001011[线性代数] 天津大学机考题库答案

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线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)

由，得的特征值，
属于对应的特征向量为，单位化：，
属于对应的特征向量为，单位化：，
取，则有。
八、（本题8分）证明：由
得的特征值，
，
故的最大特征值是。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由，得：，
可逆，故；
由于，。
五、（本题14分）解：（1）令，，
则线性无关，故是向量组的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量线性相关，
若线性无关，则可由线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若阶实方阵，为阶单位矩阵，则（）。
（A）（B）
（C）（D）无法比较与的大小
5、设，，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算阶行列式，的主对角线上的元素都为，其余位置元素都为，且。
四、（10分）设3阶矩阵、满足关系：，且，求矩阵。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r

线性代数参考答案(部分)

解：将行列式按第一列展开得
Dn = x (−1)1+1
x 0 0
y x 0
0 y 0
L L L
0 0 x
L L L L L
+ y (−1) n +1
y x 0
0 y 0
L L L
0 0 x
0 0 y
L L L L L
= x n + ( −1) n +1 y n
说明：请注意这种形式的行列式！ 2. 含参数行列式的计算
x
yபைடு நூலகம்
0
L
0
0
0 x y L 0 0 Dn = L L L L L L 0 y 0 0 0 0
3
L L
x 0
y x
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1+ a 1 1 1 a + 10 a + 10 a + 10 a + 10 2 2+a 2 2 2 2+a 2 2 解： D4 = = 3 3 3+ a 3 3 3 3+ a 3 4 4 4 4+a 4 4 4 4+a
= ( a + 10) 1 1 2 2+a 3 4
3
1 2 3+ a 4
1 2 3 4+a
−2 λ +1 −2
2 λ +3
1 1
−2 −2
2 −k λ +3
=
k −4
− k = (λ − 1) 0 λ + 1
= (λ − 1) 0 λ + 1

天津大学线性代数答案

解方程组为
x4 , x1 1 1 x2 2 2 x4 , x 1 1 x , 3 2 2 4
故方程组的全部解为
[ x1 , x2 , x3 , x4 ]T [0, 1 , 1 ,0]T k[ 1, 1 , 1 ,1]T , k P . 2 2 2 2
(3) 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有
3 1 2 1 0 2 . 有限次 A 1 2 4 初等行变换 0 1 1 3 8 2 0 0 0
) 2 3 ，所以方程组有无穷多解. 其同解方程组为由于 r ( R) r ( R
0 0 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 r2 r1 0 r4 2 r3 3 1 1
0
1 1 7 3
0 0 2 0
0 1 0 1 3 0 1 0
0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1
2 1
0 0 0 2
习题一
1/4
——————————————————————————————————————————
3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 r2 2 r1 1、解 (1) [ A, E3 ] 2 2 1 0 1 0 r3 3r1 0 2 5 2 1 0 3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r 2 r 1 3 0 2 0 3 6 5 r2 5 r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

天津大学2021年《线性代数》期末试题A及答案

一、填空题（共75 分每空3分）1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 1 10 2 10 0 1A ，则=-A - 6 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11/3 1/6- 1/6 - 0 1/2 2/10 0 1 1A ，=2A 36 .2．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 10 23 22102111 0 0010101,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12 58 54 1 3 224 3 2 1.3．行列式6 3 3 2 12 1 1 1 = 18 ，行列式=22 02- 1 000 2____12_______. 4．两个向量)1 ,2 ,1(),0 ,1 ,1(21='='αα的内积为： 3 ，夹角为：6/π; 把21αα，用施密特正交化方法得: 0,2/1,2/1 '211）（，-==βαβ5．若向量)3,2(),2,1(),7,4(21='='='ααβ，则β用21,αα组合的表达式是212ααβ+=.6．向量组)3,1,3('),0 ,1 ,0(),1 , 1- ,1(),0 ,0 ,2(4321=='='='αααα的线性相关性为：线性相关，它的秩是 3 .7．已知向量组α1=(1,0,0),α2=(2,5,2),α3=(1,5,k)线性相关,则k =___2__________. 8．若3阶方阵A 的三个根分别是1，2，3，则方阵A 的行列式6=A9．设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0 00000 101000101，则矩阵A 的秩为 2 ，线性方程组OX A =的基础解系的向量个数为 3 . 10．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++232132132111λλλλx x x x x x x x x ）（,得分则：当λ≠1且λ≠0 时，方程组有唯一解；当λ= 1 时方程组有无穷解；当λ= 0 时方程组无解.11．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 0 11 2 100 2A 的特征值为： 2 、1，对应于特征值1=λ的特征向量为：0,110≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅k k .12．设A 设方阵A 满足E A A =',则=A ____1±________.13．二次型23322221213212222),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵的系数矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2 1 01 2 10 1 1A ，该二次型为正定二次型.二、计算题（共5分）设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 112, 求矩阵X, 使E A AX 2+= 解由AX = A +2E 得)2(1E A A X +=- 2’()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5 2- 1 02- 3 0 1~3 1 1 11 4 12 2 E A A 3’ 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5 2-2-3 X三、计算题（共6 分）已知向量组.1222,1343,1121,11114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=＝　＝　＝　αααα业:……线……………………………………得分得分求向量组4321αααα，，，的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示出来.解 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 0 01 0 0 00 1 1 0 0 2 0 1~1 1- 1 1-2 3 1 12 4 2 1 2 3 1 14321r αααα，，，由此可知, 421,ααα，为一组极大线性无关向量组, 2132ααα+=四、计算题（共6 分）求非齐次线性方程组⎩⎨⎧=-+--=+--222243214321x x x x x x x x 的通解．解增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2 1- 1 0 00 0 0 1- 1~2 1- 1 222- 1111r B 2’还原成线性方程组⎩⎨⎧+==24321x x x x 1’可得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020011000011214321c c x x x x ,21,c c 为任意常数. 2’五、限选题（共8分）（经管类学生可选做第1、2小题中的一题，理工类学生仅限做第2小题）(1) (理工类学生不做此小题)已知二次型312322212)(x x x x x x f -++=， a ）出二次型所对应的矩阵Ab ）用配方法将二次型化为标准型， C)写出相应的可逆线性变换矩阵。

2010-2011天津科技大学线性代数答案pdf版解读

2 1. 2 x12 − 6 x3 + 2 x1 x2 − 6 x1 x3 + 8 x2 x3 ；2. 2 2 − x12 + 3x2 + 2 x3 + 2 5 x1 x2 −4 x2 x3 . 二．计算题⎛⎜0 ⎜ 3 解：(1 二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎜2 ⎜⎜ −3 ⎜⎝⎛3 ⎜2 0 ⎜ 3 A→⎜0 ⎜ 2 ⎜⎜0 −1 ⎜ 2 ⎝⎛ −5 ⎜⎜0 ⎜ (2 二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎜0 ⎜⎜⎜0 ⎝⎛ −5 0 ⎜⎜0 1 ⎜ 2 A→⎜⎜0 0 ⎜⎜0 0 ⎝ 0 ⎞ −3 ⎟⎟ 1 0 − ⎟，对其施行初等行变换，得 2⎟⎟ 1 − −3 ⎟⎟ 2 ⎠ 1⎞ − ⎟ 1⎞⎛3 2 0 − ⎟⎟⎜ 2 2 ⎟， r ( A = 3 ，故 f 的秩为3. −3 ⎟ → ⎜⎟⎜ 0 1 −2 ⎟⎟⎜⎟⎝ 0 0 −5 ⎠ −4 ⎟⎟⎠ 3 2 0 1 2 0 ⎞⎟ 5 − ⎟ 0 2⎟⎟，对其施行初等行变换，得1 2 −5 ⎟ 2 ⎟⎟ 5 − −5 0 ⎟⎠ 2 0 0 ⎞⎛ −5 0 0 0 ⎞⎟⎜⎟ 1 2 −5 ⎟⎜ 0 2 −5 ⎟⎟⎜⎟ 2 ， r ( A = 3 ，故 f 的秩为 3. → 1 5⎟⎜ 1 5⎟ − ⎟⎜0 0 − ⎟ 2 2⎟⎜ 2 2⎟⎜0 0 0 0 ⎟ 5 −25 ⎟⎠⎠⎝天津科技大学线性代数检测题 5-2 参考答案一．填空题 1. n ；2 2. y12 − y2 ；2 2 3. λ1 y12 + λ2 y2 + λ3 y3 . 二．选择题 1. (A； 2. (C ； 3. (A. 三．计算题⎛2 1⎞ λ − 2 −1 1. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎟，由λ E − A = −1 λ − 2 = (λ − 1(λ − 3 ，知特征值为λ1 =1 ，⎝1 2⎠2 λ2 =3 ，故二次型 f 的标准形为 f = y12 + 3 y2 . ⎛ −1 −1⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎛ −1⎞对于λ = λ1 = 1 ，解方程组( E − A X = 0 ，即⎜⎟⎜⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p2 = ⎜⎟；⎝ −1 −1⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝1⎠⎛ 1 −1⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎛ 1⎞对于λ = λ2 = 3 ，解方程组(3 E − A X = 0 ，即⎜⎟⎜⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p2 = ⎜⎟ . ⎝ −1 1 ⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝ 1⎠单位化，得 e1 = 1 ⎛ −1⎞ 1 ⎛ 1⎞⎜⎟， e2 = ⎜⎟. 1 2⎝⎠ 2 ⎝ 1⎠ 16⎛ 1 ⎜− 2 令P =⎜⎜ 1 ⎜⎝ 2 1 ⎞⎛ 1 − ⎟⎛ x1 ⎞⎜ 2⎟ 2 ⎜，则所求正交变换为 X = PY 即⎜⎟ = 1 ⎟⎝ x2 ⎠⎜ 1 ⎟⎜ 2⎠⎝ 2 1 ⎞⎟ 2 ⎟⎛ y1 ⎞⎜⎟ . 1 ⎟⎝ y2 ⎠⎟ 2⎠⎛ 2 0 0⎞ λ −2 0 0 ⎟，由 = 2. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ λ 0 − 1 − 1 = (λ − 2 2 λ ，知特征值为λE − A ⎜0 1 1⎟⎜0 1 1⎟ 0 −1 λ − 1 ⎝⎠ 2 λ1 = λ2 =2 ，λ3 = 0 ，故二次型 f 的标准形为 f = 2 y12 + 2 y2 . ⎛1⎞⎛ 0⎞⎛ 0 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 2 ，解方程组(2 E − A X = 0 ，即⎜ 0 1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p1 = ⎜ 0 ⎟， p2 = ⎜ 1 ⎟；⎜ 0 −1 1 ⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛ −2 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎟⎜ x ⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p = ⎜ −1⎟ . 对于λ = 0 ，解方程组− AX = 0 ，即⎜ 3 ⎜⎟⎜ 0 −1 −1⎟⎜ 2 ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛0⎞ 1⎜⎟ 1 ⎜⎟标准正交化，得 e1 = p1 ，e2 = −1⎟ . 1 ⎟， e3 = 2⎜ 2⎜⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎛1 ⎜⎜0 令P =⎜⎜⎜0 ⎜⎝ 0 ⎞⎛1 ⎜⎟ x ⎛⎞ 1 ⎟ 1 ⎜ − ⎜⎟ 0 2 2 ⎟，则所求正交变换为 X = PY 即⎜ x2 ⎟ = ⎜⎟⎜x ⎟⎜ 1 1 ⎟⎝ 3 ⎠⎜0 ⎜⎟ 2 2 ⎠⎝ 0 1 0 1 2 1 2 0 ⎞⎟ 1 ⎟⎛ y1 ⎞ − ⎜⎟ 2 ⎟⎜ y2 ⎟ . ⎟⎟ 1 ⎟⎜⎝ y3 ⎠⎟ 2 ⎠⎛3 0 0⎞ λ −3 0 0 ⎜⎟ 3. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ 0 2 1 ⎟，由λ E − A = 0 λ − 2 −1 = (λ − 3 2 (λ − 1 ，知特征值为⎜ 0 1 2⎟ −1 λ − 2 0 ⎝⎠ 2 2 λ1 = λ2 = 3 ，λ3 = 1 ，故二次型 f 的标准形为 f = 3 y12 + 3 y2 . + y3 ⎛1⎞⎛ 0⎞⎛ 0 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 3 ，解方程组(3 E − A X = 0 ，即⎜ 0 1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p1 = ⎜ 0 ⎟， p2 = ⎜ 1 ⎟；⎜ 0 −1 1 ⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛ −2 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 1 ，解方程组( E − A X = 0 ，即⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p3 = ⎜ −1⎟ . ⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛0⎞ 1 ⎜⎟ 1 ⎜⎟标准正交化，得 e1 = p1 ， e2 = 1 ⎟，e3 = −1⎟ . 2⎜ 2⎜⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎛1 ⎜⎜0 令P =⎜⎜⎜0 ⎜⎝ 0 ⎞⎛1 ⎟ x ⎛ 1⎞⎜ 1 ⎟ − ⎜⎟⎜0 2 2 ⎟，则所求正交变换为 X = PY 即⎜ x2 ⎟ = ⎜⎟⎜x ⎟⎜ 1 1 ⎟⎝ 3 ⎠⎜0 ⎜⎟ 2 2 ⎠⎝ 0 1 0 1 2 1 2 0 ⎞⎟ 1 ⎟⎛ y1 ⎞ − ⎜⎟ 2 ⎟⎜ y2 ⎟ . ⎟⎟ 1 ⎟⎜⎝ y3 ⎠⎟ 2 ⎠天津科技大学线性代数自测题 5 参考答案 17一．填空题 1. 0 ； 2. 2 . 二．选择题 1. (C. 三．计算题⎛ 6 12 ⎞ λ − 6 −12 = (λ + 10(λ − 15 ， 1. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜由λE − A = 知特征值为λ1 = −10 ，⎟，−12 λ + 1 − 12 1 ⎝⎠ 2 λ2 = 15 ，故二次型 f 的标准形为f = −10 y12 + 15 y2 . ⎛3⎞⎛ −16 −12 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜− 4⎟； p = = 对于λ = −10 ，解方程组(−10 E − A X = 0 ，即⎜，得到特征向量⎟⎜⎟⎜⎟ 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎝ −12 −9 ⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝⎠⎛4⎞⎛ 9 −12 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜ 3⎟. = p = 对于λ = 15 ，解方程组(15 E − A X = 0 ，即⎜，得到特征向量⎟⎜⎟⎜⎟ 2 ⎜ x − 12 16 0 ⎜1⎟⎟⎝⎠⎝ 2 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛3 ⎜− 5 − 3 4 1⎛⎞ 1⎛⎞单位化，得 e1 = ⎜⎟， e2 = ⎜⎟ . 令 P = ⎜ 5⎝ 4 ⎠ 5 ⎝3⎠⎜ 4 ⎜⎝ 5 ⎛ 3 − ⎛ x1 ⎞⎜ 5 ⎜⎟=⎜⎝ x2 ⎠⎜ 4 ⎜⎝ 5 4⎞ 5⎟⎟，则所求正交变换为 X = PY 即 3⎟⎟ 5⎠ 4⎞⎛ −10 0 ⎞ 5 ⎟⎛ y1 ⎞ T ⎟⎜⎟，且P T AP = Λ = ⎜⎟，于是A = P Λ P ， 3 ⎟⎝ y2 ⎠⎝ 0 15 ⎠⎟ 5⎠ T 10 A10 = ( P Λ P ⎛ 3 ⎜−5 =P Λ10 P T = ⎜⎜ 4 ⎜⎝ 5 4⎞⎛ 3 − 10 ⎟⎛⎞ 0 ⎜ 5 5 ( −10 ⎟⎜⎜⎟ 3 ⎟⎜ 4 0 1510 ⎟⎠⎜⎟⎝⎜ 5⎠⎝ 5 4⎞ 10 10 12(1510 − 1010 ⎞ 5 ⎟ 1 ⎛ 9 × 10 + 16 × 15 ⎟= ⎜⎟. 3 ⎟25 ⎝ 12(1510 − 1010 16 × 1010 + 9 × 1510 ⎠⎟ 5⎠ 2. * (此题型不要求学生掌握5 −1 3 ⎛ 5 −1 3 ⎞⎜⎟解：(1二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ −1 5 −3 ⎟，由 r ( A = 2 ，知 A = −1 5 −3 = 24(a − 3 = 0 ，故 a = 3 . ⎜ 3 −3 a ⎟ 3 −3 a ⎝⎠ λ −5 1 −3 (2 λ E − A = 1 λ −5 3 = λ (λ − 4(λ − 9 ，知特征值为λ1 = 0 ，λ2 = 4 ，λ3 = 9 ，−3 2 1 2 2 3 2 3 λ −3 2 2 故二次型f = 5 x + 5 x + 3x − 2 x1 x2 + 6 x1 x3 − 6 x2 x3 可经正交变换 X = PY 化为标准形为 f = 4 y2 + 9 y3 ，于是 2 2 曲面方程变为 4 y2 + 9 y3 = 1 .由于正交变换相当于坐标旋转，因此并不改变曲面的形状，从而所求曲面为椭圆柱面. 18。

001011[线性代数] 天津大学考试题库及答案

线性代数复习题（特别提示：该课程可以参照答疑视频进行复习）一、单项选择题1、设3阶方阵A的3个特征值为24 5-，，，则A*的3个特征值为（ D）。

A. 24 5-，，B.111245-，， C. 2010 8-，，D.20 108--，，2、设1200470000250013A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，则1A-=（ C ）。

A.7200410000350012-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭B.7200410000350012-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭C.7200410000350012-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭D.7200410000350012-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭3、设1300250000210074A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，则1A-=（ C ）。

A.5300210000410072-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭B.5300210000410072-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭C.5300210000410072-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭D.5300210000410072-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭4、设n 阶方阵,,A B C 则()TABC =（ B ）。

A. T T T A B CB.T T T C B AC.T T T B A CD.T T T A C B 5、设3阶方阵A 的3个特征值为1 24-，，，则A *的3个特征值为（ A ）。

A. 8 4 2--，， B.8 4 2-，， C.1 2 4-，， D.111 24-，， 6、设111111111a A a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则下列答案正确的是（ A ）。

A. 3a =-B. 0a =C. 3a =-或0a =D. 3a ≠-且0a ≠ 7、设五元齐次线性方程组0AX =，若()1r A =，则其基础解系含有解向量的个数为（ D ）。

A. 1B. 2C. 3D. 48、设111111a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为1，则a =（ D ）。

线性代数(专) 天津大学网考复习题库及答案

解：
有无穷多解
同其中
3、求非齐次线性方程组的全部解（用其特解与导出组的基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
4、求非齐次线性方程组的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
（2）写出对应的二次型，并判定的正定性。
解：
（1）
对于解得，
已正交单位化
对于解得
单位化令则
（2）
正定从而正定
4、设求正交矩阵，使为对角形。
解：
对于解得，
已正交单位化
对于解得
单位化令则
七、1、设为阶方阵且满足，证明可逆。（证明略）
2、设阶方阵若，证明不可逆。（证明略）
极大无关组为
5、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：
令
极大无关组为
6、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
五、解线性方程组
1、求齐次线性方程组的基础解系及通解。
解：
有无穷多解
同解方程组基础解系为
通解为其中
2、求齐次线性方程组的基础解系及通解。
A、 B、 C、或 D、
三、解矩阵方程
1、设，求矩阵，使得。
解：由，可逆
2、设，求矩阵，使得。
解：由，
可逆
3、设，求矩阵，使得
解：由，
可逆
4、设，求矩阵，使得。

天津科技大学线性代数检测题答案（最新）

1. 3 -， 2 ；2. (1)2(1)n n --， 120 .二．选择题1. (A).三．计算题1. 解：原式232(1)(5)4(5)(5)(6)(5)1130x x x x x x x x x x =------=--=-+.天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3参考答案一．填空题1. D -；2. 2或3 ；3. 20 -；4. 0 a b ==；5. 11112222()()a d b c a d b c --.二．选择题1. (D).三．计算题(1) 解：原式3132414212021202 4011701171801240033102022200006r r r r r r r r -+=----+----； (2) 解：111111111111111112340123012301231136100259001300131410200391903100001====. (3) 解：24243223212321232102000122(1)(1)430130133013310101010101r r ++-=-=-=； (4) 解：将第二、三、四列加到第一列上，得原式10234102341131131034101131022210044104120222111004101230111---===⨯--=⨯----------10(4)(4)160=⨯-⨯-=； (5) 解：1212323242352108216382161602021105110541241213130412617205224130617r rr r r rr r r r --------=----+--+---------1620(8040)4025-=-=--+=-.(6) 解：1111111111112314013222225=0320132013201212121212121---+性质.1. 0 ， 0 .二．选择题1. (C).三．计算题1. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有1111110(1)(1)111101211211210a ab a a b b a b b b a b -===-=------故1a =或0b =.2. 解：1230121001D ==，10230121101D ==，21030022011D ==-，31200101001D ==故1x =，2y =-，1z =.天津科技大学线性代数第一章自测题参考答案一．填空题1. 02x x ≠≠且；2. 0；3. 10-；4. 5-；5. 0；6. 3；7. 4abcdef .二．计算题1.222213213513306(2)(6)(1)(2)(6)13200x x x x x x x x x x x x -=-=+--=-+-++-. 2. (1)11111111111102228111100221111002-==-----. (2)12341234123413410113011312142102130033112301110004--===-------. (3) 原式31128461642804616221101020112051627202516027---------==--=-=-----40=.(4)31010100100110(1)1011010010a aa a a a a a a a a a a a=+=+或221223310010010110101(1)(1)10101011010010a a a a a a a a a a a a a a+++--=-=+拉普拉斯定理.天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2参考答案一．填空题1. 1 1⎛⎫ ⎪⎝⎭；2. 0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ，1052010⎛⎫ ⎪--⎝⎭，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ；3. 200 010003nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 1269 846201015--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 5.=AB BA .二．选择题1. (C)；2. (D)；3. (D)；4. (B).三．计算题1. 解：100223032101414541010⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 2. 解：2111130212103⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，2()37f =--A E A A 1011307737012103147--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四．证明题证：由2=A A ，2=B B ，知222()+=+++=+++A B A B AB BA A B AB BA . 故2()+=+A B A B 的充要条件是+=AB BA O ，即=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§2.3参考答案一．填空题1. 111432-⎛⎫⎪⎝⎭； 2. 8 -.二．选择题1. (B)；2. (D).三．计算题1. 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ； (2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5参考答案一．填空题1. 1 2； 2. 2 ； 3. ()* TA .二．选择题1. (A)；2. (C)三．计算题1. 解：(1)cos sin 1sin cos αααα=--，*cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，故 1cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭. (2) 0016423110=-，*001312423314110600--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故 111100131226314233141126263110600100-⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭. (3) 1212342541-=--，*121420342136154132142--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故 1210121420113134213613222541321421671--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.2. 解：2=A ，1111112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，3=B ，1300120131230-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，因此1157153113316---⎛⎫== ⎪-⎝⎭X A CB . （注：应先判断矩阵,A B 的可逆性，再得出11--=X A CB ）四．证明题证：由 223(4)(2)5=+-=+-+O A A E A E A E E ，知 1(4)(2)5⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭A E E A E ，故4+A E 可逆，且 11(4)(2)5-+=--A E A E .天津科技大学线性代数检测题§2.6参考答案一．填空题1. 0 ；2. D -.二．选择题1. (D).三．计算题1. 解：(1)()121100121100100210342 010021310021310|54100101465010011671---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E100210100210131020136101032200116710011671-⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→→---- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭，故A 可逆，且1210131.3221671--⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A(2)()2311000721102151100113 5 010026011026011|151100115110010721102---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 151100102601173000122⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 不可逆. (3)()10210102100102100101000020 010020010|211103001005101001055⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭C E 321000551010*********55⎛⎫- ⎪⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，故C 可逆，且1604105010202C --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2. 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .天津科技大学线性代数检测题§2.7参考答案一．填空题1. n E ；2. 3 .二．选择题1. (D)；2. (A)；3. (B)；4. (B).三．计算题1. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得121121363000242000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，故()1r =A .2. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得 21314112321123214436320565622101405656550327010121212r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪---⎪ ⎪=- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A 324234123210565620002000000r r r r r r --⎛⎫- ⎪-- ⎪=- ⎪⎪↔ ⎪⎝⎭ B 故()3r =A .3. 解：241121121212150122101212110610105101510c c λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪=→---++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ A 1210121200393λλλλλ-⎛⎫ ⎪→+-- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而当3λ≠时，()3r =A ；当3λ=时，()2r =A .天津科技大学线性代数第二章自测题参考答案一．填空题1. 359411⎛⎫ ⎪---⎝⎭； 2. E ； 3. 0或1 .二．选择题1. (B)；2. (D)；3. (A)；4. (C).三．计算题1. 解：由 135100112010222( )02 1 100111010222001011001011⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎪ ⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭行A E ，故A 可逆，且 1135222111222011-⎛⎫--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .2. 由2=+AX A X ，得(2)-=A E X A . 再由() 101100301522110 010 110 4322 012001014223⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换A E A知2-A E 可逆，且1522(2)432223---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A . 四．证明题1.证：由1*-=A A A ，故(1) 1111n n n ---*-====A A A A A A A A ；(2) ()()()()111211111nn -*-----***--==⋅=⋅=A A A A A A A A A A A A A(2n ≥).2. 证：“⇒”若()0r =A ，则=A O ，记100m ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ B ，()100n ⨯= C ，则显然=A BC ；若()1r =A ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得()100100001000000m n ⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ PAQ ，或()11101000--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A P Q ，记112100m b b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B P ，()()112100n c c c -== C Q ，则=A BC . “⇐”由()1r ≤B ，知()()()1r r r =≤≤A BC B .天津科技大学线性代数检测题§3.1参考答案一．填空题1. ()(|) r r <A A b ；2. ()(|) r r n =<A A b ；3. () r n =A ；4. 1-.二．选择题1. (C)；2. (C).三．计算题1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：3314243411113111311131113 3 3 0110011001100110(|)1120003300330011422112031400440000r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪÷++----⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b 2313121001 010*********r r r r r r ⎛⎫+ ⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭()(|)3r r ==A A b ，故方程组有唯一解：111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .2. 解：233132104081040810408 (|)0251100251100100011112015110005110r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b31341000155010004100125r r r ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭由()(|)34r r ==<A A b ，故方程组有无穷多解. 由 142344050125x x x x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 得142344445 0125x x x x x xx ⎧=-⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩，其中4x 为自由未知量，所以方程组的通解为40001250k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，k ∈R .3. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得121121120247009001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由()2r =A ，故方程组有非零解，由123200x x x +=⎧⎨=⎩知该方程组的通解为：210k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，k ∈R .4. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得11111111111111101001011111011001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 由方程组只有零解，故()3r =A ，从而1λ≠，即仅当1λ≠时方程组只有零解.天津科技大学线性代数检测题§3.2参考答案一．填空题1. 1122 n n a a a +++ εεε.二．选择题1. (A)；2. (D).三．计算题1. 解：()1231116111611161037014130141311250231100515---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ1116110310020141301010101001300130013--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为12323=-+βααα.2. 解：()1231230100123140101312200111225000TT T T⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααβ行故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为123=+-βααα.天津科技大学线性代数检测题§3.3参考答案一．填空题1. 有非零解；2. 0；3. 无关；4. 4 -；5. 120k k ==.二．选择题1. (B)；2. (C).三．计算题解：由12412431901312800045700⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，知()23r =<A ，故向量组123,,ααα线性相关. 四．证明题1. 证：设11232123323()(2)()k k k +++++++=αααααααα0，则12112321233()(2)()k k k k k k k k +++++++=ααα0由向量组123, , ααα线性无关，知12123123 0200k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得1230k k k ===，故向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα线性无关.2. 证：设1122s s k k k +++= A αAαAα0，则1122()s s k k k +++= A ααα0. 由A 为可逆矩阵，知11122s s k k k -+++== αααA 00. 再由12,,,s ααα线性无关，知120s k k k ==== ，即向量组12,,,s A αAαAα线性无关.天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5参考答案一．填空题1. 2或3 ；2. 1m -；3. 1n -；4. 1 .二．选择题1. (B).三．计算题1. 解：对()12345TT T T T =A ααααα进行初等行变换，得1031210312103011301103303011012172501101000114214060224200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123=+ααα，5124=++αααα.2. 对()12345=A ααααα进行初等行变换，得31002112451124524255406311161010122412400051000012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123122=+ααα，512422=--+αααα.3. 解：对()1234=A αααα进行初等行变换，得11241124112413610243024315106061220028311004620007a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由于向量组线性相关，即()4r <A ，必有2a =.或由112411241124136102430243014(2)15106061220028311004620007a a a a a a a --------====-=------+-+--A 得2a =.4. 解：()1234125312531010311301240120531100010001147100000000TTT T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 34r =<，故向量组线性相关，124, , ααα为一个极大无关组，并且3122=+ααα。

(完整)线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ，则排列12j j j n 的逆序数是（）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。

19春天津大学《线性代数(专)》在线作业二100分答案

标准选择是:C
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A.A
B.B
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标准选择是:B
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标准选择是:C
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二、判断题(共5道试题,共25分)
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D.D标准选择是Biblioteka C7.题面见图片A.A
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《线性代数(专)》在线作业二-0001

天津大学2021年《线性代数》各章节练习题及答案解析

（1.1 矩阵及其运算）一、填空1．若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=115201,101324,220131C B A ，则（1）23A B C -+= ；（2）T AB = .2. 若矩阵X 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--9423941146752780112356413X ，则X = 3. ()31,2,321⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ； ()211,23⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭二、设1213A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 1012B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，问： 1. AB BA =吗? 2.222()2A B A AB B +=++吗? 3. 22()()A B A B A B +-=-吗?三、计算下列乘积：1．13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭； 2．111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.四、设523)(2+-=x x x f ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=253142321A ，求)(A f .五、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ，求kA .（1.2 行列式及其计算）一、填空1． 201141183--=- ；222111ab c a b c = ； 2．四阶行列式中含有因子2311a a 的项为；3．1110110110110111= ；1111111111111111x x x x ---+-=--+-- . 二、证明: 0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a . 三、计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）:1. a aD n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；2. 02008200800002008000002008=n D ；3． 12132132321152113311321------=n n n n nn n n n n D n；4． nnn nn n nn nn n D n 20200000200020002=； 5． nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a .（1.3 方阵的逆）一、填空题1．设A 为4阶矩阵，且21||=A ，则|*2)3(|1A A --= ． 2．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012003310002100A ，则1-A = ，1*)(-A = . 3．已知矩阵X 满足⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212001*********X ，则X = . 二、计算题1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120A ，求1-A ； 2．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3111211111A ，求1*)(-A . 三、设A 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ，且E BA ABA 311+=--，其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵B .四、证明题1．设方阵X 满足022=--E X X ，证明E X X 2,+都可逆，并求11)2(,--+E X X .2．若B A ,为同阶可逆矩阵，则**)*(A B AB =.（1.4 Gramer 法则）一、填空1． ,λμ= ，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？(1λ=或0μ=)2. 齐次线性方程组()()()123123123124023010x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解，则λ= .(0,2λ=或3λ=)二、利用克拉默法则解下列线性方程组：1．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=+++-=+++=+++247312224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2．121232343454556156056056051x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩解5600015600665015600015600015D ==,116000056001507015600015610015D ==,251000106001145005600015601015D ==-,35610015000703010600005600115D ==,45601015600395015000010600015D ==-, 55600115600212015600015000011D ==,1111115071145703395212,,,,665665665665665x x x x x ∴==-==-=第二章矩阵的初等变换与线性方程组2.1-2.3 初等变换与初等矩阵、逆矩阵一、用初等变换将下列矩阵化为标准形:1．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---121423423； 2．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------03151113317120413171；3．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---13603116030242201211.解：利用矩阵的等价的阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵及标准型的非零行行数不变的性质，用初等变换将矩阵化为标准形时，只需化到阶梯形矩阵，求得非零行行数即可写出其标准型。

大学线性代数练习试题及标准答案

大学线性代数练习试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a a a a 11122122=m ，aa a a 13112321=n ，则行列式aa a a a a 111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（）A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –2 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（） A. A =0 B. B ≠C 时A =0 C. A ≠0时B =C D. |A |≠0时B =C 5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（）4A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解 10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（） A.|A|2必为1 B.|A |必为1 C.A -1=A T D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（） A.A 与B 相似 B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（） A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数习题参考答案

线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。

(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

2022年天津大学公共课《大学计算机基础》期末试卷A(有答案)

2022年天津大学公共课《大学计算机基础》期末试卷A(有答案）一、单项选择题1、十六进制数D3.6转换成二进制数是（）A. 11010011.011B. 11100011.110C. 11000011.110D. 11000011.0112、二进制数101101.11对应的十六进制数是（）A.2D.3B.B1.CC.2D.C D.3、下列四个不同进制的数值中，最小的数是（）A.(01101011)B. (154)C. (107)10 C. (6A)164、二进制数11111110B等值的十进制数是（）A.254B.252C.154D.2445、宏病毒可感染以下的文件（）A.exeB.docC.batD.txt6、在计算机领域，“bit”是指（）A.字节B.字C.字长D.二进制位7、计算机在工业自动化方面主要的应用是（）A.数据处理B.数值计算C.人工智能D.过程控制8、还原Windows 7“回收站”中的文件时，将还原到（）A.桌面上B.被删除的位置C.内存中D.“我的文档”中9、要设置打印机的优先级.应在打印机属性对话框中选择的选项卡是（）A.常規B.高级C.端口D.设备设置10、要设置计算机的数字格式，应先双击控制面板中的图标是（）A．多媒体B.区域选项C.日期/时间D.系统11、在Windows 7提供了各种系统工具，其中可以检查、诊断和修复各种类型磁盘损坏错误的是（）A.磁盘扫描程序B.磁盘空间管理程序C.磁盘碎片整理程序D.备份程序12、在Windows 7中，任务栏（）A.无法控制是否被隐藏B.必须被隐藏C.不能被隐藏D.可以被隐藏13、下列有关Windows 7磁盘的叙述中，正确的是（）A.“磁盘管理”工具可以整理内存空伺B.删除分区操作后，原分配到该分区的物理空间不可用C.磁盘驱动器号可以是英文字母XD.磁盘如果有磁道损坏，磁盘将不能使用14、在Word的“文件”菜单里可以直接按字母键来执行命令，按字母“N”键是（）A.执行“新键”命令B.执行“打开”命令C.执行“保存”命令D.执行“打印”命令15、在Word文档中插入符号时，首先要做的操作是（）A.选择“符号”菜单B.将光标定位到插入点C.选取要插入的符号D.选择“插入”菜单16、在Word文档编辑中，添加“页眉和页脚”应选择（）A.“视图”菜单B.“插入”菜单C.“格式”菜单D.“工具”菜单17、在Word中，段落的“悬挂缩进”是指（）A.控制段落的第一行左缩进B.控制段落的第二行左缩进C.控制段落中除了第一行以外的各行缩进D.控制段落第一行第一个字符的起始位置18、在Word2010中，“常用”工具栏中“恢复”按钮的快捷键是（）A.Ctrl+BackspaceB.Shift+BackspaceC. Ctrl+ZD. Ctrl+Y19、在Word2010“字体”对话框中不能设置（）A上标B删除线C字符间距D段落间距20、在Excel 2010的输入栏中，输入公式的一般形式是（）A.=表达式，B.：表达式C.'表达式D.表达式21、在Word 2010“视图”功能区中，不能设置的是（）A.标尺B.导航窗格C.显示比例D.纸张大小22、下列有关Word 2010分隔符的叙述中，正确的是（）A.对文档设置不同的页眉和页脚，应先插入分页符B.插入分页符的操作可在“页面布局”功能区完成C.在文档中插入的分节符无法被删除D.在文档中插入分节符后，文档同时也必然会被分页23、下列不能对Excel 2010工作表改名的操作是（）A.使用快捷菜单命令B.使用菜单命令C.单击工作表名D.双击工作表名24、在Excel 2010工作表中，工作表最大的单元格地址为（）A. 65536AB. A65536C. 65536IVD. IV6553625、.在Excel 2010中，将下列概念由大到小(即包含关系)的次序排列，以下选项中排列次序正确的是（）A.单元格、工作簿、工作表B.工作簿、单元格、工作表C.工作表、工作簿、单元格D.工作簿、工作表、单元格26、在Power Point2010中，可用鼠标拖方法改变幻灯片顺序的视图是（）A阅读视图B备注页视图C幻灯片浏览视图D幻灯片放映视图27、在PowerPoint 2010中，若要从第2张幻灯片跳转到第8张幻灯片，可使用“幻灯片放映”功能区的（）A.“动作设置”按钮B."添加动画”按钮C.“幻灯片切换”按钮D.“自定义幻灯片放映”按钮28、计算机网络主要功能是（）A.资源共享B.存储容量大C.运算速度快D.减少通信费用29、网络的覆盖范围，计算机网络可分为（）A.交换网和广播网B.服务器和客户机C.通信子网和资源子网D.局域网、城域网和广域网30、能够实现在计算机和网络介质之间进行信息编码转换的设备是（）A.网卡B.集线器C.交换机D.路由器二、填空题31、在Windows 7桌面的空白处，单击鼠标右键会弹出快捷菜单，在快捷菜单中选择“属性”命令，则弹出_________32、小写字母“a”的ASCII值为97，则大写字母“C”的ASCII码值为__________，33、为了防止显示器老化，在暂时不使用计算机时，可以通过设置________来保护显示器。

天津大学《线性代数》2018-2019第二学期期末试卷A

2018～2019学年第二学期期末考试试卷《线性代数及其应用》（A 卷共4页）（考试时间：2016 年 12月23日）一、填空题（共15分，每小题3分）1、子空间,,a b W a b c b c ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭的维数为________________.2、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且T T 123[2,3,4,5],[1,2,3,4]=+=ηηη，则该方程组的通解为________________.3、向量T T 12[7,5,],[2,1,8]k ==--αα分别为实对阵矩阵A 属于互异特征值1212,()λλλλ≠的特征向量，则参数k 的值为________________.4、设2阶方阵A 满足22|||3|0-=-=E A A E ，则21|9|-+-=A A A ________________.5、设3阶实对称矩阵A 的秩为2，且满足25A =A ，则3元实二次型T ()f =X X AX 通过正交线性替换可化为标准形________________.二、单项选择题（共15分，每小题3分）1、设,A B 为同阶方阵，且A 可逆，则下列叙述错误的是( ).(A) +A B 的特征值必为A 与B 的特征值之和； (B) AB 相似于BA ；(C) AB 与BA 的特征多项式相同； (D) 若A 与B 相似，则B 可逆.2、设矩阵02313124a -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦与12005031b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则( ).(A) 2,0a b == (B) 2,1a b == (C) 3,0a b == (D) 3,1a b ==3、设非齐次线性方程组β=AX 有唯一解， A为增广矩阵，则下列叙述错误的是( ). (A) A 的列向量组线性无关 (B) A 的列秩与 A 的列秩相等 (C) A的列向量组线性无关 (D) A 的列向量组与 A 的列向量组等价 4、设,A B 均为n 阶实对称矩阵，则A 与B 合同的充分必要条件是( ).(A) A 与B 相似 (B) A 与B 具有相同的特征值(C) A 与B 的秩相等 (D) A 与B 具有相同的正、负惯性指数 5、下列结论中，一定正确的是( ).① 若n n ⨯∈A 有n 个正特征值，则A 是正定矩阵；② 若,A B 为同阶正定矩阵，则对任意正实数a ，b ，矩阵a b +A B 正定； ③ 若A 是正定矩阵，则它的伴随矩阵*A 也是正定矩阵； ④ 若,A B 为同阶正定矩阵，则AB 也是正定矩阵.(A) ①和② (B) ②和③ (C) ②和④ (D) ③和④三、（共18分，其中第1题7分，第2题11分）1、求线性空间3[]x 中的向量组(I): 232312()1,()1279,f x x x f x x x x =++=-+++ 2233345()2,()268,()f x x x f x x x x f x x x =-+-=++=+ 的秩和极大无关组.2、设矩阵12001023k ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A . (1) 问参数k 取何值时，A 可对角化？ (2) 当A 可对角化时，计算10A .四、（12分）讨论参数,s t 为何值时，线性方程组123413412341234231,21,22573,2579x x x x x x x x x x x x x x s x t -++=-⎧⎪---=⎪⎨-++=-⎪⎪-+++=-⎩ 有唯一解，无解，有无穷多解? 在有解时求其通解.五、(共10分) 设向量组(I)123,,ααα和(II)123,,βββ分别是3维线性空间V 的两个基，且11232123312322,22,22.=-+=--=++αβββαβββαβββ (1) 求由基(I)123,,ααα到基(II)123,,βββ的过渡矩阵； (2) 求12323=++ββββ在基123,,ααα下的坐标.六、(共10分) 在3 中定义对应法则T 3(), [,,],x y z σ=∀=∈X AX X 其中310212131⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =.(1) 证明σ是3 上的线性变换；(2) 求σ在基T T T 123[2,0,0],[0,4,6],[0,3,5]===βββ下的矩阵.七、（共14分）设实二次型 222123123121323(,,)22244f x x x x x x x x x x x x =+-++-.(1) 求一个正交线性替换，将二次型123(,,)f x x x 化为标准形，并写出标准形；(2) 求二次型123(,,)f x x x 的规范形.八、（6分）设123,,ααα分别为3阶方阵A 的属于互异特征值123,,λλλ的特征向量，向量123=++βααα.证明向量组2,,A A βββ线性无关.。

天津大学2020秋季学期《线性代数》在线作业一附答案

天津大学2020秋季学期《线性代数》在线作业一附答案
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 20 道试题,共 100 分)
1.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
2.题面见图片{图}
A.A
B.B{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
需要代做加微boge30619
答案:C
10.题面见图片{图}
A.A
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答案:A
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答案:A
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答案:C
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答案:C
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答案:C
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答案:D
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答案:A
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答案:B
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A.A
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答案:C
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答案:C
9.题面见图片{图}
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A.A

天津大学《线性代数(专)》期末考试必备通关指导

线性代数（专）复习题（特别提示：该课程有答疑视频，请参照视频与复习资料进行复习）一、单项选择题1、设111111111aA aa+⎛⎫⎪=+⎪⎪+⎝⎭的秩为3，则下列答案正确的是（ A ）。

A.3a≠-且0a≠ B.3a=-或0a= C.3a≠- D.0a≠2、设1200470000410072A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，则1A-=（ B ）。

A.7200410000210074-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭B.7200410000210074-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭C.7200410000210074-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭D.7200410000410072-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭3、设3阶方阵A的3个特征值为23 4-，，，则A*的3个特征值为（ C ）。

A.111234-，， B.23 4-，， C.12 86--，， D.128 6-，，4、设1200470000250013A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，则1A-=（ C ）。

A.7200410000350012-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭B.7200410000350012-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭C. 7200410000350012-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭D.7200410000350012-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭5、设4元齐次线性方程组0AX =，()1r A =，则其基础解系含有解向量的个数为（ B ）。

6、设3阶方阵2A =则13A -=（ C ）。

A. 32B. 6C. 272D. 54 7、设5元齐次线性方程组0AX =，如果()1r A =则基础解系含有（ B ）个向量。

A. 5B. 4C. 3D. 18、行列式123024147D ==（ D ）。

A. 2-B. 14C. 2D. 09、设3阶111111x A x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为1，则x =（ B ）。

A. 2-B. 1C. 21-或D.21-或10、设3阶方阵111111a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则a =（ A ）。

天津科技大学线性代数检测题答案最新

1. 3 -， 2 ；2. (1)2(1)n n --， 120 .二．选择题1. (A).三．计算题1. 解：原式232(1)(5)4(5)(5)(6)(5)1130x x x x x x x x x x =------=--=-+.天津科技大学线性代数检测题§~参考答案一．填空题1. D -；2. 2或3 ；3. 20 -；4. 0 a b ==；5. 11112222()()a d b c a d b c --.二．选择题1. (D).三．计算题(1) 解：原式3132414212021202 4011701171801240033102022200006r r r r r r r r -+=----+----； (2) 解：111111111111111112340123012301231136100259001300131410200391903100001====. (3) 解：24243223212321232102000122(1)(1)4301301330133101011011r r ++-=-=-=； (4) 解：将第二、三、四列加到第一列上，得原式10234102341131131034101131022210044104120222111004101230111---===⨯--=⨯----------10(4)(4)160=⨯-⨯-=； (5) 解：1212323242352108216382161602021105110541241213130412617205224130617r rr r r rr rr r --------=----+--+---------1620(8040)4025-=-=--+=-.(6) 解：1111111111112314013222225=0320132013201212121212121---+性质.1. 0 ， 0 .二．选择题1. (C).三．计算题1. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有1111110(1)(1)111101211211210a ab a a b b a b b b a b -===-=------故1a =或0b =.2. 解：1230121001D ==，10230121101D ==，21030022011D ==-，31200101001D ==故1x =，2y =-，1z =.天津科技大学线性代数第一章自测题参考答案一．填空题1. 02x x ≠≠且；2. 0；3. 10-；4. 5-；5. 0；6. 3；7. 4abcdef .二．计算题1.222213213513306(2)(6)(1)(2)(6)13200x x x x x x x x x x x x -=-=+--=-+-++-. 2. (1)111111111111022281111002211110002-==-----. (2)12341234123413410113011312142102130033112301110004--===-------. (3) 原式31128461642804616221101020112051627202516027---------==--=-=-----40=.(4)31010100100110(1)1011010010a aa a a a a a a a a a a a=+=+或221223310010010110101(1)(1)10101011010010a a a a a a a a a a a a a a+++--=-=+拉普拉斯定理.天津科技大学线性代数检测题§~参考答案一．填空题1. 1 1⎛⎫ ⎪⎝⎭；2. 0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ，1052010⎛⎫ ⎪--⎝⎭，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ；3. 200 010003nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 1269 846201015--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 5.=AB BA .二．选择题1. (C)；2. (D)；3. (D)；4. (B).三．计算题1. 解：100223032101414541010⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 2. 解：2111130212103⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，2()37f =--A E A A 1011307737012103147--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 四．证明题证：由2=A A ，2=B B ，知222()+=+++=+++A B A B AB BA A B AB BA . 故2()+=+A B A B 的充要条件是+=AB BA O ，即=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. 111432-⎛⎫⎪⎝⎭； 2. 8 -.二．选择题1. (B)；2. (D).三．计算题1. 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ； (2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A天津科技大学线性代数检测题§~参考答案一．填空题1. 1 2； 2. 2 ； 3. ()* TA .二．选择题1. (A)；2. (C)三．计算题1. 解：(1)cos sin 1sin cos αααα=--，*cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，故 1cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭. (2) 0016423110=-，*001312423314110600--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故 111100131226314233141126263110600100-⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭. (3) 1212342541-=--，*121420342136154132142--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故 1210121420113134213613222541321421671--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.2. 解：2=A ，1111112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，3=B ，1300120131230-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，因此1157153113316---⎛⎫== ⎪-⎝⎭X A CB . （注：应先判断矩阵,A B 的可逆性，再得出11--=X A CB ）四．证明题证：由 223(4)(2)5=+-=+-+O A A E A E A E E ，知 1(4)(2)5⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭A E E A E ，故4+A E 可逆，且 11(4)(2)5-+=--A E A E .天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. 0 ；2. D -.二．选择题1. (D).三．计算题1. 解：(1)()121100121100100210342 010021310021310|54100101465010011671---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E100210100210131020136101032200116710011671-⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→→---- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭，故A 可逆，且1210131.3221671--⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A(2)()2311000721102151100113 5 010026011026011|151100115110010721102---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E151100102601173000122⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 不可逆. (3)()10210102100102100101000020 010020010|211103001005101001055⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭C E 321000551010*********55⎛⎫- ⎪⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，故C 可逆，且1604105010202C --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. n E ；2. 3 .二．选择题1. (D)；2. (A)；3. (B)；4. (B).三．计算题1. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得121121363000242000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，故()1r =A .2. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得21314112321123214436320565622101405656550327010121212r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪---⎪ ⎪=- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A 324234123210565620002000000r r r r r r --⎛⎫- ⎪-- ⎪=- ⎪ ⎪↔ ⎪⎝⎭B 故()3r =A .3. 解：241121121212150122101212110610105101510c c λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪=→---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A1210121200393λλλλλ-⎛⎫ ⎪→+-- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而当3λ≠时，()3r =A ；当3λ=时，()2r =A .天津科技大学线性代数第二章自测题参考答案一．填空题1. 359411⎛⎫ ⎪---⎝⎭； 2. E ； 3. 0或1 .二．选择题1. (B)；2. (D)；3. (A)；4. (C).三．计算题1. 解：由 135100112010222( )02 1 100111010222001011001011⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎪ ⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭行A E ，故A 可逆，且 1135222111222011-⎛⎫--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .2. 由2=+AX A X ，得(2)-=A E X A . 再由() 101100301522110 010 110 4322 012001014223⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换A E A知2-A E 可逆，且1522(2)432223---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A . 四．证明题1.证：由1*-=A A A ，故(1) 1111n n n ---*-====A A A A A A A A ； (2) ()()()()111211111n n -*-----***--==⋅=⋅=A A A A A A A A A A A A A(2n ≥).2. 证：“⇒”若()0r =A ，则=A O ，记100m ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，()100n ⨯=C ，则显然=A BC ；若()1r =A ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得()100100001000000m n ⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PAQ ，或()11101000--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A P Q ，记112100m b b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P ，()()112100n c c c -==C Q ，则=A BC .“⇐”由()1r ≤B ，知()()()1r r r =≤≤A BC B .天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. ()(|) r r <A A b ；2. ()(|) r r n =<A A b ；3. () r n =A ；4. 1-.二．选择题1. (C)；2. (C).三．计算题1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：3314243411113111311131113 3 3 0110011001100110(|)1120003300330011422112031400440000r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪÷++----⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b 2313121001 010*******00r r r r r r ⎛⎫+⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭()(|)3r r ==A A b ，故方程组有唯一解：111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .2. 解：233132104081040810408 (|)0251100251100100011112015110005110r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b31341000155010004100125r r r ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭由()(|)34r r ==<A A b ，故方程组有无穷多解. 由 142344050125x x x x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 得142344445 0125x x xx x xx ⎧=-⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩，其中4x 为自由未知量，所以方程组的通解为40001250k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，k ∈R .3. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得121121120247009001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由()2r =A ，故方程组有非零解，由123200x x x +=⎧⎨=⎩知该方程组的通解为：210k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，k ∈R .4. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得11111111111111101001011111011001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由方程组只有零解，故()3r =A ，从而1λ≠，即仅当1λ≠时方程组只有零解.天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. 1122 n n a a a +++εεε.二．选择题1. (A)；2. (D).三．计算题1. 解：()1231116111611161037014130141311250231100515---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ1116110310020141301010101001300130013--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为12323=-+βααα.2. 解：()1231230100123140101312200111225000TT T T⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααβ行故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为123=+-βααα.天津科技大学线性代数检测题§参考答案一．填空题1. 有非零解；2. 0；3. 无关；4. 4 -；5. 120k k ==.二．选择题1. (B)；2. (C).三．计算题解：由12412431901312800045700⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，知()23r =<A ，故向量组123,,ααα线性相关. 四．证明题1. 证：设11232123323()(2)()k k k +++++++=αααααααα0，则12112321233()(2)()k k k k k k k k +++++++=ααα0由向量组123, , ααα线性无关，知12123123 0200k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得1230k k k ===，故向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα线性无关.2. 证：设1122s s k k k +++=A αAαAα0，则1122()s s k k k +++=A ααα0. 由A 为可逆矩阵，知11122s s k k k -+++==αααA 00. 再由12,,,s ααα线性无关，知120s k k k ====，即向量组12,,,s A αAαAα线性无关.天津科技大学线性代数检测题§~参考答案一．填空题1. 2或3 ；2. 1m -；3. 1n -；4. 1 .二．选择题1. (B).三．计算题1. 解：对()12345TT T T T =A ααααα进行初等行变换，得1031210312103011301103303011012172501101000114214060224200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123=+ααα，5124=++αααα.2. 对()12345=A ααααα进行初等行变换，得31002112451124524255406311161010122412400051000012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭A于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123122=+ααα，512422=--+αααα.3. 解：对()1234=A αααα进行初等行变换，得11241124112413610243024315106061220028311004620007a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由于向量组线性相关，即()4r <A ，必有2a =.或由112411241124136102430243014(2)15106061220028311004620007a a a a a a a --------====-=------+-+--A 得2a =.4. 解：()1234125312531010311301240120531100010001147100000000TTT T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 34r =<，故向量组线性相关，124, , ααα为一个极大无关组，并且3122=+ααα。

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3、设阶方阵，满足，且，证明。（证明略）
4、设阶方阵满足，证明：的特征值只能是或者。（证明略）
解：
（1）的
对于得已正交单位化
得
对于得单位化，得
令正交矩阵
则正交变换化
（2）为正定二次型
26、设
（1）求一正交变换化为标准形
（2）判定的正定性
解：
（1）的矩阵
对于得已正交单位化
得
对于得单位化，得
令正交矩阵
则正交变换化
（2）不正定
27、设
（1）求一正交矩阵，使得为对角形。
19、设为阶可逆矩阵，则（）。
20、设阶方阵的秩为，则（）。
21、行列式（4）。
22、设矩阵的线性无关的特征向量为（2）。
23、设阶方阵的行列式，的两个二重特征值，则的第三个特征值（-3）。
24、行列式（-360）。
25、行列式（-4）。
三、解答下列各题
1、设，求矩阵，使得。
当或时线性相关
14、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
15、求解线性方程组的基础解系及通解。
解：
方程组有唯一解
为所求
16、求齐次线性方程组的基础解系及通解。
解：
有无穷多解
同解方程组为
基础解系为，
通解为其中
17、求解线性方程组。
解：
有唯一解为所求
解：由，
可逆
2、设，求矩阵，使得。
解：由，
可逆
3、设，求矩阵，使得。
解：由，
可逆
4、设，求矩阵B，使得AB-2A=2B。
解：由，可逆
5、设，求矩阵，使得。
解：由，
可逆
6、问取何值时，向量组，，线性相关，又为何值时线性无关。
解：令
当或时线性相关
当且时线性无关
解：
令
向量组的秩极大无关组为
11、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
12、问取何值时，向量组，，线性无关，又为何值时线性相关。
解：令
当且时线性无关；
当或时线性相关。
13、问取何值时，向量组，，线性无关，又为何值时线性相关。
解：令
当且时线性无关
解：的矩阵
对于得已正交单位化
得
对于得单位化，得
令正交矩阵
则正交变换化
30、问取何值时，向量组，，线性相关，又为何值时线性无关。
解：令
当或时线性相关；
当且时线性无关。
四、证明题
1、设阶方阵，满足，证明可逆，并求。
（证明略）
2、设矩阵且，证明。（证明略）
7、问取何值时，向量组，，线性无关，又为何值时线性相关。
解：令
当且时线性无关
当或时线性相关
8、问取何值时，向量组，，线性相关，又为何值时线性无关。
解：
令
当或时线性相关
当且时线性无关
9、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
10、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：
当时有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
24、设
（1）求一正交变换化为标准形
（2）判定的正定性
解：
（1）的矩阵
对于得已正交，单位化
得
对于得单位化，得
令正交矩阵
则正交变换化
（2）不正定
25、设
（1）求一正交变换化为标准形；
（2）判定的正定性。
线性代数复习题
（特别提示：该课程可以参照答疑视频进行复习）
一、单项选择题
1、设阶方阵的个特征值为，则的个特征值为（ D）。
A. B. C. D.
2、设为3阶方阵且，则（ C）。
A、 B、 C、 D、
3、设，则果则基础解系含有（ D）个向量。
A.5B.4C.3D.2
5、设阶方阵的个特征值为，则的3个特征值为（A）。
A. B. C. D.
6、设，则（C）。
7、设的秩为，则（ D ）。
A. 且 B. 或 C. D.
8、设是非齐次线性方程组的解向量，则（C）是非齐次的解向量。
二、填空题
1、行列式（）。
2、行列式（）。
18、求非齐次线性方程组的全部解（用特解与导出组的基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
19、求非齐次线性方程组的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
20、求齐次线性方程组的基础解系及通解。
3、设，，则（），
（）。
4、行列式（24）。
5、设是非齐次线性方程组的两个解向量，则
（）。
6、设阶方阵的秩为，则（-4）。
7、设阶方阵的行列式，则（）。
8、行列式（）。
9、行列式（1）。
10、若行列式，则（）。
11、设阶方阵的秩为，则（且）。
（2）写出对应的二次型，并判定的正定性。
解：
（1）
对于解得，
已正交单位化
对于解得
单位化令则
（2）
不正定
28、设求一正交矩阵，使得为对角形。
写出对应的二次型，并判定的正定性。
解：（1）
对于解得，
已正交单位化
对于解得
单位化令则
（2）
正定从而正定
29、设，求一正交变换化为标准形。
12、设是齐次线性方程组的两个解向量，则（0）。
13、设阶方阵的行列式，的两个二重特征值，则的第三个特征值（-3）。
14、设是齐次线性方程组的两个解向量，则（0）。
15、行列式（4）。
16、行列式（-180）。
17、设是非齐次线性方程组的两个解向量，
则（）。
18、设阶方阵的行列式，则（）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
基础解系为，
通解为其中
21、求非齐次线性方程组的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
22、求解线性方程组。
解：
方程组有唯一解
为所求
23、问取何值时线性方程组有解？有解时，求出全部解（特解及导出组的基础解系表示）。