点差法

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定比点差法及其应用解说

定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。

若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。

分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。

解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。

以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。

考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。

2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。

如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。

因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。

例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。

分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。

解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。

下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。

点差法公式结论

点差法公式结论点差法公式结论是由美国数学家威斯康星·格雷厄姆（Wisconsin Grayham）发明的，他在1922年的一篇论文中提出了这个结论。

根据这个结论，如果两个曲线有相同数量的点，那么它们之间的点差就可以通过使用特定的公式来表示。

换句话说，如果两个曲线有相同数量的点，那么它们之间的点差可以通过以下公式来表示：点差=（P1-P2）/（x1-x2）其中，P1和P2是两条曲线上的两个点，而x1和x2是这两个点的x坐标。

点差法公式结论的作用在于可以帮助我们找出两条曲线之间的差异。

例如，如果两条曲线有相同数量的点，但是它们之间点差却不同，那么我们就可以用点差法公式来分析这两条曲线之间的差异。

此外，点差法公式还可以帮助我们分析出曲线的斜率、弧度和曲率。

点差法公式结论也可以用来估算复杂曲线的点差。

它可以帮助我们找出曲线的最大和最小值，以及曲线的方向变化。

例如，我们可以使用点差法公式来确定一条曲线是否是抛物线，是否是双曲线，或者是否呈现出l形的特征。

点差法公式结论也可以用来计算函数的导数。

它可以帮助我们估算函数在某一点处的斜率，从而可以帮助我们找出函数的最大值和最小值。

此外，点差法公式结论还可以帮助我们确定函数在某一点处是否有极值，从而可以帮助我们更好地理解函数的性质。

点差法公式结论也可以用来估算曲线的塑性应力与变形的关系。

此外，它还可以帮助我们估算曲线的摩擦因素，以及曲线上的点之间的关系。

总的来说，点差法公式结论是一种非常有用的工具，它可以帮助我们研究曲线之间的差异，以及曲线上点之间的关系，并且可以用来估算函数的导数，以及估算曲线的塑性应力和变形之间的关系。

由于它的简单易用，点差法公式结论广泛应用于各种数学领域，可以说它已经成为一种重要的数学工具。

点差法

C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
16 则弦长 |AB|= _______ , 5
练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
y12 y2 2 8( x1 x2 ) y1 y2 8 8 4 x1 x2 y1 y2 2
直线为y 1 4( x (1))
即4 x y 3 0
练习：过点Q(4,1)作抛物线y 2 8x的弦AB, 恰Q被平分，求AB所在的直线方程.
解：（ 1 ）设交点坐标为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 2 y12 1 x1 y1 y2 2( x1 x2 ) 2 相减得: 即k 4 2 x1 x2 y1 y2 y 2 x 2 1 2 2 直线方程为： y 4x 7
2 2.(2014·临汾模拟)椭圆 x
则这条弦所在的直线方程是______.
2
y 1
2
的一条弦被点 1 1 平分，
( ，) 2 2
【解析】设该弦与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点
1 1 (，，y ) )代入椭圆方程后作差可得 B(x 2 2 22
答案：2x+4y-3=0
椭圆的弦所在的直线方程.
解 : (2)5 12 9 12 45
5x 9 y 14 0
例5：已知椭圆方程为x 2 4 y 2 2 x 12 y 6 0 (1)求这椭圆中以A(2,1)为中点的弦所在直线方程 (2)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程。

点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ①y D若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k MN -=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。

点差法

点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。

点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题；①注意：点差法的不等价性；（考虑⊿>0）②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。

在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题. 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".求直线方程或求点的轨迹方程例1 抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1 ①；x1^2 +px1+q=0 ②；由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0 ③；同理px2 +3y2+q=0 ④.∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为不共线的两点确定一条直线.∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程待定系数法例、分解因式x －x －5x －6x－4分析：已知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

点差法公式焦点在y轴

点差法公式焦点在y轴
点差法是求抛物线焦点的一种方法，当抛物线的焦点在y轴上时，我们可以利用点差法来求解。

首先，我们知道抛物线的一般方
程是y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。

如果焦点在y轴上，那
么抛物线必然是开口向上或者向下的，也就是a的符号为正或者负。

首先，我们需要计算抛物线的顶点坐标，顶点的横坐标可以通
过-b/2a来求得。

然后，我们可以利用顶点坐标和抛物线的一般方
程来求得焦点的坐标。

如果抛物线开口向上，那么焦点的坐标为(Vx, 1/(4a) + Vy)，如果抛物线开口向下，那么焦点的坐标为(Vx, -
1/(4a) + Vy)，其中(Vx, Vy)为顶点的坐标。

另一种方法是直接利用抛物线的焦点公式来求解。

对于焦点在
y轴上的抛物线，焦点的坐标可以表示为(0, 1/(4a))或者(0, -
1/(4a))，具体取决于抛物线开口的方向。

这个公式可以直接用来求
解焦点的坐标，而不需要先求出顶点的坐标。

综上所述，当抛物线的焦点在y轴上时，我们可以通过点差法
或者直接利用焦点公式来求解焦点的坐标。

这样就能够全面地回答
这个问题了。

点差法八个公式

点差法八个公式
点差法通常用于计算外汇价格的波动范围。

以下是点差法的八个公式：
1. 交易成本 = 合约单位×点差×开仓价
2. 总手续费 = （开仓成本 + 平仓成本）×手续费比例
3. 每笔交易的净收益 = 成交金额×（买入价 - 卖出价）- 总手续费
4. 初始保证金 = 合约大小×开仓价÷杠杆
5. 可用保证金 = 账户余额 - 持仓所需保证金
6. 警戒线 = 账户余额×警戒线比例÷合约单位×开仓价
7. 强制平仓线 = 账户余额×强制平仓线比例÷合约单位×开仓价
8. 每个点的价值 = 合约大小÷报价货币兑基础货币的汇率
其中，合约单位是指每手的交易量，点差是指买价和卖价之间的价差，开仓价是指投资者开
仓时所支付的价钱，平仓成本是指投资者在平仓时所支付的价钱，手续费比例是指每次交易时需
要支付给券商的费用比例，杠杆是指投资者所能借取的最高资金比例，账户余额是指交易者在交
易帐户中的可用资金，持仓所需保证金是指用于维持未平仓头寸所需的保证金，警戒线比例是指
账户余额低于该比例时系统会强制关闭仓位，强制平仓线比例是指账户余额低于该比例后系统强
制平仓。

通过这些公式，投资者可以更准确地计算交易成本和收益率，调整仓位大小和资金管理策略，以提高投资效益。

椭圆点差法

椭圆点差法
点差法是处理椭圆和直线之间的关系中常常会使用到的一
种方法，在平时解题的时候，多运用点差法可以大大提高解题效率，省掉许多繁杂的计算过程，减少出错概率。

同时，点差法在解决椭圆中点弦长问题中用到的场合也比较多，该专题是高考的高频考点之一。

当然不管任何解题方法，都是需要去不断通过练习，加深对其的理解，只有彻底理解透彻，甚至能够倒推公式了。

这样做题才能够达到熟练运用的状态。

附上点差法公式图片：。

圆锥曲线专题点差法

优点：可以避免复杂的联立方程和消元过程，简化了解题过程。
点差法的应用技巧
定义：点差法是一种通过将两点坐标代入方程，然后相减来消元，简化计算的方法
应用场景：适用于求圆锥曲线中点坐标的问题
步骤：设两点坐标，代入圆锥曲线方程并相减，整理得到中点坐标的表达式
注意事项：需确保两点确实在圆锥曲线上，否则计算结果可能不准确
设两个点$P_1(x_1,y_1)$和 $P_2(x_2,y_2)$在圆锥曲线上
将两点代入圆锥曲线方程，得到两个等式
将两个等式相减，消除$x_1, y_1, x_2, y_2$中的任意三个
整理得到一个关于$x_1, y_1, x_2, y_2$的二次方程
利用二次方程的性质，求出所求点的坐标
点差法在圆锥曲线中的应用
适用范围：点差法适用于求两条平行直线间的距离
解题步骤：利用点差法求出两条平行直线间的中点坐标，然后利用距离公式求出距离
注意事项：在应用点差法求距离时，需要注意平行直线的斜率相等，并且中点坐标的求解要准确
实例解析：通过具体实例解析点差法在求距离中的应用，并给出相应的解题步骤和答案
圆锥曲线专题点差法
汇报人：XX
目录
添加目录标题
点差法的基本原理
点差法在圆锥曲线中的应用
点差法的应用技巧
点差法的注意事项
添加章节标题
点差法的基本原理
点差法是一种通过将两个相交曲线的交点坐标代入方程，然后相减来消去变量，简化计算的方法。
点差法适用于解决与中点、斜率等有关的圆锥曲线问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ尤其在处理弦的斜率和中点问题时非常方便。
点差法的核心思想是利用点差法公式将两个交点的坐标代入方程后相减，得到一个关于斜率的等式，从而解决问题。

点差法计算方法

点差法计算方法解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是联立直线和圆锥曲线的方程，利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法来求解。

点差法是一种代点作差的方法，可以将直线和圆锥曲线的方程中的点代入并作差，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以减少运算量。

对于以定点为中点的弦所在直线的方程，可以通过点差法来解决。

例如，在过椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分的问题中，设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，利用中点坐标公式可得到$x_1+x_2=4$和$y_1+y_2=2$。

由于A、B两点在椭圆上，因此$x_1+4y_1=16$和$x_2+4y_2=16$。

将这两个式子相减得到$(x_1-x_2)^2+4(y_1-y_2)^2=4$，因此$k_{AB}=-\frac{1}{2}$，所求直线的方程为$y-1=-(x-2)$，即$x+2y-4=0$。

对于探索性问题，如已知双曲线$x^2-y^2=1$，点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点，可以假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。

由于这是一道中点弦问题，可以考虑点差法或韦达定理。

假设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)，则$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=2$，$y_2=\frac{x_1-1}{x_2}$，$y_2=\frac{x_2+2}{x_1}$。

将这两个式子相减得到$2x^2-4x+3=0$，根据双曲线的方程$x^2-y^2=1$可知，直线AB与双曲线不相交，因此被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。

设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则有：x = (x1 + x2)/2.y = (y1 + y2)/2又根据椭圆的性质可知，有：x1 - x2)^2/a^2 + (y1 - y2)^2/b^2 = 1又因为直线y = 3x - 2过点M，所以有：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x1 - x2)^2/a^2 + (9x1 - 9x2 + 4)^2/b^2 = 1将x带入直线方程，得到：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x^2/25 + (3x - 2)^2/75 = 1化简得到：4x^2 - 12x + 7 = 0解得x = 1/2或x = 7/4当x = 1/2时，y = 3x - 2 = -3/2，此时P在椭圆上，Q不在椭圆上，不符合题意。

第7讲点差法(解析版)

，过点
F
的直线交 E 于 A、B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ，则椭圆 E 的离心率为（）
1
A．
2
B． 2 2
C． 3 2
D． 2 3
【答案】B
【解析】令 AB 的中点为 M，坐标为 (1, 1) ，则 kAB
kMF
0 1
3 1
1 2
，
kOM
1
因为 A、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在 x 轴，所以 kAB
A． x2 y2 1 18 9
B． x2 y2 1 27 18
C． x2 y2 1 36 27
D． x2 y2 1 45 36
【答案】A
【解析】设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， F c, 0
所以
x12 2m x22 2m
y12 m y22 m
1
，相减得
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由题得 x1+x2 =2，y1+y2 =2 ，
所以
b2 b2
x12 x22
a2 y12 a2 y22
a2b2 a2b2
，
两式相减得 b2 (x1 x2 )(x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ，
所以 2b2 (x1 x2 ) 2 a2 ( y1 y2 ) 0 ，
所以
2b2
4b2
( y1 ( x1
y2 ) x2 )
0
，
所以1 2k 0,k 1 . 2
故选：C
2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆 E : x2 y2 1(m 0) 的右焦点为 F ，过点 F 的直线 2m m

“点差法”,差在哪？

“点差法”，差在哪？中点弦问题是解析几何听重点、热点问题。

解圆锥曲线的中点弦问题，很多学生习惯于用所谓“点差法”：首先设出弦的两端点坐标，然后代入圆锥曲线方程相减，得到弦中点的坐标与所在直线的斜率的关系，从而求出直线方程。

但是，有时候符合条件的直线是不存在的，这时使用“点差法”便会走入“误区”。

下面问题中便有学生经常掉入“陷阱”。

题目：已知双曲线1222=-y x ，问是否存在直线l ，使M(1,1)为直线l 被双曲线所截弦AB 的中点。

若存在，求出直线l 的方程；若不存在请说明理由。

错误解法1：（点差法）设直线与双曲线两交点A 、B 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，M 点的坐标为(x M , y M )。

由题设可知直线l 不可能垂直于x 轴，所以x 1≠x 2。

因此，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-,12,1222222121y x y x 两式相减可得.0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x又因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,2,22121y y y x x x M M 所以⎩⎨⎧=+=+,2,22121M M y y y x x x 而由题设可知M 点的坐标为（1，1）。

故2)(221211212=++=--=y y x x x x y y k AB .所以，直线l 存在，其方程为2x-y-1=0.错误解法2：（联立法）由题知直线l 不可能垂直于x 轴，又由于直线过M 点，因此，可设直线l 的方程为y-1=k(x-1)，与双曲线的方程1222=-y x 联立可得②①y x x k y ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-,12),1(122将①代入②式，化简可得到,032)1(2)2(222=-+----k k x k k x k当k ≠± 2 时，由韦达定理可知)2(2)1(2221k k k x x --=+，而1221=+=x x x M ，可得1)2(2)1(22=--k k k ，此时k=2。

点差法

平方差公式：a -b ＝(a+b) (a标公式：x＝，y＝ . 2 2
y2－y1 斜率公式： k＝ . x2－x1 问题：设直线与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 中点为 M(x0，y0)，
x2 y2 1 内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这例过椭圆 16 4
2014—理数—江西卷
1 x2 y 2 16.过点 M (1,1) 作斜率为的直线与椭圆 C ： 2 2 1(a b 0) 相交 2 a b
于 A, B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．
m m 0 ．中点为 M 1，
1 （1）证明： k ；（2）略． 2
2013—理数—全国 1 卷
x2 y2 10.已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、 a b B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 x2 y2 A ．＋＝1 45 36 x2 y2 B．＋＝1 36 27 x2 y2 C．＋＝1 27 18 x2 y2 D．＋＝1 18 9
条弦所在直线的方程.
y2 x2 1 1 的一条弦的斜率为 3，它与直线 x 的交点恰例已知椭圆 2 75 25
为这条弦的中点 M ，求点 M 的坐标.
2018—理数—全国 3 卷（同文数 20 题）
x2 y 2 20. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：线段 AB 的 1 交于 A ， B 两点， 4 3

高中数学点差法

高中数学点差法高中数学点差法是一种常用的求函数极值的方法，它基于函数在极值点附近的局部线性近似。

通过求取极值点的导数，我们可以得到函数在该点的切线斜率，从而判断函数在该点的增减性和极值情况。

点差法的基本思想是利用函数在极值点附近的局部线性近似来确定函数的极值。

具体步骤如下：1. 确定函数的定义域，并求取函数的导数。

2. 解方程 f'(x) = 0 以求出函数的极值点。

3. 求出函数的二阶导数 f''(x)。

4. 对于求出的极值点，利用二阶导数的符号判断函数在该点的凸凹性，从而确定极值点的极值情况。

5. 根据点差法的结果，绘制函数的图像并分析函数的性质。

点差法在应用中有以下几个特点：1. 简单易懂：点差法的基本思想和步骤相对简单，容易理解和掌握。

2. 适用范围广：点差法适用于多种函数类型，包括代数函数、三角函数和指数函数等。

3. 可靠性强：通过求取导数和二阶导数，点差法能够准确地确定函数的极值点和极值情况。

4. 减少运算量：点差法相比于其他求函数极值的方法，如一元二次法和拉格朗日乘数法，运算量较小，计算简便。

需要注意的是，在使用点差法时，我们需要对函数的定义域进行合理的估计，以避免求解到无意义的极值点。

此外，点差法虽然在求函数极值的过程中具有一定的准确性，但并不排除存在其他极值点的可能性，因此综合考虑函数的特点和图像是非常重要的。

总之，高中数学点差法是一种常用的求函数极值的方法，通过求取导数和二阶导数，可以准确地确定函数的极值点和极值情况，从而揭示函数的性质和变化规律。

在实际应用中，我们可以通过点差法分析函数的图像，优化问题的解等。

点差法的应用讲义及练习

讲次6.点差法的应用-教师版一.综述(一)圆锥曲线问题中,与弦中点有关的问题可以考虑用点差法.即:设弦的端点坐标，并代入圆锥曲线的方程,并作差.利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式,进而处理问题.利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好(二)注意:点差法在求出直线方程以后，必须将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个关于x （或y ）的一元二次方程，判断该方程的Δ和0的关系.只有Δ>0，直线才是存在的.(三) 点差法常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题二.例题精讲破解规律例1.已知椭圆（）的离心率，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于,两点，当是中点时，求直线方程．分析：（1）由离心率得到a,b 的比值,由比例设出椭圆方程,在代入点,得到方程.（2）设，，由点差法求得直线的斜率，即可得到直线方程．答案:（1）；（2）.解析：（1由得,设∴椭圆的方程为,将点代入解得,故椭圆方程为（2）设，.则，，∴又，∴.∴直线方程为即.经验证直线符合要求.点评:本题考查椭圆方程的求法,第二问已知弦中点,求弦方程,一般可以考虑用点差法.规律总结: 与弦中点有关的问题可以考虑用点差法.即:设弦的端点坐标，并代入圆锥曲线的2222:1x y C ab0a b 12e332，C 1,1P C A B P AB AB 332，11A x y 22B x y AB 22143xy3470x y 1,2c ea22222221344c ab b aaa 224,03at t btC 22143xyt t332，1t22143xy11A x y 22B x y 2211143x y2222143xy1212121243x x x x y y y y 12122x x y y 121234ABy y k x x AB 3114y x 3470x y方程,并作差.利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式,进而处理问题现学现用1:直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则（）A. -2B. -1C. 1D. 2答案:A 解析:,.设，，两式相减，由于中点的横坐标为1,则纵坐标为,将代入直线，解得例2.已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C 的方程.（II ）点差法处理弦中点问题答案:(1)（2）解析：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C 的方程为.（Ⅱ）设,把坐标带入椭圆方程得做差得:40x ym22116xyA B 、AB m 40xy m144m yx11A x y ，22B x y ，22112222116{116x y x y 121212121164y y x x x x y y AB 14114，144m yx2m 2222:1(0)x y C a b ab222,2C C l O l C ,A B AB M OM l 2222242,1,2abaab228,4ab22184xy12OM k k2222242,1,2abaab228,4ab22184xy1122,,,,,M MA x yB x y M x y ,A B 22112222184184x y xy1212121284x x x x y y y y即:,整理得,即,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.点评：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.规律总结:若线段AB 是椭圆(或双曲线)的弦,AB 中点为M,则,其中e 为离心率,且均存在.现学现用2:已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则（）A. -4B.C. 4D. 6解析: 设，则，，，两式相减，得，即，即，同理，得，所以；故选 A.例3:已知椭圆：经过点，且离心率为．（I ）求椭圆的方程；（II ）若一组斜率为的平行线，当它们与椭圆相交时，证明：这组平行线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．分析：(Ⅰ)由经过点，可得，根据离心率为，结合可得，从而可得椭圆的方程；(Ⅱ) 利用点差法找出中点坐标满足的关系式答案:(Ⅰ)(Ⅱ)见解析121222084M M x x x y y y 121212M M y y y x x x 12OM k k21OM ABk k e,OM AB k k 22184xyA B C 、、AB BC AC 、、D E F 、、OD OE OF 、、111ABBCACk k k 23112200,,,,,A x y B x y D x y 1201202,2x x x y y y 2211184xy2222184xy1212121284x x x x y y y y 0121202y x x y y x 12OD ABk k 112,2OE OF BCACk k k k 11124OD OE OFABBCACk k k k k k C 22221(0)x y a b ab0,312C 2C C 22221(0)x y a b ab0,33b 12222abc 2a C 22143xy解析：(Ⅰ)由已知可得，，又，可得，，所以椭圆的方程为．(Ⅱ) 证明：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为，，它们的中点坐标为．由两式相减可得，，由已知，所以，故直线被椭圆截得的线段的中点都在直线上.点评: 第二问求中点轨迹方程.利用点差法,，做差结合，, ,化简可得,所以这组平行线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.规律总结:牵涉到弦中点轨迹方程,垂直平分线问题可以考虑使用点差结合中点坐标公式来处理现学现用3:已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．解析:易知,又，解得.∴椭圆的方程为.∴椭圆右焦点的坐标为,设线段的中点为,由三角形重心的性质知3b 12c a 222abc 2a1c C 22143xy11,x y 22,x y 00,x y 221122221,43{1,43xy xy21212121043x x x x y y y y 21212121043x x y y y y x x 21212y y x x 00380x y C 380x y221122221,431,43xy xy21212y y x x 2102x x x 2102y y y 0380x y C 22221(0)x y a b ab0,4B 55el ,M N BMN F l 4b 222222216115c ab eaaa220a2212016xyF 2,0MN 00,Q x y，从而,解得,所以点Q 的坐标为.设，则，且,以上两式相减得,∴,故直线的方程为，即.答案: 三.课堂练习强化技巧1.椭圆的以为中点的弦所在直线的方程是（）A. B.C.D.答案:D解析:设直线与椭圆交于，则，两式相减得，因为弦的中点坐标，所以，代入得到，所以，即斜率，且过点，所以直线方程是，化简为，故选 D.2. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为__________．答案:解析:设（（，由题得.故填.3. 过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称．2BFFQ 002,422,x y 03,2x y 3,21122,,,M x y N x y 12126,4x x y y 222211221,120162016x y x y 1212121202016x x x x y y y y 1212121244665545MNy y x x k x x y y 6235y x 65280x y65280x y0,2l x 22C A B12y x AB C l（1）求直线的方程；（2）求椭圆的方程．答案:(1) ;(2) .解析：（1）由，得，从而设椭圆方程为在椭圆上，则两式相减得，设的中点为则又在直线上，，于是，则直线的方程为.（2）右焦点关于直线的对称点设为则解得由点在椭圆上，得，所求椭圆的方程的方程为.四.课后作业巩固内化1. 若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（）A.B. C.D. 答案:B解析:由题意设该双曲线的标准方程为，，则且，则，即l C 2yx2224199xy22c ea22212ab a222,.ab cb 22222,xy b 1122,,,Ax y B x y 22222112222,22,x yb x yb 2222121212121212220,.y y x x xxyy x x y y AB 00,,x y 00,2ABx k y 00,x y 12yx 0012y x 0012ABx k y l 2y x ,0b l ,,x y 12,22{yx by x b 22{x y b2,2b 2222994222,,42bb b aC 2224199xy0,2F F l M N MN 3,1P 2213xy2213xy2213yx2213yx22221(0,0)y x a bab1122,,,M x y Nx y2211221y x ab2222221y x ab1212121222y yyyxxxxa b，则，即，则，所以，即该双曲线的方程为.故选 B.2.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （，0），直线与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A.B.C.D.答案:D解析:由题意设该双曲线方程为，且，，的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；故选 D.3. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆交于点A 、B ，若AB中点为(1，－)，且直线AB 的倾斜角为45°，则椭圆方程为()A.＋＝1B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1答案:C解析:∵，∴c ＝，令A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则＋＝1，＋＝1，∴，，∴a 2＝，b 2＝.故选：C4. 已知,若在斜率为的直线上存在不同的两点，满足：且线段的中点为，则的值为()12122226y y x x ab2122121261230y y ax x b223b a 2244c a221,3ab 2213xy71y x 2322134xy22143xy22152xy22125xy22221(0,0)x y a bab227ab1122,,,M x y N x y MN 25,332211221x ya b2222221x y ab1212121222x x x x y y y y ab22224102533,ab ab227a b222,5ab22125x y22x a22y b1229x25y29x24y229x 249y 29x229y 1211c 32212x a 212y b 222x a 222y b12121212220x x x x y y y y ab22210ab92942,0,2,0AB k l ,M N 23,MA MB23NANBMN 6,1kA.B.C.D.答案:D解析:根据条件可知点在以为焦点的双曲线上，，那么，双曲线方程是，那么设，所以，两式相减得，两边同时除以，可得，解得，故选 D.5.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)，一个顶点为，若在此椭圆上存在不同两点关于直线对称，则的取值范围是A. （）B. （）C. （）D. （）答案:C 解析:由题意得设A,B 为椭圆上两点关于直线对称，则由点差法得AB 中点M 满足，又中点M 满足解得，又M 在椭圆内部，所以，选C6. 设A 、B 是椭圆上的两点，点是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.确定的取值范围，并求直线AB 的方程.解：（1）点在椭圆内，＜，即＞12.的取值范围是.由得，，焦点在y 轴上.若直线AB 的斜率不存在，则直线AB轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在.由得：，.所求直线AB 的方程为，即.212122,M N ,A B 24,223c a 21b2213xy1122,,,M x y N x y 2211222213{13x y x y 1212121203x x x x y y y y 12x x 12203k 2k 223yx )3,1(N )3,1(N 223yx22313),12(223yx1322xy3,22ba x 22ba xy k AB313ABk 1AB k )1(13x y 04y x从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为，即.7. 已知双曲线的渐近线方程为: ，右顶点为.（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为，当时，求的值。

点差法推导

点差法推导
点差法是一种金融衍生品定价方法，它的基本思想是将衍生品（如期权）的价值分解成其标的资产的现值和一系列影响因素的调整金额。

点差法的步骤如下：
1. 假设标的资产价格为S，期权行权价格为K，期权到期时间
为T，无风险利率为r，标的资产波动率为σ。

2. 根据Black-Scholes公式计算期权的理论价值C1：
C1 = S*N(d1) - K*e^(-rT)*N(d2)
其中，N()是标准正态分布函数，d1 = [ln(S/K) + (r +
0.5*σ^2)*T] / [σ*sqrt(T)]，d2 = d1 - σ*sqrt(T)。

3. 假设考虑到其他因素调整的金额为A，把期权的价值调整为C2 = C1 + A。

这些影响因素可能包括：
- 收益率曲线的非平滑（如利率上升的协方差）
- 市场条件（例如，流动性稀缺或垂直层面的交易费用）
- 标的资产的风险（如期权的波动率大于标的资产的波动率）
4. 计算调整金额A。

具体情况需要具体分析，一种典型的方法是通过模拟标的资产价格的随机漫步，来估计标的资产的风险。

例如，可以使用蒙特卡洛模拟方法，模拟标的资产价格路径，从而得到期权的理论价值和标的资产的市场风险调整金额。

5. 把期权最终的实际市场价值计算为C = C2 - A，即期权的理
论价值调整后得到的实际市场价值。

总之，点差法是使用Black-Scholes模型计算期权的理论价值，然后调整价值以反映其他因素的影响。

它是一种较为严谨的金融衍生品定价方法，可以帮助交易员和风险管理人员更好地把握市场的价格和风险。

点差法的作用-概述说明以及解释

点差法的作用-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：点差法是一种用来衡量和管理市场价格波动的方法，它在金融领域中应用广泛。

它通过计算两个价格之间的差值来确定市场波动的情况，为投资者提供了重要的参考数据。

点差法在外汇交易、股票交易和期货交易中都起着至关重要的作用，能够帮助投资者进行风险管理和决策分析。

本文将深入探讨点差法的定义、作用和应用，以及对其重要性、局限性和未来发展的展望。

通过对点差法的全面分析，能够更好地认识和应用这一重要的市场分析工具。

1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将首先对点差法进行概述，介绍其定义和作用，然后探讨点差法在实际应用中的具体情况。

随后，将对点差法的重要性进行总结，同时也会说明其局限性，并展望其未来的发展方向。

通过这样的文章结构，读者可以全面了解点差法在不同领域的作用和影响，以及未来的发展前景。

分的内容1.3 目的点差法作为一种重要的分析方法，在金融领域有着广泛的应用。

本文旨在深入探讨点差法的作用，以帮助读者更加全面地了解这一理论，并且对点差法在实际应用中的重要性进行分析和总结。

同时，也将探讨点差法存在的局限性，以及展望点差法在未来可能的发展方向。

通过本文的阐述，读者可以更好地把握点差法的应用要点，从而在金融交易和投资中取得更好的成效。

2.正文2.1 点差法的定义点差法是一种经济学和财务领域常用的尺度和计算方法。

它用于衡量不同经济变量之间的差异或偏离程度。

在金融市场中，点差法常常用来衡量利率、汇率、价格和其他金融指标之间的差异。

在具体应用中，点差是指在两个价格之间的差异或间隔。

例如，在外汇市场上，买入价和卖出价之间的差异就是点差。

这个差异是由市场的供需关系和交易成本等因素所决定的，它反映了市场交易的实际成本和风险。

点差法的核心在于通过定量的方法来解释和计量经济变量之间的差异，从而帮助人们更好地理解市场，进行更准确的决策和分析。

点差法的定义经常被用于金融交易和投资管理中，通过对点差的计算和分析，投资者可以更好地把握市场的波动和风险，从而实现更好的投资回报。

点差法求解中点弦问题

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝k 2－k4k 2＋1. ∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝k 2－k 4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：F F F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F F F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k MN -=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。

点差法

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