高中数学：圆锥曲线中的最值问题

高中数学：圆锥曲线中的最值问题

在圆锥曲线中常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等，应从函数、方程、三角、几何、导数等多个角度思考问题。下面举例说明。

一、利用圆锥曲线的对称性求最值

例1. 设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则△F1AB的面积最大为（）

A.

B.

C.

D.

解析：抓住△F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。如图1，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半。又，△F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以△F1OB的面积最大值为。所以△F1AB的面积最大值为cb。

图1

二、利用圆锥曲线的参数方程求最值

例2. 已知点P是椭圆上到直线的距离最小的点，则点P的坐标是（）

A.

B.

C.

D.

解析：化椭圆，利用三角函数的方法将最值转化为角变量来确定。将化成参数方程，设，则

，

其中，

当时，。

此时可以取得，从而可得到。故选A。

三、利用重要不等式求最值

例3. 已知圆C过坐标原点，则圆

心C到直线l：距离的最小值等于（）

A.

B. 2

C.

D.

解析：抓住定值，利用重要不等式求最值，但是不要忽视等号成立的条件。圆C过原点，则。圆心C（a，b）到直线l：的距离

所以圆心到直线l距离的最小值为。

四、利用圆锥曲线的定义求最值

例4. 已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（）

A.

B.

C. 2

D.

解析：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。由双曲线的第一定义，得

又，

所以，

从而

由双曲线的第二定义可得，

所以。又，

从而。故选B。

五、利用几何性质求最值

例5. 已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆

上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（）

A. 10

B.

C.

D.

解析：由△PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论。易知A（3，2）在椭圆内，B（－4，0）是椭圆的左焦点（如图2），则右焦点为F（4，0）。连PB，PF。由椭圆的定义知：

图2

，

所以。由平面几何知识，

，

即

而，

所以。

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