高中数学知识点专题复习-极限的概念
数学极限知识点总结
数学极限知识点总结一、极限的概念极限是一个重要的数学概念，它描述了一个函数在自变量趋近某个特定值时的行为。
具体地说，当自变量x在某一点a附近不断靠近，同时函数f(x)的取值也逐渐接近某个特定的数L时，我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以用符号表示为：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。
在这个定义中，ε和δ分别表示"误差"和"变化范围"，而当自变量x距离a足够近时，函数f(x)的取值与极限L的差异也会变得足够小。
换句话说，极限描述了函数在某点附近的稳定性和趋势。
在实际问题中，极限的概念常常用于描述随着自变量的变化，函数取值的趋势。
比如，在物理学中，我们可以用极限来描述速度、加速度、流体的流动等随着时间或空间的变化而变化的量。
而在工程中，极限也可以描述材料的强度、电路的稳定性等。
因此，极限是数学中一个十分重要、普遍且有广泛应用的概念。
二、极限的性质1.极限的唯一性如果一个函数在某点附近有极限，那么这个极限是唯一的。
换句话说，对于一个自变量x趋近于a的函数f(x)，其极限只能有一个确定的值。
这个性质使得我们可以不用担心在计算函数的极限时会出现多个可能的结果，从而保证了极限的一致性和确定性。
2.极限的局部保号性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则当L>0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都大于0；当L<0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都小于0。
这个性质表明了在极限存在的情况下，函数在足够靠近极限点的地方都具有一致的正负性。
3.极限的局部有界性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则存在一个正数M，使得a的某个邻域内函数的取值都在区间(-M,M)之间。
归纳极限知识点总结高中
归纳极限知识点总结高中一、极限的定义在介绍极限的相关知识之前，首先需要明确极限的定义。
在数学中，对于一个函数f(x)，当x的取值趋于某个数a时，如果函数f(x)的取值也趋于某个数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以通过数学公式来表示，即对于任意的正实数ε，存在对应的正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立。
二、极限存在与不存在的判定1. 无穷极限存在的条件当x的取值趋于正无穷或负无穷时，如果函数的取值有限且有确定的值L，那么函数在无穷处的极限存在，即lim(x→+∞)f(x)=L或lim(x→-∞)f(x)=L。
2. 极限不存在的情况当x趋于某个数a时，如果函数f(x)的极限不存在，可能有以下几种情况：a) 函数f(x)在a的邻域内没有定义；b) 函数f(x)在a的邻域内存在无穷大的值；c) 函数f(x)在a的邻域内振荡或者是分段函数的情况。
三、极限的性质1. 唯一性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在，并且是唯一的，那么就可以说函数f(x)在x趋于a时的极限存在。
如果函数在x趋于a时的极限不存在或者不唯一，那么就可以说函数在x趋于a时的极限不存在。
2. 夹逼定理对于一个函数f(x)和g(x)，如果它们在x趋于a时的极限存在且等于相同的值L，并且在x趋于a时，有h(x)≤f(x)≤g(x)，那么函数h(x)在x趋于a时的极限也存在且等于L。
3. 有界性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在且为L，那么对于任意的小于L的正数ε，存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)|<ε成立。
四、无穷小量与无穷大量1. 无穷小量在微积分中，对于一个函数f(x)，如果在x趋于某个数a时，极限为零，那么我们就说函数f(x)是x趋于a时的无穷小量。
通常情况下，我们记作lim(x→a)f(x)=0。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
极限基础知识点总结
极限基础知识点总结一、极限的概念1.1 极限的概念极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在数学中，极限通常表示某一数列或函数在自变量取某一值时，与另一给定值（通常是无穷大或无穷小）的距离在很小的范围内。
1.2 极限的符号表示当趋近的过程是无穷远时，称为无穷极限。
常用符号表示：1.3 极限的定义数列极限的定义：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时， a_n与特定数a的距离小于ε，即 |a_n - a|<ε。
函数在x=a处的极限定义：若对于任意ε>0，存在δ>0，当0< |x-a|<δ时， |f(x)-L|<ε。
1.4 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：若函数在某点处有极限，则函数在该点的去心邻域内有界。
（3）局部保号性：若函数在某一点有极限，则该点的去心邻域内函数与该点的极限保持同号。
二、极限的求解2.1 函数在无穷远处的极限当x趋于无穷大时，通常分析函数的渐近行为，例如当x趋近无穷大时，若函数趋近某一有限值，则说明函数有水平渐近线；若函数趋近无穷大，则说明函数有垂直渐近线。
2.2 无穷小的性质与判定无穷小在极限的计算中占有重要地位，一些基本的无穷小性质与无穷小的判定方法：2.3 函数的极限存在性判定对于一些特殊类型的函数，判断其在某一点是否存在极限，例如当x趋近某一值时，函数的变化趋势是否稳定，是否可以利用夹逼定理进行求解等。
2.4 极限存在性的定理弦截定理、单调有界定理、闭区间上连续函数的性质等有助于判断函数在某一点的极限是否存在。
三、极限的计算方法3.1 函数极限的基本运算法则函数极限的基本运算法则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数乘积与函数商的极限等。
3.2 极限的计算方法极限的计算方法包括利用函数的性质、夹逼定理、洛必达法则、泰勒展开等方法。
3.3 极限的分析对于一些复杂函数极限的计算问题，需要先进行极限的分析，例如观察函数的泰勒级数展开式，取其前几项进行计算等。
高中数学中的极限运算知识点总结
高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。
本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。
一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。
即极限是函数在某一点附近的局部性质。
2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。
二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。
2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。
3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。
4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。
三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。
2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。
四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。
2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。
3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。
五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。
有关极限知识点总结
有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。
如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。
当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。
这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。
1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。
一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。
我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。
这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。
2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。
当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。
这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。
2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。
这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。
《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）
《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）第一篇：《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切n,恒有|xn-a |<ε 则称a 是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a ,记为n→∞limxn=a或xn→a(n→∞).（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当x>M>0）有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,（或存在X）使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ 时,（或当x>X时）恒有|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限,记为x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0).（或limf(x)=A）x→∞类似的有：如果存在常数A,对∀ε>0,∃δ>0,当x:x0-δ<x<x0（x0<x<x0-δ）时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→x0时的左极限（或右极限）记作x→x0-limf(x)=A(或lim+f(x)=A)x→x0x→x0x→x0x→x0显然有limf(x)=A⇔lim-f(x)=lim+f(x)=A) 如果存在常数A,对∀ε>0,∃X>0,当x<-X(或x>X)时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→-∞（或当x→+∞）时的极限记作limf(x)=A(或limf(x)=A)x→-∞x→+∞显然有limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A)x→∞x→-∞x→+∞2、极限的性质（1）唯一性若limxn=a，limxn=b，则a=bn→∞n→∞若limf(x)=Alimf(x)=B，则A=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)（2）有界性（i）若limxn=a，则∃M>0使得对∀n∈Nn→∞+,恒有xn≤M（ii）若limf(x)=A，则∃M>0当x:0<x-x0<δ时，有f(x)≤Mx→x0（iii）若limf(x)=A，则∃M>0,X>0当x>X时，有f(x)≤Mx→∞（3）局部保号性（i）若limxn=a且a>0(或a<0)则∃N∈N+，当n>N时，恒有xn>0(或xn<0)n→∞)=A，且A>0(或A<0)，则∃δ>0当x:0<x-x0<δ时，有（ii）若limf(xx→x0f(x)>0(或f(x)<0)3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}若①∃n0∈N,当n>n0时有yn≤xn≤zn ②limyn=limzn=a，n→∞n→∞+则limxn=an→∞ 给定函数f(x),g(x),h(x)， 若①当x∈U(x0,r)（或x>X）时，有g(x)≤f(x)≤h(x)②limg(x)=limh(x)=A，x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)0则limf(x)=A x→∞(x→x0)（ii）单调有界准则给定数列{xn}，若①对∀n∈N+有xn≤xn+1(或xn≥xn+1)②∃M(m)使对∀n∈N+有xn≤M(或xn≥m)则limxn存在n→∞若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则lim-f(x)（或lim+f(x)）x→x0x→x0存在4、极限的运算法则（1）若limf(x)=A，limg(x)=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)则(i)lim[f(x)±g(x)]=A±Bx→∞(x→x0)(ii)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅Bx→∞(x→x0)(iii)limx→∞(x→x0)f(x)A=⋅（B≠0）g(x)B0（2）设（i）u=g(x)且limg(x)=u0（ii）当x∈U(x0,δ)时g(x)≠u0x→x0（iii）limf(u)=Au→u0则limf[g(x)]=limf(u)=Ax→x0u→u05、两个重要极限（1）limsinx=1x→0xsinu(x)=1u(x)→0u(x)limlimsinx11=0，limxsin=1，limxsin=0x→∞x→∞x→0xxxxu(x)⎛1⎫1⎫⎛lim1+（2）lim 1+⎪=e ⎪u(x)→∞x→∞u(x)⎭x⎭⎝⎝=e;lim(1+x)=ex→01xv(x)→0lim(1+v(x))1v(x)=e;6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若limα(x)=0，即对∀ε>0,∃δ>0,当x:0<x-x0<δ（或x→∞(x→x0)x>X）时有α(x)<ε，则称当x→x0(或x→∞)，α(x)无穷小量（2）或X>0),若limf(x)=∞即对∀M>0,∃δ>0(当x:0<x-x0<δx→∞(x→x0)（或x>X）时有f(x)>M则称当x→x0(或x→∞)，f(x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)α(x)=0（f(x)≠0）⇒lim（2）limf(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)1=∞f(x)（3）limg(x)=∞⇒limx→∞(x→x0)x→∞(x→x01=0 g(x))（4）limf(x)=∞且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)+g(x)]=∞x→∞(x→x0)（5）limf(x)=0且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)⋅g(x)]=0x→∞(x→x0)nn（6）limfk(x)=0(k=1,2,Λ,n)则limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)k=1∑fk(x)=0,limx→∞(x→x0)k=1∏fk(x)= 0，8、无穷小量的比较x→∞(x→x0)limf(x)=0,limg(x)=0,limα(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)若（1）lim小。
大一高数知识点归纳极限
大一高数知识点归纳极限在大一的高等数学中，极限是一个非常重要的概念和知识点。
它是数学中的基础，也是许多高级数学概念的起点。
下面我们将对大一高数中的极限知识点进行归纳和总结。
1. 极限的定义在数学中，极限可以用来描述一个函数或者数列在某一点或者无穷远处的趋势。
对于函数f(x)，当x无限接近于一个常数a时，如果f(x)无限接近于一个常数L，那么我们可以说f(x)的极限为L，表示为lim (x->a) f(x) = L。
2. 无穷大与无穷小量在讨论极限时，我们经常会接触到无穷大与无穷小量的概念。
无穷大量是指当x趋近于某一点时，函数的值趋近于无穷大；无穷小量则是指当x趋近于某一点时，函数的值趋近于0。
3. 常见的极限计算方法我们可以通过一些常见的极限计算方法来求解各种函数的极限：- 代数运算法则：包括加减乘除四则运算的极限性质。
- 复合函数极限法则：当函数是由多个函数复合而成时，可以通过复合函数极限法则来求解极限。
- 洛必达法则：当求解函数的极限遇到形如0/0或者∞/∞的不定型时，可以利用洛必达法则进行求解。
- 数列极限：数列是一系列数字按照特定规律排列的集合，其中的极限也是一种重要的研究对象。
4. 基本的极限性质和定理在极限的研究中，我们还有一些基本的性质和定理：- 极限的唯一性定理：如果一个函数存在极限，那么这个极限是唯一的。
- 保号性定理：如果一个函数在某一点的左侧有极限，且极限大于0，那么在该点的右侧也有极限，且极限仍大于0。
- 夹逼定理：如果一个函数在某一点的左侧和右侧存在两个函数，且这两个函数的极限相等，那么原函数的极限也等于这个公共的极限。
- 连续函数定理：如果一个函数在某一点存在极限，并且这个极限等于函数在该点的值，那么这个函数在该点是连续的。
5. 极限在微积分中的应用极限在微积分中应用广泛，下面是一些常见的应用：- 求导：导数就是某一点的函数斜率，而极限可以用来表示这个点的函数值无限接近于该点的斜率。
高中数学函数极限的概念及相关题目解析
高中数学函数极限的概念及相关题目解析在高中数学中，函数极限是一个重要的概念。
它不仅在高中数学中占有重要地位，而且在大学数学中也是一个基础和重要的概念。
理解和掌握函数极限的概念对于学生们来说至关重要。
本文将从函数极限的定义、性质以及相关题目解析等方面进行讲解，帮助高中学生和家长更好地理解和应用函数极限。
一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于无穷大或者某个特定值a时，如果存在一个常数L，使得当x趋于无穷大或者a时，f(x)趋于L，那么我们就称函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限为L。
二、函数极限的性质1. 函数极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是唯一的。
2. 函数极限的有界性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是有界的。
3. 函数极限的保号性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在且大于（或小于）0，那么它的函数值在某个邻域内都大于（或小于）0。
三、函数极限的计算方法在计算函数极限时，我们常常会遇到一些特殊的极限形式，如0/0、无穷大/无穷大等。
下面通过具体的题目来说明函数极限的计算方法。
例题1：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：当x趋于0时，sinx/x的极限形式为0/0，这是一个不定型。
我们可以利用泰勒展开或洛必达法则来计算这个极限。
首先，我们可以使用泰勒展开将sinx 展开成x的幂级数，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...，那么sinx/x=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，高次项的幂都趋于0，因此我们只需要保留x的一次幂的项，即lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1)=1。
例题2：计算极限lim(x→∞)(x/(x+1))。
解析：当x趋于无穷大时，x/(x+1)的极限形式为∞/∞，这也是一个不定型。
高数上极限知识点总结
高数上极限知识点总结
高数上极限是一门比较重要的学科，本文将对极限学科的知识点进行总结。
极限的定义：定义极限的本质是无限，极限的定义为某个函数的值，当函数的变量的值趋
于某一特定的值时，函数的值也趋于一个特定的值，此时称该特定的值为函数的极限。
求极限的方法：
（1）指定极限法：采用指定极限法时，必须先观察函数f（x）在x趋近某一特定值c时，函数f（x）的变化趋势，即当夹着c来看时，函数f（x）是否以c为界限，左易右难或右
易左难，亦或有任何其他的趋势。
（2）量化极限法：在量化极限法中，将函数的表达式改写为形如分母项加1的形式，然
后用幂级数来对其进行展开，再将n无限次方相邻项折叠出，可以把极限证明问题，转换
成求解一系列多项式极限问题，进而求解待证明函数极限。
（3）唯一有理极限法：当等式中存在分子分母中各有两个不同幂次或以上的多项式，而
又这两者有共同的系数幂次时，就可以利用唯一有理极限法来求解该多项式的极限。
以上是极限学科的知识点的总结，其中的概念和方法的应用非常重要，是高数的重要组成
部分。
为高数的学习和理解提供了重要的基础，希望学生们能够仔细学习，把握极限的知识点，加深认识，从而充分发挥函数在高数中的重要作用。
常用极限知识点归纳总结
常用极限知识点归纳总结一、极限的定义1. 函数在某个点的极限设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义（除$x_0$本身可以无定义），如果对任意一个实数$\varepsilon>0$，总存在一实数$\delta>0$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$时，相应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，则称A是当x趋于$x_0$时函数$f(x)$的极限\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A \]2. 函数的无穷大极限如果对于任意一个正数$M$，总存在着正数$\delta$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|>M$，则称当$x$趋于$x_0$时函数$f(x)$的极限为无穷大，记作\[ \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \infty \]3. 函数的无穷小极限如果对于任意一个正数$\varepsilon$，总存在着正数$\delta$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|<\varepsilon$，则称当$x$趋于$x_0$时函数$f(x)$的极限为无穷小，记作\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 \]二、极限的性质1. 有界性若$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，并且$\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = B$，则\[ \lim_{x \rightarrow x_0} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B \]\[ \lim_{x \rightarrow x_0} k \cdot f(x) = k \cdot A \]这里$k$是常数\[ \lim_{x \rightarrow x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B \]\[ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \]如果$g(x)$不等于02. 夹逼定理若在$x_0$的某邻域内有$\varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x)$，而$\lim_{x \rightarrow x_0}\varphi(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \psi(x) = A$，则\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A \] 3. 无穷小的性质若$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0$，则\[ \lim_{x \rightarrow x_0} [f(x)]^n = 0 \]其中$n$是大于零的常数\[ \lim_{x \rightarrow x_0} k \cdot f(x) = 0 \]其中$k$是常数\[ \lim_{x \rightarrow x_0} [f(x)]^m \cdot [g(x)]^n = 0 \]其中$m,n$都是大于零的常数\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \cdot g(x) = 0 \]\[ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \]如果$g(x)$不等于04. 无穷大的性质若$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，则\[ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)} =\frac{1}{A} \]5. 组合函数的极限若$\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = b$，而$\lim_{y \rightarrow b} f(y) = A$，则\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(g(x)) = A \]三、常用极限1. 无穷小的极限\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]\[ \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \]\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 \]\[ \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e \]\[ \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{k}{x})^x = e^k \]2. 无穷大的极限\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty \]\[ \lim_{x \rightarrow \infty} e^x = \infty \]\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \ln x = \infty \]3. 三角函数的极限\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0 \]4. 指数函数和对数函数的极限\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \]\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \]5. 组合函数的极限\[ \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \]以上是常用的极限知识点的归纳总结，希望能对大家有所帮助。
高中数学中的极限概念详解
高中数学中的极限概念详解在高中数学中，极限是一个关键的概念，它为我们理解数学的连续性和趋势提供了基础。
在本文中，我们将详细解释极限的概念、计算方法和应用。
首先，我们来了解极限的定义。
在数学中，极限表示一个函数在自变量无限接近某一特定的值时的趋势。
当自变量趋近于这个特殊值时，函数的取值也会逐渐接近于一个确定的数值。
这个特殊值被称为极限点，而函数在极限点处的取值则称为极限。
数学上用符号“lim”来表示极限，例如lim f(x) = L表示当x趋近于某一值时，f(x)的极限为L。
接下来，我们来看一些常用的极限计算方法。
在高中数学中，有几种常见的方法可以计算极限。
首先是代入法，即将自变量的值代入函数中计算。
如果得到的结果存在一个有限值，那么这个有限值即为函数在该点的极限。
如果得到的结果是无穷大（正无穷大或负无穷大），则说明函数在该点不存在极限。
其次是夹逼定理，它用于计算特定类型的极限。
夹逼定理基于一个原则：如果一个函数在两个连续的点之间被夹在两个其他函数之间，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个公共极限。
另外还有无穷小量的概念，即当自变量趋近于某一值时，函数取值可以无限接近于零。
利用无穷小的性质，我们可以推导出一些特定类型的极限。
然后，我们来探讨极限的应用。
极限在数学中有广泛的应用，尤其在微积分和解析几何中。
在微积分中，极限是求导和积分的基本工具。
通过极限的概念，我们可以推导出导数的定义并计算各种函数的导数，进而研究函数的变化趋势。
在解析几何中，极限可以用来计算曲线的切线和曲率。
通过求解极限，我们可以确定曲线上某一点的切线斜率以及曲线在该点的曲率大小，从而揭示出曲线的几何性质。
最后，我们来总结一下。
高中数学中的极限概念是我们理解数学中连续性和趋势的基础。
极限的定义为我们提供了一种数学语言来描述函数在特定点的趋势。
我们可以通过代入法、夹逼定理和无穷小量的应用等方法计算极限。
极限的应用广泛，特别是在微积分和解析几何中。
高中数学知识点：极限
高中数学知识点：极限1. 什么是极限？答：极限是一个变量趋近于某一值时（通常是无穷大或无穷小）的过程。
2. 举例说明什么是极限。
答：比如当x趋近于无穷大时，1/x的极限为0。
3. 什么是单侧极限？答：当变量趋近于某一点时，如果左右两侧的极限不相等，那么就存在单侧极限。
4. 什么是无穷小？答：当变量趋近于某一值时，如果该变量趋近于0，那么该变量被称为无穷小。
5. 无穷小与极限有何关系？答：无穷小是用来描述极限过程中变量的行为，也就是当变量趋近于某一值时的表现。
6. 极限存在的条件是什么？答：当左右两侧的极限相等时，极限才存在。
7. 极限不存在的情况有哪些？答：1）当左右两侧的极限不相等时；2）当左右两侧的极限均不存在时。
8. 极限的运算规则有哪些？答：1）极限的加减法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b，则lim[f(x)±g(x)]=a±b；2）极限的乘法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b，则lim [f(x)g(x)]=ab；3）极限的除法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b（b≠0），则lim [f(x)/g(x)]=a/b。
以上规则仅在极限存在的情况下成立。
9. 什么是函数的连续性？答：函数在某一点处连续，当且仅当该点左右两侧的极限相等，且该点处的函数值等于其极限值。
10. 极限的应用有哪些？答：极限在微积分中有广泛的应用，如求导、积分等。
练习题：1. 求limx→1 (x^2-1)/(x-1)。
答：limx→1 (x^2-1)/(x-1) = limx→1 (x+1) = 2。
2. 求limx→∞ (2x+1)/(4x-2)。
答：limx→∞ (2x+1)/(4x-2) = limx→∞ (2+1/x)/(4-2/x) = 1/2。
3. 求极限limx→2 (2x+5)/|x-2|。
答：左极限：limx→2^- (2x+5)/|x-2| = -7/0^- = 无穷大；右极限：limx→2^+ (2x+5)/|x-2| = 9/0^+ = 无穷大。
高中数学知识点精讲——极限和导数
[证明] 令F(x)=f(x)- ,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使 =0，即
15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I, ,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I, ,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且 。（1）若 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若 ，则f(x)在x0处取得极大值。
13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使
9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则
11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极大值。
⑥ 已知数列 的首项 ，其前 项的和为 ，且 ，则 =.
2、函数极限：
（1）公式： （C为常数）； （p>0）；
极限的基本概念及计算方法
极限的基本概念及计算方法极限是微积分的基本概念之一，是描述函数趋近某一特定值的概念。
在数学中，极限使用符号lim来表示，通过求取极限，我们可以研究函数的性质和行为，以及解决一些与变化相关的问题。
在本文中，我们将介绍极限的基本概念，并探讨一些常用的极限计算方法。
一、极限的定义在数学中，我们使用极限来描述函数在某一点或趋于无穷时的行为。
设函数f(x)定义在某一区间上，当自变量x无限接近某一值a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数L，称函数f(x)在x趋于a的过程中的极限为L，记作：lim(f(x)) = Lx→a其中，lim表示极限运算，x→a表示自变量x趋于a的过程。
二、极限的性质在计算极限时，有一些基本的性质需要注意：1. 极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在，那么极限值L是唯一确定的。
2. 逼近性：当函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在时，函数值f(x)无限接近于L，但不一定等于L。
3. 有界性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在且有限，那么函数f(x)在某个邻域内是有界的。
4. 保号性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在且不为零，那么函数f(x)在极限值L的邻域内具有相同的符号。
三、常用的极限计算方法在计算极限时，有几种常用的方法可以帮助我们求取极限：1. 代入法：对于一些简单的函数，可以直接将极限值代入函数中计算得到结果。
例如，当求取lim(x→3) (2x+1)时，可以直接将x=3代入函数得到结果。
2. 基本极限法则：根据一些基本的极限性质，我们可以将复杂的函数求极限的问题转化为求取一些基本的极限式子的问题。
例如，lim(x→0) (sin x / x)可以使用基本极限法则转化为求取lim(x→0) sin x / lim(x→0) x，而这两个极限都是已知的。
3. 张举法：对于一些复杂的函数，我们可以通过引入新的变量或变形来简化计算。
例如，当求取lim(x→∞) (x^2 + 3x - 2) / (2x^2 + 5)时，可以将分子和分母同时除以x^2，得到lim(x→∞) (1 + 3/x - 2/x^2) / (2 +5/x^2)。
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
高中数学知识点总结极限与连续性
高中数学知识点总结极限与连续性高中数学知识点总结：极限与连续性在高中数学学习过程中，极限与连续性是非常重要的概念和理论。
它们是分析数学中的基本内容，也是数学推理和问题解决的核心工具。
本文将对高中数学中的极限与连续性进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这些知识点。
一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是指当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋近于的值。
对于函数f(x)，当x趋近于a时，若存在实数L，使得对于任意给定的正数ε，总可以找到正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε成立，则称函数在x趋近于a时极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
2. 极限的性质（1）极限唯一性：如果极限存在，则极限值唯一。
（2）局部有界性：如果lim┬(x→a)〖f(x)=L〗，则存在一个δ>0，当0 < |x - a| < δ时，f(x)有界。
（3）四则运算法则：设lim┬(x→a)〖f(x)=A，lim┬(x→a)〖g(x)=B〗〗，其中A、B为有限数，常数C为常数，则有：a) lim┬(x→a)[f(x)±g(x)]=A±Bb) lim┬(x→a)[f(x)×g(x)]=A×Bc) lim┬(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B，其中B≠0。
3. 左极限与右极限对于函数f(x)，以a为自变量的取值上界时的极限值称为左极限，以a为自变量的取值下界时的极限值称为右极限。
记作lim┬(x→a⁻)f(x)和lim┬(x→a⁺)f(x)，分别对应于x从a左侧和右侧趋近。
二、连续性与间断点1. 连续性的定义连续性是指函数在某个点上没有突变、断裂或跳跃，并且与该点邻近的点上函数值变化相对较小。
对于函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在对应的δ>0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数在点a上连续。
数学 函数极限知识点总结
数学函数极限知识点总结一、基本概念1.1 函数极限的概念函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体地说，设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么称函数f(x)当x趋于a时的极限为A，记为lim(x→a)f(x)=A。
1.2 函数极限的图像解释在图像上，函数f(x)在点x=a处的极限为A，就是指当x趋于a时，函数曲线逐渐接近点(x，A)。
特别地，如果对于任意给定的ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，函数曲线都在点(x，A)的ε-邻域内，那么称函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且等于A。
1.3 函数极限的表达方式函数极限通常有三种表达方式，分别是极限右侧、极限左侧和双侧极限。
其中，当x趋于a时，如果函数f(x)的极限只依赖于x大于a时的情况，那么记为lim(x→a+)f(x)=A；如果函数f(x)的极限只依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a-)f(x)=A；如果函数f(x)的极限既依赖于x大于a时的情况，又依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a)f(x)=A。
1.4 无穷大与无穷小当函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大时，即lim(x→a)f(x)=∞或lim(x→a)f(x)=-∞，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大；当函数f(x)在点x=a处的极限为0时，即lim(x→a)f(x)=0，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷小。
二、求解方法2.1 用极限定义求解对于一般的函数极限问题，可以使用极限的定义求解。
具体地说，通过设定ε-δ的方式，利用函数的性质和运算规则，逐步推导出函数在特定点的极限。
通常包括利用夹挤定理、利用三角不等式、利用数列极限等方法来求解函数极限。
极限知识点高三数学
极限知识点高三数学在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。
它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。
本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
一、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。
例如lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。
二、常见的极限运算法则1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。
2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则：(1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)(2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)(3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x)(4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0)3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有lim(x→a)f[g(x)]=L。
4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。
例如，如果lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。
三、例题分析为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题：例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰勒级数展开来计算该极限。
大一高等数学极限知识点
大一高等数学极限知识点大一高等数学中的极限是一门重要的数学分支，它是微积分学的基础。
在学习极限的过程中，有一些核心的知识点需要掌握。
下面将详细介绍大一高等数学中与极限相关的知识点，包括极限的概念、极限的性质、极限的计算方法以及极限的应用。
一、极限的概念1. 数列的极限：数列的极限是指当自变量n趋向于无穷大时，函数值逼近一个常数A，即lim（n→∞）an=A。
2. 函数的极限：函数的极限是指当自变量x趋向于一个定点时，函数值逼近一个常数A，即lim（x→a）f(x)=A。
二、极限的性质1.唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，那么这个极限是唯一的。
2.有界性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，那么函数f(x)在x=a的一些邻域内有界。
3.累次性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，并且函数g(x)在x=a处的极限存在，那么函数f(x)g(x)在x=a处的极限也存在，并且等于这两个极限的乘积。
三、极限的计算方法1.代入法：如果函数在特定点的极限的形式为0/0或∞/∞，则可以通过将自变量代入函数来化简极限表达式。
2.约等于法：如果函数在特定点的极限的形式不易化简，可以通过近似替代的方式将复杂函数化简为简单函数。
3.极限的运算法则：和、差、积的极限等于各自函数极限的和、差、积；商的极限等于被除函数与除法函数的极限之商（需要除数函数在极限点的极限不为0）。
四、极限的应用1.极限在连续性中的应用：利用极限的性质，可以证明函数在一些点处的连续性。
2.自变量趋于无穷时的极限：通过研究自变量趋于无穷时函数的极限，可以得到函数的渐近线、无穷小量等重要概念。
3.奇偶函数的极限：奇函数在原点处的极限为0，偶函数在原点处的极限存在且相等。
4.拐点的判定：通过研究函数在特定点处的极限，可以判断函数是否存在拐点。
以上是大一高等数学中与极限相关的核心知识点。
通过对这些知识点的学习和理解，可以为后续的微积分学习打下坚实的基础。
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极 限 的 概 念（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程：
一、实例引入：
例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。
n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。
”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0）
，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞
→lim
注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。
“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。
A a n n =∞
→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1
+n n ，…；
（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n
)1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n
)1(-，…；
注：几个重要极限： （1）01
lim
=∞→n n （2）C C n =∞
→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n
q （1<q ）的极限是0，即 ：)1(0lim <=∞
→q q n
n
2、当∞→x 时函数的极限
（1） 画出函数x
y 1
=
的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01
lim =+∞→x
x
一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞
→)(lim
也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(
（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数x
y 1
=
的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数x
y 1
=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x 一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞
→)(lim
也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(
（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数x y 1
=
的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数x
y 1
=的极限是0，记作01lim =∞→x x
一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞
→)(lim
也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(
特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即 C C x =∞
→l i m
例2：判断下列函数的极限：
（1）x x )21(lim +∞→ （2）x
x 10lim -∞
→
（3）21
lim x x ∞→ （4）4lim ∞
→x
三、课堂小结 1、数列的极限
2、当x ∞→时函数的极限 四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限 （1）1，
41，91，…，21
n
，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2
)1(,,81,41,21n
n
---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，
n
10
1
，…；
P M N A B
C D （6）0，,32,21--
…，11
-n ，…； （7）,41,31,21-…，1
1)1(1
+-+n n ，…；
（8）,51,5
9
,54…，52n ，…；
（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n
,…， 2、判断下列函数的极限：
（1）x
x 4.0lim +∞
→ （2）x
x 2.1lim -∞
→
（3）)1lim(-∞
→x （4）41
lim
x x ∞→
（5）x x )101(lim +∞→ （6）x
x )4
5(lim -∞→
（7）11
lim 2+∞→x x （8）5lim ∞
→x
补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分
别是AB 、PC 的中点。
（1）求证：MN ⊥AB ； （2）若平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 能否确定θ，使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？ 若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。