勾股定理的应用1
勾股定理的应用(1)
S3
S2
S1
心,在森林公园附近有 B、C 两个村庄,现要在 B、C两
村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,
经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森
林公园?请通过计算说明.
解： ∵∠B=60°,∠C=30°，
400
A
∴∠BAC=90°
∴AB=½ BC=500m,
由AC勾股定10理00，2 得5002 500 3 60° ┐
l h
┐
b
解：10 1.52 32 33.5(m2 )
5. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发， 现有A处需要爆破.已知点A与公路上的停靠站B,C的距离 分别为400m和300m,且AC⊥AB.为了安全起见，如果爆 破点A周围半径250m的区域内不能有车辆和行人，问在 进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么？
解：由勾股定理，得 A
BC AB2 AC 2 l 2 h2 122 82
4 5 8.9(m)
lh
B
C
答：点B离电线杆底部点C的距离
约为8.9米.
4. 如图要修一条塑料蔬菜大棚，棚宽 b=3m,高 h=1.5m, 长 l=10m.求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜需要多少平方 米？（精确到 0.1m²）
解：过A作AD⊥BC,垂足为D.
甲
由勾股定理，得
B
BC²=AB²+AC²=400²+300²=250000
∴BC=500
D
勾股定理的应用一(蚂蚁爬行最短路线问题)
勾股定理的应用（1）-—蚂蚁爬行最短路线问题班别：_____________姓名：_________________学号：_________1、如图，一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（ 取3）是( )A.20cm B。
10cm C。
14cm D。
无法确定2、一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是多少?3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．（Ⅰ）如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的（）（A）1cm＜l＜3cm （B)2cm (C）3cm这样的最短路径有_________条．（Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm,宽DF=2cm，高AB=1。
5cm的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置,请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明)AB4、如图所示：有一个长为3米，宽为1米,高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点,则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。
若从A 点开始绕4个侧面两圈爬到B 点，最短路径长为____________。
5、一个圆柱体元件，底面半径为3,现要在其侧面绕线圈。
(1）若从A 点出发，绕侧面1圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。
(结果保留π)（2）若从A 点出发，绕侧面5圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。
(结果保留π)B A 6m 3m 1m。
2.7勾股定理的应用1
A B
C
解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AC2 BA2 2.952 1.362 BC= =
≈2.62(km)
BA+AC≈1.36+2.95=4.31(km),
(BA+AC)－BC≈4.31-2.62=1.69≈1.7(km). 答:直接走湖底隧道比绕道BA和AC减少行程约1.7km.
一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
8m
C
B
2m 8m
3. 一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内 部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯 里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 多长？
A
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
D
A A
B C
如图是一个正方体盒子，在正方体 下底部的A点有一只蚂蚁，它想吃到上 底面B点的食物(BC=3cm)，需爬行的最 短路程是多少？
A’
C
B
B’
A 1.如图,太阳能热水器 的支架AB长为90cm, 与AB垂直的BC长 120cm.太阳能真空管 AC有多长?
C
B
2. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵 高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ） A.7m B.8m C.9m D.10m
A
初中数学八年级下册 （苏科版）
2.7勾股定理的应用(1)
A
G
B C D E F
如果知道桥面以上的索塔AB的高， 怎样计算拉索AC、AD、AE、AF、 AG的长？
复习回忆
直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方
A
a2+b2=c2 AC2+BC2=AB2
勾股定理在生活中的应用
勾股定理在生活中的应用
勾股定理又称勾股论，即毕达哥拉斯设计的一个无理定理：“任意三角形的两边之积等于另外一边的平方之和”。
这个定理具有广泛的应用：
1、勾股定理在日常生活中可以用来确定三角形各边之间的关系：例如可以判断其中一边是不是一个倍数关系或者一个反比例关系。
通过建立对应方程，容易得到三角形三边的数值，作为三角形的参数。
2、也可以依据勾股定理来测量距离。
例如，构建一个直角三角形，让其一条边固定为一个值，我们使用两个斜边长度表示其他边的长度。
可以用i中国的三角测量法来求得某个距离的长度。
3、另外可以用勾股定理判断特殊的三角形。
例如可以判断一个三角形是不是等腰三角形、等边三角形或是直角三角形，只需要判断两边之积是否等于另外一边的平方之和。
4、勾股定理在空间中也有极大的作用，尤其是研究四面体或是更高维度的几何图形时。
例如可以用它来判断四面体的面面角是否都相等，以及求出该四面体的各个角。
另外还可以用它来求棱锥的体积、双曲线的起始点和极点等。
5 、另外勾股定理在物理学中也有广泛的应用，比如可以分析绳子长度或梯形长宽间的关系等。
总之，勾股定理由其卓越的简洁得到广泛应用，从日常生活到飞空实验都能发挥着无穷的作用，它被越来越多的人向科学家们赞美。
勾股定理的应用1
C
B
A
1，你能从点A到点B沿圆柱侧面 画出几条路线，你觉得哪条线路 最短呢？
C
B
A
2，将圆柱侧面开展成一个长方形， 从点A到点B的最短路线是什么？
C
B
C
B
A
A
3.蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿 圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (圆柱体的底面周长为18cm, 高AC为12cm)
C
B
C
B
3.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一 只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
A
A
4,若蚂蚁先从点A 直接向上爬到点C， 然后再从点C沿底 C 面直径爬到点B， 这样爬的总路程与 沿圆柱侧面爬行的 A 最短路程比较，哪 条最短？
B
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂直于底边AB，但 他随身只带了卷尺， 1.你能替他想办法完成任务吗?
D C
A B
2,李叔叔量得边AD长是30cm,边AB 长是40cm，点B,D之间的距离是 50cm,边AD垂直于边AB吗？ 3，小明随身只有一个长度 为20cm的刻度尺，他能有办法 检验边AD是否垂直于边AB吗？ 边BC与边AB呢？
这是测量 B
3 勾股定理的应用举例 (一 )
A
B
C
B 勾a C 弦c 股b
一、 勾股定理： 字母表示：
如果在Rt∆ABC中，
14.2勾股定理的应用1
14.2章勾股定理的应用（1）教学目标：1、能够灵活运用勾股定理的性质和判定。
2、能用勾股定理解决直角三角形的一些问题。
3、把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”性质来解决最短路程问题。
复习导学：1、如果在Rt∆ABC中，∠C=90°那么直角三角形的两条直角边的等于它斜边的。
2、如果三角形的三边长a 、b 、c满足那么这个三角形是直角三角形。
课堂研讨：问题1：甲船以每小时30海里的速度，从A处向正北方向航行，同时乙船从A处以每小时40海里的速度向正西方向航行，两小时后，甲、乙两艘轮船相距多少海里？解：如图，在Rt∆ABC中，BC2=BC＝（海里）答：甲乙两船相距海里。
问题2：甲船在港口A正南方向60海里的B处向港口行进，同时，在甲船正东方向80海里的C处有乙船也向港口行进,甲船的速度为30海里/时,乙船的速度为40海里/时.问: 1.甲、乙两船谁先到达港口?2.先到的船比后到的船提前几小时?挑战“试一试”:一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由。
最短路程问题：1、一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的中点O，试求出爬行的最短路程。
（精确到0.1）2、在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋友吃东西时留下一点食物在B处，恰好一只机灵而勇敢的蚂蚁路过A处（A在B的对面），它的触角准确的捕捉到了这个信息，并迅速的传给它的小脑袋，于是它迫不急待的想从A处爬向B处。
聪明的同学们，你们想一想：蚂蚁怎样走最近？练一练：如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？课堂小结：１.要记住勾股定理及逆定理的内容。
２.把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”性质来解决最短路程问题。
课堂作业：课本５８页，练习题第１、２题课本６０页，习题第３、６题课后反思：。
勾股定理的应用1
总结： 运用勾股定理解决实际问题,关键在于 “找”到合适的直角三角形.
例2.一辆卡车装满货物后，能否通过如图所示的 工厂厂门？卡车高2.5m,宽1.6m,说明你的理由.
Ｃ
Ａ
o
Q
2m
Ｂ
Ｄ
分析：由于厂门宽度足够，所以卡车 能否通过，只要看当卡车位于厂门正 中间时其高度是否小于ＣＨ，如图所 示，点Ｄ在离厂门中线 ０．８米处，且ＣＤ⊥AB，与地面 交与H，又知ＤＨ＝２．３ｍ，只需 求ＣＤ，在直角△ＣＯＤ中即可求得 已知ＯＣ＝１ｍ，ＯＤ＝０．８ｍ．
（一） 直接运用勾股定理求边
1.已知：直角△ABC中，∠C=90°，
a=2, b=6 c 的值 若若 a=3, b=4, 求，求 c 的值。
2、若直角三角形的三边长分别为 12或 20 ． 2、 4、 x，则x=_____
勾股定理的综合应用
例1.如图，一圆柱体的底面周长为20㎝，高AB为4 ㎝，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发， 沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路 程。（精确到0.01 ㎝）
2
（该题是2006年广东省中考题）
2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m， 两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
A
8m
E
C
2m
B
8m
D
3.在一棵树的20米的B处有两只猴子,其中一 只猴子爬下树走到离树40米的A处,另一只爬 到树顶D后直接跳向A处,且测得AD为50米,求 BD的长.
勾股定理的应用
学习目标：
• 1.学会利用勾股定理解决实际问题； • 2.会在图形中寻找勾股定理的切入点； • 3.培养自己的计算能力。
回顾：勾股定理
勾股定理的应用
勾股定理的应用（一）【知识梳理】1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则有2．勾股定理逆定理（直角三角形判定定理）：如果三角形的三边长a,b,c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形.3．常用勾股数：① a=3 b=4 c=5② a=5 b=12 c=13③ a=7 b=24 c=25④ a=9 b=40 c=414.勾股定理实际应用：①已知直角三角形的两边，求第三边；②利用三边关系来判定直角；③用于证明含有平方关系的式子；④借助勾股定理来构造方程，解决实际问题【典例精讲】一、利用勾股定理求边长已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）A ．5B ．25C ．7D ．5或7举一反三：△ABC 中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC 的周长是( )A.42B.32C.42或32D.37或33二、利用勾股定理判断三角形形状已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，则它的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形举一反三：△ABC 的三边a,b,c 满足ac bc ab c b a ++=++222则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ． 直角三角形D ．等腰直角三角形三、勾股定理与折叠问题如图，在△ABC 中，∠C=900，AC=3，BC=4，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，求BD的长。
举一反三：把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ． 若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，（1）重叠部分△DEF 的面积是多少cm 2?（2）求EF 的长。
四、勾股定理与面积问题如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S 1=30，S 2=40，则S 3=_______．举一反三：有一块土地形状如图所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。
勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理是古希腊数学家勾股所提出的，它表明了一个有三个正整
数组成的三角形的三条边（a,b,c）之间的关系，即a^2+b^2=c_2，主要
用于计算三角形中各边的长度，这个定理应用广泛。
1. 三棱锥和其他几何体
勾股定理在解决三角形问题的同时也有助于计算立体几何图面的表面
积和体积，特别是可以用来计算三棱锥的表面积和体积，对于任何一
个具有两个边长的三棱锥，可以使用勾股定理来求解它的底面和顶面
之间的距离，从而算出它的表面积和体积。
2. 建筑计算
勾股定理在建筑计算中也有用到，它可以帮助计算建筑物外墙和屋顶
坡度的高度，或者确定其他三角形形状建筑物的高度。
同时，屋面的
坡度也可以使用勾股定理来计算，因为屋面的坡度也是一个三角形，
勾股定理可以用来确定屋面的高度和角度。
3. 水利
建纳水利也是勾股定理的常用应用，它可以用来计算水渠或水坝底开
口的高度。
由于受水库底部和上部水平面之间的水头高度受到引水渠
容积受限，进一步受到引水渠斜度限制，那么可以使用勾股定理来求
解引水渠底开口高度。
因此，可以用勾股定理确定引水渠中水的流量，从而计算出正确的储水渠的容积。
4. 导航测量
导航测量中也使用到勾股定理，比如用它来计算从某一特定点到特定方位的垂直距离。
对角线距离也可以通过使用勾股定理来进行计算，这是由于当测量站和要测量的点之间存在着三角形关系，用勾股定理就可以求出两点之间的距离。
勾股定理的应用
勾股定理的应用勾股定理是数学中一条基本而重要的定理，也被广泛应用于各个领域。
它描述了直角三角形中三条边之间的关系，为计算直角三角形中未知边长、角度等提供了有效的工具。
本文将探讨勾股定理在几个实际问题中的应用。
一、建筑与测量1.地量测绘勾股定理的应用在地量测绘中非常广泛。
测量一个区域的边长和角度时，可以利用勾股定理来计算直角边的长度。
例如，测量一个房屋的原型，通过测量两个直角边的长度，可以用勾股定理计算出斜边的长度，从而得到房屋的真实尺寸。
2.建筑设计勾股定理在建筑设计中也有重要的应用。
设计师可以根据建筑的具体需求，利用勾股定理计算出建筑物各个部分的长度和角度。
例如，在设计一个大厦的楼梯时，可以根据勾股定理计算出楼梯的长度和高度，以保证楼梯的坡度合理。
二、物理学中的应用1.力学在力学中，勾股定理可以用来求解物体的速度和加速度。
例如，需要计算一个物体在竖直上抛运动中的速度和加速度时，可以利用勾股定理计算出物体在水平方向和竖直方向的速度分量，从而得到物体的总速度。
2.光学在光学中，勾股定理被广泛应用于光的折射和反射问题中。
光的折射定律和反射定律可以通过利用勾股定理推导得出。
例如，在设计光学系统时，可以利用勾股定理计算出光线的折射角度和反射角度，以确定光线的传播路径。
三、电子技术中的应用1.电路设计在电子技术中，勾股定理可以用于计算电路中的电阻、电流和电压之间的关系。
例如，在设计一个交流电路时，可以利用勾股定理计算出电阻和电流之间的关系，从而确定电路的工作状态。
2.无线通信在无线通信技术中，勾股定理被用来计算信号的传播距离和路径损耗。
例如，在设计一个无线网络时，可以利用勾股定理计算信号的传播距离和路径损耗，从而确定网络的覆盖范围和信号强度。
总结：勾股定理作为一条基本的数学定理，在各个领域都有广泛的应用。
无论是在建筑测量、物理学还是电子技术中，勾股定理都发挥着重要的作用。
通过合理地应用勾股定理，我们可以解决各种实际问题，提高工作效率和准确性。
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用勾股定理是中国古代数学的一大发明，也是数学中最基础、最重要的定理之一。
它描述了直角三角形中三边的关系，被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
本文将介绍勾股定理的原理以及它在实际问题中的应用。
一、勾股定理的原理勾股定理可以用数学公式表示为：在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾股定理可以得出以下公式：a² + b² = c²这个公式是勾股定理的基本表达式，它是通过对直角三角形的三边进行数学推导得出的。
二、勾股定理的应用1. 解决几何问题勾股定理在几何学中有广泛的应用。
例如，可以通过已知直角边的长度来计算斜边的长度，或者通过已知斜边和一个直角边的长度来计算另一个直角边的长度。
通过勾股定理，我们可以解决诸如直角三角形的边长计算、角度计算等几何问题，对于建筑设计、地理测量等领域都有重要意义。
2. 测量地理距离在地理学中，我们often需要计算地球表面上两点之间的直线距离。
由于地球是球状的，所以实际距离不能直接通过直线距离计算得出。
但是在较小的地理范围内（例如一个城市、一个国家等），可以将地球表面近似为平面，这样就可以使用勾股定理来计算两点之间的近似直线距离。
3. 解决物理问题勾股定理也在物理学中得到了广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以通过勾股定理计算一个斜面上物体的重力分量和斜面的角度之间的关系；在光学中，勾股定理可以用来计算光的传输路径和折射角度等。
4. 三角函数的应用勾股定理与三角函数之间存在紧密的关系。
通过勾股定理，我们可以定义正弦、余弦和正切等三角函数。
这些三角函数在科学计算、电子工程、信号处理等领域中有广泛的应用，例如在无线通信中，计算机图形学中，音频信号处理中等。
总结：勾股定理作为数学中的重要定理，不仅仅是理论的产物，更是实践中的有力工具。
它的应用广泛涉及到几何学、物理学、工程学等多个领域。
勾股定理的应用(3种题型)
第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。
人教版 勾股定理的应用一
（2013•包头中考）如图，一根长 6 3 米的木棒AB，斜靠在与 地面OM垂直的墙ON上，与地面的倾斜角∠ABO为60°． 当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′． （1）求OB的长； （2）当AA′=1米时，求BB′的长．
OA AB 2 OB 2 9
∵A'O=AO-AA',且AA'=1 ∴A'O=8 在Rt△A'OB'中，根据勾股定理可得，
OB ' A ' B '2 A ' O 2 11
2
∴BB'=OB'-OB=2 11 - 3 3 ∴ BB'的长为 (2 11 3 3) 米。
勾股定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的应用
自主学习提纲
例1. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m， A 宽2.2m的木板能否从门框内通过?为什么?
1.“木板能否通过”是由哪个尺寸决定的。 2.找出已知条件和要求的量。 3.写出解题步骤，注意规范。 D 2m
B C 1m
例2.一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的 A 墙AO上,这时AO为2.4m,如果梯子的顶端A C 沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
（2013•包头中考）如图，一根长 6 3 米的木棒AB，斜靠 在与地面OM垂直的墙ON上，与地面的倾斜角∠ABO为60°．当 木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′． （1）求OB的长； （2）当AA′=1米时，求BB′的长．
勾股定理的八大应用
勾股定理的八大应用
1. 测量直角三角形边长和角度：勾股定理可以用来确定直角三角形的斜边长，也可以用来计算两侧的直角边的长度。
它还可以用来计算三角形角度。
2. 计算斜率和距离：勾股定理可以用来计算误差，比如在工程学中，测量仪器的精度可以通过勾股定理来检验。
3. 计算面积和体积：勾股定理可以用来计算任意形状的物体的表面积和体积。
4. 面对三角形和圆形的圆角问题，勾股定理可以帮助我们解决。
5. 在游泳、篮球和足球比赛中，勾股定理可以帮助我们预测运动员的最终目标。
6. 在数学中，勾股定理是三角函数的基础，可以用来证明一些三角函数的恒等式。
7. 勾股定理可以用来推导其他数学和物理方程的解，如波动方程。
8. 勾股定理也可以用于解决实际问题，例如构建建筑物或在电路中设计电路。
勾股定理的纯数学应用
勾股定理的纯数学应用
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在实际生活中，勾股定理有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.计算面积：通过使用勾股定理，可以计算出不规则图形的面积。
例如，在
计算梯形、三角形和圆形的面积时，可以使用勾股定理来确定某些边长或
半径的长度。
2.确定高度：在建筑和工程领域，勾股定理可以用于确定建筑物或构筑物的
高度。
例如，如果已知一个建筑物的底部长度和宽度，以及其高度与底部
长度的比值，可以使用勾股定理来计算其高度。
3.设计图形：在设计和艺术领域，勾股定理可以用于设计各种形状和图案。
例如，可以使用勾股定理来设计具有特定比例和对称性的图形，如等边三
角形、正方形和圆形。
4.测量距离：在测量和测绘领域，勾股定理可以用于测量距离。
例如，可以
使用勾股定理来测量两点之间的距离，或者计算某一点到某一直线的距离。
5.确定时间：在天文学领域，勾股定理可以用于确定天体的位置和时间。
例
如，可以使用勾股定理来计算太阳系中的行星和卫星的位置，以及计算地
球的自转和公转周期。
总的来说，勾股定理是数学中的一个重要工具，它在实际生活中的应用非常广泛，包括建筑、工程、设计、艺术、测量、天文学等领域。
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最短路线问题：请同学们阅读120页例1,动手操作并思 考下列问题：（1）自制一个圆柱，尝试从A点到C点 沿圆柱侧面画出几条路线，你认为能画多少条路线？ （2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点 到C点的最短路程是什么？为什么？如何求线段AC 的长度？
我怎 么走 会最 近呢?
B
C
B
C
A
A
B
C
10cm B 高 4cm A
C
A
长20cm
解:将圆柱如图侧面展开.在Rt△ABC中, ∵ ∠ABC=900 AB =4cm BC=10cm 根据勾股定理可知 AC2=AB2+BC2 AC2=42+102=16+100=116 ∴ AC≈10.77(cm) 答:蚂蚁爬行的最短路程约是10.77cm.
§14.2 勾股定理的应用（1）
内乡初中数学组 庞玖贤
【学习目标】
1、能熟练利用勾股定理求出线段 的长； 2、树立数形结合思想； 3、能将实际问题转化为数学问题， 建立数学模型。
1.勾股定理： (1)直角三角形两直角边 平方 和等于 斜边 的______ ______ 的平方．就是说， 对于任意的直角三角形，如果它的两条 直角边分别为a、b，斜边为c，那么一 2+b2=c2 a 定有： .这就是勾股定理． 三边之间 (2)勾股定理揭示了直角三角形 ______ 的数量关系，是解决有关线段计算问题 的重要依据。
B
五、当堂达标检测
3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、 高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶 两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去 吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最 20 短路程是_________ 25dm A
3
A
20 2 3
2 3 2 3
2
B
B
六、反思与评价
4
D
3
C
图①
C
5
3
.B
B
3
. A
C
4
Dห้องสมุดไป่ตู้
2
C
5
4 8 80
2
D A 4 图②
C
5
4
.B
B
4
.A
D
3C
C
5
3 9 90
2 2
D
3
A
图③
五、当堂达标检测
1.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm， 一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B 点，则最少要爬行 cm 5。 2.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长 A 方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么 它所爬行的最短路线的长是 _________ 10
B
C 1
2
B
A
A
三、小组交流 :
如图，在长是4cm、宽是3cm，高是5cm 的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿 纸箱表面爬到顶点B处，求它所行的最短路 线的长。 (分小组讨论点沿长方体侧面画出几条路线， 你认为哪条路线最短呢？)
. .A
4 3C
四、学生展示与教师指导：
B
B
5
5
A
D
2 2
7 5 84
二、当堂检测：
1、有一圆柱形油罐，底面周长是12米， 高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建 梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子 最短需多少米? C B B
A
A
二、当堂检测：
2、如图，边长为1的正方体中，一只 蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表 面爬到顶点B的最短距离是（ B ）. （A）3（B ) 5 （C）2（D）1
谈谈你本节课学到了哪些 知识？有什么收获？这节课你 最大的体会是什么？
七、作业
作业课本P123习题5， P126-127复习题4、5 《学导》110页12 117页2