(完整版)勾股定理经典例题(教师版)

勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：1•勾股定理内容：____________________________________________________________表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________2 •勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：3 •勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 ,则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题4. 勾股定理的逆定理如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a ,b , c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2,那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形5. 勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：2 2n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.6、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

类型一：勾股定理的直接用法1 在Rt△ ABC 中，/ C=90 °(1) 已知a=6, c=10，求b, (2)已知a=40, b=9，求c；(3)已知c=25, b=15，求a. 思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

举一反三【变式】：如图/ B=Z ACD=90 ° , AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少【答案I：/ ACD =90 °AD=13, CD=12••• AC2 =AD 2-CD2=132- 122=25•AC=5又•••/ ABC=90 ° 且BC=3•••由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52- 32=16•AB= 4•AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用^=30.求BC的长.2、如图，已知：在丄:二-中，一二v,二-■匚-〔-A思路点拨：由条件--=--L，想到构造含丄「角的直角三角形，为此作上-—上匸于D，则有BD=-AB^■'，: ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长•解析：作于D，则因—二•(芒上的两个锐角互余)B D ~C-.45 = 15 2 （在他中，如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半） 根据勾股定理，在-中，加-⑹=3-15* = 1 久疗.根据勾股定理，在中，3二 J AC 2- AD 2 =—占乜三心....更二 ED + DC 仝5 +15 = 80 .举一反三 【变式1】如图，已知： —— _，一】二-丄吕二于p.求证：二’I -：l -BC A解析：连结BM ，根据勾股定理，在 見丄刃存中， BP 2 = BM 2-PM 2. 而在中，则根据勾股定理有 胚"二恥-亦. .———：…■ .：-.■-]——：•「.■ ■，! I 2又•••=•・---1 （已知）， ...加=磁"肱? +肿. 在中，根据勾股定理有妝—W 二亦 ...加二肘 + AF\【变式2】已知：如图，/ B= / D=90 °，/ A=60 ° , AB=4 , CD=2。

求：四边形 ABCD 的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC ,或延长AB 、DC 交于F ,或延长AD 、BC 交于点E ，根 据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD 、BC 交于E 。

• / A= / 60°,/ B=90 ° ,.Z E=30°。

.AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,A.BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48 , BE=时4匕=4^/1。

类型三：勾股定理的实际应用BD =•/ DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12,2...S 四边形 ABCD =S △ABE -S ^CDE= J AB用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了I二到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

解析：（1）过B点作BE//AD•••/ DAB= / ABE=60 °•/ 30° + / CBA+ / ABE=180 °•••/ CBA=90 °即厶ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m , AB= =由勾股定理可得：二'—十所以「■■ - --- ..'■■■+ T I, -：■ I . I.（2）在Rt△ ABC 中，■/ BC=500m , AC=1000m•••/ CAB=30 °•••/ DAB=60 °•••/ DAC=30 °即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD丄AE, 与地面交于H .解：OC= 1米（大门宽度一半），OD= 0.8米（卡车宽度一半）在Rt △ OCD中，由勾股定理得：CD八…亠」-…・.6米，C H=0 .6 + 2 .3 = 2 . 9（米）＞2 .5（米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分•请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD = 3, AB+BC+CD = 3图（3）中，在Rt △ ABC中AC = 莆¥肘=罷同理丄丄•一 "-•••图（3）中的路线长为--——；-图（4）中，延长EF交BC于H，贝U FH丄BC, BH = CH址砒=19由/ FBH = -及勾股定理得：EA = ED = FB = FC =-；• EF = 1 —2FH = 1—-•此图中总线路的长为4EA+EF = H ''-':■ 3 > 2.828>2.732•图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AE为4cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.••• AC =丄丄.’上- ！=:丁=】；」2 ^10.77( cm)(勾股定理).答：最短路程约为1 0.77 cm.Ml —貝码致如杲沿狡力怵的表面从A 点至卩Q V,解么岀稣条路迪駁行銀血;■■你镰刑它找田来吗¥如图O厨那，梃倉林的为15 CTrt,宽为IO ge崗为2°eif点B与离C的ffE刚冷5 cm.类型四：利用勾股定理作长为肮的线段5、作长为°、宀、宀的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为」…和1的直角三角形斜边长就是」•，类似地可作J：'。

作法：如图所示I *(1) 作直角边为1 (单位长)的等腰直角△ ACB，使AB为斜边；.•一、■i・. ----------- --- —■协■B A BA O AB(2) 以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角'-''。

斜边为'-'；(3) 顺次这样做下去，最后做到直角三角形"'-，这样斜边心吕、国\、、7 :的长度就是、、、。

举一反三【变式】在数轴上表示'的点。

解析：可以把・、看作是直角三角形的斜边,为了有利于画图让其他两边的长为整数,解:作法：如图所示在数轴上找到A点，使0A=3，作AC丄OA且截取AC=1，以0C为半径，以0为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 •原命题：猫有四只脚.（正确）2. 原命题：对顶角相等（正确）3 •原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等. （正确）4•原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等. （正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。