三角函数解三角形题型归类
正弦定理与余弦定理解三角形5大题型
正弦定理与余弦定理解三角形5大题型“解三角形”是每年高考常考内容，在选择题、填空题中考查较多，有时也会出现在解答题中。
对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；而是考查两个定理的综合应用，多与三角变换、平面向量等知识综合命题。
以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为容易题、中档题。
一、解三角形中常用结论及公式1、解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>.2、诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；3、三角形中，最大的角不小于3π，最小的角不大于3π.二、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a 是三角形中最长的边，则（1）若0222>-+a c b ，则ABC ∆是锐角三角形；（2）若0222=-+a c b ，则ABC ∆是直角三角形；（3）若0222<-+a c b ，则ABC ∆是钝角三角形；或（1）若0sin sin sin 222>-+A C B ,则ABC ∆是锐角三角形；（2）若0sin sin sin 222=-+A C B ,则ABC ∆是直角三角形；（3）若0sin sin sin 222<-+A C B ,则ABC ∆是钝角三角形；三、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
解三角形解答题十大题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
解三角形解答题十大题型总结【题型目录】题型一：利用正余弦定理面积公式解题题型二：解三角形与三角恒等变换结合题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题题型五：角平分线相关的定理题型六：有关三角形中线问题题型七：有关内切圆问题（等面积法）题型八：与向量结合问题题型九：几何图形问题题型十：三角函数与解三角形结合【典例例题】题型一：利用正余弦定理面积公式解题【例1】△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2)3+.【详解】：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=.故ABC 的周长为3【例2】的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【详解】：（1）()2sin 8sin 2B A C +=，∴()sin 41cos B B =-，∵22sin cos 1B B +=，∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=，∴2b =．【例3】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5+【详解】：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 6222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c 2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a b ABC ∆∴的周长为5+【例4】已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆，求b ，c .【答案】(1)3A π=(2)b c ==2【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A ,故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==2【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．sin sin 2A C c b C +=．(1)求角B 的大小；(2)若112,2tan tan tan b A C B+==，求ABC 的面积．，【题型专练】1.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，（1）求角A （2）若2a =，ABC ∆的面积为；求,b c .【答案】（1）（2）b=c=2【解析】：（1）由及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，因为B A C π=--sin cos sin sin 0A C A C C --=．由于sin 0C ≠，所以1sin(62A π-=．又0A π<<，故3A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==4bc =，而2222cos a b c bc A =+-，故228b c +=．解得2b c ==．2.已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积．【答案】（1）14；（2）1【解析】：（1）由题设及正弦定理可得22b ac=又a b =，可得2,2b c a c==由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==（2）由（1）知22b ac=因为90B = ，由勾股定理得222a cb +=故222a c ac +=，得c a ==所以的面积为13.（2021新高考2卷）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则37sin 8C ==，因此，11sin 452284ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△；（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin B a B =+．(1)求角A 的大小；(2)若2sin a B C ==，求ABC 的面积．5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,tan sin a b c B A C B ==.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的面积为196，求ABC 外接圆的半径.题型二解三角形与三角恒等变换结合【例1】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C =22，求C .【答案】（1；（2）15︒.【分析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C∴=︒-+1cos sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【例2】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【分析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又33b c a -=②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．【例3】在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -+=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值.【详解】（1）∵221cos B sin B =-，221cos C sin C =-，∴222sin A cos B cos C -=-变形为22211sin A sin B sin C --+=--（）（），即222sin A sin B sin C ++=，利用正弦定理可得：222a b c ++=，由余弦定理可得cosC=22-，即C=34π.（2）由（1）可得cos （A+B ）=2，A+B=4π，又cosAcosB=cos()cos 3225A B A B ++-=（），可得72cos(A B)10-=，同时cos （αA +）cos （αB +）=72cos(2α)cos(2αA B)cos A B 41022π+++++-=（），∴22272272cos(2α)sin2αcos(αA)cos(αB)410210222cos cos cos πααα++-+++===222222722sinαcosα2102cos sin cos sin cos ααααα--++（）=222622552cos sin cos ααα+-=2510tan α+- 2tan α=5，∴2tan 5tan 62αα-+=，∴ 1tan α=或4.【题型专练】1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C +=.【分析】【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C-=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C+-=由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）2b c +=，由正弦定理得：sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：62sin 4C =或624因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故62sin 4C +=.（2）法二：2b c += sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C ，即3sin 6C C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+62sin sin()464C ππ=+=.2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos B A B =+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B A A B-的取值范围.，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到3.在ABC 中，已知223sin cos sin cos sin 222A CB +=.（1）求证：2a c b +=；（2）求角B 的取值范围.【详解】证明：（1）223sin cossin cos sin 222C A A C B += 1cosC 1cos 3sin sin sin 222A A C B++∴+=()()sin 1cosC sin 1cos 3sin A C A B ∴+++=sin sin sin cosC sin cos 3sin A C A C A B∴+++=()sin sin sin C 3sin A C A B ∴+++=C A B π++= A C B π∴+=-()sin sin A C B∴+=sin sin 2sin A C B∴+=根据正弦定理得：2a c b +=，得证．（2）由（1）知在ABC 中，2a c b+=又222cos 2a c b B ac +-=消去b 化简得：()2231611cos 84842a c ac B ac ac +=-≥-=当且仅当a c =时取等号，又B 为三角形的内角，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题【例1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2AB C +=，且2a =，则ABC 的面积的最大值为A ．33B ．32CD．【答案】A【解析】：因为()tan tan2AB C +=，且B C A +=π-，所以()22tan2tan tan 1tan 2A B C A A +=-=--tan 02A =>，所以tan 2A =，则2π3A =.由于2a =为定值，由余弦定理得222π42cos 3b c bc =+-，即224b c bc =++.根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=，即43bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立.所以11433sin 22323ABC S bc A =≤⨯⨯=.故选：A【例2】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33(,)82.【分析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)解法一：因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅==⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=⋅-=+.又因3,tan 623C C ππ<<>,故3313388tan 82C <+<，故3382ABC S <<.故ABC S 的取值范围是33,82解法二：若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得b ==，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，解得122a <<，可得ABC ∆面积1sin 23S a π==∈．【例3】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若4a c +=，2sin sin sin B A C =+，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C．D ．4【答案】A 【解析】因为2sin sin sin B A C =+，所以2b a c =+，因4a c +=，所以2=b ，由余弦定理得()acacac ac ac b ac c a ac b c a B 221224216222cos 22222-=--=--+=-+=所以ac B ac 212cos 2-=，所以acacB -=6cos ，所以()()()()acac ac ac ac B B 22222661cos 1sin --=--=-=因11sin 22ABCa c ac a c Sac B ac ac ∆==⋅==因为ac c a 2≥+，所以()442=+≤c a ac，ABC S ∆=≤=注：此题也可用椭圆轨迹方程做【例4】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，若2a =，b =，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】因为2a =，b =，由余弦定理得()2222222324432432cos c c cc cc bcac b A -=⋅-+=-+=所以()()2244244222223216324121632161232441cos 1sin c c c c c c c cc A A -+-=-+-=--=-=因21sin 2ABCS bc A ∆===设t c =2，则ABCS∆==≤注：此题也可用圆轨迹方程做【题型专练】1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【解析】：由，且，故()()()a b sinA sinB c b sinC +-=-，又根据正弦定理，得()()()a b a b c b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222122b c a cosA bc +-==，所以060A =，又224b c bc bc +-=≥，故12BAC S bcsinA ∆=≤2.已知，，分别为△ABC 角，，的对边，cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，且=3，则下列结论中正确的是()A.=3B.=23C.△ABC D.△ABC 【答案】B【解答】解∵cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，∴(1−sin 2p −(1−sin 2p −(1−sin 2p =cosvos −cos(+p −(1−2sin 2p ，∴sinLin +sin 2+sin 2−sin 2=0，由正弦定理可得B +2+2−2=0，∴cos =2+2−22B=−12，又0<<，∴=23，即2=3=2+2−23=2+2+B⩾2B +B =3B ，当且仅当==1时取等号，∴B⩽1，∴=12Bsin 故选：B ．3.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B c C b a sin cos +=．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=b ，求ABC 面积的最大值.【详解】(1)∵Bc C b a sin cos +=∴由正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin +=①在三角形ABC 中，()C B A +-=π∴()B C C B C B A sin sin cos sin sin sin +=+=②由①和②得C B C B sin cos sin sin =而()π,0∈C ，∴0sin ≠C ，∴B B cos sin =又()π,0∈B ，∴4π=B (2)ac B ac S ABC 42sin 21==∆，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 22⨯，整理得：ac≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为(1212222⨯=+1=+4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ）．（1）若b +c =3a ，求A ；（2）若a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．【解析】（1）∵sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ），结合正、余弦定理，可得a •2+2−22B=b •（2−2+2−22B），化简得，c ＝2b ，代入b +c =3a ，得a =3b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =2+42−322δ2=12，∵A ∈（0，π），∴A =3．（2）由（1）知，c ＝2b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =52−442=5412，∴△ABC 的面积S =12bc sin A ＝b 21−c 22=b 2=16=当b 2=209时，S 取得最大值，为43．5.在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD =且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___【答案】5如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和C D B ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b a c cθπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4c a b =+-．①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得2222aba b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =．把①代入②整理得2242aba b ++=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．所以118sin 22545ABCab C S ∆=≤⨯=．即ABC ∆面积的最大值是5．故答案为5．6.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a b C B -=．(1)求B ；(2)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，若ABC 的面积为()2224a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________.【答案】4,12]+【解析】因为ABC 的面积为()2224a b c +-，所以()2221sin 42a b c ab C +-=，所以222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，sin C C =，即tan C ，所以3Cπ=.由正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以83832(sin sin )sin sin 8sin 3336a b A BA A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为ABC 为锐角三角形，所以62A ππ<<，所以sin 126A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则ssin()86A π<+，即8a b <+≤.故ABC 的周长的取值范围是4,12]+.【例2】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin sin cos sin B CC C A++=(1)求A ；(2)若ABC 的外接圆的半径为1，求22b c +的取值范围.c【例3】（2022·重庆八中高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sinsin ,2A Ca b A b +==(1)求角B 的大小；(2)求2a c -的取值范围.【例4】（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin 2B Ca A B c ++=．(1)求角A 的大小；(2)若角B 为钝角，求b的取值范围．【题型专练】1.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sincos sin sin A B C A B =++.（1）求角C 的大小；（2）若c ，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2+（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab+-=-由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=.（2）2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin3a b c a A b BA B C π====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++++++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦230,,sin 1333323A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭ ，2sin 23A π⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，ABC ∴∆周长的取值范围是(2+.2.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+.3.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos )a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．【详解】（1）由题意知()(cos )sin cos sin sin a C C b c A C C B C =+⇒+=+，所以()()sin cos sin sin A C C A C C +=++，即sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C+=++sin cos sin sin A C A C C =+，因0sin ≠C cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又50,,666A A ππππ⎛⎫<<∴-∈- ⎪⎝⎭ ，所以66A ππ-=，所以3π=A （2）由余弦定理得：222222cos 25a b c b c A b c bc =+-⋅=+-=，即()2325b c b c +-⋅=.22b c b c +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当b c =时取等号），()()()22221253324b c b c b c b c b c +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：10b c +≤（当且仅当b c =时取等号），ABC ∴ 周长51015L a b c =++≤+=，ABC ∴ 周长的最大值为15.题型五：角平分线相关的定理【例1】在中ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为．【详解】由题意知ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222ac B cBD ABD aBD CBD ∴=∠+∠，即1311111122222ac c a ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯即2c a =+，所以12a c =+，所以))12422224333a c a c a c a c c a ⎛⎫⎫+++=+++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例2】△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以3tan ,30.3B B ∠=∠= 【例3】（河南省豫北名校普高联考2022-2023学年高三上学期测评（一）文科数学试卷）在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△ ；③tan tan tan A C A C +-这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．(1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．ABC ABD BCD S S S =+ ，12π1sin 232ac c ∴=⋅即333444ac c a =+，a c ac ∴+=，a ac +∴()11444552a c a c a c ac c a ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭【题型专练】1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23BAC π∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，1AD =，则b c +的最小值为．【详解】ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222bc A cAD BAD bAD CAD ∴=∠+∠，即11111222222bc c ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯，即bc b c =+，所以111b c ∴=+，所以()111124b cb c b c b c c b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭2.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【详解】，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠，∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =，∴BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232x -=，解得1x =，即1AC =．题型六：有关三角形中线问题遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：中线倍长法思路二：利用平面向量【例1】在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足cos 0cos 2B bC a c+=+，（1）求角B 的值；（2）若2c =，AC 边上的中线32BD =，求ABC ∆的面积.【详解】（1）cos cos sin 00cos 2cos 2sin sin B b B BC a c C A C+=⇔+=++,()cos 2sin sin sin cos 0B A C B C ⇒++=2sin cos cos sin sin cos 0A B B C B C ⇒++=()2sin cos sin 0A B B C ⇒++=.()1sin 2cos 10,sin 0,cos 2A B A B ⇒+=≠∴=-.所以23B π=,（2）解法一：中线倍长法：延长BD 到E ，使BD=DE ，易知四边形AECD 为平行四边形，在BEC ∆中，EC=2，,因为23ABC π∠=，所以3BCE π∠=，由余弦定理2222cos BE EC BC EC BC BCE =+-⋅⋅∠，即223222cos3a a π=+-⋅⋅，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=解法二：BC BA BD +=，所以()22BC BA BD +=B+=即︒++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120cos 223222ac a c ，即⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯++=21424432a a ，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【例2】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2π3A =．(1)若6a =，ABC的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度；(2)若E 为边BC上一点，且AE =，:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值．【题型专练】1．（2022·广东广州·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin 2B Cb a B +=.(1)求A ；(2)若a =，3BA AC ⋅=，AD 是ABC 的中线，求AD 的长.2．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）在①()()()()sin sin sin a c A B a b A B -+=-+；②2S BC =⋅；③cos sin b C a c B =；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求角B 的大小；(2)AC 边上的中线2BD =，求ABC 的面积的最大值．题型七：有关内切圆问题（等面积法）【例1】在▵B中，sin2=B=1，B=5，则A.B=25B.▵B 的面积为32C.▵BD.▵B【答案】B【解答】解：∵sin2=∴cos=1−2sin22=1−2×2=35，又B=1，B=5，∴由余弦定理，B2=B2+B2−2B⋅B⋅cos=52+12−2×5×1×(35)=20，∴B=25，故A正确；∵cos=35且为三角形内角，∴sin=1−cos2=45，所以△B的面积为=1=12×1×5×45=2，故B错误；根据正弦定理B sin=2o其中表示外接圆的半径)得：2=45=即△B C正确；如图，设△B内切圆圆心为，半径为，连接B，B，B，因为内切圆与边B ，B ，B 相切，故设切点分别为，，，连接B ，B ，B ，可知：B =B =B =，且B ⊥B ，B ⊥B ，，根据题意：△B =12B ⋅B ⋅sin =12×5×1×45=2，利用等面积可得：△B +△B +△B =△B ，即：12B ⋅+12B ⋅+12=2，∴=4B+B+B==D 正确．故选ACD ．【例2】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知在ABC 中，()254cos 4sin A B C ++=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的内切圆圆心为O ，ABC 的外接圆半径为4，求ABO 面积的最大值．【题型专练】1.三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，则()A.三角形另一边长为6B.三角形的周长为20C.三角形内切圆面积为3D.【答案】B【解答】解：因为三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，A .由余弦定理得：三角形另一边长为82+52−2×8×5×cos60°=7，故A 错误；B .三角形的周长为8+5+7=20，故B 正确；C .设三角形内切圆的半径为，由面积法得到：12×8×5×sin60°=12×20×，解得=3，所以内切圆的面积为，故C 正确；D .设三角形外接圆的半径为，则由正弦定理得到7sin60°=2，解得=，故D 错误．故选BC ．2.（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos a cC Cb-=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，记r 为ABC 的内切圆半径，求r 的最大值.题型八：与向量结合问题【例1】锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B = 平行．（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围．【解析】解：（1）因为：//m n，所以：sin cos 0a B A =，由正弦定理，得：sin sin cos 0A B B A -=，又因为：sin 0B ≠，从而可得：tan A =，由于：0A π<<，所以：3A π=．（2）因为：由正弦定理知sin sin sin 3b c aB C A====，可得：三角形周长sin )3l a b c B C =++=+，又因为：23C B π=-，所以：2sin sin sin sin()36B C B B B ππ+=+-=+，因为：ABC ∆为锐角三角形，所以：62B ππ<<，2(,)633B πππ+∈，3sin sin (2B C +∈，所以：l ∈．【例2】（2022·河北沧州·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos ,3b c A a C a -==．(1)求角A ；(2)若点D 满足1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．【题型专练】1.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >．已知2BA BC = ，1cos 3B =，3b =．求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．【解析】解：（1）2BA BC= ，1cos 3B =，3b =，可得cos 2ca B =，即为6ac =；2222cos b a c ac B =+-，即为2213a c +=，解得2a =，3c =或3a =，2c =，由a c >，可得3a =，2c =；（2）由余弦定理可得2229947cos 22339a b c C ab +-+-===⨯⨯，sin C ==，sin B ==，则17224223cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+⨯．2.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若1AB AC BA BC ==．解答下列问题：（1）求证：A B =；（2）求c 的值；（3）若||AB AC +=ABC ∆的面积．【解析】证明：（1）因AB AC BA BC =，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =．由正弦定理，得sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为A B ππ-<-<，故0A B -=，故A B =．⋯（4分）（2）因1AB AC = ，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-=，即2222b c a +-=；又由（1）得a b =，故22c =，故c =．⋯（10分）（3）由||AB AC += 22||||2||6AB AC AB AC ++=，即2226c b ++=，故224c b +=，因22c =，故b =，故ABC ∆是正三角形，故面积23342ABC S ∆=⨯=．⋯（16分）题型九：几何图形问题【例1】在ABC ∆中，3B π∠=，15AB =，点D 在边BC 上，1CD =，1cos 26ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求ABC ∆的面积．【解析】解：（1）由1cos 26ADC ∠=，可得153sin 26ADC ∠==，则11sin sin()sin cos cos sin 333226BAD ADC ADC ADC πππ∠=∠-=∠-∠=-⨯．（2）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠=，解得7BD =，所以718BC =+=，所以ABC ∆的面积11sin 158sin 223S AB BC ABD π=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【例2】如图，在ABC ∆中，6B π∠=，AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长．【解析】解：（1）在ADC ∆中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin 7ADC ∠=，所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B=∠-∠433117272=-⨯1114=．（2）在ABD ∆中，由正弦定理得11sin 1411sin 437AB BADBD ADB⋅∠===∠，在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 13213492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯．所以7AC =．【例3】如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD ∆sin sin BADCAD∠∠的值．【解析】解：（1）ABC ∆ 中，1cos 3B =，22sin 3B ∴=．34ADC π∠= ，4ADB π∴∠=．ABD ∆=，83AD ∴=；（2）设DC a =，则2BD a =，2BD DC = ，ACD ∆，1222323a ∴=⨯⨯⨯，2a ∴=AC ∴==由正弦定理可得42sin sin BAD ADB=∠∠，sin 2sin BAD ADB ∴∠=∠．242sin sin CAD ADC =∠∠，2sin 4CAD ADC ∴∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠ ，∴sin sin BADCAD∠=∠【例4】如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90ADC ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求sin ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．【解析】解：（1）ABD ∆中，45A ∠=︒，2AB =，5BD =，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，解得2sin 5ADB ∠=；（2）由90ADC ∠=︒，所以2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得：222222cos 52525BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯，解得5BC =．【例5】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1）5；（2）5.【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠o，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<o ，所以cos 5ADB ∠==；（2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=.在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 25825255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=.所以5BC =.【题型专练】1.如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos BAD ∠=21sin 6CBA ∠=，求BC 的长．【解析】解：1AD =，2CD =，AC =（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠= ．∴cos CAD ∠=；（2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，cos 21sin 7321sin 143sin 2CAD BAD CAD BAD α∠=∠=-∴∠=∠=∴=，在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠，解得：3BC =．即BC 的长为3．2.在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2．（1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积．【解析】解：（1）由已知11sin 2sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯∠= ，所以sin ABD ∠=(0,2ABD π∠∈，所以cos ABD ∠=在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠= ，所以AD =．（2）由AB BC⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，所以5sin cos 5CBD ABD ∠=∠=，又42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，()222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠，所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin 51155455,sin 4sin 42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCD BCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠．3.如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==．（1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ；（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD的长．【解析】（本题满分为14分）解：（1）连接BD ，由余弦定理可得：222222cos 24224cos BD AB AD AB AD A A =+-=+-⨯⨯⨯ ，222222cos 46246cos BD BC CD BC CD C C =+-=+-⨯⨯⨯ ，可得：2016cos 5248cos A C -=-，2⋯分又四边形ABCD 内接于圆O ，则又A C π+=，所以：2016cos 5248cos()A A π-=--，化简可得：1cos 2A =-，又(0,)A π∈，所以23A π=，3C π=，4⋯分所以12124sin 46sin 2323ABD BCD S S S ππ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，6⋯分（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ，可得：222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-=+- ，8⋯分可得：22221124sin 46sin 2224224cos 46246cos S A C A C ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩，可得：sin 3sin 423cos cos S A CC A⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，平方后相加，可得：24106sin sin 6cos cos 16S A C A C +=+-，即：266cos()16S A C =-+，10⋯分又(0,2)A C π+∈，当A C π+=时，216S 有最大值，即S 有最大值．此时，A C π=-，代入23cos cos C A =-，可得：1cos 2C =，又(0,)C π∈，可得：3C π=，12⋯分在BCD ∆中，可得：222222cos 46246cos 283BD BC CD BC CD C π=+-=+-⨯⨯⨯= ，可得BD =．14⋯分4.如图所示，已知圆内接四边形ABCD ，记tan tan tan tan 2222A B C D T =+++．（1）求证：22sin sin T A B=+；（2）若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求T 的值及四边形ABCD 的面积S．【解析】解：（1）sincos sin cos222222tan tan tan tan tan cot tan cot 22222222sin sin cos sin cos sin 2222A AB BA B A B A A B B T A A B B A Bππ--=+++=+++=+++=+．（2）由于：6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，由题知：cos cos 0BAD BCD ∠+∠=，可得：22222222470227AB AD BD BC CD BD BD AB AD BC CD +-+-+=⇒= ，则3cos 7A =，sin A =则1()sin 2S AD AB CD BC A =+= ，则1610()sin sin 219S AB BC AD CD ABC ABC =+∠=∠=，22sin sin T A B =+==5.如图，角A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，6AB =，3BC =，4CD =．（1）若60B =︒，30DAC ∠=︒，求sin D ；（2）若180BAD BCD ∠+∠=︒，5AD =，求cos BAD ∠．【解析】解：（1）在ABC ∆中，222361cos 2362AC B +-==⨯⨯，222363627AC ∴=+-⨯=，AC ∴=ACD ∆中，由正弦定理sin sin DAC D CD AC∠=，sin sin sin 30AC D DAC CD ∴=⋅∠=︒=．（2）在ABD ∆中，22256cos 256BD BAD +-∠=⨯⨯，在BCD ∆中，22234cos 234BD BCD +-∠=⨯⨯，180BAD BCD ∠+∠=︒ ，cos cos 0BAD BCD ∴∠+∠=，∴22222256340256234BD BD +-+-+=⇒⨯⨯⨯⨯可得：222(2536)5(916)0120BD BD +-++-=，可得：22261252550BD BD ⨯-+⨯-=，可得27247BD =，则BD =22224725365637cos 256607BDBAD +-+-∴∠===⨯⨯．6.某市欲建一个圆形公园，规划设立A ，B ，C ，D 四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中A ，B ，C 的位置已确定，2AB =，6BC =（单位：百米），记ABC θ∠=，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．（1）如果4DC DA ==，求四边形ABCD 的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为283π万平方米，求cos θ的值．【解析】解：（1）连结BD ，可得四边形ABCD 的面积为：11sin sin 22ABD CBD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ， 四边形ABCD 内接于圆，180A C ∴+=︒，可得sin sin A C =．11sin sin 22S AB AD A BC CD C =+ 1()sin 2AB AD BC CD A =+1(2464)sin 2A =⨯+⨯16sin A =．(*)⋯在ABD ∆中，由余弦定理可得：222222cos 24224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-=+-⨯⨯=- ，同理可得：在CDB ∆中，222222cos 64264cos 5248cos BD CB CD CB CD C C C =+-=+-⨯⨯=- ，2016cos 5248cos A C ∴-=-，结合cos cos(180)cos C A A =︒-=-，得64cos 32A =-，解得1cos 2A =-，(0,180)A ∈︒︒ ，120A ∴=︒，代入(*)式，可得四边形ABCD面积16sin120S =︒=．（2） 设圆形公园的半径为R ，则面积为283π万平方米，可得：2283R ππ=，可得：2213R =，∴由正弦定理2sin AC R B ==sin θ==由余弦定理可得：AC ==sin θ∴==214sin 159cos θθ=-，22sin cos 1θθ+= ，∴2159cos cos 114θθ-+=，整理可得：2214cos 9cos 10θθ-+=，∴解得：1cos 7θ=，或12．7.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.【答案】（1）23π，4；（2）3.【解析】（1）sin 3cos 0,tan 3A A A +=∴=- ，20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+- ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯⨯，22cos ,72cos 77AC C CD C∴=∴===，12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，132ABD ABC S S ∆∆∴==.8.四边形的内角与互补，．（1）求和；（2）求四边形的面积．【答案】（1）60C =︒，7BD =；（2）23．【详解】：（1）连接BD ．在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式2222BD BC CD BC=+-cos CD C ⋅和2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅，且cos cos C A =-，代入数据得54cosC +，求cos C 的值，进而求C 和的值；（2）由（1）知ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形等于ABD ∆和CBD ∆的面积．（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅．①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cosC =+．②。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲 一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角； （1）任意角 负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义 已 知 角 终 边 上 的 任 一 点 P(x, y) （ 非 原 点 O ）， 则 P 到 原 点 O 的 距 离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ， 如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略 （5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角
高三专题三角函数与解三角形总结归纳
三角函数一. 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1.角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角.按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角.习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边.射线旋转停止时对应的边叫角的终边. 2.特殊命名的角的定义：（1）正角，负角，零角 ：见上文.（2）象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角. （3）轴线角：角的终边落在坐标轴上的角.终边在x 轴上的角的集合： {}|180,k k Z ββ=⨯︒∈ 终边在y 轴上的角的集合： {}|18090,k k Z ββ=⨯︒+︒∈终边在坐标轴上的角的集合：{}|90,k k Z ββ=⨯︒∈ （4）终边相同的角：与α终边相同的角：2,x k k Z απ=+∈ （5）与α终边反向的角：()21,x k k Z απ=++∈终边在y x =轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒+︒∈ 终边在y x =-轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒-︒∈（6）若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：180,k k Z αβ=⨯︒+∈ （7）成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：360,k k Z αβ=⨯︒-∈ 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：360180,k k Z αβ=⨯︒+︒-∈ 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：36090,k k Z αβ=⨯︒+±︒∈注意： （1）角的集合表示形式不唯一； （2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.（二）弧度制1.弧度制的定义：lRα=2.角度与弧度的换算公式：180π︒= 3602π︒= 10.01745︒= 157.305718'=︒=︒注意： （1）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；（2）一个式子中不能角度、弧度混用.二. 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy=αtan ，余切y x =αcot2.三角函数的定义域（二）单位圆与三角函数线 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线；OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.（三）同角三角函数的基本关系式（1）sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅= （2）商数关系：ααααααcot sin cos ,tan cos sin == （3）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（四）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）()()()()sin sin cos cos tan tan cot cot πααπααπααπαα+=-+=-+=+= ()()()()s i n 2s i n c o s 2c o s t a n 2t a n c o t 2c o t πααπααπααπαα-=--=-=--=-()()()()s i n s i n c o s c o s t a n t a n c o t c o tπααπααπααπαα-=-=--=--=-sin cos 2cos sin 2tan cot 2πααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ s i n c o s 2c o s s i n 2t a n c o t 2πααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭三. 三角函数的图象与性质（一）基本图象1.正弦函数2.余弦函数3.正切函数（二）函数图象的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质四. 和角公式 两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+()s i n s i n c o sc o s s i nαβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-五. 倍角公式和半角公式 （一）倍角与半角公式αααcos sin 22sin =2cos 12sin αα-±=ααααα2222sin211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=s i n 1c o s t a n 21c o s s i n αααααα-==+（二）万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=六. 三角函数的积化和差与和差化积公式()()1s i n c o s s i n s i n 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o ss i n s i n s i n 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s c o s c o s c o s 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n s i n c o s c o s 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ s i n s i n 2s i n c o s 22αβαβαβ+-+= 2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβα-+=+s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--= co s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=-sin15cos 754︒=︒=sin 75cos154︒=︒=tan15cot 752︒=︒=tan 75cot152︒=︒=+七. 辅助角公式（合一变形）()sin cos ,tan ,,22b a x b x x a ππϕϕϕ⎛⎫+=+=∈- ⎪⎝⎭一. 恒等变换 （一）基础题型1.（2015·福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α=（ ） A.125B.125- C.512D.512-2.已知α是第二象限的角，()4tan 23πα+=-，则tan α=________3.=________4.已知0θπ<<，1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=________5.方程()233102x ax a a +++=>两根tan ,tan αβ，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________6.已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ）A.C.（二）诱导公式1.已知奇函数()f x 在[]1,0-上为单调减函数，若,αβ为锐角三角形内角，则（ ）A.()()cos cos f f αβ>B.()()sin sin f f αβ>C.()()sin cos f f αβ<D.()()sin cos f f αβ>2.已知,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin 0αβ+>，则下列各式中成立的是（ ）A.αβπ+<B.32παβ+>C.32παβ+=D.32παβ+<（三）互余互补sin cos 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ c o s s i n 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin()sin πθθ-= c o s ()c o sπθθ-=-1.已知4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________；2cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2.（2016·广州检测）已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A.13 B.3C.13-D.3-3.（2017·合肥模拟）已知1cos cos ,,63432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求1tan tan αα-的值.（四）配凑角（已知条件会给θ范围）1.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.设()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.138B.322C.1318D.13223.（2017·成都模拟）若()sin 2,sin 510αβα=-=且3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则αβ+=（ ） A.74πB.94πC.54π或74πD.54π或94π4.若()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则β=（ ）A.3π- B.6πC.3πD.6π-5.若3335,,0,,cos ,sin 44445413πππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________6.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.45-B.35-C.45D.35（五）升角（一倍角、二倍角转换） 解题思路：2cos 212sin θθ=- 2c o s 22c o s 1θθ=-一） 升角+诱导公式1.（2016·宿州模拟）若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.9B.9-C.79D.79-2.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭=（ ）A.19-C. D.193.（2016·南昌三模）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A.34B .35C.34-D.35-4.已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（ ）A.79B.79-C.9D.9-二）升角+互余、互补1.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________2.（2017·江西新余三校联考）已知7cos 238x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.78C.14±D.78±三）升角+配凑1.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A.19-B.9C.9-D.192.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________3.已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________ （六）平方一）sin cos c θθ+=解题思路：2(sin cos )1sin 2θθθ±=± 1.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=________2.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα+=，则cos α=________3.已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.118B.1718C.89D.94.已知()1sin cos ,,05x x x π+=∈-.（1）求sin cos x x -的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．5.已知4sin cos 034πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=________6.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A.118B.118-C.1718D.1718-7.若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值为（ ）A.12-+B.12+ C.18.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围________二）sin cos a b c θθ+=1.已知2sin cos 2αα+=，则tan 2α=________2.（2016·厦门质检）若2sin 21cos2αα=-，则tan α=________3.（2016·开封模拟）已知12sin 5cos 13αα-=，则tan α=（ ）A.512- B.125-C.125±D.712±4.已知sin αα+=tan α=（ ）A.2C.2-D.（七）12tan tan sin 2θθθ+= （2016·青岛模拟）化简：211tan sin 22cos tan 2αααα⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭________（八）齐次式 1.若tan 2α=，则2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-________；224sin 3sin cos 5cos αααα--=________2.（2015·广东）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.3.（2016·天一大联考）已知函数()()log 24a f x x =-+（0a >且1a ≠），其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-________4．（广东省广州2017届高三下学期第一次模拟）已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则co s 2θ=（ ） A.45B.35C.35-D.45-5.已知3tan 5α=-，则sin 2α=（ ）A.1517B.1517- C.817-D.8176.若sin 3sin 02παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A.35-B.35C.45-D.45二. 三角函数图象的变换 （一）图象平移和伸缩1.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A.12x π= B.6x π=C.3x π=D.12x π=-2.已知函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增3.将函数()()cos f x x x x R =∈的图象向左平移()0αα>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则α的最小值为（ ）A.12πB.6πC.3πD.56π4.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ=______5.（2014·辽宁卷）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.（2017·渭南模拟）由()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的解析式为（ ）A.()32sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()2sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.（2014·安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为（ ） A.8πB.4πC.38πD.5π48.（2016·广东汕头模拟）将函数()sin 6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为（ ） A.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A.奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.偶函数且图象关于点(),0π对称C.奇函数且图象关于直线2x π=对称D.偶函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.（2016·长沙四校联考）将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度得到sin y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A.52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 2y x =的图象（ ）A.向左平移56π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度12.（2013·新课标全国卷Ⅱ）函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ=________二）图象求解析式1.若函数()f x 具有以下两个性质：①()f x 是偶函数；②对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()f x 的解析式可以是（ ） A.()cos f x x =B.()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 42f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()cos6f x x =2.已知()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在同一周期内当12x =时取最大值，当12x =时取最小值，与y 轴的交点为(，则()f x =____________3.已知函数)0,()sin()(πϕϕ<<∈+=R x x x f ，若点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，则ϕ=_________4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，对于任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且对任意x R ∈，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A.2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,03π⎛⎫⎪⎝⎭6.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围________7.（2015·湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512πB.3πC.4πD.6π8.（2016·安徽芜湖一模）函数()()sin ,0,2f x x x R ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A.2-B.12-C.12D.29.（2017·石家庄模拟）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.2- B.2-C.2-D.1-10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π- B .6πC.3π-D.3π11.已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时x 的集合为________12.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.23-B.12-C.23D.1213.（2016·泉州质检）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若tan 3α=，则8f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.35-B.45-C. D.三．特殊三角函数最值1.当06x π<≤时，函数()22cos cos sin sin xf x x x x=-的最小值为________2.求函数()2cos ,0,sin xy x xπ-=∈的最小值.3.（2016·全国Ⅱ）函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A.4B.5C.6D.74.函数273sin 2cos ,,66y x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的值域为________5.求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.6.求函数sin 2cos xy x=-的最小值.7.求函数2cos y x=+的值域.8.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2214s in c o s αα+的最小值为________9.求函数()()1sin 3sin 2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合.四．参数相关1.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则ω的取值范围________2.（2016·全国乙卷）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.53.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在区间,126ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦则ϕ的取值范围（ ）A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.若函数()()s i n 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=________5.已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围（ ）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(]0,26.若已知0ω>，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围________7.已知()()sin 0,363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间错误！未找到引用源。
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类-(解析版)
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类目录一、热点题型归纳【题型一】正余弦定理 .............................................................................................................................. 2 【题型二】求角 .......................................................................................................................................... 3 【题型三】判断三角形形状 ...................................................................................................................... 4 【题型四】面积与最值 .............................................................................................................................. 6 【题型五】周长与最值 .............................................................................................................................. 8 【题型六】角的最值 .................................................................................................................................. 9 【题型七】最值 ........................................................................................................................................ 11 【题型八】切弦互化求最值 .................................................................................................................... 13 【题型九】解三角形应用题 .................................................................................................................... 14 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 17 三、模拟检测 .. (22)正余弦定理(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 为 外接圆半径 ；注意：正弦定理变式与性质：①边化正弦：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②正弦化边：sin A sin B sin C ＝c2R ； ③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；④a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝ 2R ；(2)余弦定理：①a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； ②b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； ③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 注意：变式：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；②cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(3)三角形面积 ：①S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc4R②S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是切圆的半径) 三角形中：①sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；②sinA ＋B 2＝cosC 2， cos A ＋B 2＝sin C2；③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；④a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A ＜cos B ．【题型一】正余弦定理【典例分析】（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（ ）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤ 【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ，又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭， 所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b a c ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤； 故选：D1..（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且656cos a c b C =+，则cos B =（ ）A ．78B ．56C ．34D ．23【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得cos B ． 【详解】由656cos a c b C =+，边化角得6sin 5sin 6sin cos A C B C =+， 又()sin sin A B C =+，所以()6sin 5sin 6sin cos B C C B C +=+， 展开得6sin cos 6cos sin 5sin 6sin cos B C B C C B C +=+，所以6cos sin 5sin B C C =， 因为sin 0C >，所以5cos 6B =．故选：B ． 2.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，60,3,90C AC B ==>，则ba 的可能取值为（ ） A ．23B ．43 C ．53D ．73【答案】D【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于A 的三角函数，求出范围即可得结果. 【详解】因为60,3,90C AC B ==>，所以030A <<，0tan A <<1tan A >()1sin sin sin 11222sin sin sin 2tan A AA C bB a A A A A +====>，则b a 的可能取值为73，故选：D. 3.面积（无最值型）【题型二】求角【典例分析】（2022·山西吕梁·三模（文））在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()(),6b c b c ac C π+-==，则B =（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【分析】由22b c ac =+结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出sin 2sin cos sin A C B C -=，再由内角和定理以及三角恒等变换得出B .【详解】由()()b c b c ac +-=得22b c ac =+，结合余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为()()sin 2sin cos sin 2sin cos sin A C B B C C B B C -=+-=-， 所以()sin sin B C C -=，所以B C C -=，得2B C =．因为6C π=，所以3B π=．【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC中，30,1B a b ===，则A 等于（ ） A ．45 B ．135C ．45或135D ．120 【答案】C【分析】根据正弦定理，结合三角形中的边角关系，即可求得答案.【详解】由正弦定理sin sina b A B=,得1sin 2sin 12a B Ab ===， 因为1,(0,π)a b A ==∈，故45A =或135， 故选：C2.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B C ．2D ．1【答案】A【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角C ，由此可求sin 4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为()22a b c =+-，又in 12s S ab C =，所以222sin 2C ab a b c -=+-，22212a b c C ab +--=，又222cos 2a b c C ab+-=cos 1C C -=，所以1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,C π∈，所以3C π=，所以sin =sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎭⎝⎭所以sin 44C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.3.（2023·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+2sin 0A B -=，则sin C = （ ）A ．12B C D 【答案】C【分析】根据给定条件利用正弦定理角化边，求出角A ，再求出角B 即可计算作答.【详解】在ABC 中，由22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+及正弦定理得：22()(2b c a bc +=+，即222b c a +-=，由余弦定理得：222cos 2b c a A bc +-==0180A <<，解得135A =，2sin 0A B -=得1sin 2B A ==，显然090B <<，则30B =，15C =，所以6sin sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 454C -=-=-=. 故选：C【题型三】判断三角形形状【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c -=且cos sin =b C a B ，则ABC 是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形【答案】A【分析】由222a b c -=结合余弦定理可求得π4A =，由cos sin =b C a B 结合正弦定理可求得π4C =，从而可判断出三角形的形状【详解】由222a b c -=，得222b c a +-，所以由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===， 因为(0,π)A ∈，所以π4A =，因为cos sin =b C a B ，所以由正弦定理得sin cos sin sin B C A B =，因为sin 0B ≠，所以πcos sin sin 4C A ===，因为(0,π)C ∈，所以π4C =，所以πππππ442B AC =--=--=,所以ABC 为等腰直角三角形， 故选：A【变式演练】1..(2021·广东·高三阶段练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】先依据条件222b c a bc +=+求得π3A =，再利用2sin sin sinBC A =可以求得b c =，从而判断△ABC 的形状是等边三角形【详解】△ABC 中，222b c a bc +=+，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-=== 又0πA <<，则π3A =由2sin sin sin B C A =，可得2a bc =，代入222b c a bc +=+则有222b c bc bc bc +=+=，则()20b c -=，则b c = 又π3A =，则△ABC 的形状是等边三角形故选：C2.（2023·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（ ）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B =，而cos cos a b A B =，△ sin sin cos cos A B A B=，即tan tan A B =，又△A 、B 为ABC ∆的内角，△A B =，又△222c a b ab =+-，△222ab a b c =+-，△由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，△3C π=，△ABC ∆为等边三角形.故选：B.3.（2023·全国·高三专题练习）已知三角形ABC ，则“222cos cos cos 1A B C +->”是“三角形ABC 为钝角三角形”的（ ）条件.A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【分析】利用同角的三角函数的基本关系式、正余弦定理可判断两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.【详解】因为222cos cos cos 1A B C +->，故2221sin 1sin 1sin 1A B C -+--+>， 故222sin sin sin C A B >+，故222c a b >+，故222cos 02a b c C ab+-=<，而C 为三角形内角，故C 为钝角，但若三角形ABC 为钝角三角形，比如取2,63C B A ππ===，此时2221cos cos cos 14A B C +-=<，故222cos cos cos 1A B C +->不成立，故选：A.【题型四】面积与最值【典例分析】（2021·江苏·高三课时练习）在锐角三角形ABC 中,cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C +=，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）AB ．C ．D ．【答案】Ccos 2B B +=结合同角三角函数基本关系，可求出B ，根据正余弦定理由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C +=可得b ,再利用余弦定理及均值不等式求ac 最大值，代入面积公式即可.cos 2B B +=得cos 2B B =,所以2221cos sin 44sin B B B B =+=+-，即2(2sin 0B =,解得sin B =由锐角三角形知3B π=,cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=， 22222222a c b a b c abc abc +-+-∴+=，即222a abc =b =2222126cos 122a c b ac B ac ac ac+--∴=≥=-，当且仅当a c =时等号成立，解得12ac ≤，11sin 1222ABC S ac B ∆=≤⨯=当且仅当a c =时等号成立，故选：C【变式演练】1.（2020·全国·高三课时练习）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，b =且ABC ∆面积为222)S b a c --，则ABC ∆面积S 的最大值为( ) A．2 B．4-C．8-D．16-【答案】B【解析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B ，可得cos B ，sin B 的值，由余弦定理，基本不等式可求8(23)ac -，根据三角形的面积公式即可求解其最大值． 【详解】解：222331()(2cos )sin12122S b a c ac B ac B =--=-=，tan B ∴=，56B π=，cos B=，1sin 2B =， 又22b =228(23)a c ac =++，88(223ac∴=+， 当且仅当a c =时取等号，111sin 8(24222ABC S ac B ∆∴=⨯⨯=- ∴面积S 的最大值为4-B ．2.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a bkab +=，则△ABC的面积为22c 时，k 的最大值是（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】B【分析】由三角形的面积公式，可得2sin c ab C =， 根据余弦定理，可得22sin 2cos a b ab C ab C +=+，则整理出以k 为函数值的三角函数，根据三角函数的性质，可得k 的最值.【详解】由题意得21sin 22ABC c S ab C ==，所以2sin c ab C =，又因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos sin 2cos a b c ab C ab C ab C +=+=+，所以()22sin 2cos a b k C CC abϕ+==++，其中tan 2ϕ=，且0k >， 所以k 的取值范围为(，故选：B. 3.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若8,sin 2sin cos 0ac B C A =+=，则ABC 面积的最大值为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【答案】C【分析】根据sin 2sin cos 0B C A +=利用三角恒等变换和正余弦定理得到2222b a c =-，再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围，由此得B 的范围，从而得到sin B 的最大值，从而根据1sin 2ABC S ac B =可求△ABC 面积的最大值．【详解】sin 2sin cos 0B C A +=，()sin 2sin cos 0A C C A ∴++=，即sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C C A ++=， 即sin cos 3cos sin 0A C A C +=，则2222223022b a c b c a a c ab bc+-+-⋅+⨯⨯=，理得2222b a c =-， △2222222223232cos 2244a ca c a cb ac ac B ac ac ac ac -+-+-+====当且仅当a 2=3c 2⇔c =√√3a =√8√3时取等号，π10sin 62B B ⎛⎤∴∈∴ ⎥⎝⎦，，， 则111sin 82222ABCS ac B =⨯⨯=．故选：C ．【题型五】周长与最值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin cos 6A A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．[)6,8B ．[]6,8C ．[)4,6D ．[]4,6【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得3sin A π+=（），结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =- ，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．【详解】△ sin 6A cos A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭12sinA sinA ∴-=可得：3sin A π+=（）40333A A ππππ∈+∈（，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=，△4b c +=， △由余弦定理可得222222163a bccosA b c bc bc bc =-=+--=-（），△由4b c +=，b c +≥，得04bc ≤＜，△2416a ≤＜，即24a ≤＜．△ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，） ．故选：A ．【变式演练】1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sinA +cos(A +π6)=√32，b +c =4，则ABC ∆周长的取值范围是 A ．[6,8) B ．[6,8] C ．[4,6) D ．(4,6]【答案】A 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin （A +π3）=√32，结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得a 2=16−3bc ，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围． 【详解】△sinA +cos(A +π6)=√32，∴sinA +√32cosA −12sinA =√32，可得：sin （A +π3）=√32，∵A ∈（0，π），A +π3∈（π3，4π3），∴A +π3=2π3，解得A =π3，△b +c =4，△由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =（b +c ）2−2bc −bc =16−3bc ，△由b +c =4，b +c ≥2√bc ，得0＜bc ≤4，△4≤a 2＜16，即2≤a ＜4． △ABC 周长L =a +b +c =a +4∈[6，8） ．故选A ．2.（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinsin 2B Cb a B +=，a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故b c +≤b c ==.故△ABC 周长的最大值为a b c ++故答案为：3.（2022·全国·高三专题练习）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin Aa ==，则该三角形周长的最大值为___________.【分析】利用正弦定理化简式子，求出tan B 的值，进而求出B 的大小，由余弦定理结合基本不等式即可求出a c +≤.【详解】由正弦定理变形有：sin sin A B a b =，又因为sin A a ==sin B B =，则tan 3B B π=2=1b ===又因为()()()()222222212cos 3344a cb ac ac B a c ac a c a c +=+-=+-≥+-⋅=+，所以()2264464a cb ac +≤=⨯=⇒+≤ “a c =”时取等.则该三角形周长的最大值为a b c ++==.【题型六】角的最值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习（理）（文））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c sin C ＝(a ＋b )(sin B －sin A )，则当角C 取得最大值时，B ＝（ ） A ．3π B ．6πC ．2π D ．23π【答案】D 【分析】利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理与基本不等式求得C 的最大值，再通过三角形的形状，即可求得此时对应的B .【详解】由正弦定理得2c 2＝(a ＋b )(b －a )，即b 2－a 2＝2c 2．又cos C ＝2222a b c ab +-＝2234a b ab +当且仅当3a 2＝b 2，即b 时，cos C C 取到最大值6π.当b 时，3a 2－a 2＝2c 2，则a ＝c ．所以A ＝C ＝6π，从而B ＝π－A －C ＝23π．故选：D .【变式演练】1.（2022·安徽淮南·一模（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数()()322213f x x bx a c x =+++无极值点，则角B 的最大值是（ ）A ．34πB ．2πC ．4π D ．6π【答案】A【分析】由题知()()22220f x x bx a c '=+++=无解或有两个相等的解，即()()222240b a c ∆=-+≤，再由余弦定理得角B 的范围．【详解】解：因为()()322213f x x bx a c x =+++无极值点，所以()()22220f x x bx a c '=+++=无解或有两个相等的解，所以()()222240b a c ∆=-+≤，所以222cos 2a c b B ac +-=≥，因为()0,B π∈，所以304B π<≤．故选：A2. 2.（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2sin sin sin a A c C b B +=，则角A 的最大值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【答案】A【分析】根据正弦定理先将角化边，再运用余弦定理和基本不等式得到cos A 的范围进而得到最后的结果 【详解】因为2sin sin sin a A c C b B += 所以2222a c b +=，进而可得2222a b c =-2222222221()32cos 224b c b c b c a b c A bc bc bc+--+-+===因为223b c +≥=，当且仅当b =时等号成立所以cos A ≥=又因为(0,)A π∈所以角A 的最大值为6π故选：A3.已知锐角△ABC 中,角、、A B C 对应的边分别为a b c 、、,△ABC的面积)222S a b c =+-,若24)tan bc a b B -=（, 则c 的最小值是ABCD【答案】C 【详解】分析：利用余弦定理列出关系式，代入已知等式中，并利用三角形面积公式化简求出C 的度数，再对24)tan bc a b B -=（进行化简整理，最后利用基本不等式求得.详解：)2221cos sin 2S a b c C ab C =+-==，即tan C =，6C π∴=.又A B C π++=，56A B π∴+=,又△ABC 为锐角三角形，∴025062B B πππ<<<-<，解得32B ππ<<， ∴)tan B ∈+∞，又24)tan bc a b B -=（，5sin 24246tan 242424242424sin sin B bc a a sinA B c c c b b B Bπ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴==-=-=-， 即1tan 24242tan B c B ⎛=- ⎝⎭1224tan tan c B B ∴-+≥=，当且仅当12tan tan B B =，即tan B =.24c ∴-≥c ≥故选C.【题型七】最值【典例分析】在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则22a cca c ac a +++的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．14D ．4 四川省成都市成都市石室中学2020-2021学年高三下学期期中数学试题 【答案】A【分析】由1sin 2ABC S ac B =△可解得4ac =，结合基本不等式，知24a c ac +=；经过变形化简可将原式整理为222()2()a c a c ac ca c ac a ac a c +-+=+++，令t a c =+，则[4t ∈，)+∞，2818()()44t f t t t t-==-，结合函数的单调性即可得解．【详解】由1sin 2ABC S ac B =△可知，11122ac =⨯，解得4ac =，由基本不等式得，24a c ac +=．22222()2()()()()a c a c a c a c acca c ac a c a c a c a ac a c ac a c ++-+=+==++++++， 令t a c =+，则[4t ∈，)+∞，∴222818()()44a c t f t t ca c ac a t t-+===-++，在[4，)+∞上单调递增， ()min f t f ∴=（4）12=，即22a c ca c ac a +++的最小值为12． 故选：A ．【变式演练】1..锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2sinA(acosC +ccosA)=√3a ，则cb 的取值范围是（ ） A ．(12,2)B ．(√33,2√33)C ．(1,2)D ．(√32,1)【答案】B【分析】根据正弦定理，结合2sinA(acosC +ccosA)=√3a 可求得角B ．又由三角形为锐角三角形，求得角C 的取值范围，即可求解．【详解】由正弦定理得，2sinA(sinAcosC +sinCcosA)=√3sinA ⇒sin(A +C)=√32⇒B =π3又∵A,C ∈(0,π2)∴π6<C <π2⇒12<sinC <1⇒c b=sinC sinB=2√33sinC ∈(√33,2√33) 故选B.2.在锐角ABC ∆中，A =2B ，则ABAC 的取值范围是A ．(−1,3)B ．(1,3)C ．(√2,√3)D ．(1,2)【答案】D【分析】根据在锐角ABC ∆中，每个角都是锐角确定B 的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求出范围即可.【详解】在锐角ABC ∆中，{0<2∠B <π20<∠B <π20<π−3∠B <π2可得π6<∠B <π4，cosB ∈(√22,√32),cos 2B ∈(12,34)，所以由正弦定理可知AB AC=cb =sinC sinB=sin3B sinB=3sinB−4sin 3BsinB=3−4sin 2B =4cos 2B −1∈(1,2)，故选D.3.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S，若222c a b S --b a 的取值范围为A ．（0，+∞）B ．（1，+∞） C ．(0D．)+∞【答案】A 【分析】根据222c a b S --=2222a b c C ab +-=,可得cos C C =,可得tan C =可得23C π=,再利用正弦定理可得sin sin b B a A =,12,根据A 的范围可得答案.【详解】由222c a b S --=得2221sin2a b c ab C +-= ,所以2222a b c C ab +-=,所以cos C C =,所以tan C =又0C π<<,所以23C π=, 所以sin()sin cos cos sin )sin 333sin sin sin A A A b B a A A A πππ--===1sin 122sin 2A AA -=,因为03A π<<,所以0tan A <<所以1tan A >所以102b a >=, 所以ba 的取值范围为(0,)+∞.故选:A【题型八】切弦互化求最值【典例分析】ABC 中，角,,A B C 的对边长分别为a,b,c ，若acosB −bcosA=35c ，则tan (A −B )的 最大值为 ( ）A ．43B ．1C ．34D 【全国百强校】黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题 【答案】C 【分析】利用正弦定理，将已知等式化简整理得sinAcosB =4sinBcosA ，两边同除以cosAcosB ，得到tanA =4tanB ，利用两角差的正切公式，得tan (A −B )=31tanB+4tanB，最后利用基本不等式求最值 . 【详解】∵acosB −bcosA =35c ，∴结合正弦定理与sinC =sin (A +B )，可得sinAcosB −sinBcosA =35(sinAcosB +cosAsinB )，整理得sinAcosB =4sinBcosA ， 同除以cosAcosB ，得tanA =4tanB ，由此可得tan (A −B )=tanA−tanB 1+tanAtanB =3tanB 1+4tan 2B =31tanB+4tanB ，∵A,B 是三角形内角，且tan A 与tan B 同号，∴A,B 都是锐角，即tanA >0,tanB >0，∴tan (A −B )=31tanB+4tanB ≤34，当且仅当1tanB=4tanB ，即tanB =12时，tan (A −B )的最大值为34，故选C.【变式演练】1.在ABC ∆中，若111tan tan tan B C A+=，则cos A 的取值范围为 A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】分析：由已知等式正切化为弦，可得2sin cos sin sin AA B C=，结合正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得cos A的最小值，从而可得结果.详解：111tan tan tan B C A +=，cos cos cos sin sin sin B C A B C A ∴+=，可得sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin sin C B C B A A B C B C A +==， 2sin cos sin sin A A B C ∴=，又22,cos sin sin sin a b c a R A A B C bc ====，22222b c a a bc bc+-∴=，可得2223a b c =+，222222222223cos 22333b c b c b c a b c bc A bc bc bc bc ++-+-+∴===≥=，cos A ∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B. 2.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若a 2+b 2=2014c 2，则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为A ．2013B ．1C ．0D ．2014【答案】A 【分析】由a 2+b 2=2014c 2，利用余弦定理可得a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinA cosA ⋅sinBcosB sinC cosC (sinA cosA +sinBcosB)=2sinAsinBcosC sinCsin(A+B)=2abcosCc 2即可得出．【详解】△a 2+b 2=2014c 2，△a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ． △2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinA cosA ⋅sinBcosB sinC cosC (sinA cosA +sinBcosB)=2sinAsinBcosC sinCsin(A+B)=2abcosCc 2=2013．故答案为：A3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则1tanA−1的取值范围是A ．⎛ ⎝⎭B ．(1,√2)C ．(2√33,√2) D ．(1,+∞)【答案】A根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、B 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围. 【详解】因为b 2−a 2=ac ，所以c 2−2accosB =ac ∴c −2acosB =a ∴sinC −2sinAcosB =sinA,sin(A +B)−2sinAcosB =sinA,∴sin(B −A)=sinA ∴B −A =A,B =2A因此1tanA−1tanB=1tanA−1tan2A=1tanA−1−tan 2A 2tanA=1+tan 2A 2tanA=12(tanA +1tanA), 因为ΔABC 为锐角三角形，所以0<A <π2,0<B =2A <π2,0<C =π−B −A =π−3A <π2∴π6<A <π4,√33<tanA <1因为y =12(x +1x )在(√33,1)上单调递减，所以1tanA−1tanB∈(1,2√33)，选A.【题型九】解三角形应用题【典例分析】（2022·江苏·高三课时练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（ ）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A B C D 【答案】D【分析】由题可得，20BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连接'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，分类讨论，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，可求出PP '和'AP ，从而可得出2320tan 225xx θ-=+，利用函数的单调性，可得出0x =时，取得最大值；若P '在CB 的延长线上，同理求出PP '和'AP ，可得出220tan 225x x θ+=+454x =时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．【详解】解：15,25AB cm AC cm ==，AB BC ⊥，由勾股定理知，20BC =，过点P 作PP BC '⊥交BC 于P '，连结'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，由30BCM ∠=︒，得tan30)PP CP x ''=︒-，在直角ABP '△中，AP '220tan 225x x θ-∴+令y =，则函数在[0x ∈，20]单调递减，0x ∴=时，；若P '在CB 的延长线上，tan30)PP CP x ''=︒+，在直角ABP '△中，AP '220tan 225xx θ+∴+22(20)225x y x +=+，则0y '=可得454x =. 故答案为：539．【变式演练】1.（2022·全国·高三课时练习）如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,MO ON 上分别设置两个出口,A B ，若AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为20千米，则AB 的最短距离为（ ）A ．)201千米B ．)401千米C ．)201D ．)401【答案】D【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到(22AB ab ≥，使用正弦定理及三角恒等变换得到ab ≥AB 的最短距离. 【详解】在ABC 中，135AOB ∠=︒，设,AO a BO b ==，则(222222cos1352AB a b ab a b ab =+-︒=+≥，当且仅当a b =时取等号，设BAO α∠=，则45ABO α∠=︒-，又O 到AB 的距离为20千米，所以20sin a α=，()20sin 45b α=︒-，故()400sin sin 45ab αα=︒-（22.5α=︒时取等号），所以)221600216001AB ≥=，得)401AB ≥，故选：D2.在一座尖塔的正南方地面某点A ，测得塔顶的仰角为2230'︒，又在此尖塔正东方地面某点B ，测得塔顶的仰角为6730︒'，且A ，B 两点距离为540m ，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为（ ） A ．90m B ．100m C ．110m D ．270m 【答案】A 【分析】作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项. 【详解】如下图所示，设,,OC z OA x OB y ===，则222540x y +=，22.5,67.5OAP OBP ∠=∠=，则22tan 22.5tan 4511tan 22.5==-，解得tan 22.521=，22tan 67.5tan13511tan 67.5==--，解得tan 67.52+1=，所以222540+=，解得z =所以1x ==)y ==要使点C 处测得塔顶的仰角为最大，则需tan PCO ∠最大，也即需OC 最小，所以OC AB ⊥，又1122ABOSOA OB AB OC =⨯⨯=⨯⨯，即(90540OA OB OC AB ⨯===， 所以C 点到塔底O 的距离为90m ，故选：A.3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD 的周长为4米，沿AC 折叠使B 到B′位置，AB′交DC 于P ，研究发现，当ΔADP 的面积最大时最节能，则最节能时ABCD 的面积为A ．3−2√2B ．C ．2(√2−1)D ．2【答案】C 【分析】本题可以先通过设AB 、DP 分别为x 、y ，再通过题目所给信息以及AD 2+DP 2=PA 2得出x 、y 之间的关系，然后通过ΔADP 的面积列出算式，当其最大时求出AB 的值，最后得出结果． 【详解】设AB 为x ，DP 为y ，因为四边形ABCD 是周长为4的长方形，AB 为x 所以AD 为2−x ，DC 为x ， 因为DP 为y ，所以PC 为x −y ， 由题意可知，PC =PA ，所以有AD 2+DP 2=PA 2，即(2−x )2+y 2=(x −y )2，化简得y =2−2x ， 所以S ΔADP =12(2−x )(2−2x )，化简得S ΔADP =3−(2x +2)，所以当x =√2时ΔADP 面积最大，此时S ABCD =√2(2−√2)=2(√2−1)，故选C ．1．（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C sin cos c B A =，则tan A 等于（ ）A ．3B ．13-C ．3或13- D ．-3或13【答案】A【分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===，sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅，sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A. 2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（ ）A．1 B C D ．3 【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.3．（2020·全国·高考真题（文））在△ABC 中，cos C =2，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .B 【详解】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C4．（2014·江西·高考真题（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ）A ．19B ．13 C ．1 D ．72【答案】D【分析】根据正弦定理边化角求解即可.【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D5．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =.故选：A.6．（2019·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,46422422b c a c c c b A bc bc c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．7．·湖南·高考真题（文））在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A B C D 【答案】B2sin 60sin A A A =⇒==所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=则BC 边上的高h C ===，应选答案B .点睛：解答本题的思路是先运用正弦定理求出cos A ，再运用两角和的正弦公式求得sin C =，再解直角三角形可求得三角形的高h C =，从而使得问题获解.8．（2018·全国·高考真题（理））ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【详解】分析：利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABC a b c S absinC +-==所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.9.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S =a ，b ，c 是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S =S10．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________．1##-【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++44≥=- 当且仅当311m m+=+即1m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =-.故答案为：31-.11．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.【详解】根据余弦定理：22212cos 4922372BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，得BC =△ABC 3sin 3=.故答案为 12．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 60B =︒，223a c +=，则b =________． 【答案】【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，1sin 2ABC S ac B ==，所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得b =.故答案为：13．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185或0 【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】△,,A D P 三点共线，△可设()0PA PD λλ=>，△32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，△32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫-⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，△321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=，△9AP =，△3AD =，△4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，△5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.△根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，△()cos cos 0θπθ+-=，△()()2570665x x x --+=-，解得185x =，△CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185. 14．（2020·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB △AC ，AB △AD ，△CAE =30°，则cos△FCB =______________.【答案】14-【分析】在ACE 中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.【详解】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ，同理得BD BF BD ∴==ACE 中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=，1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-.15．（2019·全国·高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.【答案】34π.【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ．【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．16．（2019·全国·高考真题（理））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC的面积为__________.【答案】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯=1.（2022·江西·模拟预测（文））在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足1cos A A +=，sin 6cos sin A B C =，则bc的值为（ ）A ．1B ．1+C ．1+D ．1+【答案】A【分析】由题设化简1cos A A +=可得120A =︒，余弦定理结合sin 6cos sin A B C =可得(1b c =，即可得出答案.【详解】由题设可得22sin cos 222A A A =，即tan 2A ，则120A =︒，故由余弦定理可得222a b c bc =++；。
三角函数经典题型总结
三角函数的经典题型主要包括以下几个方面：
1. 三角函数的基本性质和公式应用：
-三角函数的基本关系：sin²θ+ cos²θ= 1，tanθ= sinθ/cos θ等。
-诱导公式：sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)等的公式。
-二倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式等。
2. 解三角形问题：
-正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
-余弦定理：a²= b²+ c²- 2bc cosA，同理可得其他边和角的关系。
-利用正弦定理和余弦定理解决边角关系问题。
3. 三角函数图像和性质：
-正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质。
-利用图像解三角函数方程和不等式。
4. 三角函数的应用问题：
-在物理中的应用，如振动问题、波动问题、光学问题等。
-在地理学中的应用，如地图上的方位角、距离计算等。
-在工程学中的应用，如结构力学、电路分析等。
5. 三角函数的复合与逆运算：
-复合三角函数的运算，如sin(cosx)，cos(sinx)等。
-三角函数的反函数，如arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。
6. 三角恒等式的证明：
-利用三角函数的基本关系和公式进行恒等式的变形和证明。
以上就是三角函数的一些经典题型总结，掌握这些题型的解题方法和技巧，可以有效地提高解决三角函数问题的能力。
解三角形的知识总结和题型归纳
解三角形的知识总结和题型归纳一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
高考中三角函数和解三角形的真题（常见的题型）汇总
三角函数类型一：角度的概念、弧长和三角函数的概念1已知角q 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若),4(y P 是角q 终边上的一点，且552sin -=q ，则y的值的值2已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所对的弧长是 3若0cos sin <q q ，则角q 在第在第___________________________象限角。
象限角。
象限角。
4 4 已知已知q 为第二象限角；则2q可能为第可能为第_____________________象限角。
象限角。
象限角。
5已知q 为第二象限角；则24a p +所在的象限是所在的象限是_____________________。
6已知角a 的终边过点)60cos 6,8(--m P ，且54cos -=a ，则m 的值为的值为7在平面直角坐标系中，若角a 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终点经过点)4,3(a a P -)0(<a ，则a a cos sin +的值为的值为8 8 已知角已知角a 的终边经过点)3,4(-，则a cos 等于等于答案：1 -8-8；；21sin 2；3 二或四；4 一或三；5 一或三；6 21；7 51；8 54-。
类型二：同角三角函数的求值与化解（a a a a a cos tan sin ,1cos sin 22×==+）1求300sin =_______=_______。
2已知3cos sin cos sin =-+xx x x ，则x tan 的值是的值是________________________。
3若点)9,(a 在函数xy 3=的图像上，则6tanpa 的值为的值为 4已知a 是第二象限角，135sin =a ，则a cos 的值的值5已知51)25sin(=+a p ，那么a cos 的值的值6已知21tan -=a ，则1cos 22sin 2--a a 等于等于7)1410tan(-的值的值8 8 记记cos(80)k -°=,那么tan100°= 9已知11-tan tan -=a a，则2cos sin sin 2++a a a = 10 已知角)2,0(p Îx ，21cos 22££-x 的解集是_____。
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类-(原卷 版)
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】三角函数求解析式：“识图”................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域................................................................................................ 3 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 4 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 5 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴................................................................................................ 6 【题型六】解三角形1：面积与周长常规................................................................................................ 8 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 9 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ...................................................................................... 10 【题型九】解三角形4：周长最值 ......................................................................................................... 11 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ...................................................................... 11 【题型十一】解三角形6：最值范围综合.............................................................................................. 12 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟测试 .. (14)【题型一】三角函数求解析式：“识图”【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：(1)求()f x ；(2)若2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,πα∈，求cos2α的值．3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A ωϕωϕπ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【题型二】图像与性质1：单调性与值域【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【变式演练】1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2sin cos cos 04f x x x x ππωωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求()f x 图象的对称轴方程；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在①sin α=①2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________. (1)求tan α的值；(2)3)cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式演练】1.（2022·北京·二模）已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围． 条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件①：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．条件①：π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件①：()f x 为偶函数；条件①：()f x 的最大值为1；条件①：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2sin cos f x a x x x x =∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件①：6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()π2sin()3f x x =+．(1)若不等式()3f x m -≤对任意ππ[,]63x ∈-恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()π()2g x f x =-，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()102h x k -=在π5π[,]1212x ∈-上有2个不同实数解，求实数k 的取值范围．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递减区间；(3)若函数()()g x f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）【题型五】图像与性质4：零点与对称轴【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【题型六】解三角形1：面积与周长常规【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）在ABC 中，点,M N 分别在线段,BC BA 上，且,BM CM ACN BCN =∠=∠，3,22AB AM AC ===．(1)求BM 的长;(2)求BCN △的面积．【变式演练】1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin2sin =a b c C C ． (1)求C ∠；(2)若1b =，且ABCABC 的周长．2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，)tan tan tan tan 1+=B C B C . (1)求角A 的大小；(2)若1a =，21)0c b -=，求ABC 的面积.3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0B b A -=. (1)求A ；(2)若c =a =ABC 的面积.【题型七】解三角形2：计算角度与函数值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.【变式演练】1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=. (1)求角C 的大小；(2)若c =4a b +=，求ABC 的面积.(3)若cos =A ，求()sin 2A C -的值.2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ，周长为1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)222S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若2a c =，求sin C ．【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）【典例分析】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A B C B C -=. (1)求A ；(2)若a =ABC 面积的最大值.【变式演练】1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 面积的最大值.2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin cos sin (2cos )A B B A =-．(1)若b c +，求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【题型九】解三角形4：周长最值【典例分析】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABCABC 周长的取值范围.【变式演练】1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()2cos cos 0a c B b C --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的最大值.2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件①12=，条件①：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，= (1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型【典例分析】（2022·四川成都·模拟预测（理））①ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，tan tan 2tan tan A AB C bc，cos cos 1b C c B +=．(1)求角A 及边a ； (2)求2b c +的最大值．【变式演练】1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos2B C B C A -=+． (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +的最大值．2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin B c a C b c a b -=+-，①23cos cos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【题型十一】解三角形6：最值范围综合【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）记ABC 内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B CB A A=-.(1)求证：2222b c a +=；(2)求2abc 的取值范围.【变式演练】1.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已cos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形且c =22a b +的取值范围．2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan bB a =．(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论； (2)求cos cos cos A B C ++的取值范围．1．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ． 3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c 1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7．（山东·高考真题）已知函数()2sin 2y x ϕ=+，x ∈R ，π02ϕ<<，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值： （2）函数的单调递增区间．8．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量(sin a x =，(1,cos )b x =．(1)若a b ⊥，求sin 2x 的值；(2)令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()3,sin 26f x x x a a a g x x π⎛⎫=--+∈=+ ⎪⎝⎭R ．(1)若()f x 为奇函数，求实数a 的值；(2)若对任意[]10,1x ∈，总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==.(1)求cos C ;(2)若5a =，求c .7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=． (1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=； (2)若3A B =，求B 的值．8.（2022·全国·高三专题练习）在①2cos cos c b B a A -=；①sin cos 2AA =；()sin a C C =，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若__________．（填条件序号） (1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①sin (sin sin )sin a A c C A b B +-=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =______________. (1)求角B ；(2)求a c +的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10.（2022·山东烟台·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边BC 上，3AB =，2AC =． (1)若AD 是BAC ∠的角平分线，求:BD DC ；(2)若AD 是边BC 上的中线，且AD =，求BC ．12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos210cos 10A A +-=，①sin cos A A -=①tan 2A =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分． 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______ (1)求cos A ；(2)sin sin B C 的最大值．。
专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类(解析版)
专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类一、重点题型目录【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域 【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数 【题型】六、五点法求三角函数的解析式 【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数 二、题型讲解总结【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在56x π=时取得最大值，则()f x 在[π,0]-上的单调增区间是（ ） A ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】D【分析】根据题意可得5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则可求出ϕ，由于0A >，所以利用正弦函数的性质可求出答案.【详解】解：因为函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在5π6x =取最大值所以5πsin 6A A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 62k k ϕ+=+∈，得ππ,Z 3k k ϕ=-+∈ 又因为π02ϕ-<< 所以π3ϕ=-， 所以π()sin (0)3f x A x A ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，得5ππ22,Z 66ππk x k k -+≤≤+∈， 所以()f x 的递增区间为()π5π2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[π,0]-上的单调增区间是π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：D ．例2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是（ ）A ．,112π⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答.【详解】在函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，由2,Z 62x k k πππ-=+∈得，,Z 23k x k ππ=+∈， 所以函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是(,1)(Z)23k k ππ+∈，显然B ，D 不满足，A 不满足，当0k =是，对称中心为(,1)3π，C 满足.故选：C例3．（2022·湖北·宜都二中高三期中）已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象可由()cos g x A x ω=图象向右平移π9个单位长度得到B ．()f x 图象的一条对称轴的方程为5π9x =-C ．()f x 在区间29π17π,3636⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()2f x ≥的解集为2k π2π2k π,()393k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】ABD【分析】根据函数的振幅、周期、及过点4,49π⎛⎫-⎪⎝⎭可求得π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 对于选项A ：利用函数图象的平移检验即可；对于选项B ：令ππ3π,62x k k +=+∈Z 可解得()f x 图象对称轴的方程,检验是否能取到5π9x =-即可. 对于选项C ：求出π9π5π3,644x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，验证正弦函数在9π5π,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭是否单调增.对于选项D ： 直接解三角不等式π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可获得答案.【详解】由题意知34ππ4,4918A T ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，解得2π3T =，所以2π3T ω==， 所以()4sin(3)f x x ϕ=+.又点4,49π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()f x 的图象上， 所以4π4sin 349ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以4π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ， 解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又||2ϕπ<，所以ϕ=π6， 所以π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将π()4cos34sin 32g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移π9个单位可得πππ4sin 34sin 3()926y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；令ππ3π,62x k k +=+∈Z ，解得ππ,93k x k =+∈Z ，令2k =-得5π9x =- 所以()f x 图象的对称轴的方程为5π9x =-.故B 正确； 当29π17π,3636x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π9π5π3,644t x ⎛⎫=+∈-- ⎪⎝⎭，sin y t =在9π5π,44t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不是单调递增的，故C 错误；令()2f x ≥，即π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π32π,666k x k k +≤+≤+∈Z ，解得2π2π2π,393k k x k ≤≤+∈Z ，即()2f x ≥的解集为2π2π2π,()393k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故D 正确. 故选：ABD.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()[]π4sin 2,π,03f x x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是________．【答案】7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用正弦函数的单调性以及整体代入的方法，求出()f x 的单调递增区间，结合[]π,0x ∈-，得出答案．【详解】由()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，当1k =-时，13π7π,1212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；又因为[]π,0x ∈-，所以()f x 的单调递增区间为7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心例5．（2023·全国·高三专题练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】先根据辅助角公式得到三个式子的和小于得到在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+三个值中，，再举出例子，得到三个值中，有2个值符合要求，故得到答案.【详解】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=>sin cos βγ+=+>sin cos 1γα+=<的个数最多有2个. 故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知()1cos cos 2222x x x f x ⎫=+-⎪⎭，若存在0ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式，不等式()205122f x m m ≤--在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上能成立等价于()2min 51,22f x m m -≤-求得()f x 的最小值后解不等式即可求解【详解】()21sin cos 2222x x xf x =+-1cos 11cos 222x x x x +=+-=+ cossin sin cos 66xx x π=+. sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0π ,33x π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解则 ()2min 51,22f x m m -≤-π,33x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ πππ,662x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1sin 126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ 当3x π=-时，()f x 取得最小值，ππ1sin 362f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以 2511,222m m --≥-解之得：52m或0m m ∴的取值范围是(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：B例7．（2022·湖南·高三开学考试）若函数()22cos f x x x m ++在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6，则下列结论正确的是（ ） A ．5π512f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2π是函数()f x 的一个周期C ．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()4c f x c <<+恒成立，则实数c 的取值范围是[)2,3D ．将函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 是一个偶函数 【答案】BD【分析】先根据三角恒等变换整理得()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，以π26x +为整体，结合正弦函数图像与性质运算求解，并运用图像平移处理求解判断．【详解】()2π2cos cos212sin 216f x x x m x x m x m ⎛⎫++=+++=+++ ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ7π2,666x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当π6x =时，()f x 的最大值为6，即3m =，所以5π412f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项A 不正确； ∵()f x 的最小正周期2ππ2T ==，则2π是函数()f x 的一个周期，选项B 正确； 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()36f x ≤≤，所以不等式()4c f x c <<+恒成立，则364c c <⎧⎨<+⎩，解得23c <<，选项C 不正确；函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()πππ2sin 242sin 242cos24662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()g x 是一个偶函数，选项D 正确. 故选：BD ．例8．（2023·广东·高三学业考试）已知函数22()cossin 22x xf x a =--，R a ∈ (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，求a 的取值范围．【答案】(1)22[]k k πππ-， ，k ∵Z (2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解即可.（1）22()cos sin cos 22x xf x a x a =--=- 当22k x k πππ-≤≤ ，k ∵Z 时，()f x 单调递增，∵函数()f x 的单调递增区间为22[]k k πππ-，，k ∵Z ． （2）函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，也就是cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解．∵当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1cos ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．∵a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域例9．（2023·全国·高三专题练习）若将()sin 214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A1 B ．2C 1D ．2【答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，再求()g x 在闭区间上的最值【详解】因为()si 1442n g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()min 1g x =． 故选：C例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x < D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立【答案】ACD【分析】利用正弦型函数的周期公式求周期判断A ，利用正弦型函数的对称性可判断B ，利用正弦型函数的单调性可判断C ，利用正弦型函数的值域可判断D.【详解】∵函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期22T ππ==，所以()()f x f x π+=恒成立， 故A 正确；又2sin 216f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 11663f πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2sin 11663f πππ⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6666f f ππππ⎛⎫⎛⎫+≠--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象不关于原点对称，故B 错误；当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，所以22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()1,3f x ⎤∴∈⎦，又)213>，即min max 2()()f x f x >，所以对123,,[,],32x x x ππ∀∈有132()()()f x f x f x +>成立，故D 正确.故选：ACD.例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，点D 位于以AB 为直径的半圆上（含端点A ，B ），ABC 是边长为2的等边三角形，则AD CB ⋅的取值可能是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．4【答案】BC【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示求AD CB ⋅，化简求其范围，由此可得结论. 【详解】如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,，(0,C .令()cos ,sin D θθ，其中0θπ≤≤，则()cos 1,sin AD θθ=+，(1,CB =，所以cos 12sin 16AD CB πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭.因为0θπ≤≤，所以7666πππθ≤+≤，所以1sin 126πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以[]2sin 10,36AD CB πθ⎛⎫⋅=++∈ ⎪⎝⎭.故选：BC.例12．（2023·全国·高三专题练习）函数()ππsin 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______．【答案】2【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到()2cos f x x =，从而求出最大值.【详解】()πππππsin cos 36362f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππcos 2sin 2sin 2cos 33362x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 的最大值为2 故答案为：2【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3x π=时()f x 取得最小值C ．()f x 关于3x π=对称 D ．512x π=时()f x 取得最大值 【答案】D【分析】结合二倍角正弦公式和辅助角公式化简()f x ，再结合正弦函数性质判断各选项.【详解】因为()2sin cos f x x x x =，所以()sin 2f x x x =，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，A 错误，2sin 22333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BC 错误，552sin 2212123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A．1 B ．1C ．1D ．3【答案】C【分析】利用换元法，令sin cos t x x =+，则原函数可化为21y t t =+-，再根据二次函数的性质可求得其最大值【详解】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[t ∈，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[t ∈，对称轴为12t =-，所以当t =时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为211=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为1 故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．3【答案】C【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到1()sin(2)26f x x π=+-，然后再求其在区间[,]42ππ上的最大值．【详解】解：因为2()sin cos f x x x x =，所以1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．例16．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）已知函数()3sin 222f x x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f xD ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称 【答案】ACD【分析】化简()πsin 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x .利用周期公式求出周期可判断A ；计算π3⎛⎫⎪⎝⎭f 可判断B ； 利用π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x 可判断C ；计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断D【详解】()3πsin 22sin 226f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 对于A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；对于B ，πππ20336f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()max f x C 正确；对于D ，πππ2666f ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 正确.故选：ACD.【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∵N *．要求ω最大，则周期最小，∵()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∵ω＝2k ﹣1；当9ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ．例18．（2023·全国·高三专题练习）若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin()4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．3【答案】C【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则πππ,N 442k k ωπ-=+∈，即43,N k k ω=+∈， 由πππ242x ω-≤-≤得π3π44x ωω-≤≤，则函数πsin()4y x ω=-在π3π[,]44ωω-上单调递增， 而函数πsin()4y x ω=-在区间π[0,]12上不单调，则3π412πω<，解得9ω>， 所以ω的最小值为11. 故选：C例19．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()()πsin 026f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，()()π0f x f x ++=，()()()0πf f αβαβ=<<<，则（ ）A ．()()4πf x f x =+B ．()()9π0f x f x ++=C ．()()12f f αββα+<-= D ．()()12f f βααβ-<+=【答案】AB【分析】推导出()()2πf x f x +=，可判断AB 选项；求出2π3αβ+=，并求出()f βα-的取值范围，可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，对任意的R x ∈，()()πf x f x +=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=， 所以，()()()4π2πf x f x f x +=+=，A 对；对于B 选项，()()()9ππf x f x f x +=+=-，则()()9π0f x f x ++=，B 对； 对于CD 选项，由题意可知，()f x 的最小正周期为2π，则2π12πω==，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππ7π666x <+<， 由πππ662x <+<可得π03x <<，则函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 由ππ7π266x <+<可得ππ3x <<，则函数()f x 在π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，0παβ<<<，则πππ7π6666αβ<+<+<， 所以，πππ66αβ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π3αβ+=，所以，()2ππ5π1sin sin 3662f αβ⎛⎫+=+==⎪⎝⎭，C 错， 因为πππ7π6666αβ<+<+<，则πππ662α<+<，所以，π03α<<， 则2π2π20,33βαα⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，所以，ππ5π,666βα⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 故()1,12f βα⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，则()()12f f βααβ->+=，D 错.故选：AB.【题型】六、五点法求三角函数的解析式例20．（2023·全国·高三专题练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，周期为2π，初相位为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-【答案】A【分析】由振幅可得A 的值，由周期可得ω的值，由初相位可得ϕ的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.【详解】解：因为噪音的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，则1A =， 周期为2π，则2π2π12πT ω===，初相位为π2，π2ϕ=，所以噪声的声波曲线的解析式为πcos sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为sin y x =．故选：A.例21．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）函数()()sin()0,f x A x b ωϕωϕπ=++><的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的解析式为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象关于点,1(Z)2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对称 D ．为了得到函数()f x 的图象，只需将函数()2cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，再向上平移一个单位长度 【答案】ABD【分析】由题意求出()f x 的解析式可判断A ；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC ；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A ，由图可知，31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A b =⎧⎨=⎩，由π1sin 425π1sin 122ωϕωϕ⎧⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则1122ππ+2π,Z 465π7π+2π,Z126k k k k ωϕωϕ⎧-+=-∈⎪⎪⎨⎪+=∈⎪⎩，两式相减得：()122π4π2π33k k ω=+-， 所以()1223k k ω=+-∵，又因为π2π5ππ33212425ππ2π2π31243T T ωωωω⎧⎧≤≤+⎧⎪⎪≥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪≤≥+≥⎩⎪⎪⎩⎩，所以332ω≤≤，结合∵，2ω=， 因为π5ππ412212-+=，所以πππ21223ϕϕ⨯+=⇒=， 所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得：()5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，故B 正确； 对于C ，令π2ππ,Z 3+=+∈x k k ，解得：ππ,Z 32=+∈k x k ， 函数()f x 的图象关于点()ππ,1Z 32k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，所以C 不正确；对于D ，将函数π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到πππ2cos 22sin 2433⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x ，向上平移一个单位长度可得π2sin 213y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.例22．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知函数()sin 0,0,π()(||)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象．(1)求函数()g x 的解析式；(2)若对于()()2π0,,303x g x mg x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥∀-⎣-⎦∈≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先根据函数图象求出()f x 的解析，再利用图象变换规律可求出()g x 的解析式； （2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，从而可得[]()1,2g x ∈-，然后分()0g x =，()[1,0)g x ∈-和(,])2(0g x ∈求解即可.【详解】（1）由()f x 的图象可得2A =，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以πT =，所以2ππω=，得2ω=，所以()()(|2sin 2π|)f x x ϕϕ=+<， 因为()f x 的图象过5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以5sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以5ππ2π,Z 62k k ϕ+=-∈，得4π2π,Z 3k k ϕ=-∈， 因为||πϕ<，所以2π3ϕ=， 所以()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得32π2π2sin 22sin 3233y x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得 π2ππ2sin 32sin 3636y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，所以π1sin 3,162x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]π2sin 31,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]()1,2g x ∈-，当()0g x =时，30-≤恒成立，当()[1,0)g x ∈-时，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≤-， 因为函数3y x x=-在[1,0)-上为增函数，所以min33()12()1g x g x ⎡⎤-=--=⎢⎥-⎣⎦ 所以2m ≤，当(,])2(0g x ∈，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≥-， 因为函数3y x x=-在(0,2]上为增函数，所以max331()2()22g x g x ⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦ 所以12m ≥， 综上122m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数例23．（2023·全国·高三专题练习）要得到函数π3sin(2)3y x =+的图象，只需要将函数3cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位 C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位【答案】A【分析】由三角函数的图象变换求解【详解】π3cos 23sin(2)2y x x ==+，要得到π3sin(2)3y x =+的图象，需要向右平移πππ23212-=个单位．故选：A例24．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．将函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位得到()=y f x 的图象B ．函数()=y f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()=y f x 的图象关于直线π12x =-对称 D ．函数()=y f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AC【分析】根据图象平移写出解析式判断A ；利用正弦函数性质，整体法判断()f x 的区间单调性判断B ，代入法判断对称性，判断C 、D. 【详解】A ：根据平移过程πππ=()+1=2sin2()+1=2sin(2)+1663y g x x x ---，正确； B ：π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π2(,)333x -∈-，根据正弦函数性质()f x 在区间内不单调，错误；C ：πππ()=2sin()+1=11263f ----，此时ππ2=32x --，故直线π12x =-为对称轴，正确；D ：πππ()=2sin()+1=1633f -，故关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，错误.故选：AC例25．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，所得图像关于原点对称．若01ω<<，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为4πB ．()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．对任意的R x ∈，都有()2π=3f x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x【答案】AB【分析】利用平移后得函数是奇函数求出12ω=，则()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈判断B 正确；由π=13f -⎛⎫⎪⎝⎭判断C 错误；令()=()f x g x 分析得到公，判断D 错误.【详解】将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，可得2ππ()=2sin (+)33h x x ω-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 为奇函数，则(0)0h =，即2ππ=π33k ω-，13=+,22k k Z ω∈， 因为01ω<<，所以1=0=2k ω，，则()1π=2sin 23f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈，得2π=2π+3x k ，()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 正确；π1ππ=2sin(?)=13233f --⎛⎫⎪⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故C 错误；令()=()f x g x ，即1π1πsin =sin +2326x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1π1ππ1πsin +=sin +=cos 2623223x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1π1πsin =sin +=?2326x x ∴-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x故D 错误； 故选：AB.。
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。
（ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=cos 2θ +sin 2 θ=tanx · cotx=tan45 °等。
（ 2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项： sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α =（α + β）－β，β =－等。
2 2（ 3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（ 4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（ 5）引入协助角。
asin θ +bcos θ = a 2 b 2 sin(θ + )，这里协助角 所在象限由 a 、b 的符号确立，角的值由 tan = b确立。
a（ 6）全能代换法。
巧用全能公式可将三角函数化成 tan的有理式。
22、证明三角等式的思路和方法。
（ 1）思路：利用三角公式进行假名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（ 2）证明方法：综合法、剖析法、比较法、代换法、相消法、数学概括法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、剖析法，利用函数的单一性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及鉴别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（ 1）发现差别：察看角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差别剖析”。
（ 2）找寻联系：运用有关公式，找出差别之间的内在联系。
（ 3）合理转变：选择适合的公式，促进差别的转变。
二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目种类多样，变化仿佛复杂，办理这种问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思想与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如1() ( ) 22 ．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
三角函数中的常考题型及其解法
三角函数中的常考题型及其解法三角函数中常考题型及解法：一、求解三角函数值1、求正弦函数值解法：使用正弦定理进行求解，总结如下：（1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式：sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]；（4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。
2、求余弦函数值解法：使用余弦定理进行求解，总结如下：（1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式：cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。
三、求解三角函数表达式1、求正弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。
2、求余弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)-2sin(x)·sin(π/6)。
解三角形十类题型汇总(学生版)
解三角形十类题型汇总近4年考情(2021-2024)考题统计考点分析考点要求2024年I卷第15题，13分高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．(1)正弦定理、余弦定理及其变形(2)三角形的面积公式并能应用(3)实际应用(4)三角恒等变换2024年II卷第15题，13分2024年甲卷第11题，5分2023年I卷II卷第17题，10分2023年甲卷第16题，5分2023年乙卷第18题，12分2022年I卷II卷第18题，12分2021年I卷II卷第20题，12分热点题型解读【题型1】拆角与凑角类型一出现了3个角(拆角)类型二凑角类型三拆角后再用辅助角公式合并求角类型四通过诱导公式统一函数名【题型2】利用余弦定理化简等式类型一出现了角或边的平方类型二出现角的余弦(正弦走不通)【题型3】周长与面积相关计算类型一面积相关计算类型二周长的相关计算【题型4】倍角关系类型一倍角关系的证明和应用类型二扩角降幂类型三图形中二倍角的处理【题型5】角平分线相关计算【题型6】中线相关计算【题型7】高线线相关计算【题型8】其它中间线【题型9】三角形解的个数问题【题型10】解三角形的实际应用类型一距离问题类型二高度问题题型分类解析【题型1】拆角与凑角(1)正弦定理的应用①边化角，角化边⇔a:b:c=sin A:sin B:sin C②大边对大角大角对大边a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B③合分比：a+b+csin A+sin B+sin C =a+bsin A+sin B=b+csin B+sin C=a+csin A+sin C=asin A=bsin B=csin C=2R(2)△ABC内角和定理(结合诱导公式)：A+B+C=π①sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B⇔c=a cos B+b cos A 同理有：a=b cos C+c cos B，b=c cos A+a cos C.②-cos C=cos(A+B)=cos A cos B-sin A sin B；③斜三角形中，-tan C=tan(A+B)=tan A+tan B1-tan A⋅tan B⇔tan A+tan B+tan C=tan A⋅tan B⋅tan C④sinA+B2=cos C2；cos A+B2=sin C2类型一出现了3个角(拆角)1.在△ABC中，2b-3c3a =cos Ccos A，求A的值2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b=2c sin A+π6，求C.3.(湛江一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba =2cosπ3-C，求A.类型二凑角4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a cos A⋅cos B+b cos2A=3c-b，求角A5.(2024届·广州·阶段练习)已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足ca cos B+bacos C=3cos C，求sin C的值6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且bcos B +ccos C=acos A+3acos B cos C，求tan B tan C.7.3a sin A+B2=c sin A，求角C的大小.8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b cos A+B2=c sin B，求C9.在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足b cos B+C2=a sin B，求A.类型三拆角后再用辅助角公式合并求角，求A.10.(深圳一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2a sin C+π611.在△ABC中，3sin C+cos C=sin B+sin Csin A，求A.12.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C+3c sin A=b+c，求A.13.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+3a sin C=b+c，求角A的大小；类型四通过诱导公式统一函数名，求A的值14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin B=b cos A-π615.已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若满足a(sin2A-cos B cos C)+b sin A sin C=0，求角A的大小.，b cos C=c cos B，求A的16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin B=b cos A-π6值.【题型2】利用余弦定理化简等式余弦定理公式a 2=b 2+c 2-2bc cos A ；b 2=c 2+a 2-2ac cos B ；c 2=a 2+b 2-2ab cos C .常见变形cos A =b 2+c 2-a 22bc ；cos B =c 2+a 2-b 22ac ；cos C =a 2+b 2-c 22ab.类型一出现了角或边的平方17.已知△ABC 内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,22a 2cos B +b 2=2ab cos C +a 2+c 2，求B .18.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若B =π3，b 2=94ac ，则sin A +sin C =()A.23913B.3913C.72D.3131319.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2=3b 2+c 2，则tan Atan C=．20.(2023年北京高考数学真题)在△ABC 中，(a +c )(sin A -sin C )=b (sin A -sin B )，则∠C =()A.π6B.π3C.2π3D.5π621.在ΔABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c =252a sin C cos B =a sin A -b sin B +52b sin C ，求b ；22.（2024届·湖南四大名校团队模拟冲刺卷(一)）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为S，且2S sin Csin B +sin A sin C=(a2+b2)sin A，求C的值23.（2024·广东省六校高三第四次联考）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A c cos B+b cos C-c sin B=c sin C+b sin B，求角A24.记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2-a2=2c2，求tan Btan A的值类型二出现角的余弦(正弦走不通)25.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b cos A-a cos B=b-c,求A.26.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且sin A-B=2sin C，证明:a2=b2+2c2.27.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=2b,2sin A=3sin2C，求sin C.28.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，B=2π3，且sin A+sin Bsin C+cos2C=1，求证5a=3c29.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin(A-B)tan C=sin A sin B，求a2+c2.b230.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b-c，求角A.sin B=b sin A-C【题型3】周长与面积相关计算设计周长和面积的相关计算一般会用到余弦定理还有可能需要用到完全平方公式对于完全平方公式：a+b2=a2+b2+2ab，其中两边之和a+b对应周长，两边平方和a2+b2在余弦定理中，两边之积ab在面积公式和余弦定理中都会出现类型一面积相关计算31.已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C=223，a=b+2，c=32，求△ABC的面积．32.(2024新高考一卷·真题)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sin C=2cos B，a2+b2-c2=2ab(1)求B；(2)若△ABC的面积为3+3，求c．33.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，B=2π3，且5a=3c，若△ABC的面积为153，求c34.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π6，△ABC的面积为332，b=2，求a．35.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2A，当a=4,b=6时，求△ABC的面积S．36.（2024届·广东省六校第二次联考）已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C=223，a=b +2，c=32，求△ABC的面积．37.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2A，当a=4,b=6时，求△ABC的面积S．类型二周长的相关计算38.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且A=C，若B=π6，△ABC的面积为4，求△ABC的周长.39.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b+c)(sin B+sin C)=a sin A+3b sin C.(1)求角A的大小；(2)若a=6，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长.40.(2024·新高考二卷·真题)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +3cos A =2．(1)求A ．(2)若a =2，2b sin C =c sin2B ，求△ABC 的周长．41.△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,AB ⋅AC=-1,△ABC 的面积为2，若a =22，求△ABC 的周长.42.在△ABC 中，已知AC ⋅AB =4，a =5，∠BAC =60°，则△ABC 周长为．43.在△ABC 中，A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，A =π3,a =2,B =π4，求△ABC 的周长．44.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(b +c )(sin B +sin C )=a sin A +3b sin C .(1)求角A 的大小；(2)若a =6，且△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长.【题型4】倍角关系1、二倍角公式：sin2A =2sin A cos A ，cos2A =2cos 2A -1=1-2sin 2A =cos 2A -sin 2A 2、扩角降幂：cos2C 2=1+cos C 2.，sin 2C 2=1-cos C2忘记了可以用二倍角公式推导:记C2=t，则cos C=cos2t=2cos2t-1=1-2sin2t故cos2t=2cos2t-1⇒cos2t=1+cos2t2，cos2t=1-2sin2t⇒sin2t=1-cos2t23、倍角关系证明的方法技巧解三角形中的关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。
专题4-5 解三角形大题归类-(解析版)
专题4-4 解三角形大题归类目录一、热点题型归纳【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型 ................................................................................... 1 【题型二】角平分线的扩展结论 .............................................................................................................. 4 【题型三】中线的处理方法 ...................................................................................................................... 6 【题型四】三角形高的类型 .................................................................................................................... 10 【题型五】三角形内心 ............................................................................................................................ 11 【题型六】外接圆 .................................................................................................................................... 14 【题型七】双三角形 ................................................................................................................................ 16 【题型八】四边形 .................................................................................................................................... 18 【题型九】四边形图形最值 .................................................................................................................... 20 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 22 三、模拟检测 .. (29)【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型【典例分析】（2022·湖北·高三开学考试）在ABC 中，2AB AC =，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠.(1)若cos ACB ∠=，求cos BAC ∠；(2)若AD AC =，且ABC BC 的长.【答案】【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理可得sin ABC ∠=，从而可得cos ABC ∠=，再由()cos cos CAB ABC ACB ∠∠∠=-+，展开即可求解；（2）利用三角形的面积公式可得111sin sin sin 2222AC AD AB AD AB AC θθθ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，从而解得3cos 4θ=，根据三角形的面积求出24b =，再由余弦定理即可求解.（1）由cos ACB ∠=，得sin ACB ∠=，在ABC 中，由正弦定理可得sin AB ACABC =∠，又2AB AC =，所以sin ABC ∠=AB AC >，故cos ABC ∠=所以()()cos cos cos CAB ABC ACB ABC ACB ∠π∠∠∠∠=--=-+，即cos sin sin cos cos CAB ABC ACB ABC ACB ∠∠∠∠∠=-，所以cos CAB ∠==（2）由已知，设22AB AC t ==，所以AD AC t ==，另设CAD θ∠=.由ABC ACD ABD S S S =+△△△，可得1112sin2sin 2sin 222t t t t t t θθθ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅，所以12sin cos sin sin 2θθθθ⋅=+，因为sin 0θ≠，所以3cos 4θ=，所以21cos22cos 18θθ=-=，又02,sin2θπθ<<==，又212sin22ABC S t t θ==⋅⋅⋅=，所以24t =，所以222299422cos241822BC t t t t t θ=+-⋅⋅⋅==⨯=，所以BC =【提分秘籍】基本规律角平分线“拆”面积法：ABC ACD ABDS S S =+△△△1.（2022·湖北·高三开学考试）已知ABC 的角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，且sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +-=+， (1)求角A ;(2)若AD 平分BAC ∠交线段BC 于点D ，且2,2AD BD CD ==，求ABC 的周长.【答案】(1)23A π=(2)9+【分析】（1）先利用余弦定理化简cos cos c B b C +，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A ，（2）由ABCBADCAD SSS=+结合AD 平分BAC ∠，23A π=可得22bc b c =+，作AE BC ⊥于E ，则由ABD ACDS S 结合已知条件可得2cb=，解方程组可求得,b c ，再利用余弦定理可求出a ，从而可求出三角形的周长.（1）由余弦定理得222222cos cos 22a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⨯+⨯= 所以sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +-=+可化为sin sin sin sin a A c B c C b B -=+ 再由正弦定理，得222a cb c b -=+，得222c b a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-.因为(0,)A π∈， 所以23A π= （2）因为AD 平分BAC ∠，所以3BAD CAD π∠=∠=.由1211sin sin sin 232323ABCBADCADSSSb c c AD b AD πππ=+⇒⋅=⋅+⋅， 得22bc b c =+.作AE BC ⊥于E ，则11sin 232211sin 232ABD ACD c AD BD AES c BD S b DCb AD CD AE ππ⋅⋅==⇒==⋅⋅. 由222bc b cc b =+⎧⎨=⎩，解得6,3,c b =⎧⎨=⎩由余弦定理，得2222cos 63a b c bc A ，所以37a故ABC 的周长为937+2.（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）在①()()()sin sin sin sin A C a b c B C -=-+，①()2222cos 2a b c a c B a+--=，①()sin cos 6a B C B b π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________． (1)求B(2)若b =ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且BD =，求ABC 的面积． 【答案】(1)=3B π【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件①，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件①，先用三角形的内角之和为π，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S =+△△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可 （1）选择条件①：根据正弦定理，可得：()()()a c a b c b c -=-+可得：222a c b ac +-=根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac +-==()0,,=3B B ππ∈∴ 选择条件①：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2ab Ca c Bb C a-=根据正弦定理，可得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A =+= 。
《解三角形》题型归纳
《解三角形》题型归纳【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例 1 ∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin( A +C) = 8sin2B ．2(1)求cos B(2)若a +c = 6 ，∆ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）cos B =15（2）b = 2 ．17【解析】由题设及A +B +C =π得sin B = 8sin2B，故sin B = 4(1- cos B) ．2上式两边平方，整理得17 cos2B - 32 cos B +15 = 0 ，解得cos B = 1 （舍去），cos B =1517 .（2）由cos B =15得sin B =8，故S =1ac sin B =4ac ．又S∆ABC17 17= 2 ，则ac =17．2∆ABC 2 17由余弦定理及a +c = 6 得b2 =a2 +c2 - 2ac cos B = (a +c)2 - 2ac(1+ cos B)= 36 - 2⨯17⨯ (1+15) = 4 ．2 17所以b = 2 ．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 △ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c ,若2b cos B =a cos C+c cos A ,则B =.π【答案】3【解析】2 s in B cos B = sin A cos C + sin C cos A = sin( A +C) = sin B ⇒ cos B =1⇒B =π.2 33 【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例 3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，若 b ＝1，c ＝ 3，C ＝2π，则 S △ABC ＝.3【答案】 34【解析】因为 c ＞b ，所以 B ＜C ，所以由正弦定理得 b ＝ c ，即 1 ＝ 3＝2，即 sin B ＝1，所以 B π π 2π π sin B 1 1 3 1 sin C3sin B sin 2π2 3 ＝ ，所以 A ＝π－ － 6 6 ＝ .所以 S △ABC ＝ 3 6 2 bc sin A ＝ × 2 × ＝ .2 4 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
三角函数与解三角形题型
三角函数和解三角形是高中数学中的重要内容，它们在实际中应用广泛，如测量高度、角度、距离等。
下面简单介绍一些常见的三角函数应用和解三角形的题型。
1. 三角函数应用题型
(1) 根据两边求角/根据一边和一个角求另一个角/根据两角求第三角
这类题目通常需要用到三角函数的反函数和三角函数关系式，根据给定的两边或一个边和一个角或两个角，求第三个角的大小。
需要注意使用对应的三角函数和反函数，或者利用正弦定理和余弦定理。
(2) 根据两角求角平分线/垂直平分线等
这类题目通常需要应用三角函数、对称性质等知识，利用角平分线定理和垂直平分线定理求解。
(3) 根据角度求高度/距离等
这类题目常常需要使用正弦函数、余弦函数和三角函数关系
式，得出高度或距离与角度之间的关系，然后求解。
2. 解三角形题型
(1) 已知三角形其中两边和一个角
可以使用余弦定理和正弦定理，根据所求角的三角函数求解。
(2) 已知三角形的三边
可以使用余弦定理计算出角度，然后使用正弦定理求出其他角度或者用正弦函数/余弦函数计算出所求角对应的边。
(3) 已知三角形其中一个角和两边之比
可以用正弦函数或余弦函数计算出所求角的正弦值/余弦值，并根据三角函数关系式求解其他角度或边长。
在应用三角函数和解三角形的题型中，需要注意应用公式的正确性和相应角度的变化，考虑各种情况的可能性，带上单位，不要忘记计算结果的合理性等问题。
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析2019(含答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析（2015年-2019年共14套） 三角函数（共20小题）一、三角恒等变换（6题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）32-（B ）32（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D.2.（2018年3卷4）若，则A. B. C. D.【解析】,故答案为B.3.（2016年3卷7）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．5.（2018年2卷15）已知，，则__________．【解析】：因为，，所以，因此6.（2019年2卷10）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ） A.15B.5C.33D.255【解析】2sin 2cos 21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，55B ． 【点评】这类题主要考查三角函数中二倍角公式（几乎必考）、两角和与差公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等三角函数公式，难度以容易、中等为主。
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三角函数解三角形题型归类一知识归纳：（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ．(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．（2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念1．三角函数诱导公式⎝⎛⎭⎪⎪⎫k 2π＋α(k ∈Z)的本质 奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)． 2．两角和与差的三角函数公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3．二倍角公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. （三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形 在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (其中R 是外接圆的半径)；a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； cos A ＝b 2＋c 2－a22bc.b 2＝ ； cos B ＝ ；c 2＝ . cos C ＝ .3.三角形面积公式:S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .2．整体法：求y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x(或cos x)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．4．公式法：y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2016年全国卷1)4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b = （A ）2（B ）3（C ）2（D ）36.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （A ）2sin(2)4y x π=+（B ）2sin(2)3y x π=+（C ）2sin(2)4y x π=-（D ）2sin(2)3y x π=-14.已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-=————————————． (2015年 全国卷1)8. 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积.(2014年 全国卷1) 2.若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测学科网得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .(2013年 全国卷1)9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）10．已知锐角ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 16．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.(2012年 全国卷1)9.已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π417.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3sin sin c a C c A =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3，求b ，c .三、题型归纳题型一、三角函数定义的应用1.若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33B.33 C.－ 3 D. 3变式1．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4题型二、三角函数值的符号2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4变式2.设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43题型三、同角三角函数关系式的应用3.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.454.已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sinα的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1题型四 诱导公式的应用 5．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6＋α＝________. (2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______变式4.已知角α终边上一点p(-4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为题型五、三角函数的图形变换6.（1）要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位（2）某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．变式5.已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．题型六、三角函数的性质问题 7.（1）函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x 的单调增区间为________.（2）已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z（3）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A.关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称 B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π12，0对称 D.关于直线x ＝π12对称（4）当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π4－x 是( )A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称 变式6.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．题型七、最值与值域问题 8.已知函数2()(sinx cosx)cos 2f x x =++。