勾股定理知识点总结

合集下载

勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结

第18章 勾股定理复习一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.cbaHG F EDCB A方法二:bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =- ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。

勾股定理知识点总结大全

勾股定理知识点总结大全

勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理,它是指:在直角三角形中,直角边的平方等于其他两条边的平方和。

具体表达方式是:设直角三角形的两个直角边分别为a、b,斜边为c,则有a²+b²=c²。

这就是著名的毕达哥拉斯定理,也是勾股定理的核心概念。

二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法,其中有几何证明是最常见的。

几何证明主要通过图形的构造和变换,利用几何形状的属性,从而证明勾股定理。

常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等,通过构造等辅助图形,最终得到a²+b²=c²的结论。

2. 代数证明另外,勾股定理也可以通过代数方法进行证明。

代数证明主要通过变换方程、化简运算,利用数学公式和规律,从而得到a²+b²=c²的结论。

通过几何和代数两种证明方法,可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延,为后续的学习和应用打下坚实的基础。

三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理,我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组,这样的整数解组叫做勾股三元数。

例如:3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。

勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面,它们具有很多有趣的特性和规律,对于数论的研究有着重要的意义。

2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c),如果它满足a²+b²=c²,则称它是勾股三元数。

而勾股定理的逆定理表明,每个整数对(a, b),都可以构成一个勾股三元数。

这个逆定理的证明非常复杂,它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识,是数论和代数学研究的重要课题之一。

3. 勾股定理的推广在直角三角形外,勾股定理也有很多推广成立的情况。

物理勾股定理知识点总结

物理勾股定理知识点总结

物理勾股定理知识点总结一、勾股定理的概念勾股定理是指直角三角形中,直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理广泛应用于物理学中的各个领域,如力学、光学、电磁学等。

它不仅是物理学的基础知识,也是解决实际问题的重要工具。

在直角三角形ABC中,若角C为90度,则有a²+b²=c²,其中a、b分别为直角边,c为斜边。

这是勾股定理的基本表达形式。

二、勾股定理的证明1. 几何证明:勾股定理最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出,并给出了一种几何证明。

这种证明方法是通过构造一个正方形,利用三角形的相似性和面积相等来证明。

在直角三角形ABC中,作a和b为直角边的正方形,其边长分别为a和b。

然后再构造一个以c为边长的正方形。

根据相似三角形的性质和面积相等,可以得出a²+b²=c²。

2. 代数证明:勾股定理也可以通过代数方法进行证明。

假设直角三角形的两直角边分别为a和b,斜边为c。

则可以利用勾股定理进行代数运算。

首先,将直角三角形的两直角边分别表示为a 和b,根据毕达哥拉斯定理,得:a²+b²=c²然后,对两边取平方根,得:c=√(a²+b²)因此,可以通过代数方法证明勾股定理的成立。

三、物理学中勾股定理的应用1. 力学:在力学中,勾股定理常常用于解决叠加物体受力的问题。

例如,一个物体受到两个力的作用,可以利用勾股定理计算合成力的大小和方向。

另外,勾股定理也可用于解决斜面上物体滑动的问题。

2. 光学:在光学中,勾股定理常常用于计算光的反射和折射。

例如,当光线入射到一个介质边界上时,可以通过勾股定理计算入射角和折射角之间的关系。

另外,勾股定理也可以用于计算物体在镜子中的像的位置和大小。

3. 电磁学:在电磁学中,勾股定理常常用于计算电场和磁场的合成和分解。

例如,两个电荷之间的相互作用力可以通过勾股定理计算合成力的大小和方向。

勾股定理公式知识点总结

勾股定理公式知识点总结

勾股定理公式知识点总结一、勾股定理的证明方法勾股定理的证明有许多种方法,下面介绍其中比较常见的几种证明方法:1. 几何法证明几何法证明是最直观的证明方法之一,它利用几何图形和性质进行推理。

一种常见的几何法证明是利用平行四边形的性质,将直角三角形的两个直角边分别构造成平行四边形的边,利用平行四边形的对角线相等性质即可证明勾股定理。

2. 代数法证明代数法证明是利用代数运算推导出勾股定理成立的证明方法。

一种常见的代数法证明是利用两个直角三角形组成一个正方形,通过展开式的数字运算推导出勾股定理成立。

3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种数学论证方法,通过证明当n=k时定理成立,再证明当n=k+1时定理也成立,从而得出在一切正整数n上定理成立的论证方法。

勾股定理的证明中也可以使用数学归纳法证明。

4. 数学分析法证明数学分析法是通过数学函数的图像分析证明定理的方法。

通过分析直角三角形和斜边的关系,利用函数的性质进行推导,可以证明勾股定理成立。

以上是勾股定理的几种常见的证明方法,它们都是通过不同的数学思维和方法来证明同一个定理的正确性。

在学习和掌握勾股定理时,可以通过比较不同的证明方法,增加对定理的理解和掌握。

二、勾股定理的应用场景勾股定理是数学中的基础定理,它被广泛地应用于各种实际问题中。

下面将介绍一些勾股定理在实际应用中的具体场景:1. 地理测量在地理测量中,经常需要利用勾股定理来计算直角三角形的边长。

例如,利用直角三角形的边长和角度来计算地球上两点的距离,或者计算某一点的具体位置等。

2. 建筑设计在建筑设计中,经常需要利用勾股定理来设计直角三角形结构的建筑物。

例如,在设计楼梯的高度和跨度,或者在设计房屋的墙角和斜面等方面,都需要用到勾股定理。

3. 机械制造在机械制造中,勾股定理也有广泛的应用。

例如,在设计机械零件的装配结构、角度、长度等方面,都需要用到勾股定理来进行计算和设计。

4. 航空航天在航空航天领域,勾股定理也有重要的应用。

勾股定理知识点精典总结

勾股定理知识点精典总结

勾股定理知识点一:勾股定理及其证明一.勾股定理:在ABC Rt ∆中,︒=∠90C1.角与角之间有怎样的关系?︒=∠+∠90B A 直角三角形两锐角互余2.边与边之间有怎样的关系?(1)斜边最长; (2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边(3)勾股定理: a 2+b 2=c 2对这个等式可以变形为:22b a c += 22a c b -= 22b c a -=1、填空题⑴在Rt △ABC ,∠C=90°,a=8,b=15,则c= 。

⑵在Rt △ABC ,∠B=90°,a=3,b=4,则c= 。

⑶在Rt △ABC ,∠C=90°,c=10,a :b=3:4,则a= ,b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为 。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ,,则第三边长为 。

⑹已知等边三角形的边长为2cm ,则它的高为 ,面积为 。

⑺在Rt △ABC ,∠C=90°,如果a=7,c=25,则b= 。

⑻在Rt △ABC ,∠C=90°,如果∠A=30°,a=4,则b= 。

⑼在Rt △ABC ,∠C=90°,如果∠A=45°,a=3,则c= 。

⑽在Rt △ABC ,∠C=90°,如果c=10,a-b=2,则b= 。

⑾在Rt △ABC ,∠C=90°,如果a 、b 、c 是连续整数,则a+b+c= 。

⑿在Rt △ABC ,∠C=90°,如果b=8,a :c=3:5,则c= 。

二.选择题1.在△ABC 中,AB=15,AC=13,BC 上的高AD 长为12,则△ABC 的面积为 ( ).(A )84 (B )24 (C )24或84 (D )84或242.如下图,线段AB=√2、CD=√5,那么,线段EF 的长度为( )A 、√7B 、√11C 、√13D 、√153.如图,点1为单位正方形内一点,且AE=BE=AB ,延长AE 交CD 于F ,作FG ⊥AB 于点G ,则EG 的长度为( )A 、B 、C 、D 、4.如图,两个高度相等的圆柱形水杯,甲杯装满液体,乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯,则乙杯中的液面与图中点P 的距离是 ( )A .2cm B .4√3cm C .6cm D .8cm5.如图所示,有一个长、宽各2米,高为4米且封闭的长方体纸盒,一只昆虫从顶点要爬到顶点,那么这只昆虫爬行的最短路程为( )A 、3米 B 、 5米 C 、4√2米 D 、2√10米6.如图,在△ABC 中,∠ACB =90º,AC >BC ,分别以AB 、BC 、CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE 、BCMN 、CAFG ,连接EF 、GM 、ND ,设△AEF 、△BND 、△CGM 的面积分别为S 1、S 2、S 3,则下列结论正确的是 A .S 1=S 2=S 3 B .S 1=S 2<S 3 C .S 1=S 3<S 2 D .S 2=S 3<S 1二.填空题1. 如下图,数轴上点A 表示的数为________;2.已知:在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB 于D ,∠A=60°,CD=√3,求线段AB 长。

勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结

17.1勾股定理考点一:勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

(即:a 2+b 2=c 2) 技巧归纳:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二:勾股定理的证明一般是通过剪拼,借助面积进行证明。

其中的依据是图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不变。

图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。

则大正方形的面积可表示为(a+b)2,又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2,整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中,以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2,整理得a 2+b 2=c 2.考点三:勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形,所以常作辅助线——高,构造直角三角形。

(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边,可求另一条直角边。

勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。

在解决问题的过程中,往往利用勾股定理列方程(组),将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。

(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的,有理数在数轴上较易找到与它对应的点,而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。

勾股定理(知识点)

勾股定理(知识点)

A B C ac 弦勾勾股定理(知识点)【知识要点】1.勾股定理的概念:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.即直角三角8,15,17等③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)4.判断直角三角形:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。

(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。

(3)如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

(4;(1⇒∠A+(2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°1AB可表示如下:⇒BC=2∠C=90°(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

∠ACB=90°1AB=BD=AD可表示如下: CD=2D为AB的中点6.数轴上表示无理数1.2.、∠B、A.a2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则这个矩形的面积为60cm2.4.如图,在△ABC中,∠BAC=90o,AB=15,AC=20,AD⊥BC,垂足为D,则△ABC斜边上的高AD=12.5.已知等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cm,则腰上的高....为(C)A.12cmB.60cm C.12013cm D.1013cm136.一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为6,8,10.7.(易错题)已知直角三角形的两边x,y的长满足│x-4│+3 y=0,则第三边的长为5或.8.10.11.别用.12.,分别以13.形A,49cm第4题第11题第12题第13题14.在Rt△ABC,∠C=90°(1)已知c=17,b=8,求a。

(完整版)勾股定理知识点+对应类型

(完整版)勾股定理知识点+对应类型

第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理:1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾:直角三角形较短的直角边股:直角三角形较长的直角边弦:斜边勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a,b,c、为勾股数,那么ka,kb,kc同样也是勾股数组。

)*附:常见勾股数:3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,133. 判断直角三角形:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形。

(经典直角三角形:勾三、股四、弦五)其他方法:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。

(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:(1)确定最大边(不妨设为c);(2)若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形; 若a 2+b 2<c 2,则此三角形为钝角三角形(其中c 为最大边); 若a 2+b 2>c 2,则此三角形为锐角三角形(其中c 为最大边)4.注意:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(3)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用:(1)已知直角三角形的两边求第三边。

(2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。

(3)用于证明线段平方关系的问题。

(4)利用勾股定理,作出长为n 的线段二、平方根:(11——19的平方)1、平方根定义:如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根。

勾股定理知识点整理

勾股定理知识点整理

勾股定理知识点整理1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

即:a²+b²=c²要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一。

其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边;(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边;(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。

2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。

运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c²=a²+b²,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c²>a²+b²,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c²<a²+b²,则△ABC为锐角三角形)。

3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。

4:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。

5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变;②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。

高中勾股定理知识点总结

高中勾股定理知识点总结

高中勾股定理知识点总结一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理,是指在直角三角形中,直角边的平方之和等于斜边的平方。

具体表达为:设直角三角形的两条直角边分别为a和b,斜边为c,则有a^2 + b^2 = c^2。

其中,a、b、c分别代表直角三角形的三条边的长度。

二、勾股定理的应用1. 检验直角三角形:当我们已知一个三角形的三条边的长度时,可以通过勾股定理来判断这个三角形是否为直角三角形。

如果已知a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形一定是直角三角形。

2. 求直角三角形的未知边长:当我们已知一个直角三角形的其中两条边的长度时,可以通过勾股定理来求解第三条边的长度。

根据a^2 + b^2 = c^2,可以利用这个公式求解出c的值。

3. 解决几何问题:在一些几何问题中,勾股定理也经常发挥重要作用。

例如,在求解直角三角形的面积、周长等问题时,可以先利用勾股定理求解出各边的长度,然后再进行进一步的计算。

三、勾股定理的证明勾股定理最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的,所以也被称为毕达哥拉斯定理。

在数学中,勾股定理的证明有多种方法,其中最著名的就是几何证明和代数证明。

1. 几何证明:几何证明是利用几何图形和性质来证明勾股定理。

一种常见的几何证明方法是构造一个正方形,然后证明正方形的对角线长度分别为a+b和c,从而得到a^2 + b^2 = c^2。

2. 代数证明:代数证明是利用代数运算和方程推导来证明勾股定理。

代数证明的思路更加抽象和数学化,需要运用代数知识进行推理和计算。

四、勾股定理的推广除了直角三角形外,勾股定理还可以推广到其他类型的三角形中。

其中最重要的就是斜三角形的勾股定理。

斜三角形的勾股定理表达为:a^2 + b^2 = c^2 - 2ab*cosC。

其中,a、b、c分别代表三角形的三条边的长度,C代表三角形的斜边对应的角的余弦值。

这个定理在解决一些非直角三角形的问题时也具有重要的作用。

第一章 勾股定理知识点归纳

第一章 勾股定理知识点归纳

第一章 勾股定理1、勾股定理(1)直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+(2)勾股定理的验证:测量、数格子、拼图法、面积法,如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……(通过面积的不同表示方法得到验证,也叫等面积法或等积法)(3)勾股定理的适用范围:仅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数:满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数。

常用勾股数:(3、4、5) (6、8、10) (5、12、13) (9、12、15) (15、20、25)(7、24、25) (8、15、17) (9、40、41)规律:(1)短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直角边的平方。

即当a 为奇数且a <b 时,如果b+c=a 2那么a,b,c 就是一组勾股数.如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)……(2)大于2的任意偶数,2n(n >1)都可构成一组勾股数分别是:2n ,n 2-1,n 2+1 如:(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)……4、常见题型应用:(1)已知任意两条边的长度,求第三边/斜边上的高线/周长/面积……(2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系,求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……(3)判定三角形形状: a 2 +b 2>c 2锐角~,a 2 +b 2=c 2直角~,a 2 +b 2<c 2钝角~判定直角三角形a..找最长边;b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系;c.确定形状(4)构建直角三角形解题5、解立体图形上两点之间的最短距离问题(1)将立体图形展成平面图形(2)根据“两点之间线段最短”确定最短路线(3)最后以上面的最短路线为边构造直角三角形,利用勾股定理解决圆柱表面蚂蚁吃面包:勾股定理:圆柱高的平方+地面周长一半的平方=最短距离的平方6、直角三角形斜边上的高=两直角边乘积/斜边7、折叠问题的常用方法:折叠前后的图形全等。

勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结第18章 勾股定理复习一.知识归纳 1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c,那么222ab c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGHS SS ∆+=正方形正方形ABCD,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和cbaHG F EDCBAbcbac cacab等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab cab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=化简方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE SS ab c ∆∆=+=⋅+梯形,得证3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a cb =-②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。

勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结一、勾股定理的定义在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b,斜边长为 c,那么 a²+ b²= c²。

这一定理是数学中非常重要的一个定理,它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系。

二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种,以下为大家介绍几种常见的证明方法。

1、赵爽弦图法赵爽弦图是由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形,中间是一个小正方形。

大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上小正方形的面积。

设直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b,斜边为 c。

大正方形的边长为 c,面积为 c²。

四个直角三角形的面积为 4×(1/2)ab = 2ab,小正方形的边长为(b a),面积为(b a)²= a² 2ab + b²。

所以 c²= 2ab + a² 2ab + b²,即 c²= a²+ b²,证明完毕。

2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作一个正方形,再以两条直角边为边长分别作两个正方形。

通过计算三个正方形的面积,可以证明勾股定理。

设直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b,斜边为 c。

斜边为边长的正方形面积为 c²,两条直角边为边长的正方形面积分别为 a²和 b²。

通过将直角边为边长的两个正方形进行分割和拼接,可以发现它们能够恰好填满斜边为边长的正方形,从而证明 a²+ b²= c²。

三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条边,求第三条边例如,已知一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4,求斜边的长度。

根据勾股定理,斜边的长度 c =√(3²+ 4²) = 5 。

2、实际生活中的应用(1)建筑工程中,计算建筑物的高度、跨度等。

勾股定理知识点总结归纳

勾股定理知识点总结归纳

精心整理第18章勾股定理复习一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么222a b c+=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①②定理常见方法如下:方法一:4EFGHS S S∆+=正方形正方形ABCD,14(2ab b⨯+-方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=大正方形面积为22()S a b a=+=+所以222a b c+=方法三:1()()2S a b a b=+⋅+梯形,2222ab c⋅+,化简得证3.它只适用于直角三角形,对于锐角三角因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.①在ABC∆中,90C∠=︒,则c,b=,a=②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。

思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。

ba作法:如图所示(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB ,使AB 为斜边; (2)以AB 为一条直角边,作另一直角边为1的直角。

斜边为;(3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是 、、、。

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

解析:可以把看作是直角三角形的斜边,, 为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第十七章勾股定理知识点总结一.基础知识点:1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

(即:a2+b2=c2)要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC∆中,90∠=︒,则c,Cb,a=)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则△ABC为锐角三角形)。

(定理中a,b,c及222+=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形a b c三边长a,b,c满足222a c b+=,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边)3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。

4:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,•那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。

(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.cba HG FEDCBA方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证6:勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)二、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c +=解:⑴10AB =cbaHG F EDCBAa bc cbaED CBA bacbac cabcab CB DA⑵228=-=BC AB AC题型二:利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。

把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!根据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.例题2如图(8),水池中离岸边D点米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分B C的长是米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中,只知道CD=,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

标准解题步骤如下(仅供参考):解:如图2,根据勾股定理,AC2+CD2=AD2设水深AC= x米,那么AD=AB=AC+CB=x+x2+=( x+)2解之得x=2. 故水深为2米.题型三:勾股定理和逆定理并用——例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 41=那么△DEF 是直角三角形吗为什么解析:这道题把很多条件都隐藏了,乍一看有点摸不着头脑。

仔细读题会意可以发现规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由AB FB 41=可以设AB=4a ,那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在Rt △AFD 、Rt △BEF 和 Rt △CDE 中,分别利用勾股定理求出DF,EF 和DE 的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF 是否是直角三角形。

详细解题步骤如下:解:设正方形ABCD 的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在Rt △CDE 中,DE 2=CD 2+CE 2=(4a)2+(2 a)2=20 a 2同理EF 2=5a 2, DF 2=25a 2在△DEF 中,EF 2+ DE 2=5a 2+ 20a 2=25a 2=DF 2 ∴△DEF 是直角三角形,且∠DEF=90°.注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。

题型四:利用勾股定理求线段长度——例题4 如图4,已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ,将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ,求CE 的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

合理设元是关键。

详细解题过程如下:解:根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE设CE=xcm,则DE=EF=CD-CE=8-x在Rt△ABF中由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102,∴BF=6cm∴CF=BC-BF=10-6=4(cm)在Rt△ECF中由勾股定理可得:EF2=CE2+CF2,即(8-x) 2=x2+42∴64-16x+x2=2+16∴x=3(cm),即CE=3 cm注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。

题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直——例题5 如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边,他测得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与AB边垂直吗怎样去验证AD边与CD边是否垂直解析:由于实物一般比较大,长度不容易用直尺来方便测量。

我们通常截取部分长度来验证。

如图4,矩形ABCD 表示桌面形状,在AB 上截取AM=12cm,在AD 上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度),连结MN ,测量MN 的长度。

①如果MN=15,则AM 2+AN 2=MN 2,所以AD 边与AB 边垂直;②如果MN=a ≠15,则92+122=81+144=225, a 2≠225,即92+122≠ a 2,所以∠A 不是直角。

利用勾股定理解决实际问题——例题6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米,可想而知应该是头先距离灯5米。

转化为数学模型,如图6 所示,A 点表示控制灯,BM 表示人的高度,BC ∥MN,BC ⊥AN 当头(B 点)距离A 有5米时,求BC 的长度。

已知AN=米,所以AC=3米,由勾股定理,可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。

题型六:旋转问题:例1、如图,△ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与△ACP ′重合,若AP=3,求PP ′的长。

变式1:如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 分析:利用旋转变换,将△BPA 绕点B 逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中, 根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E 、F 是BC 上的点,且∠EAF=45°, 试探究222BE CF EF 、、间的关系,并说明理由.题型七:关于翻折问题例1、如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.变式:如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿直线AD翻折,点C落在点C’的位置,BC=4,求BC’的长.题型八:关于勾股定理在实际中的应用:例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少题型九:关于最短性问题例5、如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫(π取,结果保留1位小数,可以用计算器计算)变式:如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟。

相关文档
最新文档