耦合电感的伏安关系
第23讲 耦合电感及其伏安关系
(L1 M )(L2 M ) M (L1 M ) (L2 M )
L1L2 M 2
L1 L2 2M
Leq
17
例2 如图所示两个耦合电感并联，求其等效电感。
解： 利用异名端相连时的去
耦等效电路求解。
Leq
Leq ( L1 M ) //(L2 M ) M
(L1 M )(L2 M ) (L1 M ) (L2 M )
线圈1与线圈2的互感
4
线圈2通电流 i2时：
Φ22：线圈2的自感磁通。
22：线圈2的自感磁链。
Ψ22 = N2Φ22 = L2i2
L2：线圈2的自感。 Φ12：线圈2的自感磁通中与
线圈1相交链的部分。
Ψ12 = N1 Φ12 = M12 i2
线圈密绕
互感磁链
线圈1与线圈2的互感
可以证明： M12 = M21
M k=
L1 L2
k=0时： M=0，两线圈互 不影响。
k=1时：全耦合
M 2 = L1L2 7
二、耦合电感的伏安关系 如图所示，磁通相助时， 各线圈总磁链为：
Ψ1 = Ψ11 + Ψ12 = L1i1 + Mi2
Ψ2 = Ψ22 +Ψ21 = L2i2 + Mi1
假设各线圈的端口电压与本线圈的电流方向相关联, 电流 与磁通符合右手螺旋关系, 则两线圈的端口电压分别为：
故令M12 = M21 = M 5
互感M的单位：亨（H）
耦合： 一条支路的电流
（压）与另一条支
路的电流（压）相
关联。
磁耦合： 支路（元件）之间
的耦合是通过磁的 交连来实现的。
线圈密绕
耦合系数： 是指两个线圈的互感磁链与自感磁链比值
10.1耦合电感的伏安关系10.2耦合电感的去耦等效10.4理想
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
R2 i
R R1 R2 L L1 L2 2M
( R1
R2 )i
( L1
L2
2M ) di dt
Ri
L di dt
L L1 L2 2M 0
M
1 2
(
L1
L2 )
互感不大于两个自感的算术平均值。
2019/10/10
[解]
uCD
M
di1 dt
2019/10/10
18
由图 (b)可知，0≤t≤1s时，i1 =10tA，则
d(10t) uCD M dt 10V
练习：P290 5
1≤t≤2s时，i1=(-10 t+20)A，
则 uCD
M
d(10t dt
20)
10V
t≥2s时，i1=0，则
uCD 0
(1)
i2 n N1
2019/10/10
48
若i1和i2参考方向从异名端流入或流出，则
i1 1 N2 (2) i2 n N1
2019/10/10
49
在进行变流关系计算时是选用式(1)还是选用(2)式， 取决于两电流参考方向的流向与同名端的位置，与两 线圈上电压参考方向无关。
当只有一个线圈时：
1 11 L1i1 称L1为自感系数，单位亨(H)。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁 链为自磁链与互磁链的代数和：
1 11 12 L1i1 M12i2
第8章 耦合电感和变压器电路分析
( R1 jL1 ) I 1 jMI 2 U S ( R jL Z ) I 0 jMI 1 2 2 L 2
令 Z11 R1 jL1 解得：
Z 22 R2 jL2 Z L
US I1 (M ) 2 Z 11 Z 22
第8章 耦合电感和变压器电路分析
8.1 耦合电感
如果两个线圈的磁场存在相互作用，就称这两线圈具 有磁耦合。具有磁耦合的两个或两个以上的线圈，称为耦 合线圈。如果假定各线圈的位置是固定的，并且忽略线圈 本身所具有的电阻和匝间分布电容，得到的耦合线圈的理
想化模型就称为耦合电感。
耦合电感Байду номын сангаас伏安关系
图8-1(a)所示为两个相互有磁耦合关系的线圈。第一个线圈中电流i1
1 11 12 L1i1 M 12i2 2 21 22 M 21i1 L2 i2
对于图8－l(b)所示的情况有：
1 11 12 L1i1 M 12i2 2 21 22 M 21i1 L2 i2
图8-1(a) 同名端
每个线圈的电压均由自感磁链 产生的自感电压和互感磁链产 生的互感电压两部分组成。
与此相似，对于图(b)情况可以得到：
d 1 d 11 d 12 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt dt dt d 2 d 21 d 22 di1 di2 u2 M L2 dt dt dt dt dt
同名端
每个线圈的电压均由自感磁链 产生的自感电压和互感磁链产 生的互感电压两部分组成。
为了在看不见线圈相对位置和绕法的情况下，确定互感电压取正号 或负号，人们在耦合线圈的两个端钮上标注一对特殊的符号，称为同名
耦合电感及其伏安关系
I2
jM
Z11
U
S
Z 22
(M )2
Z11
令Zf 2
(M )2
Z11
Rf 2
jX f 2
反映阻抗Zf2：初级回路通过互感反映到次级的等效阻抗。 反映电阻Rf1：初级耗能元件的反映。
反映电抗Xf1：初级储能元件的反映。
24
次
I2
jM
Z11
U
S
Z 22
(M )2
Z11
级
等
效
回
路
25
空心变压器小结：
解：这是一个负载获得 最大功率的问题。
U oc
=
jωM Z11
U
S
= j5 ×10∠0 5 + j10
= 4.47∠26.57 (V)
电源
负载27
(ωM )2 Zf 2 = Z11
= 52 = 1-j2 （） 5 + j10
电源
负载
根据最大功率传输条件，应有 Z22 = Zf*2
即
R2
=
R2 + 1Ω
u1
=
dΨ1 dt
=
L1
di1 dt
+
M
di2 dt
u2
=
dΨ 2 dt
=
L2
di2 dt
+
M
di1 dt
8
如图所示，磁通相消时，
各线圈总磁链为：
Ψ1 = Ψ11 – Ψ12 = L1i1 – Mi2
Ψ2 = Ψ22 – Ψ21 = L2i2 – Mi1
假设各线圈的端口电压与本线圈的电流方向相关联, 电流 与磁通符合右手螺旋关系, 则两线圈的端口电压分别为：
工学耦合电感的伏安关系
R2
Ib
I0
+
U
_
0
（1）加压求流：列网孔电流方程
(R1 R2 jL1 ) Ia R2 Ib jM Ib 0
R2 Ia jM Ia (R2 jL2 ) Ib U 0
I0
Ib
U 0 3 j7.5
,
Zi
U 0 I0
3
j7.5 8.0868.2
（2）去耦等效：
M R1 • L1 L2 •
U (R1 R2 )I ( jL1I jM jL2 jM )I;
同名端反接：
i R1
++ u1
u
–
+
– – u2
R2
* L1
M
L2 *
u
R1 i
L1
di dt
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
R2 i
( R1
R2 )i
( L1
L2
2M ) di dt
Ri
L di dt
i
+ R
u L
i2
表示线圈2对线圈1的互感
对于线性电感 M＝M12=M21
在工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧密程度， 常用常数k表示耦合系数：
def
k
M
L1 L2
通常情况下： M 2 L1L2 K < 1
当一个线圈产生的磁通全部穿过另一个线圈，这种情况称 为全耦合即：
K=1
即 F11= F21 ，F22 =F12
上述微分方程组对应的相量形式为： 解得U 与I的关系：
U jL1I1 jMI2 U jL2 I2 jMI1
耦合电感的伏安关系
• + jM1nIn
• U2 =
jM21I•1
+ jL2I•2
+ •••
+ jM2n•In
11/11
••• •••
••• ••• •••
•••
•••
U• n = jMn1I•1 + jMn2•I2 + ••• + jLnI•n
U• 1
jL1 jM12 ••• jM1n
• U2
=
jM21 jL2 ••• jM2n
电路分析基础——课程内容介绍
第三部分 正弦稳态分析
• 11、阻抗与导纳 • 12、正弦稳态功率与能量 三相电路 • 13、电路的频率响应 • 14、耦合电感与理想变压器 • 15、双口网络
电路分析基础——第三部分：第14章 目录
第14章 耦合电感和理想变压器
1 耦合电感的伏安关系 5 理想变压器的伏安关系
线圈 1： 1= f1(i1, i2) = L1 i1(t) + M12 i2(t) = 11 + 12 线圈 2： 2= f2(i1, i2) = M21 i1(t) + L2 i2(t) = 21 + 22
则：
k2 =
21 11
12 22
=
M21 L1
M12 L2
=
M2 L1L2
k= M L1L2
d1 dt
=
L1
di1 dt
+M
di2 dt
两个方程： u2(t) =
d2 dt
=
M
di1 dt
+ L2
di2 dt
互感电压 自感电压
四个变量：u1、 u2、i1、i2。
耦合电感和理想变压器
第十四章 耦合电感和理想变压器14－1 耦合电感及其伏安关系一、单个线圈的电感11()i f i N N Lid diu Ldtdtψψφψφψ=====设单个线圈的磁链为，它是电流的函数若线圈匝数为，则磁链与磁通（）的关系为磁通的参考方向与电流的参考方向采用关联方向，即符合右手螺旋定则。
如图14.1-1所示。
二、耦合电感当两个线性的时不变电感线圈L 1与L 2相距很近时，就有磁场的耦合作用，每个线圈的磁链不仅与该线圈本身的电流也与邻近线圈的电流有关，即在满足条件1）两个电感线圈都是线性的时不变电感线圈； 2）线圈周围媒质为非铁磁性物质；3）磁通与电流参考方向关联（符合右手螺旋定则）有111122222211()()()()()()t L i t M i t t L i t M i t ψψ=±=±其中：1）M 12、M 21称为互感，单位为亨（H ）。
可以证明M 12=M 21121122222()()d di diu t L M dt dt dtd di diu t L M dt dt dt ψψ==±==±当电压、电流参考方向关联，自磁通与互磁通参考方向一致（磁通相助）时，互感电压项取正；当自磁通与互磁通参考方向不一致（磁通相消）时，互感电压项取负。
自感电压总带正号。
2）同名端当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端， 用标志“·”或“*”表示。
如图14.1-3和14.1-4所示若电流的参考方向由线圈的同名端指向另一端，那么，这个电流在另一线圈内产生的互感电压参考方向也应由该线圈的同名端指向另一端。
这就是说：电流i 1与 1di M dt 的参考方向对同名端一致。
如果i 1指向相反，则 1diM dt的指向也必须相反 。
对图14.1-3有1211di di u L M dt dt =+ 2122di di u L M dt dt=+对图14.1-4有1211di di u L M dt dt =- 2122di di u L M dt dt=-结论：当电压、电流均采用关联的参考方向时，若电流(i 1、i 2)皆由同名端入(出)，M 为正；电流(i 1、i 2)是一入一出，则M 为负。
天津理工电路习题及答案第十章含耦合电感电路
第十章 耦合电感和变压器电路分析一 内容概述1 互感的概念及VCR ：互感、同名端、互感的VCR 。
2 互感电路的分析方法：①直接列写方程：支路法或回路法； ②将互感转化为受控源； ③互感消去法。
3 理想变压器：①理想变压器的模型及VCR ； ②理想变压器的条件；③理想变压器的阻抗变换特性。
本章的难点是互感电压的方向。
具体地说就是在列方程时，如何正确的计入互感电压并确定“＋、－”符号。
耦合电感1）耦合电感的伏安关系耦合电感是具有磁耦合的多个线圈 的电路模型，如图10-1(a)所示，其中L 1、 L 2分别是线圈1、2的自感，M 是两线圈之 间的互感，“．”号表示两线圈的同名端。
设线圈中耦合电感两线圈电压、电流 选择关联参考，如图10-1所示，则有：dtdiM dt di L )t (u dt di M dt di L )t (u 12222111±=±=若电路工作在正弦稳态，则其相量形式为： .1.2.2.2.1.1I M j I L j U I M j I L j U ωωωω±=±=其中自感电压、互感电压前正、负号可由以下规则确定：若耦合电感的线圈电压与电流的参考方向为关联参考时，则该线圈的自感电压前取正号(如图10-l (a)中所示)t (u 1的自感电压)，否则取负号；若耦合电感线圈的线圈电压的正极端与该线圈中产生互感电压的另一线圈的电流的流入端子为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号(如图10-l (a)所示中)t (u 1的互感电压)，否则取负号(如图10-1(b)中所示)t (u 1的互感电压)。
2）同名端当线圈电流同时流人(或流出)该对端钮时，各线圈中的自磁链与互磁链的参考方向一致。
2 耦合电感的联接及去耦等效 1） 耦合电感的串联等效两线圈串联如图10-2所示时的等效电感为：M 2L L L 21eq ±+= （10-1）图10-1（10-1）式中M前正号对应于顺串，负号对应于反串。
耦合电感元件的电压、电流关系
耦合电感元件的电压、电流关系
当有互感的两线圈上都有电流时，交链每一线圈的磁链不仅与该线圈本身的电流有关，也与另一个线圈的电流有关。
如果每个线圈的电压、电流为关联参考方向，且每个线圈的电流与该电流产生的磁通符合右手螺旋法则，而自感磁通又与互感磁通方向一致，即磁通相助，如图所示。
这种情况，交链线圈1、2的磁链分别为：ψ1=ψ11+ψ12=L1i1+Mi2 ψ2=ψ22+ψ21=L2i2+Mi1
由电磁感应定律，当通过线圈的电流变化时，线圈两端会产生感应电压
式中、分别为线圈1、2的自感电压，、分别为线圈1、2的互感电压。
如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通相消，如图所示，耦合电感的电压、电流关系方程式为：
图
对以上磁通相助、相消两种情况进行归纳总结，可以得出：自感电压、取正还是取负，取决于本电感的u、i的参考方向是否关联，若关联，自感电压取正；反之取负。
而互感电压、的符号这样确定：当两线圈电流均从同名端流入（或流出）时，线圈中磁通相助，互感电压与该线圈中的自感电压同号。
即自感电压取正号时互感电压亦取正号，自感电压取负号时互感电压亦取负号；否则，当两线圈电流从异名端流入（或流出）时，由于线圈中磁通相消，故互感电压与自感电压异号，即自感电压取正号时互
感电压取负号，反之亦然。
耦合电感电路知识分享
uM21
M21
d1i dt
1'
2
i2
22
电压mutual inductance voltage) 3、在线圈N2中通入交变电流 产生的交变磁通，在本线圈感 应电压(自感电压)。
uL2
L2
di2 dt
u 2 u L 2 u M 21
2'
21
4、交变磁通部分或全部穿过线圈N1 在N1产生感应电压u12 (互感电压)
j15
a I
b
j20Ω j30Ω
U
b
•
I U OC10j0 70 1.2 21.1 8A RZi 6 0j80
U
OC
Zi
a I
R 60
b
例： 图示电路，已知正弦电压us的有效值为2.2V，
ω=104rad/s。求：（1）互感M为何值时可使电路发生
电压谐振。（2）谐振时各元件上的电压和电流。
解: （1）整个电路阻抗的虚部为零时即发生谐振。
50
I 2I I 1 6m 6 AU S
I1
j(L2M)
j(L1M)
jM
I2
j 1 C
U L 1 j L 1 I j M I 1 j 2 4 j 2 0 ( 4 2 ) 0 0 j 4 . 4 2 4 . 4 0 9 V
U L 2 j L 2 I 1 j M I j 6 ( 2 ) 0 j 2 4 2 0 0 j 4 . 4 4 4 . 4 0 9 V
I2
R2
R3
I3
C
注意：在运用上述各种分析方法时不可将有互感的两线圈分开
例: 已知 U S10 00 V ,I •2 0A .
用戴维南定理求 I ?
耦合电感和变压器
di di ( L1 L2 2 M ) Leq dt dt
i
Leq + u 串联等效 Leq L1 L2 2M Leq L1 L2 2M
顺串等效: 反串等效:
由耦合电感为储能公式
1 1 2 2 w(t ) ( L1 L2 2 M ) i Leq i 0 2 2
开关闭合时
+ I
j ( L1 M )
R1
jM
K
R2
1 jC
U
U 800 I 2 10 18.4A Z 4 1018.4 -
j ( L2 M )
例：求等效电感Leq。 1 4 ° * * • •° 3 6
Leq
2
8
解：两两去耦
4+3 -1+2
例1 列写伏安关系式，电路模型如下图。
a-
i1
* L1
M
i2
L2 *
- c
u1
b +
u2
+ d
di1 di2 u1 uL1 uM 1 L1 M dt dt
di2 di1 u2 uL 2 uM 2 L2 M dt dt
a-
i1
M
i2
L 2
di1 M dt
例2 已知
1 R1 6, R2 6, 12, L1 4, C L2 12, M 6 , U 800
求:开关打开和闭合时的电流。
+
I
R1
jM
* *
jL1
U
jL2
R2
1 jC
K
-
+
电路理论第6章 含耦合电感电路
u 2 = u 22 + u 21 = + L2
di1 di −M 2 dt dt
di2 di +M 1 dt dt
图6-5 例6-1电路图
华中科技大学出版社
11
湖北工业大学
耦合电感的受控源形式 由于耦合电感中的互感电压反映了耦合电感线圈间的耦合关系， 由于耦合电感中的互感电压反映了耦合电感线圈间的耦合关系， 为了在电路模型中以较明显的方式将这种耦合关系表示出来， 为了在电路模型中以较明显的方式将这种耦合关系表示出来，各线 圈中的互感电压可用CCVS表示。若用受控源表示互感电压，则图6 CCVS表示 圈中的互感电压可用CCVS表示。若用受控源表示互感电压，则图63(a)和(b)所示耦合电感可分别用图 6(a)和(b)所示的电路模型表 所示耦合电感可分别用图6 3(a)和(b)所示耦合电感可分别用图6-6(a)和(b)所示的电路模型表 示。
2.当K=1时 是无漏磁通的理想情况，称为全耦合。 2.当K=1时，是无漏磁通的理想情况，称为全耦合。 3.当两个线圈互相垂直放置时，因两线圈间没有磁耦合， 3.当两个线圈互相垂直放置时，因两线圈间没有磁耦合，互感 当两个线圈互相垂直放置时 磁链为零，所以K=0 K=0。 磁链为零，所以K=0。
华中科技大学出版社
注意： 注意：耦合线圈的同名端只取决于线圈的绕向和线圈间的相对 位置，而与线圈中电流的方向无关。 位置，而与线圈中电流的方向无关。
华中科技大学出版社
8
湖北工业大学
判定方法： 判定方法： 1.互感电压的正极性端与产生该互感电压的线圈电流的流入端 1.互感电压的正极性端与产生该互感电压的线圈电流的流入端 为同名端。利用同名端的概念, 为同名端。利用同名端的概念,图6-2所示的耦合电感可分别用 图6-3所示的电路符号表示
§11-2 耦合电感的电压电流关系
X
解（续）
(1 j10)I1 j90I 2 100 (400 j1000)I 2 j90I1 0
1 I1
I2
j1000
100 V
j10
解得： I1 2.03 38.5 A
I 2 0.17 16.7 A
400
j90 I 2
j90 I1
返回
X
2.耦合系数
为了衡量两个耦合线圈之间的耦合程度，引入耦合 系数的概念。 Ψ11 L1i1
def
Ψ 21 Mi1 通常，互感磁链小于自感磁链，即 M L1 L2 ， 所以 0 k 1。 k 0.5，称为强耦合或紧耦合。
12 21 Ψ 22 L2 i2 M M M k L1 L2 L1 L2 11 22 Ψ12 Mi2
§11-2 耦合电感的电压电流关系
北京邮电大学电子工程学院
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内容提要
耦合电感的电压电流关系 耦合系数 耦合电感元件的功率和储能
X
1. 耦合电感的电压电流关系
M
i1 u1
L1
i2 L2 u2
1
U 1
2
I 1
jL1
I j L2 2
j MI 2
j MI 1
返回
X
X
1. 耦合电感的电压电流关系
小结
（1）在具有互感的线圈上存在两种电压，即自感电 压和互感电压。 （2）自感电压的正负号由 u( t ) 与i ( t )的参考方向决定。 关联参考方向取正，非关联参考方向取负。 （3）互感电压的正负号由承受互感的线圈的电压参考 方向与产生互感的线圈的电流参考方向共同决定（与 同名端有关）。
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耦合电感的伏安关系
当上述的图4.5中两个耦合的电感1L 和2L 中有变化的电流时，各电感中的磁通链也将随电流的变化而变化。
设1L 和2L 中的电压、电流均为关联参考方向，且电流与磁通符合右手螺旋法则，依据电磁感应定律，由式（10.1 ）和式（10.2）可得：
dt
di
M dt di L u u dt d u 211121111±=±==ψ
dt
di
L dt di M u u dt d u 221222122+±=+±==
ψ (4-12)
自感电压 dt di L u 11
11= dt di L u 2222= 互感电压 dt di M
u 212= dt
di
M u 121= 式（4-12 ）表示两个耦合电感的电压电流关系，即伏安关系，该式表明耦合电感上的电压是自感电压和互感电压的代数和。
1u 不仅与1i 有关也与2i 有关，2u 也如此。
12u 是变化的电流2i 在1L 中产生的互感电压，21u 是变化的电流1i 在2L 中产生的互感电压。
自感电压总为正，互感电压可正可负。
当互感磁通链与自感磁通链相互“增长”时，互感电压为正；反之互感电压为负。
在正弦稳态激励下，耦合电感伏安关系即式（4-12）的相量形式为：
2111I M j I L j U &&&ωω±=
2
21
2
I L j I M j U
&&&ωω+±= (4-13) 式中1L j ω和2L j ω分别为两线圈自阻抗；M j ω为互阻抗；M ω称为互感抗。
4.3.3 耦合电感的同名端
1、同名端的定义
上述关于互感电压符号的讨论，按右手螺旋法则所规定的互感电压的正极性参考方向与产生它的电流的参考方向和两个线圈的绕向有关系。
但实际的线圈往往是密封的，无法看到具体绕向；并且在电路图中绘出线圈的方向也很不方便。
为此引入同名端(dotted terminals)的概念。
采用同名端标记方法。
对两个有耦合的线圈各取一个端子，并用相同的符号标记，如“•”或“*”。
当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入时，若产生的磁通相互增强，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。
如图4.6所示，当1i 和2i 分别从a 、d 端流入时，所产
生的磁通相互增强，a 与d 是一对同名端（b 与c 也是一对同名端）；a 与c 是一对异名端（b 与d 也是一对异名端）。
有了同名端的规定，图4.6所示的耦合线圈在电路中可用图4.7所示的有同名端标记的电路模型表示。
耦合电感标注同名端后，可按下列规则确定互感电压的参考方向：
如果电流的参考方向由线圈的同名端指向另一端，那么由这一电流在另一线圈内产生的互感电压的参考方向也应由该线圈的同名端指向另一端，如图4.8所示，
i 2
2
i 1
i
图 4.6 同 名 端
图 4.7 耦合线圈的同名端标记电路模型
图 4.8利用同名端判断互感电压方向
因此，如果知道了耦合电感的同名端，不必知道线圈的具体绕向也能正确列出耦合电感的伏安关系。
如图4.9所示，根据标定的同名端和电流的参考方向，可求得互感电压：
图4.9同名端标记与互感电压的正负号
(a )图中 dt di M
u 1
21
= (b )图中 dt
di M
u 1
21-= (b)图与(a)图比较，它们的互感电压的参考方向和电流的参考方向相同，但同名端的方向不同，于是互感电压的伏安关系表达式符号不同。
·
·
M
i 1
+ u 21 −
(b )
＊
(a )。