数学正交实验设计
5.3-1正交试验设计(修改)
ˆ = Y .） （因 µ
保温时 间 C/min 3 1（30） 2（35） 3（40） 2（35） 3（40） 1（30） 3（40） 1（30） 2（35）
指 标
yi 35 30 29 26.4 26 15 20 20 23 T ＝ 224.4
70 79.4 75 9.4
3.按试验方案进行试验 试验安排好后，就要严格按各号试验的条件进行试验，并认真 测定试验结果和记录下所得数据及有关情况.关于试验的顺序，可 不拘泥于试验号的先后，最好打乱顺序进行，也可挑选最有希望 的试验先做. 对于没有列入正交表的因素，让其保持在固定状态. 4.试验结果的直观分析 （1）试验数据的数学模型及参数估计. 本例考察的指标为抗弯强度， 把 9 个试验结果的数据列于表 5.20 的右侧的指标栏内.根据表 5.20 写出试验数据的数学模型为
⎧Y1 = µ + a1 + b1 + c1 + ε 1 , ⎪ ⎪Y2 = µ + a1 + b2 + c2 + ε 2 , ⎪Y3 = µ + a1 + b3 + c3 + ε 3 , ⎪ ⎪Y4 = µ + a2 + b1 + c2 + ε 4 , ⎪ ⎨Y5 = µ + a2 + b2 + c3 + ε 5 , ⎪Y = µ + a + b + c + ε , 2 3 1 6 ⎪ 6 ⎪Y7 = µ + a3 + b1 + c3 + ε 7 , ⎪ ⎪Y8 = µ + a3 + b2 + c1 + ε 8 , ⎪Y = µ + a + b + c + ε , 3 3 2 9 ⎩ 9
正交试验设计方法(详细步骤)
正交试验设计方法(详细步骤)正交试验设计方法(详细步骤)正交试验设计（Orthogonal Experimental Design），又称为正交阵列试验设计，是一种常用的优化设计方法。
它通过选择合适的试验因素水平组合，在有限的试验次数下，高效地确定最优的工艺参数和条件，从而得到最佳的工艺方案。
本文将详细介绍正交试验设计的步骤。
第一步：确定试验目标和试验因素在进行正交试验设计之前，首先需要明确试验的目标和需要考察的因素。
试验目标可以是产品质量的提高、生产效率的提升或成本的降低等。
试验因素是指影响试验目标的各项参数或条件，例如温度、时间、压力、pH值等。
第二步：确定试验水平和设计矩阵根据实际情况和试验因素的范围，确定每个试验因素的几个水平。
一般而言，水平数不宜过多，以免增加试验次数和成本。
然后，利用正交表或正交试验设计软件生成设计矩阵。
正交表是一种特殊的齐次分数阵，能够保证各个试验因素的水平组合均匀分布，并使得试验方案具有正交性，即各个试验因素相互独立，不会产生相互影响。
第三步：进行试验并记录结果按照设计矩阵，进行实际的试验操作。
对于每个试验组合，根据试验方案进行操作，并记录相关的观测结果。
需要注意的是，试验过程应具备可重复性和可比较性，以保证结果的准确性和可靠性。
第四步：数据处理和分析试验完成后，要对试验结果进行数据处理和分析。
常见的分析方法包括方差分析、回归分析和优化分析等。
方差分析可以帮助确定各个试验因素的主效应、交互作用和误差项的大小，进而判断试验因素对试验目标的影响程度。
回归分析可以建立试验因素与试验目标之间的数学模型，进一步优化工艺参数。
优化分析可以确定各个试验因素的最优水平组合，得到最佳的工艺方案。
第五步：验证和优化在进行正交试验设计时，往往需要进行多次试验和优化，以进一步验证和确认试验结果的可靠性。
通过不断调整和优化试验方案，最终得到满足要求的工艺方案。
综上所述，正交试验设计是一种高效的优化设计方法，可以在有限的试验次数下，确定最佳的工艺参数和条件。
正交试验设计完整版本
2020/3/26
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制
10 造
2. 拉丁方试验设计
均衡分布思想，虽然远在古代就有，但只是在近代才与生 产科研实际相结合，产生了拉丁方、正交表，显示出它的 巨大威力。
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数理统计在化学中的应用
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3造
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$8.3 试验设计
试验设计的目的就是为了试验优化. 试验优化由于具有设计灵活、计算简便、试验次数
少、优化成果多、可靠性高以及适用面广等特点， 因而发展迅速，应用广泛，已成为多快好省地获取 试验信息的现代通用技术，成为科学实验、质量管 理的一个科学工具。
反应时间
产量
1小时 平均值
反应温度
50 oC
69.5
70 oC
71.5
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数理统计在化学中的应用
2小时 平均值
72.0
64.5
李 振 华 制
29 造
最佳条件：
显色剂浓度：2% 显色温度：50 oC 显色时间：2小时 操作方法：不搅拌
2020/3/26
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制
18世纪的欧洲，普鲁士弗里德里希·威廉二世（1712一1786 ）要举行一次与往常不同的6列方队阅兵式。他要求每个方 队的行和列都要由6种部队的6种军官组成，不得有重复和 空缺。这样．在每个6列方队中，部队军官在行和列全部排 列均衡。群臣们冥思苦想，竟无一人能排出这种方队。后 来，向当时著名的数学家欧拉（1707—1783）请教，由此 引起了数学家们的极大兴趣，致使各种拉丁方问世。
用正交实验法设计测试用例
用正交实验法设计测试用例正交实验法的由来一、正交表的由来拉丁方名称的由来古希腊是一个多民族的国家，国王在检阅臣民时要求每个方队中每行有一个民族代表，每列也要有一个民族的代表。
数学家在设计方阵时，以每一个拉丁字母表示一个民族，所以设计的方阵称为拉丁方。
什么是n阶拉丁方？用n个不同的拉丁字母排成一个n阶方阵（n<26 ），如果每行的n个字母均不相同，每列的n个字母均不相同，则称这种方阵为n*n拉丁方或n阶拉丁方。
每个字母在任一行、任一列中只出现一次。
什么是正交拉丁方？设有两个n阶的拉丁方，如果将它们叠合在一起，恰好出现n2个不同的有序数对，则称为这两个拉丁方为互相正交的拉丁方，简称正交拉丁方。
例如：3阶拉丁方用数字替代拉丁字母：二、正交实验法正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(33) 正交表按排实验，只需作9次，按L18(37) 正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
利用因果图来设计测试用例时, 作为输入条件的原因与输出结果之间的因果关系,有时很难从软件需求规格说明中得到。
往往因果关系非常庞大,以至于据此因果图而得到的测试用例数目多的惊人，给软件测试带来沉重的负担，为了有效地,合理地减少测试的工时与费用,可利用正交实验设计方法进行测试用例的设计。
正交实验设计方法:依据Galois理论,从大量的（实验）数据（测试例）中挑选适量的、有代表性的点（例），从而合理地安排实验（测试）的一种科学实验设计方法。
正交试验设计法课件人教新课标(1)
方法解决简单问题的过程．
3.会应用正交试验的思想和方法解决一些简单的
实际问题.
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新课标 ·数学 选修4-7
前自主导学
1．正交试验设计法的有关概念 (1)水平：因素在试验中所取的不同状态称为水平． (2)正交表符号含义：
当堂双基
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课时作
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前自主导学 堂互动探究
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试验只做一部分就能够选出好点．
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前自主导学 2．通过正交试验选出各个因素好点的组合，是否一定是当堂双基 好点？为什么？
【提示】 不一定．因为试验部分实施代替全面试验，
可能会影响结果的判断．还有就是做试验的各因素之间可能
存在交互作用.
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课时作
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新课标 ·数学 选修4-7
【自主解答】 首先，要找出适合试验要求的正交表．案
例有 2 个水平，自然应在 2 水平的正交表中选．又因为有 3 个 前自主导学 因素，而列数不小于因素个数的最小 2 水平正交表是当堂双基
L4(23)，如表 1 所示： 表1
列号
试验号
123
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1
111
课时作
2
122
3
212
4
221
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C2)
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(2)可以借助 R 的大小来确定因素对试验结果影响的主
前自主导学次．
当堂双基
∵R2＝40＞R3＝27＞R1＝10 ∴各因素影响产量的因素中种植密度影响最大，其次是
施肥次数，施肥量再次之．
堂互动探究
正交试验设计方法-高中数学知识点讲解
正交试验设计方法
1．正交试验设计方法
【知识点的认识】
正交试验设计方法
人们在长期的科学试验和生产实践中，总结出了一种解决这类安排多因素试验问题的方法﹣﹣正交试验设计法．它借助预先设计好的“正交表”来安排试验和对数据进行统计分析，帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的试验方案．
1．正交表
先介绍记号L4（23）的含意．符号“L”表示正交表，L 右下角的数字 4 表示这张正交表有 4 行，它意味着需要做4 次试验．括号里的指数 3 表示这张正交表有 3 列，每列中的数字代表试验因素，每列仅可放一个因素，它意味着最多可安排 3 个因素．括号内的数字 2 表示表的主要部分只有两种数字﹣﹣1 和 2，它们分别是因素的 1 水平和 2 水平的代号，因此L4（23）是一张 2 水平的正交表．
常用的正交表有二水平正交表L4（23），L8（27），L12（211），L16（215）；三水平正交表L9（34），L27（213）；四水平正交表L16（45）．
2．正交试验设计
下面用正交试验设计法安排案例 1 中的试验．
首先要确定试验的因素和水平，这里已知影响试验结果的有 3 个因素，每个因素有 2 个水平；然后根据确定的因素和水平，选用一张合适的正交表．从附录二中找到二水平正交表有：L4（23），L8（27），L16（215），L32（231）．本试验考察 3 个因素，由于每个因素各需占用 1 列，故所选表的列数不得少于 3 列．查二水平正交表，从中找出列数不少于 3 列的最小正交表L4（23）．
1/ 1。
正交试验设计及其应用
正交试验设计及其应用正交试验设计是一种高效合理的研究手段，广泛应用于自然科学、社会经济等领域。
本文将介绍正交试验设计的基本概念、类型及其应用，旨在帮助读者更好地了解这一重要的研究方法。
1、什么是正交试验设计正交试验设计是一种试验设计方法，它通过运用正交表来安排多因素多水平的试验，以实现对各因素效应的快速、准确地检测。
正交试验设计具有均衡分散、整齐可比、易于操作等优点，因此被广泛应用于各种科学研究中。
在正交试验设计中，试验的因素和水平通常是已知的，试验者需要选择合适的正交表来安排试验。
通过正交试验设计，可以有效地减少试验次数，同时保证试验结果的准确性和可靠性。
2、正交试验设计的类型正交试验设计可以根据不同的标准进行分类。
其中，最常见的分类方式是根据试验的完整性和验证方式不同来进行区分。
完全正交试验设计是一种完整的正交试验设计，它对所有可能的组合都进行了试验。
这种设计方法适用于试验因素和水平都不太多，且对所有组合都进行试验可行的情况。
部分正交试验设计则是对完全正交试验设计的一种简化。
它通过选取部分代表性组合进行试验，以达到在减少试验次数的同时，仍能有效地获取各因素效应的目的。
部分正交试验设计通常适用于因素和水平较多，不可能对所有组合都进行试验的情况。
交叉验证是另一种常见的正交试验设计类型。
它主要用于对新模型或新方法的性能进行评估。
在交叉验证中，将数据集分成若干份，每次使用不同的数据份来训练和验证模型或方法，以获取更准确的性能指标。
3、正交试验设计的应用正交试验设计的应用范围非常广泛，以下列举几个主要领域：自然科学领域：在自然科学领域，正交试验设计常被用于研究物理、化学、生物等实验科学。
例如，在化学反应中，通过正交试验设计可以快速找到最佳的反应条件；在生物学研究中，正交试验设计可以用于筛选最优的实验条件或寻找某些生物因素之间的相互作用。
社会经济领域：在社会经济领域，正交试验设计也发挥着重要作用。
例如，政府和企业可以利用正交试验设计进行政策制定和决策分析；在金融领域，正交试验设计可以用于风险评估和投资组合优化；在市场营销中，正交试验设计可以帮助企业了解客户需求，优化产品设计和营销策略。
正交试验设计法简介
正交试验设计法简介一、概述正交试验设计法，又称为正交实验设计、正交表设计或正交测试设计，是一种高效、系统的试验设计方法。
该方法源于数学中的正交性概念，通过正交表来安排多因素试验，使得每个因素的每个水平都能在其他因素的所有水平中均衡出现，从而能够有效地分析多个因素对试验结果的影响。
正交试验设计法最初由日本统计学家田口玄一博士于20世纪50年代提出，并在工程领域得到了广泛应用。
正交试验设计法的主要优点包括试验次数少、数据分析简便、试验效果高等。
通过正交表的设计，可以大大减少试验次数，提高试验效率同时，正交表的规范化和系统性使得试验数据的分析变得简单明了，便于找出影响试验结果的主要因素和最优组合。
正交试验设计法广泛应用于工业、农业、医学、军事等领域。
在工业生产中，正交试验设计法可用于优化产品设计、改进生产工艺、提高产品质量等在农业研究中，可用于优化作物种植方案、提高作物产量等在医学研究中，可用于药物筛选、临床治疗方案优化等。
正交试验设计法还可用于系统可靠性分析、多目标决策等领域。
正交试验设计法是一种高效、实用的试验设计方法，对于多因素、多水平的试验问题具有重要的应用价值。
通过正交表的设计和分析，可以系统地研究多个因素对试验结果的影响，找出最优方案，提高试验效率和效果。
1. 正交试验设计法的定义正交试验设计法是一种研究多因素多水平的科学实验设计方法。
它基于Galois理论，从大量的实验点中挑选出适量的、有代表性的点进行试验，这些点具有“均匀分散，齐整可比”的特点。
这种方法的主要工具是正交表，通过合理安排实验，可以在最少的试验次数下达到与大量全面试验等效的结果。
正交试验设计法具有高效率、快速和经济的特点，被广泛应用于各个领域，如生物学、软件测试等。
2. 正交试验设计法的起源与发展正交试验设计法的起源可以追溯到古希腊时期。
当时，为了满足国王检阅臣民时的要求，即每个方队中每行有一个民族代表，每列也要有一个民族的代表，数学家们设计了一种方阵，被称为拉丁方。
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第一节 概述
适合多因素实验 全面实验
➢ 每个因素的每个水平都相互搭配进行实验
例：3因素3水平的全面实验次数，33=27次
正交试验设计(orthogonal design)
➢ 利用正交表科学地安排与分析多因素实验的方法
例：3因素3水平的正交试验次数：9
第二节 正交试验设计的概念及原理
第一节 概述
在生产实践中，试制新产品、改革工艺、寻求好的生产条件等， 这些都需要做实验，而实验总是要花费时间，消耗人力、物力。因 此，实验的次数应尽可能少。
全面实验： 如 4 个 3 水平的因素，要做 34＝81 次实验； 6 个 5 水平的因素，要做 56＝15625次实验。非常困难。
能否减少实验次数，而又不影响实验效果呢？
在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平， 就好比在选优区内打上网格，如果网网上的每个点都做 试验，就是全面试验。如上例中，3个因素的选优区可 以用一个立方体表示（图6-1），3个因素各取 3个水平， 把立方体划分成27个格点，反映在图6-1上就是立方体 内的27个“●”。若27个网格点都试验，就是全面试验。
实验设计及数据分析
2011-11-08
第六章 正交试验设计
教学目的与要求
1. 理解正交试验的基本原理和用途； 2. 熟练掌握正交设计的基本方法和步骤； 3. 学会正交试验分析的两种方法，熟练对不
同模式的分析； 4. 能正确进行表头设计。
第六章 正交试验设计
对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验 的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工 作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验 因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大， 往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验 设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合 的一种高效率试验设计方法。
从图6-1中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡的， 在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体的 每条线上也恰有一个试验点。
9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性， 能够比较全面地反映选优区内的基本情况。
第二节 正交试验设计的概念及原理
三、正交表及其基本性质 （一）正交表
表6-2是一张正交表，记号为L8(27)，其中“L”代 表正交表；L右下角的数字“8”表示有8行，用这 张正交表安排试验包含8个处理(水平组合) ；括号 内的底数“2” 表示因素的水平数，括号内2的指 数“7”表示有7列，用这张正交表最多可以安排7 个2水平因素。
表6-2
第二节 正交试验设计的概念及原理
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同数字有1、 2和3，它们各出现3次 。
第二节 正交试验设计的概念及原理
一、正交试验设计的基本概念
如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交 互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方 案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案 包含27个水平组合的全面试验的情况，找 出最佳的生产条件。
第二节 正交试验设计的概念及原理
二、正交试验设计的基本原理
(1)A1B1C1 (4)A1B2C2 (7)A1B3C3
(2)A2B1C2 (5)A2B2C3 (8)A2B3C1
(3)A3B1C3 (6)A3B2试验设计的概念及原理
二、正交试验设计的基本原理
上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各 个水平在试验中各搭配一次。对于A、B、C 3个因素来说， 是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅是全面试验的 三分之一。
一、正交试验设计的基本概念
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因 素试验的一种设计方法。
它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分 有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分 试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最 优的水平组合。
第二节 正交试验设计的概念及原理
一、正交试验设计的基本概念
例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳定 性的影响。每个因素设置3个水平进行试验 。
A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是 pH值，设B1、B2、B3 3个水平；C因素为杀菌温度，设C1、 C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因素的 水平之间全部可能组合有27种 。
全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出 最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作 量大，在有些情况下无法完成 。
表6-1
图6-1
3 因 素 3 水 平 的 全 面试验水平组合数为33=27， 4 因素3水平的全面试验水平组合数为34=81 ，5 因素3水平的全面试验水平组合数为35=243，这 在科学试验中是有可能做不到的。
第二节 正交试验设计的概念及原理
二、正交试验设计的基本原理
正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的 部 分 试 验 点 （ 水 平 组 合 ） 来 进 行 试 验 。 图 6-1 中 标 有 试 验 号 的 九 个 “(●)”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。 即：
若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表 来设计安排试验。
第二节 正交试验设计的概念及原理
一、正交试验设计的基本概念
正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替 全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全 面试验的情况。
正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的， 它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作 用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交 互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足， 但它能通过部分试验找到最优水平组合，因 而很 受实际工作者青睐。
三、正交表及其基本性质
（一）正交表
记号 ：La( bc ) L——正交表代号 a——正交表横行数（实验次数） b——因素水平数 c——正交表纵列数(最多能安排的因数个数)
第二节 正交试验设计的概念及原理
三、正交表及其基本性质
（二）正交表的基本性质 1. 正交性
（1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等