《变化率与导数》PPT课件
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高中数学选修1课件:3.1.1变化率与导数
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r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
V2 V1
x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化,
从 x 经过 △x , 量 f 的改变量为
f f (x x) f (x)
量 f 的平均变化率为
f f (x x) f (x)
x
x
令 x 0,则得到f 在x 的(瞬时)变化率:
t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中 药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率. (数形结合,以直代曲)
以简单对象刻画复杂的对象
t
0.2
药物浓度的 瞬时变化率
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
v s 2g 1 gt
t
2
(1) 将 t=0.1代入上式,得
O s(2)
v 2.05g 20.09(m / s) (2) 将 t=0.01代入上式,得
s(2+t) s
v 2.005g 19.65(m / s)
( 3) 当t 0,2 t 2
平均速度 v 的极限为:
x0
x
T
P
f (x 0 )
o
x0
x 即 kPT tan f (x 0 )
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 )在几何上表示 曲线y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率。
曲线y f (x)在点M (x0 , f (x0 ))处
的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )
0.01 -13.149
2022-2023学年人教A版选择性必修第二册 5-1-1 变化率问题与导数的概念 课件(31张)

3.在 f′(x0)=lim Δx→0
fx0+ΔΔxx-fx0中,Δx 不可能为(
C
)
A.大于 0 B.小于 0
C.等于 0 D.大于 0 或小于 0
强研习·重点难点要突破
研习 1 函数的平均变化率
[典例 1] (1)函数 y=1x从 x=1 到 x=2 的平均变化率为( B )
A.-1
B.-12
C.-2
D.2
(2)已知函数 y=3x-x2 在 x0=2 处的增量为 Δx=0.1,则ΔΔxy的值为( B )
A.-0.11
B.-1.1
C.3.89
D.0.29
(1) [解析] 平均变化率为ΔΔxy=122- -11=-12. (2) [解析] ∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11, ∴ΔΔyx=-00.1.11=-1.1.
研习 2 求瞬时速度 [典例 2] 一个做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)=3t-t2. (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在 t=2 时的瞬时速度.
[解] (1)当 t=0 时的速度为初速度. 在 0 时刻取一时间段[0,0+Δt],即[0,Δt], ∴Δs=s(Δt)-s(0)=[3Δt-(Δt)2]-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2, ΔΔst=3Δt-ΔtΔt2=3-Δt, Δlit→m0ΔΔst=Δlit→m0(3-Δt)=3. ∴物体的初速度为 3.
时速度,即瞬时速度 v=lim Δt→0
ΔΔst=Δlit→ m0
st0+ΔΔtt-st0.
知识点 2 函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),设自变量 x 从 x0 变化到 x0+Δx,相应地,函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0+Δx).这时,x 的变化量为 Δx,y 的变化量为 Δy=___f_(x_0_+__Δ_x_)_-__f(_x_0_) __.我们把比值ΔΔyx, 即ΔΔyx=f__x0_+__Δ_Δx_x_-__f_x_0__叫做函数 y=f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率.
2014年人教A版选修1-1课件 3.1 变化率与导数
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x
练习: (补充) 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后 的时间 t (s) 存在函数关系 h(t) 4.9t2+6.5t+10. 求以 下时间段的函数增量 △h 和自变量增量 △t, 并求出 该段的平均变化率, 解释其物理意义. (1) 0 t 65 ; (2) 0 t 65 ; (3) 65 t 65 . 98 49 49 98 解: (1) h h( 65 ) h(0) 49 65 65 2 4.9 ( ) + 6.5 + 10 (4.9 02 + 6.5 0 + 10) 49 49 0. h 0 0. 实际是 65 65 t 0 . t 65 这样吗? 49 49 49 65 ]这时段的平均速度为 0. 计算得 t 在 [0, 49
练习: (补充) 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后 的时间 t (s) 存在函数关系 h(t) 4.9t2+6.5t+10. 求以 下时间段的函数增量 △h 和自变量增量 △t, 并求出 该段的平均变化率, 解释其物理意义. (1) 0 t 65 ; (2) 0 t 65 ; (3) 65 t 65 . 98 49 49 98 解: (3) h h( 65 ) h( 65 ) 49 98 65 65 65 65 2 2 4.9 ( ) + 6.5 + 10 (4.9 ( ) + 6.5 + 10) 49 49 98 98 13 65 13 65 . h 4 98 4 98 13 . t 65 4 65 65 65 t . 98 49 98 98 这时段的平均速度为负, 速度是向下的.
人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件

问题二:高台跳水
在高台跳水运动中,运动 员相对于水面的高度h(单位: m)与起跳后的时间t(单位:s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态,那么:
(1)在0t0.5 这段时间里,V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大 约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候 直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里, V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间是静止的吗?
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中,运动 员相对于水面的高度h(单位: m)与起跳后的时间t(单位:s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态,那么:
(1)在0t0.5 这段时间里,V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大 约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候 直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里, V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
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人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间是静止的吗?
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念

§1.1
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域(物理、化学、力学、技术)中的研究活动联 系起来,并由实际需要提出了许多数学问题。历史上,导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一:求曲线的切线
问题,这是一个非常古老的问题,可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德(Archimedes,287-212B.C);第二:求非 均速运动的速度,它最早由开普勒(kepler:1571-1630),伽 利略(Galileo:1564—1642),牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来.
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4)物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢?
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域(物理、化学、力学、技术)中的研究活动联 系起来,并由实际需要提出了许多数学问题。历史上,导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一:求曲线的切线
问题,这是一个非常古老的问题,可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德(Archimedes,287-212B.C);第二:求非 均速运动的速度,它最早由开普勒(kepler:1571-1630),伽 利略(Galileo:1564—1642),牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来.
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4)物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢?
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
高中数学北师大版选修1-1课件:第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义

例2 已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求:
(1)点A处的切线的斜率;
解
lim
Δx→0
ΔΔyx=Δlixm→0
21+Δx2-2×12 Δx
4Δx+2Δx2
= lim Δx→0
Δx
=lim (4+2Δx)=4, Δx→0
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程.
解 点A处的切线方程是y-2=4(x-1),
得a=-7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来,根据图像中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导,其部分图像如图所示,设 f2-f1= 2-1
a,则下列不等式正确的是 A.f′(1)<f′(2)<a
√B.f′(1)<a<f′(2)
C.f′(2)<f′(1)<a
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0,y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0. (5)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将x0代入求y0,得切点坐标.
跟踪训练3 已知直线l:y=4x+a与曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的 值及切点坐标.
D.a<f′(1)<f′(2)
解析 由图像可知,在(0,+∞)上,函数f(x)为增函数,且曲线切线的斜率越
来越大,
f2-f1
∵
=a,∴易知 f′(1)<a<f′(2).
2-1
(2)曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x=a围成的三角形的面积 为 16,则a=__±_1__.
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1

x
【解析】(1)自变量x从1变到2时,函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2,故增量之比是2.
答案:2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案:2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1,x2]上的“峻峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]
上越“峻峭”,反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗? 举例说明. 提示:可以是零,如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数,且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存,在比,值则xyf的 (x极)在限点存x在0处,不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导;
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值,x1取不同的数值时,函数的平均变化率也是不同的.
特别地,当函数f(x)为常数函数时,Δy=0,则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1,x2]上峻峭程度的“数量化”,曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1,
【解析】(1)自变量x从1变到2时,函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2,故增量之比是2.
答案:2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案:2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1,x2]上的“峻峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]
上越“峻峭”,反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗? 举例说明. 提示:可以是零,如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数,且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存,在比,值则xyf的 (x极)在限点存x在0处,不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导;
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值,x1取不同的数值时,函数的平均变化率也是不同的.
特别地,当函数f(x)为常数函数时,Δy=0,则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1,x2]上峻峭程度的“数量化”,曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1,
变化率与导数的概念、导数的运算
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03 高阶导数及其应用
高阶导数的定义与计算
高阶导数的定义
函数一阶导数的导数称为二阶导数,二阶导 数的导数称为三阶导数,以此类推,n-1阶 导数的导数称为n阶导数。
高阶导数的计算
高阶导数的计算可以通过连续求导得到,每 求一次导,阶数增加一阶。对于常见的基本 初等函数,其高阶导数有特定的公式或规律 可循。
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。当函数在某一点处的导数大于0时,表示函数在该点处单调增加; 当导数小于0时,表示函数在该点处单调减少;当导数等于0时,表示函数在该点处可能达到极值点或拐点。
可导与连续的关系
可导必连续
如果一个函数在某一点处可导,则该函数在该点处必定连续。这是因为可导的定义中已经包含了函数 在该点处的极限存在且等于函数值这一条件。
成本最小化
企业在给定产量下追求成本最小化时,需要找到使得边际 成本等于平均成本的产量,即求解成本函数的一阶导数等 于零的点。
效用最大化
消费者追求效用最,即求解效用函数的一阶导数等于 零的点。
05 导数在工程学中的应用
曲线拟合与最小二乘法中的导数应用
工程优化问题中的导数应用
优化算法
在工程设计和制造过程中,经常需要解决各种优化问 题,如最小化成本、最大化效率等。导数在这些优化 算法中发挥着重要作用,它们被用来计算目标函数的 梯度或方向导数,以确定搜索方向或步长。
敏感性分析
在工程经济学中,敏感性分析是一种评估项目风险的 方法。它通过计算项目效益指标(如净现值、内部收 益率等)对于各个不确定因素的导数或偏导数,来量 化各因素对项目效益的影响程度。
变化率与导数的概念、导数的运算
目 录
• 变化率与导数的基本概念 • 导数的运算规则 • 高阶导数及其应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程学中的应用 • 数值计算中的导数逼近方法
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念 课件

f 解: (1) 4 表示该工人工作1h的时候,其生产速 度(即工作效率)为4kg/h,也就是说,如果保持 这一生产速度,那么他每时可以生产4kg的食品。
表示该工人上班后工作3h的时候,其生 产速度为3.5kg/h,也就是说,如果保持这一生产 速度,那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。
或 y | x x0, 即
f ( x0 )
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f lim . 3. 求值 f ( x0 ) x0 x
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
2
求:从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
h v t h(2 t ) h(2) 13.1 4.9t t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
f 解: (10) 1.5 表示服药后10min时,血液中药物 的质量浓度上升的速度为1.5μ g/(mL· min)。 也就是说,如果保持这一速度,每经过1min, 血液中药物的质量浓度将上升1.5μ g/(mL· min)。
高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修220831288

1.函数的平均(píngjūn)变化率
函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均(píngjūn)变化率
(1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为f(x2).
记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1).
( )-(1 )
(2)结论:商 2 -
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
瞬时变化率
【例2】 已知s(t)= gt1 2,其中g=10 m/s2.
2
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
分析:函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度.
(2)由时间改变量Δt确定位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(3)求平均速度 =
Δ
;
Δ
(4)运用逼近思想求瞬时速度:当 Δt 趋于 0
第十三页,共23页。
Δ
时, 趋于
Δ
v(常数).
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
变式训练2以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t1
解:(1)Δt=3.1-3=0.1 (s),Δt指时间改变量,
1
1
2
Δs=s(3.1)-s(3)=2·g·(3.1) -2·g·32=3.05(m),Δs
Δ
3.05
1 = =
=30.5(m/s).
Δ
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选

提示:在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0- 或- xf )′- x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x-x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1,l2的方程. (2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标,利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求出 两直线的方程;(2)解方程组求出两直线的交点坐标, 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1,即切点
P(1,1).
因为f′(1)=
limy= lim(1x)313
x x 0
x 0
x
= lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3,
37
所以切线方程为y-1=3(x-1), 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算,一般要根据导数的定义求出函数的导数, 即所求切线的斜率,然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题,只要求出切线方程与两坐标轴的交点,即可计 算.
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的计算 课件

y 0, x y ' ' f ( x) C l i m 0. x 0 x
2013-4-1
C C 0
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解:根据导数定义, y f ( x x ) f ( x ) x x x x ,
y f ( x) l i m l i m1 x 0 x x 0 1
5
2013-4-1
(2)下列各式正确的是( D )
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .( 3 )' 3 x
x a
D .( 3 )' 3 ln 3
x x
2013-4-1
3.填空
0 (1) f(x)=80,则f '(x)=______;
(3) cost ;
(4) -sin .
3 ( 5) 4 ; x
2013-4-1
1 ( 6) 3 2 . 3 x
2.选择题
(1)下列各式正确的是(
C)
A.(sin )' cos (为常数) B . cos x )' sin x ( C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
' '
2013-4-1
y o
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y f ( x ) 2 lim lim0 0. x0 x x0
(2) 求函数f(x)=0的导数;
0
(3) 求函数f(x)=-2的导数.
0
2013-4-1
公式1 C 0 (C为常数).
《变化率和导数》课件

变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式 进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量 的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念,将自变量趋近于 某一点时函数值的变化量与自变量 的变化量的比值定义为该点的变化 率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率,加速度 是速度随时间的变化率。
,从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如,需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系,从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中,最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零,我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随 自变量变化的速率,是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点 的切线斜率,是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导 数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率, 可以用于研究函数的单 调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用,如经济学 、生物学、物理学等。例如,边际分析、速 度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展,导数作为数学的一个 重要分支,将会在理论和应用方面得到更深 入的研究。例如,在人工智能、大数据分析 等领域,导数将发挥更大的作用。同时,随 着数学与其他学科的交叉融合,导数将会在 解决实际问题中发挥更加重要的作用。
《变化率与导数》课件

五、总结
• 变化率与导数的联系与区别 • 导数的应用价值 • 学习导数需要注意的问题
六、Q&A
• 提问环节 • 解答环节
七、参考资料
• 经典教材 • 推荐书目 • 相关网站
解析方式的导数是通过公式求 得的导数,几何方式的导数是 通过像图形函数的斜率来求得 的导数。
四、导数的应用
切线和割线
极值点
切线是函数曲线上点的切线,割 线是通过两点间的曲线段值的点,可以通过导数判断。
单调性与凹凸性
函数的单调性描述了函数值的变 化趋势,凹凸性描述了曲线的弯 曲程度。
《变化率与导数》PPT课 件
# 变化率与导数 PPT课件
一、引言
- 变化率的概念:变化率是指某个量在单位时间内的变化量,它反映了事物变 化的快慢和趋势。
- 导数的引入:导数是描述函数变化率的工具,它告诉我们函数在某个点上的 斜率或切线的斜率。
二、函数的变化率
1
平均变化率
平均变化率是函数在某个区间内的平均速度,可以通过两点间的纵坐标差值除以 横坐标差值来计算。
2
瞬时变化率
瞬时变化率是函数在某个点上的瞬时速度,即经过该点的切线的斜率,可以通过 极限的方法计算。
三、导数的定义
函数在一点的导数
导数是函数在某个点上的变化 率,可以通过求斜率的极限来 计算。
左导数和右导数
左导数是函数在某点左侧的变 化率,右导数是函数在某点右 侧的变化率,它们可以不相等。
解析方式的导数与几 何方式的导数
高中数学变化率与导数课件新人教A版选修

(2)函数的导数:是指某 一区间内任一点x 而言的.
(3)函数f ( x)在x0处的导数就是导函数 f '( x) 在x x0处的函数值.
求f(x)在x0处的导数步骤:
(1) 求增量 y f (x0 x) f (x0);
(2) 算比值 y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 令x 0, y lim y . x0 x
3
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V ) 3 3V
4
当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
r(1) r(0) 0.62(dm)
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
r(2) r(1) 0.16(dm)
x2 x1
x
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状 态有什么问题吗?书 3 探究
t
0,
65 49
v0
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 应该用每一时刻的速度来描述运用员的运动状态
瞬时速度
(3)如何求(比如 t=2时的)瞬时速度?P4
瞬时速度
当t 2,t 0时,平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为:
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
说明:
1、 f (x0 ) 反映了函数在 x x0 变化的快慢
2、x x0 时, f (x0 ) 是一个固定的数 3、 x变化时, f (x) 是一个函数,称为
f (x) 的导函数
导数(导函数)与函数 的区别与联系
(1)函数在某一点处的导 数f '( x)是一个定值, 是函数在该点的函数该 变量与自变量该变量 的比值的极限,不是变 量.
(3)函数f ( x)在x0处的导数就是导函数 f '( x) 在x x0处的函数值.
求f(x)在x0处的导数步骤:
(1) 求增量 y f (x0 x) f (x0);
(2) 算比值 y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 令x 0, y lim y . x0 x
3
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V ) 3 3V
4
当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
r(1) r(0) 0.62(dm)
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
r(2) r(1) 0.16(dm)
x2 x1
x
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状 态有什么问题吗?书 3 探究
t
0,
65 49
v0
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 应该用每一时刻的速度来描述运用员的运动状态
瞬时速度
(3)如何求(比如 t=2时的)瞬时速度?P4
瞬时速度
当t 2,t 0时,平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为:
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
说明:
1、 f (x0 ) 反映了函数在 x x0 变化的快慢
2、x x0 时, f (x0 ) 是一个固定的数 3、 x变化时, f (x) 是一个函数,称为
f (x) 的导函数
导数(导函数)与函数 的区别与联系
(1)函数在某一点处的导 数f '( x)是一个定值, 是函数在该点的函数该 变量与自变量该变量 的比值的极限,不是变 量.
《平均变化率与导数》课件

平均变化率可以用来估计函数在某一 点处的导数,即当时间间隔趋近于0时 ,平均变化率的极限值即为该点的导 数值。
02
导数
导数的定义
瞬时速度
导数被定义为函数在某一点处的切线的斜率,即 函数在该点的瞬时变化率。
几何意义
在几何上,导数表示曲线在某一点处的切线的斜 率。
函数变化
导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况, 反映了函数在该点的变化趋势。
对于参数方程$x = x(t), y = y(t)$, 其导数为$frac{dy}{dx} = frac{y'(t)}{x'(t)}$。
05
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
通过导数的符号,判断函数在某区间内的单调性。
详细描述
导数在某区间内的符号决定了函数在该区间内的单调性。如果导数大于0,则函数在该区间内单调递 增;如果导数小于0,则函数在该区间内单调递减。因此,利用导数可以方便地研究函数的单调性。
反函数求导法则
03
对于反函数$y = f^{-1}(x)$,其导数为$(f^{-1})' = frac{1}{f'}$
。
隐函数的导数计算
对数求导法则
对于隐函数$y = f(x)$满足$e^y = f(x)$,其导数为$frac{dy}{dx} = frac{f'(x)}{f(x)}$。
参数方程求导法则
详细描述
在解决实际问题时,如最优化问题、经济问 题等,可以利用导数来求解最优解。通过建 立数学模型,将实际问题转化为求函数的最 值问题,然后利用导数求出最优解,为实际 问题的解决提供理论支持。
THANKS
感谢观看
当自变量改变量趋于0时,平均变化率趋于导数,即导数是平 均变化率的极限形式。
02
导数
导数的定义
瞬时速度
导数被定义为函数在某一点处的切线的斜率,即 函数在该点的瞬时变化率。
几何意义
在几何上,导数表示曲线在某一点处的切线的斜 率。
函数变化
导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况, 反映了函数在该点的变化趋势。
对于参数方程$x = x(t), y = y(t)$, 其导数为$frac{dy}{dx} = frac{y'(t)}{x'(t)}$。
05
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
通过导数的符号,判断函数在某区间内的单调性。
详细描述
导数在某区间内的符号决定了函数在该区间内的单调性。如果导数大于0,则函数在该区间内单调递 增;如果导数小于0,则函数在该区间内单调递减。因此,利用导数可以方便地研究函数的单调性。
反函数求导法则
03
对于反函数$y = f^{-1}(x)$,其导数为$(f^{-1})' = frac{1}{f'}$
。
隐函数的导数计算
对数求导法则
对于隐函数$y = f(x)$满足$e^y = f(x)$,其导数为$frac{dy}{dx} = frac{f'(x)}{f(x)}$。
参数方程求导法则
详细描述
在解决实际问题时,如最优化问题、经济问 题等,可以利用导数来求解最优解。通过建 立数学模型,将实际问题转化为求函数的最 值问题,然后利用导数求出最优解,为实际 问题的解决提供理论支持。
THANKS
感谢观看
当自变量改变量趋于0时,平均变化率趋于导数,即导数是平 均变化率的极限形式。