点到直线的距离公式

§7向量应用举例

7．1点到直线的距离公式

7．2向量的应用举例

[学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．

[知识链接]

1．向量可以解决哪些常见的几何问题

答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系．

(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．

2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的

答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

[预习导引]

1．直线的法向量

(1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)．

(2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．

2．点到直线的距离公式

设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝

|Ax0＋By0＋C|

A2＋B2

.

3．向量方法在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.

(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝

a·b

|a||b|

＝

x1x2＋y1y2

x21＋y21x22＋y22

.

(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝x2＋y2. 4．向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是向量． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成． (3)动量m v 是数乘向量．

(4)功即是力F 与所产生位移s 的数量积．

要点一 直线法向量(或方向向量)的应用

例1 已知△ABC 的三顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点．

(1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；

(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．

解 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)．设点M (x ，y )是直线DE 上任一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)，∴(－2)×(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．

同理可求，直线EF 、FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.

(2)设点N (x ，y )是CH 所在的直线上任一点，则CN →⊥AB →，CN →·AB →＝0，CN →＝(x ＋6，y －2)，AB

→＝(4,4)，∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 所在的直线方程．

规律方法 对于解析几何中的有关直线平行与垂直问题，常常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样一来将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决． 跟踪演练1 求点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离．

解 方法一 取直线l 的一个法向量为n ＝(2,1)，

在直线l 上任取一点P (5,0)，∴PP →0＝(－6,2)，

∴点到直线l 的距离d 就是PP →0在法向量n 上的射影．

设PP →0与n 的夹角为θ.

∴d ＝|PP →0||cos θ|＝|PP →

0|·|PP →0·n ||PP →0|·|n | ＝|PP →0·n||n |＝⎪

⎪⎪⎪⎪⎪－12＋25＝2 5. 故点P 0到直线l 的距离为2 5.

方法二 由点到直线的距离公式得

d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|2×－1＋1×2－10|5

＝2 5.

要点二 向量在平面几何中的应用

例2 如图，已知Rt△OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，M 在OB 上，且OM ＝1，N 在OA 上，且ON ＝1，P 为AM 与BN 的交点，求∠MPN .

解 设OA →＝a ，OB →＝b ，且AM →，BN →的夹角为θ，则OM →＝12b ，ON →＝13

a ， 又∵AM →＝OM →－OA →＝12

b －a ，BN →＝ON →－OB →＝13

a －

b ， ∴AM →·BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫13a －b ＝－5， |AM →|＝10，|BN →|＝5，

∴cos θ＝－5

5·10＝－22， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4

， 又∵∠MPN 即为向量AM →，BN →的夹角，

∴∠MPN ＝3π4

. 规律方法 (1)本题可以选择OA →，OB →作为基向量，这是两个互相垂直的向量，选用这组特殊的

基向量可以简化运算．

(2)本题也可以建立平面直角坐标系进行求解．把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角问题是平面向量的工具性体现之一，转化时一定要注意向量的方向．

跟踪演练2 已知△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝4，AC ＝3，求BC 的长．

解 以A 为原点建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4cos 60°，4sin 60°)，C (3,0)，

∴AC →＝(3,0)，AB →＝(2，23)，

∵BC →＝AC →－AB →＝(1，－23)，

∴|BC →|＝1＋()－232

＝13. 要点三 利用向量解决物理中的问题

例3 在风速为75(6－2) km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．

解 设向量a 表示风速，b 表示无风时飞机的航行速度，c 表示有风时飞机的航行速度，则c ＝a ＋b .