《微积分初步》形成性考核作业答案

《微积分初步》形成性考核作业（一）参考答案
——函数，极限和连续
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．()
()
3,+∞2，3 或填{}23x x x >≠且； 2．(),5-∞或填{}5x x <；
3．()(]2,11,2--⋃-或填{}121x x x -<≤≠-且； 4．26x +； 5．2； 6．21x -；
7.1x =-； 8.1； 9.2； 10.
32
二、单项选择题（每小题2分，共24分）
1.B
2.A
3.D
4.C
5.D
6.D
7.C
8.D
9.C 10.B 11.D 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分）
1、1/4;
2、7/2;
3、3/2;
4、2/3;
5、2；
6、-1/2;
7、-1/8; 8/16 《微积分初步》形成性考核作业（二）参考答案
——导数、微分及应用
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．12
； 2．10x y -+=； 3．230x y +-=； 4
1
； 5．6-； 6．()271ln3+；7.21x -；
8.2-； 9.()1,+∞； 10. 0a >.
二、单项选择题（每小题2分，共24分）
1.D
2.C
3.C
4.B
5.D
6.C
7.C
8.C
9.A 10.B 11.B 12.A
三、解答题（每小题7分，共56分）
1．解：()111
22
1
221x
x
x
y xe x e x e x
⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭
. 2．解：24cos 43sin cos y x x x '=-. 3．
解：21y x
'=-
. 4．
解：sin tan cos x y x x '=
=. 5．解：方程两边同时对x 求微分，得
()()220
2222xdx ydy xdy ydx x y dx x y dy
x y
dy dx
x y
+--=-=--∴=
-
6. 解： 原方程可化为()2
1x y +=
1,1
x y y x ∴+=±=-±
1,y dy dx '∴=-=- 7. 解：方程两边同时对x 求微分，得
20x y y e dx e dy xe dx xdx +++=
()2y x y xe dy e e x dx =-++
2x y y
e e x
dy dx xe ++∴=-
. 8. 解：方程两边同时对x 求微分，得
()()sin 0y x y dx dy e dy -+++=
()
()
sin sin y
x y dy dx e x y +∴=
-+ 微积分初步》形成性考核作业（三）参考答案
——不定积分、极值应用问题
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．2ln 2x x x c -+； 2．24x e --； 3．()1x x e +； 4．2cos2x ； 5．1x
； 6．4cos2x -；7.2
x e dx -； 8.sin x c +； 9.()1232F x c -+； 10. ()2112
F x c --+.
二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1.A 3.A 4.A 5.A 6.A 7.C 8.B 三、解答题（每小题7分，共35分）
1．解：原式＝3
2sin 3ln cos 3
x dx x x c x
⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
⎰.
2．解：原式＝
()()()()101111
111121212121221122
x d x x c x c --=⨯-+=-+⎰. 3．解：原式＝111
sin cos d c x x x
⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭⎰. 4．解：原式＝11111
cos 2cos 2cos 2cos 2sin 222224
xd x x x xdx x x x c -
=-+=-++⎰⎰.
5．解：原式＝()1x x x x x x xde xe e dx xe e c x e c -------=-+=--+=-++⎰⎰. 四、极值应用题（每小题12分，共24分）
1．解： 设矩形ABCD 的一边AB x =厘米，则60BC x =-厘米， 当它沿直线AB 旋转一周后，得到圆柱的体积
()()2
60,060V x x x π=-<<
令()()2
602600V x x x π⎡⎤'=---=⎣⎦
得20x = 当()0,20x ∈时，0V '>；当()20,60x ∈时，0V '<.
20x ∴=是函数V 的极大值点，也是最大值点.
此时6040x -=
答：当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大. 2. 解：设成矩形有土地的宽为x 米，则长为216
x
米， 于是围墙的长度为()432
3,0L x x x
=+> 令2
432
30L x '=-=得()12x =取正
易知，当12x =时，L 取得唯一的极小值即最小值，此时
216
18x
= 答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省. 五、证明题（本题5分）
《微积分初步》形成性考核作业（四）参考答案
——定积分及应用、微分方程
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．23-； 2．2； 3．3221633y x =-； 4．4； 5．24
a π； 6．0；7.1
2； 8.x y e =；
9.3x y ce -=； 10. 4.
二、单项选择题（每小题2分，共20分）
1.A
2.A
3.A
4.D
5.D
6.B
7.B
8.D
9.C 10.B 三、计算题（每小题7分，共56分）
1．解：原式＝()()()2
ln 2
3ln 2
0011911133
x x
x e d e e ++=+=-⎰.
2．解：原式＝()()()21111715ln 15ln 15ln 5102
e e
x d x x ++=+=⎰.
3．解：原式＝()1
1
1
10
00
11x x x x
xde xe e dx e e e e =-=-=--=⎰⎰.
4．解：原式＝0
2cos 2cos 4sin 4222x x x xd x π
π
⎡⎤
-=-+=⎢⎥⎣⎦⎰.
5．解：原式＝22220000cos cos cos 0sin 1xd x x x xdx x ππ
π
π
-=-+=+=⎰⎰. 6. 解：()()21,1P x Q x x x
==+
()()()()()()11
2
ln 2ln 342 1 11
111 42P x dx P x dx dx dx x x x x y e Q x e dx c e x e dx c e x e dx c x x dx c x x x c x --
-⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎰⎰=++⎢⎥
⎣⎦⎡⎤=++⎣⎦
⎡⎤
=++⎣
⎦⎡⎤
=++⎢⎥
⎣⎦
⎰⎰⎰⎰通解 即通解31
142c y x x x
=++ 7. 解：()()1,2sin 2P x Q x x x x
=-=
()()()()
11
ln ln 2sin 2 2sin 21 2sin 2 cos 2P x dx P x dx dx dx x x
x x
y e Q x e dx c e x xe dx c e x xe dx c x x x dx c x x x c ---⎡⎤⎰⎰∴=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥
⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦
⎡⎤
=⋅+⎢⎥
⎣⎦
=-+⎰⎰⎰⎰通解
即通解为()cos2y x x c =-+.
四、证明题（本题4分）
()()()()()()()()()()()0
00
00
a
a
a
a
a
a
a
a a
f x dx f x dx
f x dx f x dx
f x d x f x dx f x dx f x dx
f x f x dx ----+=-+=---+=
-+=-+=⎡⎤⎣⎦⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
证：左边＝右边
()()()()1 0, 01 0, 0
,0.
x x x f x e x e x f x f x x e '=-<<<'∴<>=--∞证：当时当时从而函数在区间是单调增加的。