点到直线的距离公式
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式在几何学中，点到直线的距离公式是指计算一个点到一个给定直线的最短距离的方法。
这个公式在数学和工程领域被广泛应用，十分重要。
本文将介绍点到直线的距离公式的来源、推导和应用。
一、距离公式的来源点到直线的距离公式来源于勾股定理和向量的性质。
在平面直角坐标系中，设点P的坐标为(x1, y1)，直线L的方程为Ax + By + C = 0，那么点P到直线L的距离可以用以下公式计算：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)其中，|Ax1 + By1 + C|表示点P到直线L的有向距离，d表示点P到直线L的距离。
二、距离公式的推导我们可以利用点P到直线L的垂直距离来推导距离公式。
1. 由直线L的方程可知，直线L的法向量为n = (A, B)。
2. 从点P到直线L引一条垂线，设垂足为Q。
3. 向量PQ与直线L的法向量n垂直，即PQ·n = 0。
4. 向量PQ的坐标为(x1 - x, y1 - y)。
5. 利用向量的点乘运算，我们有(A, B)·(x1 - x, y1 - y) = 0，即Ax1 + By1 + (−A x−B y) = 0。
6. 整理得，Ax + By + C = 0，得到直线L的方程。
7. 由于点P到直线L的距离等于点P到直线L的垂线的长度，所以点P到直线L的距离为d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)。
三、距离公式的应用点到直线的距离公式具有广泛的应用。
1. 几何问题：可以用于计算点到直线的最短距离，例如在点与直线关系的判定、相交问题、点在直线上的投影等。
2. 计算机图形学：可用于计算点与直线之间的距离，用于图像处理、计算机辅助设计等领域。
3. 机器学习：可以用于特征提取和分类问题，例如支持向量机中的样本分类等。
4. 物理学和工程学：可以在力学、电磁学、信号处理等领域应用，如计算电子设备中线路板上两点之间的距离。
点到直线的距离公式是什么
点到直线的距离公式是什么 想要了解点到直线的距离公式的⼩伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“点到直线的距离公式是什么”，本⽂仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！ 点到直线的距离公式 点到直线的距离，即过这⼀点做⺫标直线的垂线，由这⼀点⾄垂⾜的距离。
设直线L的⽅程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为： 考虑点（x0，y0，z0）与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|（x1-x0，y1-y0，z1-z0）×（l，m，n）|/√（l²+m²+n²）。
d=√（（x1-x0）²+（y1-y0）²+（z1-z0）²-s²）。
拓展阅读：点到直线的距离定义 从直线外⼀点到这条直线的垂线段⻓度，叫点到直线的距离。
点和直线的位置关系 点与直线只有两种位置关系：⼀种是点在直线上，⼀种是点在直线外。
点是最简单的形，是⼏何图形最基本的组成部分。
在空间中作为1个零维的对象。
在其它领域中，点也作为讨论的对象。
直线由⽆数个点构成。
直线是⾯的组成成分，并继⽽组成体。
没有端点，向两端⽆限延⻓，⻓度⽆法度量。
过⼀点可以画⼏条直线 直线由⽆数个点构成。
直线是⾯的组成成分，并继⽽组成体。
没有端点，向两端⽆限延⻓，⻓度⽆法度量。
经过⼀个点可以画⽆数条直线。
经过两个点可以画⼀条直线。
直线与线段和射线的区别 1、直线⽆端点，⻓度⽆限，向两⽅⽆限延伸。
2、射线只有⼀个端点，⻓度⽆限，向⼀⽅⽆限延伸。
3、线段有两个端点，⻓度有限。
点到直线距离公式初中
点到直线距离公式初中
点到直线距离公式是一种简单的数学公式，它可以帮助我们快速计算出点到直线之间的距离。
首先，我们来看看公式的表达形式。
点到直线距离公式的简单形式如下：
d = |Ax + By + C|/√A² + B²
其中，(x,y)表示直线上任意一点的坐标，A、B、C分别表示直线方程Ax + By + C = 0中三个系数。
实际上，点到直线距离公式还有另一种更复杂的表达形式，它可以求出点P到直线L之间的距离：
d = |(P2 - P1) X L|/|P2 - P1|
其中，P1、P2分别为直线L上的两个点，L表示向量P2 - P1，而X表示叉乘的符号。
现在，让我们来看一个实例，看看如何使用上述公式来求解点到直线之间的距离。
假设我们有一条直线方程为2x + 3y - 5 = 0，其意思是说，该直线上所有点的横坐标都满足2x + 3y - 5 = 0的关系。
此时，我们要求点P(3,2)到该直线之间的距离。
首先，将直线方程2x + 3y - 5 = 0代入点到直线距离公式，得到：
d = |2×3 + 3×2 - 5|/√2² + 3² = |5|/√13
= 5/3.61
= 1.39
因此，点P(3,2)到直线2x + 3y - 5 = 0的距离就是1.39。
以上就是点到直线距离公式初中的详细说明，可以看到，它是一个简单实用的数学公式，只要将直线方程中的参数代入公式，就可以快速计算出点到直线之间的距离。
初中 点到直线的距离公式
初中点到直线的距离公式
我们要找出点到直线的距离公式。
首先，我们需要了解点到直线的距离是如何定义的。
点到直线的距离定义为：从给定点到直线上所有点的最短距离。
这个最短距离可以通过垂线段来找到，即从点向直线作垂线，这条垂线段的长度就是点到直线的距离。
假设点P的坐标是(x0, y0)，直线的一般方程是Ax + By + C = 0。
那么点到直线的距离公式是：
距离= Ax0 + By0 + C / √(A^2 + B^2)
这个公式是如何得出的呢？
首先，我们可以通过点到直线的距离公式来找到垂线段的长度。
然后，我们使用勾股定理来找到垂线段的长度。
最后，我们通过三角函数来找到点到直线的距离。
现在我们已经有了点到直线的距离公式，我们可以使用它来计算任意点与任意直线之间的距离。
点到直线之间的距离公式
点到直线之间的距离公式
点到直线之间的距离公式是一个重要的几何概念，它用于计算一个点到直线的
最短距离。
这个公式在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
设直线的方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x0, y0)。
要计算点到直线的距离，我们可以利用点到直线的垂直距离公式。
点到直线的距离公式可以通过以下步骤来推导：
1. 首先，我们找到直线上的一个任意点P(x1, y1)。
这可以通过令x = 0或y = 0
来使方程简化。
2. 然后，我们计算点P与点O(x0, y0)之间的欧几里德距离d = √((x1 - x0)² + (y1 - y0)²)。
3. 接下来，我们求解点P到直线的垂直距离。
我们通过将点P代入直线的方程Ax + By + C = 0，求解出P点在直线上的投影点Q(x2, y2)的坐标。
4. 最后，我们计算点O和点Q之间的距离d' = √((x2 - x0)² + (y2 - y0)²)。
根据直角三角形的性质，我们知道d就是点到直线的最短距离。
总结一下，点到直线之间的距离可以通过以下公式来计算：
d = √((x1 - x0)² + (y1 - y0)²)，其中(x1, y1)是直线上的任意一点，(x0, y0)是点的
坐标。
这个公式在解决实际问题时非常有用，例如在测量中确定点到线的最短距离，
或者在几何建模中计算点到平面的距离。
它为我们提供了一个可靠和准确的计算方法。
点到直线的距离公式 高等数学
点到直线的距离公式高等数学
高等数学中，点到直线的距离公式是十分重要的，它可以帮助我们精确地计算
出一个点到一条直线的距离。
在数学中，一个点P(x,y)到一条直线ax+by+c=0的
距离公式为：
距离=|ax_0+by_0+c|/√(a^2+b^2)
其中x_0, y_0为点P(x_0, y_0)的坐标。
作为一项重要的概念，点到直线的距离公式有着广泛的应用，它常被用于积分，微分，函数等复杂科学问题的求解中。
比如当我们要求出某个几何边界上的点的坐标时，就可以用点到直线的距离公式来解决这些复杂的函数极值问题。
另外，它也可以应用于计算机图形学，机器人技术和模拟实验中。
归纳而论，点到直线的距离公式在高等数学中起着极其重要的作用，不仅可以
用于求解复杂的函数极值问题，而且还可以用于计算机图形学，机器人技术和模拟实验等多个领域。
但是要注意，点到直线的距离公式求解需要先确认直线的一般式方程，因此，理解一般式的概念对于熟练的使用点到直线的距离公式至关重要。
一点到一条直线的距离公式
一点到一条直线的距离公式一点到一条直线的距离公式是数学中一个非常常见且基础的概念，它在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
在我们日常生活中，我们经常会碰到需要计算点到直线距离的问题，比如在导航软件中寻找最短路径、在建筑设计中确定建筑物的位置等等。
因此，深入了解一点到一条直线的距离公式对于我们的学习和工作都有着重要的意义。
首先，让我们来看一下一点到一条直线的距离公式的基本形式。
在二维坐标系中，如果直线的方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x0, y0)，那么点到直线的距离可以表示为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)这个公式看起来可能比较复杂，但其实背后的原理非常简单。
直观上来看，点到直线的距离就是点到直线的垂直距离。
我们可以通过点到直线的垂线来构建一个直角三角形，利用勾股定理就可以得到距离公式。
在实际应用中，我们可以通过这个距离公式来解决各种问题。
比如在几何学中，我们可以通过这个公式来计算点到直线的距离，从而确定点在直线的哪一侧。
在物理学中，我们可以利用这个公式来计算光线和镜面之间的距离，以便进行光学设计。
在工程学中，我们可以通过这个公式来确定建筑物的位置，保证建筑物的稳定性和安全性。
除了二维空间，一点到一条直线的距离公式在三维空间中同样有重要的应用。
在三维空间中，直线的方程通常可以表示为Ax + By + Cz + D =0，点的坐标为(x0, y0, z0)，距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)同样的原理，我们可以通过点到直线的垂线来构建一个垂直于直线的平面，然后计算点到这个平面的距离，从而得到距离公式。
在工程学和地理学中，我们经常需要计算物体或者地点到平面的距离，这时候就可以应用这个距离公式。
比如在地图制作中，我们可以通过这个公式来计算地图上各个城市的距离，以便为驾驶员提供最佳的行驶路线。
求点到直线的距离的公式
点到直线距离公式：鱼叉定理必备技巧点到直线距离的计算在初中数学学习中是非常重要的一部分，而鱼叉定理是其中的核心技巧。
鱼叉定理利用向量的知识，可以非常简单地计算出点到直线的距离，下面我们来一起学习一下。
公式推导：假设直线L的一般式为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
首先将点P到直线L的距离表示为线段AF的长度，D为点(x0,y0)关于直线L的对称点。
因为直线L是Ax+By+C=0，所以直线的法向量 N=(A,B)，则L的方向向量为D=(-B,A)。
因为向量AD垂直于直线L，所以向量AD与直线L的法向量N 的内积为0，即：D(x0,y0)关于L的对称点的坐标为D(x0,y0) = P(x0,y0) - (A*x0+B*y0+C)/(A^2+B^2)*(A,B)然后利用向量的模长公式和内积公式，可以得到如下的鱼叉定理公式：d(L,P)=|AD|=|(x0,y0)- (A*x0+B*y0+C)/(A^2+B^2)*(A,B)|d(L,P)=[A*x0+B*y0+C]/sqrt(A^2+B^2)鱼叉定理应用：当我们需要计算点到线段的距离时，需要用到以下的3个距离公式：1. 点到直线距离公式： d=|Ax+By+C|/sqrt(A^2+B^2)2. 点到线段端点距离公式：对于线段AB，点P到线段AB的距离为 min(d1,d2)，其中，d1是点到A点的距离，d2是点到B点的距离。
3. 点到线段距离公式：对于线段AB，点P 到线段AB的距离为 d，先用点到直线距离公式计算点P到直线AB的距离d，然后再计算线段AB两端点到点P的向量的点积，如果两个向量的点积乘积小于0，则点P到线段AB的距离就为d。
如果两个向量的点积乘积大于0，则点P 到过线段两端点中点M的距离即为点到线段的距离。
点到直线的距离公式是什么
点到直线的距离公式是什么假设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x1,y1)。
为了求点到直线的距离，我们可以使用几何法或者向量法。
1.几何法：通过点到直线的垂线来求距离。
首先，我们需要找到直线上最近的点P(x0,y0)。
这个点的坐标可以通过垂直直线的交点来求解。
垂直直线与给定的直线同斜率，通过点(x1,y1)。
直线的斜率可以通过直线方程求得：m=-A/B。
那么垂直直线的斜率就是：m1=-1/m=B/A。
接下来，我们可以得到垂直直线的方程：y-y1=m1(x-x1)。
把直线方程和垂直直线方程联立，得到交点坐标(x0,y0)。
最后，我们可以计算点到直线的距离d=√((x1-x0)^2+(y1-y0)^2)。
2.向量法：通过向量的投影来求解点到直线的距离。
首先，我们定义直线上的两个点为A(xa, ya)和B(xb, yb)。
通过向量AB，我们可以得到点A到点B的向量v = (xb - xa, yb - ya)。
点(x1,y1)到直线的距离是点(x1,y1)到直线上任意一点的向量投影的长度。
点(x1, y1)到直线上的任意一点C(xc, yc)的向量为u = (xc - x1, yc - y1)。
这两种方法都可以用来求解点到直线的距离，具体使用哪种方法取决于实际的情况。
总结起来，点到直线的距离公式为：d=，Ax1+By1+C，/√(A^2+B^2)(几何法)d = ，(xc - x1)(yb - ya) - (yc - y1)(xb - xa)，/ √((xb - xa)^2 + (yb - ya)^2) (向量法)。
坐标系中点到直线距离公式
坐标系中点到直线距离公式在坐标系中，求点到直线的距离是一个常见的几何问题。
在本文中，我们将介绍两种常用的点到直线距离的计算方法，分别为点到直线的公式和点到直线的投影方法。
一、点到直线的公式：设直线的方程为ax+by+c=0，点的坐标为(x0, y0)。
步骤1：求直线的斜率k。
由于直线的一般式为ax+by+c=0，我们可以观察到a和b的比值即为直线的斜率。
步骤2：求直线上一点P(x1,y1)的直线方程。
由于点P和直线上其他任意一点在直线上，所以可以使用点坐标代入直线方程得到一直线上的点。
步骤3：求点P到直线的距离。
我们可以使用点P到直线的距离公式，即点P到直线l的距离为:d = ，ax0 + by0 + c，/ √(a^2 + b^2)其中，.，代表绝对值符号，√代表开平方，^代表幂运算。
计算该距离的过程如下：1. 确定直线的斜率k。
由直线的一般式ax + by + c = 0可知，斜率为-k，即k = -a/b。
2. 由于直线上的任意一点(x1, y1)满足直线方程ax1 + by1 + c = 0，代入y = kx + b可得y1 = kx1 - c/b。
因此任意一点为(x1, kx1 -c/b)。
3.计算点P到直线的距离。
d = ，(ax0 + by0 + c) / √(a^2 + b^2)这就是点到直线距离的公式。
例如，对于直线2x+3y-6=0和点(1,2)：直线的斜率为k=-a/b=-2/3任意一点为(x1, kx1 - c/b) = (x1, 2x1 - 2)。
代入点(1,2)计算得直线上一点为(1,0)。
计算点到直线的距离：d=，(2×1+3×2-6)/√(2^2+3^2)d=，(2+6-6)/√(4+9)d=，2/√13所以点(1,2)到直线2x+3y-6=0的距离为，2/√13二、点到直线的投影方法：投影方法是通过点到直线上的投影点来计算点到直线的距离。
步骤1：求直线的单位法向量。
点到直线方程距离公式
点到直线方程距离公式点到直线的距离公式是解析几何中的一个重要概念。
在二维平面上，给定一个点P(x,y)和一条直线Ax+By+C=0，如何计算点P到直线的距离呢？假设点P到直线的距离为d，点P的坐标为(x,y)，直线的一般方程为Ax+By+C=0。
则点P到直线的距离可以通过以下公式计算：d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，Ax+By+C，表示绝对值。
下面我们来详细推导这个公式。
首先，我们知道一条直线可以由其上的两个点构成，假设直线上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)。
直线AB的斜率可以表示为：k=(y2-y1)/(x2-x1)那么直线AB的斜率垂直于直线所形成的角度θ可以表示为：θ = atan(-1/k)其中，atan(是反正切函数。
点P到直线AB的距离d可以通过以下步骤计算：1.计算直线AB的斜率k。
2.由直线AB的斜率k计算直线CD的斜率k'，CD是过点P且与直线AB垂直的直线。
k'=-1/k3.根据点斜式，直线CD的方程可以表示为：y-y0=k'(x-x0)其中，(x0,y0)是点P的坐标。
展开方程，可以得到：y-y0=-(x-x0)/ky-y0=-(x/k)+x0/k通常我们将方程变换为一般方程的形式：Ax+By+C=0比较系数可以得到：A=1/kB=-1C=y0-x0/k即：A=-1/kB=1C=x0/k-y0最后，点P到直线AB的距离可以由一般方程Ax+By+C=0计算得出：d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)d=，(-1/k)x+y+(x0/k-y0)，/√((-1/k)^2+1^2)d=，(-1/k)x+y-(x0/k-y0)，/√(1/k^2+1)d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(1/k^2+1)d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(1+k^2)/k^2d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(k^2+k^2)/k^2d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(2k^2)/k^2最后，我们可以将公式进一步简化为：d=，(y-y0)k+(x0-x)，/√(2k^2)/k^2d = ，(yk + x0 - x0 - x)k，/ √(2k^2)/k^2d = ，(xy - x0y - xk + x0k)k，/ √(2k^2)/k^2d = ，xy - x0y - xk + x0k，/ √(2k^2)/k^2d = ，xy - x0y - xk + x0k，/ √2，kd=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)这就是点到直线的距离公式。
点到直线间距离公式
点到直线间距离公式
在空间解析几何中，点与直线的位置关系一直是研究的重要问题
之一。
在解决这个问题时，点到直线间的距离就成了一个关键参数。
点到直线间距离指的是，从任意给定的点到直线最短的距离。
这
个距离可以用多种方法来计算，但最常用的方法是应用向量的知识。
假设点P(x1,y1,z1)为平面上一点，直线L的一般式为
Ax+By+Cz+D=0，其中ABCD为常数，可表示为法向量n=(A,B,C)。
那么，点P到直线L的距离就可以通过下列公式来计算：
d = |n·OP| / |n|
其中，·表示向量的点积运算，|n| 表示向量 n 的模长，OP 表
示向量 PQ 的位置矢量，即：
OP=[x1-x0, y1-y0, z1-z0]
可以发现，这个公式非常简单易懂，只需要求出向量 n 和向量
OP 的点积，并除以向量 n 的长度即可得到点到直线间的距离。
这个
公式的优点在于，不仅能够计算平面上的点到直线的距离，也适用于
三维空间中的任意点和直线之间的距离计算。
当然，在实际应用中，要注意误差的控制。
由于浮点数计算时存
在精度问题，需要对运算结果进行四舍五入处理，合理选取计算方法
和精度，避免误差的积累。
此外，在计算过程中，还需要对法向量进行归一化处理。
即将法向量缩放到单位长度，使得点到直线间距离公式的分母为1，这样不仅能够减小计算的复杂度，还能有效避免误差的产生。
总之，点到直线间距离公式在应用中具有重要的意义，能够为我们解决许多实际问题提供便利。
只要掌握了这个公式的计算方法和注意事项，就能够更加准确地计算点到直线间的距离。
证明点到直线的距离公式
证明点到直线的距离公式点到直线的距离公式是数学中一个重要的定理，应用广泛且具有指导意义。
在本文中，我们将介绍这个公式的定义、推导过程和应用。
一、定义在平面直角坐标系中，设点P（x1，y1）与直线L：Ax + By + C= 0，其中A、B、C为常数，且A、B不同时为零。
设点Q为直线L上任意一点，则P点到直线L的距离d为：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A² + B²)其中||表示取绝对值，√表示开方。
二、推导过程首先，我们将P点到直线L的距离d表示为向量的形式，P到Q的向量为：V = (x1 - x, y1 - y)其中x、y为直线L上的任意一点，再将向量V分解为与直线L垂直和平行的两个分量，设这两个分量分别为V1和V2，则：V = V1 + V2因为V1与直线L垂直，所以V1在(L)方向上的长度为d，设V1 = (p,q)，则：V1 = d(cosθ,sinθ)其中θ为V1与正方向x轴的夹角，根据向量的乘积公式，有：V1*V = (p,q)·(x1 – x,y1 – y) = px1 + qy1 - (px + qy)又因为V1在L方向上，所以V1在直线L上任意一点的坐标为(x,y)，所以px + qy + C = 0，代入上式中，得到：V1*V = px1 + qy1 + C因为V1在θ方向上的长度是d，所以：V1 = d(cosθ,sinθ) = (p / √(p² + q²), q / √(p² + q²))将V1代入上式中得到：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A² + B²)这就是点到直线的距离公式。
三、应用点到直线的距离公式可以应用到很多实际问题。
例如，在计算机图形学中，要在实时渲染中求每个像素点到线段的距离，可以使用这个公式。
在测量中，可以利用这个公式直接测量点到线段的距离。
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§7向量应用举例7．1点到直线的距离公式7．2向量的应用举例[学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．[知识链接]1．向量可以解决哪些常见的几何问题答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．[预习导引]1．直线的法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)．(2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．2．点到直线的距离公式设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝x2＋y2. 4．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是向量． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成． (3)动量m v 是数乘向量．(4)功即是力F 与所产生位移s 的数量积．要点一 直线法向量(或方向向量)的应用例1 已知△ABC 的三顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点．(1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．解 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)．设点M (x ，y )是直线DE 上任一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)，∴(－2)×(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF 、FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在的直线上任一点，则CN →⊥AB →，CN →·AB →＝0，CN →＝(x ＋6，y －2)，AB→＝(4,4)，∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 所在的直线方程．规律方法 对于解析几何中的有关直线平行与垂直问题，常常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样一来将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决． 跟踪演练1 求点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离．解 方法一 取直线l 的一个法向量为n ＝(2,1)，在直线l 上任取一点P (5,0)，∴PP →0＝(－6,2)，∴点到直线l 的距离d 就是PP →0在法向量n 上的射影．设PP →0与n 的夹角为θ.∴d ＝|PP →0||cos θ|＝|PP →0|·|PP →0·n ||PP →0|·|n | ＝|PP →0·n||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋25＝2 5. 故点P 0到直线l 的距离为2 5.方法二 由点到直线的距离公式得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|2×－1＋1×2－10|5＝2 5.要点二 向量在平面几何中的应用例2 如图，已知Rt△OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，M 在OB 上，且OM ＝1，N 在OA 上，且ON ＝1，P 为AM 与BN 的交点，求∠MPN .解 设OA →＝a ，OB →＝b ，且AM →，BN →的夹角为θ，则OM →＝12b ，ON →＝13a ， 又∵AM →＝OM →－OA →＝12b －a ，BN →＝ON →－OB →＝13a －b ， ∴AM →·BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b ＝－5， |AM →|＝10，|BN →|＝5，∴cos θ＝－55·10＝－22， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 又∵∠MPN 即为向量AM →，BN →的夹角，∴∠MPN ＝3π4. 规律方法 (1)本题可以选择OA →，OB →作为基向量，这是两个互相垂直的向量，选用这组特殊的基向量可以简化运算．(2)本题也可以建立平面直角坐标系进行求解．把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角问题是平面向量的工具性体现之一，转化时一定要注意向量的方向．跟踪演练2 已知△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝4，AC ＝3，求BC 的长．解 以A 为原点建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4cos 60°，4sin 60°)，C (3,0)，∴AC →＝(3,0)，AB →＝(2，23)，∵BC →＝AC →－AB →＝(1，－23)，∴|BC →|＝1＋()－232＝13. 要点三 利用向量解决物理中的问题例3 在风速为75(6－2) km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．解 设向量a 表示风速，b 表示无风时飞机的航行速度，c 表示有风时飞机的航行速度，则c ＝a ＋b .如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则四边形OACB 为平行四边形．过C 、B 分别作OA 的垂线，交AO 的延长线于D 、E 点．由已知，|OA →|＝75(6－2)，|OC →|＝150，∠COD ＝45°.在Rt△COD 中，OD ＝OC cos 45°＝752，CD ＝75 2.又ED ＝BC ＝OA ＝75(6－2)，∴OE ＝OD ＋ED ＝75 6.又BE ＝CD ＝75 2.在Rt△OEB 中，OB ＝OE 2＋BE 2＝1502， sin∠BOE ＝BE OB ＝12，∴|OB →|＝1502，∠BOE ＝30°. 故没有风时飞机的航速为150 2 km/h ，航向为西偏北30°.规律方法 用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下：(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出解释．跟踪演练3 如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围．解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐变大．(2)由(1)，得|F 1|＝|G |cos θ， 由|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12. 又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.1．已知直线l 1：3x ＋y －2＝0与直线l 2：mx －y ＋1＝0的夹角为45°，则实数m 的值为________．答案 2或－12解析 设直线l 1，l 2的法向量为n 1，n 2，则n 1＝(3,1)，n 2＝(m ，－1)．由题意cos 45°＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|3m －1|10·1＋m2＝22. 整理得2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－12. 2．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是______________．答案 x 2＋y 2＋x －3y ＝0解析 设P (x ，y )为圆上任一点，则AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0，化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.3．正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别为AB 、BC 的中点，试求cos∠DOE 的值． 解 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 故cos∠DOE ＝OD →·OE →|OD →|·|OE →| ＝1×12＋12×152×52＝45. 即cos∠DOE 的值为45. 4．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为 3 km/h ，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h ，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．解 如图，设水的速度为v 1，风的速度为v 2，v 1＋v 2＝a .易求得a 的方向是北偏东30°，a 的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v .方向由南向北，大小为2 3 km/h ，船本身的速度为v 3，则a ＋v 3＝v ，即v 3＝v －a ，数形结合知v 3的方向是北偏西60°，大小是3 km/h.1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)得到答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．一、基础达标1．已知A ，B ，C ，D 四点坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( )A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 答案 A解析 ∵AB →＝(3,3)，DC →＝(2,2)，∴AB →∥DC →，|AB →|≠|DC →|，∴四边形为梯形．2．当两人提起重量为|G |的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 D解析 作OA →＝F 1，OB →＝F 2，OC →＝－G ，则OC →＝OA →＋OB →，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，∴∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.3．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定 答案 B解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0，所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0.所以|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，故△ABC 是等腰三角形．4．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0 答案 B解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋3k ＝0，∴k ＝13，∴l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0. 故选B.5．过点A (－2,1)且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为________．答案 x －3y ＋5＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上的任一点，AP →＝(x ＋2，y －1)．∵AP →∥a .∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0.即所求直线方程为x －3y ＋5＝0.6．已知点A (－1,2)，B (0，－2)，若点D 在线段AB 上，且2|AD →|＝3|BD →|，则点D 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－25 解析 由题意得OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋35AB →＝(－1,2)＋35(1，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－25，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－25. 7．如图，点O 是▱ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12.求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，由E ，F 分别为对应边的三等分点，得FO →＝FA →＋AO →＝－13a ＋12AC →＝－13a ＋12(a ＋b )＝16a ＋12b ， OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(a ＋b )－13a ＝16a ＋12b . 所以FO →＝OE →.又因为O 为其公共点，所以点E ，O ，F 在同一直线上．二、能力提升8．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直，则实数m 的值是( )A ．－2C ．－2或12D ．－12或2 答案 C解析 (m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝(m ＋2)(4m －2)＝0.∴m ＝－2或12. 9．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则四边形的面积为( )B ．2 5C ．5D ．10 答案 C解 因为在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，AC →·BD →＝0，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直，又|AC →|＝12＋22＝5，|BD →|＝－42＋22＝25， 该四边形的面积：12|AC →|·|BD →| ＝12×5×25＝5. 10．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________．答案 [2,3]解析 由AP →＋AQ →＝0知A 是PQ 的中点，设P (x ，y )，则Q (2m －x ，－y )，由题意－2≤x ≤0,2m －x ＝6，解得2≤m ≤3.11．如图所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝的水平平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少(g ＝10 m/s 2)解 设木块的位移为s ，则W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos 30°＝50×20×32＝5003(J)． F 在竖直方向上的分力的大小为|F 1|＝|F |·sin 30°＝50×12＝25(N)．则f ＝μ(mg －|F 1|)＝×(8×10－25)＝(N)．所以f ·s ＝|f |·|s |cos 180°＝×20×(－1)＝－22(J)．即F 与f 所做的功分别是500 3 J 与－22 J.12．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明：EF ⊥CD . 证明 建立如图所示的平面直角坐标系．设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)，则D (－a 2，b2)， CD →＝(－32a ，b 2)． 易知△ABC 的外心F 在y 轴上，可设为(0，y )．由|AF →|＝|CF →|，得(y －b )2＝a 2＋y 2， 所以y ＝b 2－a 22b ，即F (0，b 2－a 22b)． 由重心坐标公式，得E (a 6，b2)， 所以EF →＝(－a 6，－a 22b)． 所以CD →·EF →＝(－32a )×(－a 6)＋b 2×(－a 22b)＝0， 所以CD →⊥EF →，即EF ⊥CD .三、探究与创新13．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点． 求证：AR ＝RT ＝TC .证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，则AC →＝a ＋b .由于AR →∥AC →，所以设r ＝n (a ＋b )，n ∈R .又∵EB →＝AB →－AE →＝a －12b ， ER →∥EB →，故设ER →＝mEB →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b . ∵AR →＝AE →＋ER →，∴r ＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b . 所以n (a ＋b )＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ， 即(n －m )a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋m －12b ＝0. 由于a 与b 不共线，故必有⎩⎪⎨⎪⎧ n －m ＝0，n ＋m －12＝0， 解得m ＝n ＝13，∴AR →＝13AC →， 同理TC →＝13AC →，于是RT →＝13AC →. ∴AR ＝RT ＝TC .。