考点12 导数与函数的极值与最值-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第2章 第12节 导数与函数的极值、最值 Word版含解析

第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大.()(2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件.()(3)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()(4)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2.(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图2-12-1所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为()图2-12-1A.1 B.2C.3D.4A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.] 3.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件 B.11万件C.9万件 D.7万件C[y′=-x2+81,令y′=0得x=9或x=-9(舍去).当x∈(0,9)时,y′>0,当x∈(9,+∞)时,y′<0,则当x=9时,y有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.]4.(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=() A.-4 B.-2C.4 D.2D[由题意得f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=±2,∴当x<-2或x>2时,f ′(x )>0;当-2<x <2时,f ′(x )<0,∴f (x )在(-∞,-2)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数.∴f (x )在x =2处取得极小值,∴a =2.]5.函数y =2x 3-2x 2在区间[-1,2]上的最大值是________.8 [y ′=6x 2-4x ,令y ′=0,得x =0或x =23.∵f (-1)=-4,f (0)=0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=-827, f (2)=8,∴最大值为8.]利用导数研究函数的极值问题设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图2-12-2所示,则下列结论中一定成立的是( )图2-12-2A .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1)C .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (-2)D .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2)D [由题图可知,当x <-2时,f ′(x )>0;当-2<x <1时,f ′(x )<0;当1<x <2时,f ′(x )<0;当x >2时,f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x =-2处取得极大值,在x =2处取得极小值.]☞角度2 求函数的极值求函数f (x )=x -a ln x (a ∈R )的极值.[解] 由f ′(x )=1-a x =x -a x ,x >0知:(1)当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,函数f (x )无极值;5分(2)当a >0时,由f ′(x )=0,解得x =a .又当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0;当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0,9分从而函数f (x )在x =a 处取得极小值,且极小值为f (a )=a -a ln a ,无极大值. 综上,当a ≤0时,函数f (x )无极值;当a >0时,函数f (x )在x =a 处取得极小值a -a ln a ,无极大值.12分☞角度3 已知极值求参数(1)已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )【导学号:01772087】A .(-∞,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 C .(0,1) D.(0,+∞)(2)设f (x )=ln(1+x )-x -ax 2,若f (x )在x =1处取得极值,则a 的值为________.(1)B (2)-14 [(1)∵f (x )=x (ln x -ax ),∴f ′(x )=ln x -2ax +1,故f ′(x )在(0,+∞)上有两个不同的零点,令f ′(x )=0,则2a =ln x +1x ,设g (x )=ln x +1x ,则g ′(x )=-ln x x 2,∴g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,又∵当x →0时,g (x )→-∞,当x →+∞时,g (x )→0,而g (x )max =g (1)=1,∴只需0<2a <1⇒0<a <12.(2)由题意知,f (x )的定义域为(-1,+∞),且f ′(x )=11+x -2ax -1=-2ax 2-(2a +1)x1+x ,由题意得,f ′(1)=0,则-2a -2a -1=0,得a =-14,又当a =-14时,f ′(x )=12x 2-12x 1+x =12x (x -1)1+x ,当0<x <1时,f ′(x )<0;当x >1时,f ′(x )>0,∴f (1)是函数f (x )的极小值,∴a =-14.][规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程利用导数解决函数的最值问题ax (1)求函数f (x )的单调区间;(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ,2a 上的最大值. [解] (1)f (x )=x -e ax (a >0),则f ′(x )=1-a e ax ,令f ′(x )=1-a e ax=0,则x =1a ln 1a .3分 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表: x⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1a ln 1a 1a ln 1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ,+∞ f ′(x )+ 0 -f (x )极大值 故函数f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1a ln 1a ;减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ,+∞.6分 (2)当1a ln 1a ≥2a ,即0<a ≤1e 2时,f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a =2a -e 2;9分 当1a <1a ln 1a <2a ,即1e 2<a <1e 时,f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a =1a ln 1a -1a ; 当1a ln 1a ≤1a ,即a ≥1e 时,f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =1a -e.12分 [规律方法] 求函数f (x )在[a ,b ]上的最大值、最小值的步骤:(1)求函数在(a ,b )内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值f (a ),f (b );(3)将函数f (x )的极值与f (a ),f (b )比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值.[变式训练1] (2017·石家庄质检(二))若a >0,b >0,且函数f (x )=4x 3-ax 2-2bx +2在x =1处有极值,若t =ab ,则t 的最大值为( )A .2B.3C.6D.9D [f ′(x )=12x 2-2ax -2b ,则f ′(1)=12-2a -2b =0,a +b =6,又a >0,b >0,则t =ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22=9,当且仅当a =b =3时取等号,故选D.] 利用导数研究生活中的优化问题克)与销售价格x (单位:元/千克)满足关系式y =a x -3+10(x -6)2,其中3<x <6,a 为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.[解] (1)因为x =5时,y =11,所以a 2+10=11,a =2.5分(2)由(1)可知,该商品每日的销售量为y =2x -3+10(x -6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )=(x -3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x -3+10(x -6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.7分从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:由上表可得,x=4时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,9分所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分[规律方法]利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域;(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题作答.[变式训练2]某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y=13x3-392x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为________.【导学号:01772088】40[由y′=x2-39x-40=0,得x=-1或x=40,由于0<x<40时,y′<0;x>40时,y′>0.所以当x=40时,y有最小值.][思想与方法]1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.2.求闭区间上可导函数的最值时,对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断,直接与端点的函数值比较即可.3.如果目标函数在定义区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.4.若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值,则:(1)对任意x∈A,f(x)>0⇔f(x)min>0;(2)存在x∈A,f(x)>0⇔f(x)max>0.[易错与防范]1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能.2.导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题,应注意分类讨论.3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.4.利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义.。
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2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)一、填空题1.(2017·北京理,11)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为________.1.【答案】1【解析】由ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,圆心坐标为C(1,2),半径长为1。
考点10 导数的几何意义-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)

考点十:导数的几何意义【考纲要求】(1)了解导数概念的实际背景.(2) 通过函数图像直观理解导数的几何意义. (3) 根据导数的定义求基本函数的导数.(4) 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如)(b ax f +的复合函数)的导数. 【命题规律】导数的运算是导数应用的基础,一般较少直接考查,而导数的几何意义----切线问题是高考考查的热点. 预计2017年的高考将会继续保持稳定,坚持考查导数的几何意义,命题形式会更加灵活、新颖. 【典型高考试题变式】 (一)求函数的导函数例1.【2017浙江高考改编】已知函数()()x 1fx x-2x-1e x 2-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭,求()f x 的导函数. 【答案】(I )()()(12121()221x x x e f x x x ----=>-';【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到:1.基本初等函数的导函数相当熟悉;2.导函数的四则运算要熟练.另外,在求导的过程中,要注意对原式进行变形,使得便于我们求导.【变式1】【函数中含有参数,利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷(文)】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 .【答案】3 【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.【变式2】【赋值法在求导得应用,题型变为填空题】【2017江西太原高三模考一(文)改编题】已知函数()()()2102x f f f x e x xe '=+-,则)(x f 的最小值为___________________.【答案】1(二)导数的几何意义例2.【2017天津卷(文)】已知a ∈R ,设函数()ln f x ax x =-的图像在点()()1,1f 处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 【答案】1【解析】(1)f a =,切点为(1,)a ,1()f x a x '=-,则切线的斜率为(1)1f a '=-,切线方程为:(1)(1)y a a x -=--,令0x =得出1y =,l 在y 轴的截距为1.【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数,倾斜值的正切值就是斜率.【变式1】【已知含参函数的切线斜率,求参数的值(或取值范围)】【2017四川乐山第三次调研考试(理)】已知曲线()221x x f x e e ax =-+-存在两条斜率为3的切线,则实数a 的取值范围是( )A. ()3,+∞B. 73,2⎛⎫⎪⎝⎭ C.7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. ()0,3 【答案】B 【解析】由题得()222x x f x e e a'=-+,则方程2223x x e e a -+=有两个解,令xt e =,且()2223g t t t a =-+-,则由图象可知,有()0g t >且0∆>,即30a ->且()4830a -->,解得732a <<,故选B.【变式2】【函数的切线斜率与切线的倾斜角之间的关系】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为A. 3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C. 3π[,π) 4 D.π3π(,24⎤⎥⎦ 【答案】B【解析】由题意得()22k f x x x ==-'=()2111x --≥-,即tan α1k =≥-,解得πα02≥≥或3παπ4≤≤.即切线倾斜角的范围为π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选B. 【变式3】【两个函数的切线垂直求切点的取值范围】【2015陕西卷(理)】设曲线xy e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x =>上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 .【答案】()1,1【变式4】【两个函数的切线平行求参数的值】【2014江苏】在平面直角坐标系中,若曲线(为常数)过点,且该曲线在点处的切线与直线平行,则.【答案】【解析】曲线过点,则①,又,所以②,由①②解得所以.(三)在一点处的切线方程例3.【2017全国1卷(文)】曲线21 y xx=+在点(1,2)处的切线方程为_________________________. 【答案】1y x=+【解析】设()y f x=,则()212f x xx-'=,所以()1211f='-=,所以曲线21y xx=+在点()1,2处的切线方程为()211y x-=⨯-,即1y x=+.【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出斜率,其求法为:设()00,P x y是曲线()y f x=上的一点,则以P为切点的切线方程是()()000y y f x x x'-=-.若曲线()y f x=在点()()00,P x f x处的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为0x x=.【变式1】【例题中增加函数性质】【2016全国3卷(理)】已知()f x为偶函数,当0x<时,()()ln3f x x x=-+,则曲线()y f x=在点()1,3-处的切线方程是__________.【答案】21y x=--【变式2】【增加例题中函数的参数,求参数的取值】【2017届衡水中学押题卷3(文)改编题】已知函数()()1e xf x bx a=-+(a,Rb∈).若曲线()y f x=在点()()0,0f处的切线方程为y x=,求a,b 的值分别为________.【答案】2,1【解析】函数()f x的定义域为R,()()e1ex xf x b bx=+-'()1e xbx b=+-.因为曲线()y f x=在点()()0,0f处的切线方程为y x=,所以()()00,{01,ff'==得10,{11,ab-=-=解得1,{2.ab==(四)过一点的切线方程例4.【2015全国1卷(理)改编题】已知函数,.(1)当为何值时,轴为曲线的切线.【答案】(Ⅰ);【解析】(Ⅰ)设曲线与轴相切于点,则,,即,解得.因此,当时,轴是曲线的切线.【方法技巧归纳】对于曲线)(xfy=上“过”点),(nm的切线问题,一般要先设切点),(yx,于是切线为))(('mxxfny-=-,再根据切点在曲线上得)(xfy=,切点在切线上得))(('mxxfny-=-.列方程组,可得切点的值.【变式1】【增加例题的难度,求切线的取值范围】【2017甘肃第二次高考诊断考试(理)】若P是函数()()()1ln1f x x x=++图象上的动点,点()1,1A--,则直线AP斜率的取值范围为()A. [)1,+∞B.[]0,1C.(1,e e-⎤⎦D.(1,e-⎤-∞⎦【答案】A切线过点()1,1--,则:()()()()000011ln1ln111x x x x⎡⎤--++=++--⎣⎦,解得:00x=,切线的斜率()ln111k x=++=,综上可得:则直线AP斜率的取值范围为[) 1,+∞.(五)两曲线的公切线例5.【2016全国2卷(理)】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线()ln 1y x =+的切线,则b = .【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切点为()11ln +2x x ,,则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ,,则它的切线为:()22221ln 111x y x x x x =++-++,所以()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩,解得112x =,212x =-,所以1ln 11ln 2b x =+=-.【方法技巧归纳】两曲线有公共切线,一般可以分别求出两曲线的切线,然后说明这两直线重合;或者先求出其中一条曲线的切线,然后说明其也和另一曲线相切.【变式1】【例题中曲线添加参数,求参数的值】【2015全国2卷】已知曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切,则a= . 【答案】8【解析】由11y x '=+可得曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与1)2(2+++=x a ax y 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.【变式2】【改编题目问法,两曲线存在公切线求参数范围】【2017河南六市第二次联考(理)】若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线,则a 的取值范围为__________.【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】由y=ax2(a>0),得y ′=2ax ,由y=ex,得y ′=ex ,曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex 存在公共切线,设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点()22,x x e ,则22211212x x e ax ax e x x -==-,可得2x2=x1+2,∴11212x ea x +=,记()122x ef x x +=,则()()1222'4x e x f x x +-=,当x ∈(0,2)时,f ′(x)<0,f(x)递减;当x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)递增.∴当x=2时,()2min4e f x =.∴a 的范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ . 【数学思想】 无限逼近的极限思想(1)由()()'()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆可以知道,函数的导数是函数的瞬时变化率,函数的瞬时变化率是平均变化率的极限,充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量,向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果,这是极限的实质与精髓,也是导数的思想及其内涵. (2)曲线的切线定义,充分体现了运动变化及无限逼近的思想:“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”⇒“割线→切线”.(3)在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程,在点P 处的切线,一定是以点P 为切点,过点P 的切线,不论点P 在不在曲线上,点P 不一定是切点. 【处理导数的几何意义问题注意点】对于曲线切线方程问题的求解,对函数的求导是一个关键点,因此求导公式,求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.对于已知的点,应首先认真审题,对于确定切线的方程问题,要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况,避免出错.从历年高考题看,“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍.【典例试题演练】1.【2017宁夏银川一中高三二模(文)】已知在平面直角坐标系中,曲线()ln f x a x x=+在x a =处的切线过原点,则a =A. 1B. eC. 1e D. 0【答案】B2.【2017辽宁沈阳东北育才学校第九次模拟考试(理)】已知函数()xaf x x e=- (0)a >,且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲xy e =相切,符合情况的切线 A. 有0条 B. 有1条 C. 有2条 D. 有3条 【答案】A【解析】函数f(x)= xax e -的导数为f ′(x)=1−1xa ea ,a>0.易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l 的斜率为1−1a,切点为(0,−1),可得切线的方程为y=(1−1a )x −1.假设l 与曲线y=ex 相切,设切点为(x0,y0),即有e x0=1−1a =(1−1a )x0−1,消去a 得e x0=e x0⋅x0−1,设h(x)=exx −ex −1, 则h ′(x)=exx,令h ′(x)>0,则x>0,所以h(x)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 当x →−∞,h(x )→−1,x →+∞,h(x )→+∞, 所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,则e x0>1, 而a>0时,1−1a<1,与e x0>1矛盾,所以不存在. 故选:A.3.【2017湖南长沙长郡中学高三5月模考(理)】设曲线()x f x e x=--(e 为自然对数的底数)上任意一点的切线为1l,总存在曲线()32cos g x ax x=+上某点处切线2l,使得12l l ⊥,则实数a 的取值范围为( )A. []1,2-B. []3,+∞C. 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()()1,32sin x f x e g x a x''=--=-,所以直线12,l l 的斜率分别为()11201,32sin x k e k a x =-+=-,则由题设可得()()10132sin 1x e a x -+-=-,即10132sin 1x a x e -=+,又因为对任意1x ,都有11011x e <<+,故 存在0x 使得0032sin 1a x <-<,即存在0x 使得002sin 312sin x a x <<+,故1232a -≤≤,即1233a -≤≤,应选答案D . 4.【2017安徽蚌埠高三二质检(理)】已知函数()1xf x x a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,曲线()y f x =上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直,则实数a 的取值范围是( )A. ()2,e -+∞B. ()2,0e - C. 21,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D. 21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】曲线()y f x =上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直,()()'10x f x a x e -∴=+-=有两个不同的解,即得()1xa x e -=-有两个不同的解,设()1xy x e -=-,则()'2,2,'0,2,'0x y x e x y x y -=-∴,()1xy x e -=-在(),2-∞上递减,在()2,+∞上递增2x ∴=时,函数取得极小值2,e --又因为当2x >时总有()10xy x e -=-<,所以可得数a 的取值范围是21,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭,故选D.5.【2017四川绵阳高三月考(理)】过点()2,1A 作曲线()33f x x x=-的切线最多有( )A .3条B .2条C .1条D .0条 【答案】A6.【2018河北石家庄二中开学考试(理)】已知函数()()21,f x g x x x ==.若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切,则直线l 的斜率为__________. 【答案】4-【解析】因为()()21,f x g x x x ==,所以()21‘,f x x =-设曲线()f x 与l 切于点111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,则切线斜率211k x =-,故切线方程为()121111y x x x x -=--,即21112y x x x =-+,与()2g x x =联立得:2211120x x x x +-=,因为直线l 与曲线()g x 相切,所以02411221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ,解得112x =-,故斜率211k 4x =-=-.故答案为: 4-7.【2018广东茂名高三五校联盟9月联考(理)】若函数的图象在点处的切线斜率为,则函数的极小值是__________.【答案】【解析】因为,所以由导数的几何意义可得切线的斜率,故,令可得,则函数的极小值为,应填答案.8.【2017河南新乡三模(文)】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立,则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为__________.【答案】1315y x =-(或13150x y --=) 【解析】()()()()()()3323,23f x f x x x f x f x x x +-=++∴-+=-+-+()()()()333233f x x x x x ⎡⎤∴=++--+-+⎣⎦()()()321,31,213f x x x f x x f ''∴=++=+=又()211f =,则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11132y x -=- ,即1315y x =-9.【2017湖南郴州市高三第四次质量检测(文)】若函数()在区间只有一个极值点,则曲线在点处切线的方程为__________.【答案】【解析】由题意可得,所以即在有唯一奇次根.根据根的存在性定理,即,,又因为,所以.,,,所以切线方程为.答案为:x-y+6=0.10.【2018河南周口市中英文学校开学考】曲线()C:sin 2x f x x e =++在0x =处的切线方程为_____.【答案】23y x =+ 【解析】由()sin 2x f x x e =++,得()cos xf x x e ='+,()03f =,切线的斜率为()02k f ='=,故切线方程为23y x =+,故答案为23y x =+.11.【2018贵州贵阳高三8月摸底考】已知函数()()1*n n f x x x n N +=-∈,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为nb ,则数列{}n b 的前n 项和为__________.【答案】12n n +⋅【解析】对函数求导可得: ()()1'1n nf x nx n x -=-+,则()()()11'221222n n n f n n n --=⨯-+⨯=--⨯,且:()12222n n nf -=-=-,曲线在()()2,2f 处的切线方程为()()12222nn y n x -+=--⨯⨯-,令0x =可得: ()1222n y n -=+⨯,即()1222n n b n -=+⨯,错位相减可得其前n 项和为12n n -⋅.12.【2017湖南省郴州市高三第四次质量检测(文)改编】已知函数()与函数有公共切线.则求的取值范围为_____________. 【答案】13.【2017吉林实验中学八模(理)改编】已知函数()()ln af x x a R x =+∈.(Ⅰ)若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=,求实数a 的值.【答案】(1)1a =-【解析】试题分析:(1)利用导数的几何意义,得()12f '=, 1a =-;试题解析:(Ⅰ)()21'a fxx x=-,函数()f x在1x=处的切线平行于直线20x y-=.()112,1f a a∴=-=∴=-'.14.【2017陕西省西安市西北工业大学附属中学第八次模拟(理)】已知函数()()1lnt xf x e t x-=-(常数0t>). (Ⅰ)求函数()f x的单调区间;(Ⅱ)若曲线()y f x=与直线y tx=相切,证明:2t<.【答案】(1)()f x的单增区间为()1,+∞,单减区间为()0,1;(2)见解析.【解析】试题分析:(Ⅰ)求出()'f x,()'0f x>得增区间,()'0f x<得减区间;(Ⅱ)设曲线()y f x=与直线y tx=的切点为()()00,x f x,由0011ln t x txx+-=,可得()0001lnxtx x x+=+,()()1lnxr xx x x+=+,其中11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭,利用导数研究函数的单调性可得()()12r x r<=,即2t<.(Ⅱ)证明:设曲线()y f x=与直线y tx=的切点为()()00,x f x,因为()()11t xf x t ex-⎛⎫=-⎝'⎪⎭,所以()()011t xf x t e tx-⎛⎫=-=⎪⎝⎭',即()111t xex-=+.因为直线y tx=经过切点()()00,x f x,所以()()01000lnt xf x e t x tx-=-=,于是,有0011ln t x txx+-=,即()0001lnxtx x x+=+.令()()111t xh x ex-=--,则()()121t xh x tex-+'=>,故()h x单增,又()110h=-<,11101th et t⎛⎫+=-->⎪+⎝⎭,所以()h x有唯一零点0x,且11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭.再令()()1lnxr xx x x+=+,其中11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭,则()()2223ln1lnx x xr xx x x----=<+',故()r x单减,所以()()12r x r<=,即2t<.。
2018年高考数学浙江卷及答案解析

数学试卷 第1页(共14页) 数学试卷 第2页(共14页)绝密★启用前浙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页,满分150分,考试时间120分钟. 参考公式:若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+.若事件A ,B 相互独立,则()()()P AB P A P B =.若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)kk n k n n P k p p k n -=-=….台体的体积公式:121()3V S S h =,其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高.柱体的体积公式:V Sh =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的表面积公式:24S R =π,其中R 表示球的半径. 球的体积公式:34π3V R =,其中R 表示球的半径. 选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,5{}4,U =,3{}1,A =,则=UA( )A .∅B .{1,3}C .{2,4,5}D .1,2,3{,4,5} 2.双曲线221 3=x y -的焦点坐标是( )A.(, B .(2,0)-,(2,0) C.(0,, D .(0,2)-,(0,2)3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:3cm )是( )A .2B .4C .6D .8 4.复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i -- 5.函数||sin22x x y =的图象可能是( )ABCD6.已知平面α,直线m ,n 满足m α⊄,n a ⊂,则“m n ∥”是“m α∥”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件俯视图正视图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页(共14页) 数学试卷 第4页(共14页)7.设01p <<,随机变量的分布列是222则当p 在(0,1))内增大时,( )A .D ξ()减小B .D ξ()增大 C .D ξ()先减小后增大D .D ξ()先增大后减小 8.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点(不含端点),设SE 与BC 所成的角为1θ,SE 与平面ABCD 所成的角为2θ,二面角S AB C --的平面角为3θ,则( )A .123θθθ≤≤B .321θθθ≤≤C .132θθθ≤≤D .231θθθ≤≤9.已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量,若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足2430b e b -+=,则||a b -的最小值是( ) A 1 B 1 C .2D .210.已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则( )A .13a a <,24a a <B .13a a >,24a a <C .13a a <,24a a >D .13a a >,24a a >非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
高考数学导数与函数的极值、最值

0
[解析]结合函数g(x)图像(图略)可知g(x)=-x2的极值点是x=0.因为f'(x)=3(x-1)2≥0, f'(x)=0无变号零点,所以函数f(x)=(x-1)3不存在极值点.
不存在
5.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是 ,在(1,2)上的最小值和最大值均 (填“存在”或“不存在”).
D
例3 (1)[2021·全国乙卷] 设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2
课堂考点探究
方法二:因为x=a为函数f(x)的极大值点,且f(a)=0,f(b)=0,所以结合三次函数的图像知,当a>0时,y=f(x)的大致图像如图①,此时0<a<b,得a2<ab;当a<0时,y=f(x)的大致图像如图②,此时b<a<0,得a2<ab.综上可得a2<ab,故选D.
-1
[总结反思]求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.
课堂考点探究
微点3 已知极值求参数例3 (1)[2021·全国乙卷] 设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2
课前基础巩固
f(a)
f(b)
f(a)
f(b)
[常用结论]导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值的关系如下:
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件:2.11.2利用导数研究函数的极值、最值

命题角度
已知函数的极 值求参数的值 或范围
命题视角 给出函数的极值,利用导数及函数的
单调性确定参数的值,属中档题
【考题例析】 命题角度1:已知函数求极值 【典例1】(2016·山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+ (2a-1)x,a∈R. (1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间. (2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
2.函数的最值与导数的关系 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条
连续不断 的曲线,那么它必有最大值和最小值. _________
(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤: 极值 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的_____; 端点处的函数值f(a),f(b) ②将函数y=f(x)的各极值与________________________ 最大 的一个是最大值,_____ 最小 的一个是最小值. 比较,其中_____
a 1, 解得 b 4.
所以f(x)的单调递减区间是(-1,1). 答案:(-1,1)
x 3 3x, x a, 6.(2016·北京高考)设函数f(x)= 2x, x>a.
(1)若a=0,则f(x)的最大值为________.
(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是________.
所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.
2.(选修1-1P97例5改编)函数y=x+2cosx在区间 [0, ]
2
上的最大值是________.
【解析】y′=1-2sinx,令y′=0, 又因为x∈[0, ] ,解得 x , 则当x∈ [0, ) 时,y′>0;当x∈ ( , ] 时,y′<0, 故函数y=x+2cosx在 x 时取最大值 3. 答案: 3
一轮复习--导数与函数的极值、最值

其实,世上最温暖的语言,“ 不是我爱你,而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇!只有彼此以诚相待,彼此尊 重,相互包容,相互懂得,才能走的更远。 相遇是缘,相守是爱。缘是多么的妙不可言,而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时,错过一世! 择一人深爱,陪一人到老。一路相扶相持,一路心手相牵,一路笑对风雨。在平凡的世界,不求爱的轰轰烈烈;不求誓 言多么美丽;唯愿简单的相处,真心地付出,平淡地相守,才不负最美的人生;不负善良的自己。 人海茫茫,不求人人都能刻骨铭心,但求对人对己问心无愧,无怨无悔足矣。大千世界,与万千人中遇见,只是相识的 开始,只有彼此真心付出,以心交心,以情换情,相知相惜,才能相伴美好的一生,一路同行。 然而,生活不仅是诗和远方,更要面对现实。如果曾经的拥有,不能天长地久,那么就要学会华丽地转身,学会忘记。 忘记该忘记的人,忘记该忘记的事儿,忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合,月有阴晴圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。对于离开的人,不必折磨自己脆弱的生命,虚度了美好的朝夕;不必让心灵痛苦不堪, 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪,告诉自己,日子还得继续,谁都不是谁的唯一,相信最美的风景一直在路上。 人生,就是一场修行。你路过我,我忘记你;你有情,他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人,然而事与愿违时, 你越渴望的东西,也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望,就会像肥皂泡一样破灭,只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风,有多少故事留下感动。愿曾经的相遇,无论是锦上添花,还是追悔莫及;无论是青涩年华的懵懂赏 识,还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往,依然如花芬芳四溢,永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实,人生之路的每一段相遇,都是一笔财富,尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上,他们都会丰富你的生命,使 你的生命更充实,更真实;丰盈你的内心,使你的内心更慈悲,更善良。所以生活的美好,缘于一颗善良的心,愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来,愿相亲相爱的人,相濡以沫,同甘共苦,百年好合。愿有情有意的人,不离不弃,相惜相守,共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了,依然是彼此手心里的宝,感恩一路有你!
2018年数学真题及解析_2018年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)

2018年云南省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5.00分)已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.(5.00分)(1+i)(2﹣i)=()A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i3.(5.00分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A. B. C. D.4.(5.00分)若sinα=,则cos2α=()A.B.C.﹣ D.﹣5.(5.00分)(x2+)5的展开式中x4的系数为()A.10 B.20 C.40 D.806.(5.00分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]7.(5.00分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为()A.B.C.D.8.(5.00分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)<P(X=6),则p=()A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.39.(5.00分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.10.(5.00分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.5411.(5.00分)设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为()A.B.2 C.D.12.(5.00分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
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考点十二:导数与函数的极值与最值【考纲要求】(1)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 【命题规律】利用导数研究函数的极值与最值是高考的热点问题,近2年在高考中大批量的出现,常常会考查利用导数研究含参函数的单调性,极值综合考查,有时出现在做题过程中.预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数的极值与最值,命题形式会更加灵活、新颖. 【典型高考试题变式】 (一)函数的极值的意义例1.【2017全国2卷(理)】若2x =-是函数()()21`1e x f x x ax -=+-的极值点,则()f x 的极小值为( ).A.1-B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A【方法技巧归纳】对于可导函数,导数为0的点不一定是极值点.函数)(x f y =在0x x =处取极值的充要条件应为(1))('0=x f ,(2)在x x =左右两侧的导数值的符号相反.从解题的规范性和正确性角度出发,求类似问题最后都要进行检验.【变式1】【改编例题的问法,辨别极值与零点的不同】【2015陕西卷理科】对二次函数2()f x ax bx c =++(a 为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A .1-是()f x 的零点 B .1是()f x 的极值点 C .3是()f x 的极值 D .点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】若选项A 错误时,选项B 、C 、D 正确,()2f x ax b'=+,因为1是()f x 的极值点,3是()f x 的极值,所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩,即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩,解得:23b a c a =-⎧⎨=+⎩,因为点()2,8在曲线()y f x =上,所以428a b c ++=,即()42238a a a +⨯-++=,解得:5a =,所以10b =-,8c =,所以()25108f x x x =-+,因为()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠,所以1-不是()f x 的零点,所以选项A 错误,选项B 、C 、D 正确,故选A .【变式2】【改变例题的问法,通过极值问题求参数的范围】【2014全国2卷理科】设函数()3sin xf x m π=.若存在()f x 的极值点x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦,则m 的取值范围是( )A.()(),66,-∞-⋃∞B.()(),44,-∞-⋃∞C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),11,-∞-⋃∞【答案】C(二)求函数的极值例2.【2017全国2卷理】已知函数()2ln f x ax ax x x=--,且()0f x(1)求a ; (2)证明:()f x 存在唯一的极大值点x ,且()220e 2f x --<<.【答案】(1)1a =;(2)答案见解析. 【解析】(1)因为()()ln 0f x x ax a x =--,0x >,所以ln 0ax a x --.令()ln g x ax a x=--,则()10g =,()11ax g x a x x -'=-=,当0a 时,()0g x '<,()g x 单调递减,但()10g =,1x >时,()0g x <;当0a >时,令()0g x '=,得1x a =.当10x a <<时,()0g x '<,()g x 单调递减;当1x a >时,()0g x '>,()g x 单调递增.若01a <<,则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单递调递减,()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭; 若1a >,则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增,()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭; 若1a =,则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()0g x ≥.综上,1a =. (2)()2ln f x x x x x=--,()22ln f x x x'=--,0x >.令()22ln h x x x=--,则()1212x h x x x -'=-=,0x >.令()0h x '=得12x =,当102x <<时,()0h x '<,()h x 单调递减;当12x >时,()0h x '>,()h x 单调递增.所以()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭.因为()22e2e 0h --=>,()22ln 20h =->,21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,, 所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭,和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上,()h x 即()f x '各有一个零点. 设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭,和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上的零点分别为02x x ,,因为()f x '在102⎛⎫⎪⎝⎭,上单调递减,所以当00x x <<时,()0f x '>,()f x 单调增;当012x x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减.因此,0x 是()f x 的极大值点.因为,()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上单调增,所以当212x x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减,当2x x >时,()f x 单调递增,因此2x 是()f x 的极小值点.所以()f x 有唯一的极大值点0x .由前面的证明可知,201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,则()()24220e e e e f x f ---->=+>.因为()00022ln 0f x x x '=--=,所以00ln 22x x =-,又()()22000000022f x x x x x x x =---=-,因为0102x <<,所以()014f x <.因此,()201e 4f x -<<.即()220e 2f x --<<.【方法技巧归纳】求函数极值的步骤:①求函数的定义域;②求出函数的导函数)('x f ;③解方程0)('=x f ,求出x 的值;④判定在定义域内导函数为0的点两侧的单调性,并求出在该点的原函数值;⑤先增后减位极大值点,先减后增为极小值点,两侧单调性相同,则该点不是极值点.【变式1】【改变例题的问法,通过极值求参数范围】【2017江苏卷】已知函数()()3210,f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:²3b a >; (3)若()f x ,()f x ' 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值范围.【答案】(1)2239a b a =+,定义域为(3,)+∞;(2)答案见解析;(3)(]36,.【解析】(1)由32()1f x x ax bx =+++,得222()32333a a f x x ax b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭.当3ax =-时,()f x '有极小值23a b-. 因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭,又0a >,故2239a b a =+. 因为()f x 有极值,故()=0f x '有实根,从而()23127039a b a a -=-,即3a .3a =时,()>0(1)f x x '≠-,故()f x 在R 上是增函数,()f x 没有极值;3a >时,()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---,223=3a a b x -+-.列表如下x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0– 0+ ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x.从而3a >,因此2239a b a =+,定义域为(3,)+∞.(3)由(1)知,()f x 的极值点是12,x x ,且1223x x a +=-,22212469a b x x -+=.从而()()32321211122211f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++=()()()()2222121122121212323223333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++=346420279a ab ab --+=.记()f x ,()f x '所有极值之和为()h a ,因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+,所以()213=9h a a a -+,3a >. 因为()223=09h a a a '--<,于是()h a 在(3,)+∞上单调递减.因为()76=2h -,于是()()6h a h ,故6a .因此a 的取值范围为(]36,.【变式2】【改编例题条件和问题,求解含参函数的极值】【2017山东理】已知函数()22cos f x x x=+,()()e cos sin 22x g x x x x =-+-,其中e 2.71828=是自然对数的底数.(1)求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程;(2)令()()()()h x g x af x a =-∈R ,讨论()h x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】(1)222y x =π-π-;(2)当0a 时,()h x 在(),0-∞上单调递减,在()0,+∞上单调递增, 函数()h x 有极小值,极小值是()021h a =--;当01a <<时,函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增,在()ln ,0a 上单调递减,函数()h x 有极大值,也有极小值,极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦,极小值是()021h a =--;当1a =时,函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增,无极值;当1a >时,函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增,在()0,ln a 上单调递减,函数()h x 有极大值,也有极小值, 极大值是()021h a =--;极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【解析】(1)由题意()22f π=π-,又()22sin f x x x'=-,所以()2f ππ'=,因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x -π-=π-π,即222y x =π-π-. (2)由题意得2()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+, 因为()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x x h x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin x x x a x x ---()()2e sin x a x x =--,令()sin m x x x=-,则()1cos 0m x x '=-,所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0m =,所以当0x >时,()0m x >,当0x <时,()0m x <.(i )当0a 时,e xa -0>当0x <时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当0x >时,()0h x '>,()h x 单调递增,所以 当0x =时()h x 取得极小值,极小值是()021h a =--;(ii )当0a >时,()()()ln 2e e sin x ah x x x '=--由()0h x '=得 1ln x a =,2=0x①当01a <<时,ln 0a <, 当(),ln x a ∈-∞时,ln e e 0x a -<,()0h x '>,()h x 单调递增;当()ln ,0x a ∈时,ln e e 0x a ->,()0h x '<,()h x 单调递减; 当()0,x ∈+∞时,ln e e 0x a ->,()0h x '>,()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦,当0x =时()h x 取到极小值,极小值是()021h a =--;②当1a =时,ln 0a =, 所以当(),x ∈-∞+∞时,()0h x ',函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增,无极值;③当1a >时,ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时,ln e e 0x a -<,()0h x '>,()h x 单调递增;当()0,ln x a ∈时,ln e e 0x a -<,()0h x '<,()h x 单调递减; 当()ln ,x a ∈+∞时,ln e e 0x a ->,()0h x '>,()h x 单调递增;所以 当0x =时()h x 取得极大值,极大值是()021h a =--;当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述:当0a 时,()h x 在(),0-∞上单调递减,在()0,+∞上单调递增,函数()h x 有极小值,极小值是()021h a =--;当01a <<时,函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增,在()ln ,0a 上单调递减,函数()h x 有极大值,也有极小值,极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦,极小值是()021h a =--;当1a =时,函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增,无极值;当1a >时,函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增,在()0,ln a 上单调递减,函数()h x 有极大值,也有极小值, 极大值是()021h a =--;极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【变式3】【根据函数在某处取得极值求参数范围】【2016山东文】设()()2ln 21f x x x ax a x =-+-,a ∈R.(1)令()()'g x f x =,求()g x 的单调区间;(2)已知()f x 在1x =处取得极大值,求实数a 的取值范围.【答案】(1)当0≤a 时,函数()g x 单调递增区间为()0,+∞;当0a >时,函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (2)12a >.(2)由(1)知,()'10f =.①当0≤a 时, ()'f x 单调递增所以当()0,1x ∈时,()'0f x <,()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时,()'0f x >,()f x 单调递增.所以()f x 在1x =处取得极小值,不合题意.②当102a <<时,112a >,由(1)知()'f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增,可得当()0,1x ∈时,()'0f x <,11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f x >, 所以()f x 在()0,1内单调递减,在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增,所以()f x 在1x =处取得极小值,不合题意.③当12a =时,即112a =时,()'f x 在()0,1内单调递增,在()1,+∞内单调递减, 所以当()0,x ∈+∞时,()'0f x ,()f x 单调递减,不合题意.④当12a >时,即1012a << ,当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f x >,()f x 单调递增,当()1,x ∈+∞时,()'0f x <,()f x 单调递减,所以()f x 在1x =处取得极大值,合题意.综上可知,实数a 的取值范围为12a >.【变式4】【根据极值点的关系证明等式】【2016天津文】设函数b ax x x f --=3)(,x ∈R ,其中,a b ∈R . (1)求)(x f 的单调区间;(2)若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:0201=+x x ;(3)设0>a ,函数|)(|)(x f x g =,求证:)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于41.【答案】答案见解析【解析】(1)由3()f x x ax b =--,可得2()3f x x a '=-,下面分两种情况讨论: ①当0a时,有2()30f x x a'=-恒成立,所以()f x 在R 上单调递增.②当0a >时,令()0f x '=,解得3x =或3x =-.当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如表所示.所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝⎭,单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎭,⎫+∞⎪⎪⎝⎭.(3)证明:设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ,max{,}x y 表示x ,y 两数的最大值,下面分三种情况讨论:①当3a 时,3311,33a a --<由()1知()f x 在区间[]1,1-上单调递减,所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为[](1),(1)f f -,因此()(){}{}max 1,1max 1,1M f f a b a b =-=---+-={}max 1,1a b a b -+--1,01,0a b b a b b -+⎧=⎨--<⎩,所以1 2.M a b=-+②当334a <时,23332311a a aa-<-<<,由(1)和(2) 知233(1)a a f f f ⎛--= ⎝⎭⎝⎭,233(1)a a f f f ⎛⎛= ⎝⎭⎝⎭,所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为33,33a a f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以33max ,33a a M f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-= ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭22max 3399a a a b a b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭2222331max 333||39999444a a a a b a b a b ⎧⎫=⨯⨯⨯=⎨⎬⎩⎭. ③当304a <<时,23332311a a a a -<<<<<,由(1)和(2)知,(1),f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝⎭(1)f f f ⎛>= ⎝⎭⎝⎭, 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f -⎡⎤⎣⎦, 因此()(){}=max 1,1M f f -={}max 1,1a b a b ---+-={}1max 1,114a b a b a b ---+=-+>.综上所述,当0a >时,()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14.(三)求不含参函数的最值 例3.【2017北京卷理】已知函数()e cos x f x x x=-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)1y =;(2)()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =,最小值为ππ22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 【解析】(1)因为()e cos x f x x x =-,所以()e (cos sin )1xf x x x '=--,(0)0f '=. 又因为(0)1f =,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.(2)设()e (cos sin )1x h x x x =--,则()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x '<,所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()(0)0h x h <=,即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =,最小值为ππ22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 【方法技巧归纳】在],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值的步骤:①讨论单调区间;②判断极值;③极值与闭区间端点的函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.【变式1】【在给定区间上求函数的最值】【2018河北石家庄二中八月模考】已知函数()()21xf x xe x=-+.(Ⅰ)当[]1,2x∈-时,求()f x的最大值与最小值;(Ⅱ)讨论方程()1f x ax=-的实根的个数.【答案】(1)最小值是()2ln21--,最大值是229e-;(2) 1a<-时,方程()1f x ax=-有1个实根;1a>-时,方程()1f x ax=-有3个实根.【解析】试题分析:(1)()()()12xf x x e=+-',明确函数的单调性,求出极值与端点值,比较后得最值;(2)方程()1f x ax=-的实根的个数即()2xg x e x a=---的图象与x轴的交点个数,分类讨论函数()g x的单调性,借助极值与0的关系确定交点个数. 试题解析:(Ⅰ)因为()()21xf x xe x=-+,所以()()()()()12112x xf x x e x x e=+-+=+-',令()0f x'=得121,ln2x x=-=,()(),f x f x'的变化如下表:() f x在[]1,2-上的最小值是()2ln21--,因为2211 290,0,29e ee e->---,所以()f x在[]1,2-上的最大值是229e-.(ⅰ)当10a -->时,即1a <-时, ()0g x =没有实根,方程()1f x ax =-有1个实根;(ⅱ)当10a --=时,即1a =-时, ()0g x =有1个实根为零,方程()1f x ax =-有1个实根;(ⅲ)当10a --<时,即1a >-时,()0g x =有2不等于零的实根,方程()1f x ax =-有3个实根.综上可得, 1a <-时,方程()1f x ax =-有1个实根; 1a >-时,方程()1f x ax =-有3个实根.求含参函数的最值例4.【2016全国2卷理】(1)讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性,并证明当0x >时,(2)e 20;xx x -++>(2) 证明:当[0,1)a ∈ 时,函数()2e =(0)x ax a g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域.【答案】答案见解析【解析】(1)证明:由已知得,函数的定义域为由已知得, 2x ≠-.因为()2e 2xx f x x -=+,所以()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭.因为当x ∈()()22-∞--+∞,,时,()0f x '>,所以()f x 在()()22,-∞--+∞,和上单调递增, 所以当0x >时,()2e 0=12xx f x ->-+,所以()2e 20x x x -++>.(2)由已知得,()()()24e2e xxa x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2=xxx x ax a x -++=()322e 2x x x a x x -⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭,[)01a ∈,.解法一:记()2e 2xx h x a x -=++,因为()()01020h a h a =-<=,,所以由(1)知()h x 在[)02,上存在唯一零点.记零点为0x ,即()00h x =,则()g x 在()00x ,上单调递减,在()02x ,上单调递增. 故0x 为()g x 的极小值,此时极小值为()0g x .因为0002e 02x x a x -+=+,所以[)(]00002e 0022x x a x x -=-∈⇒∈+,1,. 所以()()()000000000220002e e 1e 12e =2x x x x x x a x x x x x x ⎛⎫---+ ⎪-++⎝⎭==+g. 记()000e 2x P x x =+,,则()()()()00002200e +2e 1=e 0+2+2x xx x x P x x x -+'=>,所以()0P x 在(]002x ∈,上单调递增,所以()201e 24P x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,.解法二:由(1)知,当0x >时,()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞,,只有一解,使得2e 2tt a t -⋅=-+,(]02t ∈,. 当(0,)x t ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减;当(,)x t ∈+∞时,()0g x '>,()g x 单调递增..()()()222e 1ee 1e 22t ttt t t a t t h a t t t -++⋅-++===+.记()e 2tk t t =+,在(]0,2t ∈时,()()()2e 102t t k t t +'=>+,所以()k t 单调递增,所以()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦,. 【方法技巧归纳】超越函数(指数函数、对数函数、三角函数)的最值一般都是利用导函数求单调性或极值得到的.函数在区间上的最大(小)值,若不是区间端点值就是极大(小)值. 【变式1】【由最大值存在的不等关系求参数的取值范围】【2015全国2卷文】已知函数()()ln 1f x x a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性;(2)当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)0a ≤, ()f x 在()0,+∞是单调递增; 0a >, ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减;(Ⅱ)()0,1.【解析】试题分析:(Ⅰ)由()1f x ax'=-,可分0a≤, 0a>两种情况来讨论;(II)由(I)知当0a≤时()f x在()0,+∞无最大值,当0a>时()f x最大值为1ln 1.f a aa⎛⎫=-+-⎪⎝⎭因此122ln10f a a aa⎛⎫>-⇔+-<⎪⎝⎭.令()ln1g a a a=+-,则()g a在()0,+∞是增函数,当01a<<时, ()0g a<,当1a>时()0g a>,因此a的取值范围是()0,1.试题解析:(Ⅰ)()f x的定义域为()0,+∞,()1f x ax'=-,若0a≤,则()0f x'>,()f x在()0,+∞是单调递增;若0a>,则当10,xa⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x'>,当1,xa⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时()0f x'<,所以()f x在10,a⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减.【变式2】【求函数取得最值时自变量的取值】【2014安徽卷理】设函数23()1(1)f x a x x x=++--,其中0a>.(1)讨论()f x在其定义域上的单调性;(2)当[0,1]x∈时,求()f x取得最大值和最小值时的x的值.【答案】(1)()f x在1(,)x-∞和2(,)x+∞内单调递减,在12(,)x x内单调递增;(2)所以当01a<<时,()f x在1x=处取得最小值;当1a=时,()f x在x=和1x=处同时取得最小只;当14a<<时,()f x在x=处取得最小值.【解析】试题分析:(1)对原函数进行求导,2'()123f x a x x =+--,令'()0f x =,解得1212143143,,33a ax x x x --+-++==<,当1x x <或2x x >时'()0f x <;从而得出,当12x x x <<时,'()0f x >.故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减,在12(,)x x 内单调递增.(2)依据第(1)题,对a 进行讨论,①当4a ≥时,21x ≥,由(1)知,()f x 在[0,1]上单调递增,所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时,21x <.由(1)知,()f x 在2[0,]x 上单调递增,在2[,1]x 上单调递减,因此()f x 在21433ax x -++==处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==,所以当01a <<时,()f x 在1x =处取得最小值;当1a =时,()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只;当14a <<时,()f x 在0x =处取得最小值.(1)()f x 的定义域为R ,2'()123f x a x x =+--.令'()0f x =,得1212143143,,33a ax x x x --+-++==<,所以12'()3()()f x x x x x =---.当1x x <或2x x >时'()0f x <;当12x x x <<时,'()0f x >.故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减,在12(,)x x 内单调递增. 因为0a >,所以120,0x x <>.①当4a ≥时,21x ≥,由(1)知,()f x 在[0,1]上单调递增,所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时,21x <.由(1)知,()f x 在2[0,]x 上单调递增,在2[,1]x 上单调递减,因此()f x 在21433ax x -++==处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==,所以当01a <<时,()f x 在1x =处取得最小值;当1a =时,()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只;当14a <<时,()f x 在0x =处取得最小值.【数学思想】 分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法,这种思想在简化研究对象,发展思维方面起着重要作用,因此,有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论,就是在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决,这一思想方法,我们称之为“分类讨论的思想”.2.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的; ⑵问题中的条件是分类给出的;⑶解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的;⑷涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理导数的极值与最值问题注意点】对参数的讨论要做到不重不漏.至于如何分类的思想是将导函数零点之间的大小以及区间端点值的大小进行比较,将区间端区限定不动,变动零点位置. 【典例试题演练】1.【2018广东广州珠海区高三检测(一)理】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.()0,1 C. (),0-∞ D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【答案】A2.【2018海南八校联盟开学考试理】已知函数()213ln 2f x x x a x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间()1,3上有最大值,则实数a 的取值范围是( )A.1,52⎛⎫-⎪⎝⎭B.111,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C.111,22⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,52⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()3122f x x ax'=-+-,所以由题设()3122f x x ax'=-+-在()1,3只有一个零点且单调递减,则问题转化为()()10{30ff><,即11112{11222aaa+>⇒-<<-<,应选答案B。