高中数学：圆锥曲线中的最值问题

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圆锥曲线中的最值问题

02பைடு நூலகம்
求解方法
设两点坐标，利用距离公式求解，再通过求导找出极值点，确定最大最小值。
03
应用场景
通信、导航等领域，经常需要求解信号的最远和最近传输距离等问题。
圆锥曲线上的点的最值坐标
定义
指的是在圆锥曲线上找到具有某种性质最值（如距离最值、角度最值等）的点，并求出其坐标。
求解方法
通常要根据具体性质设立目标函数，再利用求导等数学工具求出极值点，进而得到最值坐标。
求解方法
通过运用圆锥曲线与直线的交点的坐标表达式，结合距离公式，利用微积分工具求
解最值。
应用场景
该问题在光学、几何设计等领域有应用，如望远镜的设计、镜面的曲率选择等。
圆锥曲线内接多边形的最值面积
定义与背景
圆锥曲线内接多边形是指多边形的顶点都在圆锥曲线上的多边形。在最值情况下，该多边形的面积达到最大或最小值。
最值问题在物理学中的应用
光学
在物理学中，圆锥曲线与光学有着密切的联系。例如，利用圆锥曲线的性质可以解决光的反射、折射等最值问题，从而优化光学系统的设计。
力学
圆锥曲线在力学中也有应用，例如在研究天体运动时，可以利用圆锥曲线的性质来解决最值问题，从而预测天体的运行轨迹和位置。
最值问题在工程实践中的应用
性质
圆锥曲线有许多重要的性质，如对称性、焦点性质、准线性质等。这些性质在最值问题的研究中起着重要作用。
最值问题的概述
定义
最值问题是寻找函数在给定区间上的最大值和最小值的问题。在圆锥曲线中，最值问题通常涉及到曲线上的点与特定直线或点之间的距离、角度等的最值。
解决方法
解决最值问题的方法包括导数法、不等式法、几何法等。在圆锥曲线的最值问题中，通常结合曲线的几何性质和代数方法来进行求解。

2025高考数学一轮复习-圆锥曲线中的最值、范围问题-专项训练【含解析】

课时过关检测(五十四)圆锥曲线中的最值、范围问题【原卷版】1．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．2．已知抛物线C ：y 2＝4x ，点F 是C 的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)求向量OA ―→与OB ―→的数量积；(2)设FB ―→＝λAF ―→，若λ∈[9,16]，求l 在y 轴上的截距的取值范围．3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，E 的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的周长为4＋23．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G (1,0)，求k 的取值范围．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 21(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆E 的离心率为32，且通径长为1．(1)求E 的方程；(2)直线l 与E 交于M ，N 两点(M ，N 在x 轴的同侧)，当F 1M ∥F 2N 时，求四边形F 1F 2NM 面积的最大值．课时过关检测(五十四)圆锥曲线中的最值、范围问题【解析版】1．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．解：(1)由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上．设椭圆E的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为x22b2＋y2b2＝1．又椭圆E，∴12b2＋12b2＝1，解得b2＝1．∴椭圆E的标准方程为x22＋y2＝1．(2)由于点(－2,0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．k(x＋2)，y2＝1，消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0．由Δ＞0得0≤k2＜12，从而x1＋x2＝－8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∴|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝21＋k22－4k2(1＋2k2)2．∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝3|k|1＋k2，∴△F2MN的面积为S＝12|MN|·d＝3k2(2－4k2)(1＋2k2)2．令1＋2k2＝t，则t∈[1,2)，∴S＝3(t－1)(2－t)t2＝3－t2＋3t－2t2＝3－1＋3t－2t2＝3当1t＝34即t[1，S有最大值，S max＝324，此时k＝±66．∴当直线l的斜率为±66时，可使△F2MN的面积最大，其最大值324．2．已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．(1)求向量OA―→与OB―→的数量积；(2)设FB―→＝λAF―→，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．解：(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1．＝my＋1，2＝4x，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16＞0，1＋y2＝4m，1y2＝－4.∴OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝y21y2216＋y1y2＝1616－4＝－3．∴向量OA―→与OB―→的数量积为－3．(2)由(1)1＋y2＝4m，1y2＝－4.∵FB―→＝λAF―→，∴y2＝－λy1．将y2＝－λy11＋y2＝4m，1y2＝－4，1－λ)y1＝4m，λy21＝－4，－λ)2y21＝16m2，λy21＝－4，∴(1－λ)2－λ＝－4m2，∴4m2＝(1－λ)2λ＝λ＋1λ－2．令f(λ)＝λ＋1λ－2，易知f(λ)在[9,16]上单调递增，∴4m2∈649，22516，∴m2∈169，22564，∴m∈－158，－43∪43，158．∴l在y轴上的截距－1m的取值范围为－34，－815∪815，34．3．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4＋23．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围．解：(1)a＋2c＝4＋23，＝ca＝32，＝2，＝3，则b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为x24＋y2＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点D(x0，y0)，kx＋m，y2＝1，消去y整理得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，∵直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点，∴Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜1＋4k2，1＋x2＝－8km1＋4k2，1·x2＝4m2－41＋4k2，则x0＝x1＋x22＝－4km1＋4k2，y0＝kx0＋m＝m1＋4k2，所以直线DG的斜率为k DG＝y0x0－1＝－m4km＋1＋4k2，又由直线DG和直线MN垂直可得－m4km＋1＋4k2·k＝－1，则m＝－1＋4k23k，代入m2＜1＋4k2可得＜1＋4k2，即k2＞15，解得k＞55或k＜－55．故所求k∞4．已知椭圆E：x2a2＋y2b21(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为32，且通径长为1．(1)求E的方程；(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM 面积的最大值．解：(1)c2，＝2，＝1，＝3，故椭圆的方程为x24＋y2＝1．(2)假设M，N两点在x轴上侧，如图所示，延长MF1交E于点M0，由F1M∥F2N知M0与N关于原点对称，从而有|F1M0|＝|F2N|，由(1)可知F1(－3，0)，F2(3，0)，设M(x1，y1)，M0(x2，y2)，设MF1的方程为x＝my－3，由my－3，y2＝1得(m2＋4)y2－23my－1＝0，Δ＝12m2＋4(m2＋4)>0，故1＋y2＝23mm2＋4，1y2＝－1m2＋4.设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，则S＝12(|F1M|＋|F2N|)d＝12(|F1M|＋|F1M0|)d＝12|MM0|d＝S△MF2M0，又因为S△MF2M0＝12·|F1F2|·|y1－y2|＝12×23×|y1－y2|＝3(y1＋y2)2－4y1y2＝3·12m2(m2＋4)2＋4m2＋4＝43m2＋1m2＋4＝43m2＋1＋3m2＋1≤4323＝2，当且仅当m2＋1＝3m2＋1，即m＝±2时，等号成立，故四边形F1F2NM面积的最大值为2．。

圆锥曲线中的最值问题

面积最值问题
总结词
面积最值问题主要研究圆锥曲线与其内部区域的面积的最小或最大值。
详细描述
求解面积最值问题通常需要利用曲线的参数方程或极坐标方程，转化为关于角度或参数的定积分，通过求积分得到面积表达式，再求最值。
周长最值问题
总结词
周长最值问题主要研究圆锥曲线上的点的轨迹形成的曲线的周长的最小或最大值。
圆锥曲线中的最值问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线中最大值最线中的最值问题的实例分析
01
引言
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线是由平面与圆锥的侧面或顶点相交形成的几何图形，包括椭圆、抛物线和双曲线等。
圆锥曲线具有多种性质，如对称性、焦点、准线等，这些性质在解决最值问题时具有重要作用。
详细描述
解决周长最值问题通常需要利用曲线的参数方程，通过求导数找到曲线的拐点，从而确定周长的最大或最小值。
角度最值问题
总结词
角度最值问题主要研究圆锥曲线上的点与坐标轴形成的角度的最小或最大值。
详细描述
解决角度最值问题通常需要利用曲线的极坐标方程，通过求导数找到曲线的极值点，从而确定角度的最小或最大值。
在实际生活中的应用
航天器轨道设计
在航天领域，卫星和行星的轨道通常呈现为某种圆锥曲线的形状，通过研究这些轨道的最值问题，可以优化航天器的发射和运行轨迹。
物流运输
在物流和运输行业中，货物的运输路径通常受到多种因素的限制，呈现出某种圆锥曲线的轨迹，通过求解最值问题，可以找到最优的运输路径和最低的成本。
03
解决圆锥曲线中最大值最小值问题的
方法
利用导数求最值
导数可以帮助我们找到函数的极值点，通过求导并令导数为零，我们可以找到可能的极值点。

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。

圆锥曲线求最值方法总结及典型例题

圆锥曲线最值问题—5大方面最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。

解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。

以下从五个方面予以阐述。

一．求距离的最值例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为，解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411, 当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。

二．求角的最值例2．M ，N 分别是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠MPN 的最大值是 .解析：不妨设l 为椭圆的右准线，其方程是22=x ，点)0)(,22(00>y y P ，直线PM 和PN 倾斜角分别为βα和.∵)0,2(),0,2(N M -∴,232220tan 00y y k PM =+-==α22220tan 00y y k PN =--==β于是)tan(tan αβ-=∠MPN 2321232tan tan 1tan tan 0000y y y y ⋅+-=+-=αβαβ 33622262262200200=≤+=+=y y y y ∵)2,0[π∈∠MPN ∴6π≤∠MPN 即∠MPN 的最大值为6π. 评注：审题时要注意把握∠MPN 与PM 和PN 的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例3.点M 和F 分别是椭圆192522=+y x 上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求45|MF|+|MB|的最小值. 解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F ′(-4,0)，离心率e=54，准线方程x=±425. ⑴|MF| + |MB| = 10―|MF ′ | + |MB| =10―（|MF ′|―|MB|）≥10―|F ′B|=10―210.故当M ，B ，F ′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.⑵过动点M 作右准线x=425的垂线，垂足为H ，则54||||==e MH MF ⇒||54|H |MF M =. 于是45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=417. 可见，当且仅当点B 、M 、H 共线时，45|MF|+|MB|取最小值417. 评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线是指在二维平面上满足一定条件的曲线，其中包括双曲线和抛物线等。

当圆锥曲线是双曲线或抛物线时，可以利用其函数的性质解决最值问题。

对于双曲线y=a/x，在x>0时，它的最小值为y=a/xmin，最大值为y=a/xmax。

对于抛物线y=ax^2，在a>0时，它的最小值为y=0，最大值为y=+∞。

对于其他类型的圆锥曲线，最值问题的解决方法需要根据其具体函数形式进行分析。

对于一般的圆锥曲线，解决最值问题需要利用微积分知识。

对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值问题，可以通过对函数在该区间内求导，然后求函数在该区间内的极值点。

求导之后，求函数在该区间内的极值点，即对导数为0的点进行分析。

通过二分法或牛顿迭代等方法来求导数为0的点的值，对导数为0的点进行分析，即可求得圆锥曲线在该区间内的最值点。

需要注意的是，在求解过程中需要证明该点是极值点，而非局部极值点。

圆锥曲线中的最值问题

1 AB (d P AB d Q AB ) 2
设P (2 cos , sin ), 则Q(2 cos , sin )
5 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 S ( ) 2 5 5 0 0 45 ) 2 2 2 sin( 45 ) 2 5 2 2 sin( ( ) 2 5 5 5 4 2 2 2 S Max 2 2 2 5
所以设与AB平行的直线方程为:x+2y+m=0 (m 2)
x 2y m 0 联立: x 2 4 y 2 4 2 x 2
2mx m 4 0
2
4m 2 8(m 2 4) 由 0 m 2 2 所以与AB平行且和椭圆相切的两直线方程分别为:
课堂演练形成技能
x y 练习 1.如图A( 3,2)、F1 ( 4,0), P是椭圆 1 25 9 上一点，则 PA PF1 的最大值为 ____
y
P
2
2
A
10 5
x
F1
O
F2
策略:几何法
x 2 例2.如图直线y kx( k 0)与椭圆 y 1交于 4 P，Q 两点, A、B分别是椭圆的右 ,上顶点，则四边形 APBQ 面积的最大值为 _____
2
24k 32 x1 x2 2 (1); x1 x2 2 ( 2) 4k 1 4k 1
如图，过P、Q分别作PF、QE垂直于y轴，则 x 1 x2 (3)
联立(1)、(2)、(3)得：
(1 )2
y
M

《圆锥曲线中的最值问题》数学教案

《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中最值问题的解法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容：1. 椭圆中最值问题2. 双曲线中最值问题3. 抛物线中最值问题5. 圆锥曲线中最值问题的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法及应用。

2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的灵活运用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线中最值问题的解法。

2. 通过案例分析，让学生了解圆锥曲线中最值问题在实际中的应用。

3. 利用数形结合思想，帮助学生直观地理解圆锥曲线中最值问题。

五、教学过程：1. 导入：回顾圆锥曲线的定义及性质，引导学生关注圆锥曲线中最值问题。

2. 讲解：（1）椭圆中最值问题：分析椭圆的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。

（2）双曲线中最值问题：分析双曲线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。

（3）抛物线中最值问题：分析抛物线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。

4. 练习：布置课后作业，让学生巩固圆锥曲线中最值问题的解法。

5. 拓展：介绍圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子，激发学生兴趣。

六、课后作业：1. 复习圆锥曲线中最值问题的解法。

2. 完成课后练习题。

3. 探索圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子。

七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况。

2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生对圆锥曲线中最值问题的掌握程度。

3. 实践应用：评估学生在实际问题中运用圆锥曲线中最值问题的能力。

八、教学资源：1. 教材、教辅资料。

2. 圆锥曲线的图形软件。

3. 实际问题案例。

九、教学进度安排：1. 第一课时：导入及椭圆中最值问题讲解。

2. 第二课时：双曲线中最值问题讲解。

《圆锥曲线中的最值问题》数学教案

《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标1. 让学生掌握圆锥曲线中的最值问题的解法。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 提高学生对圆锥曲线的理解和运用能力。

二、教学内容1. 圆锥曲线中最值问题的定义和性质。

2. 圆锥曲线中最值问题的解法。

3. 圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法。

2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的应用。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解圆锥曲线中最值问题的解法。

2. 采用案例分析法，分析圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用。

3. 采用小组讨论法，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：通过复习圆锥曲线的定义和性质，引导学生进入圆锥曲线中最值问题的学习。

2. 讲解：讲解圆锥曲线中最值问题的解法，结合实例进行讲解。

3. 案例分析：分析圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用，引导学生学会将理论应用于实际问题。

4. 小组讨论：让学生分组讨论圆锥曲线中最值问题的解法和应用，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调圆锥曲线中最值问题的关键点。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

7. 课后反思：教师对课堂教学进行反思，总结经验教训，为下一节课的教学做好准备。

六、教学评价1. 评价内容：学生对圆锥曲线中最值问题的理解程度和解题能力。

2. 评价方法：通过课堂提问、作业批改和课后讨论等方式进行评价。

3. 评价指标：学生对圆锥曲线中最值问题的定义、性质和解法的掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。

七、教学拓展1. 圆锥曲线中最值问题与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。

2. 圆锥曲线中最值问题在实际生活中的应用，如优化问题、物理学中的运动问题等。

3. 引导学生探索圆锥曲线中最值问题的深入研究，如求解更一般性的问题。

八、教学资源1. 教材：圆锥曲线的相关教材和辅导书。

高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)

圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（3）抛物线：到定点与定直线距离相等。

【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为．【知识点分析】方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3．抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

【高中数学】圆锥曲线中的定值与最值问题

圆锥曲线中的定值与最值问题一.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．例1：过抛物线m ：2y ax =（a ＞0）的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q --+的值必等于（）． A.2a B.12aC.4aD.4a解法1：（特殊值法）令直线l 与x 轴垂直，则有l ：14y a=12p q a ⇒==，所以有114p q a --+=解法2：（参数法）如图1，设11(,)P x y ，22(,)Q x y 且PM ，QN 分别垂直于准线于,M N ．114p PM y a ==+，214q QN y a ==+抛物线2y ax =（a ＞0）的焦点1(0,)4F a，准线14y a =-． ∴ l ：14y kx a =+又由m l ⋂，消去x 得222168(12)10a y a k y -++=∴212122121,216k y y y y a a ++==， ∴221212221111,()4164k k p q pq y y y y a a a a +++==+++=∴114p q a --+=．例2：过抛物线22y px =（p ＞0）上一定点000(,)(P x y y ＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为非零常数．【解析】设直线PA 的斜率为PA K ，直线PB 的斜率为PB K ．由2112y px = 2002y px =相减得，101010()()2()y y y y p x x -+=- 故1010102PAy y p K x x y y -==-+ 10()x x ≠同理可得，2020202PB y y p K x x y y -==-+ 20()x x ≠由,PA PB 倾斜角互补知：PA PB K K =-∴102022p p y y y y =-++∴ 1202y y y +=-由2222y px = 2112y px =相减得，212121()()2()y y y y p x x -+=-∴ 21211200222AB y y p p p K x x y y y y -====--+-∴直线AB 的斜率为非零常数．例3：已知定点0,0()M x y 在抛物线m ：22y px =（p ＞0）上，动点,A B m ∈且0=•MB MA ．求证：弦AB 必过一定点．【解析】设AB 所在直线方程为：x my n =+．与抛物线方程22y px =联立，消去x 得2220y pmy pn --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y 则122y y pm +=① 122y y pn =-②由已知0=•MB MA 得，1MA MB K K =-．即102010201y y y y x x x x --=---g ③∵221010101011()()()22x x y y y y y y p p -=-=-+ 222020202011()()()22x x y y y y y y p p-=-=-+∴③式可化为1020221p py y y y =-++g ，即221201204[()]p y y y y y y =-+++．将①②代入得，002n p my x =++．直线AB 方程化为：00002()2x my p x my m y y x p =+++=+++．∴直线AB 恒过点00(2,)x p y +-．【例4】(2012·湖南)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证．(1)解法一设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝x －52＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以x －52＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x 得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝20y 0＋4k 1k 1.④同理可得y 3y 4＝20y 0＋4k 2k 2.⑤于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝400y 0＋4k 1y 0＋4k 2k 1k 2＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400y 20－y 20＋16k 1k 2k 1k 2＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400. 【例5】已知椭圆C 的离心率3e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。

《圆锥曲线中的最值问题》数学教案

《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线中的最值问题的概念和意义。

2. 掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。

3. 能够运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。

二、教学内容1. 圆锥曲线中最值问题的定义和分类。

2. 圆锥曲线中最值问题的解决方法和技巧。

3. 圆锥曲线中最值的性质和定理。

4. 圆锥曲线中最值问题的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解决方法和技巧，圆锥曲线中最值的性质和定理。

2. 教学难点：解决复杂圆锥曲线中最值问题，运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。

四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲解法、例题解析法、讨论法、实践法等。

2. 教学手段：黑板、PPT、数学软件、教具等。

五、教学安排1. 第一课时：介绍圆锥曲线中最值问题的定义和分类。

2. 第二课时：讲解解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。

3. 第三课时：讲解圆锥曲线中最值的性质和定理。

4. 第四课时：通过例题解析，让学生掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法。

5. 第五课时：开展小组讨论，让学生运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。

六、教学过程1. 导入：通过复习圆锥曲线的基础知识，引导学生进入圆锥曲线中最值问题的学习。

2. 讲解：详细讲解圆锥曲线中最值问题的定义和分类，让学生理解最值问题的意义。

3. 示范：通过例题解析，展示解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。

4. 练习：让学生独立解决一些简单的圆锥曲线中最值问题，巩固所学方法。

5. 讨论：开展小组讨论，让学生分享解题心得，互相学习。

6. 拓展：引导学生运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。

七、教学评价1. 课堂问答：通过提问，了解学生对圆锥曲线中最值问题的理解和掌握程度。

2. 练习题：布置一些圆锥曲线中最值问题的练习题，检验学生的掌握情况。

3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度和问题解决能力。

八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、参与程度、知识掌握情况等。

圆锥曲线中最值问题

圆锥曲线中最值问题以圆锥曲线为背景的最值问题是近几年高考的一个热点，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。

能有效地考查同学们综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力。

解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，。

由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线定义和性质，注重数形结合思想求解是其特有的方法。

下面介绍几种典型的解决方法。

一、定义法有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。

例1、已知椭圆221259x y+=，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB+的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。

略解：（1）A为椭圆的右焦点。

作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义||4 ||5 PAePQ==，∴5||||||||4PA PB PQ PB+=+.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174。

（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC|∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P"位置时，|PB| -|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为10+|BC|=10210+；当P到P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|=10210-。

点评: 回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。

另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。

圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

第九节圆锥曲线中的最值、范围、证明问题突破点(一) 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用几何性质求最值[例1] 设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.[答案] C[方法技巧]利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．建立目标函数求最值本节主要包括3个知识点： 1.圆锥曲线中的最值问题； 2.圆锥曲线中的范围问题； 3.圆锥曲线中的几何证明问题.[例2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF ＝3FM .(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．[解] (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1. 设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)，由PF ＝3FM ，得M ⎝⎛⎭⎫－223，23或M ⎝⎛⎭⎫223，23. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0. 于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF ＝3FM ，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415，由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41＋k 2·k 2＋m ，点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2，所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1. 记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝⎛⎭⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1，可得f (m )在⎝⎛⎭⎫－13，19上是增函数，在⎝⎛⎭⎫19，1上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1，43上是增函数，又f ⎝⎛⎭⎫19＝256243>f ⎝⎛⎭⎫43＝59.所以当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以△ABP 面积的最大值为2565135. [方法技巧](1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解．(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等．利用基本不等式求最值[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． [解] (1)由题意，c ＝1，b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝ 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1，此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x ＋1)，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3. [方法技巧](1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB ＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 因为OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，又y ′＝－x ，所以－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，所以|AB |＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22×(－4)2－4×(－4)＝410. 所以△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.2.[考点二]平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解析：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2, y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.(*)则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0<t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3. 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.3.[考点三]定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解析：(1)∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内， ∴圆N 内切于圆M . ∵|NM |＋|NF |＝4>|FM |，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，c ＝3，∴b ＝1， ∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，由题意，C 在线段AB 的中垂线上，则OC 的方程为y ＝－1kx .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝4(1＋k 2)1＋4k 2.将上式中的k 替换为－1k ，可得|OC |2＝4(1＋k 2)k 2＋4.∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC |＝4(1＋k 2)1＋4k 2·4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4). ∵(1＋4k 2)(k 2＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝5(1＋k 2)2，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .突破点(二) 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用判别式构造不等关系求范围[例1] 已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且AC ·BC ＝0，|BC |＝2|AC |. (1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线l (斜率存在时)与椭圆M 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|DP |＝|DQ |，求实数t 的取值范围．[解] (1)因为|BC |＝2|AC |且BC 过(0,0)，则|OC |＝|AC |.因为AC ·BC ＝0，所以∠OCA ＝90°，即C (3，3)．又因为a ＝23，设椭圆的方程为x 212＋y 212－c 2＝1，将C 点坐标代入得312＋312－c 2＝1，解得c 2＝8，b 2＝4.所以椭圆的方程为x 212＋y 24＝1.(2)由条件D (0，－2)，当k ＝0时，显然－2<t <2；当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ，⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0 由Δ>0可得t 2<4＋12k 2，①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点H (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt1＋3k 2，y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k 2，所以H ⎝⎛⎭⎫－3kt 1＋3k 2，t1＋3k 2，由|DP |＝|DQ |，所以DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1k ，所以t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k 2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②所以t >1，将②代入①得，1<t <4. 所以t 的范围是(1,4)．综上可得t ∈(1,2)．[方法技巧]圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．利用函数性质求范围[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若λ∈⎣⎡⎦⎤12，2，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)由已知e ＝22，得c a ＝22，又当直线垂直于x 轴时，|AB |＝2，所以椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，22，代入椭圆方程得1a 2＋12b2＝1，∵a 2＝b 2＋c 2，联立方程可得a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点， λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意． ∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，由根与系数的关系可得，⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2①，y 1y 2＝－1m 2＋2②，将①式平方除以②式可得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m 2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ，∴－λ－1λ＋2＝－4m 2m 2＋2，又知λ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴－λ－1λ＋2∈⎣⎡⎦⎤－12，0， ∴－12≤－4m 2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎡⎦⎤0，27. |AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋22， ∵m 2∈⎣⎡⎦⎤0，27， ∴1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤716，12，∴|AB |∈⎣⎡⎦⎤2，928. [方法技巧]利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的函数，通过求这个函数的值域确定目标的取值范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算方便，在建立函数的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．1.[考点一]设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，且1PF ·2PF 的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝ky －1与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．解析：(1)易知a ＝2，c ＝4－b 2，b 2<4，所以F 1(－4－b 2，0)，F 2(4－b 2，0)，设P (x ，y )，则1PF ·2PF ＝(－4－b 2－x ，－y )·(4－b 2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＋b 2＝x 2＋b 2－b 2x 24－4＋b 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 24x 2＋2b 2－4.因为x ∈[－2,2]，故当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，1PF ·2PF 有最大值1，即1＝⎝⎛⎭⎫1－b24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1. 故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，Δ＝(－2k )2＋12(4＋k 2)＝16k 2＋48>0，故y 1＋y 2＝2kk 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4.又∠AOB 为锐角，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0，又x 1x 2＝(ky 1－1)(ky 2－1)＝k 2y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1＝(1＋k 2)·－34＋k 2－2k 24＋k 2＋1＝－3－3k 2－2k 2＋4＋k 24＋k 2＝1－4k 24＋k 2>0，所以k 2<14，解得－12<k <12，故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，12. 2.[考点二]已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1,0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C .(1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ·QF 的取值范围．解析：(1)由x 2＋y 2＋2x －15＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝16，所以圆心为H (－1,0)，半径为4.连接MA ，由l 是线段AB 的中垂线，得|MA |＝|MB |，所以|MA |＋|MH |＝|MB |＋|MH |＝|BH |＝4，又|AH |＝2<4.根据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以a 2＝4，c 2＝1，b 2＝3，所求曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得AP ·AE ＝AQ ·AF ＝0，于是PE ·QF ＝(AE －AP )·(AF －AQ )＝AE ·AF ＋AP ·AQ .①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，此时可不妨取P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32，E (2,0)，F (－2,0)，所以PE ·QF ＝⎝⎛⎭⎫1，－32·⎝⎛⎭⎫－3，32＝－3－94＝－214. ②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE ·QF ＝－214. ③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，AP ＝(x P －1，y P )，AQ ＝(x Q －1，y Q )，则直线EF 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线PQ 的方程代入曲线C 的方程，并整理得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x P ＋x Q ＝8k 23＋4k 2，x P ·x Q ＝4k 2－123＋4k 2.于是AP ·AQ ＝(x P －1)(x Q －1)＋y P ·y Q ＝(1＋k 2)[x P x Q －(x P ＋x Q )＋1] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－9(1＋k 2)3＋4k 2.将上面的k 换成－1k ，可得AE ·AF ＝－9(1＋k 2)4＋3k 2，所以PE ·QF ＝AE ·AF ＋AP ·AQ ＝－9(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫13＋4k 2＋14＋3k 2. 令1＋k 2＝t ，则t >1，于是上式化简整理可得，PE ·QF ＝－9t ⎝⎛⎭⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t 212t 2＋t －1＝－63494－⎝⎛⎭⎫1t －122. 由t >1，得0<1t <1，所以－214<PE ·QF ≤－367.综合①②③可知，PE ·QF 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－214，－367.突破点(三) 圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”圆锥曲线中的几何证明问题[典例] 如图，圆C 与x 轴相切于点T (2,0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .[解] (1)设圆C 的半径为r (r >0)，依题意，圆心C 的坐标为(2，r )． ∵|MN |＝3，∴r 2＝⎝⎛⎭⎫322＋22，解得r 2＝254. ∴r ＝52，圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254. (2)证明：把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0,1)，N (0,4)． ①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2. ∴k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)x 1x 2.若k AN ＋k BN ＝0，则∠ANM ＝∠BNM . ∵2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝－12k 1＋2k 2＋12k1＋2k 2＝0， ∴∠ANM ＝∠BNM .1．设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB ⊥BC ，AD ∥OC ，连接AC 交DE 于点P ，求证：PD ＝PE .解析：(1)由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ，因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)，因为AB ⊥BC ，所以可设C (2，y 1)，所以AD ＝(x 0＋2，y 0)，OC ＝(2，y 1)，由AD ∥OC 可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2.所以直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24. 整理得：y ＝y 02(x 0＋2)(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，所以PD ＝PE .2．已知点A (－4,0)，直线l ：x ＝－1与x 轴交于点B ，动点M 到A ，B 两点的距离之比为2.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设C 与x 轴交于E ，F 两点，P 是直线l 上一点，且点P 不在C 上，直线PE ，PF 分别与C 交于另一点S ，T ，证明：A ，S ，T 三点共线．解析：(1)设点M (x ，y )，依题意，|MA ||MB |＝(x ＋4)2＋y 2(x ＋1)2＋y 2＝2，化简得x 2＋y 2＝4，即轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)证明：由(1)知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，令y ＝0得x ＝±2，不妨设E (－2，0)，F (2,0)，如图所示．设P (－1，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则直线PE 的方程为y ＝y 0(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0(x ＋2)，x 2＋y 2＝4得(y 20＋1)x 2＋4y 20x ＋4y 20－4＝0，所以－2x 1＝4y 20－4y 20＋1，即x 1＝2－2y 20y 20＋1，y 1＝4y 0y 20＋1.直线PF 的方程为y ＝－y 03(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－y 03(x －2)，x 2＋y 2＝4得(y 20＋9)x 2－4y 20x ＋4y 20－36＝0，所以2x 2＝4y 20－36y 20＋9，即x 2＝2y 20－18y 20＋9，y 2＝12y 0y 20＋9.所以k AS ＝y 1x 1＋4＝4y 0y 20＋12－2y 20y 20＋1＋4＝2y 0y 20＋3， k AT ＝y 2x 2＋4＝12y 0y 20＋92y 20－18y 20＋9＋4＝2y 0y 20＋3，所以k AS ＝k AT ，所以A ，S ，T 三点共线．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.[课时达标检测] 难点增分课时——设计3级训练，考生据自身能力而选一、全员必做题1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎫1，22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且2F A ＝λ2F B ，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．解析：(1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2，故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0， Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2.QC ＝QA ＋QB ＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2，－2k k 2＋2，∴|QC |2＝|QA ＋QB |2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2，由此可知，|QC |2的大小与k 2的取值有关．由2F A ＝λ2F B 可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得⎝⎛⎭⎫λ＋1λ∈⎣⎡⎦⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27. 令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎡⎦⎤716，12，∴|QC |2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝⎛⎭⎫t －742－172， ∴当t ＝12时，|QC |min ＝2.2.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解析：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E ：y2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为 y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y2＝4x ，得2x2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G(－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4 217 .又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离 d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r.这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．解析：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0，知S ＝12×1×|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，令k 2＋3＝t ，知t ≥3， ∴S ＝21t ＋1t＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t＋2≤316，∴0<S ≤32. 故△OAB 面积的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，32. 二、重点选做题1．过离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，设|F A |＝λ|FB |，T (2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若1≤λ≤2，求△ABT 中AB 边上中线长的取值范围．解析：(1)∵e ＝22，c ＝1，∴a ＝2，b ＝1，即椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立． ②设直线l ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，x ＝my ＋1得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，由|F A |＝λ|FB |，得y 1＝－λy 2， ∵－λ＋1－λ＝y 1y 2＋y 2y 1，∴－λ＋1－λ＋2＝(y 1＋y 2)2y 1y 2＝－4m 2m 2＋2，∴m 2≤27，又∵AB 边上的中线长为12 |TA ＋TB |＝12(x 1＋x 2－4)2＋(y 1＋y 2)2＝4m 4＋9m 2＋4(m 2＋2)2＝ 2(m 2＋2)2－7m 2＋2＋4∈⎣⎡⎦⎤1，13216.2．如图所示，已知直线l 过点M (4,0)且与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A ，B 两点，以弦AB 为直径的圆恒过坐标原点O .(1)求抛物线的标准方程；(2)设Q 是直线x ＝－4上任意一点，求证：直线QA ，QM ，QB 的斜率依次成等差数列．解析：(1)设直线l 的方程为x ＝ky ＋4，代入y 2＝2px 得y 2－2kpy －8p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝2kp ，y 1y 2＝－8p ，而AB 为直径，O 为圆上一点，所以OA ·OB ＝0，故0＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋4)(ky 2＋4)－8p ＝k 2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)＋16－8p ，即0＝－8k 2p ＋8k 2p ＋16－8p ，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设Q (－4，t )由(1)知y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32.因为k QA ＝y 1－t x 1＋4＝y 1－t y 214＋4＝4(y 1－t )y 21＋16，k QB ＝y 2－t x 2＋4＝y 2－t y 224＋4＝4(y 2－t )y 22＋16，k QM ＝t －8，所以k QA ＋k QB ＝4(y 1－t )y 21＋16＋4(y 2－t )y 22＋16＝4×(y 1－t )(y 22＋16)＋(y 2－t )(y 21＋16)(y 21＋16)(y 22＋16)＝4×y 1y 22＋16y 1－ty 22－16t ＋y 2y 21＋16y 2－ty 21－16t y 21y 22＋16(y 21＋y 22)＋16×16＝－t (y 21＋y 22)－32t 8×16＋4(y 21＋y 22)＝－t (16k 2＋32)－32t 8×16＋4(16k 2＋32) ＝－t 4＝2k QM . 所以直线QA ，QM ，QB 的斜率依次成等差数列．三、冲刺满分题1.已知椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率为32，与坐标轴不垂直且不过原点的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B (如图所示)，过AB 的中点M 作垂直于l 1的直线l 2，设l 2与椭圆C 相交于不同的两点C ，D ，且CN ＝12CD . (1)求椭圆C 的方程；(2)设原点O 到直线l 1的距离为d ，求d |MN |的最大值．解析：(1)依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l 1：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.故M ⎝⎛⎭⎫－4mk 1＋4k 2，m 1＋4k 2. l 2：y －m 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋4mk 1＋4k 2，即y ＝－1k x －3m 1＋4k 2.由⎩⎨⎧ y ＝－1k x －3m 1＋4k 2，x 24＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫1＋4k 2x 2＋24m k (1＋4k 2)x ＋36m 2(1＋4k 2)2－4＝0，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝－24mk (1＋4k 2)(k 2＋4)，故N ⎝⎛⎭⎫－12mk (1＋4k 2)(k 2＋4)，－3mk 2(1＋4k 2)(k 2＋4). 故|MN |＝|x M －x N | 1＋1k 2＝4|m |(k 2＋1)k 2＋1(1＋4k 2)(k 2＋4). 又d ＝|m |1＋k 2，所以d |MN |＝(1＋4k 2)(k 2＋4)4(k 2＋1)2. 令t ＝k 2＋1(t >1)，则d |MN |＝4t 2＋9t －94t 2＝－94t 2＋94t ＋1＝－94⎝⎛⎭⎫1t －122＋2516≤2516(当且仅当t ＝2时取等号)，所以d |MN |的最大值为2516. 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线P A 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解析：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5. 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16.所以椭圆的方程为x 225＋y 216＝1. (2)法一：由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a 2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，因为2F A ＝(x 1－3，y 1)，2F B ＝(x 2－3，y 2)，所以2F A ·2F B ＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a 2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12(a 2＝6舍去)，所以离心率e ＝32.(若设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)相应给分) 法二：设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2互相平分且共圆，所以AB ，F 1F 2是圆的直径，所以x 21＋y 21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得：⎩⎨⎧ x 21＋y 21＝9，y 1＝24x 1，x 21a 2＋y 21b 2＝1.由前两个方程解得x 21＝8，y 21＝1，将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9，解得a 2＝12，故e ＝32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝⎛⎭⎫1－x 2012－3⎝⎛⎭⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14，即k 2＝－14k 1，由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14. 即直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝⎛⎭⎫18，14.。

圆锥曲线最值问题

圆锥曲线的最值问题是数学中常见的问题，通常涉及到圆锥曲线的参数方程、导数、不等式等知识。

以下是一些常见的圆锥曲线最值问题的求解方法：
1. 参数方程法：对于一些给定圆锥曲线上的点，通过参数方程表示该点的坐标，然后利用函数的导数或不等式等方法求解该点的最值。

2. 导数法：对于一些给定圆锥曲线上的点，通过求出该点处的切线方程，然后利用切线方程的斜率或截距等信息求解该点的最值。

3. 不等式法：对于一些给定圆锥曲线上的点，通过列出该点处的不等式，然后利用不等式的性质求解该点的最值。

4. 几何法：对于一些给定圆锥曲线上的点，通过利用圆锥曲线的几何性质，如焦点、准线、渐近线等，求解该点的最值。

需要注意的是，不同的圆锥曲线最值问题可能需要不同的求解方法，需要根据具体情况选择合适的方法。

同时，求解圆锥曲线最值问题需要具备一定的数学基础和解题能力，需要认真学习和掌握相关知识。

圆锥曲线中距离的最值问题

圆锥曲线中距离的最值问题沙洋中学仙梅一．求圆锥曲线上一点到对称轴上一定点的距离的最值例1：已知椭圆24x+y2=1，点A（12，0），点P是椭圆上任意一点，求|PA|的最值。

变式1：已知椭圆221169y x，点A（0 ，2），点P是椭圆上任意一点，求|PA|的最值。

变式2：已知双曲线 221169y x ，点A （0 ，2），点P 是双曲线上任意一点，求|PA|的最值。

变式3：已知抛物线24yx ，点A （ 12，0），点P 是抛物线上任意一点，求|PA|的最值。

变式4：已知椭圆24x+y2=1和圆22(4)1x y各有一点A、B，求AB的最大值。

变式5：已知椭圆210x+y2=1和圆22(3)5x y各有一点A、B，求AB的最大值。

二．求圆锥曲线上一点P到定直线的距离的最值例2：已知椭圆C：22194x y，直线l：x+2y+18=0。

（1）在椭圆上求一点P1，使点P1到直线l的距离最近，并求出最近距离。

（2）在椭圆上求一点P2，使点P2到直线l的距离最远，并求出最远距离。

变式1：已知椭圆C：221916x y，直线l：x-y-24=0。

（1）在椭圆上求一点P1，使点P1到直线l的距离最近，并求出最近距离。

（2）在椭圆上求一点P2，使点P2到直线l的距离最远，并求出最远距离。

变式2：已知抛物线C ：24x y ，直线l ：20x y 。

在抛物线求一点P ，使点P 到直线l 的距离最近，并求出最近距离。

三．利用第一定义求最值例3：设F 1、 F 2分别是椭圆C ：22143x y 的左右焦点，P 为椭圆上一点，M 为圆（x-4)2+(y-3)2=1上一点，则|PM|+|PF 1|的最大值等于___________，最小值等于__________变式1：已知直线l 经过抛物线C ：24y x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点。

（1）若AF =4，求点A 的坐标；（2）求线段AB 的长的最小值。

圆锥曲线的最值问题常见类型及解法

例1：在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。
略解：
圆心到直线L的距离d1=
所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r
问题：直线L的方程改为 3x-2y-6=0，其结果又如何？
16 32 22
16 13 13
16 13 2 13
思考：例1是否还有其他解题方法？
∵ |AF’|=
[1（4） ]2 1 26
∴ |MF|+|MA| 的最大值为问题：本题解题到此结束了吗？
10 26
最小值为
10 26
变式训练：
1 . 已知P点为抛物线
上的点，那么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点的距
离之和的最小值为 _ __，此时P点坐标为
y_. 2 4 x
y
x Q
3
，面积为
的等腰梯形. （1）求椭圆的方程; （2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求
33
F2AB面积的最大值.
练习、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线两点，求四边形AEBF面积的最大值.
ykx (k0)
y
与椭圆交于E、F
思维导图：用k表示四边形的面积
B F
yx2 3
解：设椭圆与
平y行的切x线方程2为 3
y xb
y xb
x2 2
y2
1
3x2 4bx2b2 20 (1) (4b)2 43(2b2 2) 0
b 3
1)当b
3时,代入(1)得dmin
6; 2
2)当b
3时,代入(1)得dmax
3 6. 2
变式训练：