材料力学-压杆稳定

①
EI
2
l1 l2
2
（1） （2）

90
②
2E I
2
将式 (2) 除以式 (1), 便得
l1 tg ctg 2 l2
2
2
由此得
arc tg(ctg )

①

90
②
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉 BD杆的临界压力:
Pcr

EI
2
2a

2

EI
2
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
2
(2)
Pcr 正 Pcr 圆

( l)
2
2
E I圆
( l)
2

I正 I圆
d 4 a4 12 12 4 4 d d 64 64


3
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所
示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主
惯性轴转动。
正方形
等边角钢
槽钢
CL13TU12
sin kl 0 kl n
(n 0,1,2,)
n k l
P EI
P
n 2 EI P
2 2
k2
l
EI
Pcr
EI
2
l
2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
CL13TU6
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
EI Pcr 2 (l )
2
称为长度系数
第十三章
压杆稳定
§13-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定
一端自由
CL13TU2,3
Pcr 称为临界压力
CL13TU4
§13-2 细长压杆的临界压力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M ( x) P v
M ( x) P v
P E I v M ( x) P v 即 v v0 EI P 令k EI
2
图（b）中，AB杆受压
N AB P2
EI
2
a
2
P2
EI
2
a
2
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果
将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的
多少倍？
CL13TU11
4 解： E Ib h 2 3 Pcr b I ( l) h b 12 2 3 8 Ia Pcr a E I a b hb 2 12 ( l)
Pmax Pcr
EI
2
2a
2

Ed
3
4
128a
2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr
EI
2
a
2
故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax 2 Pcr
2 Ed
3
4
64a
2
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相
同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的
2
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端
约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则
其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的
横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
解：(1)
EI Pcr 2 ( l)
2
E
2
d
4
64 ( l) 2
1 16
2 2
E I正
θ角（设0<θ<π /Βιβλιοθήκη Baidu）。

①

90
②
CL13TU16
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为： N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
Pcr 1
2E I
l1
2
，
Pcr 2
2E I
l2 2
要使P最大，只有N1、N 2 都达 到临界压力，即
P cos P sin
2
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相 同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载 荷，则 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
CL13TU10
解：图(a) 中，AD杆受压 2 EI N AD 2 P 1 2 2a


1 EI P1 2 2 2 a
Pc r
EI
2
l
2
1
Pc r
EI
2
(2 l )
2
2
Pc r
EI
2
( 0.7 l )
2
0.7
Pc r
EI
2
( 0.5 l )
2
0.5
Pc r
EI
2
l
2
EI 2 (2l )
2
EI
2
EI
2
( 0.7l )
2
(0.5l )
通解
r1 x
y （C1 C2 x）e
x
③一对共轭复根 r1,2 i 通解
ye
(C1 cos x C2 sin x)
通解： v A sin kx B cos kx 边界条件：x 0时：v 0 B 0 x l 时：v 0 A sin kl 0
2
，则 v k v 0
2 2
2
特征方程为 r k 0
有两个共轭复根 ki
附：求二阶常系数齐次微分方程y p y q 0 的通解
特征方程为 r 2 pr q 0
①两个不相等的实根 r1、r2 通解
r2 x
y C1e
r1 x
C2 e
②两个相等的实根 r1 r2