求二次函数解析式的四种方法详解
二次函数解析式的求法
二次函数解析式的求法二次函数是一种形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
要求二次函数的解析式，需要掌握以下几个步骤：1. 求出a、b、c的值，这可以通过函数的已知点、导数或根的信息来确定。
2. 根据一般式y=ax+bx+c或顶点式y=a(x-h)+k，选择其中一种形式。
3. 将a、b、c的值代入选择的形式中，得到最终的解析式。
具体求法如下：1. 已知点求解析式如果已知二次函数通过两个点(x1,y1)和(x2,y2)，可以利用这两个点的坐标和函数的一般式来求解析式。
我们可以将两个点的坐标带入一般式中，得到以下两个方程：y1=ax1+bx1+cy2=ax2+bx2+c将两个方程联立，消去c，得到：a=(y2-y1)/(x2-x1)b=(y1x2-y2x1)/(x2-x1)将a、b的值带入一般式y=ax+bx+c中，得到最终的解析式。
2. 已知导数求解析式二次函数的导数为y'=2ax+b，如果已知导数，可以通过求导数反推出a和b的值，然后代入一般式或顶点式中求解析式。
例如，当已知函数f(x)=2x+4x+1的导数为f'(x)=4x+4时，可以根据导数的定义得到a=2，b=4，然后代入一般式y=2x+4x+c中，用已知点的坐标求解c，得到最终的解析式。
3. 已知根求解析式如果已知二次函数的两个根x1和x2，可以根据根的定义得到(x-x1)(x-x2)=0，将它展开得到x-(x1+x2)x+x1x2=0，然后用已知点的坐标求解a、b、c，最后代入一般式或顶点式中求解析式。
例如，当已知函数f(x)=x+2x-3的两个根为-3和1时，可以利用(x+3)(x-1)=0得到x+2x-3=0，根据二次函数的一般式得到a=1，b=2，c=-3，然后代入一般式y=x+2x-3中即可得到最终的解析式。
总之，求二次函数解析式需要根据不同的已知信息选择合适的求解方法，掌握这些方法可以更加轻松地解决二次函数的相关问题。
求二次函数解析式的常用方法及注意点
求二次函数解析式的常用方法及注意点作者：杨燕华来源：《新高考·升学考试》2018年第04期二次函数是初中数学的一个重要知识板块，其中二次函数解析式的求解是解决相关二次函数类型题的基础，更是二次函数与方程、三角函数、相似三角形等其他相关知识结合的前提，由此可见，掌握二次函数的解析式的重要性.初中阶段，求二次函数的解析式一般用待定系数法，下面我根据不同的条件设出恰当的解析式，给同学们归纳出常用的四种基本方法.1. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）一般式是最常见的，当题目给出的是抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c （a≠0），然后把三点坐标分别代入函数解析式，构成一个三元一次方程组，解得系数a、b、c，最后得到函数解析式.例1. 已知二次函数的图像经过点A（-1，6）、B（3，0）、C（0，3），求这个函数的解析式.解：设所求函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）由已知函数图像过（-1，6），（3，0），（0，3）三点，得a-b+c=6.9a+3b+c=0c=3，解方程得a=12，b=-52c=3，，∴所求得的函数解析式为y=12x2-52x+3.【注意点】有少部分同学把点坐标代入函数时，将x与y的值没有代入正确的位置，可能x与y的值颠倒了，为避免此类错误，建议同学们可以将点的坐标代入一般式时，写成ax2+bx+c=y的形式，这样就不容易错了.2. 顶點式：y=ax-h2+k（a≠0）若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=ax-h2+k（a≠0），其中h，k是顶点坐标，此时题目的已知条件需要一个顶点坐标和经过函数图形的一个点的坐标.例2. 已知一个二次函数图像的顶点坐标是P（8，9），且经过点（0，1），求这个二次函数的关系式.解：设所求函数解析式为y=ax-h2+k（a≠0），由已知函数图像的顶点坐标是P（8，9），可得函数y=ax-82+9，将点（0，1）代入函数，得1=a0-82+9.解方程得a=-18，∴所求得的函数解析式为y=-18x-82+9.【注意点】若题目改成“已知一个二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）顶点坐标是P（8，9）”，其他条件不变，那么最好抛开题目给出的y=ax2+bx+c（a≠0），重新设顶点式y=ax-h2+k（a≠0），解题过程同上，得出y=-18x-82+9，最后将顶点式化成一般式y=-18x2+2x+1.3. 交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式.首先已知Ax1，0、Bx2，0两点实际上是抛物线与x轴的交点，那么可设交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中x1、x2是抛物线与x轴的交点的横坐标；其次，还需要二次函数图形经过一个已知点，将点代入函数，求出a；最后得到函数解析式.例3. 已知：抛物线与坐标轴交于A，B，C三个点，其中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并且△ABC的面积是6，求这个函数的解析式.解：设所求函数解析式为y=a（x-x1）·（x-x2）（a≠0），∵A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），∴函数解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0），由题意可知AB=4，S△ABC=12AB·OC=6，∴OC=3，∴点C的坐标为（0，3）或（0，-3），当C的坐标为（0，3），∴a=-1，函数解析式y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3；当C的坐标为（0，-3），∴a=1.函数解析式y=（x+1）（x-3），即y=x2-2x-3.【注意点】交点式也称为对称点式：y=a（x-x1）（x-x2）+m（a≠0），其中x1、x2为抛物线上关于对称轴的两个对称点的横坐标，m为对称点的纵坐标.若图像过（x1，m）、（x2，m）时，则对称轴为x=x1+x22.4.平移式若将二次函数图像平移，形状和开口方向、大小没有改变，发生变化的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点形式，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出平移后的抛物线的解析式.例4.将抛物线y=x2+2x-3先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求所得的抛物线的解析式.解：函数解析式可化为顶点式y=（x+1）2-4，因为向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度，所求函数解析式为y=（x+1+4）2-4-3，即y=x2+10x+18.【注意点】将抛物线平移必须先化成顶点式后再将抛物线平移，而同学们做错往往是因为将一般式中的x直接平移了，这样就错了.以上，是我对二次函数解析式的几种求法的归纳讲解，希望同学们在解题时能较好地根据题目的已知条件，选择较为合理的函数解析式，让计算更简便，也更容易解决二次函数的后续问题.。
二次函数的几种解析式及求法解读
的图像如图所示，
评析：
刚才采用一般式、顶点式和交点式求解， 通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用 一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、 一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、 解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成 训练，可事半功倍。
2、将抛物线 向左平移4个单位， 再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。 解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得： (1)、由 向左平移4个单位得： （左加右减）
2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）, （1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：
四、尝试练习
4、将二次函数 的图像向右平移1个单位， 再向上平移4个单位，求其解析式。 解：∵ 二次函数解析式为
1 2 所求的解析式为： y ( x 2) 1 3
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设交点式
解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0) ∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入 a(0-2)(0+1)=-2 解得 a=1 ∴y=(x-2)(x+1) 即:y=x2-x-2
二次函数的几种解 析式及求法
二次函数解析(常见的三种表示形式)
(1)一般式
2 y ax bx c(a 0)
2 n(a 0)顶点坐标（ y a ( x m ) m, n) (2)顶点式
(3)交点式 y a( x x 1 )( x x 2 )( a 0)
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。
解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。
下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。
通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。
2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。
3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。
例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。
4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。
例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。
5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。
6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。
7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。
通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。
8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。
9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
怎样求二次函数的解析式
怎样求二次函数的解析式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1怎样求二次函数的解析式二次函数是中考数学的一个重要考点也是一个难点，往往会综合其他函数和几何而作为压轴题，有一定的难度。
这些问题又常常以求二次函数的解析式作为解题的起点，因此学会求二次函数的解析式成为解决此类问题的第一关。
一、三点型若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用一般式y = ax 2 +bx +c . 解题策略：通过各种途径搜索转化题目的各个信息找到三个点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此类问题是中考中最常见的一类。
例1 已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式.解：设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,由已知可得043a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ ，解之得1,2,3.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故所求二次函数解析式为y=x 2+2x-3.例2 （2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)． 求该抛物线的解析式； 解：由题意知：A （0，6），C （6，0）， 设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ,则：⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==c b a c b a c63603906解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=6131c b a∴该抛物线的解析式为6312++-=x x y例3 （2010 山东省德州）已知二次函数c bx ax y ++=2A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)． 求此函数的解析式及图象的对称轴； 解：∵二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点C (0，-3)，∴c =-3．x将点A (3，0)，B (2，-3)代入c bx ax y ++=2得⎩⎨⎧-+=--+=.32433390b a b a ，解得：a =1，b =-2． ∴322--=x x y ．配方得：412--=）（x y ，所以对称轴为=1． 例4 （2010 山东莱芜）在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点)32,0(C .求此抛物线的解析式；解：∵抛物线c bx ax y ++=2经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得343323a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. ∴抛物线的解析式为：32334632+-=x x y . 例5．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ． （1）求点C 的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．解：（1）点C 的坐标是（4，0）；（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：xyOA BCP Q MN020164a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2． 二、顶点型若直接或间接已知二次函数图像的顶点坐标，则可以用顶点式y =a (x-h )2+k . 解题策略：想方设法找到顶点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此法比较简单。
二次函数解析式的方法
二次函数解析式的方法
二次函数是高中数学中的一个重要概念。
它是一种二次方程，通常用y=ax+bx+c的形式表示。
其中，a、b、c是常数，a不等于0。
求解二次函数的解析式可以使用以下方法：
1. 完全平方公式：将二次函数的一般式y=ax+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)+k，其中(h,k)为顶点坐标。
这个转化可以使用完全平方公式完成，即将x+bx部分平方，得到(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a，再乘以a后，得到y=a(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a。
2. 配方法：当二次函数的a不为1时，可以使用配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体来说，对于y=ax+bx+c，我们可以先将a提出来，得到y=a(x+ bx/a+c/a)，然后将x+ bx/a部分配方，即将它写成(x+b/2a)- (b-4ac)/4a的形式。
这样，原来的二次函数就可以表示为y=a(x+b/2a)- (b-4ac)/4a+c。
3. 公式法：对于已知二次函数的解析式y=ax+bx+c，我们可以使用求根公式来求解它的两个解。
根据二次方程的求根公式，
y=ax+bx+c的解析式可以表示为x=(-b±√(b-4ac))/2a。
以上三种方法都可以求解二次函数的解析式，具体使用哪种方法取决于具体情况。
在解决实际问题时，可以根据需要选择合适的方法，以便更准确地求解问题。
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求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。
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求二次函数解析式的四种基本方法
二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．
分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2
+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩
⎪⎨⎧-===432c b a
∴这个二次函数的解析式为y=2x 2
+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2
－1 (a ≠0)
又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
例3、如图，已知两点A （－8，0），（2，0），以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C （0、4）。
求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式。
分析：A 、B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点，所以可设交点式y=a(x －x 1)(x －x) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
2
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x －2)
例4、 已知函数y=x 2+kx －3（k>0),图象的顶点为C 并与x 轴相交于两点A 、B 且AB=4
（1）求实数k 的值；（2）若P 为上述抛物线上的一个动点（除点C 外），求使S △ABC =S △ABP 成立的点P 的坐标。
变式练习，创新发现
1、已知抛物线过A （－2，0）、B （1，0）、C （0，2）三点。
求这条抛物线的解析式。
）
2、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y 轴交于点)5,0(，求这条抛物线的解析式。
2、已知二次函数
y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-9
2），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。
3、已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x 轴的一个交点是(-1，0)，求这个二次函数的解析式。
4、已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则这个二次函数的关系式是________。
5、已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式
6、已知二次函数y m x mx m m =-++-()()()123212≠的最大值是零，求此函数的解析式。
7. 已知某抛物线是由抛物线y=x 2
-x-2经过平移而得到的，且该抛物线经过点A （1，1），B （2，4），
求其函数关系式。
9、已知四点A （1，2），B （0，6），C （－2，20），D （－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。
5、。