固体电子理论 3 近自由电子近似

第讲固体电论

第五讲固体电子理论

布洛赫理论

紧束缚近似

近自由电子近似

能带电子的经典近似

能带结构

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紧束缚近似适用于近邻原子波函数相互交叠较小，电子束缚在原子附近，主要受到该原子势场作用的情形。因此特别适用于固体内层电子。紧束缚近似模型中以孤立原子势场作为零级近似其它原子势场的作用 紧束缚近似模型中，以孤立原子势场作为零级近似，其它原子势场的作用作为微扰项。

金属的价电子很容易脱离原子核的束缚，其行为很接近自由电子，主要受到一个起伏很小的晶格周期势场的作用。此时，紧束缚近似不再是一个好的近似，因为此时价电子并不是束缚在原子附近，孤立原子的电子轨道不是好的零级近似。需采用近自由电子近似。

近自由电子近似利用势场的平均值V 0代替晶格势V (r )作为零级近似，把周作为微扰处理

期势的起伏V (r )−V 0作为微扰处理。 近自由电子近似可作为一些简单金属，如Na ，K ，Al 等价电子的粗略近似。2

简我们先以一维情形来说明这种方法，然后给出三维情形的结论。

5.3 近自由电子近似

一维模型

能带和带隙

三维情形

4

金属Na一维晶体点阵的势能图假设由N个原子组成的一维晶格，基矢为a．晶格周期势V(x)可用傅里叶

零级近似时，电

子近似为自由粒子，

本征值E k(0)作为k

的函数，为抛物线

的形式。

的形式（虚线所

示）

k远离nπ/a，非简并微扰导致的能量修正很小，电子的能量与k的关系近似抛物线形成。

k取值nπ/a附近时，在-nπ/a附近有一状态，二者相差n2π/a，能量又非常接近，结果使原来能级高的更高了，原来能级低的更低了。E(k)函数曲线发生畸变且在k为nπ/a处(布里渊区

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边界)产生能隙（来源？）

零级近（自由电子近），虚线，抛物线

零级近似（自由电子近似），虚线，抛物线。

微扰修正；实线；k远离布里源区边界，近似抛物线；k在

带

布里源区边界附近，曲线畸变；k在布里源区边界，出现带隙。

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5.3 近自由电子近似

一维模型

能带和带隙

三维情形

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k k k k=

如果我们设势能为：

)x(

=0 Uπ

2Ucos(2

)

2U(2a)

/x

U<

维能带结构的种表示

一维能带结构的3

一个布里源区表示一

个能带，能量为k的单值

带为单

函数。

I. 扩展布里源区表示

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简约布里渊区表示的形成

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所有能带限制在第一布里源

区。

将第一布里源区之外能带的

波矢k平移一个倒格矢（或者

说2πn/a），总可将其平移进入

第一布里源区。

第布里源区

这里的k称为简约波矢。E(k)

为k的多值函数，指明一个状

态，需要指出:

1)属于那个带(n)

2)简约波矢是什么(k)。

II . 简约布里源区表示

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每个布里源区都绘

出所有能带。

适用于描述一个特

定能带的周期性。

III. 周期布里渊区表示

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5.3 近自由电子近似

一维模型

能带和带隙

三维情形

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三维情况和维情况有个重要区别不同能带在能量上三维情况和一维情况有一个重要区别，不同能带在能量上不一定分隔开，可能发生一定交叠。原因：不同方向的在布里渊区边界的E(k)都是间断的，但不同方向断开时的能量大小不同，因而有可能使能带交叠。

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本节重点

理解近自由电子近似处理能带理论的基本方法 掌握近自由电子近似能带理论的结论

能隙的成因，能隙大小，每个能带能级数、状态数

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