人教版数学高一-新课标 反函数 精品教学设计
人教版高中数学必修一教案 ：1.3反函数
反函数——课堂教学设计一、[教材依据]全日制普通高级中学教科书数学（人教版）第一册（上）第二章《函数》第四节“反函数”第一课时。
二、[教材分析][设计思路]1、体验教学的原则：重视学生的亲身体验与感悟，使学生具有对于知识生成、发展、形成及应用过程的体验和感悟。
本节课力求体现二期课改的思路，以学生发展为本。
整节课的概念、例题与练习都以学生讨论、探究、归纳为主，教师引导为辅。
使学生在形成概念、发展规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法，逐步增强学生的研习能力、批判思维能力、自学能力和交流合作能力，培养学生勇于探索的精神。
2、本节教材是在学生初步学习了函数及其性质后，再来接触的一个新概念-----“反函数”。
反函数是函数中的一个重要概念，对这个概念的研究是对函数概念和性质在认识上的深化和提高。
它是从研究两个函数关系的角度产生的函数的，反函数本身也是一个函数。
由于反函数的定义本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度，认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步概括出反函数的定义，进而明确求解反函数问题的步骤。
当然学生在具体求解指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时正负的选择问题及求原来函数的值域问题，教学中要预以足够的重视。
为了突破“反函数存在的条件”与“反函数与原函数的相互关系”这一难点，在本节教学中采用由课本上前面的例题（本章第一节“函数”部分给出的3个对应，并且是3个从A到B的函数）来加深对反函数定义的理解，这样便于把抽象的问题直观化。
反函数概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用，对将要学习研究的“指数函数”与“对数函数”等函数之间图象与性质的关系也起着重要作用。
三、[教学目标]1、知识与技能目标：（1）、理解反函数的概念 （2）、会求一些简单函数的反函数。
2、过程与方法目标：通过师生的共同讨论，弄清反函数的概念，探索与原函数的相互关系，会求一些简单函数的反函数。
第一册反函数_高一数学教案_模板
第一册反函数_高一数学教案_模板教学目标1.使学生了解反函数的概念；2.使学生会求一些简单函数的反函数；3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点1.反函数的概念；2.反函数的求法。
教学难点反函数的概念。
教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2张第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。
（记作A）；第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。
教学过程（I）讲授新课（检查预习情况）师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）；（2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。
（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。
）在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。
）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
师：从反函数的概念可知：函数y= f (x)与y= f –1(x)互为反函数。
高中数学反函数教案人教版
高中数学反函数教案人教版1. 知识与技能：理解反函数的概念，掌握求反函数的方法，并能够应用反函数解决问题。
2. 过程与方法：通过讲解、示范、练习等方式，引导学生建立正确的反函数概念及求解方法。
3. 情感态度：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
二、教学重、难点1. 教学重点：理解反函数的概念，掌握求反函数的方法。
2. 教学难点：理解反函数与原函数之间的关系，正确求解反函数。
三、教学准备1. 教学资源：教材、多媒体设备等。
2. 教学内容：反函数的概念、求反函数的方法、反函数与原函数的关系等。
3. 教学步骤：引入、概念讲解、示范演练、练习等。
四、教学过程1. 引入：通过实例引入反函数的概念，如f(x) = 2x + 3，问学生如何求出反函数。
2. 概念讲解：解释反函数的概念及原函数与反函数的关系，引导学生理解反函数的定义和特点。
3. 示范演练：通过几个具体的例题，向学生展示求反函数的方法，并让学生跟随演示过程，逐步掌握反函数的求解技巧。
4. 练习：让学生进行练习，巩固所学知识，检验理解程度。
可以设置不同难度的练习题，帮助学生提高解题能力。
5. 总结：总结本节课的重点内容，强调反函数的重要性和应用价值，鼓励学生多加练习，提高解题能力。
五、作业布置1. 完成课堂练习，并对错题进行复习和订正。
2. 自主练习，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学反思本节课主要围绕反函数的概念和求解方法展开，通过引入、讲解、演示和练习等环节，帮助学生建立正确的反函数概念，掌握反函数的求解方法。
在教学过程中，要注重引导学生灵活应用所学知识，提高解题能力，激发学生对数学的兴趣，达到提高学生学习能力和解决问题能力的目的。
《反函数》教学设计
《反函数》教学设计教学设计：反函数一、教学目标1.理解函数与反函数的概念和性质。
2.掌握如何求函数的反函数。
3.能够应用反函数解决实际问题。
二、教学重难点1.函数与反函数的概念和性质。
2.求反函数的方法。
3.应用反函数解决实际问题的能力。
三、教学过程1.引入与概念讲解（20分钟）将一些简单的实际问题引入，如小明走了10公里，再走回来时总用时是2小时，看电影用了3小时，求小明的速度。
从这个问题入手引出函数与反函数的概念，并让学生思考反函数可能的意义。
定义函数：函数是一种映射关系，将一个数域中的数映射到另一个数域中的数。
定义反函数：设有函数y=f(x)，如果对于函数f(x)的定义域上的任意一个元素x，都存在定义在f(x)的值域上的一个元素y与之对应，使得f(x)=y，且对于f(x)定义域上的任意一个元素x1，x2，有f(x1)=f(x2)必然导致x1=x2，那么我们称函数y=f(x)的反函数为y=f^(-1)(x)。
2.反函数的求解方法（20分钟）根据定义可知，求反函数的关键是找到y和x的对应关系。
将已知函数表示为y=f(x)，用x来表示y，即x=f^(-1)(y)，解方程f^(-1)(y)=x 即可求得反函数。
以一个简单的例子来演示求反函数的方法：已知y=2x+1，求y=2x+1的反函数。
解：将y=f(x)表示为x=f^(-1)(y)，即x=f^(-1)(2x+1)。
交换x和y 得到y=f^(-1)(2y+1)。
将y=f^(-1)(2y+1)视为一个关于y的方程，解方程可得f^(-1)(y)=(y-1)/2通过多个例子让学生掌握求反函数的方法，并进行简单练习。
3.函数与反函数的性质（20分钟）函数和反函数有以下性质：性质1：函数f(x)与它的反函数f^(-1)(x)互为反函数。
性质2：函数f(x)与它的反函数f^(-1)(x)关于直线y=x对称。
性质3：函数f(x)有反函数的充分必要条件是f(x)是一一对应的。
人教版1、3 反函数-高中数学必修一教案
反函数教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系化了对概念的理解和掌握教学目的：.掌握反函数的概念和表示法，达到会求一个函数的反函数.使学生直观上了解互为反函数的函数图象间的关系.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：.反函数的定义及理解.反函数的求法教学难点：.反函数的定义及理解.求解反函数注意原函数与反函数的关系。
（特别是反函数的定义域）授课类型：新授课课时安排：课时一、问题引入：.画出2(0)y x x =≥的图像。
.思考y x =的图像。
猜想分析二者关系： 在2(0)y x x =≥，反解该式得2,0x y x x y =≥∴=，该函数图像和2(0)y x x =≥一样，当我们将,x y 互换后得到y x =，即图像关于y x =对称，我们得到y x =的图像，那么在该过程中你能发现些什么呢？二、讲解新课： 反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是，根据这个函数中的关系，用把表示出，得到ϕ(). 若对于在中的任何一个值，通过ϕ()，在中都有唯一的值和它对应，那么，ϕ()就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数ϕ() (∈)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y fx -=,习惯上改写成)(1x f y -=书上的两个例子：记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为v tt f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f .探讨：所有函数都有反函数吗？为什么？③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=，②由)(13R x x y ∈+=解得31-y ,∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由x 解得2)1(-y ,∵≥，∴≥. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是2)1(-y (≥);④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵ {∈≠}，∴∈{∈≠}∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例．求函数 211x y --=（-<<）的反函数先让学生出错再更正，加深学生印象注意：在求解反函数时原函数的定义域很重要，反函数的定义域只能通过原函数的值域来确定。
高中数学人教课标实验(A)版必修1第二章-反函数教学设计
⑵①∵ x∈ R，∴y∈R.
②由
3
y=x +1 解得
x= 3
y
1,
3
③④∴函数 y=x +1(x ∈ R)
的反函数是 y=f -1 (x)= 3 x 1 (x ∈R);
⑶①∵ x≥ 0，∴ y≥1. ②由 y= x +1 解得 x=(y-1) 2, ③④∴函数 y= x +1(x
≥0) 的反函数是 y=f -1(x)=(x-1) 2 (x ≥ 1);
说明 ：⑴求函数 y=f(x) 的反函数的一般步骤就是上述的四步， 书写时③④两
步可并作一步，以后熟悉了 , 具体的步骤可省略不写 .
⑵反函数的定义域得反函数的定义域，这一点绝不能混淆 .
x 2 1( x 0)
例 2( 补充 ) 求函数 y=
的反函数 .
反函数教学设 计
[ 教学目的 ]
⒈使学生了解反函数的概念，掌握反函数的表示法，会求一些简单函数的反
函数；
⒉使学生了解互为反函数的函数图象间的关系及应用 .
[ 重点难点 ]
重点：反函数的概念和求法；互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证
明，定理的应用 .
难点：反函数的定义和求法；定理的证明 ( 现在的教材不作要求 ).
《反函数》教学设计
《反函数》教学设计一、教学目标1.理解反函数的概念和性质；2.能够找出函数的反函数；3.能够应用反函数解决实际问题。
二、教学内容1.反函数的定义和性质；2.如何找到一个函数的反函数；3.反函数的应用。
三、教学过程1.导入教师可以通过一个简单的例子引入反函数的概念，如y=x+3，让学生想一想如何找到这个函数的反函数。
2.概念讲解首先，教师向学生介绍反函数的概念，即如果一个函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)满足条件f(f^(-1)(x))=x，则称f^(-1)(x)是f(x)的反函数。
接着，教师讲解反函数的性质，如反函数之间互为倒数、关于y=x对称等。
3.如何找到一个函数的反函数教师通过几个例子来展示如何找到一个函数的反函数，让学生掌握具体的操作步骤。
例如，对于函数y=2x-1，要找到它的反函数，首先将y=2x-1表示成x=2y-1，然后交换x和y的位置得到y=2x-1，最后将y记为f(x)的反函数即可。
4.反函数的应用教师通过一些实际问题来引导学生应用反函数解决问题，如求解线性方程组、计算复合函数等。
例如，如果一个物体从高处落下，已知它的高度与时间的关系为h(t)=4.9t^2，求落地时的时间。
在这个问题中，物体的高度h(t)是时间t的函数，通过找到h(t)的反函数就可以求解出问题中的未知量。
5.案例分析教师提供一些具体的案例让学生练习应用反函数解决实际问题，通过分组讨论或小组合作来解决问题。
例如，已知函数y=3x+7，求出它的反函数并计算f(2)的值。
6.练习与拓展教师布置一些练习题让学生巩固所学知识，并提供一些拓展题目来挑战学生的思维。
例如，已知函数f(x)=2x^2+3x，求出它的反函数并计算f^(-1)(5)的值。
7.总结与作业教师对本堂课的内容进行总结，强调反函数的重要性和应用，并布置相关的作业来巩固学生的学习成果。
四、教学手段1.PPT课件：用于呈现反函数的定义、性质及操作步骤等内容；2.教学案例：用于让学生实际操作，巩固所学知识；3.讨论与合作：激发学生思维，促进学生合作交流。
高一数学：反 函 数(教学方案)
( 数学教案 )学校：_________________________年级：_________________________教师：_________________________教案设计 / 精品文档 / 文字可改高一数学：反函数(教学方案)Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.高一数学：反函数(教学方案)教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）教学目标：1．了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系．2．会求一些简单函数的反函数．3．在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识．4．进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力．教学重点：求反函数的方法．教学难点：反函数的概念．教学过程：教学活动设计意图一、创设情境，引入新课1．复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2．同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即s=vt和t= （其中速度v是常量），在s=vt 中位移s是时间t的函数；在t= 中，时间t是位移s的函数．在这种情况下，我们说t= 是函数s=vt的反函数．什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容．3．板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习兴趣，展示了教学目标．这样既可以拨去“反函数”这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性．二、实例分析，组织探究1．问题组一：（用投影给出函数与；与（）的图象）（1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？（生答：与的图像关于直线y=x对称；与（）的图象也关于直线y=x对称．是求一个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算．同样，与（）也互为逆运算．）（2）由，已知y能否求x？（3）是否是一个函数？它与有何关系？（4）与有何联系？2．问题组二：（1）函数y=2x+1(x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？（2）函数 (x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？（3）函数（）的定义域与函数（）的值域有什么关系？3．渗透反函数的概念．（教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点）从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培养学生抽象、概括的能力．通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在“最近发展区”设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础．三、师生互动，归纳定义1．（根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义）函数y=f(x)(x∈a) 中，设它的值域为 c．我们根据这个函数中x,y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = j (y) ．如果对于y在c中的任何一个值，通过x = j (y)，x在a中都有唯一的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量 y 的函数．这样的函数 x = j (y)(y ∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数.记作: ．考虑到“用 x表示自变量, y 表示函数”的习惯，将中的x与y对调写成．2．引导分析：1）反函数也是函数；2）对应法则为互逆运算；3）定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数；4）函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数 x=f (y)的值域、定义域；5）函数y=f(x)与x=f (y)互为反函数；6）要理解好符号f ；7）交换变量x、y的原因．3．两次转换x、y的对应关系（原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的．） 4．函数与其反函数的关系函数y=f(x)函数定义域ac值域ca四、应用解题，总结步骤1．（投影例题）【例1】求下列函数的反函数（1）y=3x-1 (2)y=x +1【例2】求函数的反函数．（教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤．）2．总结求函数反函数的步骤:1°由y=f(x)反解出x=f (y)．2°把x=f (y)中 x与y 互换得 .3°写出反函数的定义域. （简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）【例3】（1）有没有反函数?（2）的反函数是____．（3） (x<0)的反函数是____．在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数．在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握．通过动画演示，表格对照，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解．通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力．题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进．并体现了对定义的反思理解．学生思考练习，师生共同分析纠正．五、巩固强化，评价反馈1．已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y =f ( x)（1）y=-2x+3(x r) （2）y=-(x r,且x )( 3 ) y= (x r,且x )2．已知函数f(x)= (x r,且x )存在反函数，求f (7)的值．五、反思小结，再度设疑本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步骤．互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么具有这样的特点呢？我们将在下节研究．（让学生谈一下本节课的学习体会，教师适时点拨）进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数．反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度．具体实践中可采取同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的积极性．“问题是数学的心脏”学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂．六、作业习题2.4 第1题，第2题进一步巩固所学的知识．教学设计说明“问题是数学的心脏”．一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程．本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念．反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象的符号．由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念．为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成．另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用．通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维．使学生自然成为学习的主人．可在这填写你的名称YOU CAN FILL IN THE NAME Here。
高一数学反函数 新课标 人教版 教案
≤1 )
（3）
解：①当0≤x≤1时，1≤x21≤0
即0≤y≤1
由y=x21 (0≤x≤1)
解得 (1≤y≤0)
∴f1(x) = (1≤x≤0)
②当1≤x< 0时，0 <x2≤1
即0 <y≤1
由y=x2(1≤x< 0)
解得 (0 <y≤1)
∴f1(x) = (0 <x≤1)
y=f1(x)间的区别和联系。培养学习思维的严密性和灵活性，培养学习用辩证的观点观察、分析、解决问题的能力。
教学重点：反函数的概念
教学难点：求反函数的方法
教学过程
学生活动
引入：
看下面一些例子
1)在匀速直线运动中，位移 是时间 的函数，即 ，把上式看成方程的反解，用位移 表示时间 ，得t= (s )，这时，时间 是位移 的函数。
观察、思考
思考、讨论、回答
思考、回答
函数表示出来得到在cc中的任何一个值通过就表示是x自变量由于习惯上我们一般用x表示自变量用y表示函数为此我们对调函数x观察思考用心爱心专心117号编辑有什么相同点有什么区别
高一数学反函数
教学目标：了解反函数的概念。弄清原函数与反函数的定义域与值域的关系，会求一些简单函数的反函数，并总结求反函数的基本步骤。弄清函数y=f(x)，x=f1(y)，
∴所求反函数为：
请同学归纳判断反函数的步骤并且总结求反函数的步骤：
判断有没有反函数关键是：看这个函数的映射是不是一一映射
求函数反函数的步骤：
1、求原函数的值域
2、将y=f(x)看成方程，反解出x=f1(y)
3、对调 , 得到y=f1(x)
必修1 第二章 反函数教案
过程
教学内容
自主学习
不看不讲
1．复习
（1）函数的概念
（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出 的函数图象.`
2．讲授新知
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
…
1
2
4
8
…
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
图象如下：
探究：在指数函数 中， 为自变量， 为因变量，如果把 当成自变量， 当成因变量，那么 是 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.
引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.
反函数的概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．
合作探究
不议不讲
高效训练
不练不讲
教学内容
第2课
（单元）
主题
第3课反函数概念
1课时
教学目标
知识
与技能
了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.
过程
与方法
学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异.
情感态度与价值观
（1）体会指数函数与指数;
（2）进一步领悟数形结合的思想.
教
材
分
析
重点
指数函数与对数函数内在联系
难点
反函数概念的理解
教案设计高中数学《反函数》
教案设计高中数学《反函数》一、教材分析1.教学内容本节教材内容涉及反函数的概念，反函数的求法。
函数从本质上讲是函数，原函数与反函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。
2.本节教材地位与重要性“反函数”一节课是《高中数学》第一册的重要内容。
这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。
3.重点与难点重点：反函数的概念及反函数的求法。
理解反函数概念并求出函数的反函数是高一数学教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。
难点：反函数概念的接受与理解。
学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。
教学中复习函数概念，进而引出反函数概念，就是为突破难点做准备。
4.课时安排本节内容将安排1课时时间完成教学。
二、教学目标知识目标：○1理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；○2掌握反函数的求法，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；能力目标：通过观察、分析、抽象、推理得出数学规律，培养学生的数学意识。
通过作图，加强学生对数形结合的数学思想的理解，训练学生自主地获取知识的能力，和在所学知识的基础上进行再创新的能力。
情感目标：使学生树立对立统一的辩证思维的观点。
三、教法与学法分析1.教法分析根据本节课的内容及学生的实际水平，将采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。
引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。
教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
反函数概念教学设计
反函数概念教学设计反函数是高中数学中的重要知识点，这个概念对于理解函数的复合、解方程组和图像翻折等内容都有着重要的意义。
为了帮助学生更好地理解、掌握反函数的相关知识，本文将介绍一个综合性教学设计，以帮助教师在教学中更好地引导学生理解反函数。
1.预习环节在课前，教师可以将关于反函数概念的知识点、定义和定理等相关材料提供给学生进行预习。
教师可以通过对学生的预习情况进行简单的调查，以了解学生对于反函数概念的初步认知情况。
2.引入环节在课堂上，教师可以根据学生预习的情况，提出相关的问题，引导学生思考反函数的概念。
例如，教师可以提问：“什么是反函数？为什么需要研究反函数？”等问题。
3.理论讲解环节在学生对于反函数概念有了初步的认识后，教师可以进行反函数的理论讲解。
首先，教师可以讲解反函数的定义，即如果函数f的定义域为X，值域为Y，如果存在一个函数g，满足g(Y)=X且f(g(y))=y，那么g就是f的反函数。
然后，教师可以引入反函数的性质和定理，例如反函数的复合等。
4.练习环节在学生对于反函数概念的理论有了初步的掌握之后，教师可以引导学生进行相关的练习。
可以从计算反函数、图像翻折、解方程组等方面出发，让学生使用反函数的相关知识进行练习和实践。
5.实践应用环节在练习环节之后，教师可以带领学生进行实践应用。
例如，可以引导学生使用反函数的相关知识在现实生活中进行应用，例如求解公交车路线等相关问题。
这样可以让学生对于反函数的实际应用产生更深层次的理解和认识。
6.课后复习环节课后，教师可以通过作业等方式对学生进行回顾和总结，让学生对于反函数的概念和理论再次进行回顾和整理。
教师可以佩服对于学生的总结和归纳，也可以通过针对特定问题的讲解来帮助学生理解和掌握反函数相关的知识点。
综上所述，反函数是数学中的重要概念，学习反函数对于学生理解数学的其他概念也有着非常重要的作用。
在教学反函数的课程中，教师可以通过综合教学设计的方式，让学生对于反函数的概念和相关知识点产生更深层次的理解，从而掌握反函数的相关技巧和方法。
反函数教案第三课时
反函数教案第三课时第一篇：反函数教案第三课时高中数学教案第二章函数（第10课时）王新敞课题：2.4.3 反函数（三）教学目的：1．在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数，会利用反函数解决相关综合问题。
2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.。
授课类型：练习课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明互为反函数的两个函数有什么关系：函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 2．函数y=f(x)、y=f-1(x)、x=f(y)、x=f-1(y)间的关系：y=f(x)与y=f-1(x)、x=f(y)与x=f-1(y)互为反函数；y=f(x)与x=f-1(y)、x=f(y)与y=f-1(x)为同一函数。
二、讲解例题：例1 求函数y=1+x1-x(x≥0，x≠1)的反函数.解：⑴由原函数变形为y-y∵x=1+x，即x=(y-1)/(y+1)--①, x≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y<-1或y≥1，2⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)], 新疆奎屯市一中第 1页（共4页）高中数学教案第二章函数（第10课时）王新敞⑶∴原函数的反函数是f-1；(x)= [(x-1)/(x+1)]2（x<-1或x≥1）说明：原函数的值域是借助于变形中的①式：x≥0而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.⎧x(x<0)例2 设函数y=f(x)=⎨2，求它的反函数.x(x≥0)⎩分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x范围内求其反函数.解：⑴当x<0时，y=x,其反函数仍是y=x(x<0);⑵当x≥0时，y=x，由y=x(x≥0)得x=为y≥0，∴y=x(x≥0)的反函数是y=⑶由⑴⑵可得f-1222y,又y=x2(x≥0)的值域x(x≥0).⎧x(x<0).(x)=⎨⎩x(x≥0)ax+b3x+1的反函数是y=(x∈R,x≠2)，求a,b,cx+cx-2例3 已知函数y=的值.解：⑴由y=3x+12y+1(x≠2)解出x=，x-2y-3∵原函数的值域是y≠3, 3x+12x+1(x≠2)的反函数是y=(x≠3,x∈R).x-2x-3ax+b2x+1⑵由互为反函数的函数关系知，y=与y=是同一函数，x-3x+c∴y=∴a=2,b=1,c=-3.例4 若点A(1,2)既在函数f(x)=ax+b的图象上，又在f(x)的反函数的图象上，求a,b的值.分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，如何寻求？①A(1,2)在f(x)图象上，这是很容易看出来的.②如何用它也在f(x)的反函数的图象上呢？新疆奎屯市一中第 2页（共4页）高中数学教案第二章函数（第10课时）王新敞其一，真求反函数，再把A(1,2)代入.能不能不求反函数？其二，A(1,2)在反函数图象上，则A'(2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足y=f(x)，则(b,a)应满足y=f-1(x)，反之亦然.解：由A(1,2)在f(x)=ax+b上，则有a+b=2--①；由A(1,2)在其反函数图象上，可知A'(2,1)也在函数f(x)=ax+b图象上，∴又有2a+b=1--②，解联立①②的方程组得a=-3,b=7.例5．若f(x+1)=x+2x(x≥0)，试求反函数y=f-1(x)．分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式．解：令x+1=t，则x=t-1，x=(t-1)2，代入所给表达式，得f(t)=(t-1)2+2(t-1)2=t-1，2Θx≥0，∴x+1=t≥1，即原来函数是f(x)=x2-1(x≥1)．易求函数f(x)=x-1(x≥1)的反函数是2y=f-1(x)=x+1(x≥0)．注：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变量）的取值范围．三、练习：⎧x2+1(x≥0)1．求函数y=⎨的反函数.x+1(x<0)⎩解：当x≥0时，y≥1，由y=x2+1得x=y-1(y≥1)；当x<0时，-1y<1，由y=x+1得x=y-1(y<1).将x,y 对换得y=f⎧x-1(x≥1).(x)=⎨⎩x-1(x<1)说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.2．已知函数f(x)=1+2x-3有反函数，且点(a,b)在函数f(x)的图象上，新疆奎屯市一中第 3页（共4页）高中数学教案第二章函数（第10课时）王新敞又在其反函数的图象上，求a,b的值.解：∵点(a,b)在函数f(x)的图象上，∴b=1+2a-3---①, 又点(a,b)在其反函数的图象上，∴点(b,a)在原函数f(x)的图象上，∴有a=1+2b-3---②，联立①②解得a=b=2.四、小结本节课学习了以下内容：分段函数的反函数的求法及含有字母的函数的问题五、课后作业：1．课本P64习题 2.4：3，4.答案：3.⑴y=f-1(x)=x/2，y=2x(x∈[0,+∞)它的定义域为[0,+∞);⑵y=2x(x∈[0,+∞)及其反函数1y=x(x≥0)2的图象如右图所示.y=1x(x≥0)2第3（2）题4.∵y=x/5+b的反函数为y=5x-5b，由已知y=ax+3是y=x/5+b的反函数，∴函数y=x/5+b与函数y=ax+3为同一个函数，由此得a=5且-5b=3.∴a=5,b=-3/5.2．求函数f(x)=x|x|+2x的反函数.(提示：讨论x≥0和x<0两种情况，写成分段函数，分别在两部分内求反函数)答案：f-1⎧⎪-1+1+x(x≥0)(x)=⎨⎪⎩1-1-x(x<0)六、板书设计（略）七、课后记：新疆奎屯市一中第 4页（共4页）第二篇：反函数第一课时教学设计解读反函数第一课时教学设计在人教版《全日制普通高级中学教科书（必修）数学》教科书中，1.4反函数的概念、性质及其应用应该用2课时完成，本文将从教材分析、教学目标分析、学情分析、学法分析、教学过程设计、教学设计说明等六个方面谈谈第一课时的教学设计。
高一数学教案-上学期2.4反函数
上学期 2.4 反函数教学目标1.使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.2.通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.3.通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.教学重点,难点重点是反函数概念的形成与认识.难点是掌握求反函数的方法.教学用具投影仪教学方法自主学习与启发结合法教学过程一. 揭示课题今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.1.4. 反函数(板书)(一)反函数的概念(板书)二.讲解新课教师首先提出这样一个问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在的允许取值范围内的任一值,按照法则都有唯一的与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一对唯一”)学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反函数,而且把这个函数称为的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?由学生回答出应为 .教师再提出它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用表示自变量,用表示因变量,故它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和是同一函数吗?由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做的反函数.继而再提出: 有反函数吗？是哪个函数?学生很快会意识到是的反函数,教师可再引申为与是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象这样的函数,若将当自变量, 当作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个 (可画图辅助说明,当时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数.通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容.1. 反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义)为了帮助学生理解,还可以把定义中的换成某个具体简单的函数如解释每一步骤,如得 ,再判断它是个函数,最后改写为 .给出定义后,再对概念作点深入研究.2.对概念得理解(板书)教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以与为例来说)学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把与的位置换位了,教师再追问它们的互换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论: 的定义域和值域分别由的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.(1)“三定”(板书)然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中与的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是与的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.(2)“三反”(板书)此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数.例1. 求的反函数.(板书)(由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评)解:由得 , 所求反函数为 .(板书)例2. 求 , 的反函数.(板书)解:由得 ,又得 ,故所求反函数为 .(板书)求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为 , .教师可先明知故问 ,与 , 有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是和 ,所以它们是不同的函数.再追问从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.解: 由得 ,又得 ,又的值域是 ,故所求反函数为 , .(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同时让学生调整例的表述,将过程补充完整) 最后让学生一起概括求反函数的步骤.3.求反函数的步骤(板书)(1) 反解:(2) 互换(3) 改写:对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了.三.巩固练习练习:求下列函数的反函数.(1) (2) .(由两名学生上黑板写)解答过程略.教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用)四.小结1. 对反函数概念的认识:2. 求反函数的基本步骤:五.作业课本第68页习题2.4第1题中4,6,8,第2题.六.板书设计2.4反函数例1. 练习.一. 反函数的概念 (1) (2)1. 定义2. 对概念的理解例2.(1) 三定(2)三反3. 求反函数的步骤(1)反解(2)互换(3)改写。
高一数学反函数一 新课标 人教版 教案
高一数学反函数一教学目标1.使学生了解反函数的概念；2.使学生会求一些简单函数的反函数；3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点1.反函数的概念；2.反函数的求法。
教学难点反函数的概念。
教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2X第一X：反函数的定义、记法、习惯记法。
（记作A）；第二X：本课时作业中的预习内容及提纲。
教学过程（I）讲授新课（检查预习情况）师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）；（2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。
（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。
）在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。
）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
师：从反函数的概念可知：函数y= f (x)与y= f –1(x)互为反函数。
从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；（2）将x= f –1(y)改写成y= f –1(x)，即对调x= f –1(y)中的x、y。
高一教案反函数 .doc
1.4 反函数说课人：余礼宝一、说教材：1.教材所处的位置及前后联系本教材是高中第一册第二章函数中第四节，是在学生学习了函数的定义，函数的表示方法，函数的单调性之后，提出的又一重要性质——反函数，它是在函数定义的基础上来探讨函数定义域与值域之间的对应关系。
图象之间的对称性，是对前面所学内容的具体应用，又为研究指数函数，对数函间的性质打下了基础。
2.内容结构首先，本节内容，从函数的定义出发，以实例形式分析、研究两变量之间的对应关系，给学生以具体、直观的感觉。
然后，利用函数的定义，归纳总结给出了反函数的定义。
其次，利用反函数的定义，探讨一个函数Y=F（X）是否具有反函数，若有反函数Y=F（X）两者定义域与值域之间的关系，并以图表的形式给出。
使学生明白反函数的定义域是由原函数的值域决定的。
第三，.通过例题讲解，使学生掌握反函数的求法。
并在同一坐标系内画出两个互为反函数的图象。
通过学生作图，观察比较图象间的关系，归纳总结得出结论：函数Y=F（X）图象与它的反函数Y=F（X）的图象关于直线Y=X对称。
3.教学目标：通过本节内容的讲解，使学生理解反函数的概念，会求一些函的反函数。
弄清原函数与其反函定义域与值域之间的关系及图象之间的关系，进行归纳，总结。
从而培养学生探索、猜想，论证的思维习惯；培养学生用数形结合的思想进行解题；提高学生的解决问题的能力。
4.教学重点、难点：反函数的求法，图象间的对称性是本节的重点。
反函数定义域与值域的对应关系是本节的难点。
5.教学仪器：多媒体课件、投影仪。
二、教学方法根据本节教材的特点，为了更好的突出本节的教学的重点、难点，我采用如下方法：1. 引入：由具体实例引入（物体作匀速直线运动的位移S 是时间T 的函数S=VT ），结合函数的定义，提出问题，并导入新课2.讲授：利用具体实例制成表格。
并由学生填写，老师引导学生分析比较二者的不同点及对应关系，得出反函数的定义。
并对定义作进一步的解释。
高一数学反函数教案
一. 教学内容：反函数二. 本周重难点：1. 重点：反函数的概念，互为反函数的函数图象间的关系。
2. 难点：求反函数的方法，解决有关反函数的问题。
【典型例题】[例1] 求下列函数的反函数。
（1）252-+=x x y （2<x ）（2）x x y +=2（1≥x ） （3）2361x y --=（06≤≤-x ）（4）142++=x x y （25-≤≤-x ）解： （1）由252-+=x x y 得52)2(+=-y x y ∴252-+=y y x 又2<x 时，229229)2(2252<-+=-+-=-+=x x x x x y 即原函数的值域}2|{<y y（2）x x y +=2（1≥x ） 由x x y +=2得022=--y x x ∴41)21(22+=+y x∵1≥x ∴021>+x ∴41212+=+y x ∴21412-+=y x 又41)21(22-+=+=x x x y 在[)∞+,1上是增函数∴值域为[)∞+,2 ∴所求反函数21412-+=x y （2≥x ） （3）由2361x y --=得36)1(22=+-x y ∴22)1(36--=y x∵06≤≤-x ∴2)1(36---=y x又]0,6[-∈x 时，2361x y --=为减函数∴值域为]1,5[--∈y ∴所求反函数为2)1(36---=x y （15≤≤-x ）（4）由3)2(1422-+=++=x x x y ，有3)2(2+=+y x ∵25-≤≤-x ∴023≤+≤-x ∴32+-=+y x ∴32+--=y x 又]2,5[--∈x 时，3)2(2-+=x y 为减函数 ∴值域为]6,3[-[例2] 已知m x y +=21和31-=nx y 互为反函数，求m ，n 的值。
解： 由m x y +=21得m y x 22-= ∴m x y +=21的反函数是m x y 22-=（R x ∈）∵m x y 22-=与31-=nx y 表示同一函数∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3122m n ∴⎪⎩⎪⎨⎧==261n m[例3] 已知：23)(-=x x f ，求)]([1x f f -的表达式。
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课时教案
年 月 日 第 周 星 期
执教人 学 科 数学 高中 年级 班 课 题 2.2.3反函数
课 型
新授课
教 学 目 标 学习反函数的概念，理解对数函数和指数函数互为反函数，能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质 重 点 难 点 反函数的概念，对数函数和指数函数互为反函数 反函数的概念 教 学 用 具
教 学 主 线
教 学 过 程
一、课前预习、复习
阅读以下内容： 材料一：
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：
（1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（2）已知一生物体内碳14残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（3）这两个函数有什么特殊的关系？
（4）用映射的观点来解释P 和t 之间的对应关系是何种对应关系？ （5）由此你能获得怎样的启示？ 材料二：
探究：如何由x
y 2=求出x ？
分析：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为x y 2log =。
由对数函数的定义可知，对数函数x y 2log =是把指数函数x
y 2
=中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画x y 2log =的图象时，也是把指数函数x
y 2=的对应值表里的x 和y 的数值对换，而得到对数函数x y 2log =的对应值表，如下：
表一 x
y 2=
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y …
…
表二 x y 2log =
引导学生分析归纳，总结概括得出结论：
（1）P 和t 之间的对应关系是一一对应；
（2）P 关于t 是指数函数
t
P ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=573021；
t 关于P 是对数函
数
x t 5730
2
1log
=，
它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P 与死亡
年数t 之间的对应
关系；
（3）
本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量
P
与死亡年
数t 之间的对应关系）的不同数学模型．。