第2章 矩阵和数组及其运算
matlab第二章矩阵运算基础
南京信息工程大学
4
例2.1 创建矩阵
>>x=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] >>x=[1 2 3 456 7 8 9] >>x=[a b c;e f g;u v w] >>x=[1 2 3;4 5 6]; y=[2 3 4;5 6 7] >>Q=x*y >>a=2;b=3 >>x=a*b
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2010-12-29 南京信息工程大学 6
2.1 矩阵的创建
2、 赋值语句 MATLAB赋值语句有两种格式：
变量=表达式（或数） 表达式
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南京信息工程大学
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【例2.2】 x＝[1,2,3;4,5,6;7,8,9] 与[1,2,3;4,5,6;7,8,9]。
5 + cos 47
【例2.3】计算
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§2.2 矩阵和数组的算术运算 六、点运算
C＝A.*B C=A.\B
C=A./B C=A.^B
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§2.2 矩阵和数组的算术运算 七、幂运算
C=A^B C=A.^B
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例2.12 例2.13 例2.14 例2.15
find(x)
检查x是 否全为1
南京信息工程大学 42
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例2.20 建立矩阵A，然后找出大于4的元素位置 （1）建立A >>A=[4 -6 5 -54 0 6 56 0 67 -45 0] （2）找出大于4的元素位置 >>find(A>4)
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
MATLAB基础教程 第2章 数组、矩阵及其运算
写出MATLAB表达式。 解：根据MATLAB的书写规则，以上MATLAB表达式为： （1）y=1/(a*log(1-x-1)+C1) （2）f=2*log(t)*exp(t)*sqrt(pi) （3）z=sin(abs(x)+abs(y))/sqrt(cos(abs(x+y))) （4）F=z/(z-exp(T*log(8)))
命令：X(3:-1:1)
命令：X(find(X>0.5)) 命令：X([1 2 3 4 4 3 2 1])
第二章 数组、矩阵及其运算
2.1 数组（矩阵）的创建和寻访
2. 二维数组的创建和寻访
例2-3 综合练习。将教材P.31~P.44的实例按顺序在MATLAB的 command窗口中练习一遍，观察并体会其输出结果。 （注意变量的大小写要和教材上的严格一致。）
A./B
B.\A
A的元素被B的对应元素相除
（与上相同）
第二章 数组、矩阵及其运算
2.3 数组、矩阵的其他运算
1. 乘方开方运算
数组的乘方运算与power函数 格式：c=a.^k或c=power(a,k) 例如： >> g=[1 2 3;4 5 6] >>g.^2 矩阵的乘方运算与mpower函数 格式：C=A^P或C=mpower(A,P) 注意：A必须为方阵
第二章 数组、矩阵及其运算
2.2 数组、矩阵的运算
3. 矩阵的加法、减法
运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算， A和B矩阵的相应元素相加减。如果维数不相同，则MATLAB将给出
出错信息。
第二章 数组、矩阵及其运算
2.2 数组、矩阵的运算
3. 矩阵的乘法
第二章矩阵及其运算
数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在！！
23
第二章 矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B） 三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容 教学目标 教学重点
第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念； 矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点 矩阵乘法
教学内容、 安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
用数乘以 矩阵中 的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、 设
教学手段、
措施
数组和矩阵的运算需要掌握运算法则
本节要求
1.掌握数组和矩阵的数值计算，尤其是数 组的“点运算” 2.掌握数组的关系和逻辑运算 3.掌握指令find的使用 4.了解notebook文档的编辑
本课件由飞华健康网/pifu/cc/编辑
>>A=[1 2 3; 4 5 6],B=[4,5,6;1,2,3]; >>C=zeros(2); %生成2阶全0方阵 >>c1=A+B ％加法运算 >>c2=A-C ％减法相乘 >>c3=A-2 %与标量之间的加减运算
结果如下：
c1 = 5 7
7 7
9 7
c3 = -1 2
0 3
1 4
??? Error using ==> minus Matrix dimensions must agree.
A =
>> A(～B)=0
13 8 12 1
A= 0 2 5 11 0 7 0 0 1 0 0 0 3 13 0 0 0 0 0 0
16 5 9 4
2 11 7 14
3 10 6 15
>> B=isprime(A)
B = 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
注：isprime是用来检测数值是否为质数。
log10 log2 exp pow2
例1：分析语句a=2+2==4的执行结果。
分析：单个等号表示赋值，后面的双等号表示关系 运算，所以a的值为1.
例2：分析语句a=‘fate’;b=‘cake’;result=a==b 的执行结果。
分析：应用关系运算应该逐个比较字符是否相等。 执行结果如下： result = 0 1 0 1
结果如下：
第二讲 数组及矩阵运算
第二讲数组及矩阵运算数值数组（矩阵）及其运算是MATLAB的核心。
它可以使计算程序简单、易读，使程序更接近于教科书上的数学计算公式，这也是理工科学生最需要的。
另外，它提高了程序的向量化程度，提高计算效率，节省计算机的开销。
注意：矩阵与二维数组在形式上相同，但不同于数组，矩阵具有特定的含义和运算方式。
>>x1＝[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]%简单的一维数组>>y1=x1.*exp(-x1)%数组的乘积运算>>x2=rand(1,4) %产生4个随机数，构成行向量>>x＝[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]%二维数组，也可认为是3行2列的矩阵x＝1 2 34 5 67 8 9一、数值数组的创建1. 一维数组的创建逐个元素输入法这是最简单又最通用的方法，用中括号[ ]表示，输入元素以空格或逗号为间隔。
函数生成法利用MATLAB提供的特殊形式的数组/矩阵函数来生成。
特点：数组元素的大小按递增或递减的次序排列，元素之间的“差”是“等步长”的。
作用：用作函数的自变量，for循环中的循环自变量等。
1）“冒号：”生成法x=a ：inc ：b其中：inc 是采样点间隔，即步长，默认值为1。
递增/递减型一维数组的创建2）线性或对数定点法¾x=linspace(a,b,n) 线性等间隔为1×n行数组其中：a，b为左右端点，n为总采样点数，即一维数组的长度，它等价于x=a:(b-a)/(n-1):b¾x=logspace(a,b,n) 对数等间隔为1×n行数组例1：产生一个从0到10的数组，间隔为2 >>a=0:2:10a=0 2 4 6 8 10>>b=linspace(0,10,6)b=0 2 4 6 8 10例2：以对数等分隔>>ak=logspace(0,1,5)ak=0 10 10^2 10^3 10^42. 二维数组的创建小规模数组的直接输入法•整个输入组必须以方括号[ ]为其首尾；•行与行之间必须用分号；或[Enter]键隔离；•数组元素间必须用逗号或空格分隔；•若元素之间有复数，则元素间不能用空格；中规模数组的数组编辑器创建法数组创建之后，将其保存为Matrix.mat文件。
线性代数第二章矩阵及其运算2-3
二、逆矩阵的概念
定义 7 设 Ａ是 n 阶方阵，若存在 n 阶方
阵Ｂ，使得 AB＝BA＝E （３） 则称矩阵 A 可逆，且称 B 是 A 的逆矩阵，记作 B＝A－１．
如果不存在满足（３）的矩阵 B，则称矩阵
A 是不可逆的．
现在的问题是，矩阵 A 满足什么条件时可逆？ 可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆 矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．
A A 2E O,
2
4 移项 得 A 1 1 分解因式 得
2 1 2
3 2 A 2E, A AB A 2 B, 求 B. 0 , AB A 2 B, 求 B. 3
A( 得 解 已知方程变形A E) 2E,
例 3 设 n 阶矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明
练习： 设n阶方阵A满足A2+2A-4E=0，则必有( A) A=E C) A-E可逆 B)A=-3E D) A+3E不可逆 )
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得： A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E， 根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
伴随矩阵法.
练习： A,B均为n（n≥3）阶方阵，且AB=0，则A与B（ A) 均为零矩阵 C) 至少有一个奇异阵 B) 至少有一个零矩阵 D) 均为奇异阵 ）
解答：可以等式两边同取行列式 AB=0 |AB|=0 |A||B|=0，故选C
练习： A,B,C为同阶方阵，A可逆，则下列命题正确的是( A) 若AB=0，则B=0 C) 若AB=CB,则A=C 解答：可以等式两边同乘A-1 AB=0 A-1AB = A-10 EB=0，故选A B)若BA=BC,则A=C D) 若BC=0,则B=0或C=0 )
第二章 MATLAB基础知识
2.2 数组及其运算
例 ascii_a=double(a) %将字符转换为相应的双精度值 ascii_a = Columns 1 through 13 84 104 105 115 32 105 115 32 97 110 32 101 120 Columns 14 through 19 97 109 112 108 101 46 例 char(ascii_a) %将双精度值转换为字符 ans = This is an example. 例 w=find(a>=‘a’&a<=‘z’); %查找所有小写字母的位置 ascii_a(w)=ascii_a(w)-32; %将小写字母ascii值转换为大写 char(ascii_a) %将双精度值转换为字符 ans = THIS IS AN EXAMPLE.
2.2 数组及其运算
2.2.2 数组的运算
运算 加 运算符 + 表达式 a+b
减 乘 除 幂 点乘 点除 点幂
*
/或\ ^ .* ./或.\ .^
a-b a*b
a/b或a\b a^b a .* b a ./ b或a.\b a.^b
2.2 数组及其运算
例 a=3 14 7 1 4 9 3 6 10 b=2 8 3 2 10 0 11 2 7 a+b ans= 5 22 10 3 14 9 14 8 17
2.2 数组及其运算
高维数组的创建
直接通过“全下标”元素赋值方式创建高维数组； 由若干个同样大小的低维数组组合成高维数组； 由函数ones、zeros、rand、randn直接创建标准
高维数组；
借助cat、repmat、reshape等函数构造高维数组。
Am
[理学]第2章矩阵和数组2
![[理学]第2章矩阵和数组2](https://img.taocdn.com/s3/m/789f44014b35eefdc8d33377.png)
与字符串有关的另一个重要函数是eval，其调用格式为： eval(t) 其中t为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对应的 MATLAB语句来执行。
2.7 结构数据和单元数据
2.3.3 逻辑运算
MATLAB提供了3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和～ (非 )。 逻辑运算的运算法则为： (1) 在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示， 零元素为假，用0表示。 (2) 设参与逻辑运算的是两个标量a和b，那么， a&b a,b全为非零时，运算结果为1，否则为0。 a|b a,b中只要有一个非零，运算结果为1。 ～a 当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算 结果为0。
3．矩阵指数
exam、expm1、expm2、expm3 、expm(A)、 expm1(A)、expm2(A)、expm3(A)的功能都求矩阵指 数eA。 4．普通矩阵函数funm funm(A,‘fun’)用来计算直接作用于矩阵A的由‘fun’ 指定的超越函数值。当fun取sqrt时，funm(A,‘sqrt’) 可以计算矩阵A的平方根，与sqrtm(A)的计算结果一 样。
(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时， 则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐 个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结 果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1 组成。
例2-8 产生5阶随机方阵A，其元素为[10,90]区间的随 机整数，然后判断A的元素是否能被3整除。 (1) 生成5阶随机方阵A。 A=fix((90-10+1)*rand(5)+10) (2) 判断A的元素是否可以被3整除。 P=rem(A,3)==0 其中，rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。 此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P是进行等于 (==)比较的结果矩阵。
线性代数第二章,矩阵及其运算
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
§2 矩阵的运算
一、加法
设 A (ai j )mn ， B (bi j )mn 都是m n 矩阵，则加法定义为
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
显然，
AB B A
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a11 a21 L
a2n
，记
AT
a12
a22
L
L
L L L
amn
a1n an2 L
则称
AT
A
是
的转置矩阵。
am1
am 2
L
amn
显然，
① ( AT )T A ，② ( A B)T AT BT ，③( A)T AT ，④( AB)T BT AT
2． 即使 Amn ， Bnm ，则Amn Bnm 是m 阶方阵，而Bnm Amn 是n 阶方阵；
3． 如 果 A ， B
都 是n
阶
方
阵
，
例
如
2
A
1
4
2
，
B
2
3
4
6
，则
16
AB
8
32 16
，而BA
0 0
0
0
；
AB BA
综上所述，一般
（即矩阵乘法不满足交换率）。
但是下列性质显然成立：
三、乘法
乘法运算比较复杂，首先看一个例子
设变量t1, t2 到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为
第2章 矩阵运算基础PPT课件
23
2.2.5 数组的除法：
用符号“./” 和“.\”表示。a、 b必须具有相同的阶数。a./b表 示a中元素分别除以b中的对应元 素。 a.\b表示b中元素分别除以a 中的对应元素。
24
>> a=[1 2 3]; >> b=[2 4 6]; >> c=a./b c=
2
40
3.求逆矩阵
>> X=[1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16];
>> Y=inv(X)
Y=
0.2299 0.0908 0.0351 -0.0717
分类:
行向量 列向量
13
向量的构造
1．逐个输入
>>a=[1 3 9 10 15 16]
%采用空格和逗号分隔构成行向量
>>b=[1; 3; 9; 10; 15; 16] %采用分号隔开构成列向量
2．利用冒号表达式“:”生成向量
>>x=1:2:9
%初值=1，终值=9，步长=2
>>z=1:5
%初值=1，终值=5，默认步长=1
30 36 42 >> 1 2 3;-2 0 0; 1 0 1; -1 2 3];B=[-1 3; -2 2; 2 1],求C=A*6， >> A=[1 2 3;-2 0 0; 1 0 1; -1 2 3]
A=
123 -2 0 0 101 -1 2 3
2.2.3 数组的乘法 使用“ .* ”运算符，要求a、b两数组 必须具有相同的阶数，
a .* b表示a和b中对应元素之间相乘。
第2章数组、矩阵及其运算
，求A B。
2.2.4 集合运算
1．两个集合的交集
命令格式：
c = intersect(a,b) %返回向量a、b的 公共部分，即c= a∩b。 c = intersect(A,B,'rows') %A、B为相同列数 的矩阵，返回元素相同的行。 [c,ia,ib] = intersect(a,b) %c为a、b的公共 元素，ia表示公共元素在a中的位置，ib表示公 %共元素在b中位置。
2．子数组的赋值
>>x(3) = 0 新赋值为0。 x = 0.9501 0.2311 >>x([1 4])=[1 1] 个元素都赋值为1。 x = 1.0000 0.2311 %把上例中的第三个元素重
0 0.4860 0.8913 %把当前x数组的第一、四
0
1.0000
0.8913
2.1.3 二维数组（矩阵）的创建
a 1n
定义为
；数组乘
方A.^P，表示A的每个元素的P次乘方。
2.3 矩阵的关系运算
2.3.1 矩阵的比较关系运算 2.3.2 矩阵的逻辑关系运算
2.3.1 矩阵的比较关系运算
矩阵的比较关系是针对于两个矩阵对应元 素的，所以在使用关系运算时，首先应该保证 两个矩阵的维数一致或其中一个矩阵为标量。 关系运算是对两个矩阵的对应运算进行比 较。 若关系满足，则将结果矩阵中该位置元素 置为1，否则置0。 MATLAB的各种比较关系运算如表2-2所示。
【例2-20】 两集合的并集示例。
6．取集合的单值元素
命令格式：
b = unique (a) 构成的向量。 b = unique (A,'rows') 成的矩阵。 [b,i,j] = unique (…) 向量（矩阵）中的位置。 %取集合a的不重复元素
第2章数组矩阵及其运算
帕斯卡矩阵
我们知道，二次项(x+y)^n展开后的系数随n的增大 组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角 形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数 pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。 求(x+y)5的展开式。 在MATLAB命令窗口，输入命令：pascal(6) 矩阵次对角线上元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。
建立随机矩阵： (1) 在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。 (2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。 命令如下： x=20+(50-20)*rand(5) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵总 元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的 二维矩阵。
矩阵（二维数组）的创建
伴随矩阵
MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其 中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前， 低次幂排在后。 例如，为了求多项式的x^3-7x+6的伴随矩阵，可 使用命令： p=[1,0,-7,6]; c=compan(p) roots=eig(c),获得多项式的根
矩阵的代数运算
矩阵乘法
假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p 矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。 矩阵数乘 向量点乘 向量点积 向量叉乘 混合积 卷积与多项式乘法 解卷和多项式除法
矩阵的代数运算
(3) 矩阵除法 在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别 表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B 和B/A运算可以实现。A\B等效于A的逆左乘B矩阵， 也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩 阵，也就是B*inv(A)。 对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同， 如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，设 a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.1000 5.0000]。对于矩阵 来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除 数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。
第二讲矩阵和数组的操作-PPT精选.ppt
相关的函数有：length(A)给出行数和列数中的 较 大 者 ， 即 length(A)=max(size(A)) ； ndims(A) 给出A的维数， size(A)多维矩阵各维长度
>>Z = zeros(2,4) Z=
0000 0000
>>R = randn(4,4) R= 1.0668 0.2944 -0.6918 -1.4410 0.0593 -1.3362 0.8580 0.5711 -0.0956 0.7143 1.2540 -0.3999 -0.8323 1.6236 -1.5937 0.6900
2. 利用文件建立矩阵
对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它 专门建立一个M文件。
例: 利用M文件建立A矩阵。 (1)启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器， 并输入待建矩阵. (2) 把 输 入 的 内 容 存 盘 ( 设 文 件 名 为 mymatrix.m)。 (3)运行该M文件，就会自动建立一个名为A的 矩阵，可供以后使用。
(3) 创建一个变量名为mymatrix的矩阵
将以文本或二进制格式存储的数据读入 MATLAB 的另一种 方式是用 Import Wizard. File→Import Data
3. 利用矩阵编辑器 Array Editor
先在命令窗口输入： >>A=1
在Workspace窗口，双击该变量，打开矩阵编 辑器，进行输入和修改。
1. 矩阵元素
➢ MATLAB允许用户对一个矩阵的单个元素进行赋值 和操作。例如 A(3,2)=200
456010 789001 111123 111456 111789
6 冒号表达式
冒号表达式的一般格式：e1:e2:e3 还可以用linspace函数产生一个线性间隔的行向
矩阵及其运算 ppt课件
aj1,aj2,…,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT 的第 i 行第 j 列的元素。故
( AB )T = AT BT
6.方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元
素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为 | A| 或 det A。 注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它 们的记号也是不同的。
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
第三节 矩阵的分块
本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的
方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线 与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩
阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上 的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些
小矩阵当做一个数来处理。
a11 a12 a13 a14
A11 A21 ... An1
A*
A12 ...
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊ 伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ：
AA*A*A(detA)E
例 1设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
第二章 矩阵运算
据全下标换算出单下标。 据单下标换算出全下标。
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“逻辑1”标识
所谓“逻辑1”标识 法是：通过与A同样大小的 逻辑数组L中“逻辑值1”所在的位置，指出A中 元素的位置。 L的元素或是0或是1，它是“逻辑数组(Logical Array)”。是一种特殊的数据类型。 例
（3）定数线性采样法
在设定的“总点数”下，均匀采样生成一维“行”数组。 – 通用格式：x=linspace(a,b,n) [说明]该指令生成（1 ×n）数组，其作用与x=a:(b-a)/(n-1):b同。
–
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一维数组的子数组寻访和赋值
例1：子数组的寻访（Address）。 例2：子数组的赋值（Assign）。
其显示结果是一样的。
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特殊矩阵(P42)
非数NaN “空”数组（空阵） 全 0阵 单位阵 全 1阵 随机阵 其他特殊矩阵（表2-6）
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非数NaN
按IEEE规定，0/0，∞/∞，0×∞等运算都会产生非数 （Not a Number）。该非数在MATLAB中用NaN或 nan记述。 根据IEEE数学规范，NaN具有以下性质：
A.^n
A.^p p.^A A+B A-B
A^n
A^p p^A A+B A-B
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数组运算和矩阵运算指令对照汇总（二）
数 指 令 组 运 含
对应元素相乘 A的元素被B的对应元素除 （一定与上相同） 以自然数e为底，分别以A的 元素为指数，求幂 对A的各元素求对数 对A的各元素求平方根 求A各个元素的函数值。f(.) 表示为上节所列各函数 A、B阵对应元素间的关系 运算。#代表关系运算符
第二章 矩阵及其运算总结
§1 矩阵及其运算一、矩阵的基本概念（必考）矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或表示一个m*n 矩阵，下标ij 表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个m*1矩阵，也称为一个 m维列向量；而一个 1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n维行向量.当一个矩阵的行数m与烈数n 相等时，该矩阵称为一个 n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为2行3列的矩阵，找规律)二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：.给定矩阵，我们定义其负矩阵为： .这样我们可以定义同型矩阵的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：； (2)结合律：；(3)存在零元：;(4)存在负元：.2 、数与矩阵的乘法的运算律：（1)；（2)；（3)；（4) .3 、矩阵的乘法（必考）设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且(即左行乘右列)矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：(1）结合律：； (2）左分配律：；(3）右分配律：；(4）数与矩阵乘法的结合律：；(5）单位矩阵的存在性：.若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：， .注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B 可逆.例：A,B,C 是同阶矩阵，A ≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者. 同理，A ≠0，B ≠0，而AB却肯能等于0.例题：（选择题5、6）（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有 .4 、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：.矩阵的转置运算满足下列运算律：（1)；（2)；（3)；（4) (重要).5、对称矩阵：n 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.运算性质：1） （2） （3）（4） （5）三、逆矩阵1.定义 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B 称为A 的逆矩阵，．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为（反证法），如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22，那么22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质： （1）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的． （2）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．（必考重点） 这是因为 E A A AEA ABB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以111)(---=A B AB ．（必考重点）这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. （3）可逆矩阵A 的转置矩阵T A 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为E E A A A A T T TT===--)()(11，E E AA A A T T T T ===--)()(11所以 T TA A )()(11--=．（4）如果A 是可逆矩阵，则有11--=A A ．这是因为E AA=-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以111--==A AA ． 矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r （A ）= n ）；（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n 阶单位矩阵；（3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值不为零；（5）对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B 使得AB = E （或BA = E ），则A 可逆，且A -1= B. 逆矩阵的有关结论及运算必考 ——求法方法1 定义法：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB = BA= E ，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为A -1.例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22A - 3A + 5E = 0，求A -1.【解】22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E23-A - A =E 552323A (- A - E) = - A - E = E555523A A = - A - E55∴∴∴∴可逆且方法 2 伴随矩阵法：A -1= 1|A|A*.定理n 阶矩阵A = a ij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且11211122221121n n nnnn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭其中A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式.矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，于是有A -1=1|A|A*. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （A ji ）n ×n 元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其伴随矩阵22122111*a a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求A -1.【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0 ∴A 可逆.由已知得111213212223313233A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A = - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A = 1 ， A -1= 1|A| A* = 5115212211022511272171122⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭方法3 初等变换法：注 ①对于阶数较高（n ≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当矩阵A 可逆时，可利用求解求得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A -1B 或CA -1.例3：:用初等行变换求矩阵231A 013125⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.【解】()231100125001125001A E 01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631310122111001663⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪⎝⎭⎛--→---⎝⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭1113410066313A 010********1663-⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故 方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：1111111111111111A A 000B 0C O A A A CB A O A O BD B O B B DA B B O A O B B O AO ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4：已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求A -1.【解】 将A 分块如下：12005200211200110O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得 1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 从而11211120033110331200250O A A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭方法5 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩 阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变 形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知，且，试求．解 由题设条件得3.伴随矩阵 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).（n 阶矩阵A 可逆的充要条件是:|A|≠0）设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*（顺序变化，重点）称为A 的伴随矩阵. 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =-，伴随矩阵 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 四、分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵. 二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB 其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C t k kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T tT s T TA A A A A 5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A =(2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。
线性代数教案 第二章 矩阵及其运算
12m m mna a a 矩阵。
为了表示它是一个整体，总是加一个括号将它界起来，并通常用大写字母表示它。
记做12m m mn a a a ⎥⎦12m m mn a a a a ⎛⎪⎭。
切记不允许使用111212122212n n m m mna a a a a a a a a =A 。
矩阵的横向称行，纵向称列。
矩阵中的每个数称为元素，所有元素都是实数的矩阵称为实矩阵，所有元素都是复数的矩阵称为复矩阵。
本课中的矩阵除特殊说明外，都指12n n nn a a a ⎥⎦不是方阵没有主对角线。
在方阵中，00nn a ⎥⎦11212212000n n nn a a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦（主对角线以上均为零）1122000000nn a aa ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦（既}nn a .对角元素为1的对角矩阵，记作Ｅ 或001⎡⎢⎥⎦()11a ，此时矩阵退化为一个数矩阵的引进为许多实际的问题研究提供方便。
a x +)1(+⨯n 矩阵：12m m mnm a b a a a b ⎥⎦任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方122m m m mn mn b a b a b ⎥+++⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4012B ，计算 B A +。
122m m m mn mn b a b a b ⎥---⎦与矩阵n m ij a A ⨯=}{的乘积（称之为数乘），12m m mn a a a λλ⎥⎦以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：n b ⎪⎭上述几个例子显示，当有意义时，不一定有意义（例6），即便有相同的阶数，也不一定相等（例A = O 或Ba x +12m m mn a a a ⎥⎦为系数矩阵； m b ⎥⎦，称b 为常数项矩阵；12n x x x ⎡⎢⎢=⎥⎦X = b 。
四、矩阵的转置 5 (转置矩阵12m m mn a a a ⎥⎦12nnmn a a a ⎢⎥⎣⎦矩阵，称它为A 的转置矩阵，记作TA 。
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2.3 矩阵的运算
矩阵运算是MATLAB的核心，从运算的角度来看， 数组和矩阵代表完全不同的两种变量，数组运算 是针对数组元素之间进行运算；矩阵运算是从矩 阵的整体出发，是按照线性代数法则进行运算。
2.3.1 矩阵的加法和减法
同阶（行、列数分别相等）的两个矩阵之间可以 进行加法或减法运算，是指它们对应元素之间的 运算。 例2-3 有两个2行3列的矩阵A=[1,2,3;4,5,6]和 B=[7,8,9;10,11,12]，试进行加法和减法运算。 A=[1,2,3;4,5,6],B=[7,8,9;10,11,12]
3、函数find(c)查找符合条件的矩阵元素的行和列 函数find(c)的使用格式：[row,col] = find(c) 其中，c一般为逻辑表达式；row返回满足条件的元 素的行号，col返回满足条件的元素的列号。 例2-1 查找矩阵a=[12 34 26 17 21;61 50 89 12 08;25 62 91 23 47]中大于等于20、小于等于60的 矩阵元素。 a=[12 34 26 17 21;61 50 89 12 08;25 62 91 23 47] [r,c]=find(a>=20 & a<=60);、 b=find(a>=20 & a<=60); disp ('符合条件的矩阵元素的行号和列号： '),[r,c] disp (' 符合条件的矩阵元素的序号：'),b'
2.3.3 矩阵的求逆
根据线性代数理论，矩阵可逆的充分与必要条件 是矩阵的行列式不为零。求矩阵的逆矩阵，可以 使用函数inv()来实现。例如 >> H=[2,1,2;1,2,1;3,2,1] H = 2 1 2 1 2 1 3 2 1 >> nh=inv(H) % 计算方阵H的逆矩阵 nh = -0.0000 -0.5000 0.5000 -0.3333 0.6667 0 0.6667 0.1667 -0.5000
2.2 矩阵元素和子矩阵的提取
2.2.1 矩阵元素的提取
1、通过下标提取矩阵元素 A(i,j)表示A矩阵第i 行第j列的元素。例如，提 取A矩阵第3行第3列元素A(3,1) >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9],A(3,1) 运算结果： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ans = 7
2、矩阵的旋转 使用函数rot90(A,K)可以将A矩阵逆时针方向旋转 90°的K倍，K=1时可以省略。例如 >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] B=rot90(A) 运算结果： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B = 3 6 9 2 5 8 1 4 7
2.3.4 向量的模和矩阵行列式的值
1、向量的模 一个n维向量的模表示为
X
x
i 1
n
2 i
x x
2 1 2 2
x
2 n
使用MATLAB中的函数norm(X)可以计算维向量的模。 例如 >> X=[12 23 41 96 82 34 87]; norm(X) ans = 164.3746
3、矩阵的翻转 使用函数flipud(A) 可以将A矩阵上下翻转，即第1 行与最后1行调换，第2行与倒数第2行调换，以此 类推。例如 >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12] B=flipud(A) 运算结果： A = B = 1 2 3 10 11 12 4 5 6 7 8 9 7 8 9 4 5 6 10 11 12 1 2 3
2、通过元素序号提取矩阵元素 在MATLAB中，矩阵元素按列存储，首先是第1列， 其次是第2列，以此类推，一直到矩阵的最后1列 元素。例如，通过元素序号提取A矩阵第6个元素 >> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12] A(6) 运算结果： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ans = 10 可见，矩阵元素序号与它的存储顺序是一一对应
矩阵乘（*）是指两个内维相同（前矩阵的列数与 后矩阵行数相等，称为两个矩阵的维数相容）的 矩阵进行乘法运算。 例2-4 有一个2行3列的矩阵A=[1,2,3;4,5,6]和一 个3行4列的矩阵 B=[7,8,9,10;11,12,13,14;15,16,17,18]，试对 它们进行乘法运算。 A=[1,2,3;4,5,6] B=[7,8,9,10;11,12,13,14;15,16,17,18] C=A*B
运算结果： A = 1 2 3 4 5 6 B = 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C = 74 80 86 92 173 188 203 218 可见，矩阵A和B相乘法到的的矩阵C，其行数等于 矩阵A行数（2行），其列数等于矩阵B列数（4列）
运算结果： a = 12 34 26 17 21 61 50 89 12 8 25 62 91 23 47 符合条件的矩阵元素的行号和列号： ans = 3 1 1 2 2 2 1 3 3 4 1 5 3 5 符合条件的矩阵元素的序号： ans = 3 4 5 7 12 13 15
5 9
A4 = 3 7 11 A5 = 6 10
6 10
4 8 12 7 11
% 第2行所有列的元素 7 8 % 第2～3行所有列的元素 7 8 11 12 % 第1～3行、第3～4列的元素
% 第2～3行、第2～4列的元素 8 12
说明：可以利用end运算符表示矩阵的下标。例如， 对于上述A矩阵，提取最后1行所有列的元素 >> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16;17 18 19 20] A6=A(end,:) 运算结果： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A6 = 17 18 19 20
2、矩阵行列式的值 如果某个矩阵是一个方阵（行数与列数相同）， 可以使用函数det()来计算矩阵行列式的值。例如 >> H=[2,1,2;1,2,1;3,2,1] det(H) 运算结果： H= 2 1 2 1 2 1 3 2 1 ans = -6
2.3.5 矩阵的除法 如果A和B是維数相同的两个方阵，而且B是 1 可逆方阵，則它的逆矩阵 B 是另一个同 維和 AB 一般而言並不相等。因此MATLAB 提供两种除法（左除运算符号“\”和右除 运算符号“/”）。凡是按矩阵規則可以和 1 逆矩阵 相乘的矩阵（两个矩阵的内 B 维相同），都可以根据左乘或右乘而做除 “\”或除以“/”的计算。
3、利用函数来建立某些特定矩阵 ⑴函数zeros(m，n)可以创建m 行n列各个元素全 为零的零矩阵。例如 >> zeros(2,3) ans = 0 0 0 0 0 0 ⑵函数ones(m，n)可以创建m 行n列各个元素全为 1的幺矩阵。例如 >> ones(3,2) ans = 1 1 1 1 1 1
1、直接输入法 ⑴矩阵可在方括号“[ ]”中以直接列出元素的方 式建立，列元素之间用空格或逗号“,”隔开，行 与行之间用分号“;”或回车键隔开。 >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] >> A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9] 以上3种方式建立矩阵A的显示结果是： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2.2.2 子矩阵的提取
利用冒号表达式提取子矩阵的方法： 1、A(:,j)表示A矩阵第j列的全部元素；A(i,:)表 示A矩阵第i行的全部元素。 2、A(i:i+m,:)表示A矩阵第i～i+m行的全部元素； A(:,k:k+m)表示A矩阵第k～k+m列的全部元素； A(i:i+m,k:k+m)表示A矩阵第i～i+m行内、并且 是第k～k+m列中的全部元素。 例2-2 已知5行4列矩阵A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16;17 18 19 20]，提取子矩阵 A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16;17 18 19 20] A1=A(:,3),A2=A(2,:),A3=A(2:3,:) A4=A(1:3,3:4),A5=A(2:3,2:4)
C=A+B D=A-B 运算结果： A = 1 2 4 5 B = 7 8 10 11 C = 8 10 14 16 D = -6 -6 -6 -6
% 矩阵C存储A+B的数据 % 矩阵D存储A-B的数据 3 6 9 12 12 18 -6 -6
2.3.2 矩阵的乘法
1、矩阵的左除（运算符号“\”） 1 1 在矩阵A的左边乘 B ，即 B A ，称为矩阵B 除矩阵A，运算符号是B\A。如果矩阵A是一个非奇 异方阵，矩阵的左除A\B等于矩阵A的逆与B的左乘 inv(A) B。应当指出： ⑴如果矩阵A是一个方阵，表示矩阵方程AX=B的解 是X=A\B，或X=inv(A)B，这里的X具有与矩阵B相 同的维数。 ⑵如果矩阵B是一个列向量b时，则X=A\B是线性系 统AX=b的解。 ⑶如果矩阵A是一个m×n矩阵（m>n），X=A\B得到 矩阵方程AX =B的最小二乘解inv(A)B。