2003年高考试题——数学文(全国卷)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（文史类）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：

三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(2

1+'=台侧 其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(2

1sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长. )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：33

4R V π=球 ，其中R )]cos()[cos(2

1sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ）

（A ）12

y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x = 2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）7

24 （D ）724- 3．抛物线2

y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ） （A ）

18 （B ）18

- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51

5．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）

（A （B （C （D

6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(x

x f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）

（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）

（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）

7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）

（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg 32

（D ）1lg 25 8．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ）

（A ）0 （B ）4π （C ）2

π （D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）

（A （B ）2 （C 1 （D 1

10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34

R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）24

9R π （C ）238R π （D ）252R π 11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P

（入射角等于反射角）若40P P 与重合，则tg θ= （ ）

（A ）31 （B ）52 （C ）2

1 （D ）1 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（文史类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上

13x <的解集是____________________.

14．92)21(x

x -的展开式中9x 系数是 ________ . 15．在平面几何里，有勾股定理：“设22,,ABC AB AC AB AC BC += 的两边互相垂直则

平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面A B C A C 、、两两互相垂直，则______________________________________________.”

16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域

不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种_______________________（以数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知正四棱柱111111112ABCD A BC D AB AA E CC F BD -==，，，点为中点，点为点中点

（Ⅰ）证明11EF BD CC 为与的公垂线 （Ⅱ）求点1D BDE 到面的距离

18．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z .

19．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足1

111,3(2).n n n a a a n --==+≥

（Ⅰ）求23,a a ；

（Ⅱ）证明2n

n a =

20．（本小题满分12分） 已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； ()y f x =在

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数

区间,22π

π⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦上的图象

21．（本小题满分12分）

E

D B

A C

B

D C

A F

M

x