计算机控制系统 第2章(第3次课 最少拍)

上述中各项系数即为y(kT)在各个采样时刻的数值。 即 y (0) 0
y (T ) 0 y (2T ) 2T y (3T ) 3T y (4T ) 4T
输出响应曲线如图 2-15所示。

例2-13
教材p.24
在上例中求得D(z)的基础上，若输入信号改为单位 阶跃和单位加速度时，求系统的输出序列并画出 响应曲线。 解（1）单位阶跃输入 Y ( z ) Gc ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) 1 1
求出：
Gc ( z) z 1 (1 z 1 )(1.25 0.75z 1 )
Ge ( z) (1 z ) (1 0.75z )
而输入序列 y(0) 0, y(T ) 0.5T 2 , y(2T ) 2T 2 , y(3T ) 4.5T 2 , y(4T ) 8T 2 , 系统的输入和输出响应曲线如图2-16(b)所示。
最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入设计的， 对于其它典型输入则不一定为最少拍，甚至引起大的超调 和静差。
1 F1 ( z) (a0 a1z 1 )， F2 ( z) (1 bz )
Gc ( z) 1 Ge ( z)
z 1 (1 z 1 )(a0 a1z 1 ) 1 (1 z 1 )2 (1 bz 1 )
比较同幂系统，可得到
a0 1.25, a1 0.75, b 0.75
Gc ( z) 1 Ge ( z) 2z 1 z 2
系统的输出序列为
1 Tz Y ( z ) Gc ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) (1 z 1 )2
2Tz 2 3Tz 3 4Tz 4 5Tz 5
选择 G ( z) (1 z 1 )3 , G ( z) 1 G ( z) 3z 1 3z 2 z 3 e c e
3z 1 3z 2 z 3 D( z ) (1 z 1 )3 HG( z )
系统的输出序列
3 2 9 2 (kT )2 y (0) 0, y (T ) 0, y (2T ) T , y(3T ) T , y(kT ) , 2 2 2
2.3.3 Gc ( z) 和 Ge ( z) 的选择 按上述最少拍设计原则选择Gc ( z) 和 Ge ( z)时，没有 考虑HG(z)对D(z)的影响，也没有考虑D(z)的可 实现性和稳定性等因素。下面根据系统必须满 足的约束条件，考虑 Gc ( z) 和 Ge ( z) 的选择原则。被控对象的HG(z)一般可写为：
Ge ( z) (1 z 1 )n F ( z)
式中， F(z)为 z 1 的有限多项式，当n=m时，且 F(z)=1时，可使E(z)的项数最少，因而调节时 间 t s 最短，得到的数字控制器阶数较少，结 构也简单。 2.典型输入时最少拍数字调节器D(z) 根据上述最少拍控制设计准则可知，对于不同的 输入信号，应当选择不同的误差传递函数 Ge ( z) ，求得最少拍数字控制器D(z)。
图2-14(C)为单位加速度时输出响应。可见，经过 3个采样周期，系统输出跟踪输入。
例2-12 教材p.23
2 已知被控对象的传递函数 G ( s) s(1 0.5s)
，若采样周期T=0.5s，试设计在单位速度输入时的 数字控制器D(z)。 解：采用零阶保持器，系统的广义对象的脉冲传函 1 e 2 为： HG ( z ) Z[ ]
2.3.2 最少拍(dead-beat)控制系统设计
需求与问题
• 经历最少的采样周期（最短的时间 ），使输出达到参考值。
解决的基本思路
• 使E(z)有限项（以z-1多次幂的多项式为有限项）， 且项数越少越好。 • D(z)满足物理可实现性 • 闭环系统稳定性
2.3.2 最少拍控制系统设计
最少拍（有限拍）控制是一种时间最优控制方式。 设计目标：设计一个数字控制器D(z)，使系统在 典型输入信号r(t)作用下，经过最少的采样周期， 消除输出和输入之间的偏差，达到平衡。通常 把一个采样周期称为一拍。 设计准则：1）单位阶跃输入
输出序列如图2-14(b)所示。 y(0) 0, y(T ) 0, y(2T ) 2T , y(3T ) 3T , y(kT ) kT , 系统的调节时间为 ts 2T
T 2 z 1 (1 z 1 ) E ( z ) Ge ( z ) R( z ) Ge ( z ) 1 3 2 ( 1 z ) 3）单位加速度输入
2 1 1 T z (1 z ) 2 2 1 2 2 3 2 4 2 5 (2 z z ) T z 3.5 T z 7 T z 11.5 T z 1 3 2(1 z )
各个采样时刻的输出序列为：
y(0) 0, y(T ) 0, y(2T ) T 2 , y(3T ) 3.5T 2 , y(4T ) 7T 2 ,
i 1
l
zi 为HG(z)的零点，pi 为 HG(z)的极点， 式中，
z r (r 0)
为 D(z)的超前环节。
D( z )来自百度文库 z Ge ( z )
Gc ( z )
-r 1 (1 z z i ) i 1 l
1 (1 p z ) i i 1
n
Gc ( z) 和 Ge ( z) 的选择原则
Ts
s
s (1 0.5s )
2 ] 2 s (1 0.5s) 2 1 1 2 1 1 Z[ 2 ] Z[e Ts ( 2 )] s s s2 s s s2 2Tz 1 1 1 1 [ ](1 z ) 1 2 1 2T 1 (1 z ) 1 z 1 e z Z[(1 e Ts ) 0.368 z 1 (1 0.718 z 1 ) (1 z 1 )(1 0.368 z 1 )
输出序列如图2-14(a)所示。如图可见，单位阶跃输 入时，最少拍控制系统的调节时间为一个采样周 期，即经过一拍即可消除输入和输出之间的偏差。
2）单位速度输入 选择 Ge ( z) (1 z 1 )2 则
Tz 1 E ( z ) Ge ( z ) R( z ) Ge ( z ) (1 z 1 )2
1 z
各采样时刻输出序列为：
2 z 1 z 2 z 3 z 4
y(0) 0, y(T ) 2, y(2T ) 1, y(3T ) 1,
系统的输出响应曲线如图2-16(a)所示。
（2）单位加速度输入
Y ( z) Gc ( z) R( z )
1 r (kT ) u (kT ), R( z ) 1 z 1
2）单位速度输入
Tz 1 r (kT ) kT , R( z ) (1 z 1 )2
3）单位加速度输入
典型输入信号的Z变换具有如下形式： A( z 1 ) (m 1, 2,3 ) R( z ) 1 m (1 z )
1）单位阶跃输入 1 可选择 Ge ( z) 1 z 函数为 Gc ( z) 1 Ge ( z) 1 Ge ( z ) 因此： D( z )
Ge ( z) HG( z)
1 E ( z ) Ge ( z ) R ( z ) Ge ( z ) 1 z 1
由于 E( z) Ge ( z) R( z) ，误差E(z)与误差传递函数 Ge ( z) 和输入信号R(z)有关，因此，最少拍控制的设 计是根据不同的R(z)选择 Ge ( z) ，使 R( z) Ge ( z) 只有有限项，且项数(N)越少越好。 1 A ( z ) 因为 E ( z ) G ( z ) R( z ) G ( z )
例2-14
设最小拍控制系统如图2-17所示，
设计单位速度输入时的最少拍数字控制器D(z)， 采样周期T=1s。
解（1）求广义对象Z传递函数
2 1 1 1 1 1 eTs 1 T z (1 z ) (1 z ) z HG( z ) Z[ 2 ] (1 z 1 ) 1 3 s s 2(1 z ) 2(1 z 1 )2
控制系统的调节时间就是误差e(kT)达到恒定值或趋 于零的时间，根据误差的Z变换定义：
E ( z ) e(kT ) z k e(0) e(T ) z 1 e(2T )z 2 e(kT ) z k
k 0
最少拍控制系统在典型信号输入时，k N ， e(kT)等于零或为恒定值时，系统调整结束。 因此，设计准则就是求出使k为最小的正整数N。
z r (1 zi z 1 )
i 1 1 (1 p z ) i i 1 n l
HG ( z )
则D(z)可表示为：
Gc ( z ) D( z ) = Ge ( z ) HG( z )
z r (1 pi z 1 )Gc ( z )
i 1
n
Ge ( z ) (1 zi z 1 )
（教材p.25）
1 m (1 z ) G ( z ) 1）保证调节时间最短： e 包含
2）保证D(z)的可实现性： Gc ( z) 包含有 z r 项 1 (1 z z ) 中|zi|≥1 Gc ( z) 包含 3）保证D(z)的稳定性： i Ge ( z)包含不稳定极点项 (1 pi z 1 ) 。 的零点项， 4）保证 Gc ( z) 和Ge ( z) 同阶
系统的输入为r(t)=t，误差传函选为
Ge ( z) (1 z 1 )2
则
1 Ge ( z ) 5.435(1 0.5 z 1 )(1 0.368 z 1 ) D( z ) Ge ( z ) HG( z ) (1 z 1 )(1 0.718 z 1 )
1 2
Gc ( z) 1 Ge ( z) 2z z
2 z 1 z 2 D( z ) (1 z 1 )2 HG( z )
1 2
长除法，或利用Z反变换 的线性性质，反推回Y(z)
Tz 1 2 3 k Y ( z ) (2 z z ) 2 Tz 3 Tz kTz 1 2 (1 z )
（2）选择Gc ( z)，因为HG(z)分子有 z 1 的因子，又 有单位圆上的零点z=-1，故取：
Gc ( z) z (1 z ) F1 ( z)
1
1
（3）选择 Ge ( z) ，按单位速度输入， Ge ( z) 中应含有 (1 z 1 )2因子。所以：
Gc ( z) 和Ge ( z)阶次相同，设： （4 ）
e e
(1 z 1 )m
1 (1 z ) G ( z ) 如果选 e 能够消去E(z)分母的因子
Ge ( z)可选为 则E(z)为 z 1 的有限多项式，因此，
Ge ( z) (1 z 1 )n F ( z)
A( z 1 ) E ( z ) Ge ( z ) R( z ) Ge ( z ) (1 z 1 )m
，则系统的闭环Z传递
z 1 (1 z 1 ) HG( z)
1
系统的输出为：
1 1 2 Y ( z ) Gc ( z ) R( z ) z z z 1 1 z
由Z变换定义可以得到输出序列：
y(0) 0, y(T ) y(2T ) y(3T ) 1