正弦型函数的图像

函数sin()y A x ωϕ=+的图像

一、教学目标

1. 会用TI 图形计算器作出函数sin()y A x ωϕ=+（其中0,0A ω>>）的图像。通过观察图像，猜想,,A ωϕ对函数图像的影响;

2. 会借助计算器的图像功能, 领会控制变量法,体会定量地分析问题的过程;

3. 通过实践, 感受数学解决问题的方式, 获取定量地处理问题的经验.

二、教学难点与重点

重点: ,,A ωϕ对函数sin()y A x ωϕ=+图像的影响；

难点:定量分析,,A ωϕ对图像的影响.

三、教学过程

1. 引例.

动点P 绕原点O 作逆时针匀速圆周运动，初始位置如图所示，已知圆半径为3，角速度为2/rad s ，试建立点P 纵坐标y 与运动时间x 之间的函数关系，并作出该函数的图像。

[学生建立函数关系式：3sin(2)6y x π=+，并利用TI 图形计算器画出该函数的图像。]

观察这个函数的图像走势，与我们学过的哪个函数图像很接近？

[学生：正弦函数]

这两个函数图像虽然很接近，但仍有差异。是什么因素造成这种差异？

[学生： 3,2,6π

]

那么这三个参数对函数图像分别带来什么影响呢？

如果从正弦函数sin y x =的图像入手，可以通过怎样的变换得到3sin(2)6y x π

=+的图像呢？

{目的：引出控制变量法}

[学生：操作TI 图形计算器观察函数图像的变化。]

教师引导学生想到利用控制按钮建立对应的参量，并想到控制变量法。

2. 提出课题

sin()y A x ωϕ=+

形如sin()y A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ 为常数）的函数，我们称为正弦型函数。 根据我们已有的知识，知道这个函数是周期函数，那么我们研究这类型函数时可以根据需要，锁定它的一个周期进行研究。对于一个函数，我们可以探究这个函数的哪些方面？

[学生：研究函数的性质和函数的图像。]

我们知道函数图像是函数性质的直观体现，今天我们将通过TI 图形计算器重点研究sin()y A x ωϕ=+的图像。为方便起见，我们先来研究0,0A ω>>的情况。 下面我们来探究sin()y A x ωϕ=+，0,0A ω>>的情况。

【例1】利用TI 图形计算器，自主探究探究A 对函数图像的影响

作函数sin y A x =和sin y x =的图像并比较：

切换展示多位学生操作TI 图形计算器过程，改变A 的取值，从变化过程中感受参数A 的变化对函数图像的影响，并请学生描述观察到的现象并总结。

得到结论一：函数sin y A x = (0,1A A >≠)的图象可以看作是把 sin y x = 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当1A >时)或缩短(当01A <<时) 到原来的A 倍(横坐标不变) 而得到的。 sin y A x = ，x ∈R 的值域为[,A A -]，最大值 为A ，最小值为A -. A 反应了曲线波动大小，因此A 叫振幅 。此为振幅变换。

【例2】利用TI 图形计算器，自主探究ω对函数图像的影响

作函数sin y x ω=和sin y x =的图像并比较：

切换展示多位学生操作TI 图形计算器过程，改变ω的取值，从变化过程中感受参数ω的变化对函数图像的影响，由具体函数sin 2y x =引导学生并请学生描述观察到的现象并总结。 sin 2y x =的图象可以看作是把 sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。

得到结论二：函数sin y x ω= (0,1ωω>≠)的图象可以看作是把sin y x = 的图象上所有点的横坐标缩短(当1ω>时)或伸长(当01ω<<时) 到原来的1ω倍(纵坐标不变) 而得到的。此为周期变换。

【例3】利用TI 图形计算器，自主探究ϕ对函数图像的影响

作函数sin +)y x ϕ=（和sin y x =的图像并比较：

切换展示多位学生操作TI 图形计算器过程，改变ϕ的取值，从变化过程中感受参数ϕ的变化对函数图像的影响，引导学生并请学生描述观察到的现象并总结。

得到结论三：

函数sin +)y x ϕ=（的图象可以看作是把 sin y x = 的图象上所有的点向左(当0ϕ>φ>0时)或向右(当0ϕ<)平移ϕ个单位而得到的。

【思考】由正弦函数sin y x =的图像如何变换到sin

2+)6y x π=（的图像。

①问题提出：三种变换能否任意排序？

②对于你们小组提出的变换方式，要怎样解决呢？

提示：方法一：相位变换－－＞ 周期变换

方法二：周期变换－－＞ 相位变换

小结： 利用TI 图形计算器，自主探究了三个参数,,A ωϕ对图像的影响。在研究过程中，

我们先借助TI图形计算器，直观感受了形的变化，接着我们采用了控制变量法，又借助TI 图形计算器定量地分析了变化过程。数学实验也是我们获取数学结论的一个非常重要的手段。

作业:

附：此次授课所使用的TI图形计算器的型号：

课后反思：

正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，在三角函数中占有重要的地位。函数思想在整个高中数学教学中是纲，而三角函数作为函数的重要部分，则直接影响着学生对三角的掌握，故正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质能否熟练应用，直接影响着数与形结合。所以这一节在整个教材中有着非常重要的地位。而且这一节内容的安排上，体现着利用手持TI 图形计算器设备，提供学生直观感受参数变化对函数图像变化的影响，通过学生自主合作探究，利用数学实验，控制变量并体验由特殊到一般，由简单到复杂，非常符合学生的认知规律。

计算机和计算器都是现代教学媒体目前在课堂教学中较多使用电脑制作POWEPOINT 课件，对图形的处理比较困难，使用几何画板也很难推广，而图形计算器集计算机的数学专业功能于一体，不受时间、地点的制约，可随身携带，使用方便。现代教育观念和理论，愈来愈强调师生的平等关系，在知识面前人人平等，教师的权威受到限制。现代信息技术的发展，人们每天能接触到多种媒体（如电视、网络等）,使得知识的来源不只是教师和教材。知识经济时代信息变化更新非常快，教师和教材不再是唯一的权威。教师和学生在新技术面前是平等的。因此教师在课堂教学中应鼓励学生发言要民主，鼓励学生自主自觉的学习新知识，而不是被动的纯接受式的学习，充分发挥学生的潜能。

而事实也证明，学生在日后的学习中涉及到正弦函数sin()y A x ωϕ=+图像变换中，因为有了亲自参与数学实验的过程，对于参数ω和ϕ先后作用时，对图像所产生的平移量的变化，掌握的较之以前，要好了很多，思路也清晰很多。