中考圆有关的动点几何压轴题

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中考数学几何综合圆的综合大题压轴题

圆的综合大题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP．（1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由；（2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）与是否相等？请你说明理由；（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考）4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．（1）求证：∠ACD＝∠F；（2）若tan∠F＝①求证：四边形ABCD是平行四边形；②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．7．如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA＝1，AB＝，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若cos∠BAD＝，BE＝，求OE的长．9．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，P A是⊙O 的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：P A∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．10．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O 的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．11．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．12．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF•DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证：BE＝CE；（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC 的面积；（3）若EC＝4，BD＝，求⊙O的半径OC的长．14．已知：如图，P A、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，（1）若∠AOP＝60°，求∠OPB的度数；（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，①若∠COP＝∠DOP，求证：AC＝BD；②连接CD，设△PCD的周长为l，若l＝2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．15．如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF•FG＝CF •OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．16．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O 直径BD＝6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD＝11，求AB的长．17．如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．（1）求证：DA＝DC；（2）当DF：EF＝1：8，且DF＝时，求AB•AC的值；（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF 与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O 的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA ＝DC是否仍然成立？并证明你的结论．18．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧的中点，连AD 并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．19．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于C，AD⊥PD，CM⊥AB，垂足分别为D，M．（1）求证：CB平分∠PCM；（2）若∠CBA＝60°，求证：△ADM为等边三角形；（3）若PO＝5，PC＝a，⊙O的半径为r，且a，r是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+4m＝0的两根，求m的值．20．已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）．在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，请说明理由；（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；②若＝n（n＞0），试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）．21．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP 的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP＝RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2＝PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC 的延长线于点G．ⅰ）试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；ⅱ）若CD＝4，tan∠BCE＝，求线段FG的长．23．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP；（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC＝，CG＝4，求OP的长．24．如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE＝CD．（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．ii）若DG＝，求⊙O的周长（结果保留π）25．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②求从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是劣弧AC上的一点，连结AD并延长与BC的延长线交于点E，AC、BD相交于点M．（1）求证：BC•CE＝AC•MC；（2）若点D是劣弧AC的中点，tan∠ACD＝，MD•BD＝10，求⊙O的半径．（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC，交CD的延长线于点F，求﹣的值．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OM∥BC，交AC于点M．（1）求∠AMO；（2）延长OM交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交BC延长线于点F，连接FM，并延长FM交AB于点G．①试判断四边形CFEM的形状，并说明理由；②若AG＝2，CM＝3，求四边形CFEM的面积．28．如图1，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O 于点D，过点D作DP∥BA交CA的延长线于点P；（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图2，若AC＝6，tan∠CAB＝，求线段PC的长．29．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC＝12，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．30．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长度；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．31．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B 重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；（3）当＝时，求劣弧的长度（结果保留π）32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B 作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S＝，求DE的长；△AOC（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．33．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC 是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．34．如图1，点O和矩形CDEF的边CD都在直线l上，以点O为圆心，以24为半径作半圆，分别交直线l于A，B两点．已知：CD＝18，CF＝24，矩形自右向左在直线l上平移，当点D到达点A时，矩形停止运动．在平移过程中，设矩形对角线DF与半圆的交点为P（点P为半圆上远离点B的交点）．（1）如图2，若FD与半圆相切，求OD的值；（2）如图3，当DF与半圆有两个交点时，求线段PD的取值范围；（3）若线段PD的长为20，直接写出此时OD的值．35．图1和图2中，优弧纸片所在⊙O的半径为2，AB＝2，点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．发现：（1）点O到弦AB的距离是，当BP经过点O时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M，N重合）为半圆上一点，将圆形沿NP折叠，分别得到点M，O的对称点A′，O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图3，判断A′C与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图4，当α＝°时，NA′与半圆O相切，当α＝°时，点O′落在上．（3）当线段NO′与半圆O只有一个公共点N时，直接写出α的取值范围．36．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C 作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1）求证：CE＝EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形．37．如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．38．（1）特例探究．如图（1），在等边三角形ABC中，BD是∠ABC的平分线，AE是BC边上的高线，BD和AE相交于点F．请你探究＝是否成立，请说明理由；请你探究＝是否成立，并说明理由．（2）归纳证明．如图（2），若△ABC为任意三角形，BD是三角形的一条内角平分线，请问＝一定成立吗？并证明你的判断．（3）拓展应用．如图（3），BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BD是∠ABC的平分线，交⊙O 于点E，过点E作AB的垂线，交BA的延长线于点F，连接OF，交BD于点G，连接CG，其中cos∠ACB＝，请直接写出的值；若△BGF的面积为S，请求出△COG的面积（用含S的代数式表示）．39．已知：AB是⊙O直径，C是⊙O外一点，连接BC交⊙O于点D，BD＝CD，连接AD、AC．（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点E，延长CF交⊙O于点G．过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K，求证AK＝2OF；（3）如图3，在（2）的条件下，EH交AD于点L，若OK＝1，AC＝CG，求线段AL的长．40．如图，以△ABC的AB边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O切线交AC于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：DE⊥AC；（2）如图2，设CA的延长线交⊙O于点F，点G在上，＝，连接BG，求证：AF＝BG；（3）在（2）的条件下，如图3，点M为BG中点，MD的延长线交CE于点N，连接DF交AB于点H，若AH：BH＝3：8，AN＝7，求DE长．41．已知AB，CD都是⊙O的直径，连接DB，过点C的切线交DB的延长线于点E．（1）如图1，求证：∠AOD+2∠E＝180°；（2）如图2，过点A作AF⊥EC交EC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，求证：DG＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，当＝时，在⊙O外取一点H，连接CH、DH分别交⊙O于点M、N，且∠HDE＝∠HCE，点P在HD的延长线上，连接PO并延长交CM于点Q，若PD＝11，DN＝14，MQ＝OB，求线段HM的长．42．已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE＝AF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF＝2EG，AC＝2，求OE的长．43．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6，连接QC交BC于点M，求QM 的长．44．已知：⊙O是△ABC的外接圆，点D在上，连接AD，BD，AD的延长线交BC的延长线于点E，点F在BD上，连接EF，∠ACB＝2∠DEF．（1）如图1，求证：∠DEF＝∠DFE；（2）如图2，延长EF交AB于点G，若AE＝BF，求证：AG＝BG；＝60，（3）如图3，在（2）的条件下，连接OG，若cos∠AGE＝，S△BEF AD＝BD，求线段OG的长．45．已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD∥AB，过点B的切线与射线AD交于点M，连接AC、BD．（1）如图l，求证：AC＝BD；（2）如图2，延长AC、BD交于点F，作直径DE，连接AE、CE，CE与AB 交于点N，求证：∠AFB＝2∠AEN；（3）如图3，在（2）的条件下，过点M作MQ⊥AF于点Q，若MQ：QC＝3：2，NE＝2，求QF的长．46．如图1，△ABC内接于圆O，点D为弧BC上一点，连接AD交BC于点E，∠ACD﹣∠B＝2∠BAD．（1）求证：AE＝AC；（2）如图2，连接CO并延长交圆O于点F，连接AF，∠DAF＝2∠BCD，求证：AF＝AE；（3）如图3，在（2）条件下，过点F作FH∥BC交AB于点H，连接CH，过点A作AK∥BF交CH于点K，当AK＝EC，AB＝3时，求线段AD的长度．47．如图1，⊙O中，AB为直径，弧BC＝弧AC，点P在⊙O上，连接PC交AB于点E，过C作PC的垂线交⊙O于点Q（1）求证：弧AP＝弧BQ；（2）如图2，点F在弧AC上，∠FEA＝∠QEB＝30°，连接PF，求证：PF＝AO；（3）在（2）的条件下，如图3，过E作EG⊥FP于点G，若EG＝6，求OE 的长．48．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆与AC 相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．（1）求证：D是弧EC的中点；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点K，连接CF，求证：CF＝OK+DO；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB交⊙O于点Q，连接QH，若DO ＝，KG＝2，求QH．49．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O 切AC于点E，交BC于点F，连接DF，OP⊥AB交⊙O于点P，连接ED、EP，过点A作DQ⊥PE于点Q，（1）求证：DF＝2CE；（2）求证：∠A＝2∠P；（3）在（2）的条件下：若BC＝6，sin B＝，连接OQ，求线段OQ的长．50．已知：AD、DE是⊙O的弦，DB平分∠ADE交⊙O于B，（1）求证：＝；（2）连接AB、AE、DB，若DE是⊙O的直径，AE、BD交于C，CD＝2AB，求∠E的度数；（3）在（2）的条件下，K是弧AE上一点，连接OK，交AE于点G，F是AD上一点，连接AK、KE，FG，若∠AFG＝4∠KAE，FG＝5，DE＝6，求KG长．。

中考数学与圆有关的压轴题

中考数学与圆有关的压轴题(解答题部分3）11．（2014•四川成都，第27题10分)如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．（1）求证：△PAC∽△PDF;（2）若AB=5,=,求PD的长;(3）在点P运动过程中，设=x，tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围）考点：圆的综合题分析: (1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆,倾向于找接近圆的角∠DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得∠DPF=∠APC，则结论易证．（2)求PD的长，且此线段在上问已证相似的△PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长,则PD 可求．（3)因为题目涉及∠AFD与也在第一问所得相似的△PDF中，进而考虑转化，∠AFD=∠PCA,连接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，过G点作AB的垂线,若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所对的这条高线．但是“此线是否过PB与AC的交点"？此时首先需要做的是多画几个动点P,观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的,可是证明不能靠画图,如何求证此线过PB与AC 的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H,然后连接交点与B，再证明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点．根据等弧对等角，可得∠HBG=∠PCA，进而得解题思路．解(1）证明:∵，答：∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣所对的圆周角=180°﹣所对的圆周角=所对的圆周角=∠APC．在△PAC和△PDF中，，∴△PAC∽△PDF．（2)解：如图1，连接PO,则由，有PO⊥AB，且∠PAB=45°,△APO、△AEF都为等腰直角三角形．在Rt△ABC中，∵AC=2BC，∴AB2=BC2+AC2=5BC2，∵AB=5，∴BC=，∴AC=2，∴CE=AC•sin∠BAC=AC•=2•=2，AE=AC•cos∠BAC=AC•=2•=4，∵△AEF为等腰直角三角形，∴EF=AE=4，∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．∵△APO为等腰直角三角形，AO=•AB=，∴AP=．∵△PDF∽△PAC，∴，∴，∴PD=．（3)解：如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H,连接HB，以HB为直径作圆,连接CG并延长交⊙O于Q，∵HC⊥CB，GH⊥GB,∴C、G都在以HB为直径的圆上，∴∠HBG=∠ACQ，∵C、D关于AB对称，G在AB上,∴Q、P关于AB对称，∴，∴∠PCA=∠ACQ，∴∠HBG=∠PCA．∵△PAC∽△PDF，∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=．∵HG=tan∠HAG•AG=tan∠BAC•AG==，∴y==x．点评: 本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解,重点理解分析过程，自己如何找到思路．12. （2014•湖北荆门,第24题12分）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心,OA长为半径作圆，交AD于M,恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点(点E与C,D不重合),过E作直线EF∥BD交BC于F,再把△CEF沿着动直线EF对折,点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．（1）求证：四边形ABHP是菱形；（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗?若能，求出此时x的值；若不能,请说明理由；（3)求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时,S的值．第3题图考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质;切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值所有专题：压轴题．分析: （1）连接OH,可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB,HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．(2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合,可求出x=2．（3）当0≤x≤2时，如图①，S=S△EGF，只需求出FG,就可得到S与x之间的函数关系式；当2＜x≤3时,如图④，S=S△GEF ﹣S△SGR，只需求出SG、RG，就可得到S与x之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3,KQ=AQ﹣AK=2﹣2+x．再由FK=KQ即可求出x，从而求出S．解答：解:（1)证明：连接OH,如图①所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°,BC=AD，AB=CD．∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=．∵OH=OA=，∴sin∠HON==．∴∠HON=60°∵BD与⊙O相切于点H,∴OH⊥B D．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3．∴BC=3．∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．∴tan∠BDA===．∴AB=3．∵HP=3，∴AB=HP．∵AB∥HP，∴四边形ABHP是平行四边形．∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，∴BA与⊙O相切于点A．∵BD与⊙O相切于点H，∴BA=BH．∴平行四边形ABHP是菱形．（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．如图②所示，点G落到AD上．∵EF∥BD,∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．∴cos∠GED===．∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴点G与点M重合．此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时,对应的x的值为2．（3）①如图①，在Rt△EGF中,tan∠FEG===．∴FG=x．∴S=GE•FG=x•x=x2．②如图③，ED=3﹣x,RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．∵tan∠SRG===，∴SG=（x﹣2)．∴S△SGR=SG•RG=•（x﹣2）•（3x﹣6）．=（x﹣2）2．∵S△GEF=x2,∴S=S△GEF ﹣S△SGR=x2﹣（x﹣2）2．=﹣x2+6x﹣6．综上所述：当0≤x≤2时，S=x2；当2＜x≤3时，S=﹣x2+6x﹣6．当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q,过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°．∵OT=，∴OQ=2．∴AQ=+2．∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABFK是矩形．∴FK=AB=3,AK=BF=3﹣x．∴KQ=AQ﹣AK=(+2）﹣(3﹣x）=2﹣2+x．在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．∴FK=QK．∴3=（2﹣2+x)．解得：x=3﹣．∵0≤3﹣≤2，∴S=x2=×（3﹣）2=﹣6．∴FG与⊙O相切时,S的值为﹣6．点评: 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识,综合性非常强．13．（2014•莱芜,第23题10分）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O 上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=(r是⊙O的半径)．（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF,证明：直线DC与⊙O相切；(2）求EF•EC的值；（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．考点：圆的综合题．。

中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长．23【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．3．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB=，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．4．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF：（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，∴BFDG=EFAG，∵G是AD的中点，∴BF=EF；(2)连接AO，AB.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，∴∠FBA+∠ABO=90°，∴∠FAB+∠BAO=90°，即∠FAO=90°，∴PA⊥OA，∴PA是圆O的切线；（3）过点F作FH⊥AD于点H，∵BD⊥AD，FH⊥AD，∴FH∥BC，由(2)，知∠FBA=∠BAF，∴BF=AF.∵BF=FG，∴AF=FG，∴△AFG是等腰三角形.∵FH⊥AD，∴AH=GH，∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°，∴四边形BDHF 是矩形，∴BD =FH ，∵FH ∥BC∴△HFG ∽△DCG ，∴12FH HG CD DG ==，即12BD CD =， ∴23 2.153≈， ∵O 的半径长为32，∴BC =62，∴BD =13BC ＝22. 点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.5．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是BC 上的一点，且PB ＜PC ，PA 交BC 于E ，点F 是PC 延长线上的点，CF=PB ，AB=13，PA=4．（1）求证：△ABP ≌△ACF ；（2）求证：AC 2=PA•AE ；（3）求PB 和PC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC ，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP ，于是可根据“SAS”判断△ABP ≌△ACF ；（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC ，于是可判断△ACE ∽△APC ，然后利用相似比即可得到结论；（3）先利用AC 2=PA •AE 计算出AE=134 ，则PE=AP-AE=34，再证△APF 为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP ∽△CEP ，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB 和PC 看作方程x 2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB 和PC 的长．试题解析：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，又∠ACP+∠ACF=180°，∴∠ABP=∠ACF在ABP ∆和ACF ∆中，∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB =∴ABP ∆≌ACF ∆．(2)在AEC ∆和ACP ∆中，∵∠APC=∠ABC ，而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，∴∠ACE =∠APC .又∠CAE =∠PAC ，∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆，∴∠BAP=∠CAF ， CF PB =∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°.∴APF ∆是等边三角形∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+===在PAB ∆与CEP ∆中，∵∠BAP=∠ECP ，又∠APB=∠EPC=60°，∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅， ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=∴22222243PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解．解这个方程，得11x =， 23x =．∵PB<PB ，∴PB=11x =，PC=23x =，∴PB 和PC 的长分别是1和3。

2024中考备考数学重难点05 圆的综合压轴题(6大题型+满分技巧+限时分层检测

重难点05 圆的综合压轴题中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。

考向一：圆中弧长与面积的综合题1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．考向二：圆与全等三角形综合题1．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．（1）如图①，求证：BC＝2OH；（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F 作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM ⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．考向三：圆的综合证明问题1．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD ⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．3．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．4．（2023•广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．考向四：圆与等腰三角形的综合1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．2．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．3．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；逆向思考（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．考向五：圆的阅读理解与新定义问题1．（2023•青海）综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C 到BD的距离d1．（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C 到BD的距离d3＝（结果保留根号）．（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）．（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．2．（2023•陕西）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，点P到水面AB的距离PH＝8m．点P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在点P1，P2处各装有一个照明灯，图中△P1CD和△P2EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P1，P2左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分别绕点P1，P2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）3．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．4．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．考向六：圆与特殊四边形综合1．（2023•威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON 于点D，E，连接AB，AC，AD．（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．2．（2023•益阳）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．（1）求∠ACB的度数；（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若AC＝6，求的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度数是，PA的长为；（2）求△ABC的面积；（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．2．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．3．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•CN；（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．4．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC ＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC 的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．6．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG ＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE 平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）个．A．5B．4C．3D．22．（2023•鹿城区校级三模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作DE ⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于点H，I（点I在H左侧）．当点D与点C重合时（如图2），GH＝；当EF＝GH时，CD＝．3．（2023•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7，下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•PA；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为；④若PC＝24，则tan∠PCB＝；其中，所有正确结论的序号是．4．（2024•鄞州区校级一模）如图1，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为E，连结BC，BD，OC．（1）求证：∠BCO＝∠ABD．（2）如图2，过点A作AF⊥BD，交CD于G，求证：CE＝EG．（3）如图3，在（2）的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心O，若⊙O的半径为5，，求AB的长．5．（2024•常州模拟）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q 可以与点P重合，且，则点P称为点A关于⊙C的“阳光点”．已知点O为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点B是点A关于⊙O的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“阳光点”，请直接写出b的取值范围是或．6．（2024•广东一模）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在劣弧BC上，CE ⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE～△BCD；（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代数式表示）（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝，求OG的长．7．（2024•镇海区校级模拟）在矩形ABCD中，M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，以MN为直径作⊙O，连结AN交⊙O于点H，连结CH交MN于点P，AB＝8，AD＝12．（1）求证：∠MAD＝∠MHC；（2）若AM平分∠BAN，求MP的长；（3）若△CMH为等腰三角形，直接写出BM的长．8．（2024•浙江一模）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结BD交CF于点G，连结AC，DC，过点C的切线交AB的延长线于点H．（1）求证：FG＝CG．（2）求证：四边形BDCH是平行四边形．（3）若⊙O的半径为5，OF＝3，求△ACH的周长．9．（2024•五华区校级模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；（3）在点E的移动过程中，判断AN•CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10．（2024•福建模拟）已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．（1）求证：∠OAC＝∠BCD；（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．11．（2024•鹿城区校级一模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC 于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD＝∠CDF．（1）求证：DF∥AB．（2）当AB＝9，AF＝FD＝4时，①求tan∠CDF的值；②求BC的长．（3）如图2，延长AD交⊙O于点G，若，求的值．12．（2024•正阳县一模）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接OP，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B 分别位于直线OP的上下两侧）；（2）作直线AB，AB交OP于点C；（3）以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）；（4）连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．【问题】（1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；（3）若⊙O半径为2，OP＝6．依据作图痕迹求QD的长．13．（2024•泌阳县一模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E．交AD于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系：．（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为；②在旋转过程中，CF的最大值是．14．（2024•秦都区校级一模）问题提出：（1）如图①，⊙O的半径为4，弦AB＝4，则点O到AB的距离是．问题探究：（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB＝6，求△ABC面积的最大值．问题解决：（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD 区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积S△PAB +S△PCD的最小值）15．（2024•碑林区校级一模）问题探究（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件⊙A、⊙B按如图1所示的方式放置，点A到直线m的距离AC＝4，点B到直线m的距离BD＝6，CD＝5，M是⊙A上一点，N是⊙B上一点，在直线m上找一点P，使得PM+PN最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接写出PM+PN的最小值．问题解决（2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形ABCD，其中米，BC＝30米，点E、F为花园的两个入口，米，DF＝10米．若在△BCD区域内设计一个亭子G（亭子大小忽略不计），满足∠BDG＝∠GBC，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路EG所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路FG所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点G，使铺设小路EG和FG的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到边AB的距离；若不存在，请说明理由．16．（2024•雁塔区校级一模）问题发现（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．问题解决（3）有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．17．（2024•东莞市校级一模）如图①，点C，D在线段AB上，点C在点D的左侧，若线段AC，CD，DB 满足AC2+BD2＝CD2，称C，D是线段AB的勾股点．（1）如图②，C，D是线段AB的勾股点，分别以线段AC，CD，DB为边向AB的同侧作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面积分别是3，5，则正△DBG的面积是；（2）如图①，AB＝12，C，D是线段AB的勾股点，当AC＝AB时，求CD的长；（3）如图③，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．18．（2023•西湖区模拟）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；（2）在（1）的条件下，当DF＝a时，求线段BD的长度；（答案用含a的代数式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点C 作CE⊥AD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点；（3）在（2）的条件下，若点F是⊙O上一点（不与A、B、C重合），求的值．。

中考压轴题专题与圆有关的值问题(附标准答案)

B yC x A OD B O C A 与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧»AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b 的最大值.引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ).A ．3B ．6C ．332D ．33一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.A M D DOC B A 三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧»AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为；（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为．2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是．O A E B AC OD OD CE A B例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ).23322 D. 23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3 D．2例五、其他知识的综合运用1.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．2.（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．l Q P N M O A D BC E F C AD B Q P O A B D CP 【题型训练】1．如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA=5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ，若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围为 .2．已知：如图，Rt ΔABC 中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm ，点O 从A 点出发，沿AB 以每秒3cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒(t ＞0)时，以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点，过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G.（1）若点G 在线段BC 上，则t 的取值范围是；（2）若点G 在线段BC 的延长线上，则t 的取值范围是 .3．如图，⊙M ，⊙N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为( ).(A)6； (B)43； (C)3； (D)344．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为( ).(A)4 (B)215 (C)358 (D)1745．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ).A ．194B ．245C ．5D ．426．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为．7．如图，A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是( ).A ．2B ．1 C.22- D.22AQC PBO ABxyPO A xyP8．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B．113C．103D．49．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).7 B.2210．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（m n，）是第一象限内一点，且AB=2，则m n-的范围为 .12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan ABP m∠=，则m的取值范围是 .13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1. 解：C 在以A 为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°， ∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC ，tan ∠BOC=tan ∠OAC==，随着C 的移动，∠BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到x 轴点，即∠BOC ＜90°， ∴tan ∠BOC ≥，故答案为：m ≥．引例1图引例2图引例2.2a b +≤；原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作圆O ，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ．（1）求证：AE=b+a ；（2）求a+b 的最大值；（3）若m 是关于x 的方程：x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求m 的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE ，由△OAB 为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E 的度数，又由AB 为⊙D 的直径，可求得CE 的长，继而求得AE=b+a ；（2）首先过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=1，可得（a+b ） 2= a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CH •AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x 2+ax=b 2+ab ，可得（x ﹣b ）（x+b+a ）=0，则可求得x 的值，继而可求得m 的取值范围．【解答】解：（1）连接BE ，∵△OAB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB 为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a ，∴BE=2a ，CE=a ，∵AC=b ，∴AE=b+a ；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。

中考数学圆的综合-经典压轴题及详细答案

中考数学圆的综合-经典压轴题及详细答案一、圆的综合1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴¶¶BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若tan∠CAF=12，求12SS的值．【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4【解析】【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得»»»CD PB PD==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=34x，代入面积公式可得结论．【详解】（1）连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACB+∠BCD=90°，∵AD⊥CG，∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠ACB=∠G=48°；（2）∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB，∴∠BCG=∠DAC，∴»»CD PB=，∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，∴»»CD PD=，∴»»»CD PB PD==，∴∠BAD=2∠DAC，∵∠COF=2∠DAC，∴∠BAD=∠COF；（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，∵tan∠CAF=12=CF AF，∴AF=2x，∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°，∴△COF≌△OAG，∴OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x﹣a，Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，∴（2x﹣a）2=x2+a2，a=34 x，∴OF=AG=34 x，∵OA=OB，OG⊥AB，∴AB=2AG=32x，∴1213··3 22 1·24·2AB OG x xSS x xCF AF===．【点睛】圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（2）根据外角的性质和圆的性质得：»»»==；（3）利用三角函数设未知数，根CD PB PD据勾股定理列方程解决问题．3．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．∵，即．∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．4．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=5△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为52）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∵⊙P 与边AC 相切，∴BD 就是⊙P 的半径，在Rt △ABD 中，tanA=1BD 2AD =，设BD=x ，则AD=2x ，∴x 2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =，设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（52解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中， ()22356-，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5， ∴3535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC，又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键. 5．在⊙O 中，点C 是AB u u u r 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，∠ACB=120°，点I 是∠ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点D ，连结AD,BD ．（1）求证：AD=BD ．（2）猜想线段AB 与DI 的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O 的半径为2，点E ，F 是»AB 的三等分点，当点C 从点E 运动到点F 时，求点I 随之运动形成的路径长．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI ，理由见解析（323 【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI 平分∠ACB ，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD ，可求出∠BAD 的度数，再根据AD=BD ，可证得△ABD 是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD ，得出ID=BD ，再根据AB=BD ，即可证得结论；（3）连接DO ，延长DO 根据题意可知点I 随之运动形成的图形式以D 为圆心，DI 1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD 的长，再根据点E ，F 是弧AB ⌢的三等分点，△ABD 是等边三角形，可证得∠DAI 1=∠AI 1D ，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I 是∠ABC 的内心∴CI 平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.6．如图1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD﹣DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_____cm．（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣38t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=103s．【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s ，即可求出DP ；（2）由正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形，可知点P 在DE 上，求出DP =t ﹣1，PQ =3，根据MN ∥BC ，求出FN 的长，从而得到FM 的长，再根据S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ，列出S 与t 的函数关系式即可；（3）当圆与边PQ 相切时，可求得r =PE =5﹣t ，然后由r 以0.2c m/s 的速度不断增大，r =1+0.2t ，然后列方程求解即可；当圆与MN 相切时，r =CM =8﹣t =1+0.2t ，从而可求得t 的值．详解：（1）由勾股定理可知：AB =22AC BC +=10． ∵D 、E 分别为AB 和BC 的中点，∴DE =12AC =4，AD =12AB =5， ∴点P 在AD 上的运动时间=55=1s ，当点P 在线段DE 上运动时，DP 段的运动时间为（t ﹣1）s ． ∵DE 段运动速度为1c m/s ，∴DP =（t ﹣1）cm ．故答案为t ﹣1．（2）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP 时，重叠部分为五边形，∴3＞t ﹣1，t ＜4，DP ＞0，∴t ﹣1＞0，解得：t ＞1，∴1＜t ＜4．∵△DFN ∽△ABC ，∴DN FN =AC BC =86=43． ∵DN =PN ﹣PD ，∴DN =3﹣（t ﹣1）=4﹣t ， ∴4t FN -=43，∴FN =344t -（）， ∴FM =3﹣344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38t 2+3t +3（1＜t ＜4）．（3）①当圆与边PQ 相切时，如图：当圆与PQ相切时，r=PE，由（1）可知，PD=（t﹣1）cm，∴PE=DE﹣DP=4﹣（t﹣1）=（5﹣t）cm．∵r以0.2c m/s的速度不断增大，∴r=1+0.2t，∴1+0.2t=5﹣t，解得：t=103s．②当圆与MN相切时，r=CM．由（1）可知，DP=（t﹣1）cm，则PE=CQ=（5﹣t）cm，MQ=3cm，∴MC=MQ+CQ=5﹣t+3=（8﹣t）cm，∴1+0.2t=8﹣t，解得：t=356s．∵P到E点停止，∴t﹣1≤4，即t≤5，∴t=356s（舍）．综上所述：当t=103s时，⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切．点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．7．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是»AC上一动点，点E是CD中点，连接BD 分别交OC，OE于点F，G．（1）求∠DGE的度数；（2）若CFOF＝12，求BFGF的值；（3）记△CFB ，△DGO 的面积分别为S 1，S 2，若CFOF ＝k ，求12S S 的值．（用含k 的式子表示）【答案】(1)∠DGE ＝60°；(2)72；(3)12S S =211k k k +++. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE 的度数；（2）过点F 作FH ⊥AB 于点H 设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3,根据勾股定理求出BF 的长度，再证得△FGO ∽△FCB ，进而求得BF GF的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k 的式子表示出12S S 的值．【详解】解：(1)∵BC ＝OB ＝OC ，∴∠COB ＝60°，∴∠CDB ＝12∠COB ＝30°， ∵OC ＝OD ，点E 为CD 中点，∴OE ⊥CD ，∴∠GED ＝90°，∴∠DGE ＝60°；(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3∵∠COB ＝60°∴OH ＝12OF ＝1， ∴HF 33HB ＝OB ﹣OH ＝2，在Rt △BHF 中，BF 22HB HF 7=+=由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°，又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°，∴∠OGB ＝∠OCB ，∵∠OFG ＝∠CFB ，∴△FGO ∽△FCB ， ∴OF GF BF CF=， ∴， ∴BF GF =72. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1，∵∠COB ＝60°，∴OH ＝12OF=12， ∴HF=，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12，在Rt △BHF 中， BF=由(2)得：△FGO ∽△FCB ， ∴GO OF CB BF =，即1GO k =+，∴GO =过点C 作CP ⊥BD 于点P∵∠CDB ＝30°∴PC ＝12CD ， ∵点E 是CD 中点，∴DE ＝12CD ， ∴PC ＝DE ，∵DE ⊥OE ， ∴12S S =BF GO=1k +=211k k k +++【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．8．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作¶AC、¶CB、¶BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3．【解析】试题分析：（1）先求出¶AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，¶¶¶AC BC AB ==，∴¶¶AC BC l l ==¶AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为¶¶¶AC BC ABl l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，AD =12AC =32，∴OI =AI =3230AD cos DAI cos ∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I 所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n •2π•3=23n π．故答案为23n π．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出¶AC 的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的题目．9．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D在劣弧»OA上，连结BD 交x 轴于点C ，且∠COD ＝∠CBO. (1)求⊙M 的半径；(2)求证：BD 平分∠ABO ；(3)在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．【答案】（1）M 的半径r 2；（2）证明见解析；（3）点E 的坐标为262)．【解析】试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出BH=BA=22，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴e M 的半径r=12AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=263=∴点E 的坐标为（26，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.10．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M 点开始（即M 点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB ＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB 与量角器所在圆的直径MN 重合，现有射线C 绕点C 从CA 开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB ，在旋转过程中，射线CP 与量角器的半圆弧交于E ．连接BE ．（1）当射线CP 经过AB 的中点时，点E 处的读数是，此时△BCE 的形状是；（2）设旋转x 秒后，点E 处的读数为y ，求y 与x 的函数关系式；（3）当CP 旋转多少秒时，△BCE 是等腰三角形？【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；（3）分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：（1）如图2﹣1中，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴OA＝OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝60°，∴点E处的读数是60°，∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，∴∠OBE＝∠E＝30°，∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，∴△EBC是直角三角形；故答案为60°，直角三角形；（2）如图2﹣2中，∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，∵∠AOE＝2∠ACE，∴y＝4x（0≤x≤45）．（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，∵AC⊥BC，∵EO∥AC，∴∠AOE＝∠BAC＝30°，∠AOE＝15°，∴∠ECA＝12∴x＝7.5．②若2﹣4中，当BE＝BC时，易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，∴∠OBE＝∠OBC＝60°，∵OE＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝12∴x＝30，综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =23【解析】【试题分析】（1）根据直线与⊙O相切的性质，得OC⊥CD.又因为AD⊥CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC平分∠DAO.（2）①因为 AD//OC，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°.∠EOC=∠DAO=105°，在OCE②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG，因为OC=2，∠OCE=45°.等腰直角三2倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=23则EF=GE-FG=23【试题解析】（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD//OC.∴∠DAC=∠OCA.又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG∵OC=22，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.∴FG=2.∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=23.∴EF=GE-FG=23-2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.12．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，①△CBH∽△OBC②求OH＋HC的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.【解析】分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：BC HBOC BC＝，所以HB=24BC，由于BC=HC，所以OH+HC=4−24BC+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC②由△CBH∽△OBC可知：BC HB OC BC＝∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB=24 BC，∴OH=OB-HB=4-2 4 BC∵CB=CH，∴OH+HC=4−24BC+BC，当∠BOC=90°，此时∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜，令BC=x 则CH=x ，BH=24x ()221142544OH HC x x x ∴+=-++=--+ 当x=2时，∴OH+HC 可取得最大值，最大值为5点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．13．在中，，，，分别是边，的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，记直线与的交点为. （1）问题发现如图1，当时，线段的长等于_________，线段的长等于_________. （2）探究证明如图2，当时，求证：，且. （3）问题解决求点到所在直线的距离的最大值.（直接写出结果）【答案】（1）；；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD 1的长和CE 1的长；（2）根据旋转的性质得出，∠D 1AB=∠E 1AC=135°，进而求出△D 1AB ≌△E 1AC （SAS ），即可得出答案；（3）首先作PG ⊥AB ，交AB 所在直线于点G ，则D 1，E 1在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当BD 1所在直线与⊙A 相切时，直线BD 1与CE 1的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形AD 1PE 1是正方形，进而求出PG 的长．【详解】（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴AE=AD=2，∵等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，∴BD1=；故答案为：；；（2）证明：由题意可知，，，∵是由绕点逆时针旋转得到，∴，，在和中，，∴，∴，.∵，∴，∴，∴，且.（3）点的运动轨迹是在的上半圆周，点的运动轨迹是在的弧段.即当与相切时，有最大值.点到所在直线的距离的最大值为.【点睛】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．14．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．求证：（1）AD是⊙B的切线；（2）AD＝AQ；（3）BC2＝CF×EG．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】()1连接BD ，由DC AB ⊥，C 为AB 的中点，由线段垂直平分线的性质，可得AD BD =，再根据正方形的性质，可得90ADB ∠=o ；()2由BD BG =与//CD BE ，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得122.52G CDG BDG BCD ∠=∠=∠=∠=o ，继而求得67.5ADQ AQD ∠=∠=o ，由等角对等边，可证得AD AQ =； ()3易求得67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠o ，90DCF E ∠=∠=o ，即可证得Rt DCF V ∽Rt GED V ，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．【详解】证明：()1连接BD ，Q 四边形BCDE 是正方形，45DBA ∴∠=o ，90DCB ∠=o ，即DC AB ⊥，C Q 为AB 的中点，CD ∴是线段AB 的垂直平分线，AD BD ∴=，45DAB DBA ∴∠=∠=o ，90ADB ∴∠=o ，即BD AD ⊥，BD Q 为半径，AD ∴是B e 的切线；()2BD BG =Q ，BDG G ∴∠=∠，//CD BE Q ，CDG G ∴∠=∠， 122.52G CDG BDG BCD ∴∠=∠=∠=∠=o ， 9067.5ADQ BDG ∴∠=-∠=o o ，9067.5AQB BQG G ∠=∠=-∠=o o ， ADQ AQD ∴∠=∠，AD AQ ∴=；()3连接DF ，在BDF V 中，BD BF =，BFD BDF ∴∠=∠，又45DBF ∠=o Q ，67.5BFD BDF ∴∠=∠=o ，22.5GDB ∠=o Q ，在Rt DEF V 与Rt GCD V 中，67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠o Q ，90DCF E ∠=∠=o ，Rt DCF ∴V ∽Rt GED V ，CF CD ED EG∴=，又CD DE BC ==Q ，2BC CF EG ∴=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．15．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上.(1)如图1，若AC ＝3，∠CAB ＝30°，求半圆O 的半径；(2)如图2，M 是»BC的中点，E 是直径AB 上一点，AM 分别交CE ，BC 于点F ，D . 过点F 作FG ∥AB 交边BC 于点G ，若△ACE 与△CEB 相似，请探究以点D 为圆心，GB 长为半径的⊙D 与直线AC 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）半圆O的半径为3；（2）⊙D与直线AC相切，理由见解析【解析】试题分析：(1)依据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°,2再依据三角函数即可求解;(2) 依据△ACE与△CEB相似证出∠AEC＝∠CEB＝90°, 再依据M是»BC的中点,证明CF＝CD, 过点F作FP∥GB交于AB于点P, 证出△ACF≌△APF,得出CF=FP,再证四边形FPBG是平行四边形,得到 FP＝GB从而CD＝GB,点D到直线AC的距离为线段CD的长.试题解析：（1）∵ AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°．在Rt△ACB中，AB＝cos AC CAB ∠＝3 cos30︒＝23．∴ OA＝3（2）⊙D与直线AC相切.理由如下：由（1）得∠ACB＝90°．∵∠AEC＝∠ECB＋∠6，∴∠AEC＞∠ECB，∠AEC＞∠6．∵△ACE与△CEB相似，∴∠AEC＝∠CEB＝90°．在Rt△ACD，Rt△AEF中分别有∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°．∵ M是»BC的中点，∴∠COM＝∠BOM．∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5．∴ CF＝CD．过点F作FP∥GB交于AB于点P，则∠FPE＝∠6．在Rt△AEC，Rt△ACB中分别有∠CAE＋∠ACE＝90°，∠CAE＋∠6＝90°．∴∠ACE＝∠6＝∠FPE．又∵∠1＝∠2，AF＝AF，∴△ACF≌△APF．∴ CF＝FP．∵ FP∥GB，FG∥AB，∴四边形FPBG是平行四边形．∴ FP＝GB．∴ CD＝GB．∵ CD⊥AC，∴点D到直线AC的距离为线段CD的长∴⊙D与直线AC相切.。

中考数学《圆》真题压轴题总汇【附解析】

中考数学《圆》真题压轴题总汇【附解析】1．（2019•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．2．（2019•德阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连结BD、AC、CE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．3．（2019•雅安）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．4．（2019•内江）AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB 与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB＝BC；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长；（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．5．（2019•广元）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求PA的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．6．（2019•成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．7．（2019•资阳）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．8．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．9．（2019•乐山）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C 是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．10．（2019•泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．11．（2019•乐山）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC的内切圆半径．12．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．13．（2019•巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．①求证：DC是⊙O的切线．②若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．14．（2019•广安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD 交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．15．（2019•达州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．16．（2019•凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．17．（2019•遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF ＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．18．（2019•宜宾）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O 的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．19．（2019•南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．20．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．参考答案1．（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴DH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tan D＝＝＝．2．（1）证明：如图，连结OC，∵OE⊥BC，∴∠OHB＝90°，∴∠OBH+∠BOD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBH＝∠OCB，∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝90°，∴OC⊥CD，∵点C为⊙O上一点，∴DF为⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝90°，∴∠ECG+∠OCE＝90°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠ECG+∠OEC＝90°，∵∠OEC+∠HCE＝90°，∴∠ECG＝∠HCE，在△CHE和△CGE中，，∴△CHE≌△CGE（AAS）；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵DF为⊙O的切线，∴∠OCA+∠FCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FCA＝∠ABC，∴sin∠ABC＝sin∠FCA＝，设AC＝a，则AB＝3a，∴BC＝＝＝a，∵∠FCA＝∠ABC，∠AFC＝∠CFB，∴△ACF∽△CFB，∴＝＝＝，∵AF＝1，∴CF＝，∴BF＝＝2，∴BF﹣AF＝AB＝1，∴OC＝，BC＝，∵OE⊥BC，∴CH＝BC＝，∴OH＝＝＝，∴HE＝OE﹣OH＝﹣，∵△CHE≌△CGE，∴EG＝HE＝﹣．3．（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．4．（1）证明：如图1，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP+∠BAC＝90°，∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC＝90°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；（2）解：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△PBC，∴＝，即＝，解得，AP＝；（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，则OE＝BC＝AB＝×，由题意得，⊙O于MN有交点，∴OE≤r，即×≤r，解得，r≥，∵直线l与⊙O相离，∴r＜5，则使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，⊙O的半径r的取值范围为：≤r＜5．。

中考数学压轴题-圆的压轴题含解析

圆的压轴题（1）1、如图，BF 为⊙O 的直径，直线AC 交⊙O 于A ，B 两点，点D 在⊙O 上，BD 平分∠OBC ，DE ⊥AC 于点E 。

（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若 BF=10，sin ∠BDE=，求DE 的长。

2、如图，AN 是M ⊙的直径，NB x ∥轴，AB 交M ⊙于点C .(1)若点()0,6A ，()0,2N ，30ABN =∠°，求点B 的坐标；(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M ⊙的切线.x y C D M O B NA3、如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．4、已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．5、如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．6、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．7、如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．（1）求证：∠FEB=∠ECF；（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．9、如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．10、如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．11、如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．（2）求PA+PB的最小值．12、如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．13、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．14、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF ∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．15、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．16、已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD•MN．参考答案1、【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）如图，连接DF，∵BF是⊙O的直径，∴∠FDB=90°，∴∠F+∠OBD=90°，∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，∴BD=10×=2，∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，∴BE=2×=2，∴在Rt△BDE中，DE===4。

中考数学压轴题专练之圆的综合

中考数学压轴题专练之圆的综合1．（1）如图1，在⊙O中AB为直径，C为⊙O上一点，D为上一动点，E为BD上一点∠BAE＝∠CAD，①求证：△ABC∽△AED．②若⊙O半径为5，BC＝6，当D运动至中点时，如图2，求CD的长．（2）若三角形ABC形状发生变化，AB＝AC，BC＝6，点D为上的动点，且cos∠ABC ＝，求AD•AE的值．2．如图，AB是⊙O的直径，直线BM经过点B，连接AC、BC，满足∠CBM＝∠BAC．（1）求证：直线BM是⊙O的切线；（2）过⊙O上一动点C作CD⊥OA交OA于点D，过点O作OE∥AC交直线BM于点E，连接AE交CD于点F．①求证：△ACD∽△OEB；②若CD＝2，求DF的长．3．对于平面直角坐标系xOy中的点P（2，3）与图形T给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．（1）如图，⊙O的半径为2且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为，⊙O关于点P的“宽距”为．②点M（m，0）为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．（2）已知一次函数y＝x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K，都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．4．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（，0），D（0，﹣1），E（0，1），点P在线段CE上运动（点P 可以与点C，E重合），连接OP，DP．①线段OP的最小值为，最大值为；线段DP的取值范围是；②在点O，点D中，点与线段DE满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．5．已知△ABC为等边三角形，BC＝2，点D从C向A运动（包括端点C，A），以BD为直径在BD上方作半圆O，半圆O与AB交于点F，点G为AC的中点，点H为半圆弧的中点，∠CBD＝α．（1）如图1，当α＝0°时，BH＝；（2）如图2，0°＜α＜30°，半圆O是否始终经过点G，判断并简要说明理由；（3）如图3，α＝30°时，求图中阴影部分的面积S；（4）当0＜α≤60°时，直接写出AH长度的取值范围．6．如图，已知与的公共弦AB＝2，对应的圆心分别是点O，C，对应的圆心角分别是120°，180°；点N，M分别是与上的动点，且∠MAN＝60°．（1）如图1，连接OC，求OC长度；（2）连接ON，CM，若存在线段ON与CM交于点D．①如图2，当点D与点O重合时，求的值；②如图3，当点D异于点O，C时，∠MDN是否为定值？若是，求出该值；否则说明理由．（3）如图4，连接MN，直接写出MN的最小值．7．在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AC交⊙O于点F，∠A+∠C＝90°．（1）如图1，求证：CD＝BD；（2）如图2，过点D作DE⊥AB于点E，连接BF，求证：BF＝2DE；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠BDH＝∠ABF，DH交AB于点Q，连接BH，tan ∠BDE＝，EQ＝，求CF的长．8．已知AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E（点E不与O重合），连结AC，AD，AC＝AD．（1）如图1，求证：AB⊥CD．（2）如图2，过点D作弦DH⊥AC于点G，求证：＝＝．（3）如图3，在（2）的条件下，点Q为弧AD上一点，连结AQ，HQ，HQ交AB于点P，若AQ＝，DE＝3，∠HPB+2∠CAB＝90°．①求AP的长；②求⊙O的半径．9．已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线，且AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD 与⊙O的另一个交点为E，连结AE．（1）当点E在线段CD上时，如图1．①求证：△ABC∽△AED．②若tan∠ABC＝3，△AEC的面积为，求⊙O的半径．（2）当点E在直线CD上时，过点E作EH⊥AB于H，直线EH与直线BC交于点F．如图2，若时，求的值．10．在半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，延长OB到点C．使BC＝OB＝10．点D 为上的动点，点E是扇形所在平面内的点，连接OD，DE，EC，当DE＝EC＝10时，解答下列问题：论证：如图1，连接OE，DC，当OD∥EC时、求证：OE＝DC；发现：当∠DOC＝60°时，∠ODE的度数可能是多少？尝试：如图2，当点D，E，C三点共线时，求点D到OA所在直线的距离；拓展：当点E在OC的下方，且DE与相切时，直接写出∠DOC的余弦值．11．如图，AC、BD为⊙O的直径，且AC⊥BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交⊙O于M、N．（1）比较大小：cos∠OPQ sin∠OQP；（2）请你判断MP﹣NP与OP•cos∠OPQ之间的数量关系，并给出证明；（3）当∠APO＝60°时，设MQ＝m•MP，NQ＝n•NP．①求m+n的值；②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝﹣1，在Q点的移动过程中，1+﹣恒为非负数，请直接写出实数c的最大值．12．已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，交BD于点G，连接AG．（1）求证：CG＝CD；（2）如图1，若AG＝4，BC＝10，求⊙O的半径；（3）如图2，连接DF，交AC于点H，若∠ABD＝30°，CH＝6，试判断+是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．13．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，过点E作AC的平行线交BA延长线于点F．（1）求证：FE是⊙O的切线；（2）如图2，当∠BAC＝36°时，连接FD．求证：FD平分∠BFE；（3）如图3，当∠BAC＝30°，AB＝+1时，求FE的长．14．已知：BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一点，连接AB，点K在AB上，连接CK、OK，∠AKC＝2∠ABC．（1）如图1，求证：KO平分∠BKC；（2）如图2，PA、PC为⊙O的切线，切点为点A、C，求证：∠AKC+∠APC＝180°；（3）如图3，在（2）的条件下，MN是⊙O的弦，MN∥BC，分别交KC、KB于点F、G，NO的延长线交PK的延长线于点E，交AB于点D，延长KO交FG于点T，若，FN+BC＝6TO，，FG＝，求△KFG的面积．15．已知：⊙O是△ACD的外接圆，直径AB交CD于点E．（1）如图1，求证：∠ADC+∠BAC＝90°；（2）如图2，过点D作DF⊥AB于点G，交⊙O于点F，连接BF，若DC平分∠ADF，求证：BE＝BF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EK∥BF交DG于点K，在BF上取一点N，连接KN、GN，使∠EKN+∠ADC＝90°，若EK＝20，OG＝7，求线段GN的长．16．梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC于点C，AB＝10，tan B＝，⊙O1以AB为直径，⊙O2以CD为直径，直线O1O2与⊙O1交于点M，与⊙O2交于点N（如图1），设AD＝x．（1）记两圆交点为E、F（E在上方），当EF＝6时，求x的值；（2）当⊙O2与线段AO1交于P、Q时，设PQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AM，线段AM与⊙O2交于点G，分别联结NG、O2G，若△GMN与△GNO2相似，求x的值．17．数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述．小明对圆中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究．如图，在直角坐标系中，圆心M在x轴正半轴上，点P为⊙M第一象限内的一个动点，据此：【前提条件】假若sin∠ABO＝，r＝5；【探究规律】如图1，连接DP并延长交y轴于点E，那么在P点移动过程中，是否有DP•DE为定值？若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值．【归纳总结】如图2，小明发现做题越来越有意思，于是作∠ADH＝2∠ABO，BH⊥DH，交x轴于点F，连接PF，OP．点G为线段OP的三等分点（OG＜OP）．以点O为圆心，以线段OG为半径作⊙O，设⊙O半径为r，在点P移动过程中，是否有r2（17﹣15cos ∠FPO）为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值．【拓展提升】如图3，若圆心和半径大小均不固定，那么点P，A，B，C，D，M均为动点，作PT∥y轴，交动圆M于点T．Q，R两点为直线PT右侧的两个动点，并且PT＝QR．那么在点P运动过程中，是否有为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请求出其最小值．18．已知AB为⊙O直径，△PCD是⊙O内接三角形，AB＝CD．（1）如图1，求∠P的度数；（2）如图2，PD交AB于点M，作CE⊥AB交AB于点E，连接CO并延长交PD于点N，若CP平分∠ECO，求证：OM＝ON；（3）如图3，在（2）的条件下，F是⊙O外一点FC是⊙O的切线，FD∥PC，若CF﹣CO＝ON，AE＝2，求PD的长．19．如图1，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C，E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BD＝2，CD＝4，求直径AB的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OF，求tan∠BOF的值．20．等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β．（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；（2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC ＝2∠BAC；（3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM＝2α﹣45°，①求证：GM∥BC，GM＝BC；②请直接写出的值．。

中考数学圆-经典压轴题(带答案)

1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（一）（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．3.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB 于点F，连接BE．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)求证：△PCF是等腰三角形；(3)若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=。

（1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。

6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．（1）求证：△ABC∽△OFB；（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.（1）求证：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）1.【解答】：（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD；（2）解：如图，连接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC•PD=PB•PA∴PA=4也就是半径OB=4，在RT△ACB中，AC===2，∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA又∵∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，∴在RT△APF中有，，求得DF=．2解：（1）如答图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE =∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为：连接GD，如答图2所示．∵KG2=KD GE，即=，∴=，又∠KGE=∠GKE，∴△GKD ∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如答图3所示．sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在Rt△AHK 中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．.45.6.7. 8.。

2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题及参考答案

2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题1．“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．（1）【知识理解】如图1，圆O 的内接四边形ACBD 中，60ABC ∠=︒，BC AC =，①BDC ∠=；DAB ∠DCB ∠（填“>”，“=”，“<”）②将D 点绕点B 顺时针旋转60︒得到点E ，则线段DB DC DA ，，的数量关系为．（2）【知识应用】如图2，AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，猜想DA DB DC ，，的数量关系，并证明；（3）【知识拓展】如图3，已知2AB =，A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，以AB 为边往外构造等边ABC ，点C 在MDN ∠内部，若120D ∠=︒，直接写出四边形ADBC 面积S 的取值范围．2．如图1，对于PMN 的顶点P 及其对边MN 上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆心，PQ 为半径的圆与直线MN 的公共点都在线段MN 上，则称点Q 为PMN 关于点P 的内联点．在平面直角坐标系xOy 中：（1）如图2，已知点(70)A ，，点B 在直线1y x =+上．①若点(34)B ，，点(30)C ，，则在点O ，C ，A 中，点是AOB 关于点B 的内联点；②若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围；（2）已知点(20)D ，，点(42)E ，，将点D 绕原点O 旋转得到点F ．若EOF 关于点E 的内联点存在，直接写出点F 横坐标m 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（B C ''，分别是B C ，的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233A B C B C B C ，，，，，，的横､纵坐标都是整数．在线段112233B C B C B C ，，中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0A t ，，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，12AB AC ==，．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．已知：点C 为⊙O 的直径AB 上一动点，过点C 作CD ⊥AB ，交⊙O 于点D 和点E ，连接AD 、BD ，∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ．（1）若DF ＝BD ，求证：GD ＝GB ；（2）若AB ＝2cm ，在（1）的条件下，求DG 的值；（3）若∠ADB 的角平分线DM 交⊙O 于点M ，交AB 于点N ．当点C 与点O 重合时，AD BD DM+＝；据此猜想，当点C 在AB （不含端点）运动过程中，AD BD DM +的值是否发生改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于ABC 和直线l 给出如下定义：若ABC 的一条边关于直线l 的对称线段PQ 是O 的弦，则称ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，直线l 是“关联轴”．（1）如图1，若ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，请画出ABC 与O 的“关联轴”（至少画两条）；（2）若ABC 中，点A 坐标为(23)，，点B 坐标为(41)，，点C 在直线3y x =-+的图像上，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，求点C 横坐标的取值范围；（3）已知A ，将点A 向上平移2个单位得到点M ，以M 为圆心MA 为半径画圆，B ，C 为M 上的两点，且2AB =（点B 在点A 右侧），若ABC 与O 的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC 最大时AC 的长．6．如图，在⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径，且AB ⊥CD ，垂足为E ，P 为 AC 上的动点（不与端点重合），连接PD ．（1）求证：∠APD ＝∠BPD ；（2）利用尺规在PD 上找到点I ，使得I 到AB 、AP 的距离相等，连接AD （保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI ＝180°；（3）在（2）的条件下，连接IC 、IE ，若∠APB ＝60°，试问：在P 点的移动过程中，IC IE 是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段AB 和点P ，给出如下定义：若PA PB =且点P 不在线段AB 上，则称点P 是线段AB 的等腰顶点．特别地，当90APB ∠≥︒时，则称点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点．（1）已知点(20)A ，，(42)B ，．①在点(40)C ，，(31)D ，，(15)E -，，(05)F ，中，是线段AB 的等腰顶点的是▲；②若点P 在直线3(0)y kx k =+≠上，且点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点，求k 的取值范围；（2）直线33y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ．⊙P 的圆心为(0)P t ，，半径为，若⊙P 上存在线段MN 的等腰顶点，请直接写出t 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．（1）当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；（2）当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CPOQ的值．9．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．①点B '在以点E 为圆心，的长为半径的圆上；②B M '=；③DB C ' 为三角形，请证明你的结论．（2）拓展延伸当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ' 面积的最大值为；②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接PQ AQP AB E ∠=∠'，，则2B C PQ '+的最小值为．10．在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T （半径为r ）外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若0＜PQ≤2r ，则称点P 为⊙T 的伴随点．（1）当⊙O 的半径为1时，①在点A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O 的伴随点是▲；②点D 在直线y ＝x+3上，且点D 是⊙O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）⊙M 的圆心为M(m ，0)，半径为2，直线y ＝2x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．11．定义：在平面直角坐标系xOy 中，点P 为图形M 上一点，点Q 为图形N 上一点．若存在OP OQ =，则称图形M 与图形N 关于原点O “平衡”．（1）如图，已知⊙A 是以()1,0为圆心，2为半径的圆，点()1,0C -，()2,1D -，()3,2E ．①在点C ，D ，E 中，与⊙A 关于原点O “平衡”的点是；②点H 为直线y x =-上一点，若点H 与⊙A 关于原点O “平衡”，点H 的横坐标的取值范围为：；（2）如图，已知图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形．⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2．若⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，请直接写出圆心K 的横坐标的取值范围．12．阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB 是一条定线段，且90APB ∠=︒，则所有满足条件的直角顶点P 组成的图形是定边AB 为直径的O （直径两端点A 、B 除外）（1）已知：如图2，四边形ABCD 是边长为8的正方形，点E 从点B 出发向点C 运动，同时点F 从点C 出发以相同的速度向点D 运动，连接AE ，BF 相交于点P ．①当点E 从点B 运动到点C 的过程中，APB ∠的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出APB ∠的度数．②当点E 从点B 运动到点C 的过程中，点P 运动的路径是（）A ．线段；B ．弧；C ．半圆；D ．圆③点P 运动的路经长是▲．（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP ，请直接写出E 、F 运动过程中，CP 的最小值．13．对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()60A ，，(0B ．（1）在()30R ，，()20S ，，(1T 三点中，点A 和点B 的等距点是；（2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为▲；②若直线y a =上存在点A 直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围；（3）记直线AB 为直线1l ，直线2l ：33y x =-，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点（0m ≠，0n ≠），求m n ≠时，求r 的取值范围．14．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．15．如图，在ABC 中，AB BC =，30CAB ∠=︒，8AC =，半径为2的O 从点A 开始（如图1）沿直线AB 向右滚动，滚动时始终与直线AB 相切（切点为D ），当O 与ABC 只有一个公共点时滚动停止，作OG AC ⊥于点G ．（1）图1中，O 在AC 边上截得的弦长AE =；（2）当圆心落在AC 上时，如图2，判断BC 与O 的位置关系，并说明理由．（3）在O 滚动过程中，线段OG 的长度随之变化，设AD x =，OG y =，求出y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d(M ，N)，特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d(M ，N)＝0．已知：如图，点A(2-，0)，B(0，．（1）如果⊙O 的半径为2，那么d(A ，⊙O)＝，d(B ，⊙O)＝．（2）如果⊙O 的半径为r ，且d （⊙O ，线段AB ）=0，求r 的取值范围；（3）如果C(m ，0)是x 轴上的动点，⊙C 的半径为1，使d （⊙C ，线段AB ）<1，直接写出m 的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P m n ，，我们称直线y mx n =+为点P 的关联直线.例如，点()24P ，的关联直线为24y x =+．（1）已知点()12A ，．①点A 的关联直线为；②若O 与点A 的关联直线相切，则O 的半径为；（2）已知点()02C ，，点()0.D d ，点M 为直线CD 上的动点．①当2d =时，求点O 到点M 的关联直线的距离的最大值；②以()11T -，为圆心，3为半径作.T 在点M 运动过程中，当点M 的关联直线与T 交于E ，F 两点时，EF 的最小值为4，请直接写出d 的值．18．在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为.k 已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为，点M 关于圆O 的特征值为；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为.s 当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）60︒；=；DC DB DA=+（2）解：在AB 上取一点E ，使ADE BDC ∠=∠，如图所示：∵AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，∴1tan 2AC ABC BC BC =∠⋅=，∴在Rt ACB 中，52AB BC ==，∵ BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∵ADE BDC ∠=∠，∴ADE CDB ∽，∴ADAECD CB =，∴AD CB CD AE ⋅=⋅，∵ AD AD =，∴DBA DCA ∠=∠，∵ADE CDE CDB CDE ∠-∠=∠-∠，即ADC BDE ∠=∠，∴BDE CDA ∽，∴BDBECD AC =，∴BD AC CD BE ⋅=⋅，∴()AD CB AC BD CD AE CD BE CD AE BE CD AB⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅，∴AB CD AC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴122BC CD BC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴5122CD DB AD ⋅=⋅+，∴5122CD DB AD =+，即2DB AD =+，故答案为：2DB AD =+．（3）解：∵A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，120D ∠=︒，ABC 是等边三角形，∴四边形ADBC 的两个对角180ADB ACB ∠+∠=︒，∴构造四边形ADBC 的外接圆，∴根据四边形外接圆的性质可得：当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小；当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，①当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴60CBD ∠=︒，2AB BD BC ===∴1sin 602CBD S BC BD =⋅⋅⋅= ，②当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴30ACD ∠=︒，2AC =，∴tan 233AD ACD AC =∠⋅==，∴11232322233ADC S AD DC =⋅⋅=⨯= ，∴23ADC ADBC S S == 四边形；433S <≤．2．【答案】（1）解：①O ，C ②当点B 的坐标为（0，1）时，如图，此时以BO 为半径的B 与线段OA 相切于点O ，∴点O 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 移动到在y 轴左侧时，作图发现B 与x 轴有相交，且有一个交点不在线段OA 上，∴不再有OAB 关于点B 的内联点；当点B 的坐标为（7，8）时，以BA 为半径的B 与x 轴相切于点A ，∴点A 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 直线x=7的右侧时，以BA 为半径的B 与x 轴相交，且有一个交点不在线段OA 上∴不再有OAB 关于点B 的内联点；综上所述，若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围为18n ≤≤；（2）80m 555m -≤≤≤≤或3．【答案】（1）22B C （2）解：由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C '' 是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C ''与y 轴的交点为D ，连接OB '，易得B C y ''⊥轴，∴12B D DC ''==，∴32OD ==，32==，∴OA =，∴t =；当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的OA =，∴t =；（3）当1min OA =时，此时BC =；当2max OA =时，此时2BC =．4．【答案】（1）证明：∵CD ⊥直径AB ，∴ BDBE =，∵DF ＝BD ，∴ DFBD =，∴ BEDF =，∴∠1＝∠2，∴DG ＝BG（2）解：∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ，∴∠2＝∠3，由（1）知，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3，∵∠BCD ＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠4＝90°﹣∠2﹣∠3＝30°，∵AB ＝2，∴BD ＝1，在Rt △BCD 中，∠1＝30°，∴BC ＝12BD ＝12，在Rt △BCG 中，∠3＝30°，∴CG ＝＝6，∴BG ＝2CG ＝33，由（1）知，DG ＝BG ＝33（3）5．【答案】（1）解：如图1，作BM ⊥x 轴，垂足为M ，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°，∴∠EFB=90°，∴四边形ABFE 是正方形，∴边AE ，BF 的中点所在直线就是ABC 与O 的一条“关联轴”；∵O 的半径为1，∴，且∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，∵∠EFG+∠EFB=180°，∴B 、F 、G 三点共线，∴直线EF 是ABC 与O 的一条“关联轴”．（2）解：如图2，根据A （2，3），B （4，1），C （4，1），计算2=，故AB 不能落在圆的内部；过点A 作AN ⊥y 轴，垂足为N ，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时0C x =；作点B 关于x 轴的对称点P ，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时4C x =，综上所述，点C 横坐标的范围是04C x ≤≤．（3）解：OC 的最小值为2-；OC 最大，根据勾股定理，AC=4.6．【答案】（1）证明：∵直径CD ⊥弦AB ，∴ AD BD=，∴∠APD=∠BPD ；（2）解：如图，作∠BAP 的平分线，交PD 于I ，证：∵AI 平分∠BAP ，∴∠PAI=∠BAI ，∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI ，∵ AD BD=，∴∠DAB=∠APD ，∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI ，∴∠AID=∠DAI ，∵∠AIP+∠DAI=180°，∴∠AIP+∠DAI=180°；（3）解：如图2，连接BI ，AC ，OA ，OB ，∵AI 平分∠BAP ，PD 平分∠APB ，∴BI 平分∠ABP ，∠BAI=12∠BAP ，∴∠ABI=12∠ABP ，∵∠APB=60°，∴∠PAB+∠PBA=120°，∴∠BAI+∠ABI=12（∠BAP+∠ABP ）=60°，∴∠AIB=120°，∴点I 的运动轨迹是 AB ，∴DI=DA ，∵∠AOB=2∠APB=120°，∵AD ⊥AB ，∴ AD BD=，∴∠AOB=∠BOD=60°，∵OA=OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴AD=AO ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠CAD ，∵∠ADC=∠ADE ，∴△ADE ∽△CDA ，∴AD DE CD AD=，∴AD 2=DE•CD ，∵DI′=DI=AD ，∴DI 2=DE•CD ，∵∠I′DE 是公共角，∴△DIE ∽△DCI ，∴2IC CD IE DI==．7．【答案】（1）解：①C(4，0)，E(-1，5)；②（Ⅰ）当点(40)，在直线3y kx =+上时，430k +=，34k =-；（Ⅱ）当点(31)，在直线3y kx =+上时，331k +=，23k =-；（Ⅲ）当点(22)，在直线3y kx =+上时，232k +=，12k =-；结合图象可得3142k -≤≤-且23k ≠-；（2）解：直线333y x =-+与x 轴的交点M 坐标为()30，，与y 轴交点N 的坐标为(03，，∴tan 3NMO ∠=，∴30NMO ∠=︒，如图，作出线段MN 的垂直平分线，如图为两个临界情况：，利用待定系数法求得MN 垂直平分线解析式为y =，∴(0R -，，12230ORQ P RQ ∠=∠=︒，∴1112PR PQ ==，2222P R P Q ==，∴(10P ，(20P -，，∴t -≤<．8．【答案】（1）A 、B 、D（2）解：如图，依题意作⊙O 的“等直三角形”△TQP∴TQ=PQ ，∠TQP=90°过Q 点作MH //x 轴，交y 轴于M 点，过点P 作PH ⊥MH 于H 点∴∠TMQ=∠QHP=90°∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°∴∠MTQ=∠HQP∴△TMQ ≌△QHP （AAS ）∴TM=QH ，MQ=HP设Q （x ，y ）∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y ，PH=MQ=x∴P （x-y+3，x+y ）∵C （3，0）∴∵∴CP OQ ．9．【答案】（1）BE ；3332-；等边；证明：B′D=BC CD ==，∴△DB'C 为等边三角形（2）310．【答案】（1）B ，C ；解：②如图2中，设点D 的坐标为(3)d d +，当过点D 的切线长为22r =时，OD ==由两点之间的距离公式得：OD =解得1221d d =-=-，结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d -≤≤-；（2）解：对于22y x =-当0y =时，220x -=，解得1x =，则点E 的坐标为(10)E ，当0x =时，2y =-，则点F 的坐标为(02)F -，⊙M 的半径为2，⊙M 的圆心为(0)M m ，24r ∴=，OM m=由题意，由以下两种情况：如图3-1中，点M 在点E 的右侧设FT 是⊙M 的切线则有两个临界位置：4FT =和点E 对应的切线长为0当4FT =时，则4OM m FT ===当点E 对应的切线长为0，即2EM =12EM m ∴=-=解得3m =结合图象得，当34m <≤时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点②如图3-2和3-3中，点M 在点E 的左侧则有如下两个临界位置：如图3-2，设ET 是⊙M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，2222245EM MT ET =+=+此时15m -=解得15m =-如图3-3，当⊙M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT∵(10)(02)E F -，，，∴12OE OF ==，∴22125EF =+=∵EF 是切线∴EF MT⊥∴90MTE FOE ∠=∠=︒∵MET FEO∠=∠∴MTE FOE~ ∴EM MTEF OF =，即22=解得EM =，即1m -=解得1m =-结合图象得，当11m -≤<-时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点综上，m 的取值范围是11m -≤<-或34m <≤．11．【答案】（1）点C 、D ；22H x -≤≤-或22H x ≤≤（2）解：图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形，∴原点O 到正方形的最短距离是1d =，最长距离是d =，⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，∴原点O 到⊙K 上一点的距离1d ≤≤，⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2，∴当⊙K 在x 轴正半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x -≤≤+，当⊙K 在x 轴负半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x --≤≤，综上所述，圆心K 的横坐标的取值范围22x -≤≤+或22x --≤≤．12．【答案】（1）解：①90°；②B ；③2π（2）解：413．【答案】（1）S(2，0)（2）解：①（4，0）或（8，0）；②如图，设直线y a =上的点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ．点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，QA QC ∴=．22QA QC ∴=．点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为()Q x a ，．()()22262x a a ∴-+=--⎡⎤⎣⎦．整理得2123240x x a -+-=．由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．()()()212413241610a a ∴∆=--⨯⨯-=+≥．解得1a ≥-．（3）解：如图．直线l 1和直线l 2的等距点在直线l 3：33y x =-+上，直线l 1和y 轴的等距点在直线4l y =+：或33y x =+上，点O 与l 4的距离为32，点O 与l 3的距离为，点O 与l 5的距离为3，当r ＜时，n=0不符合题意，当r=时，m=2，n=0，符合题意，当＜r ＜3时，m=n=2，不符合题意，当r≥3时，m=2，n=3或4，符合题意，综上所述，r=或r≥3.14．【答案】（1）C（2）解：∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．∴AP ＝BP ＝＝2，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE＝，∴OE＝12AG＝1，∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣1﹣≤x k≤1﹣或﹣1≤x k≤1+（3）解：分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝12x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝ON EFOH FH＝36＝12，设EF＝a，则FH＝2a，EH＝a，∴OE＝6﹣a，Rt △OEP 中，OP ＝1，EP ＝a ，由勾股定理得：EP 2＝OP 2+OE 2，∴2221(6)a =+-，解得：a ＝2+（舍去）或2，∴QG ＝2OE ＝2（6﹣a ）＝﹣3+2，∴m≤3﹣2；②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝12x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，同理得QG ＝3+2，∴m≥3+2，综上，m 的取值范围是m≤3﹣2或m≥3+215．【答案】（1）2（2）解：BC 与O 相切；理由：如图2，过点O 作OH BC ⊥于H ，连接OD ，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，在Rt AOD 中，30BAC ∠=︒，∴24OA OD ==，∵8AC =，∴4OC =，在ABC 中，AB BC =，∴30C BAC ∠=∠=︒，在Rt OHC 中，30C ∠=︒，∴122OH OC OD ===，∴BC 与O 相切，（3）解：①当点O 在AC 的左侧时，连接OD 交AC 于F ，如备用图1，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，∵OG AC ⊥，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FDA 中，tan FD BAC AD ∠=，∴tan 3FD AD BAC x =⋅∠=，∴23OF x =-，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG ⎛⎫==⋅∠=-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭，即12y x =-+，此时x 的取值范围为0x ≤≤；②当点O 在AC 的右侧时，连接DO 并延长交AC 于F ，如备用图2，同①的方法得，33FD x =，∴23OF x =-，∵FD AB ⊥，∴90BAC AFD ∠+∠=︒，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG x x ⎛⎫==⋅∠=-⨯- ⎪⎪⎝⎭，即12y x =-，此时x 的取值范围为1433x ≤≤．16．【答案】（1）0；2-（2）解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2OA OB ==，，∴4AB ==，∵1122OA OB AB OD ⋅=⋅，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO =，∵d （⊙O ，线段AB ）=0，∴当⊙O 的半径等于OD 时最小，当⊙O 的半径等于OB 时最大，∴r r ≤≤（3）43423m -<<-17．【答案】（1）2y x =+（2）解：①当2d =时，()20D ，，设直线CD 的解析式为：y kx b =+，()02C ，，202k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为：y x =-+，设点M 的坐标为()2m m -+，，∴点M 的关联直线为：()212y mx m m x =-+=-+，∴点M 的关联直线经过定点()12N ，，如图2，过点O 作直线2y mx m =--+的垂线，垂足为H ，连接ON ，ON OH ∴≥，∴当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M=；2 d=②或2 3-18．【答案】（1）；3（2）解：设点G是O的特征值为4的点，∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条，经过点G的直线被O截得的弦长的最小值为2，=，∴关于O的特征值为4的所有点都在以O为半径的圆周上，直线y x b=+分别与x，y轴交于点A、B，()0A b∴-，，()B b，，OA OB b∴==，45OBH∴∠=︒，当0b>时，线段AB与以O为半径的圆相切时，点G特征值为4，设切点为为H，连接OH，则OH=，OB∴==，b∴=，设以O 为半径的圆与y 轴正半轴的交点记为1B ，则1OB =，当线段AB 与以O 1B 时，可得b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤，综上，b b b ≤≤-≤（3）当372122t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=。

中考数学圆经典压轴题(带答案)

1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ．(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)求证：△PCF 是等腰三角形；(3)若tan ∠ABC=34，BE=72，求线段PC 的长．4.5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=。

（1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。

6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．（1）求证：△ABC∽△OFB；（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点，射线AP交l 于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.9.（1）求证：△PAC∽△PDF；10.（2）若AB=5，，求PD的长；11.（3）在点P运动过程中，设，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）1.【解答】：（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD；（2）解：如图，连接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC•PD=PB•P A∴P A=4也就是半径OB=4，在RT△ACB中，AC===2，∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA又∵∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，∴在RT△APF中有，，求得DF=．2解：（1）如答图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为：连接GD，如答图2所示．∵KG2=KD GE，即=，∴=，又∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如答图3所示．sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．.45.6.7.百度文库- 让每个人平等地提升自我8.。

初三圆总复习难题压轴题

1. （2014?上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=45，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）联结AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．2. （2014?浙江杭州）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣x，y=x的图象分别是直线l1，l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l1，l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标．（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．3. （2014?江苏苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．4. （2014?江苏苏州,第28题9分）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．5. （2014?江苏徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．．6.（2014?山东淄博）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB=30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．7．（2014?浙江湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t ＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．8. （2014?湘潭）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．（第1题图）9. （2014?株洲）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形AB C．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．（第5题图）10.（2014?湖北宜昌）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与?ABCD的面积之比．11．（2014?四川成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB 的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．（1）求证：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）12. （2014?湖北荆门）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O 为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．（1）求证：四边形ABHP是菱形；（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．第3题图13．（2014?莱芜，第23题10分）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；（2）求EF?EC的值；（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．14. （2014?乐山，第26题12分）如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线O1、O2相交于点M，且tan∠AM01=，MD=4．（1）求⊙O2的半径；（2）求△ADB内切圆的面积；（3）在直线l上是否存在点P，使△MO2P相似于△MDB？若存在，求出PO2的长；若不存在，请说明理由．15. （2014?攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．16.（2014?广西来宾）如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C 在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．（1）直接写出AE与BC的位置关系；（2）求证：△BCG∽△ACE；（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．17．（(2014年广西南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．18．（2014?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A 点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．19、（2014年江苏南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC 的内切圆．（1）求⊙O的半径；（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．20、（2014?济宁）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC?r+AC?r+AB?r=（a+b+c）r．∴r=．（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图（3），在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值．。

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