自动控制原理课程设计(倒立摆)

南京航空航天大学

课程名称：自动化控制原理课程设计

专业：探测制导与控制技术

时间：2016.6.20-2016.6.25

一、实验目的

1、 学会用SIMULINK 软件分析复杂的控制系统。

2、 会用状态反馈进行控制系统设计。

3、 了解状态观测器的实现。

二、实验设备

1、 计算机和打印机。

2、 实际倒立摆系统。

三、实验原理

假设原系统的状态空间模型为

BU AX X

+= ，若系统是完全能控的，则引入状态反馈调节器KX R U -=

这时，闭环系统的状态空间模型为⎩⎨⎧=+-

=CX

Y BR X BK A X

)(

设计任务是要计算反馈K ，使A-BK 的特征值和期望的极点P 相同。通过将倒立摆线性数学模型输入到MATLAB 中，使用K=place(A,B,P)函数算出反馈矩阵反馈增，K 和期望极点向量P 应与状态变量X 具有相同的维数。。

本系统可令输入R=0,即只讨论初始值对系统的作用。

倒立摆系统模型如下：

1、倒立摆线性模型：

⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡

----=3444.16254.42122.822122.822760.07062.38751.168751.6510000100A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=5125.62184.500B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00100001C ⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡=00D 2、倒立摆非线性模型:

)

(cos 00144.00061.02120

01θθθ--+=

⋅

⋅B A

2121121222)sin(2.1)cos(2.1sin 2.61⋅

⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅-----=θθθθθθθθθθ

其中：

⋅

⋅---++=11212110]0168.0)cos()sin(00144.0[sin 2979.00236.0θθθθθθθu A 2221212210])sin()[cos(0012.0sin )cos(0734.0⋅

⋅

---+--=θθθθθθθθθB

四、实验内容

1、根据给出的倒立摆的线性数学模型,讨论系统的稳定性,可控性和可观性。

A=[0 0 1 0;0 0 0 1;65.8751 -16.8751 -3.7062 0.2760;-82.2122 82.2122 4.6254 -1.3444];

B=[0;0;5.2184;-6.5125];

C=[1 0 0 0;0 1 0 0];

D=[0;0];

r1=rank(ctrb(A,B)) ；计算可控性矩阵的秩，判断可控性

r2=rank(obsv(A,C)) ；计算可观性矩阵的秩，判断可观性

eig(A) ；计算系统的极点，通过极点的实部来判断稳定性

运算结果：

r1 =4 ；可控性矩阵的秩为4=n,系统可控

r2 = 4 ；可观性矩阵的秩为4=n,系统可观

ans =-12.6466 ；系统存在正实部极点，系统不稳定

-6.7027

9.0442

5.2546

得出结论如下：

（1）特征方程的根为：-12.6466，-6.7027，9.0442，5.2546

由此可知有两个极点在虚轴的左半平面，故系统不稳定。

（2）系统的可控性分析：因为：nc=4 与系统的维数相等，可得到系统可控。

（3）系统的可观测性分析：因为：no=4与系统维数相等，可知系统可测。

2.根据给出的倒立摆的非线性数学模型用SIMULLINK图形库实现倒立摆系统的结构图,并给出初始角度θ1为0.1左右(弧度)时系统的状态响应(给出4个响应曲线,此时令控制u=0)。

SIMULINK图如下，

（1）原系统SIMULINK仿真封装系统图origin system

（2）原系统SIMULINK仿真子系统图Subsystem

（3）A0模块（4）B0模块

令控制u=0,初始角度θ1为0.1左右(弧度)时系统的状态响应曲线分别如下：

(按顺序依次为θ1.θ2.1

⋅

θ.2

⋅

θ的图像)

t/s

r

a

d

theta1

012345678910

-10

-5

5

10

15

t/s

r

a

d

theta1'

012345678910

-6

-5

-4

-3

-2

-1

t/s

r

a

d

theta2

012345678910

-30

-25

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

t/s

r

a

d

theta2'

3、为使系统稳定, 根据线性模型设计系统的状态反馈阵K,即使A-BK的特征值具有负实部。

A=[0 0 1 0;0 0 0 1;65.8751 -16.8751 -3.7062 0.2760;-82.2122 82.2122 4.6254 -1.3444]

B=[0;0;5.2184;-6.5125]

C=[1 0 0 0;0 1 0 0]

D=[0;0]

P=[-20;-15;-3+4i;-3-4i]

K=place(A,B,P)

配置极点为：-20;-15;-3+4i;-3-4i

得到反馈矩阵为：K =-10.8771 -120.6299 -9.4770 -13.1139

4、在2的基础上,用SIMULINK实现状态反馈,仍给出初始角度θ1为0.1左右(弧度)时系统的状态响应(4个响应曲线, 此时令控制u=0),并确定能使系统稳定的最大初始角度θ1。

根据要求得到SIMULINK图如下：

得到的响应曲线如下图所示：