小波变换和motion信号处理(三) Windstorm
小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
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a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
小波变换在信号解调中的应用及优化方法
小波变换在信号解调中的应用及优化方法小波变换（Wavelet Transform）是一种信号处理技术，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而更好地理解和分析信号的特性。
在信号解调中，小波变换有着广泛的应用，并且还有一些优化方法可以进一步提高解调的效果。
首先，让我们了解一下信号解调的概念。
信号解调是指从复杂的信号中提取出我们感兴趣的信息。
在通信领域，信号解调常常用于解析调制信号，以便恢复原始的信息。
例如，我们可以使用信号解调来分析调幅（AM）或者调频（FM）信号，以便获取原始的音频或者数据。
小波变换在信号解调中的应用主要体现在两个方面：信号分解和特征提取。
首先，小波变换可以将复杂的信号分解成不同频率的子信号。
这种分解可以帮助我们更好地理解信号的频域特性。
通过观察不同频率子信号的幅值和相位变化，我们可以获取关于信号的重要信息。
其次，小波变换还可以用于特征提取。
通过选择适当的小波基函数，我们可以提取出信号中的特征，比如频率、幅值和相位等。
这些特征可以用于后续的信号处理和分析。
然而，小波变换在信号解调中也存在一些问题，比如频率混叠和边缘效应。
频率混叠是指在进行小波变换时，高频信号会被混叠到低频信号中，导致频率信息的丢失。
边缘效应是指信号在边缘处的处理效果较差，可能会引入一些伪像。
为了解决这些问题，有一些优化方法可以被应用。
首先，频率混叠可以通过选择合适的小波基函数来减轻。
不同的小波基函数在频域上有不同的特性，选择适当的小波基函数可以使得高频信号的混叠程度更小。
此外，还可以通过多尺度分析来进一步减轻频率混叠问题。
多尺度分析是指使用不同尺度的小波基函数进行分解，从而更好地捕捉信号的频率变化。
其次，边缘效应可以通过边界处理方法来解决。
边界处理方法可以在信号的边缘处采取一些特殊的处理策略，从而减少边缘效应的影响。
常用的边界处理方法包括零填充、对称填充和周期填充等。
这些方法可以有效地减少边缘效应，并提高信号解调的准确性。
小波变换与小波滤波资料
1.7 小波重构
将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要 根据需要把信号恢复出来，也就是利用信号的小波分 解的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构 （ Wavelet Reconstruction ） 或 叫 做 小 波 合 成 （Wavelet Synthesis）。
这一合成过程的数学运算叫做逆离散小波变换 （ Inverse Discrete Wavelet Transform ， IDWT ） 。
31
1.7 小波重构
S
A1
D1
A2
D2
A3
D3
重构过程为：A3＋D3＝A2；A2＋D2＝A1； A1+D1＝S。
32
应用之一：小波分析信号去噪中的应用
心电信号的噪声特点 小波分析与传统信号处理方法的比较 小波去噪的基本原理 小波去噪的基本步骤 小波去噪中的阈值函数和阈值的选取 小波去噪中小波函数的选择 去噪效果的评价 程序说明 总结
L′ cA1 约500个近似分量
(a)
A1 1000个样点
H′ cD1 约500个近似分量
L′ 0 约500个0
(b)
D1 1000个样点
（a） 重构近似信号； (b) 重构细节信号
30
1.7 小波重构
(2)多层重构 重构出信号的近似值A1与细节值D1之后，则原信 号可用A1＋D1＝S重构出来。对应于信号的多层小波分 解，小波的多层重构图:
典型的地震记录 3
实际采集的地震信号
它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某 一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息
4
如何完成只分析数据中的一小部分?
5
1.2 短时傅立叶变换（STFT）
数字信号处理中的小波变换算法介绍
数字信号处理中的小波变换算法介绍数字信号处理是一门涉及信号的数字化、转换和处理的学科，广泛应用于图像处理、音频处理、通信系统、控制系统等领域。
小波变换是一种常用的数字信号处理算法之一，其优点在于精度高、计算速度快、处理效率高，是数字信号处理中应用广泛的算法。
一、小波变换的基本概念小波变换是一种将信号分解成一系列小波组成的线性组合的算法。
小波是一种能够局部表示信号特征的基函数，具体说来，小波函数在时间和频率上都具有局部性质，即小波函数具有在时间和频率上有限支持的特征。
小波变换将原信号分解为一系列小波系数，其中高频系数表示信号的高频特征，低频系数表示信号的低频特征。
二、小波变换的算法小波变换的算法有多种，常见的包括离散小波变换(DWT)、连续小波变换(CWT)、快速小波变换(FWT)等。
下面分别介绍这些算法。
1.离散小波变换(DWT)离散小波变换是一种将信号分解为一系列小波系数的线性变换，一般通过滤波器组合实现。
具体来说，DWT将原信号经过一系列低通和高通滤波器的滤波，再将得到的两个子信号进行下一次滤波，逐层迭代直到滤波器长度为1时停止，这样就得到了一系列小波系数。
DWT有多种实现方法，如一维DWT、二维DWT、多尺度DWT等，广泛应用于图像处理、音频处理等领域。
2.连续小波变换(CWT)连续小波变换是一种不断缩放和平移小波函数的过程，得到一系列小波系数的过程。
具体来说，CWT将原信号与一定的小波函数连续卷积，并随着时间变化不断改变小波函数的频率和位置，得到一系列小波系数。
由于CWT需要遍历连续的时间和频率空间，计算量较大，因此一般用于分析连续信号，如声音和图像等。
3.快速小波变换(FWT)快速小波变换是一种将DWT算法应用于固定长度而得到的基于快速傅里叶变换的快速小波变换算法。
FWT是一种快速、高效、无损的小波变换算法，具有广泛的应用，如图像压缩、特征提取、信号去噪、音频处理等。
三、小波变换的应用小波变换广泛应用于各种信号处理领域，如图像处理、音频处理、通信系统、控制系统等。
matlab 小波变换瞬时频率 -回复
matlab 小波变换瞬时频率-回复小波变换瞬时频率（Wavelet Transform Instantaneous Frequency）是一种用于分析信号时变性质的方法。
在信号处理领域中，瞬时频率是指信号在时间和频率上的变化速率。
通过对信号进行小波变换，可以得到信号在不同时间尺度和频率范围内的频谱信息，从而进一步计算出信号的瞬时频率。
首先我们需要了解什么是小波变换（Wavelet Transform）。
小波变换是一种用于将信号分解为不同频率成分的方法。
与傅里叶变换相比，小波变换可以提供对不同频率成分的时间和频率局部化的分析。
小波变换有许多不同的种类和变体，其中最常用的是连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）。
连续小波变换的基本原理是将信号与不同尺度和平移的小波函数进行卷积，然后通过计算卷积结果的能量或幅度，得到不同尺度和频率上的频谱信息。
接下来，我们来介绍如何计算小波变换瞬时频率。
瞬时频率是指信号在每个时间点上的瞬时频率值。
通过小波变换，我们可以得到信号在不同时间和频率上的频率成分，进而计算出信号的瞬时频率。
首先，我们需要选取一个合适的小波函数作为基函数，常见的选择有Morlet小波、Daubechies小波等。
然后，我们将选定的小波函数在时间和频率上进行平移和尺度变换以覆盖整个信号的时间和频率范围。
然后，将信号与不同平移和尺度的小波函数进行卷积运算，得到不同时间和频率上的小波系数。
小波系数的模值代表信号在对应时间和频率上的能量。
接下来，我们可以通过计算小波系数的相位谱来获得信号的瞬时频率。
相位谱是指小波系数的辐角或相位信息。
通过计算相邻时间点上小波系数的相位差值，可以得到信号在不同时间点上的瞬时频率。
具体计算瞬时频率的方法有直接计算瞬时频率和对数钩子相位差方法等。
其中，对数钩子相位差方法是一种常用的计算瞬时频率的方法。
该方法首先计算小波系数的对数，并通过差分近似计算出对数小波系数的导数。
小波变换算法的加速与实时处理研究
小波变换算法的加速与实时处理研究小波变换（Wavelet Transform）是一种时频分析方法，可以将信号分解成不同尺度和频域的分量。
它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域发挥着重要作用。
然而，传统的小波变换算法存在着运算复杂度高、计算速度慢的问题，特别是在实时处理中，可能导致延迟或丢失信息的风险。
因此，研究小波变换算法的加速与实时处理势在必行。
为了加速小波变换算法的运算速度，可以考虑以下几个方面。
首先，采用快速小波变换算法（Fast Wavelet Transform, FWT）是一种常用的加速方法。
FWT基于快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）的思想，通过将小波基函数分解成低频和高频部分，从而减小了计算量。
它具有计算效率高、稳定性好等优点。
研究人员可以进一步优化FWT算法，减少内存访问次数、提高缓存命中率等，从而进一步加快速度。
其次，使用并行计算技术可以显著提高小波变换算法的加速效果。
并行化小波变换算法可以充分发挥现代计算机多核和多线程的优势，将任务分配给不同的处理单元同时进行运算。
研究人员可以利用OpenMP、CUDA等并行计算框架，将小波变换算法中的计算密集部分并行化，提高计算效率。
另外，研究人员可以通过优化数据结构和算法设计来加速小波变换算法。
例如，利用稀疏矩阵技术可以减少存储空间的使用，并且在对稀疏矩阵进行小波变换时，可以采用快速算法进行计算。
此外，也可以通过近似算法来减少计算量，例如截断小波变换和压缩感知小波变换等。
此外，在实时处理方面，可以考虑以下几点。
首先，为了实现小波变换算法的实时处理，可以采用流水线技术进行计算。
流水线技术将计算任务划分成多个阶段，并且通过将数据流在各个阶段之间传递，实现并行计算。
这样可以显著减少计算延迟，提高实时性能。
其次，可以利用硬件加速器进行小波变换算法的实时处理。
例如，使用图形处理器（Graphics Processing Unit, GPU）进行加速，GPU具有大量的并行计算单元，可以显著提高小波变换算法的实时处理能力。
小波变换（wavelettransform）的通俗解释（一）
⼩波变换（wavelettransform）的通俗解释（⼀）⼩波变换⼩波，⼀个神奇的波，可长可短可胖可瘦（伸缩*移），当去学习⼩波的时候，第⼀个⾸先要做的就是回顾傅⽴叶变换（⼜回来了，唉），因为他们都是频率变换的⽅法，⽽傅⽴叶变换是最⼊门的，也是最先了解的，通过傅⽴叶变换，了解缺点，改进，慢慢的就成了⼩波变换。
主要的关键的⽅向是傅⽴叶变换、短时傅⽴叶变换，⼩波变换等，第⼆代⼩波的什么的就不说了，太多了没太多意义。
当然，其中会看到很多的名词，例如，内积，基，归⼀化正交，投影，Hilbert空间，多分辨率，⽗⼩波，母⼩波，这些不同的名词也是学习⼩波路上的标志牌，所以在刚学习⼩波变换的时候，看着三个⽅向和标志牌，可以顺利的⾛下去，当然路上的美景要⾃⼰去欣赏（这⾥的美景就是定义和推导了）。
因为内容太多，不是很重要的地⽅我都注释为（查定义）⼀堆⽂字的就是理论（可以⼤体⼀看不⽤⽴刻就懂），同时最下⾯也给了⼏个⽹址辅助学习。
⼀、基傅⽴叶变换和⼩波变换，都会听到分解和重构，其中这个就是根本，因为他们的变化都是将信号看成由若⼲个东西组成的，⽽且这些东西能够处理还原成⽐原来更好的信号。
那怎么分解呢？那就需要⼀个分解的量，也就是常说的基，基的了解可以类⽐向量，向量空间的⼀个向量可以分解在x，y⽅向，同时在各个⽅向定义单位向量e1、e2，这样任意⼀个向量都可以表⽰为a=xe1+ye2，这个是⼆维空间的基，⽽对于傅⽴叶变换的基是不同频率的正弦曲线，所以傅⽴叶变换是把信号波分解成不同频率的正弦波的叠加和，⽽对于⼩波变换就是把⼀个信号分解成⼀系列的⼩波，这⾥时候，也许就会问，⼩波变换的⼩波是什么啊，定义中就是告诉我们⼩波，因为这个⼩波实在是太多，⼀个是种类多，还有就是同⼀种⼩波还可以尺度变换，但是⼩波在整个时间范围的幅度*均值是0，具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，可以是不规则，也可以是不对称,很明显正弦波就不是⼩波，什么的是呢，看下⾯⼏个图就是当有了基，以后有什么⽤呢?下⾯看⼀个傅⽴叶变换的实例：对于⼀个信号的表达式为x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t);这⾥可以看到是他的基就是sin函数，频率是1和5，下⾯看看图形的表⽰，是不是感受了到了频域变换给⼈的⼀⽬了然。
小波变换-完美通俗解读汇报
小波变换和motion信号处理（一）这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。
第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。
记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。
当然后来也退学了，不过这是后话。
当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。
我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。
当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA这些东西了。
对小波变换的认识也就停留在神秘的“图像视频压缩算法之王”上面。
后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。
比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。
但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。
这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢？说实话，我还在国内的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。
后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。
看了一些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国内真TNND不是一个档次的。
同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂; 国内的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。
牢骚就不继续发挥了。
在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。
如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。
考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。
小波变换在遥感图像处理中的应用指南
小波变换在遥感图像处理中的应用指南遥感技术在当今社会中扮演着重要的角色，它通过获取和分析地球表面的遥感图像，为我们提供了丰富的地理信息。
然而，由于遥感图像的复杂性和多样性，如何高效地处理这些图像成为了一个挑战。
在遥感图像处理中，小波变换是一种常用的工具，它可以帮助我们提取图像中的特征和信息。
本文将探讨小波变换在遥感图像处理中的应用指南。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种时频分析方法，它将信号分解为不同尺度和频率的子信号。
在遥感图像处理中，我们可以将图像看作是一个二维信号，通过小波变换，我们可以将图像分解为不同频率和方向的子图像。
这种分解能够帮助我们更好地理解和分析图像中的细节和特征。
二、小波变换在遥感图像去噪中的应用遥感图像通常受到噪声的干扰，而噪声的存在会降低图像的质量和可用性。
小波变换可以帮助我们去除图像中的噪声。
通过选择适当的小波基函数和阈值处理方法，我们可以将噪声信号与图像信号分离，并将噪声信号抑制到较低的水平。
这样可以提高遥感图像的清晰度和准确性。
三、小波变换在遥感图像压缩中的应用遥感图像通常具有较高的分辨率和大量的数据量，这对存储和传输都提出了挑战。
小波变换可以帮助我们对遥感图像进行压缩，减小图像的数据量。
通过对小波系数进行适当的编码和量化，我们可以实现对图像的有损或无损压缩。
这样可以节省存储空间和传输带宽，同时保持图像的可视质量。
四、小波变换在遥感图像特征提取中的应用遥感图像中包含丰富的地理信息和特征，如土地覆盖类型、水体分布等。
小波变换可以帮助我们提取这些特征。
通过对小波系数进行分析和处理，我们可以识别和提取图像中的不同特征。
例如，我们可以通过小波变换提取图像中的边缘信息、纹理特征等。
这些特征提取可以为遥感图像的分类和分析提供有力的支持。
五、小波变换在遥感图像变化检测中的应用遥感图像变化检测是遥感技术的一个重要应用领域，它可以帮助我们监测和分析地球表面的变化情况，如城市扩张、植被变化等。
信号处理中的小波变换技术
信号处理中的小波变换技术信号处理是现代科学技术中的一个重要领域，涵盖了很多方面的应用。
而小波变换技术作为一种信号处理方法，在多个应用领域中都有广泛的应用。
下面我们就来了解一下信号处理中的小波变换技术。
一、小波变换的基本原理小波变换的基本思路是将一个信号分解成多个尺度和不同频段的小波，并且将这些小波分量表示为不同的频率，尺度和振幅的函数。
它通过从低频到高频、从粗糙到细腻的尺度表示信号的特征，使得小波分解结果更加清晰，从而更能反映出信号的本质属性。
在小波变换的过程中，需要选择适当的小波基函数。
小波基函数具有多尺度、局部化和平滑性等特点，可以很好的适应信号的特征，因此在小波分解中具有重要的作用。
二、小波变换的应用1、图像压缩图像压缩是小波变换的重要应用之一。
它通过对图像进行小波分解，将图像的不同部分表示为小波系数，然后利用量化和编码技术对小波系数进行处理，从而实现图像的压缩。
小波变换在图像压缩中的应用，可以有效地减少图像数据量，降低存储和传输成本。
2、信号去噪小波变换还可以用于信号去噪。
它通过对信号进行小波分解，将信号的高频成分和低频成分分离出来，并去除其中的噪声，然后通过逆小波变换将处理后的信号合成为原始信号。
这种方法可以有效地提高信号的信噪比，从而增强信号的质量。
3、信号分析和识别小波变换还可以用于信号分析和识别。
在这方面，小波变换主要用于对信号进行特征提取和分类。
其基本思想是将不同尺度和频段的小波分量作为信号的特征向量，然后利用分类算法对特征向量进行分析和分类，从而实现信号的识别和分类。
4、数据处理小波变换在数据处理中也有广泛的应用。
在数据处理中，它主要用于数据的降噪、平滑和去除异常点等方面。
利用小波变换的方法可以有效地去除数据中的噪声和异常点，从而使数据更加准确和可靠。
三、小结小波变换作为一种信号处理技术，具有广泛的应用前景。
在图像压缩、信号去噪、信号分析和识别以及数据处理等领域中，小波变换都有着重要的应用作用。
小波变换与图像处理
1.6 Mallat算法
1.6 Mallat算法
1.6 Mallat算法
1.6 Mallat算法
三级分解示意图
第3章 小波变换与图像处理
• 2.小波应用(图像)
– 2.1 分解与重构 – 2.2 压缩与编码 – 2.3 边缘检测 – 2.4 小波图像去噪
2020年1月16日8时59分
2020年1月16日8时59分
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1.1 小波发展进程
小波诞生进程
局部分析
测不准原理制约 自适应问题
1.1 小波发展进程
• 小波发展进程
– 1910, Haar families. – 1984, Morlet and
Grossman, "wavelet". – 1985, Meyer,
"orthogonal wavelet". – 1988, Mallat and Meyer,
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2.1 分解与重构‘db1’
左：lena512.bmp；右：三级分解实验
2.2 压缩和编码‘db1’
小波变换本身不能 压缩图像，变换后 的图像可以通过 EZW、SHIPT、EBCOT 等熵编码压缩
这里进行最简单的 丢弃高频压缩实验
lena.bmp
2.2 压缩和编码‘db1’
一级分解：压缩率1/4
multiresolution. – 1988, Daubechies,
compact support orthogonal wavelet. – 1989, Mallat, fast wavelet transform.
1.2 连续小波变换
1.2 连续小波变换
1.2 连续小波变换
小波变换函数
小波变换函数小波变换(Wavelet Transform)是一种在信号分析领域中常用的数学工具。
它可以将信号分解成一系列不同频率的小波组成的子信号。
小波变换具有良好的时频局部性，可以捕捉到信号中的瞬时特征和频率特征。
小波变换的基本思想是将原始信号与不同尺度和位置的小波函数进行内积运算，得到对应尺度与位置的小波系数。
小波函数是一种局部化的基函数，具有有限时间和频率集中的特性。
小波函数的尺度和位置可以通过变换参数进行调节，从而可以对信号的不同频率成分进行分析。
小波变换有两种常见的方式：连续小波变换(Continuous Wavelet Transform, CWT)和离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)。
连续小波变换是在时间上连续变化的小波函数和原始信号进行内积运算，得到一个连续的小波系数函数。
连续小波变换具有较好的分析性质，可以提供连续的频谱信息，但是计算复杂度较高。
离散小波变换是在时间上离散采样的小波函数和原始信号进行内积运算，得到一个离散的小波系数序列。
离散小波变换通过递归地对小波系数进行迭代分解和合成，实现了信号的多尺度分解和重建。
离散小波变换可以通过快速算法，如Mallat算法或者FWT算法，实现高效的计算。
小波变换的具体实现可以使用不同的小波基函数，常见的小波基函数有Daubechies小波函数、Haar小波函数、Symlets小波函数等。
选择合适的小波基函数可以根据信号的特点进行调整，在时频分析中取得更好的效果。
小波变换在信号处理领域具有广泛的应用。
它可以用于信号去噪、边缘检测、信号压缩、特征提取等方面。
小波变换还可以用于图像处理、语音识别、视频编码等领域，在实际中具有很高的实用价值。
总之，小波变换是一种在信号分析和处理中常用的数学工具，通过对信号进行尺度和位置的变换，可以提取信号的时频特征。
它具有较好的局部性和多尺度分析能力，被广泛应用于各个领域。
小波变换及分析原理知识
- 252 -小波分析原理1.1 小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ：2ˆ().R C d ψψωωω+=<∞⎰式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，ˆ()ψω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。
对于实数对(,)a b ，参数a 为非零实数，函数(,)()x b a b x a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭称为由小波母函数()x ψ生成的依赖于参数对(,)a b 的连续小波函数，简称小波。
其中：a 称为伸缩因子；b 称为平移因子。
对信号()f x 的连续小波变换则定义为,(,)()(),()f a b Rx b W a b f x dx f x x a ψψ-⎛⎫==〈〉 ⎪⎝⎭其逆变换（回复信号或重构信号）为*1()(,)fR R x b f x W a b dadb C a ψψ⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰ 信号()f x 的离散小波变换定义为2(2,2)2()(2)j j j j f W k f x x k dx ψ+∞---∞=-⎰其逆变换（恢复信号或重构信号）为(2,2)()(2,2)()j j j j fk j k f t C Wk x ψ+∞+∞=-∞=-∞=∑∑其中，C 是一个与信号无关的常数。
显然小波函数具有多样性。
在MA TLAB 小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr 小波，Daubecheies （dbN ）小波系，Symlets （symN ）小波系，ReverseBior （rbio ）小波系，Meyer （meyer ）小波，Dmeyer （dmey ）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie （lem ）小波系等。
实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。
- 253 -1.2 小波的多尺度分解与重构1988年Mallat 在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数2()()f x L R ∈都可以根据分辨率为2N-的()f x 的低频部分（近似部分）和分辨率为2(1)j j N -≤≤下()f x 的高频部分（细节部分）完全重构。
小波变换在信号处理中的应用ppt素材
15
定理：
设f (x) L2, x [a,b],0 1,则：
f (x)在[a ,b ]具有一致Lipschitz指数的充要条件是：
存在常数A，使：
|W ( f )(x, s) | As
x [a,b]
16
定理：
设f (x) L2, x [a,b],0 1,则：
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基于小波变换的复合
SAR图 像数据
取大法：
归一化
小波 变换
光学图 像数据
归一化
小波 变换
两组小波 变换系数 中选大， 输出一组 小波系数
解译
逆小波 变换
27
海岸线检测方法
检测总框图：
28
29
30
的峰值出现在不同的k上，由此分离信号。
11
方法： 对输入信号进行多尺度的小波变换，检测其变换结果
的局部极值点。 性能：
优于能量检测器，接近与匹配滤波器。
12
小波变换应用于信号分析
（信号的奇异性分析） 若f(t)在某处间断或某阶导数不连续， 则称f(t)在此点有奇异性。 Fouier变换可以分析函数的整体的 奇异性，但不能推断奇异点的空间（时 间）分布情况。
13
定义：
设n n 1,若在某点x0, 存在常数A与h0，及一个
n阶多项式Pn (h),使
f (x0 h) Pn (h) A | h |a
0 h h0
则称f (x)在点x0具有Lipschitz指数。
14
注：
（1）若A和与x0无关，则称为一致Lipschitz指数。
（2）f (x)在点x0的Lipschitz指数的上界，则称为f (x) 在点x0的正则度。
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小波变换和motion信号处理（三）Windstorm
从前两篇发布到现在，过去一年多了。
当初承诺的主要讲解应用的第三篇迟迟没能出炉的原因主要是这个方法用到了我们组的一篇论文中，所以在论文发表之前，不大方便发出来。
倒不是说这个方法有多原创创新，只是这是团队工作，我单独提前发出来不大好。
现在这篇论文已经录取发表，所以可以不用顾虑放上来了。
我本来想讲的东西都在论文中，我也比较懒，就不再翻译一遍了。
各位感兴趣的可以从这里下载。
因为篇幅原因，和小波相关的文字已经被删除来只剩下不到两页了，不过基本思想还在。
总的来说，就是我们希望用一个简单有效的方法，能达到这样一个效果：在你乘车的时候，当你的手机随便放在身上哪里，或者是座位上哪里，我们都能把手机感知到的汽车移动信息，和手机载体（比如包，口袋，或者车座位）移动导致的移动信息分开。
这是小波变换一个非常合适的应用，因为由汽车突然移动或者人突然移动导致的速度变化，加速度变化等，在小波上的特征和汽车本身移动的特征是完全不同的。
这样结束这个系列多多少少有点太监贴的感觉^_^。
如果有朋友有和应用相关的问题，可以留言提问，我尽可能回答我能回答的。