图像的二维离散傅立叶变换

对原始图像进行傅立叶变换
进行中心化 2 调整输入图像位置 2 输出实验结果 图像 图 1.1 图像的二维离散傅立叶变换实验流程图 （3）源程序 1、将原始图像及变换图像都显示于屏幕上的程序 clear %原始图象 f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵 f(25:40,25:40)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵 figure(1); subplot(231),imshow(f); title('原始图像')%显示原图像 F=fft2(f);%傅立叶变换 subplot(232) imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像 F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化 subplot(233); imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图 x=1:64; y=1:64; subplot(234); mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图 subplot(235) mesh(x,y,F2(x,y)); title('FFT') 2、调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的程序
图 1.2 将原始图像及变换图像都显示的实验图像
图 1.3 调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的实验图像
4/5
图 1.4 调整输入图像中白色矩形的尺寸（40 40），再进行变换的实验图像
图 1.5 整输入图像中白色矩形的尺寸（4 4），再进行变换的实验图像 1、傅里叶频谱的低频主要决定图像的平坦区域中灰度的总体分布，而高频主要决定于图像的边缘 和噪声等细节。按照图像空间域和频率域的对应关系，空域中的强相关性，即由于图像中存在大量的平 坦区域，使得图像中的相邻或相近像素一般趋向于取相同的灰度值，反映在频率域中，就是图像的能量 主要集中于低频部分。 因此在三维频谱图中可以清楚地看出原图像的频谱中的较大值集中于四个角的低 频部分。 原图像的频谱图不能明显地反映图像的完整频谱。 经过中心化后可以看出频谱中的较大值集中 在中心。可以很好地反映出图像的完整频谱。 2、基于傅里叶变换的周期性及平移特性，图 1.2 是经过平移后的图像，通过图 1.2 和图 1.3 对比可 以证明傅里叶变换的周期性及平移特性。 3、通过图 1.4 和图 1.5 的对比可以看出图 1.4 的较大值更加集中。图 1.5 在最大值旁还有较大值伴 随。
u, v 0,1 …，N-1
f ( x, y)
1 N 1 N 1 j 2 (ux vy) F (u, v) exp[ ], N u 0 v 0 N
x, y 0,1 ，…，N-1
其中， exp[ j 2 ( xu yv) / N ] 是正变换核， exp[ j 2 (ux vy) / N ] 是反变换核。 将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为 f ( x, y) 的功率谱，记为
图像的二维离散傅立叶变换
一、目的 掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质 二、要求 1) 建立输入图像，在 64 64 的黑色图像矩阵的中心建立 16 16 的白色矩形图像点阵，形成图像 文件。对输入图像进行二维傅立叶变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏 幕上。 2) 调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显 示于屏幕上，比较变换结果。 3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸（40 40，4 4），再进行变换，将原始图像及变换图像（三 维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。 三、原理
5/5
3/5
figure(1); subplot(231),imshow(f); title('原始图像')%显示原图像 F=fft2(f);%傅立叶变换 subplot(232) imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像 F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化 subplot(233); imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图 x=1:64; y=1:64; subplot(234); mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图 subplot(235) mesh(x,y,F2(x,y)); title('FFT') 五、结果与分析
ux uy )], x 0,1, …，M-1；y=0，1，…N-1 M N
xu
yu
f ( x, y) F (u, v) exp[ j 2 (
x 0 y 0
M 1 N 1
在图像处理中，有事为了讨论上的方便，取 M=N ，这样二维离散傅里叶变换对就定义为
F (u, v)
1 N 1 N 1 j 2 ( xu yu ) f ( x, y) exp[ ], N x 0 y 0 N
P(u, v) | F (u, v) |2 R 2 (u, v) I 2 (u,Biblioteka Baiduv)
功率谱反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。 四、步骤及程序 （1）步骤 1、建立一个 64×64 的原始图像，在矩阵的中心建立 16 16 的白色矩形图像点阵，形成图像文件。
1/5
2、对输入图像进行二维傅立叶变换 3、进行频谱中心化，得到中心化傅立叶频谱图 4、将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。 5、调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，输出图像 6、调整输入图像中白色矩形的尺寸（40 40，4 4），再进行变换，输出图像 （2）图像的二维离散傅立叶变换实验流程图 建立原始图像
u和 设 f ( x, y) 是在空间域上等间隔采样得到的 M×N 的二维离散信号， x 和 y 是离散实变量， v 为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换对一般地定义为
F (u, v)
1 MN
M 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y) exp[ j 2 ( M N )], u 0,1, …，M-1；y=0，1，…N-1
2/5
3 1 3 调整输入图像尺寸为 （40 40， 4 4）
clear %原始图象 f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵 f(47:63,47:63)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵 figure(1); subplot(231),imshow(f); title('原始图像')%显示原图像 F=fft2(f);%傅立叶变换 subplot(232) imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像 F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化 subplot(233); imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图 x=1:64; y=1:64; subplot(234); mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图 subplot(235) mesh(x,y,F2(x,y)); title('FFT') 3、整输入图像中白色矩形的尺寸（40 40，4 4），再进行变换的程序 40×40 clear %原始图象 f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵 f(13:52,13:52)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵 figure(1); subplot(231),imshow(f); title('原始图像')%显示原图像 F=fft2(f);%傅立叶变换 subplot(232) imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像 F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化 subplot(233); imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图 x=1:64; y=1:64; subplot(234); mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图 subplot(235) mesh(x,y,F2(x,y)); title('FFT') 4×4 clear %原始图象 f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵 f(13:52,13:52)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵