考点12 导数与函数的极值与最值-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)

考点十二：导数与函数的极值与最值
【考纲要求】
（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】
利用导数研究函数的极值与最值是高考的热点问题，近2年在高考中大批量的出现，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值综合考查，有时出现在做题过程中.
预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数的极值与最值，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）函数的极值的意义
例1.【2017全国2卷（理）】若2x =-是函数
()()21`
1e x f x x ax -=+-的极值点，则
()
f x 的极小值为（ ）.
A.1-
B.3
2e -- C.3
5e - D.1 【答案】A
【方法技巧归纳】对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点.函数)(x f y =在0x x =处取极值的充要条
件应为（1）
)('0=x f ，（2）在
x x =左右两侧的导数值的符号相反.从解题的规范性和正确性角度出发，
求类似问题最后都要进行检验.
【变式1】【改编例题的问法，辨别极值与零点的不同】【2015陕西卷理科】对二次函数
2
()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D ．点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A
【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，
()2f x ax b
'=+，因为1是
()
f x 的极值点，3是
()
f x 的
极值，所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩
，因为点()2,8在曲线()y f x =上，所以
428a b c ++=，即()42238a a a +⨯-++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以
()25108
f x x x =-+，因为
()()()2
1511018230
f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是
()
f x 的零点，所以
选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．
【变式2】【改变例题的问法，通过极值问题求参数的范围】【2014全国2卷理科】设函数
()3
sin x
f x m π=.若存在()
f x 的极值点
x 满足()2
2
2
00x f x m +<⎡
⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）
A.()(),66,-∞-⋃∞
B.()(),44,-∞-⋃∞
C.
()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),11,-∞-⋃∞
【答案】C
（二）求函数的极值
例2.【2017全国2卷理】已知函数()2ln f x ax ax x x
=--，且
()0
f x
（1）求a ； （2）证明：
()
f x 存在唯一的极大值点
x ，且
()22
0e 2f x --<<.
【答案】（1）1a =；（2）答案见解析. 【解析】（1）因为
()()ln 0
f x x ax a x =--，0x >，所以ln 0ax a x --．
令
()ln g x ax a x
=--，则
()10
g =，
()11
ax g x a x x -'=-
=，
当0a 时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0
g x <；
当0a >时，令
()0
g x '=，得
1x a =
．
当
10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1
x a >
时，()0g x '>，()g x 单调递增．
若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单递调递减，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭； 若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递增，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭； 若1a =，则()()min 110
g x g g a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，()0g x ≥．
综上，1a =． （2）
()2ln f x x x x x
=--，
()22ln f x x x
'=--，0x >．
令
()22ln h x x x
=--，则
()1212x h x x x -'=-
=，0x >．
令
()0
h x '=得
1
2x =
，
当
102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2x >
时，()0h x '>，()h x 单调递增．
所以()min 112ln 20
2h x h ⎛⎫
==-+< ⎪⎝⎭．
因为
()
2
2
e
2e 0h --=>，()22ln 20h =->，
21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫
∈+∞ ⎪
⎝⎭，， 所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭，
上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫
⎪⎝⎭，上单调递减，
所以当00x x <<时，
()0
f x '>，
()
f x 单调增；当
01
2x x <<
时，()0f x '<，()f x 单调递减．
因此，0x 是
()
f x 的极大值点．
因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，
当2x x >时，()
f x 单调递增，因此2x 是
()
f x 的极小值点．
所以
()
f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()
2422
0e e e e f x f ---->=+>．
因为
()00022ln 0
f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，
又
()()2
2
0000000
22f x x x x x x x =---=-，因为
0102x <<
，所以()01
4f x <
．
因此，
()201
e 4
f x -<<
．即()22
0e 2f x --<<.
【方法技巧归纳】求函数极值的步骤：①求函数的定义域；②求出函数的导函数)('x f ；③解方程0)('=x f ，求出x 的值；④判定在定义域内导函数为0的点两侧的单调性，并求出在该点的原函数值；⑤先增后减位极大值点，先减后增为极小值点，两侧单调性相同，则该点不是极值点.
【变式1】【改变例题的问法，通过极值求参数范围】【2017江苏卷】已知函数
()()
3210,f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数
()
f x '的极值点是
()
f x 的零点.（极值点是指函
数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：²
3b a >； （3）若()f x ，()f x ' 这两个函数的所有极值之和不小于7
2-
，求a 的取值范围.
【答案】（1）223
9a b a =+，定义域为(3,)+∞；（2）答案见解析；（3）(]36，.
【解析】（1）由32
()1f x x ax bx =+++，得
2
22
()32333a a f x x ax b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭.
当3a
x =-时，()f x '有极小值
23a b
-. 因为
()
f x '的极值点是()f x 的零点.
所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭，又0a >，故
2239a b a =+
. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而()231
27039a b a a -=-，即3a .
3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；
3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=
3a a b x -+-.
列表如下
x
1(,)
x -∞
1
x
12(,)
x x
2
x
2(,)
x +∞
()f x ' + 0
– 0
+ ()f x
极大值
极小值
故()f x 的极值点是12,x x
.从而3a >，
因此
2239a b a =+
，定义域为(3,)+∞.
（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，222
12469a b x x -+=.
从而
()()3232
1211122211f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++=
()()()()2222
121122121212323223333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++=346420279a ab ab --+=.
记
()
f x ，
()
f x '所有极值之和为
()
h a ，
因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以()213
=9h a a a -+，3a >. 因为()223
=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减.
因为
()7
6=2h -
，于是()()6h a h ，故6a .
因此a 的取值范围为
(]36，.
【变式2】【改编例题条件和问题，求解含参函数的极值】【2017山东理】已知函数()22cos f x x x
=+，
()()
e cos sin 22x g x x x x =-+-，其中e 2.71828
=是自然对数的底数.
（1）求曲线()
y f x =在点
()(),f ππ处的切线方程；
（2）令
()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论
()
h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】（1）2
22y x =π-π-；（2）当0a 时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在
()0,+∞上单调递增， 函数
()
h x 有极小值，极小值是
()021
h a =--；
当01a <<时，函数
()
h x 在
(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有
极大值，也有极小值，极大值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
，极小值是
()021
h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
当1a >时，函数
()
h x 在
(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有
极小值， 极大值是
()021
h a =--；极小值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
.
【解析】（1）由题意()22f π=π-，又
()22sin f x x x
'=-，所以
()2f ππ
'=，
因此曲线
()
y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x -π-=π-π，
即
2
22y x =π-π-. （2）由题意得
2
()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+， 因为
()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x x h x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()
2e sin 2sin x x x a x x ---
()()
2e sin x a x x =--，
令
()sin m x x x
=-，则
()1cos 0
m x x '=-，所以
()
m x 在R 上单调递增.
因为(0)0m =，所以当0x >时，()0m x >，当0x <时，()0
m x <.
（i ）当0a 时，e x
a -0>
当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当0x >时，
()0h x '>，
()
h x 单调递增，
所以 当0x =时
()
h x 取得极小值，极小值是
()021
h a =--；
（ii ）当0a >时，
()(
)()ln 2e e sin x a
h x x x '=--
由
()0
h x '=得 1ln x a =，2=0x
①当01a <<时，ln 0a <， 当(),ln x a ∈-∞时，ln e e 0x a -<，()0h x '>，()h x 单调递增；
当()ln ,0x a ∈时，ln e e 0x a ->，()0h x '<，()h x 单调递减； 当
()
0,x ∈+∞时，ln e e 0x a ->，()0h x '>，()h x 单调递增.
所以 当ln x a =时()
h x 取得极大值.
极大值为
()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
，
当0x =时
()
h x 取到极小值，极小值是
()021
h a =--；
②当1a =时，ln 0a =， 所以当
()
,x ∈-∞+∞时，
()0
h x '，函数
()
h x 在
(),-∞+∞上单调递增，无极值；
③当1a >时，ln 0a >
所以 当()
,0x ∈-∞时，ln e e 0x a -<，()0h x '>，()h x 单调递增；
当()
0,ln x a ∈时，ln e e 0x a -<，()0h x '<，()h x 单调递减； 当
()
ln ,x a ∈+∞时，ln e e 0x a ->，()0h x '>，()h x 单调递增；
所以 当0x =时()
h x 取得极大值，极大值是
()021
h a =--；
当ln x a =时()
h x 取得极小值.
极小值是
()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
.
综上所述：当0a 时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，
函数
()
h x 有极小值，极小值是
()021
h a =--；
当01a <<时，函数
()
h x 在
(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有
极大值，也有极小值，极大值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
，极小值是
()021
h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
当1a >时，函数
()
h x 在
(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有
极小值， 极大值是
()021
h a =--；极小值是
()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
.
【变式3】【根据函数在某处取得极值求参数范围】【2016山东文】设()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R
.
（1）令
()()'g x f x =，求
()
g x 的单调区间；
（2）已知
()
f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）当0≤a 时，函数
()
g x 单调递增区间为
()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为
10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）12a >.
（2）由（1）知，()'10
f =.
①当0≤a 时， ()
'f x 单调递增
所以当()0,1x ∈时，
()'0
f x <，
()
f x 单调递减.
当
()1,x ∈+∞时，
()'0f x >，
()
f x 单调递增.
所以
()
f x 在1x =处取得极小值，不合题意.
②当
102a <<
时，1
12a >，由（1）知()'f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，
可得当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在()0,1内单调递减，在11,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭内单调递增，
所以
()
f x 在1x =处取得极小值，不合题意.
③当12a =
时，即1
12a =时，()'f x 在()0,1内单调递增，在
()1,+∞内单调递减， 所以当
()0,x ∈+∞时，
()'0
f x ，
()
f x 单调递减，不合题意.
④当12a >时，即1012a << ，当
1,12x a ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增,
当
()1,x ∈+∞时，
()'0
f x <，
()
f x 单调递减，
所以
()
f x 在1x =处取得极大值，合题意.
综上可知，实数a 的取值范围为
12a >
.
【变式4】【根据极值点的关系证明等式】【2016天津文】设函数
b ax x x f --=3
)(，x ∈R ，其中,a b ∈R . （1）求)(x f 的单调区间；
（2）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中0
1x x ≠，求证：0201=+x x ；
（3）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于41.
【答案】答案见解析
【解析】（1）由3()f x x ax b =--，可得
2
()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论： ①当0a
时，有2
()30f x x a
'=-恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.
②当0a >时，令()0f x '=
，解得
3x =
或3x =-.
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示.
所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝⎭，单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎭，
⎫+∞⎪⎪⎝⎭.
（3）证明：设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ，max{,}x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：
①当3a 时，
3311
,
3
3a a -
-<由()1知()f x 在区间[]1,1-上单调递减，
所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为[]
(1),(1)
f f -，
因此
()(){}
{}max 1,1max 1,1M f f a b a b =-=---+-=
{}max 1,1a b a b -+--1,0
1,0a b b a b b -+⎧=⎨
--<⎩，所以
1 2.
M a b
=-+
②当33
4
a <时，
23332311a a a
a
-<-
<<，
由（1）和（2） 知
233(1)
a a f f f ⎛--= ⎝⎭⎝⎭，
233(1)a a f f f ⎛⎛= ⎝⎭⎝⎭，
所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为33,33a a f f ⎡
⎤⎛⎫
⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢
⎥⎝⎭
⎝⎭⎣⎦，
所以33max ,33a a M f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪
⎪=-= ⎪ ⎪⎨
⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭22max 3399a a a b a b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
2222331
max 333||3999
9444a a a a b a b a b ⎧⎫=⨯⨯⨯=
⎨⎬⎩⎭. ③当
3
04a <<
时，23332311
a a a a -<<<<<，
由（1）和（2
）知，
(1),f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝
⎭(1)f f f ⎛>= ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]
1,1-上的取值范围为()()1,1f f -⎡⎤⎣
⎦， 因此
()()
{}
=max 1,1M f f -={}max 1,1a b a b ---+-=
{}1
max 1,114a b a b a b ---+=-+>.
综上所述，当0a >时，()g x 在区间
[]1,1-上的最大值不小于1
4.
（三）求不含参函数的最值 例3.【2017北京卷理】已知函数()e cos x f x x x
=-.
（1）求曲线
()
y f x =在点
()()0,0f 处的切线方程；
（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.
【答案】（1）1y =；（2）()f x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为
ππ22f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
. 【解析】（1）因为()e cos x f x x x =-，所以
()e (cos sin )1x
f x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.
（2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则
()e (cos sin sin cos )2e sin x x
h x x x x x x '=---=-. 当
π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意
π0,2x ⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦上单调递减.
因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为
ππ22f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
. 【方法技巧归纳】在],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值的步骤：①讨论单调区间；②
判断极值；③极值与闭区间端点的函数值比较，最大的为最大值，最小的是最小值.
【变式1】【在给定区间上求函数的最值】【2018河北石家庄二中八月模考】已知函数
()()21
x
f x xe x
=-+
.
（Ⅰ）当
[]
1,2
x∈-
时，求
()
f x
的最大值与最小值；
（Ⅱ）讨论方程
()1
f x ax
=-
的实根的个数.
【答案】(1)最小值是
()2
ln21
--
,最大值是2
29
e-;(2) 1
a<-时，方程()1
f x ax
=-
有1个实根；1
a>-
时，方程
()1
f x ax
=-
有3个实根.
【解析】试题分析：(1)
()()()
12
x
f x x e
=+-
'
,明确函数的单调性，求出极值与端点值，比较后得最值；
（2）方程
()1
f x ax
=-
的实根的个数即
()2
x
g x e x a
=---
的图象与x轴的交点个数，分类讨论函数
()
g x
的单调性，借助极值与0的关系确定交点个数. 试题解析：
（Ⅰ）因为
()()21
x
f x xe x
=-+
，
所以
()()()()()
12112
x x
f x x e x x e
=+-+=+-
'
，
令
()0
f x
'=
得12
1,ln2
x x
=-=
，
()()
,
f x f x
'
的变化如下表：
() f x
在[]
1,2
-
上的最小值是
()2
ln21
--
，
因为
22
11 290,0,29
e e
e e
->---
，
所以
()
f x
在
[]
1,2
-
上的最大值是2
29
e-.
（ⅰ）当10a -->时，即1a <-时， ()0g x =没有实根，方程
()1
f x ax =-有1个实根；
（ⅱ）当10a --=时，即1a =-时， ()0g x =有1个实根为零，方程
()1
f x ax =-有1个实根；
（ⅲ）当10a --<时，即1a >-时，
()0
g x =有2不等于零的实根，方程
()1
f x ax =-有3个实根.
综上可得， 1a <-时，方程()1f x ax =-有1个实根； 1a >-时，方程()1
f x ax =-有3个实根.
求含参函数的最值
例4.【2016全国2卷理】（1）讨论函数
2()e 2x
x f x x -=
+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x
x x -++>
（2） 证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax a g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()
h a 的值域.
【答案】答案见解析
【解析】（1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得， 2x ≠-.
因为()2e 2x
x f x x -=+，所以()()()222
24e e 222x
x
x x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭.
因为当x ∈
()()22-∞--+∞，
，时，()0f x '>，所以()f x 在
()()
22,-∞--+∞，和上单调递增， 所以当0
x >时，()2e 0=12x
x f x ->-+，所以()2e 20x x x -++>.
（2）由已知得，
()()()
2
4
e
2e x
x
a x x ax a g x x ----'=
()
4
e 2e 2=
x
x
x x ax a x -++=
()322e 2x x x a x x -⎛⎫
+⋅+
⎪+⎝⎭，
[)
01a ∈，.
解法一：记
()2e 2x
x h x a x -=
++，因为
()()01020
h a h a =-<=，，所以由（1）知
()
h x 在
[)02，
上存在唯一
零点.
记零点为0x ，即()00
h x =，则
()
g x 在
()00x ，上单调递减，在()02x ，
上单调递增. 故0x 为
()
g x 的极小值，此时极小值为
()
0g x .
因为0002e 02x x a x -+=+，所以[)(]0
0002e 0022x x a x x -=-∈⇒∈+，1，. 所以
()()()0
0000000022
0002e e 1e 12e =2x x x x x x a x x x x x x ⎛⎫---
+ ⎪-++⎝⎭==+ｇ. 记()0
00e 2x P x x =
+,，则
()()()
()
00002
2
00e +2e 1
=e 0
+2+2x x
x x x P x x x -+'=
>，所以
()
0P x 在
(]
002x ∈，上单调递增，所以
()201e 24P x ⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦，.
解法二：由(1)知，当0x >时，
()2e 2x x f x x -=
⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解，使得2e 2t
t a t -⋅=-+，
(]02
t ∈，. 当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0g x '
>，()g x 单调递增.
.
()()
()
2
22e 1e
e 1e 22t t
t
t t t a t t h a t t t -++⋅-++=
=
=
+.
记()e 2t
k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()
()2e 102t t k t t +'=>+，所以()k t 单调递增，所以
()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，． 【方法技巧归纳】超越函数（指数函数、对数函数、三角函数）的最值一般都是利用导函数求单调性或极值得到的.函数在区间上的最大（小）值，若不是区间端点值就是极大（小）值. 【变式1】【由最大值存在的不等关系求参数的取值范围】【2015全国2卷文】已知函数()()
ln 1f x x a x =+-．
（1）讨论()
f x 的单调性；
（2）当
()
f x 有最大值，且最大值大于22a -时,求a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）0a ≤, ()f x 在()0,+∞是单调递增； 0a >, ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（Ⅱ）
()0,1.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由
()1
f x a
x
'=
-
,可分0
a≤, 0
a>两种情况来讨论；（II）由（I）知当0
a≤时()
f x
在
()
0,+∞
无最大值,当0
a>时()
f x
最大值为
1
ln 1.
f a a
a
⎛⎫
=-+-
⎪
⎝⎭因此
1
22ln10
f a a a
a
⎛⎫
>-⇔+-<
⎪
⎝⎭.令
()ln1
g a a a
=+-
,则
()
g a
在
()
0,+∞
是增函数,当01
a
<<时, ()0
g a<
,当1
a>时()0
g a>
,因此a的取值范围是
()
0,1
.
试题解析：（Ⅰ）
()
f x
的定义域为
()
0,+∞
,
()1
f x a
x
'=-
,若0
a≤,则()0
f x
'>
,
()
f x
在
()
0,+∞
是单调递增；若0
a>,则当
1
0,
x
a
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭时
()0
f x
'>
,当
1
,
x
a
⎛⎫
∈+∞
⎪
⎝⎭时
()0
f x
'<
,所以
()
f x
在
1
0,
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭单调递增,在
1
,
a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭单调递减.
【变式2】【求函数取得最值时自变量的取值】【2014安徽卷理】设函数
23
()1(1)
f x a x x x
=++--
,其中0
a>.
（1）讨论
()
f x
在其定义域上的单调性；
（2）当
[0,1]
x∈
时，求
()
f x
取得最大值和最小值时的
x的值.
【答案】（1）
()
f x
在1
(,)
x
-∞
和2
(,)
x+∞
内单调递减，在12
(,)
x x
内单调递增；（2）所以当
01
a
<<时，()
f x
在
1
x=处取得最小值；当1
a=时，()
f x
在
x=和1
x=处同时取得最小只；当14
a
<<时，()
f x
在
x=处取得最小值.
【解析】
试题分析：（1）对原函数进行求导，2
'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，解得
1212
143143,,33a a
x x x x --+-++=
=<，当
1x x <或2x x >时'()0f x <；从而得出，当12x x x <<时，'()0f x >.故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增.（2）依
据第（1）题，对a 进行讨论，①当4a ≥时，
21x ≥，由（1）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()
f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时，
21x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单
调递增，在
2[,1]x 上单调递减，
因此()f x 在
21433a
x x -++==
处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==，
所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；
当14a <<时，
()f x 在0x =处取得最小值.
（1）()f x 的定义域为R ，2
'()123f x a x x =+--.令
'()0f x =，得
1212
143143,,33a a
x x x x --+-++=
=<，所以
12'()3()()f x x x x x =---.当1x x <或2x x >时
'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >.故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内
单调递增. 因为0a >，所以120,0x x <>.
①当4a ≥时，
21x ≥，由（1）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得
最小值和最大值.②当04a <<时，
21x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，
因此
()f x 在
21433a
x x -++==
处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在
1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.
【数学思想】 分类讨论思想
1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．
2.分类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理导数的极值与最值问题注意点】
对参数的讨论要做到不重不漏.至于如何分类的思想是将导函数零点之间的大小以及区间端点值的大小进行比较，将区间端区限定不动，变动零点位置. 【典例试题演练】
1．【2018广东广州珠海区高三检测（一）理】已知函数()()
ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取
值范围是（ ）
A. 1
0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.
()0,1 C. (),0-∞ D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪
⎝
⎭ 【答案】A
2．【2018海南八校联盟开学考试理】已知函数
()213ln 2f x x x a x
⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间()1,3上有最大值，则实数a 的取值范围是( )
A.
1
,5
2
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B.
111
,
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭ C.
111
,
22
⎛⎫
⎪
⎝⎭ D.
1
,5
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【答案】B
【解析】因为
()31
2
2
f x x a
x
'=-+-
，所以由题设
()31
2
2
f x x a
x
'=-+-
在
()
1,3
只有一个零点且单调递减，则问题转化为
()
()
10
{
30
f
f
>
<
，即
1
111
2
{
1122
2
a
a
a
+>
⇒-<<
-<
，应选答案B。

3．【2018湖南永州第一次模拟考试理】函数
()2
25
x
f x ae x a
=-+-
的值域为D，若1D
∈，则实数a的取值范围为（）
A.
(],1
-∞
B.
(],2
-∞
C.
(]
0,2
D.
[)
2,+∞
【答案】B
【解析】排除法，当0
a=时，()25
f x x
=--
，
,1
D R R
=∈，符合题意，排除选项C、D；当2
a=时，
()()
221,'22
x x
f x e x f x e
=-+=-
，由
()
'0
f x>
，得
()
f x
在
()
1,+∞
上递增，由
()
'0
f x<
得()
f x
在
()
0,1
上递减，
()()11
f x f
∴≥=
，即
[)
1
D=+∞
，1D
∈，2
a=合题意，排除选项A，故选B.
4．【2018河北石家庄二中八月模考（文）】已知对
()
0,
x
∀∈+∞
，不等式
ln1
n
x m
x
+≥-
恒成立，则
m
n的最大值是( )
A. 1
B. 1-
C. e
D. e-
【答案】C
5．【2018“超级全能生”全国卷26省9月联考（文）】已知函数()32
3232t f x x x x t =
-++在区间
()0,+∞上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是__________．
【答案】90,8⎛⎫
⎪
⎝⎭
【解析】
()232
f x tx x '=-+，由题意可得
()0
f x '=在
()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=，在
()0,+∞有两个不等根，所以
30
{ 2980
t
t >∆=->，解得
9
08t <<，填90,8⎛⎫ ⎪
⎝⎭ 6．【2018四川雅安中学高三第一次月考】设函数
()
f x 在R 上存在导数
()
f x ',对任意的x R ∈ 有
()()2
f x f x x -+= ,且在
()0,+∞ 上()f x x '> .若()()222f a f a a --≥- ,则实数a 的取值范围
__________． 【答案】
(],1-∞
【解析】令
()()2
1
2g x f x x =- ，所以()()0g x g x +-=，则()g x 为奇函数 . 0x > 时， ()()0
g x f x x ''=->，由奇函数性质知：
()
g x 在R 上上递增 .
()()()()222221
f a f a a
g a g a a a a --≥-⇒-≥⇒-≥⇒≤，则实数a 的取值范围是
(],1-∞
7．【2017江西师大附中三模（文）】设12
,x x 是函数
()()32121(2,0)
f x a x bx x a b =-+-+≥>的两个极
值点，且
12x x +=b 的取值范围是__________.
【答案】)
⎡+∞
⎣
【解析】因为
12
,x x 是函数()()32121(2,0)
f x a x bx x a b =-+-+≥>的两个极值点()()2'3122
f x a x bx =-+- ，
12
,x x ∴ 是
()231220
a x bx -+-=
的两个根，
(
)
1212122
0,|31x x x x x x a =-
∴+=-=- ，
()
2
121248
x x x x +-=， 即
()()2
28
83131b a a ⎡⎤-+=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ ， ()()22
18161b a a =--- ，设11a t -=≥ ，则2218612b t t =-≥ ，则
实数b的取值范围是
) 23,
⎡+∞⎣
，故答案为
)
23,
⎡+∞
⎣.
8.【2017山东枣庄三中二调考试理】对于函数
()
f x
,如果
()
f x
可导，且
()()
'
f x f x
=
有实数根x，则称x 是函数
()
f x
的驻点. 若函数
()()()
2(0),ln,sin(0)
g x x x h x x x x x
ϕπ
=>==<<
的驻点分别是123
,,
x x x
，则123
,,
x x x
的大小关系是__________．(用“<”连接)
【答案】321
x x x
<<
【解析】因
()2
g x x
'=
，故由
2
1
22
x x x
=⇒=
；因
()cos
x x
ϕ'=
，故由
3
sin cos
4
x x x
π
=⇒=
；因()1
h x
x
'=
，故
1
ln ln10
x x x
x
=⇒-=
，令
()ln1
F x x x
=-
，因
()22ln21ln410,2ln10
44
F F
ππ
⎛⎫
=-=->=-<
⎪
⎝⎭，故2
2
4
x
π
<<
；应填答案321
x x x
<<。

9．【2018广西柳州高三综合模拟（1）理】已知a为实数，函数
()2
ln4
f x a x x x
=+-
.
（1）若3
x=是函数()
f x
的一个极值点，求实数a的取值；
（2）设
()()2
g x a x
=-
，若
1
,
x e
e
⎡⎤
∃∈⎢⎥
⎣⎦，使得
()()
00
f x
g x
≤
成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) 6
a=-,(2)
[)
1,
-+∞
.
解析：（1）函数
()
f x
定义域为
()
0,+∞
，
()224
24
a x x a
f x x
x x
'
-+
=+-=
.
∵3x =是函数
()
f x 的一个极值点，∴
()30
f '=，解得6a =-.
经检验6a =-时， 3x =是函数()f x 的一个极小值点，符合题意，
∴6a =-. （2）由()()
00f x g x ≤，得()20000ln 2x x a x x -≥-，
记
()()
ln 0F x x x x =->，
∴
()()1
0x F x x x -'=
>，
∴当01x << 时， ()0
F x '<，
()
F x 单调递减；
当1x >时， ()0F x '>，
()
F x 单调递増.
∴
()()110
F x F >=>，
∴
200002ln x x a x x -≥-，记()221,,ln x x G x x e x x e -⎡⎤
=∈⎢⎥
-⎣⎦， ∴
()()()()()()222ln 21ln x x x x x G x x x ------'=
()()
()2
12ln 2ln x x x x x ---+=-.
∵
1,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦，∴()22ln 21ln 0x x -=-≥， ∴2ln 20x x -+>，
∴
1,1x e ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭时， ()0G x '<， ()G x 单调递减； ()
1,x e ∈时，
()0
G x '>，
()
G x 单调递增，
∴()()min 11G x G ==-，
∴
()min 1
a G x ≥=-.
故实数a 的取值范围为
[)1,-+∞.
10.【2018湖南永州上学期一模（理）】已知函数
()()
21x
f x x x e =--.
（1）若
()
f x 在区间
(),5a a +有最大值，求整数a 的所有可能取值；
（2）求证：当0x >时， ()()323ln 247x f x x x x x e <-++-+.
【答案】（1）6,5,4--- ；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）()
f x 在区间
(),5a a +有最大值，即是()f x 在区间(),5a a +有极大值，
求出()'f x ，
求出极大值点
x ，令
05
a x a <<+ ，从而可得结果；（2）
()()
323ln 247
x f x x x x x e <-++-+等价于
()
2
3313ln 7
x x
x e x x -+-<-++，只需证明()()
23min
max
313ln 7
x x x e x x ⎡⎤-+-<-++⎣
⎦即可.
试题解析：（1）f′(x)＝（x2＋x －2）ex ， 当x<－2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当－2＜x ＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 当x ＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 由题知：a ＜－2＜a+5，得：－7＜a ＜－2， 则a ＝－6、－5、－4、－3，
当a ＝－6、－5、－4，显然符合题意，
若a ＝－3时，f(－2)＝5e ―2，f(2)＝e2，f(－2)＜f(2)，不符合题意，舍去． 故整数a 的所有可能取值－6，―5，－4．
（2）f(x)＜－3lnx ＋x3+(2x2－4x)ex+7可变为(－x2＋3x －1)ex ＜－3lnx ＋x3+7， 令g(x)＝(－x2＋3x －1)ex ，h(x)=－3lnx ＋x3+7， g′(x)＝(－x2＋x ＋2)ex ，
0＜x ＜2时，g ′(x)＞0，g(x)单调递增， 当x ＞2时，g ′(x)＜0，g(x)单调递减， g(x)的最大值为g(2)＝e2，
h′(x)＝
()
331
x x
-，当0＜x ＜1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
当x ＞1时，h′(x)＞0，h(x)单调递增， h(x)的最小值为h(1)＝8＞e2， g(x)的最大值小于h(x)的最小值，
故恒有g(x)＜h(x)，即f(x)＜－3lnx ＋x3+(2x2－4x)ex+7．
11．【2018四川成都双流中学9月月考文】已知函数()()ln 1,f x x a x a R
=--∈.
（1）当1a =时，求函数
()
f x 的单调区间；
（2）当1x ≥时，
()ln 1x
f x
x ≤
+恒成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.
【解析】试题分析：（1）把a 的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间；（2）求出原函数的导函数，
根据a 的不同取值范围对导函数的符号加以判断，只有当
1
2a ≤
时, ()'0h x ≤在上恒成立，
()()10
h x f ≥=，不等式恒成立，对于
1
02a <<
和0a ≤都不能满足当1x ≥时， ()0f x ≥恒成立，从
而求得a 的值范围.
试题解析：（1）()
f x 的定义域为()0,+∞， 1a =时，
()1x
f x x '-=
令()001f x x >⇒<<'，∴
()
f x 在
()0,1上单调递增；
令
()01
f x x <'⇒<，∴
()
f x 在
()1,+∞上单调递减
综上， ()
f x 的单调递增区间为
()0,1，递减区间为()1,+∞.
（2）若
102a <<
，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0h x '>， ()g x '在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，
()()1120
g x g a >=-'>'，
同Ⅰ），所以不符合题意
（3）当1
2a ≥
时， ()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立.
∴
()
g x '在
[)1,+∞递减， ()()1120g x g a ≤=-'≤'. 从而
()
g x 在
[)1,+∞上递减，∴()()10g x g ≤=，即
()ln 01x
f x x -
≤+.
结上所述， a 的取值范围是1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭.
12.【2018河北省馆陶县第一中学第一次月考理】设函数()()()
ln 1,f x x a x a R =-+∈.
(Ⅰ)讨论函数()
f x 的单调性；
(Ⅱ)当函数
()
f x 有最大值且最大值大于31a -时，求a 的取值范围.
【答案】(1)详见解析（2）
()1,0-
【解析】试题分析：对函数求导，借助导数工具研究函数的单调性，求导后
()
f x '中含有参数a ，所以对a
进行分类讨论，分情况说清楚函数的单调性；根据第一步对函数的单调性的研究可以发现函数的最大值为
11ln 111f a a ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据题意需要满足1ln 311a a >-+，即()ln 130a a ++<，设
()()ln 13g a a a
=++，找出
()0
g a <在
()1,-+∞恒成立的条件a 的范围.
试题解析： （Ⅰ）函数
()
f x 的定义域为
()0,∞，
()()()111
1a x f x a x x -+=
-+'=
①当10a +≤，即1a ≤-时，
()0
f x '>，函数
()
f x 在
()0,+∞上单调递增；
②当10a +>时，令
()0
f x '=，解得
11x a =
+，
i ）当
1
01x a <<
+时， ()0f x '>，函数单调递增，
ii ）当
1
1x a >
+时， ()0f x '<，函数单调递减；
综上所述：当1a ≤-时，函数
()
f x 在
()0,+∞上单调递增，
当1a >-时，函数()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增，在1,1
a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减； （Ⅱ）由（Ⅰ）得： ()max 11ln 111f x f a a ⎛⎫==- ⎪
++⎝⎭
当函数()
f x 有最大值且最大值大于31a -，
1
ln
1311a a ->-+，
即()ln 130
a a ++<，
令
()()ln 13g a a a =++，
()00
g =且
()
g a 在
()1,-+∞上单调递增，
∴ ()()00g a g <=在()1,-+∞上恒成立，
∴ -10a <<
故a 的取值范围为()10-，.。