中考数学二次函数与圆

抛物线与圆、动点

1、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，23）。

⑴求圆心的坐标；

⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数y＝－

3

3

x的图象上，

求抛物线的解析式；

⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否

在⑵中的抛物线上；

⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。

2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线y ax bx c

=++

2经过O、A两点。

⑴试用含a的代数式表示b；

⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

⑶设点B是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠∠

POA OBA

=

4

3

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

3、A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2， b2－2b－3）.

x

y

O A

C

B

（1）求这条抛物线的解析式； （2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标； （3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标. 4、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，A

，

以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 的正半轴交于点C ．

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；

（2）设M 为（1）中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数解析式；

（3）试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论．

5、已知：一元二次方程x 2+kx+k ﹣1=0．

（1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；

（2）设k ＜0，当二次函数y=x 2+kx+k ﹣1的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时，

求此二次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C ，过y 轴上一点M （0，m ）作y 轴的垂线l ，当m 为何值时，直线l 与△ABC 的外接圆有公共点？

x y A B E F D C M O x y A B C

O x=1

6、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y 轴交于点 C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）过C 点的直线与以AB 为直径的⊙M 相切于点E ，CE 交x

6、已知：如图，直线y=3

3x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，⊙M 经过原点O 及A 、B 两点。

（1）求以OA 、OB 两线段长为根的一元二次方程；

（2）C 是⊙M 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD=∠CBO,

写出经过O 、C 、A 三点的二次函数的解析式；

（3）若延长BC 到E ，使DE=2,连结EA ，试判断直线EA 与⊙M 的位置关系，并说明理由。

x y

A C O D M

B x

y A B O C D M

7、如图，在平面直角坐标系中，已知点B(22-,0)，A(m ，

0) (0)m <<，以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ．

（1）求证：BF=DO ；

（2）设直线l 是△BDO 的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是△BDO 的外心，试求经过B 、F 、O 三点的抛物线的解析表达式；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于

直线BE 的对称点在x 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

8、如图1，直线y ＝43x －1与抛物线y ＝－4

1x 2交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．

（1）求线段AB 的长；

（2）若以AB 为直径的圆与直线x ＝m 有公共点，求m 的取值范围；

（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n 个单位（n ＞0），抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，过C ，P ，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n 的值，若不存在，请说明理由．

x 图2 图1

9、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C 。 ⑴求抛物线的解析式及点A 、B 、C 的坐标； ⑵若直线y=kx+t 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形； ⑶点P 在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x 轴上方是否存在这样的P 点，使以P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

作业：

1、已知：抛物线y=a(x-t-1)2+t 2(a,t 是常数，a ≠0,t ≠0)的顶点是A ，抛物线y=x 2-2x+1

的顶点是B ．

（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2-2x+1上，为什么？

（2）如果抛物线y=a(x-t-1)2+t 2 经过点B ，

①求a 的值；

②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？

若能，求出t 的值；若否不能，请说明理由．

2、已知二次函数y=x 2+ax+a-2．

（1）求证：不论a 取何值时，抛物线y=x 2+ax+a-2的顶点Q 总在x 轴的下方；

（2）设抛物线y=x 2+ax+a-2与y 轴交于点C ，如果过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线有两

个不同的交点，并设另一个交点为点D ，问：△QCD 能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；

（3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与x 轴的交点之一为点A ，则能使△ACD 的面积等于4

1的抛物线有几条？请证明你的结论．