2016高考数学理科二轮复习习题：专题综合检测(八)

专题综合检测(八)

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．直线y ＝2x ＋1的参数方程是(C )

A.?????x ＝t 2y ＝2t 2＋1

B.?????x ＝2t －1y ＝4t ＋1

C.?????x ＝t －1y ＝2t －1

D.?

????x ＝sin θy ＝2sin θ＋1 2．在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是(A )

A.? ????1，π2

B.?

????2，π2 C ．(1，0) D ．(1，π)

解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以x 2＋y 2－2y ＝0，

其圆心坐标为(0，1)，其极坐标为?

????1，π2. 3．已知圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，该圆的方程为(B )

A ．ρ＝2cos θ

B ．ρ＝2sin θ

C ．ρ＝－2cos θ

D ．ρ＝－2sin θ

解析：x 2＋y 2－2y ＝0?x 2＋(y －1)2＝1，该方程表示圆心为(0，

1)，半径为1的圆，如图，在圆上任取一点M(ρ，θ)，则|OM|＝2sin θ，所以ρ＝2sin θ，故选B.

4．参数方程?

????x ＝2－t ，y ＝－1－2t (t 为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是(B )

A ．直线、直线

B ．直线、圆

C ．圆、圆

D ．圆、直线

解析：将参数方程?

????x ＝2－t ，y ＝－1－2t 消去参数t 得2x －y －5＝0，所以对应图形为直线．由ρ＝sin θ得ρ2＝ρsin θ，即x 2＋y 2＝y ，即x 2

＋? ??

??y －122＝14，对应图形为圆． 5．若圆的方程为?????x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ

(θ为参数)，直线的方程为?????x ＝t －1，y ＝3t －1

(t 是参数)，则直线与圆的位置关系是(B ) A ．相交过圆心 B ．相交且不过圆心

C ．相切

D ．相离

6．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的

总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为(B )

A ．240

B ．200

C ．180

D ．160

解析：依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则y x

≥2x 10·4 000x －30＝10，当且仅当x 10＝4 000x

，即x ＝200时取等号，故选B.

7．(2014·安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直

线l 的参数方程是?????x ＝t ＋1，y ＝t －3

(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )

A.14 B ．214

C. 2 D ．2 2

解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.

8．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：?

????x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A ) A ．相交 B ．相切

C ．相离

D ．过圆心

解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)

在直线l 上，又圆O ：?????x ＝3cos θ，y ＝3sin θ

的普通方程为x 2＋y 2＝9且22

＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．

9．△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和3，如果△ABC ∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长为(A )

A. 2

B.

2

2 C.

6

2 D.

3

3

解析：∵△ABC∽△A′B′C′，则

2

1＝

6

3

，则△A′B′C′的第三边

长为2

2

＝ 2.

10．如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上靠近点A的一个三等分点，则△ADE与四边形DECB的面积之比为(D)

A．1∶3 B．1∶9

C．1∶4 D．1∶8

解析：由题知△ADE与△ABC的相似比为1∶3，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶9.则△ADE与四边形DECB的面积之比为1∶8.

11．点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中的相似三角形共有(C)

A．2对B．3对

C．4对D．5对

12．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN.则下列叙述正确的是(C)

A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形

B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形

C ．四边形AMON 和四边形ABC

D 是相似形

D ．四边形MBCO 和四边形OCDN 都是等腰梯形

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．(2015·北京卷)在极坐标系中，点?

????2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为1．

解析：先把点?

????2，π2极坐标化为直角坐标(1，3)，再把直线的极坐标方程ρ(cos θ＋3sin θ)＝6化为直角坐标方程x ＋3y －6

＝0，利用点到直线距离公式d ＝|1＋3－6|1＋3

＝1. 14．(2015·广东卷)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ?

????θ－π4＝

2，点A 的极坐标为A ?

????22，74π，则点A 到直线l 2 解析：依题意已知直线l ：2ρsin ? ????θ－π4＝2和点A ?

????22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A(2，－2)，所以点A 与直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）

2＝52

2.

15．(2015·广东卷)如图，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝8．

解析：如图所示，连接OC ，因为OD ∥BC ，又BC ⊥AC ，所以

OP ⊥AC ，又O 为AB 线段的中点，所以为OP ＝12BC ＝12

，在Rt △OCD 中，OC ＝12

AB ＝2，由直角三角形的射影定理可得OC 2＝OP·OD 即OD ＝OC 2OP ＝22

12

＝8.

16．(2015·广东卷)如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D.若AB ＝4，CE ＝23，则AD ＝3．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)(2015·新课标Ⅱ卷)如图O是等腰三角形ABC内一点，圆O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高交于点G，且与AB，AC分别相切于E、F两点．

(1)证明EF∥BC；

(2)若AG等于圆O半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF 的面积．

分析：(1)要证明EF∥BC，可证明AD⊥BC，AD⊥EF；(2)先求出有关线段的长度，然后把四边形EBCF的面积转化为△ABC和△AEF面积之差来求．

解析：(1)由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB

的平分线，又因为圆O与AB，AC分别相切于E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，所以EF∥BC.

(2)由(1)知AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为圆O的弦，所以O在AD上，连接OE，OF，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°，因此，△ABC和△AEF都是等边三角形，因为AE＝23，所以AO＝4，

OE＝2，因为OM＝OE＝2，DM＝1

2MN＝3，所以OD＝1，于是

A D＝5，AB＝103

3，所以四边形DBCF的面积为

1

2×?

?

?

?

?

103

3

2

×

3

2－

1

2×(23)2×

3

2＝

163

3.

18．(12分)(2015·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AD交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.

(1)证明：∠CBD＝∠DBA；

(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．

分析：(1)先证∠CBD＝∠BED，再证∠DBA＝∠BED，进而可证∠CBD＝∠DBA；

(2)先由(1)知BD平分∠CBA，进而可得AD的值，再利用切割线定理可得AE的值，进而可得⊙O的直径．

解析：(1)因为DE为圆O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.

又AB 切圆O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA.

(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD

＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.

由切割线定理得AB 2

＝AD ×AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6， 故DE ＝AE －AD ＝3，即圆O 的直径为3.

19．(12分)(2015·新课标Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：?

????x ＝tcos αy ＝tsin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.

(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；

(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．

解析：(1)曲线C 2的直角坐标系方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标系方程为x 2＋y 2－23x ＝0.

联立?????x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得?????x ＝0y ＝0或?

??x ＝32，y ＝32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和? ????32

，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 得极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)，

所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4??????sin ?

????α－π3. 当α＝5π6

时，|AB|取得最大值，最大值为4. 20．(12分)(2015·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方

程为?

??x ＝3＋12t y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.

(1)写出⊙C 的直角坐标方程；

(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．

分析：(1)先将ρ＝23sin θ两边同乘以ρ可得ρ2＝23ρsin θ，再利用ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρsin θ 可得⊙C 的直角坐标方程；(2)先设P 的坐标，则|PC|＝t 2＋12，再利用二次函数的性质可得|PC|的最小值，进而可得P 的直角坐标．

解析：(1)由ρ＝23sin θ得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.

(2)设P ? ????3＋12t ，32t ，又C(0，3)，则|PC|＝? ????3＋12t 2＋? ??

??32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为(3，0)．

21．(12分)(2015·新课标Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：

(1)若ab ＞cd ；则a ＋b ＞c ＋d ；

(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b|＜|c －d|的充要条件． 解析：(1)因为(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d)2＝c ＋d ＋2cd ，

由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b)2＞(c ＋d)．

因此a ＋b ＞c ＋ d.

(2)(ⅰ)若|a －b|＜|c －d|，则(a －b)2＜(c －d)2，即

(a ＋b)2－4ab ＜(c ＋d)2－4cd ，

因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd.

由(1)得a ＋b ＞c ＋ d.

(ⅱ)若a ＋b ＞c ＋d 则(a ＋b)2＞(c ＋d)2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd.

因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是

(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＜(c ＋d)2－4cd ＝(c －d)2

因此|a －b|＜|c －d|. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b|＜|c －d|的充要条件．

22．(12分)(2015·陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a|＜b 的解集为{x|2＜x ＜4|}．

(1)求实数a ，b 的值；

(2)求at ＋12＋bt 的最大值．

分析：(1)先由|x ＋a|＜b 可得－b －a ＜x ＜b －a ，再利用关于x 的不等式|x ＋a|＜b 的解集为{x|2＜x ＜4|}可得a ，b 的值；(2)先将－3t ＋12＋t 变形为3·4－t ＋t ，再利用柯西不等式可得－3t ＋12＋t 的最大值．

解析：(1)由|x ＋a|＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a

则?????－b －a ＝2，b －a ＝4，

解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[]（3）2＋12＋[]（4－t ）2＋[]（t ）2

＝24－t ＋t ＝4

当且仅当4－t

3

＝

t

1，即t＝1时等号成立，

故(－3t＋12＋t)max＝4.