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北京市三十一中学2012–2013学年度第一学期 初三年级数学期中试题 2012.11（时间120分钟，满分120分）一、 精心选一选（每题4分，共32分）1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）2. 若两圆的半径分别是2cm 和3cm ，圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系是( )A ． 内切B ．相交C ．外切D ．外离 3.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3 4.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为( )A.aB.33 a C.3a D.23a5．如图，□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD 的长为（ ）A ．163B ．8C ．10D ．166．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1．则其旋转中心一定是点 （ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点7．如图所示，实线部分是半径为9的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）A ．12πmB ．18πmC ．20πmD ．24πm8．如图，点A 在半径为3的⊙O 内，OA=3，P 为⊙O 上一点，当∠OPA 取最大值时，PA的长等于 A ．23B ．6C ．23D ．32A第5题第6题 第7题 第8题 班级 姓名 学号______________OP二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________． 10． 如图，PA ，PB 是⊙O 是切线，A ，B 为切点， AC 是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= _度.11．如图，正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，MN=1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM= 时，ΔAED 与N ，M ，C 为顶点的三角形相似. 12. 如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△211B D C 的面积为1S ，△322B D C 的面积为2S ，…，△1n n n B D C +的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．三、解答题（本题共28分） 13．（本题5分）计算：2cos60tan 45sin 45sin30︒-︒+︒︒14．（本题4分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上，O 、M 也在格点上．（1）画出△ABC 关于直线OM 对称的△A 1B 1C 1； （2）画出△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转90°后所得的△A 2B 2C 2；（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．第9题x10 9 8 7 6 5 43 2 1 1 2 3456789 10 11 A 1B 1C 1 A BCy POCBA第11题第10题15．（本题5分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC ；(2) 若AB ＝4，AD ＝33，AE ＝3，求ED ，AF 的长.16．（本题5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，连结EB 交OD 于点F ． （1）求证：OD ⊥BE ； （2）若DE =25，AB =25，求AE 的长．17. （本题5分）如图,Rt△ABC 的斜边AB=4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D 、E ， （1）求证∠A=∠B.（2）求图中阴影部分的面积.18．（本题4分）已知：如图，∠MAN =45°，B 为AM 上的一个定点， 若点P 在射线AN 上，以P 为圆心，P A 为半径的圆与射线AN 的另一个交点为C ，请确定⊙P 的位置，使BC 恰与⊙P 相切.（1）画出图形（不要求尺规作图，不要求写画法）； （2）连结BP 并填空：① ∠ABC = °；② 比较大小：∠ABP ∠CBP . （用“＞”、“＜”或“=”连接）班级 姓名 学号______________四、解答题（本题共23分） 19．（本题6分）如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC =20米，斜坡坡面上的影长CD =8米，太阳光线AD 与水平地面成30°角，斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角，求旗杆AB 的高度（结果保留根号）．20．（本题6分）已知：如图，等腰△ABC 中，AB= BC ，AE ⊥BC 于E ， EF ⊥AB 于F ，4cos 5AEF ∠=，（１）当ＢE=4时，求ＥＦ长． （２）若CE=2求EF 的长.21．（本题6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在CB 的延长线上，且AD=BE ，求证：BCACFD EF =．22. （本题5分）阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，P A =5，PB =2，PC =1，求∠BPC 的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP ′A （如图2），然后连结PP ′．ACD请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ； （2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP=a ，CQ=92a 时，P 、Q 两点间的距离 (用含a 的代数式表示)．班级 姓名 学号______________24．如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ，连接CF 并延长交BA 的延长线于点P ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线．（2）若AF=1，OA=22，求PC 的长．25.已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.图1 图2(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =o∠，则PMN △的形状是__________，此时ADBC=________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算AD BC的值（用含α的式子表示）；(3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.北京市三十一中学2012–2013学年度第一学期初三年级数学期中答案一、选择题1——4 ACAD 5——8 CBDB 9、（9，0） 10 、50 11、（)552,55 12、13,332+n n 13．解：2cos60tan 45sin 45sin30︒-︒+︒︒.212112=-+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分1.2=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 14．（1）——————1` （2）——————2` （3）——————4`15．（1）——————2` （3）求出ED=6 ——————3`，求出AF=32————5` 16．（1）连结AD 证出OD ⊥BE-----2分 （2）证出△CED ∽△EBA--------3分 求出CE=1-------4分 求出AE=1.5--------5分 17、（1）连结OD 、OE------------1分证出∠A=∠B------------2分 （2）求出扇形半径------------3分S 阴=2-2π------------6分18．解：（1）图形见右. - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分（2）① ∠ABC = 45 °；- - - - - - -3分② ∠ABP ＜ ∠CBP . - - - - - - 4分 19、画出求法示意图------------1分求出CE=34------------2分图（1）图（2）求出BF=20+38（或DF=20+34）-----------4分求出AB=83320+-----------6分20．解：（1）求出BE=2.4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分∵ AE ⊥BC ， EF ⊥AB ，∴ ∠1+∠2=90°，∠B+∠2=90°. ∴ ∠1=∠B . ∵ 4cos 5AEF ∠=， ∴ Rt △ABE 中，4cos 5BE B AB ==. 设BE =4k ，则AB=BC=5k ，2EC BC BE k =-==. ∴ BE =8. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分∴ Rt △BEF 中，324sin 855EF BE B =⋅=⨯=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分21.辅助线 ；………………………………………………………………………… 1分 转化一组比；………………………………………………………………………… 2分 转化二组比 ；………………………………………………………………………… 3分 等量代换 ；………………………………………………………………………… 4分 答案 ；………………………………………………………………………… 5分22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分（2）120°；………………………………………………………………………… 3分． ……………………………………………………………………… 5分2３：（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC ， ∵AP=AQ ， ∴BP=CQ ，∵E 是BC 的中点， ∴BE=CE ，在△BPE 和△CQE 中，21FC BA∵，∴△BPE ≌△CQE （SAS ）；……………………………………………… 2分 （2）解：∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C ，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C ， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC ，∴△BPE ∽△CEQ ，……………………………………………… 4分 ∴，∵BP=a ，CQ=a ，BE=CE ， ∴BE=CE=a ，∴BC=3a ，∴AB=AC=BC •sin45°=3a ，∴AQ=CQ ﹣AC=a ，PA=AB ﹣BP=2a ， 连接PQ ，在Rt △APQ 中，PQ==a ．……………………………………………… 7分24、连结OC-----------------------1分证出切线-----------------------3分求出BC=316----------------------5 求出PC=716----------------------725. 解：(1)等边三角形，1；(每空1分) --------------------2分 （2）证明：连接BM 、CN . 由题意，得BM OA ⊥，CN OD ⊥,α-︒=∠=∠90COD AOB .∵ A 、O 、C 三点在同一直线上， ∴ B 、O 、D 三点在同一直线上.∴ 90BMC CNB ==o∠∠. ∵ P 为BC 中点，MPNDABOC∴ 在Rt △BMC 中，BC PM 21=. 在Rt △BNC 中，BC PN 21=. ∴ PN PM =.---------------------------3分 ∴ B 、C 、N 、M 四点都在以P 为圆心，12BC 为半径的圆上. ∴ 2MPN MBN =∠∠. 又∵ α=∠=∠ABO MBN 21， ∴ MPN ABO =∠∠.∴ PMN BAO △∽△. ----------------------------------4分∴ BAAO PM MN =. 由题意，12MN AD =，又BC PM 21=. ∴ PMMN BC AD =.------------------------------------5分 ∴ AD AO BC BA=. 在Rt BMA △中，αsin =ABAM . ∵ AM AO 2=，∴ 2sin AO BAα=. ∴ αsin 2=BCAD .------------------------------6分 （3）52.--------------------------------7分。