第4讲 万有引力定律及其应用概论
万有引力定律及其应用
万有引力定律及其应用万有引力定律是物理学中最基本的定律之一，描述了物体之间相互作用的力，被广泛应用于天体运动、地球运行、航天探索等领域。
本文将介绍万有引力定律的定义与公式，并探讨其在宇宙学、卫星运行和导航系统中的应用。
一、万有引力定律的定义和公式万有引力定律是由艾萨克·牛顿于1687年提出的，它描述了两个物体之间的引力大小与它们的质量及距离的关系。
牛顿的万有引力定律可以用以下公式表示：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F表示两个物体之间的引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离。
二、万有引力定律在宇宙学中的应用万有引力定律在宇宙学中起着重要作用。
根据该定律，行星围绕太阳运行，卫星绕地球运行，这是因为太阳和地球对它们产生了引力。
通过牛顿的定律，科学家们能够计算出天体之间的引力，从而预测它们的运动轨迹和相互作用。
世界各个国家的航天探索也依赖于万有引力定律。
比如，计算出行星和卫星的运动轨迹，对航天器进行准确的发射和着陆，都需要准确地应用万有引力定律。
此外，万有引力定律还促进了科学家对宇宙的进一步研究，帮助他们了解天体的形成和宇宙演化的规律。
三、万有引力定律在卫星运行中的应用卫星是应用万有引力定律的典型实例。
通过牛顿定律计算引力，可确定卫星轨道的稳定性和运行所需的速度。
在卫星发射前，科学家需要根据卫星要达到的轨道高度和地球质量计算出所需的发射速度，确保卫星能够稳定地绕地球运行。
此外，卫星之间也需要遵循万有引力定律的规律。
卫星在轨道上的相对位置和轨道调整都受到引力的影响。
科学家利用牛顿定律的公式，预测卫星之间的相对运动，确保卫星不会相互碰撞，从而保证卫星系统的正常运行。
四、万有引力定律在导航系统中的应用导航系统是现代社会不可或缺的一部分，而万有引力定律在导航系统中也发挥着关键作用。
通过利用地球的引力场，导航系统能够计算出接收器的位置和速度。
卫星导航系统如GPS（全球定位系统）就是基于万有引力定律工作的。
高三物理一轮复习第四章第4讲万有引力定律及其应用课件
第二十一页，共三十六页。
1．[估算天体质量] (2018·浙江 4 月选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每 16 天绕
土 则卫星 土星一 星绕周 的土， 质星其 量运公 约动转 为，轨(土B道星半的) 径引约力为提供1.2卫×星10做6 圆km周，运已动知的引向力心常力量，G设＝土6星.67质×量10为－11MN，·mG2RM/k2mg2，
约为( C )
代入可得 ρ≈5×1015 kg/m3，故 C 正确．
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
12/9/2021
第二十三页，共三十六页。
3大“．工慧[天程眼体建”质设卫量捷星和报的密频向度传心的，加综“速合慧度计眼大算”]小卫为习星近a邀＝平游(2主T太π席)空2 在r．＝2“40Tπ1慧228r，眼年选”新于项年贺2A0词1正7中确年提；6到根月，据1科5G日技M在创r2m酒新＝泉、m重卫4Tπ22r
第十四页，共三十六页。
(1)在赤道上：GMRm2 ＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：GMRm2 ＝mg2. (3)在一般位置：万有引力 GMRm2 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和． 越靠近南北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引 力近似等于重力，即GRM2m＝mg.
12/9/2021
第十七页，共三十六页。
2．[万有引力定律的应用] (2018·高考北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与 若“使想苹检果验落“地使的月力球”绕遵地循球同运样动的的规力律”，与在已“知使月苹地果距落离地约的为力地”球遵半循径同60样倍的的规情律况—下—，万需有
第4章曲线运动 第4讲万有引力定律及其应用
(2)在两极上：GMRm2 ＝mg2.
课 后 跟 踪
突
训
破
练
第24页
第4章
第4讲
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·物理
2．地球表面及上空的重力加速度
基 础
(1)在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转)：
名 师
知
微
识 回 顾
mg＝GMRm2 ，得 g＝GRM2 .
课 导 学
(2)在地球上空距离地心 r＝R＋h 处的重力加速度为 g′：
，解得 v＝
师 微 课 导 学
核 心
2GM d
；又在星球表面重力等于万有引力
Mm Gd22
＝mg，解
课 后
考 点 突 破
得 v＝v20
d h
，故 D 正确．
跟 踪 训 练
第15页
第4章
第4讲
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·物理
基
名
础
师
知
微
识
课
回
导
顾
核心
考点突破
学
核
课
心
后
考
跟
点
踪
突
训
破
练
第16页
、v∝
1 r
、ω∝
1 r3
、T∝
r3
.
核
课
心
后
考
跟
点
踪
突
训
破
练
第7页
第4章
第4讲
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·物理
[自我诊断]
基
1．判断正误
名
础 知
万有引力定律及其应用
万有引力定律及其应用万有引力定律是物理学中最基本的定律之一，由英国科学家牛顿提出。
它描述了质点间的相互引力作用，并广泛应用于天体物理学、工程学以及其他领域中。
一、万有引力定律的描述万有引力定律指出，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离平方成反比。
具体而言，设两个质量分别为m1和m2的物体之间的距离为r，它们之间的引力F可以表示为以下公式：F =G * (m1 * m2) / r^2其中G是一个常数，称为万有引力常数。
这个常数的数值约为6.67430 × 10^-11 N·(m/kg)^2。
根据万有引力定律，质点间的引力始终是吸引力，且大小与质量以及距离的关系密切。
二、天体物理学中的应用万有引力定律在天体物理学中有着广泛的应用。
例如，根据这一定律，我们可以计算出行星与恒星之间的引力，从而预测它们的运动轨迹。
此外，万有引力定律还可以解释地球和月球之间的引力，以及引力对行星、卫星等天体的影响。
在天体物理学中，还有一个重要的应用是质量测量。
通过监测天体之间的引力以及它们之间的距离，科学家可以估算出天体的质量。
例如，通过测量地球和人造卫星之间的引力，可以推导出地球的质量。
三、工程学中的应用除了天体物理学，万有引力定律在工程学中也有重要的应用。
例如，在建筑和桥梁设计中，工程师需要考虑结构物与地球之间的引力。
万有引力定律提供了一种计算这种引力的方法，以确保结构物的稳定性和安全性。
此外，万有引力定律还可以应用于导航系统的设计中。
卫星导航系统需要准确测量卫星与地球之间的引力，以确定接收器的位置。
通过使用万有引力定律进行引力计算，可以提高导航系统的准确性和可靠性。
四、其他领域中的应用除了天体物理学和工程学，万有引力定律还可以在其他领域中找到应用。
例如，在生物医学领域，研究人员可以利用万有引力定律来研究细胞之间的相互引力作用，以及人体内部的重力分布情况。
此外，在航天工程中，万有引力定律也被用于计算卫星轨道以及飞船的运行轨迹。
第4讲 万有引力定律及其应用
加油小站 栏目索引
例4 已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN, 假设地球是质量分布均匀的球体,半径为R。则地球的自转周期为
(A)
A.2π mR N
B.2π N mR
C.2π mN R
D.2π R mN
解析 在北极,物体所受的万有引力F与支持力N大小相等,在赤道
处有F-N=ΔN=mR 2T
A. R1
R2
B. R1 R2
C. R2
R1
D. R2 R1
随堂巩固 栏目索引
解析 公转的轨迹近似为圆,地球和火星的运动可以看做匀速圆周
运动,根据开普勒第三定律知, TR23 =k,运动的周期之比 TT12 =
R13 R23
,在一个周
期内扫过的面积之比为 S1 = S2
R12 R22
加油小站 栏目索引
似等于万有引力)。从赤道向两极因做圆周运动的半径逐渐减小,故所 需向心力逐渐减小,重力逐渐增加。在两极F万=mg,在赤道上F万=mg+F向。 当角速度增大到一定程度时,天体上的物体有可能被“甩出去”变成卫 星,这就是解体现象,解决的方法就是抓住临界态,万有引力刚好充当向 心力,轨道半径以天体半径计算,一般能计算出天体的密度极值、半径 极值、角速度极值。
迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知引力常量G,地球表面处
的重力加速度g,地球半径R,地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期),
一年的时间T2(地球公转周期),地球中心到月球中心的距离L1,地球中心
到太阳中心的距离L2。你能计算出 ( AB )
A.地球的质量m地= gGR2
C.月球的质量m月= 4GT21L213
D.M星∶M地=1∶80
专题一 第4讲 万有引力定律及其应用
做真题•明考向 建体系•记要点 研考向•提能力 限训练•通高考
首页 上页 下页 尾页
考向一 天体质量及密度的计算
解析：根据万有引力充当向心力有GMr2m＝m4Tπ22r，可得火星的
质量M＝
4π2 GT2
r3，即知道飞行器的周期T和轨道半径r，就可以
得到火星的质量，选项B正确，D错误．A、C项中只知道飞行
[考情分析] ■ 命题特点与趋势——怎么考 1．近几年有关万有引力定律及其应用的题目在高考中通常 以选择题的形式出现，极个别情况下会出现在计算题中，难 度一般中等；在考查内容上一般考查天体运动参量间的关系、 天体质量(密度)的估算、万有引力定律等基本概念和基本规 律的理解与应用，有时还会涉及能量知识，同时还会考查运 用控制变量法进行定性判断或定量计算的能力． 2．从命题趋势上看，分析人造卫星的运行规律仍是考试中 的热点，以近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的 题目备受青睐，会形成新情景的物理题．
＝m
v2，再结 r
合v＝st可以求出M＝vG2r＝stG2·θs ＝Gst32θ，选项C正确；由于不知
月球的半径，所以无法求出月球的密度，选项D错误．
答案：C
做真题•明考向 建体系•记要点 研考向•提能力 限训练•通高考
首页 上页 下页 尾页
考向一 天体质量及密度的计算
2．(2018·湖南长沙市高三统考)2016年11月17日12时41分， 我国航天员景海鹏、陈冬踏上返回之旅．他们在“天宫二号” 空间实验室已工作生活了30天，创造了中国航天员太空驻留 时间的新纪录．假设未来的某一天我国宇航员登上某一星球， 测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍， 而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是 地球质量的( ) A．2倍 B.4倍 C．8倍 D．16倍
高考物理第四章 第4课 万有引力定律及其应用课件课件
提醒探究
2．应用万有引力定律的基本思路有两条． (1)利用万有引力等于重力的关系，确定距地面高 h 处物体的重力加速度：由 Mm M G ＝ mg′ ，得 g′ ＝ G ，说明随着离地高度的增大，物体的重力加 （R＋h）2 （R＋h）2 速度将减小． (2)利用万有引力(也等于重力)构成星体做匀速圆周运动所需的向心力的关系， GMm 确定行星绕恒星(指太阳)、 卫星绕行星(指地球)做匀速圆周运动时的运动量． 即 2 r 4π r v2 2 ＝ma，其中向心加速度 a 的表达式通常有四种：a＝ 、a＝ω r、a＝vω 、a＝ 2 ； r T 用什么样的式子代入上式要根据题意灵活选择．
提醒探究
不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度 v＝
GM ， 其大 r
小随半径的增大而减小． 但是由于在人造地球卫星发射过程中火箭要 克服地球引力做功， 所以将卫星发射到离地球越远的轨道， 在地面上 所需的发射速度就越大． 发射人造卫星时，先将人造卫星发射至近地的圆周轨道上运动， 然后经再次启动发动机使卫星改在椭圆轨道上运动， 最后定点在一定 高度的圆周轨道上运动．
提醒探究
解析： 要实现飞船与空间站对接， 必须使飞船在较低轨道上加速， 飞船做离心运动的同时追上轨道空间站实现对接，故 A 正确，B、C、 D 均错误．
提醒探究
题型4 同步卫星及宇宙速度
1．环绕速度与发射速度的比较． 近地卫星的环绕速度 v＝ GM ＝ gR＝7.9 km/s，通常称为第 R
一宇宙速度， 它是地球周围所有圆周运动卫星的最大绕行速度， 是在 地面上发射卫星的最小发射速度．
提醒探究
解析：万有引力公式中引力常量 G 不是人为规定的，而是实验 测定的，A 错；使用公式时，要注意它适用于相距很远，可以看作质 点的物体间的相互作用，当 r 趋近于零时，物体就不能看作质点， 故万有引力不适应，B 错；两个物体间的万有引力是一对作用力与反 作用力的关系，不是平衡力，它们的大小取决于 m1 与 m2 的乘积， 而不取决于单个物体的质量大小，所以 C 对 D 错． 答案：C
2020版高考物理教科版大一轮温习讲义第四章第4讲万有引力定律及应用
第4讲万有引力定律及应用一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量自测1(2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，以下说法符合史实的是( )A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星依照这些规律运动的缘故D．开普勒总结出了行星运动的规律，发觉了万有引力定律答案B解析开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星依照这些规律运动的缘故，牛顿发觉了万有引力定律．二、万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都彼此吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．2．表达式F ＝G m 1m 2r 2，G 为引力常量，G ＝×10－11 N·m 2/kg 2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的彼此作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量散布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 4．天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． (2)大体公式：G Mm r2＝ma ＝⎩⎪⎨⎪⎧m v 2r →v ＝ GM rmrω2→ω＝ GM r 3mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2→T ＝2π r 3GMm v ω自测2 (2018·四川省第二次“联测促改”)在距地面不同高度的太空有许多飞行器．其中“天舟一号”距地面高度约为393 km ，哈勃望远镜距地面高度约为612 km ，“张衡一号”距地面高度约为500 km.假设它们都可视为绕地球做圆周运动，则( ) A ．“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度 B ．哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度 C ．“天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期 D ．哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度 答案 A解析 依照万有引力提供飞行器的向心力，GMm r 2＝ma ，a ＝GMr 2，“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度，故A 正确； 依照万有引力提供飞行器的向心力，GMmr 2＝m v 2r ，v＝GMr ，哈勃望远镜的线速度小于“张衡一号”的线速度，故B 错误；依照万有引力提供飞行器的向心力，GMm r 2＝m 4π2T2r ，T ＝4π2r 3GM ，“天舟一号”的周期小于哈勃望远镜的周期，故C 错误；依照万有引力提供飞行器的向心力，GMmr 2＝mω2r ，ω＝GMr 3，哈勃望远镜的角速度小于“张衡一号”的角速度，故D 错误．三、宇宙速度1．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫围绕速度，其数值为km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面周围围绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大围绕速度． (4)第一宇宙速度的计算方式． 由G MmR 2＝m v 2R 得v ＝GMR； 由mg ＝m v 2R 得v ＝gR . 2．第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为 km/s. 3．第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为 km/s.自测3 (多项选择)已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.以下关于火星探测器的说法中正确的选项是( ) A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才能够C ．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D ．火星探测器围绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23答案 CD解析 依照三个宇宙速度的概念，可知选项A 、B 错误，选项C 正确；已知M 火＝M 地9，R 火＝R 地2，那么v 火v 地＝ GM 火R 火∶GM 地R 地＝23，选项D 正确.命题点一 开普勒三定律的明白得和应用1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处置．2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．3．开普勒第三定律a 3T 2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．例1 (多项选择)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，假设只考虑海王星和太阳之间的彼此作用，那么海王星在从P 通过M 、Q 到N 的运动进程中( )图1A ．从P 到M 所用的时刻等于T 04B ．从Q 到N 时期，机械能慢慢变大C ．从P 到Q 时期，速度慢慢变小D ．从M 到N 时期，万有引力对它先做负功后做正功 答案 CD解析 由行星运动的对称性可知，从P 经M 到Q 点的时刻为12T 0，依照开普勒第二定律可知，从P 到M 运动的速度大于从M 到Q 运动的速度，可知从P 到M 所用的时刻小于14T 0，选项A 错误；海王星在运动进程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B 错误；依照开普勒第二定律可知，从P 到Q 时期，速度慢慢变小，选项C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M 到N 时期，万有引力对它先做负功后做正功，选项D 正确．变式1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，依照开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时刻内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C解析 由开普勒第必然律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个核心上，A 错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误．依照开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确．关于太阳系某一个行星来讲，其与太阳连线在相同的时刻内扫过的面积相等，不同行星在相同时刻内扫过的面积不相等，D 错误．变式2 如图2所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A 、B 是卫星运动的远地址和近地址．以下说法中正确的选项是( )图2A ．卫星在A 点的角速度大于B 点的角速度 B ．卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度C ．卫星由A 运动到B 进程中动能减小，势能增加D ．卫星由A 运动到B 进程中引力做正功，机械能增大 答案 B解析 由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时刻内扫过的面积相等，故卫星在远地址转过的角度较小，由ω＝θt 知，卫星在A 点的角速度小于B 点的角速度，选项A 错误；设卫星的质量为m ，地球的质量为M ，卫星的轨道半径为r ，由万有引力定律得G mMr 2＝ma ，解得a ＝GMr 2，由此可知，r 越大，加速度越小，故卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度，选项B 正确；卫星由A 运动到B 的进程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项C 错误；卫星由A 运动到B 的进程中，只有引力做功，机械能守恒，选项D 错误．命题点二 万有引力定律的明白得1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个成效：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向．(1)在赤道上：G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极上：G MmR2＝mg 0.(3)在一样位置：万有引力G MmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常以为万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg .2．星球上空的重力加速度g ′星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝GmM (R ＋h )2，得g ′＝GM(R ＋h )2.因此g g ′＝(R ＋h )2R 2.3．万有引力的“两点明白得”和“两个推论” (1)两点明白得①两物体彼此作用的万有引力是一对作使劲和反作使劲． ②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.②推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝G M ′mr2.例2 假设地球半径为R ，把地球看做质量散布均匀的球体．“蛟龙”号下潜深度为d ，“天宫一号”轨道距离地面高度为h ，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为( )答案 C解析 设地球的密度为ρ，那么在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g ＝G M R 2.由于地球的质量为：M ＝ρ·43πR 3，因此重力加速度的表达式可写成：g ＝GM R 2＝G ·ρ43πR 3R 2＝43πGρR .依照题意有，质量散布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g ′＝43πGρ(R －d )，因此有g ′g ＝R －d R .依照万有引力提供向心力G Mm (R ＋h )2＝ma ，“天宫一号”所在处的重力加速度为a ＝GM (R ＋h )2，因此a g ＝R 2(R ＋h )2，g ′a ＝(R －d )(R ＋h )2R 3，故C 正确，A 、B 、D 错误．变式3 (2019·广东省东莞市调研)“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”．假设飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，那么飞船所在处的重力加速度大小为( ) A ．0 答案 B命题点三 天体质量和密度的估算天体质量和密度经常使用的估算方式使用方法已知量 利用公式 表达式 备注质量的计算利用运行天体r 、T G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝4π2r 3GT 2只能得到中心天体的质量r 、vG Mmr 2＝m v 2rM ＝r v 2Gv 、TG Mmr 2＝m v 2rG Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝v 3T 2πG利用天体表面重力加速度 g 、Rmg ＝GMm R2M ＝gR 2G密度的计算利用运行天体r 、T 、RG Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝ρ·43πR 3ρ＝3πr 3GT 2R 3当r ＝R 时 ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g 、Rmg ＝GMmR 2M ＝ρ·43πR 3ρ＝3g4πGR例3 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发觉毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝ ms.假设星体为质量均匀散布的球体，已知万有引力常量为×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳固自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg /m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg /m 3D ．5×1018 kg/m 3答案 C解析 脉冲星自转，边缘物体m 恰对球体无压力时万有引力提供向心力，那么有G Mmr 2＝mr 4π2T 2， 又知M ＝ρ·43πr 3整理得密度ρ＝3πGT 2＝3××10－11×(×10－3)2kg /m 3≈×1015 kg/m 3.变式4 (多项选择)(2018·广东省汕头市第二次模拟)“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，假设该月球车在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2，已知地球半径为R 1，月球半径为R 2，则( ) A ．地球表面与月球表面的重力加速度之比为G 1R 22G 2R 12B ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2C ．地球与月球的质量之比为G 1R 22G 2R 12D ．地球与月球的平均密度之比为G 1R 2G 2R 1答案 BD解析 地球表面的重力加速度为g 1＝G 1m ，月球表面的重力加速度g 2＝G 2m ，地球表面与月球表面的重力加速度之比为g 1g 2＝G 1G 2，故A 错误．依照第一宇宙速度公式v ＝gR ，得v 1v 2＝g 1R 1g 2R 2＝G 1R 1G 2R 2，故B 正确．依照mg ＝GMm R2，得M ＝gR 2G ，地球质量M 1＝g 1R 12G ，月球的质量M 2＝g 2R 22G ，因此地球与月球质量之比为M 1M 2＝g 1R 12g 2R 22＝G 1R 12G 2R 22，故C 错误．平均密度ρ＝M V ＝3g 4πRG ，得ρ1ρ2＝g 1R 2g 2R 1＝G 1R 2G 2R 1，故D 正确． 变式5 (多项选择)(2018·山东省青岛市二模)利用探测器探测某行星，探测器在距行星表面高度为h 1的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T 1；探测器在距行星表面高度为h 2的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T 2，万有引力常量为G ，依照以上信息可求出( ) A ．该行星的质量 B ．该行星的密度C ．该行星的第一宇宙速度D ．探测器切近行星表面飞行时行星对它的引力 答案 ABC解析 探测器在距行星表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动时，有：G Mm(R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )解得：M ＝4π2(R ＋h )3GT 2那么有M ＝4π(R ＋h 1)3GT 12，M ＝4π2(R ＋h 2)3GT 22联立两式即可求出行星的质量M 和行星的半径R ，A 正确；行星的密度：ρ＝MV ＝4π2(R ＋h 1)3GT 1243πR 3＝3π(R ＋h 1)3GT 12R 3，能够求出行星的密度，B 正确；依照万有引力提供向心力，得第一宇宙速度v ＝GMR ，C 正确；由于不明白探测器的质量，因此不可求出探测器切近行星表面飞行时行星对它的引力，D 错误．命题点四 卫星运行参量的分析卫星运行参量 相关方程结论线速度v G Mmr 2＝m v 2r ⇒v ＝ GMr r 越大，v 、ω、a 越小，T 越大角速度ω G Mmr 2＝mω2r ⇒ω＝ GMr 3周期T G Mmr2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ⇒T ＝2π r 3GM向心加速度aG Mm r 2＝ma ⇒a ＝GMr2例4 (2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波，“天琴打算”估量发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( ) A ．2∶1 B ．4∶1 C ．8∶1 D ．16∶1 答案 C解析 由G Mm r 2＝mr 4π2T 2知，T 2r 3＝4π2GM ，那么两卫星T P 2T Q 2＝r P 3r Q 3.因为r P ∶r Q ＝4∶1，故T P ∶T Q ＝8∶1.变式6 (2018·山东省临沂市上学期期中)据报导，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星(这4颗卫星均绕地球做匀速圆周运动)，以增强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全数岛屿周围海域的监测．设海陆雷达卫星的轨道半径是海洋动力环境卫星的n 倍，以下说法正确的选项是( )A ．在相同时刻内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等B ．海陆雷达卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比等于海洋动力环境卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比C ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星角速度之比为32n ∶1D ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星周期之比为1∶32n 答案 B解析 依照G Mm r 2＝mω2r ＝m 4π2T 2r ，可得T ＝2π r 3GM ，ω＝ GM r 3，卫星到地心的连线扫过的面积为S ＝ωt 2ππr 2＝ωt 2r 2＝GMr 2t ，半径不同，那么面积不同，A 错误；由T ＝2πr 3GM 可知r 3T 2＝GM 4π2，r 3T2是一个定值，B 正确；依照ω＝GM r3可知角速度之比为1∶32n ，C 错误；依照T ＝2πr 3GM可知周期之比为32n ∶1，D 错误． 变式7 (2018·广东省揭阳市期末)如图3所示是北斗导航系统中部份卫星的轨道示用意，已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，则( )图3A ．卫星a 的角速度小于c 的角速度B ．卫星a 的加速度大于b 的加速度C ．卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度D ．卫星b 的周期大于24 h答案 A解析 依照公式G Mm r 2＝mω2r 可得ω＝ GM r 3，运动半径越大，角速度越小，故卫星a 的角速度小于c 的角速度，A 正确；依照公式G Mm r 2＝ma 可得a ＝GM r2，由于a 、b 的轨道半径相同，因此二者的向心加速度大小相同，B错误；第一宇宙速度是近地轨道卫星做圆周运动的最大围绕速度，依照公式G Mm r 2＝m v 2r 可得v ＝ GM r，半径越大，线速度越小，因此卫星a 的运行速度小于第一宇宙速度，C 错误；依照公式G Mm r 2＝m 4π2T2r 可得T ＝2π r 3GM ，故轨道半径相同，周期相同，因此卫星b 的周期等于24 h ，D 错误．1．(2018·江西省南昌市第二次模拟)为“照亮”“嫦娥四号”“驾临”月球反面之路，一颗承载地月中转通信任务的中继卫星将在“嫦娥四号”发射前半年进入到地月拉格朗日点L 2，如图1.在该点，地球、月球和中继卫星始终位于同一直线上，且中继卫星绕地球做圆周运动的周期与月球绕地球做圆周运动的周期相同，则( )图1A ．中继卫星绕地球做圆周运动的周期为一年B ．中继卫星做圆周运动的向心力仅由地球提供C ．中继卫星的线速度小于月球运动的线速度D ．中继卫星的向心加速度大于月球运动的向心加速度答案 D解析 中继卫星绕地球做圆周运动的周期与月球绕地球运动的周期相等，都约为天，故A 错误；中继卫星做圆周运动的向心力由月球和地球引力的合力提供，故B 错误；中继卫星与地球同步绕地球运动，角速度相等，依照v ＝ωr ，知中继卫星的线速度大于月球的线速度，故C 错误；依照a ＝ω2r 知，中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度，故D 正确．2．(2018·河南省鹤壁市调研)我国在酒泉卫星发射中心采纳长征四号乙运载火箭成功发射首颗X 射线调制望远镜卫星“慧眼”．它在距离地面550千米的轨道上运行，其运动轨道可近似看成圆轨道．依照上述信息可知以下说法中正确的选项是( )A ．该卫星的运行速度大于 km/sB ．该卫星的运行周期小于低轨道近地卫星的运行周期C．该卫星的发射速度大于km/sD．该卫星所在轨道的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案 C解析 离地球越远的卫星运行越慢，故该卫星的运行速度必然小于第一宇宙速度 km /s ，选项A 错误；该卫星的运行周期必然大于低轨道近地卫星的运行周期，选项B 错误；第一宇宙速度是最小发射速度，故该卫星的发射速度大于 km/s ，选项C 正确；离地球越远重力加速度越小，故该卫星所在轨道的重力加速度小于地球表面的重力加速度，选项D 错误．3．(2018·山东省临沂市上学期期末)2018年1月13日15时10分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭，成功将“陆地勘查卫星三号”发射升空，卫星进入预定轨道．这是我国第三颗低轨陆地勘查卫星．关于“陆地勘查卫星三号”，以下说法正确的选项是( )A ．卫星的发射速度必然小于 km/sB ．卫星绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大C ．卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度小D ．卫星在预定轨道上没有加速度答案 B4．(多项选择)(2019·广东省珠海市质检)已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，通过时刻t (t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s ，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，万有引力常量为G ，则( )A ．航天器的轨道半径为θsB ．航天器的围绕周期为2πt θC ．月球的质量为s 3Gt 2θD ．月球的密度为3θ24Gt 2 答案 BC解析 r ＝s θ，故A 错误；通过时刻t ，t T ＝θ2π，得：T ＝2πt θ，故B 正确；GMm r 2＝mr 4π2T 2，因此：M ＝4π2r 3GT 2＝s 3Gt 2θ，故C 正确；人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，月球的半径等于r ，那么月球的体积：V ＝43πr 3，月球的密度为ρ＝M V ＝3θ24πGt 2，故D 错误． 5．(多项选择)(2018·江西省新余市上学期期末)已知月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r ，绕月周期为T .依照以上信息可求出( )A ．“嫦娥四号”绕月运行的速度为R 2g r B ．“嫦娥四号”绕月运行的速度为r 2g R C ．月球的平均密度为3πGT 2 D ．月球的平均密度为3πr 3GT 2R3 答案 AD解析 G Mm R 2＝mg ，那么有GM ＝R 2g ，“嫦娥四号”绕月运行时，G Mm r2＝m v 2r ，解得v ＝ GM r ，联立解得v ＝gR 2r ，故A 正确，B 错误；“嫦娥四号”绕月运行时有，G Mm r2＝m 4π2T 2r ，解得：M ＝4π2r 3GT 2，ρ＝M V ＝4π2r 3GT 24π3R 3＝3πr 3GT 2R 3，故C 错误，D 正确． 6．(多项选择)(2018·河北省张家口市上学期期末)宇航员站在某一星球上，将一个小球距离星球表面h 高度处由静止释放使其做自由落体运动，通过t 时刻后小球抵达星球表面，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，那么以下选项正确的选项是( )A ．该星球的质量为2hR 2Gt2 B ．该星球表面的重力加速度为h 2t 2C ．该星球表面的第一宇宙速度为2hRt D ．该星球的密度为ρ＝3h 2πRGt 2答案 ACD 解析 h ＝12gt 2，g ＝2h t 2，星球表面的物体受到的重力等于万有引力， 即G Mm R2＝mg ，解得质量为：M ＝gR 2G ＝2hR 2Gt 2，故A 正确，B 错误；G Mm R2＝m v 2R ，v ＝ 2hR t ，故C 正确；在星球表面有：G Mm R 2＝mg ，星球的密度为：ρ＝M 43πR 3，联立以上解得：ρ＝3h 2πRt 2G ，故D 正确． 7．(多项选择)(2018·安徽省芜湖市上学期期末)假设宇宙中有两颗相距足够远的行星A 和B ，半径别离为R A 和R B .各自相应的两颗卫星围绕行星运行周期的平方与轨道半径的三次方的关系如图2所示，两颗卫星围绕相应行星表面运行的周期都为T 0.则( )图2A ．行星A 的质量大于行星B 的质量B ．行星A 的密度小于行星B 的密度C ．行星A 的第一宇宙速度等于行星B 的第一宇宙速度D ．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A 的卫星向心加速度大于行星B 的卫星向心加速度答案 AD解析 G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得M ＝4π2G ·r 3T 2，从题图中可知斜率越小，r 3T 2越大，质量越大，因此行星A 的质量大于行星B 的质量，A 正确；依照题图可知，在两颗行星表面做匀速圆周运动的周期相同，密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝4π2G ·R 3T 0243πR 3＝3πGT 02，因此行星A 的密度等于行星B 的密度，B 错误；第一宇宙速度v ＝2πR T 0，A 的半径大于B 的半径，卫星围绕行星表面运行的周期相同，那么A 的第一宇宙速度大于行星B 的第一宇宙速度，C 错误；依照G Mm r 2＝ma 得a ＝G M r 2，当两行星的卫星轨道半径相同时，A 的质量大于B 的质量，那么行星A 的卫星向心加速度大于行星B 的卫星向心加速度，D 正确．8．(2018·福建省三明市上学期期末)过去几千年来，人类对行星的熟悉与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发觉拉开了研究太阳系外行星的序幕，“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( )B ．1C ．5D ．10答案 B解析 GMm r 2＝m 4π2T 2r ，解得M ＝4π2r 3GT 2，“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，因此该中心恒星与太阳的质量比约为⎝⎛⎭⎫1203⎝⎛⎭⎫43652≈1.9．(2018·福建省龙岩市上学期期末)已知“天宫二号”空间站在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，通过时刻t (t 小于其运行周期T )运动的弧长为s ，对应的圆心角为β弧度．已知万有引力常量为G ，地球表面重力加速度为g ，下面说法正确的选项是( )A ．“天宫二号”空间站的运行速度为s tB ．“天宫二号”空间站的围绕周期T ＝πt βC ．“天宫二号”空间站的向心加速度为gD ．地球质量M ＝gs 2Gβ2 答案 A解析 “天宫二号”空间站的运行速度为v ＝s t ，选项A 正确；角速度ω＝βt ，那么周期T ＝2πω＝2πt β，选项B 错误；依照a ＝GM r 2可知，“天宫二号”空间站的向心加速度小于g ，选项C 错误；依照G Mm r 2＝mωv ，v ＝ωr ，解得：M ＝ωv r 2G ＝v 3ωG ＝s 3Gβt 2，选项D 错误． 10．(2018·湖南省益阳市4月调研)2018年2月12日，“长征三号乙”运载火箭以“一箭双星”的形式将北斗三号第五颗、第六颗全世界组网导航卫星成功送入预定轨道，这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，即采纳圆轨道，轨道高度低于同步卫星的轨道高度，万有引力常量为已知，以下说法正确的选项是( )A ．这两颗卫星在其轨道上运行的速度小于同步卫星的速度B ．若是已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期能够计算出地球质量C ．若是已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期与轨道半径能够计算出地球密度D ．这两颗卫星在其轨道上运行的速度小于第一宇宙速度的大小答案 D解析 G Mm r 2＝m v 2r ，解得v ＝GM r ，由于r 同>r 中>r 近，因此这两颗卫星在其轨道上运行的速度大于同步卫星的速度，小于第一宇宙速度的大小，故A 错误，D 正确；G Mm r 2＝m 4π2T2r ，解得M ＝4π2r 3GT 2，已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期和万有引力常量，不知这两颗卫星的轨道半径，因此不能求出地球质量，故B 错误；G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得M ＝4π2r 3GT 2，已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期与轨道半径，能求出地球质量，地球密度ρ＝M 43πR 3，地球的半径不明白，不能求出地球密度，故C 错误．11．(多项选择)(2018·山东省济宁市上学期期末)如图3所示，A 为置于地球赤道上的物体，B 为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C 为绕地球做圆周运动的卫星，P 为B 、C 两卫星轨道的交点，已知A 、B 、C 绕地心运动的周期相同，以下说法正确的选项是( )图3A ．卫星C 的运行速度小于物体A 的速度B ．物体A 和卫星C 具有相同大小的加速度C ．卫星B 和卫星C 在P 点的加速度大小相等D ．卫星B 运动轨道的半长轴与卫星C 运动轨道的半径相等答案 CD解析 物体A 和卫星C 的周期相等，那么角速度相等，依照v ＝rω知，半径越大，线速度越大，因此卫星C 的运行速度大于物体A 的速度，故A 错误；物体A 静止于地球赤道上随地球一路自转，卫星C 绕地球做圆周运动，依照a ＝ω2r ，卫星C 的加速度较大，故B 错误；依照a ＝GM r2知，两卫星在P 点到地心的距离相等，那么加速度大小相等，故C 正确；卫星B 、C 绕地心运动的周期相同，依照开普勒第三定律得卫星B 运动轨道的半长轴与卫星C 运动轨道的半径相等，故D 正确．12．(2018·吉林省长春市八中模拟)如图4，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m ＝ kg 的小物块从斜面底端以速度9 m/s 沿斜面向上运动，小物块运动 s 时速度恰好为零．已知小物块和斜面间的动摩擦因数为，该星球半径为R ＝×103 km(sin 37°＝，cos 37°＝，试求：。
第四章第4讲万有引力定律及其应用
［课时作业］单独成册方便使用A. 1-dB.1+R、单项选择题［基础题组］ 1.对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运 动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的 不同卫星做圆周运动的半径r 与周期T 的关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为（已知引力常量为G ）（） 2 2 "4 na 4 nb A.~Gb B.~GaGb D.^na2 3解析：由9罟—m4n^可得令一罗学，结合题图图线可得, a b — 4 n ，故M -嚳, A 正确. 答案：A 2.长期以来“卡戎星（Charon ）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半 19 600 km,公转周期T i = 6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小 卫星，其中一颗的公转轨道半径 「2= 48 000 km ，则它的公转周期T 2最接近于 A. 15 天 B. 25 天 D. 45 天 3 3解析：由开普勒第三定律T 2xr 3有井—卷2,代入数据解得T 2最接近于25天，本 C. 35天 题只有选项B 正确. 答案：B 3.假设地球是一半径为 R 、质量分布均匀的球体.一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比R— d2 C. (~~^)R 2 D. (R—d)解析：设位于矿井底部的小物体的质量为 m,则地球对它的引力为半径为（R— d）的部分“地球”对它的引力，地球的其他部分对它的引力为零，有普；对位于地球表面的物体m有m g=譽，根据质量分布均匀的物体的质量和体积成正比可得晋=~^—丄，由以上三式可得g厂1—R,选项A正确.答案：A4•有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的（忽略其自转影响）（）A.4B. 4倍C. 16 倍9g3解析：天体表面的重力加速度 g= GM"，又知尸MV=4^3，所以 M = 16 n P G3,答案：D5. （2018山东高密模拟）据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星•假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍•那么，一个在地球表面能举起 64 kg物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少（地球表面重力加速度g= 10 m/s2）（）A. 40 kgB. 50 kgC. 60 kgD. 30 kg解析：根据万有引力等于重力G MR T = mg得g=罟，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径是地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量、「m0 64 ―为 m= 16= 16 kg = 40 kg，故 A 正确.答案：A 二、多项选择题 6. （2016高考海南卷）通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量.假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量.这两个物理量可以是（）A.卫星的速度和角速度B.卫星的质量和轨道半径C.卫星的质量和角速度D.卫星的运行周期和轨道半径解析：根据线速度和角速度可以求出半径 r = Y，根据万有引力提供向心力，则3Mm v2v3有G^r^ = m—，整理可得M = G3，故选项A正确；由于卫星的质量 m可约掉,故选项B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则G^Mm = 口（帑2「，整理得M =攀，故选项D正确.答案：AD 7•宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地.若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处.已知该星球的半径与地球半径之比为 R星：R地=1 : 4,地球表面重力加速度为g,设该星球表面附近的重力加速度为g'，空气阻力不计.则（）A.g'： g= 1 : 5B.g’： g = 5 : 2C.M 星：M 地=1 : 20D.M 星：M 地=1 : 80解析：由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间 t=警，因此得5g g 5t1 M m g R2M星g' R ii 1 1 c 15, A正确，B错误；由二mg得M二g R，因而仏二-g R^二尹（4）= 8），C错误，D正确.答案：AD8.如图所示，两星球相距为I ，质量之比为m A : m B = 1 : 9，两星 片 球半径远小于I .沿A 、B 连线从星球A 向B 以某一初速度发射一 探测器，只考虑星球A 、B 对探测器的作用.下列说法正确的是（ ）A .探测器的速度一直减小B. 探测器在距星球A 为4处加速度为零C.若探测器能到达星球B,其速度可能恰好为零D.若探测器能到达星球B,其速度一定大于发射时的初速度 解析：设探测器距星球A 的距离为x 时，两星球对探测器的引力相等，即 =G 卫笔，解得x=4I ，根据牛顿第二定律可得，此时探测器的加速度为零，选I — x 4项B 正确；探测器从A 向B 运动，所受的万有引力合力先向左再向右，则探测 器先减速后加速，故选项 A 错误；探测器到达星球 B 的过程中，因为A 的质量 小于B 的质量，从A 到B 万有引力的合力做正功，贝劇能增加，所以探测器到 达星球B 的速度一定大于发射时的初速度，故选项 C 错误，选项D 正确. 答案：BD［能力题组］、选择题 9.如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨 道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动， 发现每经过 时间t 通过的弧长为I ，该弧长对应的圆心角为0弧度.已知万有引力常量为G,则月球的质量是（ ） I 2 0 A.Gft B .GI 2t 严I 3 丄 CGB 2D©3ftO_m A m Gm?"t 通过的弧长为I ，故卫星的线速度为V =角速度为3R=3 = n 则根据万有引力定律及牛顿第二定律得：答案：C10.若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处， 以相同的速 率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2 : {7.已知该行星质量约为 地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为（ ）B.7RD粤R解析：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即 x = v o t ，在竖直方向上做自由 落体运动，即h= ^gt 2，所以 X i/ ，两种情况下，抛出的速度相同，高度M 行g 行7MmGM g 行 R 行 i相同，所以—=7，根据公式GMRm = mg 可得g = G M"，故—= =7，解得R 行g 地 4 R Rg 地 M 地 4R 地=2R,故C 正确.答案：C 11.为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T;登陆舱在行星表面着陆后，宇航员又用弹簧测力计称量一质量为 m的砝码，读数为F.已知引力常量为G.则下列选项错误的是（ ）F^44nFT 2m解析：因为每经过时间n f ，卫星的运行半径为 mF ，则月球的质量 M =兽=，选项C 正确. A.2R C. 2RA .该行星的质量为 B.该行星的半径为C.该行星的密度为 3 nGT 2D.该行星的第一宇宙速度为222 nm4 2FT 2M m 4 T t解析：据 F = mg o = m 斤^R,得 R= 4 <m , B 选项符合题意；由 G R ^ = my z R,4 2R 3 FT ? 卩3丁4 M 3 得M 二"GT 厂，又R 二话，则M 二16岔m 3, A 不符合题意；密度 尸M 二G 寺, C 不符合题意；第一宇宙速度v={g 0R=^nm ，D 不符合题意•故选B.答案：B 12.（多选）某物理兴趣小组通过查资料得到以下量的具体数据 （用字母表示）：地 球半径R ，地球质量m,日地中心距离r,地球的近地卫星绕地球运行的周期 T i ,地球的同步卫星绕地球运行的周期 T o ,地球绕太阳运行的周期「由此可知（ ）r 3T 12mA •太阳质量为r RT mR 3T 2mB.太阳质量为C.地球同步卫星离地面的高度为 （普2—i ）RD. 地球同步卫星离地面的高度为（華1）Rmm， 4 2 3丁2R 3G R 2 = m’ T /R,得M = ；3；丁, A 正确，B 错误；由开普勒第三定律有 讦二T O2 ,可得地球同步卫星离地面的高度为 h=（ —1）R, C 正确，D 错误.答案：AC 、非选择题13. 一宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长 的轻绳拴一质量为m 的小球，上端固定在 0点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕0点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示.F i 、F 2已知，引力常量为G,忽略各种阻力•求:解析：设太阳质量为M ,由万有引力提供向心力有24 n 亠…4+十亠 = m斤2r,在地球表面有Qn(1)星球表面的重力加速度；⑵星球的密度.解析：(1)最高点绳对小球的拉力小于最低点绳对小球的拉力，从乙图可得最低点绳的拉力为F1,最高点绳的拉力为F2.设小球在最低点的速度为V1，最高点的速度为V2,绳长为L.根据牛顿第二定律和向心力公式得曰血上 L mv11 2最低点：F1 — mg=~L~亠_ mv孑最咼点：F2+ mg=—厂从最低点到最高点，只有重力对小球做功，根据机械能守恒定律得 2mgL= 2mv i2—F1 — F2由以上三式得g= 6m .(2)在星球表面处有 mg= ¥弊，则M = 譽.密度尸号，而V= 垮，所以密度p3g F1— F2=4G7R将⑴中g代入得=8 7GRm- 答案：⑴晋⑵8nRm14.(2018 山西省实验中学月考)土星拥有许多卫星，至目前为止所发现的卫星数已经有30多个•土卫一是土星8个大的、形状规则的卫星中最小且最靠近土星的一个，直径为392千米，与土星平均距离约1.8X105千米，公转周期为23小时，正好是土卫三公转周期的一半，这两个卫星的轨道近似于圆形•已知引力常量为G = 6.67X 10—11 N m2/kg2，求：1 土卫三的轨道半径(已知却2= 1.26,结果保留两位有效数字);2 土星的质量(结果保留一位有效数字).答案：(1)2.9X 105km (2)5X 1026kgR 3解析：（1）根据开普勒第三定律 亍=k,可知土卫一的轨道半径r i 、周期T i 与土卫三的轨道半径「2、周期T 2满足寻=牟，所以R 2^^T 2R 1 =（32）2X 1.8X 105km=2.9X 105km.Mm 4 n4 nR 3GpF = mR 1Td ，可得土星质量 M = GT 12266.67X 10- 11X 23X 3 600 2旳一5X 10如（2）根据土卫一绕土星运动有 4X 3.142X 1.8X 108 3。
第4章第4讲万有引力定律及其应用
在星球赤道处，物体受引力F引与弹簧弹力F 的作用随
星球自转做匀速圆周运动，所以F引
F
m
4 2
T2
R③
由①②③得 3F
GT 2 (F F)
1.对于万有引力定律的表达式 说法正确的是( C )
F
G
m1m2 r2
，下列
A．公式中G为引力常量，它是人为规定的 B．r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向
应用万有引力定律求天体 质量
我国已经启动“嫦娥探月工程”， 2007年发射绕月球飞行的“嫦娥一号”， 2010年年底实现登月飞行，若在月球表 面上，宇航员测出小物块自由下落h高 度所用的时间为t,当飞船在靠近月球表 面的圆轨道上飞行时，测得其环绕周期 为T，已知万有引力常量为G，根据上 述物理量，求月球的质量M．
石头所受引力
F
G
Mm r2
6.7 1011
2 1026 5 (108 )2
6.7N.
天体的运动学参量与轨道半 径之间的关系
我国发射的“神舟七号”宇宙飞船 绕 地 球 的 运 动 周 期 约 为 90min ， 如 果 把 它绕地球的运动看做是匀速圆周运动， 飞船的运动和人造地球同步卫星的运动 相比，下列判断中正确的是( )
7.一物体静置在平均密度为r的球形天体表面的赤 道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使 物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期 为( D )
A. 4 3G
B. 3
4 G
C. G
D. 3 G
【解析】物体对天体表面压力恰好为零，说明天体 对物体的万有引力提供向心力：
G
Mm R2
m
4 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考点 2 人造卫星的运动规律
1.卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需
向心力，即由
G
Mm r2
m
v2 r
mr2
m
42 T2
r
ma n 可推
导出：
v
GM r
GM
v减小
r3 42r3
当r增大时
减小 T增大
T
GM
a n 减小
an
GM r2
2.地球同步卫星的特点
42r3 GT2
。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
M V
M 4 R3
3r3 。 GT 2 R 3
3
若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r=R，则有
M 4 R3
3 。 GT2
3
【典例透析1】 (2012·福建高考)一卫星绕某一行 星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v。假 设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量 为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N。 已知引力常量为G,则这颗行星的质量为( B )
A.卫星运动的速度大小为 2gR
B.卫星运动的周期为 4 2R
g
C.卫星运动的向心加速度大小为 1 g
2
D.卫星轨道处的重力加速度为 1 g
4
考点 3 航天器的变轨问题
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发
动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，
卫星将做变运行:
(1)当卫星的速度突然增加时，G
力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律。
①卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量 发生变化，其他各量也随之发生变化。
②an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半 径r和中心天体质量共同决定。
【变式训练】(双选)在圆轨道上运动的质量为m的 人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R， 地面上的重力加速度为g，忽略地球自转影响，则 ( BD)
运行时由 v GM 可知其运行速度比原轨道时增大;卫
r
星的发射和回收就是利用这一原理。
【典例透析3】(2012·山东高考)2011年11月3日，
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据
G
Mm r2
m
42 T2
r得r
3
GMT 42
2
＝4.23
104
km，
卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
4.第一宇宙速度的计算方法。
(1)由
G
Mm R2
m
v2 R
得v
GM R
(2)由 mg m v2 得v
R
gR
知识点 3 第二宇宙速度和第三宇宙速度 1.第二宇宙速度(脱离速度) 使物体挣脱__地__球_引力束缚的最小发射速度，其数值 为1_1_._2__km/s。 2.第三宇宙速度(逃逸速度) 使物体挣脱__太__阳_引力束缚的最小发射速度，其数值 为_1_6_._7_km/s。
4
化,则变轨前后卫星的( C ) A.向心加速度大小之比为4∶1 B.角速度大小之比为2∶1 C.周期之比为1∶8 D.轨道半径之比为1∶2
【总结提升】人造卫星问题的解题技巧 (1)利用万有引力提供向心力的不同表述形式：
①G
Mm r2
ma n
②a n
v2 r
r2
42 T2
r
(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决
Mm r2
m
v2 r
，即万有引
力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来
的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定
运行时由 v GM 可知其运行速度比原轨道时减小。
r
(2)当卫星的速度突然减小时，G
Mm r2
m
v2 r
，即万有引力
大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来
的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定
3.极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地 球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆 周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于 地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
【典例透析2】(2012·天津高考)一人造地球卫星绕 地球做匀速圆周运动,假如该卫星变轨后仍做匀速圆 周运动,动能减小为原来的 1 ,不考虑卫星质量的变
知识点 1 万有引力定律及其应用
1.内容
宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间引力
的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和 m2的乘积_成__正__比__，与它们之间距离r的二次方_成__反__比__。
2.公式
F=
G
m1m2 r2
,其中G为引力常量，G=6.67×10-11
N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。
考点 1 天体质量和密度的估算
1.自力更生法
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由
G
Mm R2
mg得天体质量M
gR 2 G
。
(2)天体密度
M M 3g 。 V 4 R3 4GR
3
2.借助外援法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由
G
Mm r2
m
42r T2
得天体的质量M
3.适用条件 两个_质__点__之__间__万有引力的计算。
(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律 来计算，其中r为_两__球__心__间__的距离。
(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万 有引力也适用，其中r为_质__点__到__球__心__间__的距离。
知识点 2 环绕速度 1.第一宇宙速度又叫_环__绕__速度，其数值为_7_._9_ km/s。 2.第一宇宙速度是人造卫星在_地__面__附近环绕地球做匀 速圆周运动时具有的速度。 3.第一宇宙速度是人造卫星的最小_发__射__速度，也是人 造卫星的最大_环__绕__速度。
mv2 A.
GN
mv4 B.
GN
Nv2 C.
Gm
D. Nv4 Gm
【变式训练】(双选)(2013·南通模拟)为了对火星 及其周围的空间环境进行探测，我国发射了一颗火 星探测器。假设探测器在离火星表面高度分别为h1 和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星 可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影 响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计 算出AD( ) A．火星的质量 B．探测器的质量 C．火星对探测器的引力 D．火星表面的重力加速度