2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第七章第四节空间中的平行关系Word版含解析.doc

2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第50讲空间中的平行关系含答案

第50讲空间中的平行关系1．了解空间直线与平面平行、平面与平面平行的定义．2．掌握判断空间直线与平面平行、平面与平面平行的方法，能正确判断空间直线与平面平行、平面与平面平行．3．能正确运用“空间直线与平面平行”“平面与平面平行”进行逻辑推理．知识梳理1．直线与平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有任何公共点；(2)判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号表示：b?α，a?α，a∥b?b∥α.2．直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号表示：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.3．两个平面平行的判定(1)判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号表示：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.(2)垂直于同一直线的两个平面平行．4．两个平面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面．符号表示：α∥β，a?α，则a∥β.(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.1．判断两平面平行的常用结论(1)垂直于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行．2．与平面平行有关的几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；(3)两条直线被第三个平面所截，截得的对应线段成比例；(4)同一条直线与两平行平面所成的角相等．热身练习1．下列说法正确的是(D)A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b?α，则a∥αD．若直线a?α，b?α且a∥b，那么直线a∥αA中缺少l在平面α外这一条件；直线在平面α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故B错；C中缺少a不在平面α内这一条件；D满足线面平行的三个条件，故选 D.2．直线a∥平面α，直线b?α，则a与b的位置关系是(D)A．a∥b B．a⊥bC．a，b异面D．a∥b或a与b异面直线a∥平面α，直线b?α，所以a与b无公共点，所以a与b平行或异面，选 D.3．下列命题错误的是(C)A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行B．垂直于同一直线的两平面平行C．平行于同一直线的两平面平行D．平行于同一平面的两平面平行A，B是两个平面平行的两个判定定理，正确；C错误，D正确，故选 C.4．下列命题中不正确的是(D)A．两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面B．两个平行平面同时和第三个平面相交，其交线一定平行C．一直线与两平行平面中的一个相交，这条直线必与另一个相交D．一直线与两平行平面中的一个平行，这条直线必与另一个平行A，B是两个平面平行的性质，正确；C正确，可用反证法进行证明；D错误，这一直线还可能在另一个平面内．故选 D.5．(2015·北京卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m?α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．直线与平面平行的判断(2017·浙江卷节选)如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD ⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．证明：CE∥平面P AB.在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第(1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等有关的计算．两问的条件常常是一同叙述，因此，在处理第(1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选．这同时也考查了考生对信息的综合分析和处理的能力．如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，P A的中点，所以EF∥AD且EF＝12 AD.又因为BC∥AD，BC＝12 AD，所以EF∥BC且EF＝BC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.因为BF?平面PAB，CE?平面PAB，所以CE∥平面P AB.(1)证线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，转化为证线线平行．②利用面面平行的性质定理，转化为证面面平行．(2)利用判定定理时，要注意强调：(ⅰ)一条线在平面外；(ⅱ)一条线在平面内；(ⅲ)平面外的直线与平面内的直线平行．(3)证线线平行是证线面平行的基础，要注意如下结论的运用：①三线平行公理；②平面几何中的结论：如三角形的中位线定理、平行四边形的性质等．1．(2015·山东卷节选)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.(方法一)如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.(方法二)在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.又BE平面FGH，HF平面FGH，所以BE∥平面FGH.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH?平面FGH，AB?平面FGH，所以AB∥平面FGH.又AB∩BE＝B，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.平面与平面平行的判定(2015·四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH?平面ACH，BE?平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.证面面平行的基本方法是利用面面平行的判定定理，即转化为证线面平行．2．如图，已知ABC－A1B1C1是正三棱柱，E，F分别是AC，A1C1的中点．求证：平面AB1F∥平面BEC1.因为E，F分别是AC，A1C1的中点，所以AE＝FC1.又因为AE∥FC1，所以四边形AEC1F是平行四边形，所以AF∥EC1.因为EC1?平面BEC1，AF?平面BEC1，所以AF∥平面BEC1.连接EF.因为EF∥BB1，EF＝BB1，所以四边形BB1FE是平行四边形，所以B1F∥BE，B1F?平面BEC1，BE?平面BEC1，所以B1F∥平面BEC1.因为AF，B1F是平面AB1F内的相交直线，所以平面AB1F∥平面BEC1.线面平行、面面平行的性质的应用(2015·安徽卷节选)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C.由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C ∥A1D.又A1D?平面A1DE，B1C ?平面A1DE，于是B1C∥平面A1DE.又B1C?平面B1CD1，平面A1DE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.(1)证线线平行，常利用线面平行、面面平行的性质定理．(2)线面平行、面面平行转化为线线平行，都是通过“辅助平面”完成的．3．(2018·石家庄一模节选)已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，且P A⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3(S△PEF表示△PEF的面积)．证明：PB∥平面ACE.由题意知四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又CD?平面PCD，AB?平面PCD，所以AB∥平面PCD.又AB?平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD.由S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3知E，F分别为PC，PD的中点，连接BD交AC于G，则G为BD的中点．在△PBD中，EG为中位线，所以EG∥PB.因为EG∥PB，EG?平面ACE，PB?平面ACE，所以PB∥平面ACE.1．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”、再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但必须注意，转化方向的确定必须根据题目的条件和问题的特点而定．三种平行关系转化的示意图为：2．线面平行的判定定理中，要特别注意“平面外的一条直线”与“平面内的一条直线”，两者缺一不可；面面平行的判定定理中，要特别注意“两条相交直线”这一条件．3．解决有关平行问题时，要注意常用结论的总结和应用，以下是一些常用结论，在解决有关选择题、填空题时可直接引用．(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．(3)已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等．(7)两平行平面间的距离处处相等．(8)平行于同一条直线的两条直线平行．(9)平行于同一个平面的两个平面平行．(10)平行于同一直线的两个平面平行或相交．(11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．。

2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第七章第二节简单几何体的表面积与体积Word版含解析.

课时规范练 A 组基础对点练1体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A . 12 n B.32nC . 8 nD . 4 n解由正方体的体积为 8可知，正方体的棱长 a = 2•又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R = 3a （R 为正方体外接球的半径），所以R = ,3,故所求球的表面积 S = 4%R 2=12 n.答案：A2.平面a 截球0的球面所得圆的半径为 1,球心O 到平面a的距离为一 2,则此球的体积为 ( ) A. 6 n解析：设球的半径为R ,由球的截面性质得 R = . 2 2+ 12=寸3，所以球的体积 v = 4n R 3=4 3n. 答案：B 3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）4 D.4解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示,A. 32 3B.C .8止住）视圏1i i 8V = V 柱+ V 锥=—X (1 + 1) X 1X 2 +— X —X (1 + 1) X 1 X 2=—,故选 C.2 — 2 — 答案：C4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线（实线和虚线）表示的是某几何体的三视图，则A . 24 nB . 29 nC . 48 nD . 58 n解析：如图，在3X 2 X 4的长方体中构造符合题意的几何体（三棱锥A BCD ），其外接球即该几何体外接球的表面积为（为长方体的外接球，表面积为4T R 2= n （3+ 22+ 42）= 29 n.答案：B5. （2018西安质量检测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为4 5代3 B.27C.3 D . 3解析：根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示，则该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+ V三棱锥=~1X 2 X 1 X 1+ 1X 1X 2 X 1X 1 = 4.故选A.答案：A6. （2018山西四校联考）若三棱锥P ABC 的最长的棱PA = 2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 _______________ .解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接1 4 Q 4球，易得外接球的半径 R = 2PA = 1,所以该三棱锥的外接球的体积V = -X nX 13= 3 n.4 答案：4n7.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2的球O 的球面上，且 AB = 3, BC =〔 3,过点D 作 DE 垂直于平面 ABCD ，交球O 于E ,则棱锥E ABCD 的体积为 ________________.解析：如图所示，BE 过球心O ,「. DE = 42- 32- 3 2= 2, 1二 V E -ABCD = 3X 3X 3X 2 = 2 3. 答案：2 3&已知 H 是球O 的直径 AB 上一点，AH : HB = 1 : 2, AB 丄平面 a, H 为垂足, 所得截面的面积为 n 则球O 的表面积为 _____________解析：如图，设截面小圆的半径为 r ，球的半径为 R ,因为AH : HB = 1 : 12, 所以OH = -R.由勾股定理，有 R 2= r 2+ OH 2,又由题意得 n 2= n,则r =1，故R^ = 1+（扌旳2,即卩R^=9.由球的表面积公式，得 s = 4 n R 2= 95答案：字9. （2016高考全国卷H ）如图，菱形 ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E , F 分别在 AD , CD 上, AE = CF , EF 交BD 于点比将厶DEF 沿EF 折到△ D ' EF 的位置.a 截球O(1) 证明：AC 丄 HD ';(2) 若 AB = 5, AC = 6, 解析：（1）证明：由已知得 AC 丄BD , AD = CD.由此得 EF 丄HD , EF 丄HD '，所以AC 丄HD ', 小 OH AE 1(2)由 EF // AC得DO =AD =4.由 AB = 5, AC = 6 得 DO = BO = AB 2 — AO 2= 4. 所以 OH = 1, D ' H = DH = 3.于是 OD ' 2+ OH 2= (2 2)2 + 12= 9= D ' H 2, 故OD '丄OH. 由(1)知，AC 丄 HD '，又 AC 丄 BD , BD n HD ' = H , 所以AC 丄平面BHD '，于是AC 丄OD '.又由OD '丄OH , AC n OH = O ,所以OD '丄平面 ABC.DHDO119 69五边形ABCFE 的面积S =产6 X 8 — § X 产3=孑所以五棱锥D' -ABCFE 的体积V = 3 X 69X 2 2= 23^2.3 4 2 10•如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形, 点，SA = SB = 2, AB = 2 3, BC = 3. （1）证明：SC //平面BDE ;⑵若BC 丄SB,求三棱锥 C BDE 的体积.解析：（1）证明：连接 AC ,设AC n BD = O , •••四边形ABCD 为矩形，则O 为AC 的中点.在厶ASC 中，E 为AS 的中点，••• SC// OE , 又 OE?平面 BDE , SC?平面 BDE ,• SC //平面 BDE .D 1又由AE = CF 得 AE _ A D =CFCD ，故 AC // EF. 5 一4 =E A=2 2，求五棱锥 D ' -ABCFE 的体积.(2) •/ BC 丄AB, BC 丄SB, AB A SB= B,••• BC 丄平面SAB,又BC // AD AD 丄平面SAB.•/ SC//平面BDE ,•••点C与点S到平面BDE的距离相等，•V C BDE = V S BDE=V D SBE,在厶ABS 中，SA= SB= 2, AB= 2 3,1•- S A ABS= 2 X 2 ,3 X 1 = 3.又T E为AS的中点，• S A BES=*S A ABS=又点D到平面BES的距离为AD,•V D BES=^S A BES AD = 3= 23,•- V c BDE =于，即三棱锥C BDE的体积为于.B组能力提升练1•一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为()112B. 3 nD . 28 n解析：根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为的正方形，高是2 ,3.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面A • 36 nC. 32 n是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球•三棱柱的底面是边长为 4的正三角形，•••底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为2 3 = 3答案：B2. （2018广州模拟）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA 丄平面ABC , PA = AB = 2, AC = 4，三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（）A . 8 nB . 12 nC . 20 nD . 24 n解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心 O ,易得2R = PC ={20,所以R =¥°,球O 的表面积为4K R 2= 20n 选 C.答案：C 3.在封闭的直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为 V 的球•若 AB丄BC , AB = 6, BC = 8, AA 1= 3，则V 的最大值是（）9 nA . 4 n B.y 32 nC . 6 nD. 3解析：由题意可得若 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2,球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径 R = 3，该球的体积最大，V max = 4n R 3= 4兀>< 27=聖23 3 8 2答案：B4. 四棱锥S ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于8+ 8 3,则球O 的体积等于（）112 n故选B.二外接球的半径3 28S = 4n R =4nxg =解析：依题意，设球O 的半径为R ,四棱锥S ABCD 的底面边长为a 、高为h ，则有h < R , 1 2 2R 3即h 的最大值是R ,又AC = 2R ,则四棱锥S ABCD 的体积V s ABCD = 3X 2R 2 3hWg.因此，1当四棱锥 S ABCD 的体积最大，即 h = R 时，其表面积等于 (.2R)2+ 4X X 2R X答案：A35•多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 ____________ cm .解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，在三棱锥D ABC 中，底面ABC 是等腰三角形，设底边 AB 的中点为E ,则底边AB 及底边上的高 CE 均为4,侧棱AD 丄平面ABC ，且AD = 4,所1 11 32以三棱锥 D ABC 的体积 V = ~S A ABC AD = 3 X - X 4X 4X 4 = ~3(cm ‘).3 3 2 32解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE(图略)，贝y E 为正方形ABCD 的中心.由题意可知-3X ( ,3)2X OE =乎，所以OE = ¥,故球的半径 R = OA = OE 2+ EA 2=. 6，则球的表面积3S = 4 T R =24 n.答案：24 n7.如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA = 6•顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D , D 在平面FAB 内的正投影为点 E ,连接PE 并延长交AB 于点G.6.已知正四棱锥O ABCD 的体积为-2一，底面边长为 3，则以O 为球心，OA 为半径的答案:球的表面积为 _________A. 32 n 32 2 n 3C . 16 n8+ &,3,解得R = 2，因此球O 的体积等于4 T R 3_ =32 n选A. 323B.正视图D(1)证明：G是AB的中点；⑵在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积. 解析：⑴证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB丄PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB丄DE.因为PD A DE = D ,所以AB丄平面PED，故AB丄PG.又由已知，可得PA = PB,所以G是AB的中点.⑵在平面PAB内，过点E作PB的平行线交FA于点F, F即为E在平面FAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB丄PA, PB丄PC,又EF // PB，所以EF丄PA, EF丄PC.因此EF丄平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.2由⑴知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD = 3CG.32 1由题设可得PC丄平面PAB, DE丄平面PAB，所以DE // PC,因此PE = "PG , DE = §PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA= 6,可得DE = 2, PE = 2 2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF = PF = 2,11 4所以四面体PDEF的体积V= - X-X 2X 2 X 2 =-.3 2 3&如图所示，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2, AD = 4•将△ CBD沿BD折起到△ EBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1) 求证：AB丄DE ;(2) 求三棱锥E ABD的侧面积和体积.解析：(1)证明：在厶ABD 中，T AB= 2, AD = 4,/ DAB = 60° ••• BD = AB2+ AD2- 2AB ADcos/ DAB = 2 3.••• AB2+ BD2= AD2,：AB 丄BD.又平面EBD丄平面ABD，平面EBD门平面ABD = BD , AB?平面ABD , •AB 丄平面EBD.又DE?平面EBD , • AB 丄DE.(2)由⑴知AB丄BD.•/ CD // AB, • CD 丄BD，从而DE丄BD.在Rt△ DBE 中，T DB = 2 3, DE = DC = AB = 2,1•-S A EDB= ^DB DE = 2 3.•/ AB 丄平面EBD, BE?平面EBD, • AB丄BE.T BE = BC= AD = 4,•S A EAB= ^AB BE= 4.•/ DE丄BD，平面EBD丄平面ABD ,•ED丄平面ABD，而AD?平面ABD,1--ED丄AD，…S A EAD = ?AD DE = 4.综上，三棱锥 E ABD 的侧面积S= S A EDB+S A EAB + S A EAD = 8+ 2 3.•/ DE丄平面ABD,且S A ABD = EBD = 2\!3, DE = 2,•V E ABD = ^S A ABD DE = 1X 2；?3 X 2 = 433.。

【新教材】高三人教A版数学一轮复习课件：第7章 7.3 空间直线、平面的平行

(1)在AC上求作点P,使 PE∥平面ABF,请写出作法并说明理由;
(2)求三棱锥A-CDE的高.
解 (1)取BC的中点G,连接DG,交AC于点P,连接PE,此时P为所求作的点,如
图所示.
理由如下:∵BC=2AD,∴BG=AD.
又BC∥AD,∴四边形BGDA为平行四边形,
∴DG∥AB,即DP∥AB.
9.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交
直线,那么这两个平面平行.
10.垂直于同一条直线的两个平面平行.
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.
( × )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直
面内.
3.过两条异面直线中的一条可以作唯一一个平面与另一条直线平行.
4.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
5.夹在两个平行平面间的与两个平面都相交的平行线段相等.
6.经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行.
7.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
8.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
同理连接B1Q,并延长,与CD也相交于点M.

1
由重心的性质可得 = 3 ,
1
1

所以 = ,所以 PQ∥A1B1.
1
1
=
又因为AB∥A1B1,所以PQ∥AB.
因为PQ⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以PQ∥平面ABC.
1
.
3
解题心得1.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第七章立体几何7_4空间中的平行关系课件文新人教A版

答案：D
2．(必修2·习题2.2B组改编)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点， M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( ) A .①③ B .②③ C .①④ D .②④
答案：C
3．(必修2·2.2练习改编)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1 与平面ACE的位置关系为________．
又知△APM∽△ADB，
∴PBMD＝AADP＝13，∴PM＝13BD，
又BD＝ 2a，
∴PQ＝2
3
2 a.
(2)①证明：如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN，又M为棱AE的中点，所以 MN∥EC. 因为MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，所以MN∥平面EFC. 因为BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，
[解析] (1)证明：连接BE，BD，BD交CE于点O，连接OF. 因为E为线段AD的中点，AD∥BC，BC＝12AD＝ED，所以BC綊ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以O为BD的中点．又F是BP的中点，所以OF∥PD. 又OF⊂平面CEF，PD⊄平面CEF，所以PD∥平面CEF.
第四节空间中的平行关系
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教材回顾考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为直线、平面平行的判定及其性质是高
出发点，认识和理解空间中线面平行考中的重点考查内容，涉及线线平
的有关性质与判定定理．
行、线面平行、面面平行的判定及其
2．能运用公理、定理和已获得的结应用等内容．题型主要以解答题的形
所以VA－NEF＝VC－NEF，所以VA－CEF＝2VA－NEF＝2×13×AN×S△NEF＝2×13× 22×12× 2×2＝23，所以三棱锥A－CEF的体积为23. [答案] (1)232a

高考一轮复习第七章第四节空间中的平行关系

[答案] 2
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012· 抚顺模拟)已知 m，n 表示两条不同直线，α，β，γ 表示不同平面，给出下列三个命题：
m⊥α (1) n⊥α m⊥α (3) n∥α
⇒m∥n；
m⊥α (2) m⊥n
⇒n∥α
⇒α∥β
行，那么这两个平
面平行
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2.两平面平行的性质定理：文字语言性如果两个平行平面时质与第三个平面相交，定那么它们的交线平理行图形语言符号语言 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b
⇒a∥b
返回
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1．(教材习题改编)下列条件中，能判断两个平面平行的是 ( )
返回
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[考题范例] (12分)(2012· 太原模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面 ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90° ，SA⊥底面 ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝ (1)求四棱锥S－ABCD的体积； (2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明． 2 3
⇒a∥α
定理
2．性质定理：文字语言性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条 a∥α a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
图形语言
符号语言
直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线就和交线平行.
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四、平面与平面平行 1．判定定理：文字语言如果一个平面内有判定定理两条相交直线平行于另一个平面平图形语言符号语言 a⊂α b⊂α a∩b＝P a∥β b∥β
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[步步满分] 2 (1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝3，SA＝2， ∴AD＝3.(3分) 由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2， 1 1 VS－ABCD＝3×SA×2×(BC＋AD)×AB 1 1 10 ＝3×2×2×(2＋3)×2＝ 3 .(6分)

2019版高考数学(人教版A版)练习：第七章第四节空间中的平行关系 Word版含解析

课时规范练A组基础对点练1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．答案：A2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．答案：A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B4．(2018·江西赣中南五校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.答案：C5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D 1，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD7．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA的中点，N 为BC 的中点． (1)求四棱锥O -ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .解析：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O -ABCD 的高．∵四棱锥O -ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22.∵OA ＝2，∴体积V O -ABCD ＝23. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE (图略)． ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ， ∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .8．如图，四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：DF ∥平面PBE ； (2)求点F 到平面PBE 的距离．解析：(1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，且FG ＝12BC ，∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴DE ∥FG 且DE ＝FG ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF ∥EG ，又DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面PBE ，∴DF ∥平面PBE .(2)由(1)知DF ∥平面PBE ，∴点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d .连接BD .∵V DPBE ＝V P BDE ，∴13S △PBE ·d ＝13S △BDE ·PD ，由题意可求得PE ＝BE ＝5，PB ＝23， ∴S △PBE ＝12×23×(5)2－⎝⎛⎭⎫2322＝6，又S △BDE ＝12DE ·AB ＝12×1×2＝1，∴d ＝63.9．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是体积比等于底面积之比，即3∶1.B 组能力提升练1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a ∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b 相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．答案：A2．已知直线a，b异面，给出以下命题；①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中正确的是()A．①④B．②③C．①②③D．②③④解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b 上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a 平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.答案：D3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE 沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行； ③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题图，得SA ⊥SE ，若存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ，则SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，则SC ，SB ，SE 三线共面，则点E 与点C 重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA 与平面SBC 相交，所以在平面SBC 内不存在直线与SA 平行，故②错误；显然，在平面ABCE 内，存在直线与AE 平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行，故③正确．故选B. 答案：B4．下列命题中，错误的是( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线解析：A 中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理，B 正确；C 中，如果平面α内有一条直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β(这是面面垂直的判定定理)，故C 正确；D 是错误的，事实上，直线l 不平行平面α，可能有l ⊂α，则α内有无数条直线与l 平行．答案：D5．(2018·唐山统一考试)在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交P A 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN (图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．答案：647．如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13·S △BCM ·P A 2＝453. 8．如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G ，E ，F ，H 分别是棱 PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥ 平面ABCD ，BC ∥ 平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解析：(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD . 又平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42， PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.。

2020年高考数学一轮复习专题9.4空间几何体中平行练习(含解析)

9.4 空间几何中平行问题一．线面平行的判定定理和性质定理则该则过这条直线的任一平简a βαβ⎫⎪⎬⊂⎪⎭考向一线面平行【例1】（1）如图1，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，E 是线段PC 上的中点，证明： //PA 平面EBD（2）如图2，是菱形，， . 求证：平面 .（3）如图3，在直角梯形中ABCD ， 90ADC BAD ︒∠=∠=，截面CDE 交SB 于点F ,求证： //EF CD ；（4）如图4，三棱锥P ABC -中， D 是PA 的中点， E 是CD 的中点，点F 在PB 上且14BF PB =，证明： //EF 平面ABC ；（5）如图5，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，FD =．求证：//EF 平面ABCD ；（6）如图6，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，且PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝5∶8. 求证：直线MN ∥平面PBC ．图5图6【答案】见解析【解析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接EO ，如图A∵底面ABCD 是菱形，∴O 是AC 中点，又∵E 是PC 的中点，∴//PA EO ，且PA ⊄平面EBD ， EO ∈平面EBD ，∴//PA 平面EBD . （2）证明：设，取中点，连结，如图B 所以，且.因为，，所以且，从而四边形是平行四边形， . 因为 ⊂平面，平面，所以平面，即平面 . （3）//CD AB //CD ∴平面SAB 又平面CDEF ⋂平面SAB EF =//CD EF ∴（4）证明：如图，取AD 中点G ，连接GE ，GF ，如图C 则GE//AC ，GF//AB ，因为GE ∩GF=G ，AC ∩AB=A ，所以平面GEF//平面ABC ，所以EF//平面ABC ．（5）证明：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，∴EH = D ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ，平面ABCD ⋂平面BCE BC =， ∴EH ⊥平面ABCD ，又∵FD ⊥平面ABCD ，FD =，∴//FD EH ，FD EH =. ∴四边形EHDF 为平行四边形． ∴//EF HD .∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD ． (6)∵=∴与，共面．∴∥平面PBC．∵MN平面PBC，∴MN∥平面PBC．【举一反三】1.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，证明：MN∥平面BB1C1C【答案】见解析【解析】证明：连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，所以MN为△A1BC1的一条中位线，MN∥BC1，又因为MN⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.2．如图四边形是平行四边形为直角梯形，.求证：平面；【答案】见解析【解析】取的中点，连接.∵四边形为直角梯形，是的中点，，且.∵四边形是平行四边形，，且A ，，且，四边形是平行四边形， .⊂平面平面，平面 .3．如图所示， //,24BE CD BE CD ==，F 为棱AE 的中点，求证: //DF 平面ABC【答案】见解析【解析】证明：如图，取AB 中点G ，连接CG FG 、，因为F 为AE 中点，所以//FG BE 且12FG CD =， 2BE CD =，所以//FG CD 且FG CD =，所以四边形CDFG 为平行四边形，所以//DF CG .CG ⊂平面ABC ， DF ⊄平面ABC ，∴//DF 平面ABC .4．如下图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 为正方形， G 是线段BE 的中点， 2AB =， F 是线段CD 上的中点，求证: //GF ADE 平面【答案】见解析【解析】解法一：取AE 的中点H ，连接HG ， DHG 是线段BE 的中点，∴HG AB 且12HG AB =，四边形ABCD 为正方形， F 是线段CD 上的中点∴DFAB 且12DF AB =， ∴HG DF 且HG DF =，∴四边形DFGH 是平行四边形，//GF DH ∴，DH GF ADE ADE ⊄⊂平面，平面，//GF ADE ∴平面。

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第七章立体几何7-4空间中的平行关系课时规范练文(含解析)新

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7-4 空间中的平行关系课时规范练A组基础对点练1．(2018·陕西质检)已知平面α,β和直线a，b，下列说法正确的是( C )A．若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β,且a∥b，则α∥βD．若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（ B )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α,则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β"是“α∥β"的（ B )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（2017·江西赣中南五校联考）已知m，n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ C ）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α,n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α,则n∥α5．(2018·唐山质检）如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M,N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：（1)BE∥平面DMF；（2)平面BDE∥平面MNG.证明：（1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O。

2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第七章第五节空间中的垂直关系Word版含解析.doc

课时规范练A组基础对点练1•如图，在Rt△ ABC中，/ ABC = 90 ° P为厶ABC所在平面外一点, PA丄平面ABC，则四面体P ABC中共有直角三角形个数为（）CA . 4B . 3C. 2 D . 1解析：由PA丄平面ABC可得△ FAC,^ FAB是直角三角形，且PA丄BC.又/ ABC = 90°即AB丄BC,所以△ PBC是直角三角形，且BC丄平面PAB,又PB?平面FAB,所以BC丄PB, 即厶PBC为直角三角形，故四面体P ABC中共有4个直角三角形.答案：A2. 设a, b是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面，则能得出a丄b的是（）A . a丄a , b l 3,a丄3B . a丄a, b丄3 , all 3C. a? a, b± 3,all 3 D .a? a, b // 3, a丄3解析：对于C项，由a//3, a? a 可得a// 3,又b± 3,得a丄b,故选C答案：C3. （2018兰州诊断考试）设a, 3 丫为不同的平面，m, n为不同的直线，则m丄B的一个充分条件是（）A . a丄 3 aA 3=n, m l nB . aA Y= m, a丄Y 3丄丫C. a 丄3, 3-L Y m 丄 aD. n丄 a , n丄3, m± a解析：A不对，m可能在平面3内，也可能与3平行；B , C不对，满足条件的m和3可能相交，也可能平行；D对，由n丄a , n丄3可知all 3结合口丄a知m l 3,故选D.答案：D4. 设a , b , c是空间的三条直线,a , 3是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A .当C丄a时，若C丄3贝U all 3B .当b? a时，若b± 3,贝U a丄3C.当b? a,且c是a在a内的射影时，若b丄c ,贝U a丄bD .当b? a,且c? a 时，若c//a,贝U b // c解析：A的逆命题为：当C丄a时，若all 3则C丄3由线面垂直的性质知c丄3故A正确；B的逆命题为：当b? a时，若a丄3,贝U b± 3,显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b? a ,且c是a在a内的射影时，若a丄b,贝U b丄c.由三垂线逆定理知b丄c ,故C正确；D 的逆命题为：当b? a ,且c?a时，若b// c ,则c ll a.由线面平行判定定理可得c// a,故D正确。

2020版一轮创新思维文数(人教版A版)课件：第七章第四节空间中的平行关系 .ppt

回顾教材·夯实基础典例剖析·突破考点
真题感悟·体验考场
课时规范练
3．(必修 2·2.2 练习改编)在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点
E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系为 __平__行____．
第七章
第四节空间中的平行关系
回顾教材·夯实基础典例剖析·突破考点
考点二
考点三
真题感悟·体验考场
课时规范练
∴PAMB ＝QDNC.
∴PM 綊 QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形．
∴PQ∥MN. 又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE.
证明
第七章
考点一
第四节空间中的平行关系
回顾教材·夯实基础典例剖析·突破考点
考点二
考点三
真题感悟·体验考场
真题感悟·体验考场
课时规范练
4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M、N、E、F 分别为棱的中点，则面 AMN 与面 DBEF 的关系为___平__行___．
第七章
第四节空间中的平行关系
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真题感悟·体验考场
课时规范练
考点一
证明答案
第七章
第四节空间中的平行关系
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考点一
考点二
考点三
[方法提升]
真题感悟·体验考场
课时规范练
方法
关键
适合题型
判定定理证明面面证出面内的两条相线面平行关
平行
交线平行平面
系明显
线面垂直性质证面证出两个面垂直于线面垂直关

空间中的平行关系

空间中的平行关系一、基本知识点（Ⅰ）直线与平面平行 1．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:a αØ，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a A α= ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //a α．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⇒Ø．3. 直线与平面平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

4 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒ Ø．（Ⅱ）平面与平面平行1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P = ，//a α，//b α//βα⇒．平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒ 刎刎．4. 证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。

利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。

（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。

2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量4空间直线平面的平行练习含解析

空间直线、平面的平行考试要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行错误!⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行错误!⇒a∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行错误!⇒β∥α性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行错误!⇒a∥b常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( ×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)教材改编题1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )A．直线a上有无数个点不在平面α内B．直线a与平面α内的所有直线平行C．直线a与平面α内无数条直线不相交D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案 D解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是( )A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α答案 D解析若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错；若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错；若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错；若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对．3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，PD 的中点，求证：(1)PB ∥平面ACF ；(2)EF ∥平面PAB .证明 (1)如图，连接BD 交AC 于O ，连接OF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点，又∵F 是PD 的中点，∴OF ∥PB ，又∵OF ⊂平面ACF ，PB ⊄平面ACF ， ∴PB ∥平面ACF .(2)取PA 的中点G ，连接GF ，BG . ∵F 是PD 的中点， ∴GF 是△PAD 的中位线， ∴GF 綉12AD ，∵底面ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点， ∴BE 綉12AD ，∴GF 綉BE ，∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF ∥BG ，又∵EF ⊄平面PAB ，BG ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .命题点2 直线与平面平行的性质例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.教师备选如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．跟踪训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．(1)证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.题型二平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．(1)求证：BC∥GH；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.延伸探究在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值．解如图，连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1. 又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD，所以DC AD＝1，即AD DC＝1. 教师备选如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G 分别为B 1C 1，A 1B 1，AB 的中点．(1)求证：平面A 1C 1G ∥平面BEF ；(2)若平面A 1C 1G ∩BC ＝H ，求证：H 为BC 的中点．证明 (1)∵E ，F 分别为B 1C 1，A 1B 1的中点， ∴EF ∥A 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1C 1G ，EF ⊄平面A 1C 1G ， ∴EF ∥平面A 1C 1G ，又F ，G 分别为A 1B 1，AB 的中点， ∴A 1F ＝BG ，又A 1F ∥BG ，∴四边形A 1GBF 为平行四边形，则BF ∥A 1G ，∵A 1G ⊂平面A 1C 1G ，BF ⊄平面A 1C 1G ， ∴BF ∥平面A 1C 1G ，又EF ∩BF ＝F ，EF ，BF ⊂平面BEF ， ∴平面A 1C 1G ∥平面BEF .(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．思维升华证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．跟踪训练2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，证明：B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B 1D 1∥BD ，所以B 1D 1∥l .题型三平行关系的综合应用例4 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为对角线BD ，CD 1上的点，且CQ QD 1＝BP PD ＝23.(1)求证：PQ ∥平面A 1D 1DA ；(2)若R 是AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA ？请给出证明． (1)证明连接CP 并延长，与DA 的延长线交于M 点，如图，连接MD 1，因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ∥AD ，故△PBC ∽△PDM ，所以CP PM ＝BP PD ＝23，又因为CQ QD 1＝BP PD ＝23，所以CQ QD 1＝CP PM ＝23，所以PQ ∥MD 1.又MD 1⊂平面A 1D 1DA ，PQ ⊄平面A 1D 1DA ，故PQ ∥平面A 1D 1DA .(2)解当AR AB 的值为35时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA .如图，证明如下：因为AR AB ＝35，即BR RA ＝23，故BR RA ＝BP PD. 所以PR ∥DA .又DA ⊂平面A 1D 1DA ，PR ⊄平面A 1D 1DA ，所以PR ∥平面A 1D 1DA ，又PQ ∥平面A 1D 1DA ，PQ ∩PR ＝P ，PQ ，PR ⊂平面PQR ，所以平面PQR ∥平面A 1D 1DA . 教师备选如图，四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明 (1)如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO . 又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ，又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ，所以BD ∥平面MNG ，又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，所以平面BDE ∥平面MNG .思维升华证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．跟踪训练3 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．(1)证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥HG .∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴EF ∥平面ABD . 又∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB ，又∵AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH . (2)解设EF ＝x (0<x <4)，由(1)知EF ∥AB ， ∴CF CB ＝EF AB ＝x4，与(1)同理可得CD ∥FG ， ∴FG CD ＝BF BC，则FG 6＝BF BC＝BC －CF BC ＝1－x4， ∴FG ＝6－32x .∴四边形EFGH 的周长L ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x .又∵0<x <4，∴8<L <12，故四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．课时精练1．(2022·宁波模拟)下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．2．(2022·呼和浩特模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案 D解析对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不正确；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；对于D，如图，在直线b上取点B，过点B和直线a确定一个平面γ，交平面β于a′，因为a∥β，所以a∥a′，又a′⊄α，a⊂α，所以a′∥α，又因为b∥α，b∩a′＝B，b⊂β，a′⊂β，所以β∥α.3．(2022·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四边形MNEF为平行四边形D．四边形MNEF为梯形答案 D解析由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．4．(2022·杭州模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )A．2∶3B．2∶5C．4∶9D．4∶25答案 D解析∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.5．(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是( )答案AC解析对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图，取正方体所在棱的中点G，连接FG并延长，交AB延长线于H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．6．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜程度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图(3)所示时，AE ·AH 为定值答案 AD解析根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A 正确；由题图可知水面EFGH 的边EF 的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B 错误；因为A 1C 1∥AC ，AC ⊂平面ABCD ，A 1C 1⊄平面ABCD ，所以A 1C 1∥平面ABCD ，当平面EFGH 不平行于平面ABCD 时，A 1C 1不平行于水面所在平面，故C 错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH －BFG 的体积V 为定值，又V ＝S △AEH ·AB ，高AB 不变，所以S △AEH 也不变，即AE ·AH 为定值，故D 正确．7．考查①②两个命题，①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α为平面)，则此条件为__________．答案 l ⊄α解析 ①由线面平行的判定定理知l ⊄α；②由线面平行的判定定理知l ⊄α.8.如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件______，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合) 解析连接HN ，FH ，FN (图略)，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点，求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H . 证明如图．(1)取B 1B 的中点M ，连接HM ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形， ∴HD 1∥MC 1. 又MC 1∥BF ， ∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接OE ，OD 1，则OE 綉12DC .又D 1G 綉12DC ，∴OE 綉D 1G .∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴EG ∥D 1O .又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，EG ⊄平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知BF ∥HD 1，由题意易证B 1D 1∥BD .又B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)如图，连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AE ，BC ＝AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ，所以OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，FH ，OH ⊂平面OHF ，所以平面OHF ∥平面PAD . 又因为GH ⊂平面OHF ，所以GH ∥平面PAD .11．(多选)已知α，β是两个平面，m，n是两条直线．下列命题正确的是( )A．如果m∥n，n⊂α，那么m∥αB．如果m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥nC．如果α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，那么m⊥β答案BC解析如果m∥n，n⊂α，那么m∥α或m⊂α，故A不正确；如果m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥n，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故B正确；如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故C正确；缺少m⊂α这个条件，故D不正确．12．(2022·福州检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是( )A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案 B解析过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．13．(多选)(2022·临沂模拟)如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点(不含端点)，将△ABE 沿AE 翻折，使得二面角B －AE －D 为直二面角，得到图2所示的四棱锥B －AECD ，点F 为线段BD 上的动点(不含端点)，则在四棱锥B －AECD 中，下列说法正确的有( )图1 图2A ．B ，E ，C ，F 四点不共面 B ．存在点F ，使得CF ∥平面BAE C ．三棱锥B －ADC 的体积为定值D ．存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直答案 AB解析对于A ，假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以E 在平面BCF 上，又因为E 在折前线段BC 上，BC ∩平面BCF ＝C ，所以E 与C 重合，与E 异于C 矛盾，所以直线BE 与直线CF 必不在同一平面上，即B ，E ，C ，F 四点不共面，故A 正确；对于B ，如图，当点F 为线段BD 的中点，EC ＝12AD 时，直线CF ∥平面BAE ，证明如下：取AB 的中点G ，连接GE ，GF ，则EC ∥FG 且EC ＝FG ，所以四边形ECFG 为平行四边形，所以FC ∥EG ，又因为EG ⊂平面BAE ，则直线CF 与平面BAE 平行，故B 正确；对于C ，在三棱锥B －ADC 中，因为点E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离发生变化，所以三棱锥B －ADC 的体积不是定值，故C 不正确；对于D ，过D 作DH ⊥AE 于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ∩平面AECD ＝AE ，所以DH ⊥平面BAE ，所以DH ⊥BE ，若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，且DC ⊂平面AECD ，DH ∩DC ＝D ，所以BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE ，与△ABE 是以B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，故D 不正确．14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DD 1＝1，AB ＝3，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，C 1D 1的中点，点P 在平面ABCD 内，若直线D 1P ∥平面EFG ，则线段D 1P 长度的最小值是________．答案72解析如图，连接D 1A ，AC ，D 1C .因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，C 1D 1的中点，所以AC ∥EF ，又EF ⊄平面ACD 1，AC ⊂平面ACD 1，则EF ∥平面ACD 1.同理可得EG ∥平面ACD 1，又EF ∩EG ＝E ，EF ，EG ⊂平面EFG ，所以平面ACD 1∥平面EFG . 因为直线D 1P ∥平面EFG ，所以点P 在直线AC 上．在△ACD 1中，易得AD 1＝2，AC ＝2，CD 1＝2，所以1AD C S △＝12×2×22－⎝⎛⎭⎪⎫222＝72，故当D 1P ⊥AC 时，线段D 1P 的长度最小，最小值为7212×2＝72.15．(2022·合肥市第一中学模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面AMN ，则PA 1的长度范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32答案 B解析取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连接A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 的中点O ，连接A 1O ，如图所示，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ，∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ，AM ，MN ⊂平面AMN ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ， ∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，∵A 1E ＝A 1F ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，EF ＝1212＋12＝22，∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，PA 1的长度取最小值A 1O ， A 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，当P 与E (或F )重合时，PA 1的长度取最大值A 1E 或A 1F ，A 1E ＝A 1F ＝52.∴PA 1的长度范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52.16．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为AB 1，A 1C 1上的点，A 1N ＝AM .(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)求MN 的最小值．(1)证明如图，作NE ∥A 1B 1交B 1C 1于点E ，作MF ∥AB 交BB 1于点F ，连接EF ，则NE ∥MF .∵NE ∥A 1B 1，∴NEA 1B 1＝C 1NA 1C 1.又MF ∥AB ，∴MF AB ＝B 1MAB 1，∵A 1C 1＝AB 1，A 1N ＝AM ，∴C 1N ＝B 1M .∴NE A 1B 1＝MF AB，又AB ＝A 1B 1，∴NE ＝MF .∴四边形MNEF 是平行四边形，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BB 1C 1C ，EF ⊂平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解设B 1E ＝x ，∵NE ∥A 1B 1， ∴B 1E B 1C 1＝A 1NA 1C 1.又∵MF ∥AB ，∴B 1F BB 1＝B 1M AB 1，∵A 1N ＝AM ，A 1C 1＝AB 1＝2a ，B 1C 1＝BB 1＝a ，B 1E ＝x ，∴B 1E B 1C 1＋B 1F BB 1＝A 1N A 1C 1＋B 1MAB 1，∴x a ＋B 1F a ＝1，∴B 1F ＝a －x ，从而MN ＝EF ＝B 1E 2＋B 1F 2 ＝x 2＋a －x2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， ∴当x ＝a 2时，MN 的最小值为22a .。

《金版新学案》2020高三数学一轮复习第七章第4课时空间中的平行关系线下作业文新人教A版

■!课时作业（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）一、选择题1.给出下列关于互不相同的直线l、m n和平面a、卩、丫的三个命题:①若I与m为异面直线，I ? a , m?卩，则a //卩；②若a / 3，I ? a,m? 3，则I // m③若a A 3 =1, 3A Y= m, 丫 A a = n, I// Y ,贝U m/ n.其中真命题的个数为( )A. 3B. 2C. 13可以相交；3 A Y = m? I D.0解析：①中面；由1 // Y , a、3 ,②两平面平行，两平面中的直线可能平行，也可能异n,故m// n,③正确，故选C.答案：C2 .设a ,卩表示平面，m n表示直线，则m// a的一个充分不必要条件是（）A. a丄卩且mL 3B. a A 3 =n 且m/ nC. m// n 且n // aD. a // 3 且m? 3解析：若两个平面平行，其中一个面的任一直线均平行于另一个平面，故选 D.答案：D3. 若空间四边形ABC啲两条对角线AC BD的长分别是8、12,过AB的中点E且平行于BD AC的截面四边形的周长为（）A. 10B. 20C. 8D. 4解析：设截面四边形为EFGH F、G H分别是BC CD DA的中点，二EF= GH= 4, FG =HE= 6,•••周长为2X （4 + 6）= 20.答案：B4. 已知m n为两条不重合的直线，a, 3为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若n? a , n? a , m// 3，n// 3 ,贝卩 a / 3B. 若 a / 3 , m? a , n? 3 ,贝U m nC. 若m// 3 , n? 3 ,则m// nD. 若 a / 3 , m? a ,贝U m// 3解析：选项A中若m n平行，a , 3可能相交；选项B中m n可能是异面直线；选项C中m n可能是异面直线；选项D中a// 3，贝U a , 3无公共点，m? a ,则m与3 无公共点，即m// 3 •答案：D5. a、b、c为三条不重合的直线，a、3、Y为三个不重合平面，现给出六个命题a// c a // Y a / c①? a // b ②?a // b ③？a / 3b// c b // Y 3 / ca / Y a // C a / Y④? a / 3 ⑤? a / a ⑥？a//a3 // Y a // c a // Y其中正确的命题是（）A.①②③B.①④⑤C.①④D.①③④解析：①④正确，②错在a、b可能相交或异面.③错在a与3可能相交.⑤⑥错在a可能在a内.答案：C6.设平面a //平面3 , A€ a , B€ 3 , C是AB的中点，当A、B分别在a、3内运动时，那么所有的动点q ）A. 不共面B. 当且仅当A B在两条相交直线上移动时才共面C. 当且仅当A B在两条给定的平行直线上移动时才共面D. 不论A B如何移动都共面解析：设平面a、卩间的距离为d,则不论A B如何移动，点C到a、卩的距离都分别为Q.•••动点C都在平面a、卩之间且与a、卩的距离都相等的一个平面上.答案：D二、填空题7•考查下列三个命题，在“ _________ '处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中I, m为不同的直线，a、卩为不重合的平面），则此条件为m?a I // m①I / m? I // a ②m V/ a ? I // aI丄卩③a丄卩? I // a解析：①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“I为平面a “I? a”.它同样适合②③，故填I? a .答案：I ?a&如图，四棱锥P— ABCD勺底面是一直角梯形，AB// CD BAL ADCD= 2AB PAL底面ABCD E为PC的中点，贝U BE与平面PAD勺位置关系为__________ .在厶PCD中, EF綊2CD又••• AB// CD且CD= 2AB,•EF綊AB •四边形ABEF是平行四边形，• EB// AF又EE?平面PAD AF?平面PAD•BE//平面PAD答案：平行9.如图所示，ABC—ABCD是棱长为a的正方体，M N分别是下底a面的棱AB、BG的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=-,过P, MN的平面交上底面于PQ Q在CD上 ,贝U PQ= ______ .解析：如图，连结AC易知平面ABCD•MN/ PQ又••• M/ AC • PQ// ACa又••• AP= 3 ,•PD_DQ_PQ_2•AD T CD= AC= 3,外的直线”，即c••• PQ= 2AC ^答案：竽a三、解答题10.如图所示，在四棱锥 S — ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AB SC 的中点.求证：EF//平面SAD 【解析方法代码 108001092】则G 为SD 的中点.连接AG FG 綊知又CD 綊AB 且E 为AB 的中点，故FG 綊AE 四边形AEF®平行四边形.• EF// AG 又 T A(?平面 SAD EF ?平面 SAD• EF//平面 SAD证法二：取线段 CD 的中点M 连接ME MF•/ E 、F 分别为AB SC 的中点,• ME/ AD MF// SD又••• ME MF ?平面 SAD• M 曰平面SAD MF//平面SAD•/ ME MF 相交,•平面MEF/平面SAD••• EF ?平面 ME F • EF// 平面 SAD11.在正方体 ABC — A 1B 1GD 中,M N 、 MNP 平面ABD证明：如图，连接BD 、BC. ••• P 、N 分别是DG 、BC 的中点，• PN// BD .又 BD // BD • PN// BD又 PN?面 ABD • PN//平面 ABD同理M /平面ABD又 PN T MN= N,•••平面MN R 平面ABD证明: 证法:作FG// DC 交SD 于点G,P 分别是CC BC 、CD 的中点，求证：平面‘12.如图，在直四棱柱ABC B ABCD中，底面ABCD为等腰梯/ 丸形，AB// CD且AB= 2CD在棱AB上是否存在一点F,使平面CCF為------------- 尸严//平面ADDA ?若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由J ;【解析方法代码108001093】解析：存在这样的点F,使面CCF//平面ADDA i，此时点F为AB的中点，证明如下：••• AB// CD AB= 2CD •- AF綊CD•AD// CF,又At?平面ADDA , CF?平面ADDA i,•CF// 平面ADDA.又CC// DD, CC?平面ADDA ,DD?平面ADDA ,•CC // 平面ADDA i ,又CC、CF?平面CCF, CC n CF= c,•平面CCF//平面ADDA i.。

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第七章第四节空间中的平行关系

课时规范练A组基础对点练1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．答案：A2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．答案：A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B4．(2018·江西赣中南五校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.答案：C5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D 1，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD7．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA的中点，N 为BC 的中点． (1)求四棱锥O -ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .解析：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O -ABCD 的高．∵四棱锥O -ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22.∵OA ＝2，∴体积V O -ABCD ＝23. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE (图略)． ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ， ∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .8．如图，四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：DF ∥平面PBE ； (2)求点F 到平面PBE 的距离．解析：(1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，且FG ＝12BC ，∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴DE ∥FG 且DE ＝FG ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF ∥EG ，又DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面PBE ，∴DF ∥平面PBE .(2)由(1)知DF ∥平面PBE ，∴点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d .连接BD .∵V DPBE ＝V P BDE ，∴13S △PBE ·d ＝13S △BDE ·PD ，由题意可求得PE ＝BE ＝5，PB ＝23， ∴S △PBE ＝12×23×(5)2－⎝⎛⎭⎫2322＝6，又S △BDE ＝12DE ·AB ＝12×1×2＝1，∴d ＝63.9．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是体积比等于底面积之比，即3∶1.B 组能力提升练1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a ∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b 相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．答案：A2．已知直线a，b异面，给出以下命题；①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中正确的是()A．①④B．②③C．①②③D．②③④解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b 上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a 平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.答案：D3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE 沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行； ③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题图，得SA ⊥SE ，若存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ，则SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，则SC ，SB ，SE 三线共面，则点E 与点C 重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA 与平面SBC 相交，所以在平面SBC 内不存在直线与SA 平行，故②错误；显然，在平面ABCE 内，存在直线与AE 平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行，故③正确．故选B. 答案：B4．下列命题中，错误的是( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线解析：A 中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理，B 正确；C 中，如果平面α内有一条直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β(这是面面垂直的判定定理)，故C 正确；D 是错误的，事实上，直线l 不平行平面α，可能有l ⊂α，则α内有无数条直线与l 平行．答案：D5．(2018·唐山统一考试)在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交P A 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN (图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．答案：647．如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13·S △BCM ·P A 2＝453. 8．如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G ，E ，F ，H 分别是棱 PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥ 平面ABCD ，BC ∥ 平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解析：(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD . 又平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42， PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.。

2019版高考一轮复习文数(人教版A版)练习：第七章第四节空间中的平行关系

课时规范练A组基础对点练1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．答案：A2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．答案：A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B4．(2018·江西赣中南五校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.答案：C5．已知正方体ABCD A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D 1，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD7．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA的中点，N 为BC 的中点． (1)求四棱锥O -ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .解析：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O -ABCD 的高．∵四棱锥O -ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22.∵OA ＝2，∴体积V O -ABCD ＝23. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE (图略)． ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ， ∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .8．如图，四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：DF ∥平面PBE ； (2)求点F 到平面PBE 的距离．解析：(1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，且FG ＝12BC ，∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴DE ∥FG 且DE ＝FG ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF ∥EG ，又DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面PBE ，∴DF ∥平面PBE .(2)由(1)知DF ∥平面PBE ，∴点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d .连接BD .∵V DPBE ＝V P BDE ，∴13S △PBE ·d ＝13S △BDE ·PD ，由题意可求得PE ＝BE ＝5，PB ＝23， ∴S △PBE ＝12×23×(5)2－⎝⎛⎭⎫2322＝6，又S △BDE ＝12DE ·AB ＝12×1×2＝1，∴d ＝63. 9．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是体积比等于底面积之比，即3∶1.B 组能力提升练1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①是假命题；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②是假命题；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．答案：A2．已知直线a ，b 异面，给出以下命题； ①一定存在平行于a 的平面α使b ⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中正确的是()A．①④B．②③C．①②③D．②③④解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b 上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a 平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.答案：D3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE 沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．A．0B．1C．2 D．3解析：由题图，得SA⊥SE，若存在点E使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC 相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．故选B.答案：B4．下列命题中，错误的是()A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线解析：A 中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理，B 正确；C 中，如果平面α内有一条直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β(这是面面垂直的判定定理)，故C 正确；D 是错误的，事实上，直线l 不平行平面α，可能有l ⊂α，则α内有无数条直线与l 平行．答案：D5．(2018·唐山统一考试)在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交P A 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN (图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．答案：647．如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13·S △BCM ·P A 2＝453. 8．如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G ，E ，F ，H 分别是棱 PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥ 平面ABCD ，BC ∥ 平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解析：(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD . 又平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.。

高考数学(文)总复习：创新思维课时规范练(含答案)第七章第四节空间中的垂直关系

课时规范练A组基础对点练1．(2019·惠州模拟)P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B 两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B，D不符合题意；无法判断AC⊥PB，故C符合题意．答案：C2．(2019·石家庄模拟)已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则() A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直解析：垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．答案：D3．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，则下列命题正确的是()A．若m∥n，nα，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β解析：若m∥n，nα，则m∥α或mα，故A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或nα，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β.答案：D4．(2019·长春质检)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面ABD解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.答案：D5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.答案：C6．(2019·南昌调研)如图所示，四棱锥P－ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD解析：如图所示，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P－ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．故选B.答案：B7.如图所示，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：如图所示，连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面P AC ， ∴BD ⊥PC ，∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8.如图所示，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．求证： (1)AP ∥平面BEF ； (2)BE ⊥平面P AC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC ，如图所示．由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点．又F 为PC 的中点，因此在△P AC 中，可得AP ∥OF .又OF平面BEF ，AP平面BEF .所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC . 所以四边形BCDE 为平行四边形，因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE .因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC平面P AC，所以BE⊥平面P AC.9．(2019·唐山统考)已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E为棱PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)若PD＝AD＝2，PB⊥AC，求点P到平面AEC的距离．解析：(1)证明：如图所示，连接BD，交AC于点F，连接EF，∵底面ABCD为矩形，∴F为BD中点，又E为PD中点，∴EF∥PB，又PB平面AEC，EF平面AEC，∴PB∥平面AEC.(2)∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC，又PB⊥AC，PB∩PD＝P，∴AC⊥平面PBD，∵BD平面PBD，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形．又E 为PD 的中点，∴P 到平面AEC 的距离等于D 到平面AEC 的距离，设D 到平面AEC 的距离为h ，由题意可知AE ＝EC ＝5，AC ＝22，S △AEC ＝12×22×3＝6，由V D AEC＝V E ADC 得13S △AEC ·h ＝13S △ADC ·ED ，解得h ＝63，∴点P 到平面AEC 的距离为63.B 组能力提升练10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 相交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF 平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF . 由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12.答案：A11．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，nα，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α解析：选项A.若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行、相交、异面，故A 错误；B ．若m ⊥α，nα，则m ⊥n ，显然成立；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或nα，故C 错误；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α或n ∥α或n 与α相交．答案：B12.如图所示，三棱锥A －BCD 的底面是等腰直角三角形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，E 是棱CD 上的任意一点，F ，G 分别是AC ，BC 的中点，则在下面命题中：①平面ABE ⊥平面BCD ； ②平面EFG ∥平面ABD ；③四面体FECG 体积的最大值是13.真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①正确，因为AB ⊥平面BCD ，且AB平面ABE ，由面面垂直的判定定理可知平面ABE ⊥平面BCD ；②错误，若两平面平行，则必有AD ∥EF ，而点E 是棱CD 上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝12AB＝1，而S△GCE ＝12GC·CE·sin45°＝24CE≤1，故V F－GCE ＝13S△GCE·FG≤13.故正确的命题为①③.答案：C13．已知平面α，β和直线m.给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β.(2)当满足条件________时，有m⊥β.解析：(1)当mα，且α∥β时，有m∥β，故填③⑤.(2)当m⊥α，且α∥β时，有m⊥β，故填②⑤.答案：(1)③⑤(2)②⑤14．(2019·北京东城区模拟)如图所示，在四棱锥E-BCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD＝3AB.(1)求证：平面ACE⊥平面CDE；(2)在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：因为CD⊥平面ADE，AE平面ADE，所以CD⊥AE.又AE⊥DE，CD∩DE＝D，所以AE⊥平面CDE，因为AE平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE.(2)在线段DE上存在一点F，且EFED＝13，使AF∥平面BCE.设F为线段DE上一点，且EFED＝13.过点F作FM∥CD交CE于点M，连接BM，AF，则FM＝13CD.因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB.又FM∥CD，所以FM∥AB.因为CD＝3AB，所以FM＝AB.所以四边形ABMF是平行四边形，所以AF∥BM.又AF平面BCE，BM平面BCE，所以AF∥平面BCE.。

22020年高考一轮文数练习：空间中的平行关系

课时规范练A组基础对点练1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．答案：A2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．答案：A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B4．(2018·江西赣中南五校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.答案：C5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D 1，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD7．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA的中点，N 为BC 的中点． (1)求四棱锥O -ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .解析：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O -ABCD 的高．∵四棱锥O -ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22.∵OA ＝2，∴体积V O -ABCD ＝23. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE (图略)． ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ， ∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .8．如图，四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：DF ∥平面PBE ； (2)求点F 到平面PBE 的距离．解析：(1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，且FG ＝12BC ，∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴DE ∥FG 且DE ＝FG ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF ∥EG ，又DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面PBE ，∴DF ∥平面PBE .(2)由(1)知DF ∥平面PBE ，∴点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d .连接BD .∵V DPBE ＝V P BDE ，∴13S △PBE ·d ＝13S △BDE ·PD ，由题意可求得PE ＝BE ＝5，PB ＝23， ∴S △PBE ＝12×23×(5)2－⎝⎛⎭⎫2322＝6，又S △BDE ＝12DE ·AB ＝12×1×2＝1，∴d ＝63.9．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是体积比等于底面积之比，即3∶1.B 组能力提升练1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a ∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b 相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．答案：A2．已知直线a，b异面，给出以下命题；①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中正确的是()A．①④B．②③C．①②③D．②③④解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b 上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a 平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.答案：D3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE 沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行； ③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题图，得SA ⊥SE ，若存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ，则SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，则SC ，SB ，SE 三线共面，则点E 与点C 重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA 与平面SBC 相交，所以在平面SBC 内不存在直线与SA 平行，故②错误；显然，在平面ABCE 内，存在直线与AE 平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行，故③正确．故选B. 答案：B4．下列命题中，错误的是( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线解析：A 中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理，B 正确；C 中，如果平面α内有一条直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β(这是面面垂直的判定定理)，故C 正确；D 是错误的，事实上，直线l 不平行平面α，可能有l ⊂α，则α内有无数条直线与l 平行．答案：D5．(2018·唐山统一考试)在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交P A 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN (图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．答案：647．如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13·S △BCM ·P A 2＝453. 8．如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G ，E ，F ，H 分别是棱 PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥ 平面ABCD ，BC ∥ 平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解析：(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD . 又平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42， PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.。