B 0,6 ∴OB =6∵OB ：OC =3：1,OC =3OB=2, ∴C －2,0设BC 的解析式是Y =ax +c ,代入得；6=0•a +c , 0=－2a +c , 解得：a =3, c =6, ∴BC ：y =3x +6．直线BC 的解析式是：y =3x +6；2过E 、F 分别作EM ⊥x 轴,FN ⊥x 轴,则∠EMD =∠FND =90°． ∵S △EBD =S △FBD , ∴DE =DF ．又∵∠NDF =∠EDM , ∴△NFD ≌△EDM , ∴FN =ME ．联立y =kx －k , y =－x +6 得y E =1k 5k, 联立y =kx －k ,y =3x +6得y F =3-k 9k． ∵FN =－y F ,ME =y E , ∴1k 5k =3-k 9k-． ∵k ≠0,∴5k －3=－9k +1, ∴k =73； 3不变化K 0,－6．过Q 作QH ⊥x 轴于H , ∵△BPQ 是等腰直角三角形, ∴∠BPQ =90°,PB =PQ , ∵∠BOA =∠QHA =90°, ∴∠BPO =∠PQH , ∴△BOP ≌△HPQ , ∴PH =BO ,OP =QH , ∴PH +PO =BO +QH , 即OA +AH =BO +QH , 又OA =OB , ∴AH =QH ,∴△AHQ 是等腰直角三角形, ∴∠QAH =45°, ∴∠OAK =45°,∴△AOK 为等腰直角三角形, ∴OK =OA =6, ∴K 0,－6．点评：此题是一个综合运用的题,关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解．6. 如图,直线AB 交X 轴负半轴于Bm ,0,交Y 轴负半轴于A 0,m ,OC ⊥AB 于C －2,－2; （1）求m 的值；-4m 2CG OG GB ,,45OAOB GOB G =∴===∴∆∆∆∴︒=∠∴∆∴=都是等腰直角三角形为等腰直角三角形的垂线，垂足为作过OCB CGO CGB CBO AOB （2）直线AD 交OC 于D ,交X 轴于E ,过B 作BF ⊥AD于F ,若OD =OE ,求AEBF 的值； 21BF 2BF BH BF AE BF 2BH BF BH AE BH ASA AOE BOH 90AOE BOH AO BO EAO HBO AOE BOH )(BF ASA AFH AFB )(AF AF 90AFH AFB AFH AFB FEBADC )(OED FEB ODEOED ODOE FAH HBO ===∴=+==∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠∆∆=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=︒=∠=∠∆∆∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∴=∠=∠BFHF FAH BAF FAHCAD CADHBO ODE ADC 等）（全等三角形对应边相）（（已知）（已证）中，和在全等三角形对应边相等）（已证（公共边）中和在对顶角相等，（同角的余角相等）（3）如图,P 为x 轴上B 点左侧任一点,以AP 为边作等腰直角△APM ,其中PA =PM ,直线MB 交y 轴于Q ,当P 在x 轴上运动时,线段OQ 长是否发生变化若不变,求其值；若变化,说明理由;7.在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b的图像过点B－1,,与x轴交于点A4,0,与y轴交于点C,与直线y=kx交于点P,且PO=PA1求a+b的值；2求k 的值；3D 为PC 上一点,DF ⊥x 轴于点F ,交OP 于点E ,若DE=2EF ,求D 点坐标. 考点：一次函数与二元一次方程组．专题：计算题；数形结合；待定系数法．分析：1根据题意知,一次函数y =ax +b 的图象过点B －1, 25和点A 4,0,把A 、B 代入求值即可； 2设Px ,y ,根据PO =PA ,列出方程,并与y =kx 组成方程组,解方程组；3设点Dx ,－ 21x +2,因为点E 在直线y = 21x 上,所以Ex ,21x ,Fx ,0,再根据等量关系DE =2EF 列方程求解．解答：解：1根据题意得：25=－a +b 0=4a +b解方程组得：a =21, b =2 ∴a +b =－21+2=23,即a +b =23； 2设Px ,y ,则点P 即在一次函数y =ax +b 上,又在直线y =kx 上,由1得：一次函数y =ax +b 的解析式是y =－21x +2, 又∵PO =PA ,∴x 2+y 2=4－x 2+y 2 y =kxy =2x +2, 解方程组得：x =2,y =1,k =21, ∴k 的值是21；3设点Dx ,－21x +2,则Ex ,21x ,Fx ,0, ∵DE =2EF ,∴－21x +2－21x =2×21x , 解得：x =1,则－21x +2=－21×1+2=23, ∴D 1,23．点评：本题要求利用图象求解各问题,要认真体会点的坐标,一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．8. 在直角坐标系中,B 、A 分别在x ,y 轴上,B 的坐标为3,0,∠ABO =30°,AC 平分∠OAB 交x 轴于C ；（1）求C 的坐标；解：∵∠AOB =90° ∠ABO =30°∴∠OAB =30°又 ∵ AC 是∠OAB 的角平分线∴∠OAC =∠CAB =30°∵OB =3∴OA =3OC =1 即 C 1,0（2）若D 为AB 中点,∠EDF =60°,证明：CE +CF =OC证明：取CB 中点H ,连CD ,DH∵ AO =3 CO =1 ∴AC =2又∵D ,H 分别是AB ,CD 中点∴DH =AC 21 AB =23 ∵ DB =21AB =3 BC =2 ∠ABC =30° ∴ BC =2 CD =2 ∠CDB =60°CD =1=DH∵ ∠EOF =∠EDC +∠CDF =60 ° ∠CDB =∠CDF +∠FDH =60°∴∠EDC =∠FDH∵AC =BC =2∴CD ⊥AB ADC =90°∵∠CBA =30°∴∠ECD =60°∵HD =HB =1∴∠DHF =60°在△DCE 和 △DHF 中∠EDC =∠FDH∠DCE =∠DHFDC =DH∴△DCE ≌ △DHFAAS∴CE =HF∴CH =CF +FH =CF +CE =1 OC =1∴CH =OC∴OC =CE +CF（3）若D 为AB 上一点,以D 作△DEC ,使DC =DE ,∠EDC =120°,连BE ,试问∠EBC 的度数是否发生变化；若不变,请求值;解：不变 ∠EBC =60°设DB 与CE 交与点GDC =DE ∠EDC =120°∴∠DEC =∠DCE =30°在△DGC 和△ DCB 中∠CDG =∠BDC∠DCG =∠DBC =30∴△DGC ∽ △DCB∴DG DC =DCDB DC =DE∴DG DE =DE DB 在EDG 和BDE 中DG DE =DEDB ∠EDG =∠BDE∴△EDG ∽ △BDE∴∠DEG =∠DBE =30°∴∠EBD =∠DBE +∠DBC =60°9、如图,直线AB 交x 轴正半轴于点Aa ,0,交y 轴正半轴于点B 0, b ,且a 、b 满足4 a + |4－b |=01求A 、B 两点的坐标；2D 为OA 的中点,连接BD ,过点O 作OE ⊥BD 于F ,交AB 于E ,求证∠BDO =∠EDA ；3如图,P 为x 轴上A 点右侧任意一点,以BP 为边作等腰Rt △PBM ,其中PB =PM ,直线MA 交y轴于点Q ,当点P 在x 轴上运动时,线段OQ的长是否发生变化若不变,求其值；若变化,求线段OQ 的取值范围. 考点：全等三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．专题：证明题；探究型．分析：①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a 、b 的方程,解方程组即可求出a ,b 的值,也就能写出A ,B 的坐标； A BO D EFyxA B O MP Qx y②作出∠AOB 的平分线,通过证△BOG ≌△OAE 得到其对应角相等解决问题；③过M 作x 轴的垂线,通过证明△PBO ≌△MPN 得出MN =AN ,转化到等腰直角三角形中去就很好解决了．解答：解：①∵4 a +|4－b |=0∴a =4,b =4,∴A 4,0,B 0,4；2作∠AOB 的角平分线,交BD 于G ,∴∠BOG =∠OAE =45°,OB =OA ,∠OBG =∠AOE =90°－∠BOF ,∴△BOG ≌△OAE ,∴OG =AE ．∵∠GOD =∠A =45°,OD =AD ,∴△GOD ≌△EDA ．∴∠GDO =∠ADE ．3过M 作MN ⊥x 轴,垂足为N ．∵∠BPM =90°,∴∠BPO +∠MPN =90°．∵∠AOB =∠MNP =90°,∴∠BPO =∠PMN ,∠PBO =∠MPN ．∵BP =MP ,∴△PBO ≌△MPN ,MN =OP ,PN =AO =BO ,OP =OA +AP =PN +AP =AN ,∴MN =AN ,∠MAN =45°．∵∠BAO =45°,∴∠BAO +∠OAQ =90°∴△BAQ 是等腰直角三角形．∴OB =OQ =4．∴无论P 点怎么动OQ 的长不变．点评：1考查的是根式和绝对值的性质． 2考查的是全等三角形的判定和性质．3本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质,还有特殊三角形的性质．10、如图,平面直角坐标系中,点A 、B 分别在x 、y 轴上,点B 的坐标为0,1,∠BAO =30°．1求AB 的长度；2以AB 为一边作等边△ABE ,作OA 的垂直平分线MN 交AB 的垂线AD 于点D ．求证：BD =OE ．D E N M BO x y AD EB O xy F A3在2的条件下,连结DE 交AB 于F ．求证：F 为DE 的中点．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题；证明题．分析：1直接运用直角三角形30°角的性质即可．2连接OD ,易证△ADO 为等边三角形,再证△ABD ≌△AEO 即可．3作EH ⊥AB 于H ,先证△ABO ≌△AEH ,得AO =EH ,再证△AFD ≌△EFH 即可．解答：1解：∵在Rt △ABO 中,∠BAO =30°,∴AB =2BO =2；2证明：连接OD ,∵△ABE 为等边三角形,∴AB =AE ,∠EAB =60°,∵∠BAO =30°,作OA 的垂直平分线MN 交AB 的垂线AD 于点D ,∴∠DAO =60°．∴∠EAO =∠NAB又∵DO =DA ,∴△ADO 为等边三角形．∴DA =AO ．在△ABD 与△AEO 中,∵AB =AE ,∠EAO =∠NAB ,DA =AO∴△ABD ≌△AEO ．∴BD =OE ．3证明：作EH ⊥AB 于H ．∵AE =BE ,∴AH =21AB ,∵BO =21AB ,∴AH =BO ,在Rt △AEH 与Rt △BAO 中,AH =BO ,AE =AB∴Rt △AEH ≌Rt △BAO ,∴EH =AO =AD ．又∵∠EHF =∠DAF =90°,在△HFE 与△AFD 中,∠EHF =∠DAF ,∠EFH =∠DFA ,EH =AD∴△HFE ≌△AFD ,∴EF =DF ．∴F 为DE 的中点．点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合,来证明角相等和线段相等．11.如图,直线y =3x +1分别与坐标轴交于A 、B 两点,在y 轴的负半轴上截取OC =OB .（1）求直线AC 的解析式；解：∵ 直线y =31x +1分别与坐标轴交于A 、B 两点∴ 可得点A 坐标为－3,0,点B 坐标为0,1∵ OC =OB∴ 可得点C 坐标为0,－1设直线AC 的解析式为y =kx +b将A －3,0,C 0,－1代入解析式－3k +b =0且b =－1可得k =－31,b =－1 ∴ 直线AC 的解析式为y =31x －1 （2）在x 轴上取一点D －1,0,过点D 做AB 的垂线,垂足为E ,交AC 于点F ,交y 轴于点G ,求F 点的坐标；解：∵ GE ⊥AB∴k k 1EG AB ⋅=- ∴ 131k ==3GE --设直线GE 的解析式为'y=-3x+b将点D 坐标－1,0代入,得'y=-3b 0⨯(-1)+= ∴ 'b 3=-∴ 直线GE 的解析式为y =－3x －3联立y =31x －1与y =－3x －3,可求出34x =-, 将其代入方程可得y =34-,∴ F 点的坐标为34-,34-（3）过点B 作AC 的平行线BM ,过点O 作直线y =kxk ＞0,分别交直线AC 、BM 于点H 、I ,试求ABBI AH +的值; 解：过点O 作AC 的平行线ON 交AB 于点N∵BM //AC ∴OIOB OH OC =∵OB =OC∴OI =OH∴O 为IH 的中点∵BM //AC∴=NBOI NA OH∵ OI =OH∴ NB =NA∴ N 为AB 中点∴ ON 是四边形ABIH 的中位线∴ AH +BI =2ON∵ N 是AB 的中点,∆AOB 是直角三角形∴ AB =2ON 直接三角形斜边的中线等于斜边的一半∴ AH +BI =AB∴ABBI AH +=1 12.如图,直线AB ：y =－x －b 分别与x 、y 轴交于A 6,0、B 两点,过点B 的直线交x 轴负半轴于C ,且OB ：OC =3：1.（1）求直线BC 的解析式；解：1因为直线AB ：y =－x －b 过点A 6,0.带入解析式就可以得到 b =－6即直线AB ：y =－x +6∵B 为直线AB 与y 轴的交点∴点 B 0,6∵OB ：OC =3：1∴OC =2 点 C －2,0已知直线上的两点 B 、C ;设直线的解析式为y =kx +m带入B 、C 的坐标;可以算出k =3 ,m =6所以BC 的解析式为：y =3x +6（2）直线EF ：y =kx －kk ≠0交AB 于E ,交BC 于点F ,交x 轴于D ,是否存在这样的直线EF ,使得S △EBD =S △FBD 若存在,求出k 的值；若不存在,说明理由2 假设存在满足题中条件的k 值因为直线EF : y =kx －kk ≠0交x 轴于点D ;所以D 点坐标为1,0在图中标出点D ,且过点D 做一直线,相交与直线AB ,BC 分别与点E ,F 然后观察△EBD 和△FBD则 S △EBD = 21DE ×h S △FBD =21DF ×h 两个三角形的高其实是一样的要使这两个三角形面积相等,只要满足DE =DF 就可以了∵点E 在直线AB 上,∴设点E 的坐标为p ,－p +6∵点F 在直线BC 上,∴设点F 的坐标为q ,3q +6而上面我们已经得到点D 的坐标为1,0点E 、F 又关于点D 对称,所以我们就可以得到两个等式,即：p +q /2=1－p +6+3q +6/2=0这样就可以求得：p =29,q =－25 点E 的坐标即为29,23,点F 的坐标即为－25,－23 把点E 代入直线EF 的解析式,得到k =73 所以存在k ,且k =73 （3）如图,P 为A 点右侧x 轴上的一动点,以P 为直角顶点,BP 为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ ,连接QA 并延长交y 轴于点K ,当P 点运动时,K 点的位置是否发生变化若不变,请求出它的坐标；如果变化,请说明理由;3 K 点的位置不发生变化理由：首先假设直线QA 的解析式为y =ax +b ,点P 的坐标为p ,0过点Q 作直线QH 垂直于x 轴,交点为H这样图中就可以形成两个三角形,分别是△BOP 和△PHQ ,且两个三角形都是直角三角形;∵△BPQ 为等腰直角三角形,直角顶点为P∴BP =PQ ,∠BPO +∠QPH =180º—90º=90º又∵在直角三角形中,∴∠QPH +∠PQH =90º∴根据上面两个等式,我们可以得到∠BPO =∠PQH且PB=QP所以在△BOP和△PHQ中∠BOP=∠PHQ∠BPO=∠PQHPB=QP∴△BOP≌△PHQAAS∴OP=HQ=p OB=HP=6 全等三角形的对应边相等∴点Q的坐标为p+6,p然后将点A和点Q的坐标代入直线QA的解析式：y=ax+b中,得到：a=1,b=－6也就是说a,b为固定值,并不随点Pp,0的改变而改变这样直线QA：y=x－6的延长线交于Y轴的K点也不会随点P的变化而变化了;求得点K的坐标为0,－6实战练习：1.已知,如图,直线AB：y=－x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A,过点B作直线AB的垂线交y轴于点D.（1）求直线BD的解析式；（2）若点C是x轴负半轴上的任意一点,过点C作AC的垂线与BD相交于点E,请你判断：线段AC与CE的大小关系并证明你的判断；（3）若点G为第二象限内任一点,连结EG,过点A作AF⊥FG于F,连结CF,当点C在x轴的负半轴上运动时,∠CFE的度数是否发生变化若不变,请求出∠CFE的度数；若变化,请求出其变化范围.2.直线y=x+2与x、y轴交于A、B两点,C为AB的中点.（1）求C的坐标；（2）如图,M为x轴正半轴上一点,N为OB上一点,若BN+OM=MN,求∠NCM的度数；（3）P为过B点的直线上一点,PD⊥x轴于D,PD=PB,E为直线BP上一点,F为y轴负半轴上一点,且DE=DF,试探究BF－BE的值的情况.3.如图,一次函数y=ax－b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A,与y轴交于B0,－4且OA=AB,△OAB的面积为6.（1）求两函数的解析式；（2）若M2,0,直线BM与AO交于P,求P点的坐标；（3）在x轴上是否存在一点E,使S△ABE=5,若存在,求E点的坐标；若不存在,请说明理由;。

2021年中考数学《二次函数综合压轴题》模拟训练题集(三)

2021年中考数学《二次函数综合压轴题》模拟训练题集（三）1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，C两点（点A在点C左侧），与y轴交于点B，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，连结PO，PB，PC．（1）当m＝2时，求证：△OPB≌△OPC．（2）直线BC交直线OP于点Q，当P为OQ中点时，求点Q坐标．（3）当S△OPB＝S△OPC，求所有满足条件的点P坐标．2．如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，直线AB的解析式为：y＝x+4；（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过P作PD∥y轴交直线AB于D，若点P的横坐标为t，PD的长度为d，求d与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，延长DP交x轴于E，点F在BE上，EF＝PD，连接PF，过F作FQ⊥PF交AB于Q，直线PQ交x轴于点M，求t为何值时PM＝2PQ．4．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．（1）求抛物线的解析式与点B坐标；（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB ∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0）与y轴交于点C，点E（1，﹣4）为抛物线的顶点，且OD＝OA．（1）求抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与△BCE相似，若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且∠ACO＝∠CBO．（1）求线段OC的长度；（2）若点D在第四象限的抛物线上，连接BD、CD，求△BCD的面积的最大值；（3）若点P在平面内，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x﹣1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．①求此时m的值．②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线x＝m（在A、B之间）交抛物线于M点，交直线AB于N，用m表示线段MN的长．（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）直接写出B点的坐标；（2）求该二次函数的解析式；（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP的面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P的坐标，若不存在说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x＝﹣2，顶点为D．（1）填空：抛物线的解析式为，顶点D的坐标为，直线AB的解析式为；（2）在直线AB左侧抛物线上存在点E，使得∠EBA＝∠ABD，求E的坐标；（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ ＝1：2时，求出点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点且点B（3，0），与y 轴的负半轴交于点C，OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，连接AC，点P为直线BC下方的抛物线上的一点，过点P作PQ∥AC交AB于点Q，交直线BC于点D，若PD＝DQ，求点P的坐标．（3）在（1）的条件下，点D为该抛物线的顶点，过点C作x轴的平行线交抛物线与另一点R，过点R作RH⊥AB于点H，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点M，连接DM交RH于点Q，当MQ＝2RQ时，求∠MQH的度数．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C．（1）求直线AC解析式；（2）过点A作AD平行于x轴，交抛物线于点D，点F为抛物线上的一点（点F在AD上方），作EF平行于y 轴交AC于点E，当四边形AFDE的面积最大时？求点F的坐标，并求出最大面积；（3）若动点P先从（2）中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当动点P的运动路径最短时，求点N的坐标，并求最短路径长．14．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ∥y轴交BC于Q，当线段PQ的长度最大时，在x轴上找一点M，使PM+CM的值最小，求PM+CM的最小值；（3）抛物线的顶点为点E，连接AE，在抛物线上是否存在一点N，使得直线AN与直线AE的夹角为45度，若存在请直接写出满足条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC与点Q，当点P在何位置时，线段PQ 的长度有最大值？（3）点M在x轴上，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M，点N，使以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（0，4）两点．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P为第一象限内抛物线上一点，求P点坐标为多少时，△BCP的面积最大，并求出这个最大面积．（3）在直线CD上有点E，作EF⊥x轴于点F，当以O、B、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出E点坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在直线AB上，当P，Q关于原点O成中心对称时，求点Q的坐标；（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．19．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求B、D两点的坐标；（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，设F为y轴一动点，当线段PM长度最大时，求PH+HF+CF的最小值；（3）在第（2）问中，当PH+HF+CF取得最小值时，将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OH′F′，过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．20．如图，已知直线y＝﹣x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．（1）求图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6相交于A（，）和B（4，m），直线AB交x轴于点E，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连结AC、BC，是否存在一点P，使△ABC的面积等于14？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△P AC与△PDE相似，求点P的坐标．22．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点D（0，3）．（1）求抛物线的表达式以及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得DP+CP最小，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点．过点Q作x轴的垂线，交线段BD于点E，再过点Q作QF∥x 轴交抛物线于点F，连结EF，请问是否存在点Q使△QEF为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．23．如图，抛物线y＝（x+2）2+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为M，点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及A，C，D的坐标；（2）判断△ABM的形状，并证明你的结论；（3）若点P是直线BD上一个动点，是否存在以P，C，D为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由24．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．26．已知：如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），该抛物线的顶点为M．（1）求点A、B的坐标以及c的值．（2）求直线BM的函数解析式．（3）试说明：点C在以BM为直径的圆上．（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，直线l：y＝﹣3x+8与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+9（a＜0）经过点B．（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，①当点M（2，n）时，求n，并求△ABM的面积．②当点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值和此时点M的坐标．28．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点，其中点A（﹣1，0），抛物线与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图2，直线l是抛物线的对称轴，点P是直线l上一动点，是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（2）如图3，连接BC，点M是直线BC上方的抛物线上的一个动点，当△MBC的面积最大时，求△MBC的面积的最大值；点N是线段BC上的一点，求MN+BN的最小值．29．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，点D是抛物线上的动点，连结AD与y轴相交于点E，连结AC，CD．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当AD平分∠CAB时，①求直线AD所对应的函数表达式；②设P是x轴上的一个动点，若△P AD与△CAD相似，求点P的坐标．30．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当△ABP的面积为3时，求出点P的坐标；（3）过B作BC⊥OA于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当∠BAG+∠OBC＝∠BAO时，请直接写出此时点G的坐标．31．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得△APB的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标．32．如图1，已知抛物线；C1：y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），与y 轴交于点E．（1）求点B、点C的坐标；（2）当△BCE的面积为6时，若点G的坐标为（0，b），在抛物线C1的对称轴上是否存在点H，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H的坐标（用含b的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．33．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y＝﹣x+2经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．①求△PBC面积最大值和此时m的值；②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．34．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，A左B右（AO＜BO），交y轴于C，AB＝10，∠ACB＝90°．（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限中的抛物线上，PQ⊥AB于Q，交CB于T，设P点横坐标为t，PT的长为d，求出d与t 的函数解析式；（3）在（2）条件下，过C作x轴的平行线交抛物线于D，交PQ于F，连DQ，延长CP、QD交于R点，若CR＝QR，求R点坐标．35．如图，抛物线C1的图象与x轴交A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1关于直线x＝1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，点E 为抛物线C3的顶点，在抛物线C2的对称轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在请求出点F的坐标，若不存在请说明理由．36．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．37．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．38．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标；若不存在，说明理由．39．已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a﹣2（a＞0），直线l：y＝﹣x+b．（1）如图1，若抛物线C1的顶点为D（1，﹣6），直线l与C1交于两点H、Q，∠HDQ＝45°．①求抛物线C1的解析式；②求b的值；（2）如图2，将抛物线C1向上平移2个单位得抛物线C2，直线l与C2交于两点M、N（M在N左侧），E为MN中点，点P为y轴左侧抛物线上一动点，过E点作x轴的垂线分别交直线MP、NP、抛物线C2于G、F、H，求线段FH与GH的数量关系．40．如图，抛物线的顶点P（m，1）（m＞0），与y轴的交点C（0，m2+1）．（1）求抛物线的解析式（用含m的式子表示）（2）点N（x，y）在该抛物线上，NH⊥直线y＝于点H，点M（m，）且∠NMH＝60°．①求证：△MNH是等边三角形；②当点O、P、N在同一直线上时，求m的值．41．如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线解析式；（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；②当DE＝AD时，求m的值．42．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点F是点B关于x轴的对称点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点F，与直线AB交于点C．（1）求b和c的值；（2）点P是直线AC下方的抛物线上的一动点，连结P A，PB．求△P AB的最大面积及点P到直线AC的最大距离；（3）点Q是抛物线上一点，点D在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．43．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC于点Q，求线段PQ长度的最大值，及此时点P的坐标；（3）点M在x轴上，点N在抛物线的对称轴上，若以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．44．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为D．（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（﹣5，0），将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E．当点E恰好在该二次函数的图象上时，求t的值；（3）在（2）的条件下，连接AD、AE．若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE＝∠MCB，求点M的坐标．45．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P 在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．46．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴正半轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当＝时，求点M的坐标；（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠P AB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P的坐标．48．如图，抛物线y＝﹣+bx+c交x轴于点A、B（A在B左侧），交y轴于点C，直线y＝﹣x+6经过点B、C．（1）求抛物线解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，连接P A交BC于点D，设点P的横坐标为t，的值为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E为线段OB上一点，连接CE，过点O作CE的垂线交BC于点G，连接PG并延长交OB于点F，若∠OGC＝∠BGF，F为BE中点，求t的值．49．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）点A的坐标为，点B的坐标为．（2）①求抛物线的解析式；②直线AB与抛物线的对称轴交于点E，在x轴上是否存在点M，使得ME+MB最小，求出点M的坐标．（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．50．定义：在平面直角坐标系中，如果点M（m，n）和N（n，m）都在某函数的图象l上，则称点M、N是图象l 的一对“相关点”．例如，点M（1，2）和点N（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对相关点．（1）请写出反比例函数y＝的图象上的一对相关点的坐标；（2）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．①求抛物线的解析式；②若点M、N是抛物线y＝x2+bx+c上的一对相关点，直线MN与x轴交于点A（1，0），点P为抛物线上M、N 之间的一点，求△PMN面积的最大值．。

2021-2022学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校八年级(上)期末数学试卷

2021-2022学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，每个小题只有一个正确的选项，选择正确的选项前的序号）1．（3分）下列计算正确的是（）A．＝±3B．C．D．2．（3分）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（）A．B．C．3.6D．3.73．（3分）下列命题为真命题的是（）A．两直线被第三直线所截，同旁内角互补B．三角形的一个外角等于任意两个内角的和C．平行于同一条直线的两条直线平行D．若甲、乙两组数据的平均数都是3，S甲2＝0.8，S乙2＝1.4，则乙组数据较稳定4．（3分）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≥1且x≠0B．x≠0C．x≤1且x≠0D．x≤15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中：①a2：b2：c2＝1：2：3；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；④a＝9，b＝40，c＝41．不能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有（）个．A．1B．2C．3D．46．（3分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，井深为y尺，则符合题意的方程组是（）A．B．C．D．7．（3分）已知点M（m，﹣1）与点N（3，n）关于原点对称，则m+n的值为（）A．3B．2C．﹣2D．﹣38．（3分）匀速地向如图的容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面的高度h随时间t的变化而变化，变化规律为一折线，下列图象（草图）正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）等式＝（b﹣a）成立的条件是（）A．a≥b，x≥0B．a≥b，x≤0C．a≤b，x≥0D．a≤b，x≤0 10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则一次函数y＝（k﹣4）x﹣k+4的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共16分）3型11．（4分）如果实数x，y满足方程组，那么（2x﹣y）2022＝．12．（4分）实数的平方根是x，﹣27的立方根是y，则2x﹣y的值为．13．（4分）如图，直线AB：y＝2x﹣4交x轴于点A，交y轴于点B，直线OC交AB于点C，且CO＝CA，则直线OC的解析式为．14．（4分）如果一个直角三角形的两边长分别是3，4，那么这个直角三角形斜边上的高长最小值为．三、解答题（共54分）15．（12分）（1）计算：．（2）解方程组：．16．（8分）已知，b＝．求：（1）ab﹣a+b的值；（2）求a2+b2+2的值．17．（8分）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1），B（3，1），C（2，3），请回答如下问题：（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置，连接AB，AC，BC；判断△ABC的形状是；（2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（8分）某中学为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6个型号）：根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有名学生；（2）补全条形统计图；（3）该班学生所穿校服型号的众数为，中位数为；（4）如果该校预计招收新生1500名，根据样本数据，估计新生穿170型校服的学生大约有多少名？19．（8分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．（1）若∠1＝50°，求∠2，∠3的度数；（2）若AD＝6，AB＝2，求CF．20．（10分）元旦节期间，某天小王和小明都乘车从成都到重庆，成都、重庆两地相距约为300千米，小王先乘车从成都出发，小明坐动车先以80千米/小时速度追赶小王．如图，线段OA表示小王离成都的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD 表示小明离成都的距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）小明到达重庆后，小王距重庆还剩多少千米？（2）求线段CD和OA对应的函数解析式；（3）求小明从成都出发后多长时间与小王相遇．一、填空题（每小题4分，共20分）21．（4分）已知函数是关于x的一次函数，则m＝．22．（4分）已知直线y＝3x与y＝﹣2x+b的交点为（﹣1，a），则这个方程组的解为．23．（4分）在一个长6+2米，宽为4米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米．24．（4分）如图，已知直线y＝﹣x+2与坐标轴交于点B、A．过线段AB的中点A1做A1B1⊥x轴于点B1，过线段A1B的中点A2作A2B2⊥x轴于点B2，过线段A2B的中点A3作A3B3⊥x轴于点B3…以此类推，则△A2022B2022B2021的面积为．25．（4分）如图，平面直角坐标系中，点B（8，﹣6），直线y＝x﹣6与坐标轴交于点E、C，点P在x轴的正半轴上，点Q为射线CE上的一个动点，连接BQ，BP，PQ．当△PBQ 为等腰直角三角形时，点P的坐标为．二、解答题（共30分）26．（8分）为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%．（1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？（2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？27．（10分）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°．现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转一周过程中，当∠EDF的两边DE，DP分别交射线AC于点G，H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM；（1）如图2，填空：线段AM与CG的关系是；（2）如图2，连接MH，写出AH、CG、GH三条线段之间的关系，并说明理由．（3）若，则AH的长为．28．（12分）如图1．分别以长方形OABC的边OC，OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知AO＝10，AB＝6，点E在线段OC上，把△OAE以直线AE为轴进行翻折，点O的对应点恰好落在线段BC上．（1）分别求点D，E的坐标．（2）如图2，若直线AD与x轴相交于点F，求直线AD表达式及点F的坐标．（3）若点P是x轴上的一动点，是否存在以A，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

2021-2022学年沪科版九年级数学下册第24章圆难点解析试题(含详细解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，那么扇形的面积（） A ．不变B ．面积扩大为原来的3倍C ．面积扩大为原来的9倍D ．面积缩小为原来的132、如图，O 是△ABC 的外接圆，已知25ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．75°3、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB CD ∥，若80AOC ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°AB cm，则水的最大4、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8深度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm5、下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6、点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（）A．(－3，1) B．(3，1) C．(3，－1) D．(－3，－1)7、往直径为78cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cm AB =，则水的最大深度为（）A ．36 cmB ．27 cmC ．24 cmD ．15 cm8、下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转到点D 落在AB 边上，此时得到△EDC ，斜边DE 交AC 边于点F ，则图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．1CD 10、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为_______．∥，2、AB是O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP OA的度数为_______．AP与OB交于点C，则OCP3、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．4、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．5、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB 上取一点E ，联结DE ，将ADE 绕点D 针旋转90°，E 点落在点F 处，联结EF ，与对角线BD 所在的直线交于点M ，与射线DC 交于点N ．求证：（1）当13AE =时，求tan EDB ∠的值；（2）当点E 在线段AB 上，如果AE x =，FM y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM ，直线AM 与直线BC 交于点G ，当13BG =时，求AE 的值．2、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC AB ⊥，连接OC ，弦AD OC ∥，直线CD 交BA 的延长线于点E ．（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若2DE BC =，10AD =，求OC 的长．3、已知，P 是直线AB 上一动点（不与A ，B 重合），以P 为直角顶点作等腰直角三角形PBD ，点E 是直线AD 与△PBD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，直线BE 与直线PD 相交于点F ．（1）如图，当点P 在线段AB 上运动时，若∠DBE ＝30°，PB ＝2，求DE 的长；（2）当点P 在射线AB 上运动时，试探求线段AB ，PB ，PF 之间的数量关系，并给出证明． 4、如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明； ②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；（2）将图1中的CDE △绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.5、在正方形ABCD 中，过点B 作直线l ，点E 在直线l 上，连接CE ，DE ，其中CE BC =，过点C 作CF DE ⊥于点F ，交直线l 于点H ．（1）当直线l 在如图①的位置时①请直接写出ECH ∠与HCD ∠之间的数量关系______． ②请直接写出线段BH ，EH ，CH 之间的数量关系______．（2）当直线l 在如图②的位置时，请写出线段BH ，EH ，CH 之间的数量关系并证明；（3）已知2AB =，在直线l 旋转过程中当15EBC ∠=︒时，请直接写出EH 的长．-参考答案-一、单选题1、A【分析】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19n，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．【详解】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，∴原来扇形的面积为2 360n rπ，∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19 n，∴变化后的扇形的面积为221(3)9360360n r n rππ=，∴扇形的面积不变．故选：A．本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键． 2、C 【分析】由OA=OB ，25ABO ∠=︒，求出∠AOB =130°，根据圆周角定理求出ACB ∠的度数．【详解】解：∵OA=OB ，25ABO ∠=︒， ∴∠BAO =25ABO ∠=︒． ∴∠AOB =130°． ∴ACB ∠=12∠AOB =65°．故选：C ．【点睛】此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 3、B 【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得40ADC ∠=︒，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．【详解】解：∵80AOC ∠=︒， ∴1402ADC AOC ∠=∠=︒， ∵AB CD ∥，∴40BAD ADC ∠=∠=︒，【点睛】题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．4、B【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB=8cm，∴BD=12AB=4（cm），由题意得：OB=OC=1102⨯=5cm，在Rt△OBD中，OD3=（cm），∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），即水的最大深度为2cm，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、A【分析】中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．【详解】解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．6、C【分析】据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答即可．【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P（-3，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，-1）．故选：C．【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．7、C【分析】于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求连接OB，过点O作OC AB出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，如图所示：则136()2BD AB cm==，O的直径为78cm，39()OB OC cm∴==，在Rt OBD△中，15()OD cm，391524()CD OC OD cm∴=-=-=，即水的最大深度为24cm，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8、C【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C 选项符合题意；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．9、D【分析】根据题意及旋转的性质可得DBC △是等边三角形，则30DCF ∠=︒，90DFC ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得DF ，由勾股定理即可求得CF ，进而求得阴影部分的面积．【详解】解：如图，设AC 与DE 相交于点F ，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60B ∴∠=︒，旋转，∴,60BC CD FDC B =∠=∠=︒，∴DBC △是等边三角形，2CD BC ∴==，60DCB ∠=︒，90,60ACB DCB ∠=︒∠=︒，30DCF ∴∠=︒，18090DFC DCF FDC ∴∠=-∠-∠=︒，112DF CD ∴==，FC ∴=∴阴影部分的面积为11122DF FC ⨯=⨯故选D【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，利用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．10、A【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，853CD BC BD ∴=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．二、填空题1、34y x =+##【分析】先求出点A 、B 的坐标，过点A 作AF ⊥AB ，交直线BC 于点F ，过点F 作EF ⊥x 轴，垂足为E ，然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F 的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案．【详解】解：∵一次函数y ＝－2x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，∴令0x =，则4y =；令0y =，则2x =，∴点A 为（2，0），点B 为（0，4），∴2OA =，4OB =；过点A 作AF ⊥AB ，交直线BC 于点F ，过点F 作EF ⊥x 轴，垂足为E ，如图，∴90AEF AOB ∠=∠=︒，∴90FAE BAE ABO BAE ∠+∠=︒=∠+∠，∴FAE ABO ∠=∠，∵45ABE ∠=︒，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF =AB ，∴△ABO ≌△FAE （AAS ），∴AO =FE ，BO =AE ，∴2FE =，4AE =，∴422OE =-=，∴点F 的坐标为（2-，2-）；设直线BC 为y ax b =+，则224a b b -+=-⎧⎨=⎩，解得：34a b =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为34y x =+；故答案为：34y x =+；【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．2、90°【分析】先根据AB 是O 的内接正六边形一边得60AOB ∠=︒，再根据圆周角性质得30APB ∠=︒，再根据平行线的性质得30OAP ∠=︒,最后由三角形外角性质可得结论．【详解】解：∵AB 是O 的内接正六边形一边∴60AOB ∠=︒∴30APB ∠=︒∵BP OA ∥∴=30OAP APB ∠∠=︒∴603090OCP AOC OAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为90°【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键 3、3π 【分析】根据圆心角为n ︒的扇形面积是2360n R S π=进行解答即可得．【详解】解：这个扇形的面积212013603ππ⨯==．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．4、140【分析】作ABC ∆的外接圆，根据三角形内心的性质可得：12IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠，再由三角形内角和定理得出：70A ∠=︒，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．【详解】解：如图所示，作ABC ∆的外接圆，∵点I 是ABC ∆的内心，∴BI ，CI 分别平分ABC ∠和ACB ∠， ∴12IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠，∵125BIC ∠=︒，∴18012555IBC ICB ∠+∠=︒-︒=︒，∴()2110ABC ACB IBC ICB ∠+∠=∠+∠=︒，∴70A ∠=︒，∵点O 是ABC ∆的外心，∴2140BOC A ∠=∠=︒，故答案为：140．【点睛】题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．5、2π3【分析】根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可．解：如图，AC ⊥OB ，∵圆心角为60°，OA =OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OC =12OB =1，∴AC =，∴S △OAB =12OB ×AC =12∵S 扇形OAB =2602360π⨯=2π3，∴弓形（阴影部分）的面积= S 扇形OAB - S △OAB =2π3故答案为：2π3【点睛】本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．1、（1）12；（2）(112y x =+ （3）AE的值为2．【分析】（1）过点E 作EH ⊥BD 与H ，根据正方形的边长为1，13AE =，求出EB =1-12133AE =-=，根据正方形性质可求∠ABD =45°，根据EH ⊥BD ，得出∠BEH =180°-∠EBH -∠EHB =180°-45°-90°=45°，求出EH =BH =BEsin45=2323=，以及 DH =DB -BH= （2）解：根据AE =x ，求出BE =1-x ，根据旋转将△ADE 绕点D 针旋转90°，得到△DCF ，CF =AE =x ，根据勾股定理ED =FDEF=DEF 为等腰直角三角形，先证△BEM ∽△FDM BM y =，再证△EMD∽△BMF，得出=11x x -=+ （3）当点G 在BC 上，13BG =，先证△BGM ∽△DAM ，得出11313BG BM DA DM ===，由（2）知△BEM ∽△FDM ，得出BM BE MF DF =4y =(112y x =+y ，当点G 在CB 延长线上，13BG =，过M 作ML ⊥BC ，交直线BC 于L ，证明△BGM ∽△DAM ，得出12BM BD =，根据∠LBM =∠CBD =45°，ML ⊥BC ，证出△MLB 为等腰直角三角形，再证△MLB ∽△DCB ，12BM ML BD DC ==，CD =1，ML =12，ML∥BE ，结合△LMF ∽△BEF ，得出LM LF BE BF =即132211x x x+=-+解方程即可．（1）解：过点E 作EH ⊥BD 与H ，∵正方形的边长为1，13AE =， ∴EB =1-12133AE =-=，∵BD 为正方形对角线，∴BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =45°，∵EH ⊥BD ，∴∠BEH =180°-∠EBH -∠EHB =180°-45°-90°=45°， ∴EH =BH ，∴EH =BH =BEsin45=23=AB =BD cos45°，∴1BD == ∴DH =DB -BH=1tan 2EH EDB HD ∠===；（2）解：如上图，∵AE =x ，∴BE =1-x ，∵将△ADE 绕点D 针旋转90°，得到△DCF ，∴CF =AE =x ，ED =FD =∴BF =BC +CF =1+x ，在Rt△EBF 中EF ∵∠EDF =90°，ED =FD ，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴∠DFE =∠DEF =45°，∴∠EBM =∠MFD =45°，∵∠EMB =∠DMF ， ∴△BEM ∽△FDM ，∴BE BMDF FM =BM y =， ∵∠DEM =∠FBM =45°，∠EMD =∠BMF ， ∴△EMD ∽△BMF ，∴ED EM BF BM ==BM y =，∴11x x -+，∴111x x x -+++即21x =+∴(112y x =+ （3）解：当点G 在BC 上，13BG =， ∵四边形ABCD 为正方形，∴AD∥BG ，∴∠DAM =∠BGM ，∠ADM =∠GBM ，∴△BGM ∽△DAM ， ∴11313BG BM DA DM ===，∵由（2）知△BEM ∽△FDM ， ∴BM BE MF DF=， ∵DB=∴13BM DM BM DM =+=，∴BM =∴4y = ∵(112y x =+∴(4112x =+2112x -=，解1x =2x =当点G 在CB 延长线上，13BG =，过M 作ML ⊥BC ，交直线BC 于L ， ∵GB∥AD ，∴∴∠DAM =∠BGM ，∠ADM =∠GBM ，∴△BGM ∽△DAM ， ∴11313BG BM DA DM ===， ∴13BM DM =， ∴12BM BD =， ∵∠LBM =∠CBD =45°，ML ⊥BC ，∴△MLB 为等腰直角三角形，∵ML∥CD ，∴∠LMB =∠CDB ，∠L =∠DCB ，∴△MLB ∽△DCB ，∴12BM ML BD DC ==，CD =1， ∴ML =12∵ML∥BE ，∴∠L =∠FBE ，∠LMF =∠BEF ，∴△LMF ∽△BEF ， ∴LM LF BE BF=， ∵BE =AE -AB =x -1，LF =LB +BC +CF =13122x x ++=+，BF =BC +CF =1+x ， ∴132211x x x+=-+，整理得：224x =，解得3x4x =∴AE【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转先证，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数定义，三角形相似判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，函数关系式，本题难度大，利用辅助线狗仔三角形相似是解题关键．2、（1）见解析；（2）15OC =【分析】（1）连接OD ，由AD ∥OC 及OD =OA ，即可得到∠COB =∠DOC ，从而可证得△OBC ≌△ODC ，即可证得CD 是⊙O 的切线；（2）由AD ∥OC 可得△EAD ∽△EOC ，可得ED AD EC OC =，再由△OBC ≌△ODC 得BC =CD ，从而可得23AD OC =，则可求得OC 的长．【详解】（1）连接OD ，∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠．又∵//AD OC ，∴DAO COB ∠=∠，ADO DOC ∠=∠∴COB DOC ∠=∠．在OBC 与ODC 中，,,,OB OD COB DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()OBC ODC SAS ≌，∴CBO CDO ∠=∠．又∵BC AB ⊥，∴90CBO CDO ∠=∠=︒，∴CD 是O 的切线．（2）∵AD OC ，∴EAD EOC ∠=∠，∴EAD EOC ∽， ∴ED AD EC OC=．又∵OBC ODC ≌，∴CB CD =，∴22DE BC CD ==， ∴2223ED CD EC CD CD ==+， ∴23AD OC =， ∴1023OC =， ∴OC =15【点睛】本题是圆的综合，它考查了切线的判定，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识；证明圆的切线时，往往作半径．3、（1（2）PF =AB -PB 或PF =AB +PB ，理由见解析【分析】（1）根据△PBD 等腰直角三角形，PB ＝2，求出DB 的长，由⊙O 是△PBD 的外接圆，∠DBE ＝30°，可得答案；（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP =∠FBP ，由△PBD 等腰直角三角形，得∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，可证△APD ≌△FPB ，可得答案．【详解】解：（1）由题意画以下图，连接EP ，∵△PBD 等腰直角三角形，⊙O 是△PBD 的外接圆，∴∠DPB =∠DEB =90°，∵PB ＝2，∴DB ，∵∠DBE ＝30°，∴1122DE DB ==⨯=（2）①点P 在点A 、B 之间，由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：∠ADP =∠FBP ，又∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，在△APD 和△FPB 中ADP FBP DP BPDPB APD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∵AP +PB =AB∴FP +PB =AB ，∴FP =AB -PB ，②点P 在点B 的右侧，如下图：∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APF =90°，DP =BP ，∵∠PBF+∠EBP =180°，∠PDA +∠EBP =180°，∴∠PBF =∠PDA ，在△APD 和△FPB 中DPB APF DP BPPBF PDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∴AB +PB =AP ，∴AB +PB =PF ，∴PF = AB +PB ．综上所述，FP =AB -PB 或PF = AB +PB ．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况．4、（1）①∠CAE =∠CBD ，理由见解析；②证明见解析；（2）AE =2CF 仍然成立，理由见解析【分析】（1）①只需要证明△CAE ≌△CBD 即可得到∠CAE =∠CBD ；②先证明∠CAH =∠BCF ，然后推出∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，得到CF =DF ，CF =BF ，则BD =2CF ，再由△CAE ≌△CBD ，即可得到AE =2BD =2CF ；（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ，只需要证明△ACE ≌△BCG 得到AE =BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG =2CF ，即可证明AE =2CF ．【详解】解：（1）①∠CAE =∠CBD ，理由如下：在△CAE 和△ CBD 中，=CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△CAE ≌△CBD （SAS ），∴∠CAE =∠CBD ；②∵CF ⊥AE ，∴∠AHC =∠ACB =90°，∴∠CAH +∠ACH =∠ACH +∠BCF =90°，∴∠CAH=∠BCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，∴CF=DF，CF=BF，∴BD=2CF，又∵△CAE≌△CBD，∴AE=2BD=2CF；（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，∴∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，又∵CE=CD=CG，AC=BC，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴AE=BG，∵F是BD的中点，CD=CG，∴CF是△BDG的中位线，∴BG=2CF，∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．5、（1）① ECH HCD ∠=∠；②BH EH +；（2）BH EH -=；证明见解析；（3）EH【分析】（1）①ECH HCD ∠=∠，根据CE =BC ，四边形ABCD 为正方形，可得BC =CD =CE ，根据CF ⊥DE ，得出CF 平分∠ECD 即可；②BH EH +=，过点C 作CG ⊥BE 于G ，根据BC =EC ，得出∠ECG =∠BCG =12BCE ∠，根据∠ECH =∠HCD =12DCE ∠，可得CG =HG ，根据勾股定理在Rt△GHC 中，2222+2CG GH HC GH ==，根据GE =()1122BE BH EH =-，得出()222HC BH EH =+即可；（2）BH EH -，过点C 作CM CH ⊥交BE 于点M ，得出90MCH BCD ∠=∠=︒，先证()ECH BCM ASA ∆∆≌得出EH BM =，CM CH =可证MCH △是等腰直角三角形，可得MH 即可；（3）EH =15EBC ∠=︒，分两种情况，当∠ABE =90°-15°=75°时，BC =CE ，先证△CDE 为等边三角形，可求∠FEH =∠DEC =∠CEB =60°-15°=45°，根据CF ⊥DE ，得出DF =EF =1，∠FHE =180°-∠HFE -∠FEH =45°，根据勾股定理HE==∠ABE=90°+15°=105°，可得BC=CE得出∠CBE=∠CEB=15°，可求∠FCE=1602DCE∠=︒，∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，根据30°直角三角形先证得出CF=112122CE=⨯=，根据勾股定理FH=FE，得出EH 【详解】解：（1）①ECH HCD∠=∠∵CE=BC，四边形ABCD为正方形，∴BC=CD=CE，∵CF⊥DE，∴CF平分∠ECD，∴∠ECH=∠HCD，故答案为：∠ECH=∠HCD；②BH EH+=，过点C作CG⊥BE于G，∵BC=EC，∴∠ECG=∠BCG=12BCE ∠，∵∠ECH=∠HCD=12DCE ∠，∴∠GCH =∠ECG +∠ECF =12BCE ∠+()1119045222DCE BCE DCE ∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴∠GHC =180°-∠HGC +∠GCH =180°-90°-45°=45°，∴CG =HG ，在Rt △GHC 中，∴2222+2CG GH HC GH ==，∵GE =()1122BE BH EH =-， ∴GH =GE +EH =()()1122BH EH EH BH EH -+=+， ∴()2221222HC GH BH EH ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦， ∴()222HC BH EH =+，∴BH EH +=，故答案是：BH EH +=；（2）BH EH -，证明：过点C 作CM CH ⊥交BE 于点M ，则90MCH BCD ∠=∠=︒，∴90MCH HCD MCH BCM ∠+∠=∠+∠=︒⁰，∴HCD BCM ∠=∠，∵CE BC CD ==，CF DE ⊥，∴HCD ECH ∠=∠，HEC MBC ∠=∠，∴ECH BCM ∠=∠，∴()ECH BCM ASA ∆∆≌，∴EH BM =，CM CH =，∴MCH △是等腰直角三角形，∴MH =，∵BH BM MH -=，∴BH EH -=，（3）EH =∵15EBC ∠=︒，分两种情况，当∠ABE =90°-15°=75°时，∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=15°，∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB==180°-15°-15°=150°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°=90°=60°，∵CE=CD，∴△CDE为等边三角形，∴DE=CD=AB=2，∠DEC=60°，∴∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°，∵CF⊥DE，∴DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，∴EF=HF=1，∴HE==当∠ABE=90°+15°=105°，∵BC=CE，∠CBE=∠CEB=15°，∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=150°，∴∠DCE=360°-∠DCB-∠BCE=120°，∵CE=BC=CD，CH⊥DE，∴∠FCE=1602DCE∠=︒，∴∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，∴CF=1121 22CE=⨯=，∴EF=∵∠HEF=∠CEB+∠CEF=15°+30°=45°，∴∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°=∠FEH，∴FH=FE，∴EH=∴EH=．【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转性质，勾股定理，等边三角形，等腰直角三角形性质，角平分线，线段和差，掌握正方形性质，图形旋转性质，勾股定理，等边三角形，等腰直角三角形性质，角平分线，线段和差是解题关键．。

北师大版八年级数学上册期中压轴题复习练习题(含答案) (1)

北师大版八年级数学上册期中压轴题复习练习题1、如图，长方形AB C D中A D∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；（2）求△BEF的面积．2、如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣O B的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+O B的值．3、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线O C：y＝x交于C．（1）如图1若直线AB的解析式：y＝﹣2x+12①求点C的坐标；②求△OA C的面积；（2）如图2，作∠A O C的平分线O N，若AB⊥O N，垂足为E，且OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接A Q与P Q，是探索AQ+P Q是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．（I）请用含m的式子表示△AB M的面积；（I I）当m＝时，在y轴上有一点P，使△B M P的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．5、如图，正方形AB C D的顶点A、B分别在x轴和y轴上，D C的延长线交y轴于E，CB的延长线交x的负半轴于F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）连接EF，若EF＝5，OF＝1，OB＝2，求正方形AB C D的边长；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿x轴正方向向右移动，当AP为多少时，△PAD为等腰三角形？6、如图，△ACB和△EC D都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EC D＝90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BC D；（2）若CB＝3，A D＝2，求D E的长．7、如图1，Rt△AB C中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求C E；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接C D，若△AC D为等腰三角形，求A D．8、如图，直线y＝﹣2x+4交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣2）在y轴上，连接AC．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P是直线AB上一点，若△APC的面积为4，求点P；（3）过点B的直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，求直线BE．9、有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；米/分；（3）若线段F G∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为（4）求A、C两点之间的距离；（5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米．10、如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△A O C＝10．（1）求点A的坐标及m的值；（2）若S△B OP＝S△D O P，求直B D的解析式；（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QA O的面积等于△B O D面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11、如图1，正方形OAB C，其中O是坐标原点，点A（3，1）．（1）直接写出点B、C的坐标；（2）对于两条直线l：y＝k x+b和l：y＝k x+b，若有k•k＝﹣1，则可得l⊥l．比111122221212如：l：y＝x+1和l：y＝﹣x+3，因为，所以l⊥l．112212连接AC、OB，已知AC交y轴于点M，证明：AC、O B所在的直线互相垂直；（3）如图2，已知点D在第四象限，A D∥y轴，且A D＝3，P是直线OB上一点，连接PA、P D、A D，求△PAD的周长最小值．12、如图1，长方形OAB C的边O A、O C分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△A O C沿对角线AC翻折得△A D C，A D与BC相交于点E．（1）求证：△CD E≌△ABE（2）求E点坐标；（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得△PO A的面积等于△A CE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．13、如图，已知直线c和直线b相交于点（2，2），直线c过点（0，3）．平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方）．（1）求直线b和直线c的解析式；（2）若P是y轴上一个动点，且满足△P DE是等腰直角三角形，求点P的坐标．14、（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？15、如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）222（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a+b＝c；（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△A O B的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．①请写出C、D两点的坐标；②若△C M D为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．16、如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点．直1线l：y＝﹣4x+b与l交于点D（﹣3，8）且与x轴，y轴分别交于C，E．21（1）求出点A坐标，直线l解析式；2（2）如图2，点P为线段A D上一点（不含端点），连接CP，一动点Q从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段P D以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用最少时间时点P的坐标；（3）如图3，平面直角坐标系中有一点G（m，2），使得S△CE G＝S△CEB，求点G坐标．参考答案1、如图，长方形AB C D中A D∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；（2）求△BEF的面积．【解答】解：（1）△BEF是等腰三角形．∵E D∥F C，∴∠DEF＝∠BFE，根据翻折不变性得到∠DEF＝∠BEF，故∠BEF＝∠BFE．∴BE＝BF．△BEF是等腰三角形；（2）∵矩形ABC D沿EF折叠点B与点D重合，∴BE＝DE，B G＝C D，∠EB G＝∠A D C＝90°，∠G＝∠C＝90°，∵AB＝C D，∴AB＝B G，设BE＝DE＝x，则AE＝AB﹣DE＝8﹣x，22在Rt△ABE中，AB+AE＝BE，222即4+（8﹣x）＝x，2解得x＝5，∴BE＝5，∵∠ABE+∠EBF＝∠ABC＝90°，∠GBF+∠EBF＝∠EB G＝90°，∴∠ABE＝∠GBF，在△ABE和△M B F中，，∴△ABE≌△GBF（ASA），∴BF＝BE＝5，∴△EBF的面积＝×5×4＝10．2、如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为（0，﹣3）；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣O B的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+O B的值．【解答】（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（3，3），∴PE＝PF＝3，在Rt△APE和Rt△BPF中，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴PA⊥PB；（2）解：由（1）证得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴PF＝PE，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝3，∵A（9，0），∴OA＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，∴点B的坐标为（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）；（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OB+O F＝O B+3，∴OA﹣3＝OB+3，∴OA﹣OB＝6；（4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，∴OA﹣3＝3﹣OB，∴OA+O B＝6．3、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线O C：y＝x交于C．（1）如图1若直线AB的解析式：y＝﹣2x+12①求点C的坐标；②求△OA C的面积；（2）如图2，作∠A O C的平分线O N，若AB⊥O N，垂足为E，且OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接A Q与P Q，是探索AQ+P Q是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）①联立AB、O C的函数表达式得：，，点C（4，4）；②直线AB的解析式：y＝﹣2x+12令y＝0，则x＝6，即OA＝6，S＝×OA×y＝×6×4＝12；△CO A C（2）O N是∠A O C的平分线，且AB⊥O N，则点A关于O N的对称点为点C，A O＝O C＝4，当C、Q、P在同一直线上，且垂直于x轴时，A Q+P Q有最小值CP，22设：CP＝OP＝x，则2x＝4＝16，解得：x＝2＝C P．4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．（I）请用含m的式子表示△AB M的面积；（I I）当m＝时，在y轴上有一点P，使△B M P的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．【解答】解：（I）如图1所示，过M作M E⊥x轴于E，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝4，∵在第三象限内有一点M（﹣2，m），∴M E＝|m|＝﹣m，∴S△AB M＝AB×M E＝×4×（﹣m）＝﹣2m；（I I）设B M交y轴于点C，如图2所示：设P（0，n），当m＝﹣时，M（﹣2，﹣），S△AB M＝﹣2m＝3，∵在y轴上有一点P，使得△B M P的面积＝△ABM的面积相等＝6，∵△B M P的面积＝△M P C的面积+△BP C的面积＝PC×2+PC×3＝3，解得：PC＝，设直线B M的解析式为y＝kx+d，把点M（﹣2，﹣），B（3，0）代入得：，解得：，∴直线B M的解析式为y＝当x＝0时，y＝﹣∴C（0，﹣），O C＝x﹣，，，当点P在点C的下方时，P（0，﹣﹣当点P在点C的上方时，P（0，﹣），即P（0，﹣），即P（0，）；）或（0，）．）；综上所述，符合条件的点P坐标是（0，﹣5、如图，正方形AB C D的顶点A、B分别在x轴和y轴上，D C的延长线交y轴于E，CB的延长线交x的负半轴于F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）连接EF，若EF＝5，OF＝1，OB＝2，求正方形AB C D的边长；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿x轴正方向向右移动，当AP为多少时，△PAD为等腰三角形？【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABC D是正方形，∴BC＝BA，∠ABC＝∠ABF＝∠BCE＝90°，∴∠EBC+∠AB O＝90°，∠AB O+∠BAF＝90°，∴∠EBC＝∠FAB，∴△ABF≌△BCE（ASA）．（2）解：如图2中，在Rt△E OF中，∵EF＝5，OF＝1，∴OE＝＝＝7，∵OB＝2，∴EB＝5，∵BF＝＝，∵△ABF≌△BCE，∴EC＝BF＝，在Rt△EBC中，B C＝＝2．∴正方形ABC D的边长为2．（3）解：如图3中，作D H⊥x轴于H，则△A D H≌△BA O（AAS）．可得A H＝O B＝2，①当DA＝DP时，∵⊥，1D H AP1∴A H＝H P＝2，1∴AP＝4．1②当A D＝AP时，＝＝AP AB22．2③当P＝A P DP M A时，由△A OB∽△，可得3＝，33∴＝，∴AP＝5，3综上所述，满足条件的AP的值为4或2或5．6、如图，△ACB和△EC D都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EC D＝90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BC D；（2）若CB＝3，A D＝2，求D E的长．【解答】（1）证明：∵△ACB和△EC D都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝D C，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE+∠AC D＝90°，∠D CB+∠AC D＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS）．（2）解：∵△ACE≌△BC D，∴∠EAC＝∠CBD，AE＝B D，∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBD＝45°，∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵CB＝3，∴AB＝6∵A D＝2，∴B D＝4，在Rt△AE D中，∵AE＝B D＝4，AD＝2∴DE＝＝2．7、如图1，Rt△AB C中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求C E；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接C D，若△AC D为等腰三角形，求A D．【解答】解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠E DA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△AED（AAS），∴CE＝DE，A C＝A D＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，B D＝25﹣15＝10在Rt△BE D中22∴x+10＝（20﹣x），2∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①当A D＝A C时，△AC D为等腰三角形∵AC＝15，∴A D＝A C＝15．②当C D＝A D时，△AC D为等腰三角形∵C D＝A D，∴∠D CA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠D CA+∠BC D＝90°，∴∠B＝∠BC D，∴B D＝C D，∴C D＝B D＝D A＝12.5，③当C D＝A C时，△AC D为等腰三角形，如图1中，作C H⊥BA于点H，则•AB•C H＝•AC•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴C H＝12，在Rt△AC H中，A H＝＝9，∵C D＝A C，C H⊥BA，∴D H＝H A＝9，∴A D＝18．8、如图，直线y＝﹣2x+4交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣2）在y轴上，连接AC．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P是直线AB上一点，若△APC的面积为4，求点P；（3）过点B的直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，求直线BE．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+4交X轴和y轴于点A和点B ∴当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2∴A（2，0），B（0，4）（2）设点P（a，﹣2a+4）①如图，当点P在x轴上方时，则S△APC＝S△ABC﹣S△BPC∴4＝∴a＝，把a＝代入y＝﹣2x+4＝﹣2×+4＝∴P（，）②如图，当点P在x轴下方时则S△APC＝S△BP'C﹣S△AB C∴4＝∴a＝把a＝∴P'（，代入y＝﹣2x+4＝﹣2×+4＝﹣，，﹣）（3）当∠ABE＝°，设直线BE：y＝kx b45+如图，过点A作A D⊥AB交BE于点D，过点D作D H⊥x轴∵∠ABE＝45°，∴△BA D为等腰直角三角形，∴AB＝A D，∠BAD＝90°，∴∠BA O+∠DA H＝90°，∠DA H+∠A D H＝90°，∴∠BA O＝∠A D H，在△A OB与△D H A中，∴△A OB≌△D H A（AAS），∵OA＝2，OB＝4∴O H＝4，D H＝2∴D（6，2）∵B（0，4）∴．9、有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为95米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；（3）若线段F G∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为60米/分；（4）求A、C两点之间的距离；（5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米．【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2＝95米/分；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx+b，∵1×（95﹣60）＝35，∴点F的坐标为（3，35），则，解得，，∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70；（3）∵线段F G∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；（4）A、C两点之间的距离为70+60×7＝490米；（5）设前2分钟，两机器人出发x分钟相距28米，由题意得，60x+70﹣95x＝28，解得，x＝1.2，前2分钟﹣3分钟，两机器人相距28米时，35x﹣70＝28，解得，x＝2.8．4分钟﹣7分钟，直线G H经过点（4，35）和点（7，0），则直线G H的方程为y＝﹣当y＝28时，解得x＝4.6，x+，答：两机器人出发1.2分或2.8分或4.6分相距28米．10、如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△A O C＝10．（1）求点A的坐标及m的值；（2）若S△B OP＝S△D O P，求直B D的解析式；（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QA O的面积等于△B O D面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵C（0，2），∴O C＝2，∵S△A O C＝10，∴OA•O C＝10，∴OA×2＝10，∴OA＝10，∴A（﹣10，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的解析式为y＝x+2，∵点P（2，m）在直线AC上，∴m＝×2+2＝；（2）方法1、设直线B D的解析式为y＝k'x+b'（k'＜0），∵P（2，），，∴2k'+b'＝∴b'＝﹣2k+，∴直线B D的解析式为y＝k'x﹣2k'+令x＝0，，∴y＝﹣2k'+，∴D（0，﹣2k'+令y＝0，），∴k'x﹣2k'+∴x＝2﹣∴B'（2﹣＝0，，），∴OB＝2﹣）×，∵S△B OP＝（2﹣∵S△B OP＝S△D O P，，S△D O P＝（﹣2k'+）×2，∴（2﹣）×＝（﹣2k'+）×2，∴k'＝（舍）或k＝﹣，∴直线B D的解析式为y＝﹣x+方法2、设点D（0，m），B（n，0），∵S △B OP ＝S △D O P ，∴点 P （2，∴n ＝4，m ＝）是线段 B D 的中点，，∴直线 B D 的解析式为 y ＝﹣ x+（3）由（2）知，直线 B D 的解析式为 y ＝﹣ x+， ∴D （0， ∴OB ＝4，O D ＝ ∴S △B O D ＝ OB •O D ＝ ×4×），B （4，0），，＝由（1）知，A （﹣10，0），直线 A C 的解析式为 y ＝ x+2，设 Q （a ， a+2），∴S △QA O ＝ OA •|y |＝ ×10×| a+2|＝|a+10|，Q ∵△QA O 的面积等于△B O D 面积，∴|a+10|＝ ∴a ＝﹣ 或 a ＝﹣ ∴Q （﹣ ，）或（﹣，，，﹣ ）． 11、如图 1，正方形 OAB C ，其中 O 是坐标原点，点 A （3，1）．（1）直接写出点 B 、C 的坐标；（2）对于两条直线 l ：y ＝k x+b 和 l ：y ＝k x+b ，若有 k •k ＝﹣1，则可得 l ⊥l ．比 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 如：l ：y ＝ x+1 和 l ：y ＝﹣ x+3，因为，所以 l ⊥l ． 1 1 2 2 1 2 连接 AC 、OB ，已知 AC 交 y 轴于点 M ，证明：AC 、O B 所在的直线互相垂直；（3）如图 2，已知点 D 在第四象限，A D ∥y 轴，且 A D ＝3，P 是直线 OB 上一点，连接 PA 、P D 、A D ，求△PAD 的周长最小值．【解答】解：（1）由图象的旋转知，点C的坐标为（﹣1，3），过点B作x轴的平行线，交过点C与x轴的垂线于点M，M N⊥x轴，交x轴于点N，∵∠NC O+∠CB M＝90°，∠BC M+∠M B C＝90°，∴∠M B C＝∠N C O，∠CN O＝∠B M C＝90°，C O＝CB，∴△CN O≌△BM C（AAS），∴CN＝B M＝3，C M＝O N＝1，∴点B的坐标为（2，4）；（2）把点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，则直线AC的表达式为：y＝﹣x+，同理得直线O B的表达式为：y＝2x，两直线的k乘值为﹣1，故：AC、O B所在的直线互相垂直；（3）点A关于直线OB的对称点为C，连接C D，交直线OB于点P，则△PA D的周长最小，点D的坐标为（3，﹣2）、点C坐标为（﹣1，3），△PAD的周长＝AP+A D+P D＝3+CD，C D＝＝，故：△PAD周长的最小值为：3+．12、如图1，长方形OAB C的边O A、O C分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△A O C沿对角线AC翻折得△A D C，A D与BC相交于点E．（1）求证：△CD E≌△ABE（2）求E点坐标；（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得△PO A的面积等于△A CE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：∵四边形OAB C为矩形，∴AB＝O C，∠B＝∠A O C＝90°，∴C D＝O C＝AB，∠D＝∠A O C＝∠B，又∠CE D＝∠ABE，∴△C D E≌△ABE（AAS），∴CE＝AE；（2）∵B（8，4），即AB＝4，BC＝8．∴设CE＝AE＝n，则BE＝8﹣n，222可得（8﹣n）+4＝n，解得：n＝5，∴E（5，4）；（3）∵S△ACE＝•CE•AB＝×5×4＝10，∴S△P OA＝•OA•y＝10，P∴×8×y＝10，P∴y＝，P∴满足条件的点P的坐标为（8，）或（0，）．13、如图，已知直线c和直线b相交于点（2，2），直线c过点（0，3）．平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方）．（1）求直线b和直线c的解析式；（2）若P是y轴上一个动点，且满足△P DE是等腰直角三角形，求点P的坐标．【解答】解：（1）设直线b的解析式为：y＝kx，把（2，2）代入y＝kx得，k＝1，∴直线b的解析式为：y＝x；设直线c的解析式为：y＝kx+b，把点（2，2），点（0，3）代入得，，∴，∴直线c的解析式为：y＝﹣x+3；（2）∵当x＝t时，y＝x＝t；当x＝t时，y＝﹣x+3＝﹣t+3，∴E点坐标为（t，﹣t+3），D点坐标为（t，t）．∵E在D的上方，∴DE＝﹣t+3﹣t＝﹣t+3，且t＜2，∵△P DE为等腰直角三角形，∴PE＝D E或P D＝D E或PE＝P D．t＞0时，PE＝DE时，﹣t+3＝t，∴t＝，﹣t+3＝∴P点坐标为（0，，），①若t＞0，P D＝D E时，﹣t+3＝t，∴t＝．∴P点坐标为（0，）；②若t＞0，PE＝P D时，即DE为斜边，∴﹣t+3＝2t，∴t＝，DE的中点坐标为（t，t+），∴P点坐标为（0，）．若t＜0，PE＝DE和P D＝D E时，由已知得DE＝﹣t，﹣t+3＝﹣t，t＝6＞0（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在．③若t＜0，PE＝P D时，即DE为斜边，由已知得D E＝﹣2t，﹣t+3＝﹣2t，∴t＝﹣6，t+＝0，∴P点坐标为（0，0）综上所述：当t＝时，△P D E为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或（0，）；当t＝时，△PD E为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝﹣6时，△P D E为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．14、（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：（cm）．（2）分三种情况可得：A G＝cm＞A G＝cm＞A G＝cm，所以最短路程为cm；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（C m）．15、如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a+b＝c；222（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△A O B的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．①请写出C、D两点的坐标；②若△C M D为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．【解答】解：（1）∵S AB C D＝2×ab+c2梯形S AB C D＝（a+b）（a+b）梯形∴2×ab+c＝（a+b）（a+b）2∴2ab+c＝a+2ab+b222∴c＝a+b．222（2）连接B D，如图：SSAB C D＝c2+a（b﹣a），AB C D＝ab+b2，四边形四边形∴c+a（b﹣a）＝ab+b，22∴c＝a+b．222（3）①设O C＝a，则AC＝4﹣a，又AB＝5，根据翻折可知：B D＝AB＝5，C D＝AC＝4﹣a，O D＝B D﹣O B＝5﹣3＝2．在Rt△C O D中，根据勾股定理，得（4﹣a）＝a+4，22解得a＝．∴C（0，），D（2，0）．答：C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）．②如图：当点M在x轴正半轴上时，C M＝D M，设C M＝D M＝x，则x＝（2﹣x）+（），解得x＝2，22∴2﹣x＝，∴M（，0）；C D＝M D，＝4﹣＝，2+＝，∴M（，0）；当点M在x轴负半轴上时，C M＝C D，∵O M＝O D＝2，∴M（﹣2，0）；D C＝D M，＝4﹣＝，∴O M＝﹣2＝，∴M（﹣，0）．答：符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（﹣2，0）、（﹣，0）．16、如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点．直1线l：y＝﹣4x+b与l交于点D（﹣3，8）且与x轴，y轴分别交于C，E．21（1）求出点A坐标，直线l解析式；2（2）如图2，点P为线段A D上一点（不含端点），连接CP，一动点Q从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段P D以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用最少时间时点P的坐标；（3）如图3，平面直角坐标系中有一点G（m，2），使得S△CE G＝S△CEB，求点G坐标．【解答】解：（1）y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为：（5，0）、（0，5），将点D的坐标代入y＝﹣4x+b并解得：b＝﹣4，故直线l：y＝﹣4x﹣4；2（2）直线l：y＝﹣4x﹣4，则点C（﹣1，0），2直线l：y＝﹣x+5，则直线l的倾斜角为45°，11过点D作x轴的平行线l，过点C作C H⊥l交于点H，C H交直线l于点P，则点P为所1求，t＝+＝PC+P D＝P C+P H＝C H，直线l：y＝8，则点P的横坐标为：﹣1，则点P（﹣1，6）；（3）①点G在C E的右侧时，过点B作直线CE的平行线r，直线r于直线y＝2交于点G，则点G为所求，此时，S△CE G＝S△CEB，则直线r的表达式为：y＝﹣4x+5，当y＝2时，x＝＝m，故点G（，2），②点G在CE的左侧时，同理可得：点G（﹣，2）；故点G的坐标为：G（，2）或（﹣，2）．过点D作x轴的平行线l，过点C作C H⊥l交于点H，C H交直线l于点P，则点P为所1求，t＝+＝PC+P D＝P C+P H＝C H，直线l：y＝8，则点P的横坐标为：﹣1，则点P（﹣1，6）；（3）①点G在C E的右侧时，过点B作直线CE的平行线r，直线r于直线y＝2交于点G，则点G为所求，此时，S△CE G＝S△CEB，则直线r的表达式为：y＝﹣4x+5，当y＝2时，x＝＝m，故点G（，2），②点G在CE的左侧时，同理可得：点G（﹣，2）；故点G的坐标为：G（，2）或（﹣，2）．。

2020年中考数学一次函数专题复习(含答案)

2020年中考数学一次函数专题复习【名师精选全国真题，值得下载练习】第Ⅰ卷（选择题）一．选择题1．已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（）A．y＝1.5x+3 B．y＝1.5x﹣3 C．y＝﹣1.5x+3 D．y＝﹣1.5x﹣3 2．如图，直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），则不等式3x﹣2＜kx+b 的解为（）A．x＞B．x＜C．x＞﹣D．x＜﹣3．如图，一次函数y＝x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，过点B的直线l平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为（）A．y＝x+6 B．y＝x+6 C．y＝x+6 D．y＝x+6 4．已知点（1，y1），（﹣1，y2），（﹣2，y3）都在直线y＝﹣x+b上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y1＞y2 5．已知一次函数y＝（m+1）x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．06．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法不正确的是（）A．甲的速度保持不变B．乙的平均速度比甲的平均速度大C．在起跑后第180秒时，两人不相遇D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面7．若点P在一次函数y＝﹣4x+2的图象上，则点P一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．关于函数y＝﹣2x﹣1，下列结论正确的是（）A．图象必经过（﹣2，1）B．若两点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上，且x1＜x2，y1＜y2C．函数的图象向下平移1个单位长度得y＝﹣2x﹣2的图象D．当x＞0.5时，y＞09．在某次物理实验课上，小明同学测得在弹簧的弹性限度内弹簧的长度y与物体质量x 的关系如下表，则y与x的关系式是（）x/g0 20 40 60 ……y/cm10 11 12 13 ……A．y＝x B．y＝0.1x+10 C．y＝0.05x+10 D．y＝0.2x+10 10．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（1，p），则不等式组的解集为（）A．x＜5 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜5 D．﹣2＜x＜1 11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B'，则点B'的坐标是（）A．（7，3）B．（4，5）C．（7，4）D．（3，4）12．如图，已知平面直角坐标系中，A点在x轴上，C点在y轴上，OC＝6，OA＝OB ＝10，且BC∥OA，PQ∥AB交AC于D点，且∠ODQ＝90°，则D点的坐标为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题13．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣3）和B（1，﹣1），则此函数的表达式为．14．已知函数y＝（k﹣1）x﹣1，若y随x的增大而减小，则k的取值范围为．15．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：则正确的序号有．①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；④当x＞3时，y1＜y2中．16．如图，OA和BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数的图象，图中s和t分别表示路程和时间，根据图象判定快者比慢者每秒多跑米．17．如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A（1，0）点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为．18．十一黄金周，小明和小亮乘甲车从沙坪坝出发，以一定的速度匀速前往铁山坪体验“飞越丛林”．出发15分钟后，小明发现忘带身份证和钱包，便下车换乘乙车匀速回家去取（小明换车、取身份证和钱包的时间忽略不计），小亮仍乘甲车并以原速继续前行，小明回家取了身份证和钱包后，为节约时间，又立即乘乙车以原来速度的倍匀速按原路赶往铁山坪，由于国庆期间车流量较大，在小明乘乙车以加速后的速度匀速赶往铁山坪期间，甲车恰好因故在途中持续堵塞了5分钟，结果乙车先到达目的地．甲、乙两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的部分图象如图所示，则乙车出发小时到达目的地．三．解答题19．如图，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）若点D在x轴上，使得S△DOC＝2S△BOC的值，请求出D点的坐标；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，则k的值为．20．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；（2）求乙出发后几小时追上甲车？21．某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第x（1≤x≤90，x为整数）天的售价y 与x函数关系如图所示，已知该商品的进价为每件30元，第x天的销售量为（200﹣2x）件．（1）试求出售价y与x之间的函数关系式；（2）请求出该商品在销售过程中的最大利润；22．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（0，3），点E是线段AB上的一点，以DE为腰在第二象限内作等腰直角△DEF，∠EDF＝90°．（1）请直接写出点A，B的坐标：A（，），B（，）；（2）设点F的坐标为（a，b），连接FB并延长交x轴于点G，求点G的坐标．23．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】①已知直线l1：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣6上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0）．∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，3），∴b＝3．∵这个一次函数与两坐标轴所围成的三角形面积为3，∴×3×|a|＝3，解得：a＝2或﹣2．∵一次函数的图象与两坐标轴在第一象限围成的三角形，∴a＝﹣2把（﹣2，0）代入y＝kx+3，得k＝1.5，则函数的解析式是y＝1.5x+3．故选：A．2．解：不等式3x﹣2＜kx+b的解集为x＜．故选：B．3．解：∵一次函数y＝x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，∴令y＝0，则求得x＝﹣8，令x＝0，求得y＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），∵过点B的直线l平分△ABO的面积，∴AC＝OC，∴C（﹣4，0），设直线l的解析式为y＝kx+6，把C（﹣4，0）代入得﹣4k+6＝0，解得k＝，∴直线l的解析式为y＝x+6，故选：D．4．解：∵直线y＝﹣x+b，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣2＜﹣1＜1，∴y1＜y2＜y3．故选：B．5．解：∵一次函数y＝（m+1）x+m2﹣1的图象经过原点，∴，解得m＝1．故选：A．6．解：由图象可知，甲的速度保持不变，故选项A正确；甲的速度为：800÷180＝4米/秒，乙的平均速度为：800÷220＝3米/秒，∵4＞3，∴乙的平均速度比甲的平均速度小，故选项B错误；在起跑后第180秒时，甲到达终点，乙离终点还有一段距离，他们不相遇，故选项C 正确；在起跑后第50秒时，乙在甲的前面，故选项D正确；故选：B．7．解：∵﹣4＜0，2＞0，∴一次函数y＝﹣4x+2的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．∵点P在一次函数y＝﹣4x+2的图象上，∴点P一定不在第三象限．故选：C．8．解：A、把x＝﹣2代入函数y＝﹣2x﹣1得，（﹣2）×（﹣2）﹣1＝3≠1，故点（﹣2，1）不在此函数图象上，故本选项错误；B、∵函数y＝﹣2x+1中．k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，若两点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上，且x1＜x2，y1＞y2，故本选项错误；C、根据平移的规律，函数y＝﹣2x﹣的图象向下平移1个单位长度得y＝﹣2x﹣1﹣1，即y＝﹣2x﹣2，故本选项正确；D、把x＝0.5代入函数y＝﹣2x﹣1＝﹣2，故本选项错误．故选：C．9．解：在弹簧的弹性限度内弹簧的长度y与物体质量x的关系为一次函数关系，设y与x的关系式为y＝kx+b，把，代入，可得，解得，∴y与x的关系式为y＝0.05x+10，故选：C．10．解：y＝kx+b＜0，则x＜﹣2，y＝mx+n＞0，则x＜5，不等式组的解集即为：x＜﹣2，故选：B．11．解：当x＝0时，y＝4，所以B点坐标为（0，4），所以OB＝4，当y＝0时，x＝3，所以A点坐标为（3，0），所以OA＝3．根据旋转的性质可知：O′A＝OA＝3，O′B′＝OB＝4，且O′A⊥x轴，O′B′∥x轴，∴B′点到x轴距离为3，到y轴距离为4+3＝7，因为B′点在第一象限，所以点B′的坐标为（7，3）．故选：A．12．解：如图，作BH⊥OA于H．作DK⊥OA于K．∵BC∥OA，BH∥OC，∴四边形OCBH是平行四边形，∵∠AOC＝90°，∴四边形OCBH是矩形，∴OC＝BH＝6，∵OA＝OB＝10，∴OH＝＝＝8，∴AH＝OA﹣BH＝2，∵C（0，6），A（10，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，∵∠ODQ＝90°，∴∠DOQ+∠OQD＝90°，∵AB∥PQ，∴∠BAH＝∠OQD，∵∠BAH+∠ABH＝90°，∴∠DOK＝∠ABH，∵∠OKD＝∠AHB＝90°，∴△OKD∽△BHA，∴＝，∴＝＝，设DK＝m，则OK＝3m，∴D（3m，m），代入y＝﹣x+6，可得m＝，∴D（，），故选：A．二．填空题（共6小题）13．解：由题意可得方程组，解得，则此函数的解析式为：y＝2x﹣3，故答案为y＝2x﹣3．14．解：∵一次函数y＝（k﹣1）x﹣1，当k﹣1＜0时，即k＜1时，一次函数图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，所以k的取值范围为k＜1．故答案为k＜1．15．解：∵直线y1＝kx+b经过第一、三象限，∴k＜0，所以①正确；∵直线y2＝x+a与y轴的交点在x轴下方，∴a＜0，所以②错误；∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3，∴关于x的方程kx+b＝x+a的解是x＝3，所以③正确；当x＞3时，y1＜y2，所以④正确．故答案为①③④．16．解：如图所示：快者的速度为：64÷8＝8（m/s），慢者的速度为：（64﹣12）÷8＝6.5（m/s），8﹣6.5＝1.5（米），所以快者比慢者每秒多跑1.5米．故答案为：1.517．解：将由图中1补到2的位置，∵10个正方形的面积之和是10，∴梯形ABCD的面积只要等于5即可，∴设BC＝4﹣x，则[（4﹣x）+3]×3÷2＝5，解得，x＝，∴点B的坐标为（，3），设过点A和点B的直线的解析式为y＝kx+b，，解得，，即过点A和点B的直线的解析式为y＝，故答案为：y＝．18．解：设甲车的速度为a千米/小时，乙车回家时的速度是b千米/小时，a＝b，，设a＝8m，b＝9m（m＞0），由图象得乙车行驶小时两边相距千米，﹣＝，m＝5，∴a＝40，b＝45，设t小时两车相距3千米，＝+3+（t﹣）×40，t＝，故答案为：．三．解答题（共5小题）19．解：（1）把C（m，4）代入一次函数y＝﹣x+5，可得4＝﹣m+5，解得m＝2，∴C（2，4），设l2的解析式为y＝ax，则4＝2a，解得a＝2，∴l2的解析式为y＝2x；（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，在y＝﹣x+5中，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，∴A（10，0），B（0，5），∴AO＝10，BO＝5，∵S△DOC＝2S△BOC，∴OD×4＝2×，∴OD＝5，∴D点的坐标为（5，0）或（﹣5，0）；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，∴当l3经过点C（2，4）时，k＝；当l2，l3平行时，k＝2；当11，l3平行时，k＝﹣；故k的值为或2或﹣，故答案为或2或﹣．20．解：（1）设乙对应的函数关系式为y＝kx+b将点（4，300），（1，0）代入y＝kx+b得：解得：，∴乙对应的函数关系式y＝100x﹣100；（2）易得甲车对应的函数解析式为y＝60x，联立，解得：，2.5﹣1＝1.5（小时），∴乙车出发后1.5小时追上甲车．21．解：（1）当0≤x≤50时，设y与x的解析式为：y＝kx+40，则50k+40＝90，解得k＝1，∴当0≤x≤50时，y与x的解析式为：y＝x+40，∴售价y与x之间的函数关系式为：y＝；（2）y＝x+40，∵k＝1＞0，y随x的增大而增大，∴x＝50时，该商品在销售过程中的利润最大，最大值为：（90﹣30）×（200﹣2×50）＝6000（元）．答：第50天时，该商品在销售过程中的利润最大，最大利润为6000元．22．解：（1）∵直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，∴点A（﹣2，0），点B（0，2）故答案为：（﹣2，0），（0，2）（2）如图，过点F作FM⊥y轴，过点E作EN⊥y轴，∴∠FMD＝∠EDF＝90°∴∠FDM+∠DFM＝90°，∠FDM+∠EDN＝90°，∴∠DFM＝∠EDN，且FD＝DE，∠FMD＝∠END＝90°，∴△DFM≌△EDN（AAS）∴EN＝DM，FM＝BN，∵点F的坐标为（a，b），∴FM＝DN＝﹣a，DM＝b﹣3，∴点E坐标（﹣b+3，3+a），∵点E是线段AB上的一点，∴3+a＝﹣b+3+2∴a+b＝2，∴点F（a，2﹣a）设直线BF的解析式为y＝kx+2，∴2﹣a＝ka+2∴k＝﹣1，∴直线BF的解析式为y＝﹣x+2，∴点G（2，0）23．解：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形∴CB＝CA又∵AD⊥CD，BE⊥EC∴∠D＝∠E＝90°∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°又∵∠EBC+∠BCE＝90°∴∠ACD＝∠EBC在△ACD与△CBE中，∠D＝∠E，∠ACD＝∠EBC，CA＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）过点B作BC⊥AB交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°∴△ABC为等腰Rt△由（1）可知：△CBD≌△BAO∴BD＝AO，CD＝OB∵，y＝0，x＝﹣3∴A（﹣3，0），x＝0，y＝4∴B（0，4）∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4∴OD＝4+3＝7．∴C（﹣4，7），直线l2表达式中的k为：﹣7，点C（﹣4，7），则l2的解析式：y＝﹣7x﹣21；（3）如下图，设点Q（m，2m﹣6），当∠AQP＝90°时，由（1）知，△AMQ≌△QNP（AAS），∴AM＝QN，即|8﹣m|＝6﹣（2m﹣6），解得：m＝4或，故：Q（4，2），．。

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初二数学题
(1)求点A、C的坐标
(2)将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
(3)在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）y=-2x+4，代入y=0得x=2，∴A（2,0）代入x=0得y=4，∴C（0,4）
（2）设D（2，y），根据折叠的性质可得CD=AD=y，BD=4-y，2²+（4-y）²=y²，解得y=2.5 设直线CD的解析式为y=kx+4，代入x=2，y=2.5 得k=-0.75 ∴直线CD的解析式为y=-0.75x+4
（3）①点O符合要求，P1（0,0）
②点O关于AC的对称点也是符合要求的P点，有∠ACP=∠BAC=∠ACO，∴P可在直线CD上，设P（x，-0.75x+4），（x-2）²+（-0.75x+4）²=2²解得x=3.2 ∴P2（3.2,1.6）
③点B关于AC的对称点也是符合要求的P点，作PQ⊥y轴于点Q 根据对称性得CP=CB=2，PQ=BD=1.5，CQ=2.5，OQ=1.5 ∴Q（0,1.5），可求得直线AP的解析式为y=-0.75x+1.5，设P（2-4/3y，y），（4-y）²+（2-4/3y）²=2²，y=2.4，P3（-1.2,2.4）。