(精心整理)一元一次不等式复习讲义

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(完整)一元一次不等式总复习讲义

一元一次不等式知识要点不等式用符号≤≥≠“＜”（“”）“＞”（“”）“”连接而成的式子，叫比较等式与不等式的基本性质。

1、若kb ka -<-，则 b a > （ )2、若b a >，则 2323b a-<-（）3、若,,d c b a =<，则 bd ac < （）4、若0<<b a ，则 b a > （）5、对于实数若a ,总有 a a 23-> （）6、若b a >，则22b a > （）7、若b a >，0≠ab ，则ba 11< ( ) 8、若,1a a <则10<<a （）一元一次不等式（组）解法解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母(根据不等式的基本性质3）（2）去括号（根据单项式乘以多项式法则）（3）移项（根据不等式的基本性质2) （4）合并同类项,得ax>b ，或ax 〈b （a≠0)（根据合并同类项法则）（5）两边同除以a （或乘1/a ）(根据不等式基本性质3)(注：若a<0，不等号反向）（6）不等式的解在数轴上的表示一、选择题1、如果a ＞b ,c ＜0，那么下列不等式成立的是（）．（A) a ＋c ＞b ＋c ; (B ） c －a ＞c －b ；（C ） ac ＞bc ; (D ） a bc c> ． 2、如果,2323,11--=++=+x x x x 那么x 的取值范围是（）A 、321-≤≤-xB 、1-≥xC 、32-≤xD 、132-≤≤-x3、已知a 、b 、c 为有理数，且a>b>c ，那么下列不等式中正确的是( ）A 。

a+b 〈b+cB 。

a-b 〉b-c C.ab>bc D 。

a bc c>4、如果m<n 〈0那么下列结论中错误的是（ )A 。

m —9〈n-9 B.-m 〉—n C 。

第11章一元一次不等式-2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节复习讲义(导图+(0001)

2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节知识讲练1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.知识点01：不等式【高频考点精讲】1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.【易错点剖析】（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．知识点02：一元一次不等式【高频考点精讲】1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.知识点03：一元一次不等式组【高频考点精讲】关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.【易错点剖析】（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.55一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•姑苏区期末）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（）A．a﹣1＞b﹣1 B．C．3a＞3b D．1﹣a＞1﹣b2．（2分）（2023秋•奉化区校级期中）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（）A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤73．（2分）（2023秋•永州期末）已知关于x的不等式整数解共有2个，若m为整数，则m＝（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2分）（2022秋•新化县期末）方程组的解满足不等式x﹣y＜5，则a的范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a＜2 D．a＞25．（2分）（2022秋•新田县期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）A．7＜a＜8 B．7≤a＜8 C．7＜a≤8 D．7≤a≤86．（2分）（2023秋•沙坪坝区校级期末）如果不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（）A．a＞0 B．a＞5 C．a≠5 D．a＜57．（2分）（2023春•自贡期末）若关于x的不等式组有100个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣1449＜a≤﹣1448 B．﹣1449≤a＜﹣1448C．﹣1450≤a＜﹣1449 D．﹣1450＜a≤﹣14498．（2分）（2023春•那曲市期末）若关于x的一元一次不等式组有解，则k的取值范围是（）A．k≤3 B．k＜3 C．k＜2 D．k≤29．（2分）（2023春•吕梁期末）若关于x的方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是（）A．0 B．1 C．2 D．310．（2分）（2023秋•姑苏区校级期末）如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•惠州期末）不等式组：的解集是．12．（2分）（2023春•集美区校级期中）若不等式（a﹣1）x＞1﹣a的解集是x＜﹣1，则a的取值范围是．13．（2分）（2023秋•海曙区期中）不等式组的解集为x＞3，则k的取值范围为．14．（2分）（2023春•富锦市校级期末）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围是．15．（2分）（2023秋•新田县期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是．16．（2分）（2023秋•鄞州区期中）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是．17．（2分）（2023春•渝中区校级期末）关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于x的一次方程5x﹣a＝x+3有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为．18．（2分）（2023春•重庆期中）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，求出满足条件的整数a的所有值的积为．19．（2分）（2022春•渝中区校级月考）清明将至，前去扫墓的人逐渐增多．某花店购进白菊，白百合，马蹄莲共计m捆．白菊每捆20支，白百合每捆12支，马蹄莲每捆10支．现取出白菊的，白百合的，马蹄莲的，全部用于扎成A、B两款花束销售．其中A款花束白菊2支，白百合3支，马蹄莲1支，B 款花束白菊5支，马蹄莲2支．如此取出后剩下的白百合支数不多于马蹄莲支数，则购进的白菊捆数与白百合捆数之比至少为．20．（2分）（2022春•梁园区期末）对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有个．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023秋•桐乡市期末）解不等式，并把解在数轴上表示出来．22．（6分）（2023秋•钢城区期末）解不等式组：，并求出它的非负整数解．23．（8分）（2023秋•邵阳期末）已知关于x的不等式组；（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围；（2）若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，求a的取值范围．24．（8分）（2023春•大竹县校级期末）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜3＞＝4，＜﹣2.5＞＝﹣2．根据上述规定，解决下列问题：（1）[﹣4.5]＝，＜3.01＞＝；（2）若x为整数，且[x]+＜x＞＝2017，求x的值；（3）若x、y满足方程组，求x、y的取值范围．25．（8分）（2024•邵阳模拟）某商场同时采购了A，B两种品牌的运动装，第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元．（1）求A，B两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件？（2）商家通过一段时间的营销后发现，B品牌运动装的销售明显比A品牌好，商家决定采购一批运动装，要求：①采购B品牌运动装的数量是A品牌运动装的2倍多10件，且A品牌的采购数量不低于18件；②采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元，请问该商家有哪几种采购方案？26．（8分）（2023•曲靖一模）2022年1月7日，《云南省全民健身实施计划（2021﹣2025年）》新闻发布会顺利举行．会议上就“十四五”时期深化体育改革，推进新时代全民健身高质量发展作了全面部署和安排．其中，“强化供给，补齐全民健身设施建设短板”是《云南省全民健身实施计划（2021﹣2025年）》的主要任务之一．春城小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元．（1）A型健身器材和B型健身器材的单价是多少钱？（2）春城小区计划购买B型健身器材的数量不超过A型健身器材的数量的2倍，购买资金不低于10800元，请问共有哪几种购买方案，哪一种方案最省钱．27．（8分）（2023•金凤区校级二模）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元．（1）求每副象棋和围棋的价格；（2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？28．（8分）（2022秋•婺城区期末）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．（1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？（2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？。

(打印)一元一次不等式复习

第一节一元一次不等式(组)基本概念及解法一、知识回顾1．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）表示的式子叫不等式。

2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去），不等号的．（2）不等式的两边都乘以（或除以），不等号的．（3）不等式的两边都乘以（或除以），不等号的方向．3．不等式的解：能使不等式成立的的值，叫做不等式的解．4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的解集．5．解不等式：求不等式的过程叫做解不等式．6．一元一次不等式：只含有，并且未知数的最高次数是，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0．8．一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的步骤：① ，② ，③ ，④ ，⑤ （不等号的改变问题）9．求不等式（组）的正整数解或负整数解等特解时，可先求出这个不等式（组）的所有解，再从中找出所需特解．10．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的，叫做这个一元一次不等式组的解集．12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．13．一元一次不等式组的解．（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。

（口诀：同大取大，同小取小；大于小的小于大的，取两者之间；大于大的小于小的，无解。

）14.不等式组的分类及解集(a ＜b ）．二、基础练习(一)不等式的概念：1、判断下列各式是否是一元一次不等式？-x ≥5 2x-y ＜0 25432-=++x x x352≥+x2、下列式子中是一元一次不等式的是（） A.-2>-5 B.x 2>4 C.xy>0 D.2x –x< -1 (二)不等式的解集：1、判断下列说法是否正确，为什么？①X=2是不等式x+3＜2的解。

第三章《一元一次不等式》复习

（1）2( x 1) 3x 4
x 10 1 （2） x 1 3 x 5 1 2 4
三、解一元一次不等式的一般步骤及常见错误
四、巩固练习
6 x 2 3 x 4 解不等式组 2 x 1 1 x 1 2 3
)
A. a≥－1
B.a＜－1
C.a≤1
D. a≤－1
六、应用生活
某校八年级举行“生活中的数学”数学小论文比赛活动，购买A、 B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需要购买两种笔记本共30本，若学校决定购买本次笔记本所需资金不能超过280元，设买A种笔记本x本．（1）根据题意完成以下表格（用含x的代数式表示）笔记本型号数量（本）价格（元/本）售价（元） A x 12 12x 8 B
（2）那么最多能购买A笔记本多少本？（3）若购买B笔记本的数量要小于A笔记本的数量的3倍，则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少，最少的费用是多少元？
五、提高练习
1.不等式组－2≤x+1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（ A. B. C. D. ）
2.已知关于x的不等式(1－a)x＞2的解集为x＜ 2 ，则a的取值范围是________． 1 a 3.关于x的不等式x－k≤0的正整数解是1、2、3，那么k的取值范围是_________．
x a 0 4. 若不等式组无解，则实数a的取值范围是( 1 2 x x 2
第三章《一元一次不等式》复习
一、知识结构
不等式的传递性不等式的性质不等关系不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得不等式仍成立不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，所得不等式仍成立；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须把不等号改变方向，所得不等式成立

第三讲一元一次不等式复习

文字记忆
同大取大同小取小大小小大取中间大大小小则无解
当a＞b时，
的解集是 X＞a
b b b b a
a a a a
当a＞b时，
的解集是 X＜b 的解集是 b ≤ X＜a
当a＞b时，
当a＞b时，
的解集是无解的解集是 X＝a
不等式组
大小等同取等值
2（x+3）>x+5 (1)
例3、解不等式组
并求x的最大值。
练一练
1、解一元一次不等式,并把解在数轴上表示出来:
(1)6 4(1 x) 2(2 x 9) x 3 0.5 2 x (2) 1 2 3
2、求使不等式3(x-3)-1<2x成立的正整数解。
练一练
x x2 20 3 3、解不等式 x 5 2 3 并把它的解集表示的数轴上。
变式一：
x≥2a－1 不等式组 x＜3 无解，求a的范围
｛｛
变式二：
x≥2a－1 不等式组 x ≤ 3 无解，求a的范围
5、已知，不等式组
3（x-4）＜ 2（4x+5）-2
x5 1 3
1 x ＞ 2 2
①求此不等式组的整数解 ②若上述整数解满足方程ax-3=3a-x，求a的值 ③ 在① ②的条件下，求代数式 a
二、交流对话,巩固练习
x 2 1 2x 不等式 1, 去分母得 ( 8、 2 4
A 2(x+2)-(1-2x) ＞1 C 2(x+2)-(1-2x) ＞4 B
C )
2(x+2)-1-2x ＞4
D 2x+2-(1-2x) ＞4
二、交流对话,巩固练习
y 0.3 0.5 y 在解不等式 1时, 9、 0.5 0.6 ) 下列变形正确的是 ( D 10 y 3 5 y y 0.3 0.5 y A 10 10 B 5 6 5 6

八年级一元一次不等式(教师讲义带答案).

第四章一元一次不等式(组)考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（3-5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式（6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

人教版七年级数学下册第9章。一元一次不等式组知识点专题复习讲义

人教版七年级数学下册第9章。

一元一次不等式组知识点专题复习讲义一元一次不等式组知识点专题复讲义一、知识梳理1.知识结构图概念基本性质不等式的解法不等式的定义不等式的解集一元一次不等式的解法实际应用一元一次不等式组的解法二、知识点回顾1.不等式不等式是由不等号连接起来的式子。

常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”。

2.不等式的解与解集不等式的解是使不等式成立的未知数的值。

不等式的解集是一个含有未知数的不等式的解的全体。

解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

3.不等式的基本性质1) 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

4.一元一次不等式一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是1.系数不等于的不等式叫做一元一次不等式。

其标准形式为：ax+b＜或ax+b≤，ax+b＞或ax+b≥0(a≠0)。

5.解一元一次不等式的一般步骤1) 去分母；2) 去括号；3) 移项；4) 合并同类项；5) 化系数为1.删除格式错误的段落。

对于每段话，进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。

解一元一次不等式和解一元一次方程类似。

不同的是，一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

这是解不等式时最容易出错的地方。

例如，解不等式：-2/3x-1≤1/3解：去分母，得（3x-1）-2（3x-1）≤2（不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得3x-3-6x+2≤2（注意符号，不要漏乘！）移项，得3x-6x≤2+3-1（移项要变号）合并同类项，得-3x≤4（计算要正确）系数化为1，得x≥-4/3（同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）一元一次不等式组是含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组。

一元一次不等式与不等式组复习大纲

（2）在同一数轴表达不等式的解集。
x x 1 1 32
解：x 6 x 1 6 1 6
3
2
2x 3(x 1) 6
2x 3x 3 6
-x3
x 3
2x 1 5 ① x 2 1 ②
解：解不等式① 得，x 2
解不等式 ② 得，x 3
-1 0 1
2
34
所以原方程组的解为：2 x 3
第一章一元一次不等式（组）
复习大纲
一、不等式（组）概念二、不等式的性质三、一元一次不等式（组）的解法四、一元一次不等式（组）的应用五、一元一次不等式（组）与一次函
数的关系。
一、不等式（组）有关概念
1.不等式：用不等号连接的式子。如：2>-1, a<b, x+y>0等
2.不等式的解：使得不等式成立的未知数的值。 3. 不等式的解集：使得不等式成立的全部未知数的值。 4.一元一次不等式：（1）只含有一种未知数
惯用不等式性质：
1.若a b, 那么b a。 2.若a - b 0, 那么a b。 3.若a - b 0, 那么a b。
4.若a b, c 0那么ac bc。
5.若a b, c 0那么ac bc。
三、不等式（组）的解法：
1.项合并同类项（4）系数化为1 2.解不等式组环节：（1）解出不等式的解集
（2）未知数的次数是1 （3）分母中不含有未知数 5.一元一次不等式组的解集：各个不等式的解集的公共部分。
二、不等式的性质
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一种整式，不等号的方向不变。
（注：移项要变号，但不等号不变。）
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一种正数，不等号的方向不变。

专题10 一元一次不等式(组)(归纳与讲解)(解析版)

专题10 一元一次不等式(组) 【专题目录】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧技巧2：一元一次不等式的解法的应用技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【题型】一、不等式的性质【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围【题型】六、一元一次不等式的应用【考纲要求】1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次不等式(组)【注意】1. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。

2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。

3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。

2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。

2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．3．列不等式(组)解应用题的一般步骤： (1)审题； (2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系； (4)列出不等式(组)； (5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值； (7)写出答案(包括单位名称)．【技巧归纳】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧【类型】一、解普通型的一元一次不等式组1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＜6，x －2≤0的解集，在数轴上表示正确的是( )2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），①1－2x 3＋15＞0.②【类型】二、解连写型的不等式组3．满足不等式组－1<2x －13≤2的整数的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．无数4．若式子4－k 的值大于－1且不大于3，则k 的取值范围是____________． 5．用两种不同的方法解不等式组－1<2x －13≤5.【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解． 6．解不等式⎪⎪⎪⎪3x －12≤4.【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解 7．解不等式3x －62x ＋1<0.参考答案 1．C2．解：由①得，x≥－1.由②得，x ＜45.∴不等式组的解集为－1≤x ＜45.表示在数轴上，如图所示．3．B 4.1≤k ＜55．解：方法1：原不等式组可化为下面的不等式组⎩⎨⎧－1<2x －13，①2x －13≤5.②解不等式①，得x>－1.解不等式②，得x≤8.所以不等式组的解集为－1<x≤8.方法2：－1<2x －13≤5，－3<2x －1≤15，－2<2x≤16，－1<x≤8.6．分析：由绝对值的知识|x|＜a(a ＞0)，可知－a ＜x ＜a.解：由⎪⎪⎪⎪3x －12≤4，得－4≤3x －12≤4.则原不等式可转化为⎩⎨⎧3x －12≥－4，①3x －12≤4.②解不等式①，得x≥－73.解不等式②，得x≤3.所以原不等式的解集为－73≤x≤3.点拨：解题时要先将不等式转化为不等式组再进行求解． 7．解：∵3x －62x ＋1＜0，∴3x －6与2x ＋1异号．即：(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧3x －6＞0，2x ＋1＜0或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧3x －6＜0，2x ＋1＞0.解(Ⅰ)的不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜－12.∴此不等式组无解．解(Ⅱ)的不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x ＞－12.∴此不等式组的解集为－12＜x ＜2.∴原不等式的解集为－12＜x ＜2.技巧2：一元一次不等式的解法的应用【类型】一、直接解不等式1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)x ＞13x －2； (2)4x －13－x ＞1； (3)x ＋13≥2(x ＋1)．2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．解不等式：4－3x 3－1＜7＋5x5.解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)． ① 去括号，得20－15x －1＜21＋15x. ② 移项，合并同类项，得－30x ＜2. ③ 系数化为1，得x ＞－115. ④【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式 3．解关于x 的不等式ax －x －2＞0.【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式4．当m 取何值时，关于x 的方程23x －1＝6m ＋5(x －m)的解是非负数？5．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝10，4x －3y ＝2的解满足不等式ax ＋y ＞4，求a 的取值范围．【类型】四、解与新定义综合的不等式6．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.(1)求(－2)★3的值；(2)若3★x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来．【类型】五、解与不等式的解综合的不等式7．已知关于x 的不等式3x －m ≤0的正整数解有四个，求m 的取值范围． 8．关于x 的两个不等式①3x ＋a2<1与②1－3x>0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值； (2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．参考答案1．解：(1)x ＞13x －2，23x ＞－2， x ＞－3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)4x －13－x ＞1，4x －1－3x ＞ 3，x ＞ 4.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(3)x ＋13≥2(x ＋1)，x ＋1≥ 6x ＋6，－5x ≥ 5， x ≤ －1.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．2．解：第①步开始错误，应该改成：去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)．去括号，得20－15x －15＜21＋15x. 移项，合并同类项，得－30x ＜16. 系数化为1，得x ＞－815.3．解：移项，合并同类项得，(a －1)x ＞2，当a －1＞0，即a ＞1时，x ＞2a －1；当a －1＝0，即a ＝1时，x 无解；当a －1＜0，即a ＜1时，x ＜2a －1. 4．解：解方程得x ＝－313(m ＋1)，由题意得－313(m ＋1)≥0，解得m ≤－1.5．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝10，4x －3y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.代入不等式得2a ＋2＞4.所以a ＞1.6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.(2)∵3★x ＜13，∴3(3－x)＋1＜13，去括号，得9－3x ＋1＜13，移项，合并同类项，得－3x ＜3，系数化为1，得x ＞－1. 在数轴上表示如图所示．7．解：解不等式得x ≤m 3，由题意得4≤m3＜5，解得12≤m ＜15.方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．8．解：(1)由①得x ＜2－a 3，由②得x ＜13，由两个不等的解集相同，得2－a 3＝13，解得a ＝1.(2)由不等式①的解都是②的解，得2－a 3≤13，解得a ≥1.技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【类型】一、与方程组的综合问题1．已知实数x ，y 同时满足三个条件：①x －y ＝2－m ；②4x －3y ＝2＋m ；③x ＞y.那么实数m 的取值范围是( )A ．m ＞－2B ．m ＜2C ．m ＜－2D ．m ＞22．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－7－a ，x －y ＝1＋3a的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简|a －3|＋|a ＋2|.3．在等式y ＝ax ＋b 中，当x ＝1时，y ＝－3；当x ＝－3时，y ＝13.(1)求a ，b 的值；(2)当－1＜x ＜2时，求y 的取值范围．【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题题型1：已知解集求字母系数的值或范围4．已知不等式(a －2)x ＞4－2a 的解集为x ＜－2，则a 的取值范围是__________．5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ＜1，x －2b ＞3的解集为－1＜x ＜1，求(b －1)a ＋1的值．题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜a 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为( )A ．7＜a ≤8B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤87．如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ≥0，3x －b ＜0的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a ，b 的值．题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围8．如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －a ＜0无解，则a 的取值范围是__________．9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜a ①，3x ＋5＞x －7 ②有解，求实数a 的取值范围．参考答案 1．B2．解：(1)解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋a ，y ＝－4－2a.∵x 为非正数，y 为负数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＋a ≤0，－4－2a ＜0，解得－2＜a ≤3. (2)∵－2＜a ≤3，即a －3≤0，a ＋2＞0，∴原式＝3－a ＋a ＋2＝5.3．解：(1)将x ＝1时，y ＝－3；x ＝－3时，y ＝13代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3，－3a ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝1.(2)由y ＝－4x ＋1，得x ＝1－y 4.∵－1＜x ＜2，∴－1＜1－y4＜2，解得－7＜y ＜5.4．a ＜25．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ＜1.①，x －2b ＞3.②，解①得x ＜a ＋12；解②得x ＞2b ＋3.根据题意得a ＋12＝1，且2b ＋3＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9. 6．A7．解：解不等式组得a 2≤x ＜b3.∵不等式组仅有整数解1，2，3， ∴0＜a 2≤1，3＜b3≤4.解得0＜a ≤2，9＜b ≤12. ∵a ，b 为整数，∴a ＝1，2，b ＝10，11，12. 8．a ≤19．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜a ①，3x ＋5＞x －7②，解不等式①得x ＜a －1.解不等式②得x ＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x ＜a －1，则a －1＞－6，a ＞－5. 【题型讲解】【题型】一、不等式的性质例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式x+2＞0，得：x＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法例3、不等式12x-≤的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】解：12x-≤，解得：3x≤，则不等式12x-≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D．【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围例4、若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．【答案】-2 -3 【详解】解：由题意得：1?30? x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式① 得: x>1+a ,解不等式①得:x≤3 b -不等式组的解集为: 1+a＜x≤3 b -不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为: -2, -3.【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围例5、若不等式组841x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是x＞3，则m的取值范围是（）.A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【答案】C【解析】详解：841x xx m+<-⎧⎨>⎩①②，解①得，x>3；解①得，x>m，①不等式组841x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是x>3，则m①3.故选：C.【题型】六、一元一次不等式的应用例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】根据竞赛得分10=⨯答对的题数(5)+-⨯未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．【详解】解：设要答对x 道．10(5)(20)120x x +-⨯->，10 100 5 120x x -+>， 15 220x >，解得：443x >，根据x 必须为整数，故x 取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．故选C ．一元一次不等式(组)（达标训练）一、单选题1．若m n >，则下列不等式一定成立的是（）． A ．2121m n -+>-+ B ．1144m n ++> C ．m a n b +>+ D ．am an -<-【答案】B【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、①m >n ，①-2m <-2n ，则-2m +1<-2n +1，故该选项不成立，不符合题意； B 、①m >n ，①m +1>n +1，则1144m n ++>，故该选项成立，符合题意； C 、①m >n ，①m +a >n +a ，不能判断m +a >n +b ，故该选项不成立，不符合题意；D 、①m >n ，当a >0时，-am <-an ；当a <0时，-am >-an ；故该选项不成立，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（）A ．100x +80（10﹣x ）＞900B ．100+80（10﹣x ）＜900C ．100x +80（10﹣x ）≥900D ．100x +80（10﹣x ）≤900【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．【详解】解：设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据题意，得：100x +80（10﹣x ）≤900，故选：D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．3．不等式组3050x x +>⎧⎨-≤⎩的解是（）A ．3x >-B ．5x ≤C ．35x -<≤D ．无解【答案】C【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集．【详解】由30x +>得：3x >- 由50x -≤得：5x ≤ ①35x -<≤ 故选C【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键． 4．不等式3﹣x ＜2x +6的解集是（）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1【答案】D【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可．【详解】解：326x x -<+，移项得362x x -<+，合并同类项得33x -<，系数化1得1x >-，∴不等式326x x -<+的解集是1x >-，故选：D ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键． 5．在数轴上表示不等式1x >-的解集正确的是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断．【详解】解：在数轴上表示不等式x >−1的解集的是A ．故选：A ．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．二、填空题6．超市用1200元钱批发了A ，B 两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A 种西瓜__________kg ．【答案】120【分析】设批发A 种西瓜x kg ，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．【详解】解：设批发A 种西瓜x kg ，则（6-4）x +120043x-×（4-3）≥1200×40%，解得x ≥120．答：该超市至少批发A 种西瓜120kg ．故答案为：120．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解． 7．不等式2103x --<的解集为____．【答案】5x <【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解．【详解】解：去分母，得：230x --<，移项，得：23x <+，合并同类项，得：5x <． ①不等式的解集为：5x <．故答案为：5x <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意①不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．三、解答题8．解不等式组：()36,3121,x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩并将解集在数轴上表示．【答案】3x ≥，数轴表示见解析【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分，即是不等式组的解集．【详解】解：解不等式36x x -≤，得：3x ≥，解不等式312(1)x x +>-，得：3x >-， ①3x ≥与3x >-的公共部分为3x ≥， ①不等式组的解集是：3x ≥．在数轴上表示解集如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．一元一次不等式(组)（提升测评）一、单选题1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：①画一条数轴，在数轴上用点A ，B ，C 分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ①将这条数轴在点A 处剪断，点A 右侧的部分称为数轴I ，点A 左侧的部分称为数轴①； ①平移数轴①使点A 位于点B 的正下方，如图2所示；①扩大数轴①的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧．则整数k 的最小值为（）A ．511B ．510C ．509D ．500【答案】A【分析】根据题意可得k ⋅AC AB >，列出不等式，求得最小整数解即可求解．【详解】解：依题意，4AC =，2042AB =①扩大数轴①的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧， ∴k ⋅AC AB >，即42042k >，解得15102k >，k 为正整数，①k 的最小值为511，故选A ．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出k ⋅AC AB >是解题的关键．2．不等式12<32x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的解在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．【详解】解：去括号，得：21<3x x -，移项，得：3+2<1x x -，合并同类项，得：<1x -，系数化为1，得>1x -，在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．已知实数a ，b ，c 满足2a c b +=，112a c b+=．则下列结论正确的是（）A ．若0a b >>，则0c b >>B ．若1ac =，则1b =±C ．a ，b ，c 不可能同时相等D ．若2a =，则28b c =【答案】B【分析】A.根据0a b ＞＞，则11a b ＜，根据112a c b+=，得出c b ＜；B.根据112a cb +=，得出()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：21b ac ==，即可得出答案；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，即可判断出答案；D.根据解析B 可知，22b ac c ==，即可判断．【详解】A.①0a b ＞＞， ①11a b ＜， ①112a c b+=，①11c b＞， ①c b ＜，故A 错误；B.①112a cb +=，即2a c ac b+=， ①()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：222ac b =，21b ac ∴==，解得：1b =±，故B 正确；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，①a ，b ，c 可能同时相等，故C 错误；D.根据解析B 可知，2b ac =，把2a =代入得：22b c =，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．4．若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（） A ．﹣5 B ．﹣3C ．0D ．2【答案】D【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可．【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8，解不等式①得：y ≤a ，①原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ， ①不等式组至少有3个整数解， ①a ≥﹣5， 1133x ax x++=--，去分母得①1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a-=， ①分式方程有非负整数解， ①x ≥0（x 为整数）且x ≠3， ①42a-为非负整数，且42a -≠3， ①a ≤4且a ≠﹣2，①符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4， ①符合条件的所有整数a 的和是：2，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．5．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +-=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+-a b c 的最小值是（） A ．111-B ．57-C ．37D ．711【答案】B【分析】由两个已知等式3a +2b +c ＝5和2a +b ﹣3c ＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a ，b ，c 均是非负数，列出c 的不等式组，可求出未知数c 的取值范围，再把m ＝3a +b ﹣7c 中a ，b 转化为c ，即可得解．【详解】解：联立方程组325231a b c a b c ++=⎧⎨+-=⎩，解得，73711a c b c =-⎧⎨=-⎩，由题意知：a ，b ，c 均是非负数，则07307110c c c ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得37711c ≤≤， ①3a +b ﹣7c＝3（﹣3+7c ）+（7﹣11c ）﹣7c ＝﹣2+3c，当c ＝37时，3a+b ﹣7c 有最小值，即3a+b ﹣7c ＝﹣2+3×37＝﹣57．故选：B ．【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．二、填空题6．一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 _____．【答案】254m >-## 6.25m >-##164m >- 【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得254()0m =-->Δ，进行计算即可得．【详解】解：根据题意得254()0m =-->Δ，解得，254m >-，故答案为：254m >-．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算． 7．若关于x 的分式方程232x mx -=-的解是非负数，则m 的取值范围是________．【答案】m ≤6且m ≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：关于x 的分式方程232x mx -=-的解为：x ＝6−m ， ①分式方程有可能产生增根2， ①6−m ≠2， ①m ≠4，①关于x 的分式方程232x mx -=-的解是非负数， ①6−m ≥0，解得：m ≤6，综上，m 的取值范围是：m ≤6且m ≠4．故答案为：m ≤6且m ≠4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．三、解答题8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型a 个，销售这批模型的利润为w 元． ①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；①若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元(2)①51000w a =+①购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.（2）①设“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个，根据利润关系即可表示w 与a 的关系式. ①根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a 的取值范围，利用一次函数性质即可求解. （1）解：设“天宫”模型成本为每个x 元，则“神舟”模型成本为每个10x +（）元. 依题意得100100510x x =++. 解得10x =.经检验，10x =是原方程的解.答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；（2）解：①“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个.()()()3020151020051000w a a a ∴=-+--=+.①购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13. ()12003a a ∴≤-. 解得：50a ≤.51000w a =+.50k =>.()max 5055010001250a w ∴==⨯+=当时，元.即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.9．解不等式组：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩ 【答案】1x ≥-【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解．【详解】解：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩①②，解不等式①，得 1x ≥-，解不等式①，得 >7x -，①该不等式组的解集为 1x ≥-．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．。

解一元一次不等式举例讲义

解一元一次不等式举例讲义一．复习：解一元一次不等式的一般步骤：① ② ③ ④ ⑤练习：解下列不等式⑴ 222+-x x ＜32x - ⑵ ()1-x x ≥()21+x二．巩固：改正下列各题中的错误：⑴ 2131--+y y ＞611--y 去分母得 ()()1312--+y y ＞11--y注意：去分母时，如果分子是一个多项式，应加并且要注意不等式两边的每一项都乘以各分母的 ⑵ ()x -14＞()()312--+-x x 去括号得x 44-＞322----x x注意：去括号时，括号前面是负号，括号里各项都⑶ x x 413-+≤12--x 移项得x x x 423+-≤11+-注意：移项时，所移的项要改变⑷ x 23-≥32 两边同除以23- 得 x ≥1- 注意：两边同除以（或同乘以）一个负数时，不等号要改变三．应用㈠要使下列各式有意义，求x 的取值范围：① 4+x ② x 23- ③3221-+++x x x ④922--x x解题思路：二次根号有意义，被开方数应−−→−转化一元一次不等式分式有意义，分母㈡填空适合不等式 x ＞32-的负整数解是适合不等式 x 317-≥2的正整数解是适合不等式 ()x +23＞x 2的最小负整数解是适合不等式 213+-x x＞1-的非负整数解是㈢当x 为何值时，312-x 与215+x 的差不大于1？㈣知识准备：一元二次方程有两个相等的实根→∆ 0 → 一元二次方程有不两个相等的实根→∆ 0 →一元二次方程没有实根→∆ 0 →当k 为何值时，关于x 的方程()()24122++-+k x k kx =0① 有两个相等的实根 ② 有两个不相等的实根③ 没有实数根 ④ 有实数根注意：在用判别式讨论含字母系数的一元二次方程的解时，在考虑前提条件：二次项系数。

一次函数与一元一次不等式(基础)知识讲解

一次函数与一元一次不等式（基础）【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，知识要点】要点一、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点二、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点三、如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次不等式1、如图，直线交坐标轴于A（－3，0）、B（0，5）两点，则不等式＜0的解集为（）A．＞－3 B．＜－3 C．＞3 D．＜3【思路点拨】＜0即＞0，图象在轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式＞0的解集.ax b +ax b +ax b +ax b +a b a y ax b =+x ax b +a x y ax b =+y ax b =+x y ax b cx d +>+a c 0ac ≠⇔y ax b =+y cx d=+x ⇔y ax b =+y cx d =+y kx b =+kx b--x x xx kx b --kx b +x kx b +【答案】A；【解析】观察图象可知，当＞－3时，直线落在轴的上方，即不等式＞0的解集为＞－3，∵＜0∴＞0，∴＜0解集为＞－3．【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．举一反三：【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例2】【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式＋3≥0的解集是（）A．≥0 B．≤0 C．≥2 D．≤2【答案】A；提示：从图象上知，直线的函数值随的增大而增大，与轴的交点为B （0，－3），即当＝0时，＝－3，所以当≥0时，函数值≥－3．2、直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（）．A． B． C． D．无法确定【答案】B；x y kx b =+x kx b +x kx b --kx b +kx b --x y kx b =+kx b +x x xx y kx b =+y x y x y x kx b +b x k y l +=11:x k y l 22:=x x k b x k 21>+1->x 1-<x 2-<x【解析】从图象上看的解，就是找到在的上方的部分图象，看这部分图象自变量的取值范围.当时，，故选B.【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题.举一反三：【变式】直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式＜的解集为（）A．＞1 B．＜1 C．＞－2 D．＜－2【答案】B；提示：与直线：在同一平面直角坐标系中的交点是（1，－2），根据图象得到＜1时不等式＜成立．3、画出函数的图象，并利用图象求：(1)方程2＋1＝0的解；(2)不等式2＋1≥0的解集；(3)当≤3时，的取值范围；(4)当－3≤≤3时，的取值范围．【思路点拨】可用两点法先画出函数的图象，方程2＋1＝0的解从“数”看就是自变量取何值时，函数值是0，从“形”看方程2＋1＝0的解就相当于确定直线与轴的交点，故图象与轴交点的横坐标就是方程2＋1＝0的解．同理：图象在轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2＋1＞0的解集．【答案与解析】解：列表：x012-y 10x k b x k 21>+1l 2l 1-<x x k b x k 21>+1l 1y k x b =+2l 2y k x c=+x 1k x b +2k x c +x x x x 1y k x b =+2l 2y k x c =+x 1k x b +2k x c +21y x =+x x y x y x 21y x =+x x x 21y x =+x x x x x在坐标系内描点(0，1)和，并过这两点画直线，即得函数的图象．如图所示．(1)由图象可知：直线与x 轴交点，∴ 方程2＋1＝0的解为；(2)由图象可知：直线被轴在点分成两部分，在点右侧，图象在轴的上方．故不等式2＋1≥0的解集为；(3)过点(0，3)作平行于轴的直线交直线于点M，过M 点作轴的垂线，垂足为N．则N 点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值≤3，则当≤3时，自变量的取值范围是≤1；(4)过(0，－3)作轴的平行线交直线于点P ，过P 作轴的垂线，垂足为H，则点H 的坐标为(－2，0)．观察图象，在(－2，0)的右侧，在(1，0)的左侧，函数值－3≤≤3．∴ 当－3≤≤3时，自变量的取值范围是－2≤≤1．【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系： (1)一元一次方程(是已知数)的解就是直线上这点的横坐标；(2)一元一次不等式≤≤(，是已知数，且＜)的解集就是直线上满足≤≤那条线段所对应的自变量的取值范围；(3)一元一次不等式≤(或≥)(是已知数)的解集就是直线上满足≤(或1,02⎛⎫-⎪⎝⎭21y x =+21y x =+1,02⎛⎫-⎪⎝⎭x 12x =-21y x =+x 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 12x ≥-x 21y x =+x y y x x x 21y x =+x y y x 0kx b y +=0y y kx b =+0y y =1y kx b +2y 1y 2y 1y 2y y kx b =+1y y 2y kx b +0y kx b +0y 0y y kx b =+y 0y≥)那条射线所对应的自变量的取值范围.举一反三：【变式】（2015春•东城区期末）已知直线y=kx+b 经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线y=2x﹣4与直线AB 相交于点C，求点C 的坐标；（3）根据图象，写出关于x 的不等式2x﹣4＞kx+b 的解集．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b 经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB 的解析式为：y=﹣x+5；（2）∵若直线y=2x﹣4与直线AB 相交于点C，∴．解得，∴点C（3，2）；（3）根据图象可得x＞3．类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题4、（2015•新疆）某超市预购进A、B 两种品牌的T 恤共200件，已知两种T 恤的进价如表所示，设购进A 种T 恤x 件，且所购进的两种T 恤全部卖出，获得的总利润为W 元．品牌进价/（元/件）售价/（元/件）A 50 80B 4065（1）求W 关于x 的函数关系式；（2）如果购进两种T 恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价）【思路点拨】（1）由总利润=A 品牌T 恤的利润+B 品牌T 恤的利润就可以求出w 关于x 的函数关系式；y 0y（2）根据“两种T恤的总费用不超过9500元”建立不等式求出x的取值范围，由一次函数性质就可以求出结论．【答案与解析】解：（1）设购进A种T恤x件，则购进B种T恤（200﹣x）件，由题意得：w=（80﹣50）x+（65﹣40）（200﹣x），w=30x+5000﹣25x，w=5x+5000．答：w关于x的函数关系式为w=5x+5000；（2）∵购进两种T恤的总费用不超过9500元，∴50x+40（200﹣x）≤9500，∴x≤150．∵w=5x+5000．∴k=5＞0∴w随x的增大而增大，∴x=150时，w的最大值为5750．∴购进A种T恤150件．∴购进A种T恤150件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元．【总结升华】本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。

第一章：一元一次不等式与一元一次不等式组复习总结

一元一次不等式和一元一次不等式组复习【基础知识导引】一、不等式及其基本性质1．定义：凡用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)“≠”连接的式子叫做不等式．2．性质性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．二、不等式的解集1．不等式的解集一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．2．解不等式求不等式的解集的过程，叫做解不等式．三、一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比如表1-1所示．四、一元一次不等式组和它的解法1．一元一次不等式组的解集一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．2．解不等式组求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．3．解一元一次不等式组的两个步骤(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．【典型习题】1.填空题(1)若方程kx+1=2x-1的解是正数，则k的取值范围是_________．(2)若｜2a+3｜＞2a+3，则实数a 的取值范围是_____________． (3)在下面横线上填上等号或不等号．设m ＞n ，那么m-5________n-5；-5m__________-5n ；10m _____________10n；mp____________np 。

(4)有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数大于20而小于40，则这个两位数为______________．(5)已知0≤a ≤15，且a ≤x ≤15，则当x_________时，式子｜x-a ｜+｜x-15｜+｜x-a-15｜的值最小． 2.计算题 (1)16144<--+x x (2) 56541331-≤-⎪⎭⎫⎝⎛---x(3)（2012北京，14，5分）解不等式组：4342 1.x x x x ->⎧⎨+<-⎩，(4)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥+>+-21312823x x x x )x (．并把它的解集在数轴上表示出来．（5）（2012广西南宁，20，6分）解不等式组()213214x x x x <+⎧⎪⎨--≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．（6）（2012山东枣庄，19，8分）解不等式组，()11338312x x x x -+⎧+⎪⎨⎪--<-⎩≥①②并把解集在数轴上表示出来．(7)（2012四川巴中，23，5分）解不等式组并写出不等式组的整数解.(8)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+>+3122413x x x )x (，并写出此不等式组的整数解．3.解答题(1)求使方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x,y 都是正数的m 的取值范围．(2) p 为何值时，方程)6(213)72(21)3(51p x p x p x x --=+++-有负数解．(3)分别解不等式2x-3≤5(x-3)和13161>+--y y ，并比较x ，y 的大小．(4)当a 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=-62384y x y ax 的解是正数．(5)某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠。

北师大版数学八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组培优复习讲义(一)

戴氏西门总校数学资料北师大版八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组复习讲义（一）第一部分、要点概况（一）不等关系1、一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。

注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。

⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。

⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： “正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）”⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0ab >，则a 、b 同号； ⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。

⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。

例1：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。

①32>-； ②21x ≤； ③21x -； ④s vt =； ⑤283m x <-；⑥124x x ->-；⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩230xπ+>。

不等式：。

变式训练1：已知下列各式：①-1<0，②2+3=5 ③3x>7 ④2x-3y=1 ，其中不等式有不等式：。

例2：⑴a 是正数：；⑵x 的平方是非负数：； ⑶a 不大于b ：；⑷x 的3倍与－2的差是负数：；⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2：。

变式训练2：用不等式表示：（1）x 与1的差不大于y 的3倍；（2）a 与b 的平方和是非负数；例3：试判断237a a -+与32a -+的大小变式训练3-1：比较1415-与1314-的大小。

一元一次不等式(组)知识点

一元一次不等式(组 )考点一、不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

一元一次不等式和一元一次不等式组讲义

一元一次不等式和一元一次不等式组知识点一：不等式1、不等式的基本性质性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。

若a>b ，则a+c>b+c （a-c>b-c ）。

性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。

若a>b 且c>0，则ac>bc 。

性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

若a>b 且c<0，则ac<bc 。

2、同解不等式：如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。

知识点二：一元一次不等式1、定义：像276x x -<，39x ≤等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的标准形式： 0ax b +>（0a ≠）或0ax b +<（0a ≠）。

3、一元一次不等式组的解集确定：若a>b则（1）当⎩⎨⎧>>b x a x 时，则a x >，即“大大取大” （2）当⎩⎨⎧<<bx a x 时，则b x <，即“小小取小”（3）当⎩⎨⎧><b x a x 时，则a x b <<，即“大小小大取中间”（4）当⎩⎨⎧<>b x a x 时，则无解，即“大大小小取不了” 知识点三：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。

如：，。

要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。

知识点四：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。

2015-1-7一元一次不等式(组)基础讲义含答案

一元一次不等式（组）（讲义）一、知识点睛1. 不等式的概念：用符号>，<，≥，≤，≠连接的式子叫做不等式．“≥”叫大于或等于，也叫不小于；“≤”叫小于或等于，也叫不大于．2.不等式的基本性质：．．4．①不等式的两边都加上（或减去）同一个代数式，不等号的方向不变； ②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．3.不等式的解与不等式的解集：使不等式成立的未知数的值；，叫做不等式的解；含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，通常用“xa >”或“x a <”的形式表示．不等式的解集可以在数轴上表示，需要注意实心圆点和空心圆圈的区别．4.求不等式解集的过程叫做解不等式．5. 一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式．6.一元一次不等式组及其解法．一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集．求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．二、精讲精练．1. a 的5倍与3的差不小于10，用不等式表示为____________．2. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．已知小明在这次竞赛中的成绩超过90分，设他答对了n 道题，则根据题意可列不等式_______________．3.判断正误．（1）2≤3；（）（2）由2x >-6，得3x <-；（）（3）由ac bc >，且c ≠0，得a b >；（）（4）如果0a b <<，则1ab<．（） 4.已知ab >，c ≠0，则下列关系一定成立的是（）A ．ac bc >B ．a bc c> C ．c a c b ->- D ．c a c b +>+5. 若x a =是不等式5x +125≤0的解，则a 的取值范围是_________________．6. 不等式10x +<的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．7.若关于x的不等式0x a -≤的解集如图所示，则a =_______．8. 若关于x 的不等式325m x -<的解集是2x >，则m =______．9. 不等式x ≤1的非负整数解是____________；不等式1x >-的最小整数解是___________． 10. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）2125x x --<；（2）53432x x ++-≤；（3）69251332x x x +-+-≤；（4）532122x x ++->．11. 在不等式0ax b +>中，a ，b 是常数，且a ≠0，当______时，不等式的解集是bx a>-；当_______时，不等式的解集是b xa<-． 12. 不等式84632x x x+->+的非负整数解为________________．13. 若不等式x a <只有4个正整数解，则a 的取值范围是________________． 14. 若不等式x a ≥只有2个负整数解，则a 的取值范围是________________． 15. 解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）213821x x x +>-⎧⎨--⎩≤；（2）239253x x x x+<-⎧⎨-<⎩；（3）211132x +-<-<；（4）513(1)2151132x x x x ->+⎧⎪-+⎨-⎪⎩≥；（5）273(1)234425533x x x x x x ⎧⎪-<-⎪+⎪<⎨⎪⎪--+⎪⎩≤．16. 若不等式组420x a x >⎧⎨->⎩的解集是12x -<<，则a =________．17. 如果不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，那么(1)(1)a b +-=_____________．18. 如果一元一次不等式组>2>x x a ⎧⎨⎩的解集是2x >，那么a 的取值范围是（）A ．2a >B ．2a ≥C ．2a ≤D ．2a <19. 如果不等式组8>41x x x m+-⎧⎨⎩≤的解集是3x <，那么m 的取值范围是（）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．3m =D ．3m <一元一次不等式（组（随堂测试）1. 解不等式组240312123x x x +⎧⎪+-⎨<⎪⎩≥，并把它的解集表示在数轴上．2. 不等式351222x x -++≤的最小整数解为_________． 3. 如果不等式组2223x a x b ⎧--⎪⎨⎪-⎩≤≤的解集是01x ≤≤，那么a b +的值为____________．一元一次不等式（组）基础（作业）20. 下列说法中，错误的是（）A ．不等式2x <的正整数解有一个B ．2-是不等式210x -<的一个解C ．不等式39x ->的解集是3x >-D ．不等式10x <的整数解有无数个 21. 若0a b >>，c ≠0，则下列式子一定成立的是（）A ．a c b c -<-B ．1a b <C ．22a b ->-D ．22a bc c>22. 已知点M (12m -，1m -)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ． C, D,23. 若一组数据3，4，6，8，x 的中位数是x ，且x 是满足不等式组3050x x -⎧⎨->⎩≥的整数，则这组数据的平均数是___________．24. 若不等式22x a -+≥的解集是1x ≤，则a 的值是_________．25. 若不等式20x a -≤只有4个正整数解，则a 的取值范围是________________．26. 若不等式组2>31<1x n x m +⎧⎨+-⎩的解集是12x -<<，则m n -=____．27. 若关于x 的不等式组8236x x x a +>+⎧⎨⎩≤的解集是2x <，则a 的取值范围是_________．28. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2013~2014赛季全部32场比赛中至少得到48分，才有希望进入季后赛．若设这个队在将要举行的比赛中胜x 场，则x 应满足的关系式是_____________．29. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）521293x x --≤；（2）3221145x x --+≤；（3）321132x x -+<-；（4）326381236x x x -----≤．30. 解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）73(1)5213122x x x x -+<-⎧⎪⎨-⎪⎩≥；（2）3(2)412>13x x x x --⎧⎪+⎨-⎪⎩≥；（3）4513777x -<--≤；（4）63315x xxx -⎧⎪-⎨<--⎪⎩≤．一元一次不等式（组）应用（讲义）一、知识点睛1. 解一元一次不等式组的口诀：大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小找不着．2.不等式应用题的三种常见类型①关键词型：不超过，至少，不低于，多于等；②不空不满型：不空也不满等；③方案设计型：原材料供应，容器容量．二、精讲精练1.解下列不等式组．（1）42313(1)x x x x +⎧+⎪⎨⎪+<-⎩≥；（2）3(2)81213x x x x --⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥；（3）523132x x x +⎧⎪+⎨>⎪⎩≥；（4）12(1)2235xx x x ⎧+>-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥．2.如果一元一次不等式组213(1)x x x m->-⎧⎨⎩≤的解集是2x <，那么m 的取值范围是（）A ．2m =B ．2m >C ．2m <D ．2m ≥3.若关于x 的一元一次不等式组712x ax x >⎧⎨+<-⎩有解，则a 的取值范围是（）A ．2a -≤B ．2a >-C ．12a<-D ．12a -≤ 4.若关于x 的一元一次不等式组122x ax x <⎧⎨-<-⎩无解，则a 的取值范围是（）A ．1a -≥B ．1a >-C ．1a ≤D ．1a <5.若关于x 的一元一次不等式组721x mx <⎧⎨-<⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是（）A ．67m <<B ．67m <≤C ．67m ≤≤D ．67m <≤6.为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划购买一批篮球和排球，已知篮球的单价为96元，排球的单价为64元，若用不超过 3 200元去购买篮球和排球共36个，且要求购买的篮球多于25个，则至少购买排球_______________个．7. 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空．那么汽车共有___________辆．8.“亚洲足球俱乐部冠军联赛”期间，河南球迷一行56人从旅馆乘车到天河球场为广州恒大加油．现有A ，B 两个车队，A 队比B 队少3辆车．若全部安排乘A 队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有的车未坐满．则A 队有车___________辆．9.某工厂现有甲种原料360kg ，乙种原料290kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共50件．已知生产一件A ，B 产品所需原料如下表所示．（1）设生产x 件A 种产品，写出x 应满足的不等式组；（2）有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计．10. 某工厂现有甲种布料70米，乙种布料52米，计划利用这两种布料生产A ，B 两种型号的时装共80套．．利用现有布料，工厂能否完成任务？若能，请设计出所有可能的生产方案；若不能，请说明理由．11. 某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A ，B 两种货车共50辆将这批货物运往外地．若一辆A种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B 种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．则有哪几种运输方案？请设计出来．12. 在家电下乡活动中，某厂家计划将100台冰箱和54台电视机送到乡下．现租用甲、乙两种货车共8辆将这批家电全部运走，已知一辆甲种货车可同时装冰箱20台，电视机6台，一辆乙种货车可同时装冰箱8台，电视机8台．则将这批家电一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？一元一次不等式（组）应用（随堂测试）4. 若关于x 的不等式组3352x x x a++⎧>⎪⎨⎪⎩≤的解集为3x <-，则a 的取值范围是（）A ．3a =-B ．3a >-C ．3a <-D ．3a -≥5. 某工厂现有甲种原料280kg ，乙种原料190kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品50件．已知生产一件A 产品需甲种原料7kg ，乙种原料3kg ；生产一件B 产品需甲种原料3kg ，乙种原料5kg ．则该工厂有哪几种生产方案？请你设计出来．一元一次不等式（组）应用（作业）31. 小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某件商品的定价为x元，并列出关系式0.3(2100) 1 000x -<，则下列哪个选项可能是小美告诉小明的内容？（）A 买两件相同价格的商品可减100元，再打3折，最后不到1 000元！B 买两件相同价格的商品可减100元，再打7折，最后不到1 000元！C 买两件相同价格的商品可打3折，再减100元，最后不到1 000元！D 买两件相同价格的商品可打7折，再减100元，最后不到1 000元！32. 把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（） A ．4人B ．5人C ．6人D ．5人或6人33. 若一元一次不等式组9551x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是1x >，则m 的取值范围是_______________．34. 若关于x 的一元一次不等式组4132x xx m+⎧>+⎪⎨⎪>⎩有解，则m 的取值范围是_______________．35. 若关于x 的一元一次不等式组2113x x a -⎧>⎪⎨⎪<⎩无解，则化简32a a -+-的结果为_________________．36. 若关于x 的一元一次等式组0321x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有4个，则a 的取值范围是___________．37. “3·12”植树节，市团委组织部分中学的团员去郊区植树．某校八年级（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，最后一人有树植，但不足3棵．则这批树苗共有___________棵．38. 解下列不等式组：（1）201211233x x x -⎧⎪--⎨-<⎪⎩≤；（2）3(2)41213x x x x --⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥；（3）331213(1)8x x x x -⎧++⎪⎨⎪--<-⎩≥；（4）311224(1)x x x +⎧-⎪⎨⎪->+⎩≥．39. 某工厂现有甲种原料400千克，乙种原料450千克，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共60件．已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料5千克；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克．则有哪几种生产方案？请你设计出来．40. 某校组织学生到外地进行社会实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．则如何安排甲、乙两种汽车，可一次性地将学生和行李全部运走？请你设计方案．1、【参考答案】知识点睛1．>，<，≥，≤，≠．大于或等于，不小于；小于或等于，不大于． 2．①代数式，不变；②正数，不变；③负数，改变．3．使不等式成立的未知数的值；含有未知数的不等式的所有解．实心圆点和空心圆圈．4．求不等式解集的过程． 5．整式，未知数．6．关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起．一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分．求不等式组解集的过程．精讲精练1．5310a -≥ 2．105(20)90n n --> 3．（1）√；（2）×；（3）×；（4）×． 4．D5．25a -≤6．A7．1- 8．3 9．0，1；0． 10．（1）2x <；（2）2x -≤；（3）1x -≥；（4）12x <．解集在数轴上的表示略． 11．0a>；0a <．12．0，1，2，3． 13．45a <≤ 14．32a -<-≤ 15．（1）3x ≥；（2）52x -<<；（3）514x -<<；（4）无解；（5）46x -<<．解集在数轴上的表示略． 16．1- 17．6-18．C 19．A2、【参考答案】1．21x -<-≤，解集在数轴上的表示略．2．2- 3．3-3、【参考答案1．C2．D3．A 4．55．46．810a <≤7．1-8．2a ≥9．23248x x +-≥10．（1）13x ≥；（2）2x -≤；（3）34x >-；（4）15x -≥．解集在数轴上的表示略．11．（1）4x ≥；（2）1x ≤；（3）2255x <≤；（4）无解．解集在数轴上的表示略． 4、【参考答案知识点睛1．大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小找不着． 2．①关键词型；②不空不满型；③方案设计型．精讲精练1．（1）2x >；（2）1x -≤；（3）12x -<≤；（4）无解． 2．D 3．C 4．C 5．D 6．8 7．6 8．109．（1）94(50)360310(50)290x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤；（2）共有3种生产方案．方案一，生产A 种产品30件，B 种产品20件；方案二，生产A 种产品31件，B 种产品19件；方案三，生产A 种产品32件，B 种产品18件． 10．工厂能完成任务，共有5种生产方案．方案一，生产A 型号时装36套，B 型号时装44套；方案二，生产A 型号时装37套，B 型号时装43套；方案三，生产A 型号时装38套，B 型号时装42套；方案四，生产A 型号时装39套，B 型号时装41套；方案五，生产A 型号时装40套，B 型号时装40套． 11．共有3种运输方案．方案一，A 种货车20辆，B 种货车30辆；方案二，A 种货车21辆，B 种货车29辆；方案三，A 种货车22辆，B 种货车28辆．12．共有3种租车方案．方案一，租用甲种货车3辆，乙种货车5辆；方案二，租用甲种货车4辆，乙种货车4辆；方案三，租用甲种货车5辆，乙种货车3辆． 5、【参考答案】1．D 2．共有3种生产方案．方案一，生产A 种产品30件，B 种产品20件；方案二，生产A 种产品31件，B 种产品19件；方案三，生产A 种产品32件，B 种产品18件． 6、【参考答案】1．A 2．C 3．0m ≤ 4．2m < 5．25a -+ 6．43a -<-≤7．1218．（1）2x ≥；（2）1x ≤；（3）21x -<≤；（4）无解．9．共有3种生产方案．方案一，生产A 种产品30件，B 种产品30件；方案二，生产A 种产品31件，B 种产品29件；方案三，生产A 种产品32件，B 种产品28件．10．共有3种方案．方案一，安排甲型汽车8辆，乙型汽车12辆；方案二，安排甲型汽车9辆，乙型汽车11辆；方案三，安排甲型汽车10辆，乙型汽车10辆．。

一元一次不等式（组）知识总结及经典例题分析

二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或 )x a x a ³£或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以或除以))同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321£---x x 解不等式：解：去分母，得解：去分母，得 6)13(2)13£---x x （（不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得去括号，得去括号，得 62633£+--x x （注意符号，不要漏乘!）移移项，得项，得项，得 23663-+£-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变）合并同类项，得合并同类项，得合并同类项，得 73£-x （计算要正确）系数化为系数化为1，得 37-³x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）三、一元一次不等式组含有同一个未知数的含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、个、33个、个、44个或更多．个或更多．四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) a a a a x <ax >a x ≤a x ≥a 一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。