3.用搜索方法进行问题求解
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38
第三章、用搜索法对问题求解
• • • • • 1.问题求解Agent 2.问题实例 3.对解的搜索 4.无信息的搜索策略 5.避免重复状态
1.问题求解Agent
• Agent在罗马尼亚城市Arad度假，假设它有张 第二天飞离Bucharest的机票，而且机票是不 能退的。 • 目标：前往Bucharest • 任务：找出能够使它达到目标状态的动作序列 • Q：决策所要考虑的行动和状态的种类？
迭代深入深度优先搜索
• 如果每次改变限制深度，多次调用深度有限搜索算法，就得到了
迭代深入深度优先搜索算法
– 其深度限制依次为0/1/2…这样，当搜索到达最浅的目标节点 深度时就可以发现目标节点
• 这种搜索结合了宽度优先和深度优先两种算法的优点
– 分支因子有限时是完备的 / 路径耗散是节点深度的非递增函 数时是最优的 – 空间需求为O(bd) / 时间复杂性为O(bd)
4. 然后搜索算法回退下一个还有未扩展后继节点的上层
节点继续扩展
深度优先搜索过程
深度优先搜索算法分析 1.对内存的需求很少 2.有可能错误地选择一条分支而且沿着一条很长的路径（甚至是无 限）走下去。 – 非最优
– 非完备
– 在最坏情况下，dfs所生成的节点数是O(bm)
深度有限搜索
• 深度优先搜索的无边界问题可以通过提供一个预先设 定的深度限制l来解决
6 该算法对于连通图及树都适用。
例：
当前节点
○ ●
S ● ● n=1 ○ ● 2 ● ml节点 5 ○ ● 3
表示图本身的连接关 系
○ ○
搜索路径
6 ○
●
●
4○
○
讨论： ① 空心节点是已经在OPEN中的节点，如：﹛1，4，5…﹜
② 实心节点是已经在CLOSED中的节点，如：﹛S，2，3…﹜
③ 扩充节点2后，对其原来搜索路径进行修改，由原来指向节点3改为 指向节点1 ④ 对后继节点4的搜索路径进行修改，由原来指向节点6改为指向节点2
讨论 • 迭代深入搜索中因为多次重复搜索，因此部分状态被多次生成， 看起来很浪费 • 但是因为在分支因子比较平衡的搜索树中，多数节点都在最底层(
即叶子节点)，所以上层节点的多次生成影响不是很大 / 与广度
优先搜索相比，效率还是更高 • 一般来讲，当搜索空间很大而解的深度未知时，迭代深入搜索是
一个首选的无信息搜索方法
无信息搜索策略比较
评价标准 宽度优先 深度优先 深度有限 迭代深入 是否完备 时间 空间 是否最优 是 A O(bd+1) O(bd+1) 是C 否 O(bm) O(bm) 否 否 O(bl) O(bl) 否 是A O(bd) O(bd) 是C
• 关于A/B/C/D的解释： •A—如果b有限则是完备的 •B—单步耗散≥e则是完备的 •C—如果单步耗散都是相同的则是最优的 •D—两个方向上都使用广度优先搜索
P02 （3，1，0） Q01
状态空间图 状态空间图是一个有向 图，图中的节点代表状 态，节点之间的连线代 表规则，箭头代表状态 的转换方向。
（3，1，1） （1，1，0） （2，2，1） （0，2，0） （0，3，1） （0，1，0）
（0，2，1）
（0，1，1） （0，0，0）
（1，1，1）
问题实例：旅行问题
修改后的搜索图如下：
S ● ○ ● 6 ○ ● ● ●
n=1 ●
2 ● 5 ○
○
●
● 3 ○ ○
4○
下面给出两种对OPEN表中节点按照某种规则排列的算法：
① 深度优先算法
② 宽度优先算法
宽度优先算法
将待扩展节点按先入先出排队
宽度优先搜索（bfs） 1.当分支因子有限时，搜索是完备的 2.如果路径耗散是节点深度的非递减函数，则解是最优的。 3.假设每个状态都有b个后继，解的深度是d，则找到解时，所访问
–A：在开车从一个主要城镇到另一个城镇的层次上 考虑行动。
• Agent设计的三步骤：形式化、搜索、执行。
简化的罗马尼亚地图
问题求解Agent的环境特性
• 可观察的 • 离散的 • 静态的
–完成问题形式化和求解的时候不再考虑环境 可能的变化
• 确定性的
–问题的解是行动的单一序列 –在问题求解过程中感知信息不起作用
5 if GOAL(n) THEN EXIT(SUCCESS) 6 ﹛mi﹜ 7 OPEN EXPAND(n) ，G ADD(mj,OPEN) ADD(mi,G) mi不含n的先辈节点 mj不在OPEN，CLOSED中
● 标记每个mj到n节点的指针
● 确定是否需要修改已在OPEN，CLOSED中的每个节点到n的指针 ● 确定是否需要修改已在CLOSED中的每个节点的后继节点原来的指针 8 按照某种方式重新排列OPEN表中的节点， GO LOOP
过的节点数为O(bd+1)。
一致代价搜索
• bfs算法的引伸：扩展路径耗散值最低的节点
S
4
5
D
3
A
2
E
4 5
B
4 4
F C
3
t 八城市地图示意图
深度优先算法 1. 总是扩展搜索树的当前扩展分支(边缘)中最深的节点
2. 搜索直接伸展到搜索树的最深层，直到那里的节点没
有后继节点 3. 那些没有后继节点的节点扩展完毕就从边缘中去掉
问题实例：八角数码游戏
• 状态：8个棋子及其空格在棋盘上9个格子的分布 • 初始态：任一状态都可作为初始态，但要到达一特定的 目标态，只有一半的状态可作为起点。 • 后继函数：用来产生通过4个行动（把空格向左、右、上 、下移动）可到达的状态 • 目标测试：是否与目标状态一致 • 路径耗散：每步的耗散值为1
状态：三元组（ML，CL，BL）表示左岸状态 初始态：（3，3，1）传教士、野人与船均在左岸 后继函数：Pmc：从左岸划向右岸； Qmc：从右岸划向左岸 目标测试：是否全部达到右岸 路径耗散：每步的耗散值为1
P11 （2，2，0） Q10
（3，3，1） （3，2，0） （3，2，1） （3，0，0）
一个简单的问题求解Agent
注意：我们假定总能找到解；Agent在执行行动序列时忽略感知。
问题的形式化定义
• 初始状态，例如In(Arad) • 对问题可采纳的可能行动的描述，后继函数
SUCCESSOR-FN(x)=set of all pairs<action, successor> – 例如, In(Arad) 的一个后继状态是 <Go(Sibiu), In(Sibiu)>. – 状态空间图、路径
传教士与野人问题（M&C）
问题：有N个传教士，N个野人渡河，只有一条船且每次至多可坐K个人。 约束条件： ① M≧C 任何时刻两岸、船上都必须满足传教士人数不少于野人数 （M=0时除外，既没有传教士）
② M+C≦K 船上人数限制在K以内
求解：传教士与野人全部安全渡河到对岸的解决方案。
传教士与野人问题（M&C）
形式化的一般的树搜索算法
度量问题求解的性能
• 完备性：有解时能否保证找到解 • 最优性 • 时间复杂度：根据搜索过程中产生的节点 数目来度量 • 空间复杂度：在执行搜索的过程中需要的 内存，取决于储存的最大节点数。 • 时间与空间的复杂度往往要与问题难度的 某种度量一起考虑
问题难度的度量：状态空间图 的大小
深度有限搜索
• 深度优先搜索的无边界问题可以通过提供一个预先设定的深度限 制l来解决 – 深度=l的节点当作无后继节点看待 – 虽然解决了无限路径问题，但如果l<d则找不到解 – 如果选择l>d则深度优先搜索也不是最优的 – 时间复杂度O(bl)
– 空间复杂度O(bl)
– 深度优先搜索可看作是一种特例即l=∞ • 有时深度有限搜索基于问题本身的知识，如状态空间的直径即问 题求解的最大步数 • 但对于大多数问题，不到问题解决时是无法知道求解步数的限制
• 考虑访问罗马尼亚地图中的每个城市至 少一次，要求以Bucharest为起点和终点 。 • 每个状态必须包括当前城市和所有已访 问过的城市 • （典型的）路径耗散：里程数
一些很有意义的搜索问题
• VLSI 布局 • 机器人导航: 机器人可在连续的空间上 运动，而且可能的行动和状态集都是无 限的。 • 蛋白质设计 • Internet 搜索
• 分支因子b：任何节点的后继的最大个数 • d：最浅的目标节点的深度 • m：状态空间中任何路径的最大长度
3.2 图搜索策略
图搜索的实质是从问题空间中找出一张包含目标节点的子图。 PROCEDRUE GRAPHSEARCH 1 G＝G0 (G0 ＝S)，OPEN ＝ (S) 2 CLOSED ＝( ) 3 LOOP：if OPEN ＝( ) then EXIT(FAIL) 4n FIRST(OPEN)，REMOVE(n,OPEN)，ADD(n,CLOSED) S：初始状态
搜索技术：显式搜索树
• 基本做法：先追随一个选择，搁置其它的，等 到万一发现第一个选择不能通向问题的解时再 考虑。
一般的生成搜索树算法的描述
状态空间、搜索树、节点
• 一个状态空间可以有无数条路径，即搜索树可 有无数个节点。
– 例如，从Arad到Sibiu的路径可包括重复出现的节点 。
• 节点的数据结构
– – – – – State Parent-Node Action Path-Cost（从初始状态到达该节点） Depth（从初始状态到达该节点）
边缘的基本操作
• MAKE-QUEUE(element, …)用给定的元素创建一个 队列 • EMPTY?(queue)当且仅当队列中没有元素时返回 为真 • FIRST(queue)返回队列中的第一个元素 • REMOVE-FIRST(queue)返回FIRST(queue)并将 它从队列中删除 • INSERT(element, queue)在队列中插入一个元素 并返回结果队列 • INSERT-ALL(element, queue)在队列中插入一个 元素集合并返回结果队列
• 目标测试：具体vs.抽象 •源自文库路径耗散函数：为每条路径分配一个数值化的耗散 值。 • 以上四个要素作为问题求解算法的输入
问题的解
• 解是从初始状态到目标状态的路径 • 解的质量由路径耗散函数度量
– 最优解是路径耗散函数值最小的解
问题实例：真空吸尘器
• • • • •
状态：Agent位置及灰尘位置。2*4=8个状态 初始态：任一状态都可作为初始态。 后继函数：Agent左右移动 目标测试：检测所有位置是否干净 路径耗散：每步的耗散值为1
讨论：
1 OPEN中的节点是尚未扩充的节点 2 CLOSED的节点是已经扩充过的节点 3 G中的每个节点都唯一地指向一个父节点 4 ﹛mi﹜＝ ﹛mj﹜∪ ﹛mk﹜ ∪ ﹛ml﹜ 其中： mi是当前被扩充的全部节点
mj是新扩充的节点
mk是已经在OPEN中的节点 ml是已经在CLOSED中的节点
5 n是当前被选中的节点，它是OPEN表中排列在最前面的一个节点。
第三章、用搜索法对问题求解
• • • • • 1.问题求解Agent 2.问题实例 3.对解的搜索 4.无信息的搜索策略 5.避免重复状态
1.问题求解Agent
• Agent在罗马尼亚城市Arad度假，假设它有张 第二天飞离Bucharest的机票，而且机票是不 能退的。 • 目标：前往Bucharest • 任务：找出能够使它达到目标状态的动作序列 • Q：决策所要考虑的行动和状态的种类？
迭代深入深度优先搜索
• 如果每次改变限制深度，多次调用深度有限搜索算法，就得到了
迭代深入深度优先搜索算法
– 其深度限制依次为0/1/2…这样，当搜索到达最浅的目标节点 深度时就可以发现目标节点
• 这种搜索结合了宽度优先和深度优先两种算法的优点
– 分支因子有限时是完备的 / 路径耗散是节点深度的非递增函 数时是最优的 – 空间需求为O(bd) / 时间复杂性为O(bd)
4. 然后搜索算法回退下一个还有未扩展后继节点的上层
节点继续扩展
深度优先搜索过程
深度优先搜索算法分析 1.对内存的需求很少 2.有可能错误地选择一条分支而且沿着一条很长的路径（甚至是无 限）走下去。 – 非最优
– 非完备
– 在最坏情况下，dfs所生成的节点数是O(bm)
深度有限搜索
• 深度优先搜索的无边界问题可以通过提供一个预先设 定的深度限制l来解决
6 该算法对于连通图及树都适用。
例：
当前节点
○ ●
S ● ● n=1 ○ ● 2 ● ml节点 5 ○ ● 3
表示图本身的连接关 系
○ ○
搜索路径
6 ○
●
●
4○
○
讨论： ① 空心节点是已经在OPEN中的节点，如：﹛1，4，5…﹜
② 实心节点是已经在CLOSED中的节点，如：﹛S，2，3…﹜
③ 扩充节点2后，对其原来搜索路径进行修改，由原来指向节点3改为 指向节点1 ④ 对后继节点4的搜索路径进行修改，由原来指向节点6改为指向节点2
讨论 • 迭代深入搜索中因为多次重复搜索，因此部分状态被多次生成， 看起来很浪费 • 但是因为在分支因子比较平衡的搜索树中，多数节点都在最底层(
即叶子节点)，所以上层节点的多次生成影响不是很大 / 与广度
优先搜索相比，效率还是更高 • 一般来讲，当搜索空间很大而解的深度未知时，迭代深入搜索是
一个首选的无信息搜索方法
无信息搜索策略比较
评价标准 宽度优先 深度优先 深度有限 迭代深入 是否完备 时间 空间 是否最优 是 A O(bd+1) O(bd+1) 是C 否 O(bm) O(bm) 否 否 O(bl) O(bl) 否 是A O(bd) O(bd) 是C
• 关于A/B/C/D的解释： •A—如果b有限则是完备的 •B—单步耗散≥e则是完备的 •C—如果单步耗散都是相同的则是最优的 •D—两个方向上都使用广度优先搜索
P02 （3，1，0） Q01
状态空间图 状态空间图是一个有向 图，图中的节点代表状 态，节点之间的连线代 表规则，箭头代表状态 的转换方向。
（3，1，1） （1，1，0） （2，2，1） （0，2，0） （0，3，1） （0，1，0）
（0，2，1）
（0，1，1） （0，0，0）
（1，1，1）
问题实例：旅行问题
修改后的搜索图如下：
S ● ○ ● 6 ○ ● ● ●
n=1 ●
2 ● 5 ○
○
●
● 3 ○ ○
4○
下面给出两种对OPEN表中节点按照某种规则排列的算法：
① 深度优先算法
② 宽度优先算法
宽度优先算法
将待扩展节点按先入先出排队
宽度优先搜索（bfs） 1.当分支因子有限时，搜索是完备的 2.如果路径耗散是节点深度的非递减函数，则解是最优的。 3.假设每个状态都有b个后继，解的深度是d，则找到解时，所访问
–A：在开车从一个主要城镇到另一个城镇的层次上 考虑行动。
• Agent设计的三步骤：形式化、搜索、执行。
简化的罗马尼亚地图
问题求解Agent的环境特性
• 可观察的 • 离散的 • 静态的
–完成问题形式化和求解的时候不再考虑环境 可能的变化
• 确定性的
–问题的解是行动的单一序列 –在问题求解过程中感知信息不起作用
5 if GOAL(n) THEN EXIT(SUCCESS) 6 ﹛mi﹜ 7 OPEN EXPAND(n) ，G ADD(mj,OPEN) ADD(mi,G) mi不含n的先辈节点 mj不在OPEN，CLOSED中
● 标记每个mj到n节点的指针
● 确定是否需要修改已在OPEN，CLOSED中的每个节点到n的指针 ● 确定是否需要修改已在CLOSED中的每个节点的后继节点原来的指针 8 按照某种方式重新排列OPEN表中的节点， GO LOOP
过的节点数为O(bd+1)。
一致代价搜索
• bfs算法的引伸：扩展路径耗散值最低的节点
S
4
5
D
3
A
2
E
4 5
B
4 4
F C
3
t 八城市地图示意图
深度优先算法 1. 总是扩展搜索树的当前扩展分支(边缘)中最深的节点
2. 搜索直接伸展到搜索树的最深层，直到那里的节点没
有后继节点 3. 那些没有后继节点的节点扩展完毕就从边缘中去掉
问题实例：八角数码游戏
• 状态：8个棋子及其空格在棋盘上9个格子的分布 • 初始态：任一状态都可作为初始态，但要到达一特定的 目标态，只有一半的状态可作为起点。 • 后继函数：用来产生通过4个行动（把空格向左、右、上 、下移动）可到达的状态 • 目标测试：是否与目标状态一致 • 路径耗散：每步的耗散值为1
状态：三元组（ML，CL，BL）表示左岸状态 初始态：（3，3，1）传教士、野人与船均在左岸 后继函数：Pmc：从左岸划向右岸； Qmc：从右岸划向左岸 目标测试：是否全部达到右岸 路径耗散：每步的耗散值为1
P11 （2，2，0） Q10
（3，3，1） （3，2，0） （3，2，1） （3，0，0）
一个简单的问题求解Agent
注意：我们假定总能找到解；Agent在执行行动序列时忽略感知。
问题的形式化定义
• 初始状态，例如In(Arad) • 对问题可采纳的可能行动的描述，后继函数
SUCCESSOR-FN(x)=set of all pairs<action, successor> – 例如, In(Arad) 的一个后继状态是 <Go(Sibiu), In(Sibiu)>. – 状态空间图、路径
传教士与野人问题（M&C）
问题：有N个传教士，N个野人渡河，只有一条船且每次至多可坐K个人。 约束条件： ① M≧C 任何时刻两岸、船上都必须满足传教士人数不少于野人数 （M=0时除外，既没有传教士）
② M+C≦K 船上人数限制在K以内
求解：传教士与野人全部安全渡河到对岸的解决方案。
传教士与野人问题（M&C）
形式化的一般的树搜索算法
度量问题求解的性能
• 完备性：有解时能否保证找到解 • 最优性 • 时间复杂度：根据搜索过程中产生的节点 数目来度量 • 空间复杂度：在执行搜索的过程中需要的 内存，取决于储存的最大节点数。 • 时间与空间的复杂度往往要与问题难度的 某种度量一起考虑
问题难度的度量：状态空间图 的大小
深度有限搜索
• 深度优先搜索的无边界问题可以通过提供一个预先设定的深度限 制l来解决 – 深度=l的节点当作无后继节点看待 – 虽然解决了无限路径问题，但如果l<d则找不到解 – 如果选择l>d则深度优先搜索也不是最优的 – 时间复杂度O(bl)
– 空间复杂度O(bl)
– 深度优先搜索可看作是一种特例即l=∞ • 有时深度有限搜索基于问题本身的知识，如状态空间的直径即问 题求解的最大步数 • 但对于大多数问题，不到问题解决时是无法知道求解步数的限制
• 考虑访问罗马尼亚地图中的每个城市至 少一次，要求以Bucharest为起点和终点 。 • 每个状态必须包括当前城市和所有已访 问过的城市 • （典型的）路径耗散：里程数
一些很有意义的搜索问题
• VLSI 布局 • 机器人导航: 机器人可在连续的空间上 运动，而且可能的行动和状态集都是无 限的。 • 蛋白质设计 • Internet 搜索
• 分支因子b：任何节点的后继的最大个数 • d：最浅的目标节点的深度 • m：状态空间中任何路径的最大长度
3.2 图搜索策略
图搜索的实质是从问题空间中找出一张包含目标节点的子图。 PROCEDRUE GRAPHSEARCH 1 G＝G0 (G0 ＝S)，OPEN ＝ (S) 2 CLOSED ＝( ) 3 LOOP：if OPEN ＝( ) then EXIT(FAIL) 4n FIRST(OPEN)，REMOVE(n,OPEN)，ADD(n,CLOSED) S：初始状态
搜索技术：显式搜索树
• 基本做法：先追随一个选择，搁置其它的，等 到万一发现第一个选择不能通向问题的解时再 考虑。
一般的生成搜索树算法的描述
状态空间、搜索树、节点
• 一个状态空间可以有无数条路径，即搜索树可 有无数个节点。
– 例如，从Arad到Sibiu的路径可包括重复出现的节点 。
• 节点的数据结构
– – – – – State Parent-Node Action Path-Cost（从初始状态到达该节点） Depth（从初始状态到达该节点）
边缘的基本操作
• MAKE-QUEUE(element, …)用给定的元素创建一个 队列 • EMPTY?(queue)当且仅当队列中没有元素时返回 为真 • FIRST(queue)返回队列中的第一个元素 • REMOVE-FIRST(queue)返回FIRST(queue)并将 它从队列中删除 • INSERT(element, queue)在队列中插入一个元素 并返回结果队列 • INSERT-ALL(element, queue)在队列中插入一个 元素集合并返回结果队列
• 目标测试：具体vs.抽象 •源自文库路径耗散函数：为每条路径分配一个数值化的耗散 值。 • 以上四个要素作为问题求解算法的输入
问题的解
• 解是从初始状态到目标状态的路径 • 解的质量由路径耗散函数度量
– 最优解是路径耗散函数值最小的解
问题实例：真空吸尘器
• • • • •
状态：Agent位置及灰尘位置。2*4=8个状态 初始态：任一状态都可作为初始态。 后继函数：Agent左右移动 目标测试：检测所有位置是否干净 路径耗散：每步的耗散值为1
讨论：
1 OPEN中的节点是尚未扩充的节点 2 CLOSED的节点是已经扩充过的节点 3 G中的每个节点都唯一地指向一个父节点 4 ﹛mi﹜＝ ﹛mj﹜∪ ﹛mk﹜ ∪ ﹛ml﹜ 其中： mi是当前被扩充的全部节点
mj是新扩充的节点
mk是已经在OPEN中的节点 ml是已经在CLOSED中的节点
5 n是当前被选中的节点，它是OPEN表中排列在最前面的一个节点。