分式的运算技巧

分式

概念

形如(A、B就是整式,B中含有字母)的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时,我们把这个分式叫做真分式;当分式的分子的次数高于分母的次数时,我们把这个分式叫做假分式。

注意:判断一个式子就是否就是分式,不要瞧式子就是否就是的形式,关键要满足:分式的分母中必须含有字母,分子分母均为整式。无需考虑该分式就是否有意义,即分母就是否为零。

由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性。

方法:数瞧结果,式瞧形。

分式条件:

1、分式有意义条件:分母不为0。

2、分式值为0条件:分子为0且分母不为0。

3、分式值为正(负)数条件:分子分母同号得正,异号得负。

4、分式值为1的条件:分子=分母≠0。

5、分式值为-1的条件:分子分母互为相反数,且都不为0。

代数式分类

整式与分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式与有理式统称代数式。

分式的基本性质

分式的分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。用式子表示为:

(A,B,C为整式,且B、C≠0)

运算法则

约分

根据分式基本性质,可以把一个分式的分子与分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分。约分的关键就是确定分式中分子与分母的公因式。

约分步骤:

1、如果分式的分子与分母都就是单项式或者就是几个因式乘积的形式,将它们的公因式

约去。

2、分式的分子与分母都就是多项式,将分子与分母分别分解因式,再将公因式约去。

公因式的提取方法:系数取分子与分母系数的最大公约数,字母取分子与分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式。

最简分式:一个分式不能约分时,这个分式称为最简分式。约分时,一般将一个分式化为最简分式。

通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分。

分式的乘法法则:

(1)两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除,把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。

用字母表示为:

分式的加减法法则:

同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。

用字母表示为:

异分母分式的加减法法则:

异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

分式的除法法则:

两个分式相除,把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。

除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数:

乘方

分子乘方做分子,分母乘方做分母,可以约分的约分,最后化成最简:

分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法:

(1)去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程)

(2)按解整式方程的步骤求出未知数的值

(3)验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)。

分式方程解法的归纳:

解分式方程的基本思路就是将分式方程化为整式方程,具体做法就是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也就是解分式方程的一般思路与做法。

【基础精讲】

一、分式的概念

1、正确理解分式的概念:

【例1】有理式(1)x 1; (2)2x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -;(5)11－x ;(6)π1中,属于整式的有: ;属于分式的有: 。、

2、判断分式有无意义关键就是瞧分母就是否为零、 (1) 例如,当x 为 时,分式()()()

322-++x x x 有意义. 错解:3≠x 时原分式有意义.

(2) 不要随意用“或”与“且”。

例如 当x____时,分式

有意义？ 错解:由分母,得

3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.

当x 时,分式11－x x +有意义.当x 时,分式1

1－x x +无意义.当x 时,分式112－x x -值为0. 二、分式的基本性质:

1、分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变、

(1) 分式的基本性质就是分式恒等变形的依据,它就是分式的约分、通分、化简与解分式方程基础,因此,我们要正确理解分式的基本性质,并能熟练的运用它.理解分式的基本性质时,必须注意:

①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都就是整式.

②在分式的基本性质中,M ≠0.

③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0),不要只乘分子(或分母).

④性质中“分式的值不变”这句话的实质,就是当字母取同一值(零除外)时,变形前后分式的值就是相等的。但就是变形前后分式中字母的取值范围就是变化的.

(2)注意:

①根据分式的基本性质有:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.

②分式的基本性质就是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式

【例3】下列变形正确的就是( ). A.a b a b c c -++=-; B.a a b c b c -=--- C.a b a b a b a b

-++=--- D.a b a b a b a b --+=-+- 【例4】 如果把分式

52x x y -中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) . A 、扩大3倍 B 、扩大9倍 C 、 扩大6倍 D 、不变

2、约分

约分就是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际就是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据就是分式的基本性质、

【例5】(1)化简222a b a ab -+的结果为( )A.b a - B.a b a - C.a b a

+ D.b - (2)化简2244

xy y x x --+的结果()A.2x x + B.2x x - C.2y x + D.2y x - (3)化简62962-+-x x x 的结果就是()A.23+x B.292+x C.292-x D.23-x 3、通分

通分的依据就是分式的基本性质,通分的关键就是确定最简公分母、最简公分母由下面的方法确定:

(1)最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;

(2)最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积;

三、分式的运算

1、分式运算时注意:

(1)注意运算顺序.例如,计算

a a a a +-⋅+÷-31)3(11,应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行.错解:原式2)

1(1)1(11a a a -=-÷-= (2)通分时不能丢掉分母.例如,计算11

---x x x ,出现了这样的解题错误:原式=11-=--x x .分式通分就是等值变形,不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆;