2016全国三卷理科数学高考真 题及答案
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第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题 未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13） （14） （15） （16）4
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
（5）若 ，则
(A)
(B)
(C) 1
(D)
（6）已知，，，则
（A） （B）（C）（D）
（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
（8）在中，，BC边上的高等于,则 （A） （B） （C） （D）
(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三 视图，则该多面体的表面积为
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合S= ，则ST=
(A) [2，3]
(B)（- ，2] [3,+）
(C) [3,+）
(D)（0，2] [3,+）
（2）若z=1+2i，则
(A)1
(B) -1
解不等式，得.
因此，的解集为.
………………5分
（Ⅱ）当时，
，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ① ……7分
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是. ………………10分
的最大值为A. （Ⅰ）求f＇（x）； （Ⅱ）求A； （Ⅲ）证明
≤2A.
百度文库
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题 卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点. （I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小； （II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.
（20）解：由题设.设，则，且 . 记过两点的直线为，则的方程为. .....3分 （Ⅰ）由于在线段上，故. 记的斜率为，的斜率为，则 . 所以. ......5分 （Ⅱ）设与轴的交点为， 则. 由题设可得，所以（舍去），. 设满足条件的的中点为. 当与轴不垂直时，由可得. 而，所以. 当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分 （21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）． （Ⅱ）当时， 因此，． ………4分 当时，将变形为． 令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为． 令，解得（舍去），． （ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以． （ⅱ）当时，由，知．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的 正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 . （I）写出的普通方程和的直角坐标方程； （II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （I）当a=2时，求不等式的解集； （II）设函数当时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围.
绝密★启封并使用完毕前
试题类型：新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考
试
理科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C 【11】
（A） （B） （C）90 （D）81
(10)
在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若
ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
（A）4π
（B）
（C）6π
（D）
（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，
右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数 加以说明 （II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活 垃圾无害化处理量。
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD， AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一 点，AM=2MD，N为PC的中点. （I）证明MN∥平面PAB; （II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【12】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个 数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数
列有： 0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1， 1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1， 0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1， 0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个． 故选：C．
(C) i
(D)-i
（3）已知向量 , 则ABC=
(A)300
(B) 450
(C) 600
(D)1200
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均
最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温
约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的
是
(A) 各月的平均最低气温都在00C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C的月份有5个
（13）若x，y满足约束条件
则z=x+y的最大值为_____________. （14）函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。 （15）已知f(x)为偶函数，当
时，
，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。 （16）已知直线
与圆
交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若
，则
__________________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知数列
的前n项和 ， ，其中 0 （I）证明 是等比数列，并求其通项公式 （II）若 ，求
（18）（本小题满分12分） 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折 线图
轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项
为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数
列”共有
（A）18个
（B）16个
（C）14个 （D）12个
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（20）（本小题满分12分） 已知抛物线C： 的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两 点，交C的准线于P，Q两点. （I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； （II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. （21）（本小题满分12分）设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1）， 其中a＞0，记
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分 （Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值， 即为到的距离的最小值， . ………………8分 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当时，.
解：（Ⅰ）由题意得，故，，. 由，得，即.由，得，所以. 因此是首项为，公比为的等比数列，于是． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即， 解得． （18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ，，， ， . 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用 线性回归模型拟合与的关系. （Ⅱ）由及（Ⅰ）得， . 所以，关于的回归方程为：. 将2016年对应的代入回归方程得：. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是. 因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知， ，，，， ，，. 设为平面的法向量，则，即，可取， 于是.
又，所以． 综上，． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得. 当时，. 当时，，所以. 当时，，所以. 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答 题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）连结，则. 因为，所以，又，所以. 又，所以， 因此. （Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又 在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线 上，因此.
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题 未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13） （14） （15） （16）4
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
（5）若 ，则
(A)
(B)
(C) 1
(D)
（6）已知，，，则
（A） （B）（C）（D）
（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
（8）在中，，BC边上的高等于,则 （A） （B） （C） （D）
(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三 视图，则该多面体的表面积为
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合S= ，则ST=
(A) [2，3]
(B)（- ，2] [3,+）
(C) [3,+）
(D)（0，2] [3,+）
（2）若z=1+2i，则
(A)1
(B) -1
解不等式，得.
因此，的解集为.
………………5分
（Ⅱ）当时，
，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ① ……7分
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是. ………………10分
的最大值为A. （Ⅰ）求f＇（x）； （Ⅱ）求A； （Ⅲ）证明
≤2A.
百度文库
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题 卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点. （I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小； （II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.
（20）解：由题设.设，则，且 . 记过两点的直线为，则的方程为. .....3分 （Ⅰ）由于在线段上，故. 记的斜率为，的斜率为，则 . 所以. ......5分 （Ⅱ）设与轴的交点为， 则. 由题设可得，所以（舍去），. 设满足条件的的中点为. 当与轴不垂直时，由可得. 而，所以. 当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分 （21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）． （Ⅱ）当时， 因此，． ………4分 当时，将变形为． 令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为． 令，解得（舍去），． （ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以． （ⅱ）当时，由，知．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的 正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 . （I）写出的普通方程和的直角坐标方程； （II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （I）当a=2时，求不等式的解集； （II）设函数当时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围.
绝密★启封并使用完毕前
试题类型：新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考
试
理科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C 【11】
（A） （B） （C）90 （D）81
(10)
在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若
ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
（A）4π
（B）
（C）6π
（D）
（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，
右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数 加以说明 （II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活 垃圾无害化处理量。
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD， AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一 点，AM=2MD，N为PC的中点. （I）证明MN∥平面PAB; （II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【12】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个 数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数
列有： 0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1， 1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1， 0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1， 0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个． 故选：C．
(C) i
(D)-i
（3）已知向量 , 则ABC=
(A)300
(B) 450
(C) 600
(D)1200
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均
最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温
约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的
是
(A) 各月的平均最低气温都在00C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C的月份有5个
（13）若x，y满足约束条件
则z=x+y的最大值为_____________. （14）函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。 （15）已知f(x)为偶函数，当
时，
，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。 （16）已知直线
与圆
交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若
，则
__________________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知数列
的前n项和 ， ，其中 0 （I）证明 是等比数列，并求其通项公式 （II）若 ，求
（18）（本小题满分12分） 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折 线图
轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项
为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数
列”共有
（A）18个
（B）16个
（C）14个 （D）12个
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（20）（本小题满分12分） 已知抛物线C： 的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两 点，交C的准线于P，Q两点. （I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； （II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. （21）（本小题满分12分）设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1）， 其中a＞0，记
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分 （Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值， 即为到的距离的最小值， . ………………8分 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当时，.
解：（Ⅰ）由题意得，故，，. 由，得，即.由，得，所以. 因此是首项为，公比为的等比数列，于是． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即， 解得． （18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ，，， ， . 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用 线性回归模型拟合与的关系. （Ⅱ）由及（Ⅰ）得， . 所以，关于的回归方程为：. 将2016年对应的代入回归方程得：. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是. 因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知， ，，，， ，，. 设为平面的法向量，则，即，可取， 于是.
又，所以． 综上，． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得. 当时，. 当时，，所以. 当时，，所以. 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答 题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）连结，则. 因为，所以，又，所以. 又，所以， 因此. （Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又 在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线 上，因此.