行列式计算方法总结(12.15)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
加到第2,3, n 行对应元素上去，这样 就把第一列a11以下的元素全化为零. 再逐次用类似的方法把主对角线以下 (以上)的元素全部化为零. （3）利用三角行列式求值.
【说明】
在上述变换过程中，主对角线上
元素aii (i 1,2, , n) 不能为零若，出现零，
可通过行(列)变换使得主对角线上不为 零.
）
1 2 5 4
A. A31 A32 A33
A
B. A31 2A32 5A33 4A34
C. A23 A33 2A43 D. (1)14 M14 (1)24 M 24 (1)34 M 34 (1)44 A44
例3
1 012
已知 D 1
1
0
3 ,
1 110
1 x 5 4
注意区分余 子式与代数
2 1 2 1
0 4 31
0 110
0110
2
3
1
0
(4) 8(2)
2
3
1
0
(2) (4)
0
0
1 4
1 3
0 (3) 4(2) 0
1
Biblioteka Baidu
0
110
0 1 1
0 8 3 1
23 1 0
0 0 5 1
(4) 5(3)
01 1 0
8
0 0 1 1
00 0 4
(二)、利用“降阶法”计算行列式
所谓降阶法就是应用行列式按行(列) 展开定理，把高阶行列式的计算转化为
a31 a32 a33
元素为数值 行列式计算
二、三阶公式
利用性质化简
基本运算化简 观察特点化简
元素为字母
利用性质观察化简
小结
计算行列式常用方法： (1)对角线法（二、三阶）; (2)化三角行列式法； (3)降阶（按行列展开法，选0元较多的）； （4）拆行列式； （5）各行（列）求和（适用类型？）； （6）利用性质化简其他形式．
低阶行列式的计算。
方法：
先结合行列式的性质，把行列式的某 一行(列)的元素尽可能多的转化为零，然 后再展开。这是行列式最常用、最有效 的方法。
行列式展开定理
定理
a11 a12 a1n
n阶行列式 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
等于它的任意一行(列)中所有元素与它
们对应的代数余子式的乘积之和，即
0 2 2 2
0321
10 2 1 0 1 3 2
0 0 8 2 0 0 7 5
8 2
1 (1)
26
7 5
例2
2 310
计算行列式 D 4 2 1 1
2 1 2 1
0 110
2 3 1 0 (3) 1 (1) 2 3 1 0
解：D 4 2 1 1 (2) 2 (1) 0 8 3 1
展开式.
例1
1 0 21
计算行列式 2 1 1 0
1 0 03
1 0 2 1
选零元最多 的行（列）
1
解： 2
0 21
1
1 1 0 (1) (1)22 1
21 03
1 0 03
1 2 1
1 0 2 1
1 21
1 0 3 (1)21 2 1 3(1)23 1 2
21
1 2
1 2 1
12
3
12
1 2
练习
0010
24
计算
0 D
2
0
0 ___________ .
3050
8594
提示：
0010
0200
001
D 3
0
5
0 4 (1)44 0
2
0
8594
305
0 40
0 2
1 0
41 (1)13
0 3
2 0
305
4(6) 24
例2 选择题
1 012
1、D
1 1
1 1
0 1
3 ,
3 41 14 3 D1 5 0 4 4 0 5
17 2 6 6 2 17
3 42 1 42 D2 5 0 4 1 0 4
17 2 5 12 2 5
2 5 7 2 5 7 D3 4 0 11 0 10 25
8 3 6 0 23 34
（2）把第一行分别乘以 a21,a31, ,an1
n
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik (i 1,2, n) k 1
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
n
akj Akj ( j 1,2, n) k 1
其中，Aij是元素D 在aij 中的代数余子 式
称上式为行列式 Dn按第 i行( j列)的
则D=（
0
）
1 2 5 4
A. A31 A32 A33 A34
C
B. A31 2A32 5A33 4A34 C. A13 A33 5A43 D. (1)14 M14 (1)24 M 24 (1)34 M 34 (1)44 A44
1 012
2、D
1 1
1 1
0 1
3
, 0
则D=（
余子式
(1)、若第二行的余子式为：1,3,0,2
(2)、若第二行的代数余子式为： 1,3,0,2
求：D
解：(1)、若第二行代数的余子式为：
1, 3, 0, 2
D (1) (1) 1 3 00 3(2)
2
(2)、D (1) (1) 1 3 00 3(2)
3a12 a32 a22 a32
3a13 a33 a23 a33
a11 3 (1) a31
a21 a31
a12 a32 a22 a32
a13 a33 a23 a33
a11 a12 a13 (3) a31 a32 a33
a21 a22 a23
a11 a12 a13 (3) a21 a22 a23
【说明】
1 1 0 2
0 1 1 2
00 24
00 35
2 1 (1)
4 12
35
例1
1 0 21
计算行列式 D 2 1 1 0
1 2 03
解：
0 3 21
目标：1、最好 首非零元是1
2、最好能化为 三角行列式
(3) 1 (1) 1
0
2
1
(4) 3(2)
D (2) 2 (1) 0 1 3 2 (3) 2(2)
行列式计算方法总结
【练习18】
a11 a12 a13 设行列式 a21 a22 a23
a31 a32 a33
=6，
3a11
则 （
a21 a3a1）31
3a12 a32 a22 a32
3a13 a33 a23 a33
C=
A．－12 B．－ 18 C．18 D．12
3a11 a31 a21 a31
计算行列式的基本方法
(一)、利用“化三角法”计算行列式
1、数字元素行列式化为三角 行列式的方法
（1）先把 a11变换为1或-1. 一般可通过变换行(列)、 1 乘以第1行
a11
或r1 kri (c1 kci )等变换来实现， 要注意保值，同时要避免元素变为分
数，否则将给后面的计算增加困难.
如
【说明】
在上述变换过程中，主对角线上
元素aii (i 1,2, , n) 不能为零若，出现零，
可通过行(列)变换使得主对角线上不为 零.
）
1 2 5 4
A. A31 A32 A33
A
B. A31 2A32 5A33 4A34
C. A23 A33 2A43 D. (1)14 M14 (1)24 M 24 (1)34 M 34 (1)44 A44
例3
1 012
已知 D 1
1
0
3 ,
1 110
1 x 5 4
注意区分余 子式与代数
2 1 2 1
0 4 31
0 110
0110
2
3
1
0
(4) 8(2)
2
3
1
0
(2) (4)
0
0
1 4
1 3
0 (3) 4(2) 0
1
Biblioteka Baidu
0
110
0 1 1
0 8 3 1
23 1 0
0 0 5 1
(4) 5(3)
01 1 0
8
0 0 1 1
00 0 4
(二)、利用“降阶法”计算行列式
所谓降阶法就是应用行列式按行(列) 展开定理，把高阶行列式的计算转化为
a31 a32 a33
元素为数值 行列式计算
二、三阶公式
利用性质化简
基本运算化简 观察特点化简
元素为字母
利用性质观察化简
小结
计算行列式常用方法： (1)对角线法（二、三阶）; (2)化三角行列式法； (3)降阶（按行列展开法，选0元较多的）； （4）拆行列式； （5）各行（列）求和（适用类型？）； （6）利用性质化简其他形式．
低阶行列式的计算。
方法：
先结合行列式的性质，把行列式的某 一行(列)的元素尽可能多的转化为零，然 后再展开。这是行列式最常用、最有效 的方法。
行列式展开定理
定理
a11 a12 a1n
n阶行列式 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
等于它的任意一行(列)中所有元素与它
们对应的代数余子式的乘积之和，即
0 2 2 2
0321
10 2 1 0 1 3 2
0 0 8 2 0 0 7 5
8 2
1 (1)
26
7 5
例2
2 310
计算行列式 D 4 2 1 1
2 1 2 1
0 110
2 3 1 0 (3) 1 (1) 2 3 1 0
解：D 4 2 1 1 (2) 2 (1) 0 8 3 1
展开式.
例1
1 0 21
计算行列式 2 1 1 0
1 0 03
1 0 2 1
选零元最多 的行（列）
1
解： 2
0 21
1
1 1 0 (1) (1)22 1
21 03
1 0 03
1 2 1
1 0 2 1
1 21
1 0 3 (1)21 2 1 3(1)23 1 2
21
1 2
1 2 1
12
3
12
1 2
练习
0010
24
计算
0 D
2
0
0 ___________ .
3050
8594
提示：
0010
0200
001
D 3
0
5
0 4 (1)44 0
2
0
8594
305
0 40
0 2
1 0
41 (1)13
0 3
2 0
305
4(6) 24
例2 选择题
1 012
1、D
1 1
1 1
0 1
3 ,
3 41 14 3 D1 5 0 4 4 0 5
17 2 6 6 2 17
3 42 1 42 D2 5 0 4 1 0 4
17 2 5 12 2 5
2 5 7 2 5 7 D3 4 0 11 0 10 25
8 3 6 0 23 34
（2）把第一行分别乘以 a21,a31, ,an1
n
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik (i 1,2, n) k 1
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
n
akj Akj ( j 1,2, n) k 1
其中，Aij是元素D 在aij 中的代数余子 式
称上式为行列式 Dn按第 i行( j列)的
则D=（
0
）
1 2 5 4
A. A31 A32 A33 A34
C
B. A31 2A32 5A33 4A34 C. A13 A33 5A43 D. (1)14 M14 (1)24 M 24 (1)34 M 34 (1)44 A44
1 012
2、D
1 1
1 1
0 1
3
, 0
则D=（
余子式
(1)、若第二行的余子式为：1,3,0,2
(2)、若第二行的代数余子式为： 1,3,0,2
求：D
解：(1)、若第二行代数的余子式为：
1, 3, 0, 2
D (1) (1) 1 3 00 3(2)
2
(2)、D (1) (1) 1 3 00 3(2)
3a12 a32 a22 a32
3a13 a33 a23 a33
a11 3 (1) a31
a21 a31
a12 a32 a22 a32
a13 a33 a23 a33
a11 a12 a13 (3) a31 a32 a33
a21 a22 a23
a11 a12 a13 (3) a21 a22 a23
【说明】
1 1 0 2
0 1 1 2
00 24
00 35
2 1 (1)
4 12
35
例1
1 0 21
计算行列式 D 2 1 1 0
1 2 03
解：
0 3 21
目标：1、最好 首非零元是1
2、最好能化为 三角行列式
(3) 1 (1) 1
0
2
1
(4) 3(2)
D (2) 2 (1) 0 1 3 2 (3) 2(2)
行列式计算方法总结
【练习18】
a11 a12 a13 设行列式 a21 a22 a23
a31 a32 a33
=6，
3a11
则 （
a21 a3a1）31
3a12 a32 a22 a32
3a13 a33 a23 a33
C=
A．－12 B．－ 18 C．18 D．12
3a11 a31 a21 a31
计算行列式的基本方法
(一)、利用“化三角法”计算行列式
1、数字元素行列式化为三角 行列式的方法
（1）先把 a11变换为1或-1. 一般可通过变换行(列)、 1 乘以第1行
a11
或r1 kri (c1 kci )等变换来实现， 要注意保值，同时要避免元素变为分
数，否则将给后面的计算增加困难.
如