排列组合中的分组与分配问题

排列组合中的分组分配问题

一、提出分组与分配问题,澄清模糊概念

n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象,称为分配问题,分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成ｋ组，称为分组问题．分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的;而后者即使2组元素个数相同,但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题

例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?

（1)每组两本.

(２)一组一本,一组二本，一组三本.

(3)一组四本,另外两组各一本.

分析:(1)分组与顺序无关,是组合问题。分组数是624222

C C C=90(种) ,这９０种分组实际上重复了６次。我们不妨把六本不同的书写上１、2、３、4、5、6六个号码，考察以下两种分法:(1，2)(3，4)（5,6）与（３，４）(１,2)（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组

的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数33

A，所以分法是

222

642

3

3

C C C

A

=15

（种）。(2)先分组,方法是615233

C C C,那么还要不要除以33A？我们发现,由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233

C C C=6０(种）分法。

(3)分组方法是642111

C C C=3０(种） ,那么其中有没有重复的分法呢?我们发现,其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数不一样，不

可能重复。所以实际分法是

411

621

2

2

C C C

A

=1５(种)。

结论1：一般地,ｎ个不同的元素分成p组,各组内元素数目分别为m

1，m

2

,…,m

p

，

其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是

3

2

1

112

p

p

m

m

m

m

n n m n m m m

k

k

C C C C

A

---

⋯

。

三、基本的分配的问题

(一)定向分配问题

例2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?

(1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.

分析:由于分配给三人,每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题,由分布计

数原理不难解出：分别有222642C C C =90(种)，615233

C C C =60(种)， 411621C C C ＝3０(种)。

(二）不定向分配问题

例3六本不同的书,分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1) 每人两本.

(2) 一人一本、一人两本、一人三本. (3) 一人四本、一人一本、一人一本.

分析：此组题属于分配中的不定向分配问题,是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人,同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以3

3A

，

即222

6423

3

C C C A 3

3A =9０(种）, 615233C C C 3

3A

=３6０（种）

4

1

1

6212

2

C C C A 3

3A =90(种)。 结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排列。